Lemniscata

En matemtica, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuacin en coordenadas cartesianas:

La representacin grfica de esta ecuacin genera una curva similar a

. La curva se ha

convertido en el smbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemtica. El smbolo en s mismo es, a veces, llamado lemniscata. Su representacin en Unicode es y su cdigo es (). La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como la modificacin de una elipse, curva que se define como el lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es una constante. En contraposicin, una lemniscata es el lugar geomtrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llam lemniscus, que en Latnsignifica "cinta colgante". La lemniscata puede ser obtenida como la transformada inversa de una hiprbola, con el crculo inversor centrado en el centro de la hiprbola (punto medio del segmento que une los dos focos).

LEMNISCATA DE BERNOULLI J. VELZQUEZ TORRES; PROFESOR DE CARRERA; juanveto@hotmail.com RESUMEN El objetivo de esta ponencia, en la modalidad de cartel, es presentar diversos aspectos de la curva conocida como Lemniscata de Bernoulli; se presentar su ecuacin cartesiana y su ecuacin en

coordenadas polares as como su grfica para diferentes casos. En el cartel se ilustrar, adems, un mtodo geomtrico para trazar dicha curva, se incluir una nota histrica de James Bernoulli de quien la lemniscata recibe su nombre y el significado del nombre de la curva. Como una forma ldica de estudiar a esta curva, se presentarn fotografas en las cuales se muestran cortes de una dona (toroide) con planos paralelos a su eje, en uno de esos cortes aparece la lemniscata. Atendiendo la inquietud de los alumnos por saber donde son utilizados estos tpicos de la matemtica, se presentarn algunas aplicaciones a la ingeniera.

GggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggUna cicloide es una curva generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una lnea recta directriz, sin deslizarse.

La cicloide fue estudiada por primera vez por Nicols de Cusa y, posteriormente, por Mersenne (monje, amigo de Descartes). Galileo en el ao 1599 estudi la curva y fue el primero en darle el nombre con la que la conocemos. Galileo intent averiguar el rea de esta curva sumando diferentes segmentos rectos situados sobre la misma, mediante aproximacin. Algunos aos despus, en 1634, G.P. de Roberval mostr que el rea de la regin de un bucle de cicloide era tres veces el rea correspondiente a la circunferencia que la genera. En 1658, Christopher Wren demostr que la longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el dimetro de la circunferencia generatriz.

UsosEn el diseo de los dientes de los engranajes se emplean curvas cicloides (as lo propuso Grard Desargues en el ao 1630). En Fsica se puede ver que un pndulo que tenga por lmites una curva cicloide es iscrono y el centro de gravedad del pndulo describe a su vez una cicloide. Un uso practico es el diseo de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se utilizaron en la industria aeronatica, pues se requera una forma apropiada de salir deslizndose desde un avin en caso de emergencia.

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Folium de Descartes

Folium de Descartes x3 + y3 3axy = 0, a = 1.

El folium de Descartes (hoja de Descartes) es una curva algebraica propuesta por vez primera por Descartes en 1638 con la ecuacin implcita: x3 + y3 3axy = 0 Que tambin puede ser descrita explcitamente en coordenadas polares como:

Ecuacin de la tangenteUsando el mtodo de diferenciacin implcita, la ecuacin anterior puede resolverse para y':

Usando la forma punto-pendiente de la ecuacin de una lnea, puede hallarse una ecuacin para la tangente de la curva en (x1,y1):

[editar]Tangentes

horizontal y vertical

La lnea tangente del folium de Descartes es horizontal cuando ay x2 = 0. Por tanto, la lnea tangente es horizontal cuando: x = 2a x6 3 3

La lnea tangente del folium de Descartes es vertical cuando y2 ax = 0. Por tanto, la lnea tangente es vertical cuando: y = 2a y6 3 3

Esto puede explicarse gracias a una propiedad de la simetra de la curva. Mirando el grfico, puede verse que la curva tiene dos tangentes horizontales y dos tangentes verticales. As pues, la curva del folium de Descartes es simtrica respecto a y = x, por lo que si una tangente horizontal tiene una coordinada de (x1,y1), entonces hay una tangente vertical correspondiente, (y1,x1). [editar]Asntota La curva tiene una asntota: x+y+a=0 La asntota tiene un gradiente de -1 y una interseccin en x y en y de a. [editar]Componentes

algebraicas del folium de

DescartesSi se resuelve x3 + y3 = 3axy para y en funcin de x, se obtienen las siguientes funciones:

y

Puede comprobarse que la diferenciacin implcita es un mtodo mucho ms simple de obtener una ecuacin para la tangente de la curva, en lugar de intentar diferenciar las anteriores ecuaciones, que son mucho ms complejas que x3 + y3 = 3axy. Adicionalmente, es posible ver intuitivamente que resulta imposible hallar una frmula general para las races de una ecuacin n-sima, si n es un entero mayor que 4.