L’equazione della parabola è f(x) = ax2+bx+c · Parabola 3 Se a < 0 la concavità della parabola...

Parabola 1

PARABOLA

La parabola si ottiene intersecando un cono con un piano come

nella figura sotto.

L’equazione della parabola è f(x) = ax2+bx+c

ax2+bx+c è anche il trinomio che compare al I membro nelle equazioni di

II grado.

Parabola 2

Grafico di una parabola

La parabola f(x) = ax2+bx+c è una funzione reale di variabile reale.

Se a > 0 la concavità della parabola è diretta verso l’alto e il vertice è il

punto con l’ordinata più bassa; in questo caso la funzione

f(x) = ax2+bx+c ha come codominio 𝑦 ≥ −𝑏

2𝑎 ( il dominio è x ∈ R )

Parabola 3

Se a < 0 la concavità della parabola è diretta verso il basso e il vertice è il

punto con l’ordinata più alta; in questo caso la funzione f(x) = ax2+bx+c

ha come codominio 𝑦 ≤ −𝑏

2𝑎 ( il dominio è x ∈ R )

L’ASSE della parabola è una retta passante per il vertice e

perpendicolare all’asse delle x. Il grafico della parabola è

simmetrico rispetto all’asse.

Parabola 4

La parabola come “LUOGO GEOMETRICO”

La parabola è il “luogo geometrico” dei punti del piano che sono alla stessa

distanza da una retta chiamata “direttrice” e da un punto F chiamato “FUOCO”.

Per qualunque punto P della parabola vale la relazione

𝑃𝐹̅̅ ̅̅ = 𝑃𝐵̅̅ ̅̅

Parabola 5

1. Equazione della direttrice (quando la parabola è nella forma più

semplice, con l’asse parallelo all’asse delle y):

𝒇(𝒙) = −𝟏+∆

𝟒𝒂

2. Coordinate del fuoco: 𝐅(−𝒃

𝟐𝒂;

𝟏−∆

𝟒𝒂)

direttrice

FUOCO

Parabola 6

Esercizio

Della parabola rappresentata nella figura sotto

1. scriverne l’equazione;

2. calcolarne il vertice V e il fuoco F;

3. scriverne l’equazione dell’asse e della direttrice.

Definizioni da sapere:

1. definizione di parabola come luogo geometrico;

2. asse;

3. vertice;

4. fuoco;

5. direttrice.

Procedimento da sapere:

ricavare l’equazione della parabola dalla definizione di luogo geometrico.

Parabola 7

1. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola?

[A] x + y – 8x + 11y = 0; [B] x2 + y2 - 11 = 0; [C] x2 + y2 – 8y - 7 = 0

[D] x2 + y – 8x - 5 = 0.

2. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che ha il vertice sull’asse delle ordinate?

[A] y = x2 + 7; [B] y = x2 + 5x –2; [C] y = x2 + 3x; [D] y = x2 + 5x.

3. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che passa per

l'origine?

[A] y = 3x2 –2 ; [B] y = x2 + 3x; [C] y = x2 – 6x – 6;

[D] y = x2 + 5x + 5.

4. Quale tra le seguenti parabole passa per il punto P [3; 25]?

[A] y = 3x2 – 2 ; [B] y = x2 + 3x; [C] y = x2 – 6x – 6;

[D] y = x2 + 5x + 5.

5. Quale tra le seguenti parabole ha il vertice nel punto P [2; ]?

[A] y = 2x2 – 1 ; [B] y = x2 + 4x; [C] y = x2 – 4x – 3;

[D] y = x2 – 4x + 3.

6. Determinare il vertice e le intersezioni con l'asse delle x della parabola

y = x2 – 8x – 6.

7. Scrivere l’equazione della parabola che passa per i punti A(0; 5),

B(5; 45), C(2; 3).

8. Scrivere l’equazione di una parabola che ha la concavità verso l’alto e il

vertice nel punto V(9;0).

9. Scrivere l’equazione di una parabola che ha la concavità verso il basso e il

vertice nel punto V(7;0).

Parabola 8

10. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che ha la concavità

rivolta verso il basso? (spiega la risposta scelta)

[A] y = x2 + 4x +1; [B] y = 3x2 +2x ;

[C] y = x2 5 [D] y = 4x + x2 + 3.

11. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola passante per

l’origine? (spiega la risposta scelta)

[A] y = x2 +3x – 2; [B] y = x2 25;

[C] y = x2 + 3x; [D] y = 5x2 + 5x +1.

12. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che ha il vertice

sull’asse delle ascisse? (spiega la risposta scelta)

[A] y = x2 + 4x +1; [B] y = 2x 3x2 ;

[C] y = x2 5 [D] y = x2 4x + 4.

13. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che ha il vertice nel

punto V(0; 7)? (spiega la risposta scelta)

[A] y = 8x2 + x; [B] y = x2 + 7;

[C] y = x2 14x + 2; [D] y = x2 7.

14. Qual è tra le equazioni seguenti quella di una parabola che passa per il

punto A(5, 17)? (spiega la risposta scelta)

[A] y = x2 + 5x + 3; [B] y = 5x2 +3x;

[C] y = x2 8; [D] y = 7x – x2 + 12.


y = x2 – 11x +2.

Parabola 9

16. L’equazione della parabola è del tipo f(x)=ax2 + bx + c ;

a. cosa rappresenta a ?

b. cosa succede se nell’equazione manca c ?

c. cosa succede se nell’equazione manca b ?

d. cosa succede se nell’equazione manca a ?

e. cosa succede se nell’equazione mancano contemporaneamente b e

c ?

f. cosa succede se nell’equazione mancano contemporaneamente a e

c ?

g. cosa succede se nell’equazione mancano contemporaneamente a e

b ?

17. cos’è il vertice V in una parabola ?

18. cosa succede se nell’equazione a è negativo?

19. cosa succede se nell’equazione a è positivo?

20. Relativamente alla parabola, cosa rappresentano le soluzioni

dell’equazione ax2 + bx + c =0 ?

21. Relativamente alla parabola, cosa significa se le soluzioni dell’equazione

ax2 + bx + c =0 non sono reali ?

22. La parabola f(x)=ax2 + bx + c può essere considerata una funzione

reale di variabile reale ? Se la risposta è SI, quali sono il dominio e il

codominio della funzione ?

23. Determinare l’equazione della parabola che passa per i punti C(0; 2),

A(4; - 4) e B(8; 0).

24. Scrivere l’equazione della parabola i cui punti sono alla stessa distanza

dalla retta f(x) = 4 e dal punto P(0; 4) . (Eseguire un disegno).

Parabola 10

25. Scrivere l’equazione della parabola raffigurata sotto

Parabola 11

26. Scrivere l’equazione della parabola raffigurata sotto

27. Delle seguenti parabole

a Calcola il vertice

b Determina i punti di intersezione con l’asse delle x

c Determina i punti di intersezione con l’asse delle y

d Dire se hanno la concavità verso l’alto o verso il basso

e Tracciane il grafico usando il programma “Geogebra” o simile

1.1 f(x) = 3x2 + 4x 1 ;

2.1 f(x) = 6x2 + x 7;

3.1 f(x) = x2 7 ;

4.1 f(x) = 4x x2 4 ;

5.1 f(x) = 3x2 + 4x 1;

6.1 f(x) =5 x2 ;

7.1 f(x) = 4x2 ;

Parabola 12

8.1 f(x) = 5x2 ;

9.1 f(x) = 9x2 6x + 1 ;

10.1 f(x) = x2 + 3

28. Determinare il vertice e le coordinate degli eventuali punti di intersezione

con l’asse delle x della parabola y = x2 + 3.

29. Scrivere l’equazione della parabola i cui punti sono alla stessa distanza

dalla retta f(x) = 4 e dal punto P(0; 4) . (Eseguire un disegno).

Parabola 13

ESERCIZI SVOLTI

30.

Parabola 14

Parabola 15

𝒚 = −𝟏

𝟗𝒙𝟐 +

𝟒

𝟗𝒙 +

𝟑𝟐

𝟗

Parabola 16

31.

Parabola 17

Parabola 18

𝒚 =𝟑

𝟖𝒙𝟐 −

𝟑

𝟒𝒙 −

𝟒𝟓

𝟖

Parabola 19

32. Quali e quanti sono i punti del piano cartesiano che appartengono ad una

parabola?

33. Come si può capire se un punto del piano cartesiano appartiene ad una

parabola?

34. Quante rette passano per un punto del piano cartesiano?

35. Quante rette passano per due punti del piano cartesiano?

36. Quante parabole passano per un punto del piano cartesiano?

37. Quante parabole passano tre punti del piano cartesiano?

38. Com’è l’equazione di una parabola che ha il vertice sull’asse delle

ordinate? Scrivine una.

39. Nell’equazione di una parabola manca il termine noto C. Cosa significa?

40. Com’è l’equazione di una parabola che ha la concavità rivolta verso il

basso? Spiega e scrivine una.

41. Scrivi l’equazione di una parabola che ha il vertice sull’asse delle ascisse.

Spiega quello che scrivi.

42. Nell’equazione di una parabola y = ax2 + bx + c può essere a = 0 ?

Spiega la risposta.

43. Cosa rappresenta il termine noto C nell’equazione di una parabola?

44. Com’è l’equazione di una parabola che passa per l’origine? Scrivine una.

45. Scrivi l’equazione di una parabola che ha il vertice sull’asse delle ordinate

e spiega quello che scrivi.

46. Scrivi l’equazione di una parabola che ha il vertice nell’origine; spiega

quello che scrivi.

47. Dire se il punto P(0;3) appartiene alla parabola f(x)=3x27x+3

48. Dire se il punto P(1;6) appartiene alla parabola f(x)=5x2+3x 2

49. Dire se il punto P(2;4) appartiene alla parabola f(x)=2x2+x 8

Parabola 20

50. Scrivere l’equazione dell’asse, della direttrice, le coordinate del vertice, del

fuoco e di almeno 4 punti della parabola di equazione f(x)=2x2+x 8

51. Scrivere l’equazione della parabola che passa per i punti A(3;0); B(0;5)

e C(6;5).

52. Scrivere l’equazione della parabola che passa per i punti A(0;0); B(5;6) e

C(10;0).


e C(6;4).


e C(6;0).


e C(3;0).


f(x) = x2 – 9.


f(x)= x2 + 4.


f(x) = x2 – 10x + 25.

Parabola 21

59. Scrivi un’equazione che descriva matematicamente la parabola che segue

Parabola 22

60. Scrivi l’equazione della parabola che segue

61. Dopo aver tracciato il grafico della parabola 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙:

a. Calcolare i punti di intersezione tra la parabola e la retta di

equazione y = 3x – 2 ;

b. Scrivere l’equazione della retta tangente alla parabola nell’origine

degli assi;

c. Scrivere le equazioni delle rette tangenti alla parabola che passano

per il punto A(6;0).

Parabola 23

Intersezione tra retta e parabola e rette tangenti alla parabola

L’equazione di una parabola è in generale:

y = ax2 + bx +c

mentre quella di una retta è

y = mx + q

Per trovare i punti di intersezione tra una retta e una parabola si parte dalla

considerazione che i punti di intersezione sono contemporaneamente punti

della retta e della parabola (nella figura i punti di intersezione sono indicati con

A e B;

il problema si risolve scrivendo il sistema tra la parabola e la retta:

{𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞

le soluzioni di questo sistema, se esistono, saranno le coordinate dei due punti

di intersezione A e B. Risolviamo il sistema col metodo del confronto, si ottiene

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑚𝑥 + 𝑞

Parabola 24

Questa è un’equazione di II grado le cui soluzioni x1 ed x2 sono le ascisse dei

due punti di intersezione tra la parabola e la retta. Portiamo tutto al I membro

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑚𝑥 − 𝑞 = 0

e riordiniamo i termini

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 𝑚𝑥 + 𝑐 − 𝑞 = 0

poiché in un’equazione di II grado deve esserci un solo termine contenente la

x, raccogliamola a fattore comune

𝑎𝑥2 + (𝑏 − 𝑚)𝑥 + 𝑐 − 𝑞 = 0

In questa equazione il termine noto è formato da c – q; per identificarlo

meglio, possiamo scrivere tra parentesi, (c – q)

𝑎𝑥2 + (𝑏 − 𝑚)𝑥 + (𝑐 − 𝑞) = 0

infine, risolviamo l’equazione, applicando la formula risolutiva delle equazioni

di II grado

𝑥1,2 =−𝐛 ± √𝒃2 − 4𝒂𝒄

2𝒂

nella “nostra” equazione b = (b – m) e c = (c – q), di conseguenza

𝑥1,2 =−(𝑏 − 𝑚) ± √(𝑏 − 𝑚)2 − 4𝑎(𝑐 − 𝑞)

2𝑎

Poiché nel nostro caso le soluzioni dell’equazione sono le ascisse xA e xB dei

due punti di intersezione A e B è meglio scrivere

𝒙𝑨,𝑩 =−(𝑏 − 𝑚) ± √(𝑏 − 𝑚)2 − 4𝑎(𝑐 − 𝑞)

2𝑎

In questa equazione il discriminante b2 – 4ac è dato da

b – m)2–4a(c – q);

quindi:

Parabola 25

1. Le soluzioni xA ed xB, dell’equazione di II grado che abbiamo risolto,

sono le ascisse dei due punti di intersezione tra la parabola e la

retta.

2. le soluzioni xA ed xB dipendono in modo fondamentale dal valore

del discriminante b2 -4ac, infatti

a. se b2 -4ac > 0, le soluzioni xA ed xB sono numeri reali diversi

fra loro;

b. se b2 -4ac = 0, le soluzioni xA ed xB sono numeri reali uguali

fra loro;

c. se b2 -4ac < 0, l’equazione non ha soluzioni reali.

Cerchiamo di capire che significato ha ciascuna di queste situazioni nel nostro

caso, cioè per l’equazione di II grado che permette di ricavare, se esistono, le

ascisse dei punti di intersezione tra la retta e la parabola

1. se b2 -4ac > 0, le soluzioni xA ed xB sono numeri reali diversi fra

loro, questo significa che tra retta e parabola esistono due punti

di intersezione separati;

Parabola 26

2. se b2 -4ac < 0, l’equazione non ha soluzioni reali; questo significa

che tra retta e parabola non esistono punti di intersezione (la

retta è esterna alla parabola)

Parabola 27

3. se b2 -4ac = 0, le soluzioni xA ed xB sono numeri reali uguali fra

loro; questo significa che tra retta e parabola esiste un unico punto

di intersezione considerato doppio che prende il nome di punto di

tangenza tra retta e parabola; in questo caso si dice che la retta è

tangente alla parabola.

Il punto A = B è il PUNTO

DI TANGENZA della retta

con la parabola

RETTA TANGENTE ALLA

PARABOLA

Parabola 28

Se il discriminante dell’equazione di II grado che si ottiene risolvendo il

sistema tra una retta e una parabola è zero, il trinomio al primo

membro dell’equazione è il quadrato di un binomio; la retta sarà tangente alla

parabola.

viene chiamata condizione di tangenza.

L’ascissa del punto di tangenza è data da:

𝒙𝑨,𝑩 =−(𝑏 − 𝑚) ± √∆

2𝑎

𝒙𝑨,𝑩 =−(𝑏 − 𝑚) ± √0

2𝑎=

−(𝑏 − 𝑚) ± 0

2𝑎

𝒙𝑨,𝑩 =−(𝑏 − 𝑚)

2𝑎

𝒙𝑨 = 𝒙𝑩 = 𝒙𝑻 =−(𝑏 − 𝑚)

2𝑎=

(𝑚 − 𝑏)

2𝑎

Per calcolare il valore della y si possono usare, indifferentemente, sia

l’equazione della retta sia quella della parabola; la più semplice da usare è

quella della retta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 , con la sostituzione

𝒙 = 𝒙𝑻 = (𝑚 − 𝑏)

2𝑎

Quindi

𝒚𝑻 = 𝒎(𝑚 − 𝑏)

2𝑎+ 𝒒

Parabola 29

62. Determinare i punti di intersezione tra la retta di equazione y = 2x e la

parabola di equazione y = x2 + 3x – 12 . Prima di risolvere l’esercizio

riporta in un sistema di assi cartesiani la retta e la parabola.

Svolgimento:

Mettiamo a sistema l’equazione della retta e quella della parabola

{𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 12

𝑦 = 2𝑥 → 𝑥2 + 3𝑥 − 12 = 2𝑥 → 𝑥2 + 3𝑥 − 12 − 2𝑥 = 0

𝑥2 + 𝑥 − 12 = 0 → 𝑥𝐴,𝐵 =−𝟏±√𝟏2−4∙𝟏(−𝟏𝟐)

2=

−𝟏±√49

2=

−𝟏±7

2

𝑥𝐴 =−8

2= −4 e 𝑥𝐵 =

6

2= 3

Dall’equazione della retta ricaviamo

𝑦𝐴 = 2(−4) = −8 e 𝑦𝐵 = 2(3) = 6

riepilogando, le coordinate dei due punti di intersezione sono:

A(4; 8) B(3; 6)

Controlla la figura che segue

Parabola 30

Parabola 31

63. Determinare i punti di intersezione tra la retta di equazione y = x – 5 e la

parabola di equazione y = x2 - 3x – 1 . Prima di risolvere l’esercizio

riporta in un sistema di assi cartesiani la retta e la parabola.

Svolgimento:

Mettiamo a sistema l’equazione della retta e quella della parabola

{𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 1𝑦 = 𝑥 − 5

𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 𝑥 − 5 𝑥2 − 3𝑥 − 1 − 𝑥 + 5 = 0

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (il trinomio al primo membro è un quadrato di un binomio!!)

In questa equazione questo significa che tra la retta e la parabola c’è

un solo punto di intersezione quindi, la retta è tangente alla parabola nell’unico

punto di intersezione la cui ascissa è data da

𝑥𝐴,𝐵 =4±√(−𝟒)2−4∙𝟏∙𝟒

2=

4±√0

2=

4

2

𝑥𝐴 = 𝑥𝐴 = 2

Dall’equazione della retta ricaviamo

𝑦𝐴 = 𝑦𝐵 = 2 − 5 = −3

riepilogando, le coordinate del punto di intersezione (punto di tangenza) sono:

A(2; 3)

Controlla la figura che segue

Parabola 32

64. Cosa significa dire che una retta è tangente ad una parabola?

65. Descrivi il procedimento per determinare la retta tangente ad una

parabola che passa per uno dei suoi punti;

66. Descrivi il procedimento per determinare la retta tangente ad una

parabola che passa per un punto esterno alla parabola

67. Qual è la condizione di tangenza?

68. Spiega la condizione di tangenza

Parabola 33

69. Esiste la tangente alla parabola che passa per il suo vertice? E se si qual è

la sua equazione?

70. Determinare l’equazione della retta che passa per il punto (0; 0),

tangente alla parabola di equazione y = x2 – 8x.

71. Determinare l’equazione della retta che passa per il punto (2; 2),

tangente alla parabola di equazione y = x2 – x.

72. Determinare l’equazione delle rette che passano per il punto A(0;-6) e

tangenti alla parabola y = x2 -4

73. Determinare l’equazione della retta tangente alla parabola

y = -2x2 + 3 e passante nel suo punto A(1;1).

74. Determinare l’equazione delle rette che passano per il punto A(0; 1) e

tangenti alla parabola y = x2 + 2


y = x2 -2x +2 e passante nel suo punto A(1;-1).


y = -x2 -x + 6 e passante nel suo punto A(2;0).

77. Determinare i punti di intersezione della parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 con la retta

di equazione y = 3x 1 (tracciare parabola e retta)

78. Determinare i punti di intersezione della parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒 con la retta

di equazione y = 2x - 5 (tracciare parabola e retta)

79. Determinare i punti di intersezione della parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 con la

retta di equazione y = 2x - 7 (tracciare parabola e retta).

80. Determinare i punti di intersezione della parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟓 con la retta

di equazione y = 3x - 7 (tracciare parabola e retta).

81. Determinare i punti di intersezione della parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 con la

retta di equazione y = x - 8 (tracciare parabola e retta)

Parabola 34

82. Determinare il punto P della parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙, rispetto al quale la

retta tangente ha coefficiente angolare m = - 5. (disegnare parabola e

retta)

83. Determinare la retta tangente alla parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 che passa

per il punto P(1; 0). (disegnare, anche in modo approssimato, parabola e

retta).

84. Determinare il punto P della parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟐, rispetto al quale la

retta tangente ha coefficiente angolare m = 3. (disegnare anche in modo

approssimato parabola e retta)

85. Determinare la retta tangente alla parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 che passa per il

punto P(1; -5). (disegnare, anche in modo approssimato, parabola e

retta)

86. Determinare il punto P della parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙, rispetto al quale la

retta tangente ha coefficiente angolare m = 5. (disegnare anche in modo

approssimato parabola e retta)

87. Esistono punti del piano cartesiano per i quali non è possibile tracciare

la retta tangente ad una parabola? (spiega la risposta anche con un

disegno). (2 punti)

88. Può esistere una retta tangente ad una parabola che abbia coefficiente

angolare m = 0? (spiega la risposta).

89. Esistono punti di una parabola per i quali la retta tangente è parallela

all’asse delle ascisse? (spiega la risposta).

90. Cosa si intende per condizione di tangenza?.

91. Nei calcoli per determinare le rette tangenti ad una parabola che passano

per un punto P, il da cui si ricava la condizione di tangenza risulta il

quadrato di un binomio. Cosa significa? (spiega la risposta).

92. Quanti punti di intersezione ha una retta tangente ad una parabola con la

parabola stessa? (spiega la risposta).

Parabola 35

93. Esistono punti di una parabola per i quali non è possibile tracciare la retta

tangente alla parabola stessa? (spiega la risposta).

94. Cosa si indica con ?

95. Esiste la retta tangente alla parabola 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒 che passa per il punto

C(2; 0)?

96. Una parabola ha il vertice nel punto V(2; 6); scrivi l’equazione della retta

tangente nel vertice V. (spiega la risposta).

97. Trovare le rette tangenti alla parabola

Parabola 36

Parabola 37

Parabola 38

Parabola 39

Parabola 40

Parabola 41

98.

Parabola 42

Parabola 43

99. Tracciare manualmente e con Geogebra (o simile) il grafico della parabola

𝒇(𝒙) = 𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 , quindi:

a. Tracciare e quindi scrivere l’equazione della retta tangente alla

parabola nel vertice;

b. Tracciare e quindi scrivere le equazioni delle rette tangenti alla

parabola che passano per il punto A(8;0).

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