LEMBAR KERJA SISWA - · PDF fileIndikator : 3.1.1. Mengenal ordo dan letak setiap elemen...

LKS Matriks (pengertian, kesamaan,transpose, operasi dan sifat matriks) Hal. 1

LEMBAR KERJA SISWA

1. Judul (Materi Pokok) : Pengertian, Kesamaan, Transpos, Operasi dan Sifat Matriks

2. Mata Pelajaran : Matematika

3. Kelas / Semester : XII / 1

4. Waktu : 4 x 45 menit

5. Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks , vektor dan transformasi dalam

pemecahan masalah.

6. Kompetensi Dasar : 3.1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan

bahwa suatu matriks persegi mempunyai invers

7. Indikator : 3.1.1. Mengenal ordo dan letak setiap elemen matirks 3.1.2. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks 3.1.3. Menurunkan sifat-sifat operasi matriks melalui contoh 3.1.4. Mengenal invers matriks persegi.

8. Petunjuk Belajar (bagi peserta didik)

a. Baca buku paket Matematika yang berkaitan dengan pengertian, kesamaan, transpose, operasi dan sifat

matriks.

b. Baca seksama LKS sebelum anda melakukan interaksi dengan program

c. Lakukan menurut langkah-langkah yang telah disajikan.

9. Informasi :

• Matriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam bentuk persegipanjang yang diatur menurut baris dan kolom.

• Dua buah matriks A dan B disebut sama jika : 1). Ordonya sama dan, 2). Elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama

• Transpos dari matriks A adalah matriks baru yang disusun dengan cara menuliskan baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru, baris kedua matriks A menjadi kolom kedua matriks yang baru, baris ketiga matriks A menjadi kolom ketiga matriks yang baru,… dan seterusnya. Transpos dari matriks A ditulis A’ atau A

t ( dibaca “A transpos”)

• Matriks A + B mempunyai ordo yang sama dengan ordo matriks A dan ordo matriks B. Apabila ordo matriks A dan ordo matriks B berlainan, maka penjumlahan matriks tidak didefinisikan.

• Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B.

• Jika A adalah sebuah matriks dan k adalah bilangan real maka kA adalah matriks yang diperoleh dari A dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

• Jika A dan B matriks berordo m x n serta p dan q anggota R, maka (i) pA + q A = (p + q)A (ii) (ii) p(A + B) = pA + pB (iii) (iii) p(qA) = (pq)A

• Aturan melakukan perkalian matriks adalah mengalikan baris – baris dengan kolom-kolom dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu

• Jika A =

d

b

c

a dan B =

y

x maka hasil perkalian A.B didefinisikan dengan persamaan

A . B =

d

b

c

a .

y

x =

+

+

ydxc

ybxa


• Jika A =

d

b

c

a dan B =

s

q

r

p maka hasil perkalian A.B didefinisikan dengan persamaan

A . B =

+

+

+

+

=

dscq

bsaq

drcp

brap

s

q

r

p

d

b

c

a.

• Perkalian matriks mempunyai sifat :

1. Tidak komutatif , AB ≠ BA 2. Asosiatif, A(BC) = (AB)C

3. Terdapat matriks identitas I =

1

0

0

1

4. Distributif terhadap penjumlahan, A( B + C) = AB + AC dan (B + C)A = BA + CA

• Jika matriks A =

dc

ba maka determinan matriks A ditentukan oleh

det A = dc

ba = ad – bc

• Jika ad – bc ≠ 0 maka matriks A =

dc

ba mempunyai invers

A–1

=

−

−

− ac

bd

bcad

1

• Jika det A = 0 atau ad – bc = 0 maka matriks A tidak mempunyai invers, dan matriks semacam ini disebut matriks singular.

• Misalkan A adalah matriks berordo 3 yang dituliskan dalam bentuk :

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

, maka determinan matriks A itu dituliskan sebagai :

det A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Nilai determinan matriks A dapat ditentukan dengan cara menjabarkan mengikuti kolom. Misalnya, nilai det A yang dijabarkan mengikuti baris pertama adalah :

det A = a11

3332

2322

aa

aa – a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa

Cara lain untuk menghitung determinan matriks berordo 3 diatas adalah dengan menggunakan aturan Sarrus, sebagai berikut :

det A =

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a31 a22 a13 – a32 a23 a11

11

+

_ __

+ +

21

31

a 12

22

32

13

23

33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

11 12

21 22

31 32


10. Langkah Kerja

Tugas 1. Salin dan lengkapilah

Data absensi siswa pada kelas 12 selama satu semester disajikan dalam tabel berikut

Sakit Ijin Tanpa Keterangan

Andi

Beni

Caca

Dani

4

2

1

2

1

1

1

3

5

2

0

3

Dari data tersebut di atas, maka dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

.............

............

............

............

Tugas 2. Carilah data yang lain di kelasmu kemudian ditulis dalam bentuk matriks Tugas 3. Salin dan lengkapilah

Tentukan nilai x dan y dari persamaan

=

−

+

6

4

yx

yx

Jawab:

x + y = ...... (1)

x – y = ...... (2) _

........ = .......

..... = ...... disubstitusikan pada persamaan (1) diperoleh

..... + .....= .....

......= .....

Sehingga x = ..... dan y = .....


Diketahui A =

612

543 dan B =

+

+

d

c

ba

35

12

21

Jika A = Bt , tentukan nilai-nilai a, b, c dan d.

Jawab :

Bt =

+

...................

52...... c

Karena A = Bt maka

612

543 =

+

...................

52...... c

Sehingga diperoleh persamaan-persamaan ...... = 3 didapat ...... = ...... ...... = 2 didapat ...... = ….. c + 2 = … didapat c = … ........ = …. didapat .... = …

Jadi A = Bt untuk nilai a = … b = … c = … dan d = …


Tentukan penjumlahan matriks:

=

+

+

+

+

=

−

+

...

...

...

...

.........

..........

........

22

24

32 aa

d

c

b

a

d

c

b

a



Diketahui P =

− 4

2

1

3 dan Q =

− 5

0

1

2

Tentukan P – Q Jawab.

P – Q =

....

....

.....

..... –

....

....

.....

..... =

....

....

.....

.....


Diketahui A =

4

3

2

1 berdasar aturan penjumlahan matriks kita peroleh.

A + A + A =

....

....

....

.... +

....

....

....

.... +

....

....

....

.... +

....

....

....

....

=

....

....

....

....

=

...x...

...x...

...x...

...x3

= …

....

....

....

....


Hitunglah jika mungkin hasil perkalian

8

7

6

.5

3

0

2

4

1

Jawab. Ordo kedua matriks itu adalah ( 2 X 3 ) dan ( 3 X 1 ) , jadi ordo matriks hasil kalinya adalah ( 2 X 1 )

8

7

6

.5

3

0

2

4

1 =

++

++

8 x 5 ........x... 6 x 4

........x... ........x... ........x...

=

++

++

40 .... 24

.... .... ....

=

.......

.......


Diketahui P =

1

2

3

1 dan Q =

0

5

2

4

Tentukan P . Q dan Q . P

P . Q =

1

2

3

1 .

0

5

2

4 =

+

+

+

+

x........x........

x............x....

2x...4x...

x...2...x1

=

+

+

+

+

..........

..........

.........

......... =

.....

.....

.....

.....


Q . P =

0

5

2

4 .

1

2

3

1 =

+

+

+

+

x........x........

x............x....

....x...x........

x...........x....

=

+

+

+

+

..........

..........

.........

.........=

.....

.....

.....

.....

Disimpulkan bahwa perkalian matriks tidak mempunyai sifat komutatif, sehingga PQ ≠ QP Tugas 10. Salin dan lengkapilah

Tentukan determinan matriks A =

45

23

Jawab :

det A = 45

23 = (..... x .....) – (...... x .....) = .......


Jika A =

1-3

2-5 dan B =

53-

21- menunjukan bahwa matriks A dan B saling invers.

Jawab : Untuk menunjukan A dan B saling invers harus ditentukan bahwa A . B = B . A = I

A . B =

1-3

2-5

53-

21- =

+

+

+

+

..........

..........

.........

.........=

............

........... = I

B . A =

53-

21-

1-3

2-5 =

+

+

+

+

..........

..........

.........

.........=

............

........... = I

Karena A . B = I = B . A, maka A adalah invers B dan B adalah invers A.


Diketahui P =

34

46, tentukan P

–1 (invers matriks P)

Jawab :

det P = ...... x ...... – ...... x ....... = ..... – ...... = ...... det P ≠ 0 . Jadi ada P–1

P–1

=

−

.............

43

Pdet

1 =

−

.............

43

.......

1 =

.....

.....

.....

.....


Diketahui matriks A =

341

431

321

. Tentukan determinan matriks A .

Jawab : Determinan matriks A (dihitung dengan aturan Sarrus) adalah :

det A =

= ....x....x....+ ....x....x....+ ....x....x....– ....x....x....– ....x....x....– ....x....x.... = ..... + ..... + ..... – ..... – ..... – ..... = ..... – ..... = .....

Jadi determinan matriks A atau det A = ......

1 2 3

4

1

1 3

34

1

1

1

2

3

4

+

_ __

+ +


Penilaian

Penilaian kognitif : tes tertulis

Bentuk instrumen : soal uraian

Instrumen :

Kerjakan soal-soal dibawah ini

1. Tentukan x dan y berikut ini

a.

−

=

8

0

0

6

2

0

0

2

y

x

b. ( 3x -y ) = ( 12 -2 )

c.

=

−

+

1

5

2

3

y

x

2. Diketahui matriks-matriks

P =

+

+

−

−

−

fe

cd

ba

de

bc

a

2

2

2

1

dan Q =

−1

0

5

2

1

4

a. Tentukan transpos dari matriks P b. Jika P

t = Q, carilah nilai nilai a, b, c, d, e dan f

3. Diketahui matriks A =

43

21 , B =

14

32 dan C =

−

−

4

2

2

3

Tunjukkan bahwa (A + B) + C = A + (B + C) dan sifat apakah yang memenuhi dari hasil ini ?

4. Jika X adalah matriks berordo 2 X 2, tentukanlah matriks X yang memenuhi tiap persamaan berikut ini.

a. X +

=

6

5

2

4

3

4

1

2 c.

=−

− 8-

2-

4

3X

10

2

1

5

b. X –

=

3

0

2

1

2

4

1

5

5. Carilah nilai nilai p, q, r dan s pada tiap persamaan berikut ini:

a.

−

=

−

5

3

1

2

4

1

2

0

s

r

q

p c.

−

=

−

−

+−

−

4

1

3

3

5

2

3

1

1

1

3

2

s

r

q

p

b.

−

−

=

−

− 5

1

2

6

2

0

3

5

s

r

q

p

6. Diketahui matriks P =

−

1

1

3

2, tentukan 2P + 3P, 5P – 2P dan 2P + P !

7. Tentukan Hasil perkalian berikut ini, dalam bentuk paling sederhana .

a.

4

3.

1

0

0

1 d.

2

1.

5

3

4

2

b.

−

−

3

2.

1

0

0

1 e.

− 3-

1.

2

3

1

2

c.

−

3

1.

2

1

1

2


8. Kerjakan Perkalian berikut

a.

4

2

3

1 .

1

0

0

1 c.

d

b

c

a .

1

0

0

1

b.

1

0

0

1 .

4

2

3

1 d.

1

0

0

1 .

d

b

c

a

9. Jika A =

1

3

4

2 , B =

2

3

5

1 dan C =

− 2

0

1

5

Tentukanlah : a. AB d. A(BC) b. BC e. Sifat apakah yang terlihat dari hasil ini c. (AB)C

10. Perpangkatan dari matriks bujursangkar A didefinisikan sebagai berikut : A

2 = A . A , A

3 = A . A

2 , A

4 = A . A

3 dan seterusnya .

Diketahui A =

−1

2

3

1

Hitunglah a. A2

b. A3

11. Jika X =

− 2

3

0

1 tentukan matriks X

2 + 3X + 4I dengan I sebagai matriks identitas yaitu I =

1

0

0

1

12. Tentukan determinan dari setiap matriks berikut ini :

a.

12

54 b.

1-2

04- c.

+1aa

aa

13. Carilah nilai x pada tiap persamaan berikut ini :

a. 4-3

2 x = 10 b.

x

xx

21

3 –

22

34 = 0 c.

xx

x

2

41 + = 4x – 30

14. Diketahui matriks A =

34

46 dan B =

34

46

Tentukanlah : a. A B b. B A c. A–1

d. B–1

e. (A B)

–1 f. A

–1 B

–1 g. (B A)

–1 h. B

–1 A

–1

Hasil perkalian manakah yang sama ?.

15. Tentukan determinan dari setiap matriks A berikut ini :

a) A =

653

542

331

c). A =

−

−

−

112

211

121

b) A =

421

134

432

d). A =

213

321

132

LEMBAR KERJA SISWA - · PDF fileIndikator : 3.1.1. Mengenal ordo dan letak setiap elemen...

Documents

Transcript of LEMBAR KERJA SISWA - · PDF fileIndikator : 3.1.1. Mengenal ordo dan letak setiap elemen...