Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit...
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Les carrés gréco-latins, ou la problématique qu’Euler ne put résoudre
Présenté par:Sami Barrit
Kevin GeversKim Lê
Simon MehannaBalthazar Kabeya
Collège Saint-Michel 2010
![Page 2: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/2.jpg)
Plan de la présentation
Introduction: Euler et les 36 officiers Les carrés latins Les carrés latins orthogonaux Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n
impair Formation d’un carré gréco-latin d’ordre n pair
1. n multiple de 42. n non-multiple de 4
Utilités et applications
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Euler et les 36 officiers
1782 Leonhard Euler 6 régiments, 6 grades,
36 officiers Carré gréco-latin
d’ordre 6 Impossibilité
démontrée par Tarry
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Les carrés latins
Carré d’ordre n n éléments différents
5 colonnes
5 lig
nes
Ici, n=5
![Page 5: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/5.jpg)
Les carrés latins
Carré d’ordre n n éléments différents 1 2 3 4 5
5 colonnes
5 lig
nes
Ici, n=5
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Les carrés latins
Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne
1 2 3 4 5
5 colonnes
5 lig
nes
Ici, n=5
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Les carrés latins
Carré d’ordre n n éléments différents Chaque élément n’apparaît qu’une fois par ligne et par colonne
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
5 colonnes
5 lig
nes
Ici, n=5
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1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
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Carrés latins orthogonaux
Deux carrés latins A et B de mêmes dimensions n × n sont orthogonaux lorsque les couples formés par leur superposition sont tous différents, et forment ainsi un carré eulérien.
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Exemple de 2 carrés latins orthogonaux
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
5 4 3 2 1
1 5 4 3 2
2 1 5 4 3
3 2 1 5 4
4 3 2 1 5
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Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
A B C D E
E A B C D
D E A B C
C D E A B
B C D E A
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Sans la méthode des diagonales opposées
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
A B C D E
B C D E A
C D E A B
D E A B C
E A B C D
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1A
2B
3C
4D
5E
2B
3C
4D
5E
1A
3C
4D
5E
1A
2B
4D
5E
1A
2B
3C
5E
1A
2B
3C
4D
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Création d’un carré gréco-latin à partir des carrés latins orthogonaux
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
A B C D E
E A B C D
D E A B C
C D E A B
B C D E A
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Superposition de ces 2 carrés latins orthogonaux
1A
2B
3C
4D
5E
2E
3A
4B
5C
1D
3D
4E
5A
1B
2C
4C
5D
1E
2A
3B
5B
1C
2D
3E
4A
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Création d’un carré gréco-latin pair
n pair multiple de 4 - n/4 est pair - n/4 est impair n pair non-multiple de 4
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n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
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n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
![Page 20: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/20.jpg)
A B C D
B A D C
C D A B
D C B A
A B C D
B A D C
C D A B
D C B A
![Page 21: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/21.jpg)
A B C D E F G H
B A D C F E H G
C D A B G H E F
D C B A H G F E
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
![Page 22: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/22.jpg)
n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
Les chiffres
![Page 23: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/23.jpg)
A1
B 2
C3
D4
E F G H
B4
A3
D2
C1
F E H G
C7
D8
A5
B6
G H E F
D6
C5
B8
A7
H G F E
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
![Page 24: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/24.jpg)
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
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n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
Les chiffres Division en 4 mini-carrés
![Page 26: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/26.jpg)
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
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C5
B8
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G1
F4
E3
E F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
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n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré
![Page 28: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/28.jpg)
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
H8
B4
A3
D2
C1
F8
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H6
G5
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G3
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F2
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F G H A B C D
F E H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
![Page 29: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/29.jpg)
A1
B 2
C3
D4
E5
F6
G7
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B8
A7
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F G H A B C D
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A1
B 2
C3
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A1
B 2
C3
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E5
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G1
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E8
F7
G H A B C D
F5
E6
H G B A D C
G H E F C D A B
H G F E D C B A
![Page 32: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/32.jpg)
n/4 pair
Division du carré principal en 4 petits carrés
Travailler les petits carrés séparément pour les lettres
Les chiffres Division en 4 mini-carrés Remplissage d’un mini-carré Terminer le carré à la manière
d’un sudoku
![Page 33: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/33.jpg)
A1
B 2
C3
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E5
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A1
B 2
C3
D4
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F6
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B4
A3
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C1
F8
E7
H6
G5
C7
D8
A5
B6
G3
H4
E1
F2
D6
C5
B8
A7
H2
G1
F4
E3
E8
F7
G6
H5
A4
B3
C2
D1
F5
E6
H7
G8
B1
A2
D3
C4
G2
H1
E4
F3
C6
D5
A8
B7
H3
G4
F1
E2
D7
C8
B5
A6
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n pair non-multiple de 4
![Page 36: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/36.jpg)
1ère étape : Les groupes
Majeurs Mineurs
Type 1 A, B, C, D, E, F, G H, I, J
Type 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10
![Page 37: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/37.jpg)
2ème étape : Les zones
![Page 38: Les carrés gréco-latins, ou la problématique quEuler ne put résoudre Présenté par: Sami Barrit Kevin Gevers Kim Lê Simon Mehanna Balthazar Kabeya Collège.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062303/551d9db8497959293b8dc1d1/html5/thumbnails/38.jpg)
3ème étape : Le remplissage
8 9 10
9 10 8
10 8 9
1. La zone des mineurs :
H I J
J H I
I J H
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2. La zone mixte :
• Nos mineurs étant associés entre eux, il faut associer ceux du type 1 aux majeurs du type 2 ainsi que ceux du type 2 aux majeurs du type 1.• Cependant, il nous reste : -3 mineurs du type 1 à associer à 7 majeurs du type 2 = 21 cases. -3 mineurs du type 2 à associer à 7 majeurs du type 1 = 21 cases.• Il nous reste donc 42 cases à remplir donc 7 qui seront chacune une association de 2 majeurs
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H I J
H I J
H I J
J H I
J H I
I J H
H I J
5 2 3
6 3 4
7 4 5
6 1 5
7 2 6
7 1 3
4 1 2
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8 10 9
9 8 10
10 9 8
10 9 8
8 10 9
8 10 9
8 10 9
G D F
G A E
F A B
G B C
D A C
E B D
F C E
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On va rassembler maintenant les 5 carrés créés précédemment en deux carrés latins. Le premier rassemblera le type 1, le deuxième le type 2.
A H I G J D F
G B H I A J E
F A C H I B J
J G B D H I C
D J A C E H I
I E J B D F H
H I F J C E G
1 5 2 8 3 10 9
9 2 6 3 8 4 10
10 9 3 7 4 8 5
6 10 9 4 1 5 8
8 7 10 9 5 2 6
7 8 1 10 9 6 3
4 1 8 2 10 9 7
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3. La zone des majeurs :
Nous pouvons construire 2 carrés gréco-latins différents. Celui dont les zones des majeurs des caractères du type 1 sont identiques (notre exemple) et celui dont les zones des majeurs des caractères du type 2 sont symétriques par rapport à la diagonale.
E B C
F C D
G D E
A E F
B F G
C G A
D A B
E F G A B C D
B C D E F G A
C D E F G A B
4 7 6
5 1 7
6 2 1
7 3 2
1 4 3
2 5 4
3 6 5
2 3 4 5 6 7 1
3 4 5 6 7 1 2
5 6 7 1 2 3 4
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Comment choisir les mineurs?
Généralisation: pour n’importe quel n pair non-multiple de 4, le nombre de mineurs vaudra:
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Utilités et applications
Médecine Agronomie Organisation de tournois …
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Exemple d’application
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Merci pour votre écoute!