Lenguajes Regulares y Autómatas Finitos - Clase 9

ING. JORGE BUABUD

LENGUAJES REGULARES Y

AUTÓMATAS FINITOS

U.T.N. – F.R.T.

S. y S. de los L.

AUTÓMATAS FINITOS NO DETERMINISTAS:

Son aquellos AF cuyas relaciones de transición pueden tener varias reacciones para un mismo estímulo.Podemos distinguir 3 modelos que tienen esta característica, los mismos difieren en el dominio de la relación de transición y son totalmente equivalentes:

1) AFND = Q, , Q0 , F, f con f: Q x 2Q

donde Q0Q es un subconjunto de estados iniciales.

2) AF- = Q, , q0 , F, f con f: Q x {} 2Q

donde la entrada puede ser vacía o sea transicionar sin leer.

3) AF-Lazy = Q, , q0 , F, f con f: Q x * 2Q

donde la entrada puede ser una palabra cualquiera sobre .

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EJEMPLOS DE AUTÓMATAS NO DETERMINISTAS:

ER = a.(a+b)*.b

AFND2

a,b

2 31 a b

ER = c.a*.b*+(c.b)*.c.a.c.b*

AFND1

a31 c b

5 c

b

2bc4

6 ac

ER = c.a*.b*+(c.b)*.c.a.c.b*

AF-1

a31 c

5c

b

bc4

6ac

7

ER = c.a*.b*+(c.b)*.c.a.c.b*

AF-Lazy1

a3

1c

4

cac

b

cb

2

7

2

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REPRESENTACIÓN MATRICIAL:

En esta formade representarla relación detransición, sedebe tener en cuenta que unelemento del

rango es en general un subconjunto.Por eso se los coloca entre llaves y cuando es vacío se usa el símbolo .

AF-1 a b c

1 {2} {5}

2 {2} {3}

* 3 {3}

4 {4}

5 {4,6}

6 {7}

7 {3}

AF-Lazy1 a b c cb cac

1 {2} {4}

2 {2} {3}

*3 {3}

4 {4} {3}

AFND2 a b

1 {2}

2 {2} {2,3}

* 3

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EQUIVALENCIA ENTRE LOS 3 MODELOS:

Como dijimos anteriormente, los tres modelos no deterministas

son equivalentes y se puede pasar de uno a otro fácilmente.

Podemos afirmar que el formato del AF-Lazy incluye al AF-.

Por otro lado el AFND puede considerarse como un caso

particular del AF-, donde los distintos estados iniciales que se

permite, pueden confluir en uno solo mediante transiciones .

De igual modo, cuando trabajamos con AF- se puede unificar los

estados finales con transiciones .

Las transiciones permiten en general disminuir la cantidad de

transiciones del AF y las transiciones con “palabras” contribuyen

a la reducción de la cantidad de estados del AF.

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EJEMPLO DE EQUIVALENCIA ENTRE AFND Y AF- :

AFND3

a

5

1

a

b2

b

b

3b

a

4

a

a

7

a,b

a

a b

b

b

AF-2

a1b

2

b

b

8

b

a

4

a

a

b

67

a,b

a

b

0

3

6

5

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EJEMPLO DE EQUIVALENCIA ENTRE AFND Y AF-Lazy:

AFND4 AF-Lazy2

a

6b

c2

b3

b

c

4

a

7a

a c

b

1

5

c

cab, bb, cacbc4

ca

caa

aa

3

10

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ASOCIACIÓN ENTRE AF Y GR:

Existe una analogía entre los AF = Q , , q0 , F, f descriptos hasta

ahora, ya sean deterministas o no, con las GR = N , T , P, S .

ALGORITMO AFGR

N=Q , T= , S=q0

f(q,w)=p qwp

P f(q,w)F qw

q0F q0

ALGORITMO GRAF

Q=N{E} , =T , q0=S , F={E}

N1wN2 f(N1,w)=N2

f N1w f(N1,w)=E

S f(S,)=E

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EJEMPLOS DE TRANSFORMACIÓN DE AF A GR:

Para mayor claridad se ha realizado algunos cambios en los

nombres de los estados y se ha eliminado no-terminales inútiles:

AFND2 GR

N={S, A} , T={a, b}

P={ SaA , AaA|bA|b }

AF-2 GR

N={S, A, B, C, D, E, F, G}

T={a, b}

P={ SA|D|F , AaA|bB ,

BaC|bE|aD , CaC| ,

DbA|bE , EbE| ,

FaG|bF| , GB|aG|bG}

AF-Lazy1 GR

N={S, A, B, C} , T={a, b, c}

P={ ScA|C , AaA|B| ,

BbB|b , CcacB|cbC|cac }

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EJEMPLOS DE TRANSFORMACIÓN DE GR A AF:

aa

FSaba

Aba

B

bb ,

a

AF-Lazy3GR={S, A, B} , {a, b} , P , S

S abaB | bb | | A

P A baS | a

B aaA |

F

Ba

a

ACa

b

b

Sa

b

b

GR={S, A, B, C} , {a, b} , P , S

S aBA bC | bA | bB aC | bB | aC aA

P

AFND5

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OPERACIONES CON AUTÓMATAS FINITOS:

UNIÓN:

La Unión de dos AF, ya sean deterministas o no, en general da como

resultado un AF-Lazy tal que reconoce la unión de los lenguajes que

aceptan los autómatas operandos.

El mecanismo consiste en crear un estado inicial nuevo y definir

transiciones- desde éste hacia los estados iniciales de los AF de partida.

AF1

AF2

AF3

AF3 = AF1AF2

L(AF3)=L(AF1)L(AF2)

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EJEMPLO DE UNIÓN:ER = ((a+b+c).(a+b+c))*+ c.a*.b*+(c.b)*.c.a.c.b*


AF-Lazy4

AFD7

6 75a, b, c

a, b, c

a, b, c

AF-Lazy1a

3

1c

4

cac

b

cb

2

0

AF-Lazy4 a b c cb cac

0 {1,5}

1 {2} {4}

2 {2} {3}

*3 {3}

4 {4} {3}

*5 {6} {6} {6}

6 {7} {7} {7}

*7 {6} {6} {6}

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CONCATENACIÓN:

La Concatenación o Producto de dos AF, ya sean deterministas o no, en

general da como resultado un AF-Lazy tal que reconoce el producto de

los lenguajes que aceptan los autómatas operandos.

El mecanismo consiste en colocar transiciones- desde todos los finales

del primero al inicial del segundo. Estos estados pasan a ser comunes.

AF3 = AF1.AF2 , L(AF3)=L(AF1).L(AF2)

AF1 AF2AF3

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EJEMPLO DE CONCATENACIÓN:ER = ((a+b+c).(a+b+c))*.(a.b.a.a.a.b.a+b.a)*.(a.b.a.a.a.a+a.b.a+b.b+a+)

aa

74aba

5ba

6

bb ,

a

AF-Lazy3AFD7

2a, b, c

a, b, c

a, b, c

1 3

AF-Lazy5

AF-

Lazy5a b c aa ba bb aba

1 {2} {2} {2} {4}

2 {3} {3} {3}

3 {2} {2} {2} {4}

4 {7} {6} {5,7}

a b c aa ba bb aba

5 {7} {4}

6 {5} {7}

*7

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ESTRELLA DE KLEENE:

La operación Estrella de Kleene de un AF, ya sea determinista o no, en

general da como resultado un AF-Lazy tal que reconoce la estrella de

Kleene del lenguaje que acepta el autómata base.

El mecanismo consiste en colocar transiciones- desde todos los finales al

inicial y crear un nuevo inicial/final con una transición- al inicial viejo.

AF3 = AF1*

L(AF3)=L(AF1)*

AF1

AF3

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EJEMPLO DE ESTRELLA DE KLEENE:

ER = (b.b*.(a.b.(a+b.b.b)*.(a+b.b.b+b)+a.b+b)+b)*

AF-3

b

1

4

32

6

5

b

b,a

a

ba

a b

a

ab

AFD4

0

AF-3 a b

0 {1}

1 {4} {2}

*2 {3} {2} {1}

3 {4} {6}

4 {4} {4}

*5 {4} {3} {1}

*6 {6} {5} {1}

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ESTRELLA POSITIVA:

La operación Estrella Positiva de un AF, ya sea determinista o no, en

general da como resultado un AF-Lazy tal que reconoce la estrella

positiva del lenguaje que acepta el autómata base.

El mecanismo consiste en colocar transiciones- desde todos los finales al

inicial.

AF3 = AF1+

L(AF3)=L(AF1)+

AF1AF3

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EJEMPLO DE ESTRELLA POSITIVA:

ER = X.X*

X = a*.b.b*.

(a.b.b*+a+b)

+ a*.b

ER = ((a+b+c).(a+b+c))*

AF-5AFD7

2 31a, b, c

a, b, c

a, b, c

AF-4 a b

1 {1} {2}

*2 {3} {2} {1}

*3 {4} {3} {1}

4 {4} {4}

AF-5 a b c

*1 {2} {2} {2}

2 {3} {3} {3}

*3 {2} {2} {2} {1}

AF-4b

1

2

3

ba

4b,a

a

ba

AFD2

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INVERSA:

La Inversa de un AF, ya sea determinista o no, en general da como

resultado un AF-Lazy tal que reconoce la inversa del lenguaje que

acepta el autómata base.

El mecanismo consiste en invertir todas las transiciones del AF, luego

crear un nuevo estado inicial con transiciones- hacia todos los estados

finales, éstos pierden tal condición y el estado inicial viejo pasa a ser el

único final.

AF1AF3

AF3 = AF1-1

L(AF3)=L(AF1)-1

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EJEMPLO DE INVERSA:

ER = (b+b.a+(a+b.b.b+b).(a+b.b.b)*.b.a).b.b*+b

AF-6 a b

0 {2,5,6}

*1

2 {2,1}

3 {2} {5}

4 {1,3,

4,5}{4}

5 {6}

6 {6} {3}

AF-6

b

0

4

3b

b,a

a

ba

a

ba

a

b

AFD4

1

6

5

2

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COMPLEMENTO:

Para obtener el Complemento de un AF, o sea el AF que reconozca el

complemento del lenguaje que acepta el autómata base, se requiere que

el modelo sea DETERMINISTA y completo.

El mecanismo consiste en convertir en finales los estados no-finales y

viceversa.

AF3 = AF1

L(AF3)= L(AF1)

AF1 = Q1 , , q10 , F1 , f1

AF3 = Q3 , , q30 , F3 , f3

Q3=Q1 , q30=q10 , f3=f1

F3=Q1-F1

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EJEMPLO DE COMPLEMENTO:

ER = b.b*.(a.(b.b.b)*.((a+b.a*.b.a).(a+b).(a+b)*+b.a.a+b.b.b+a)+a)+a.(a+b)*+

AFD14

b

2

6

5

1

4

3b

b,a

a

ba

a b

a

ab

AFD4

AFD14 a b

*1 4 2

2 3 2

*3 4 6

*4 4 4

5 4 3

6 6 5

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INTERSECCIÓN:

Para obtener la Intersección de dos AF, o sea el AF que reconozca la

intersección de los lenguajes que aceptan los autómatas operandos, se

requiere que los modelos sean DETERMINISTAS y completos.

El mecanismo se representa formalmente a continuación:

AF1 = Q1 , , q10 , F1 , f1

AF2 = Q2 , , q20 , F2 , f2

AF3 = Q3 , , q30 , F3 , f3

Q3Q1xQ2 , q30=[q10 , q20] , F3F1xF2

f3([q1,q2],x)=[f1(q1,x) , f2(q2,x)]

AF3 = AF1AF2

L(AF3)=L(AF1)L(AF2)

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EJEMPLO DE INTERSECCIÓN:

ER = (a+b+c).((a+b).(a+b))*.(a.c.a+b.c.a+c).(a.a)*

AFD5

5 6a, b, c c4

a, b a

7a, b, cb, c

AFD7

2 31a, b, c

a, b, c

a, b, c

AFD15 a b c

0={1,4} 1 1 1

1={2,5} 3 3 2

*2={3,6} 4 5 5

3={3,5} 1 1 4

4={2,6} 2 6 6

5={2,7} 6 6 6

6={3,7} 5 5 5

Aplicando el

mecanismo de

minimización se

determina que los

nuevos estados 5 y 6

son equivalentes.

Con lo que el AFD15

mínimo queda:

AFD15

0 1

3

5

2

4

a, b, c

c

c

a, b a a, b, c

b, c

b, c

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