85

PJESA II - LËKUNDJET DHE VALËT

IX – Lëkundjet

Një dukuri që përsëritet në intervale kohe të barabarta quhet dukuri periodike . Ju njihni dukuritë tilla si p.sh : lëvizja lëkundëse e një trupi të lidhur me sustën , lëvizja e një lavjerrësi , vibrimet etelave të instrumentave muzikorë , lëkundja e molekulave të trupit të ngurtë rreth pozicionit tëekuilibrit etj. Në këtë kapitull ne do të shqyrtojmë sistemet mekanike që kryejnë lëvizje periodike .Kemi trajtuar mjaft situata ku forca rezultante që vepron mbi një trup është konstante .Në këtosituata nxitimi i trupit është gjithashtu konstant dhe lëvizjen e trupit e përshkruajmë duke përdorurekuacionet e njohura të kinematikës . Nëse një forcë ndryshon me kohën , nxitimi gjithashtundryshon me kohën dhe nuk mund të përdorim këto ekuacione.Këtu do të paraqesim kinematikëndhe dinamikën e lëvizjes nën veprimin e një force që është proporcionale me zhvendosjen ngapozicioni i ekuilibrit.Lëkundje quajmë lëvizjen rreth një pozicioni ekuilibri të qendrueshëm dhe që përsëritet nëintervale kohe të barabarta .Të gjitha vlerat e madhësive fizike që karakterizojnë këtë lëvizjendryshojnë gjatë procesit të lëkundjes duke u përsëritur në intervale kohe të njëjta .

9.1 Lëkundje të thjeshta harmonikeKur forca që vepron mbi një pikë materiale është gjithmonë e drejtuar nga pozicioni i ekuilibritdhe është proporcionale me zhvendosjen e pikës nga pozicioni i ekuilibrit atëherë pika materialekryen lëkundje të thjeshta harmonike . E tillë është lëvizja e një trupi me masë m të lidhur me njësustë me koeficient elasticiteti k në një sipërfaqe të lëmuar (mungon fërkimi ). Kur susta është epangjeshur trupi qëndron në prehje në pozicionin e ekuilibrit x=0 .Nëse trupi cohet në pozicioninx duke e zgjatur sustën dhe lëshohet mbi të do të veprojë forca e elasticitetit të sustës epërcaktuar nga ligji i Hukut :

9.1

Kjo forcë quhet forcë kthyese sepse synon rikthimin e trupit në pozicionin e ekuilibrit:gjithmonë është në përpjestim të drejtë me zhvendosjen nga pozicioni iekuilibrit dhe e drejtuar nga pozicioni i ekuilibrit . Nuk është e vështirëtë tregohet se lëvizja e trupi të lidhur me sustën është lëvizje lëkundëse:vlerat e zhvendosjes , shpejtësisë , nxitimit dhe forcës ndryshojnë nëmënyrë periodike .Lëkundjet e një trupi nën veprimin e një force kthyese quhen lëkundjetë thjeshta harmonike .Një sistem që kryen lëkundje të thjeshta harmonike shpesh quhetoshilator harmonik .

fig 9.1

Ekuacioni i lëkundjeve të thjeshta harmonike

86

Le të mendojmë se një pikë materiale lëviz nën veprimin e një force të tipit elastik .

Duke zbatuar ligjin e dytë të Njutonit do të nxjerrim ekuacionin e lëvizjes së kësaj pike materialesipas drejtimit x . Dimë se :

duke zëvëndësuar dhe marrim :

9.2

Shënojmë raportin me simbolin : dhe ekuacioni 9.2 shkruhet në formën :

9.3

Ekuacioni 9.3 quhet ekuacioni diferencial i lëkundjeve të thjeshta harmonike .Zgjidhja e këtijekuacioni jep funksionin e zhvendosjes nga koha :

9.4ku , dhe janë konstante .Madhësia e barabartë me vlerën maksimale të x quhet

amplitudë e lëkundjeve , është frekuenca rrethore e lëkundjeve (e shprehur në rad/s)

, argumenti quhet fazë e lëkundjeve dhe është faza fillestare e lëkundjeve, faza nët=0 .Nga ekuacioni 9.43 nxirren gjithashtu edhe ekuacionet e shpejtësisë dhe nxitimit :

9.5

9.6

Duke krahasuar 9.4 me 9.6 shihet se :

Rëndësia e kushteve fillestarePër t=0 kemi dhe . Shihet se dhe varen nga kushtet fillestare :

dhe

Ekuacioni diferencial ka një pafundësi zgjidhjesh prej të cilave marrim zgjidhjen konkrete kurnjihen kushtet fillestare x0 dhe v0 , pra dhe .

87

Ekuacionet 9.1 , 9.3 dhe 9.4 janë baza e modelit analitik të lëkundjeve të thjeshta harmonike . Nesigurohemi që pika materiale kryen lëkundje të thjeshta harmonike nëse :

1) analizojmë situatën dhe gjejmë se forca e ushtruar mbi grimcë është e tipit elastik eshprehur nëpërmjet 9.1 .

2) analizojmë situatën dhe gjejmë se ekuacioni diferencial që përshkruan lëvizjen është iformës matematike 9.3

3) analizojmë situatën dhe gjejmë se pozicioni i grimcës përshkruhet nëpërmjet ekuacionit9.4 .

Perioda T e lëkundjeve është intervali i kohës gjatë së cilit pika materiale kryen një cikël të plotëlëkundjesh .Pra vlerat e x , v, a në castin t janë të njëjta me ato të castit t+T .Duke ditur se fazarritet me rad në intervalin e kohës T gjejmë lidhjen ndërmjet periodës dhe frekuencës rrethore:

9.7

Inversi i periodës quhet frekuencë e lëkundjeve e cila shprehet me hertz (Hz). Ndërsaperioda tregon kohën e një lëkundje të plotë , frekuenca tregon numrin e lëkundjeve në njësinë ekohës :

Perioda dhe frekuenca mund të shprehen nëpërmjet karakteristikave të sistemit lëkundës m dhe k:

9.8

9.9

Perioda dhe frekuenca varen vetëm nga m dhe k dhe nuk varennga amplituda e lëkundjeve .Vlerat ekstreme të zhvendosjes x janë , të shpejtësisë v janë

dhe të nxitimit a janë . Në figurën 9.2 tregohetparaqitja grafike e x, v dhe a për =0 . Vlerat maksimale tëshpejtësisë dhe nxitimit janë :

fig 9.2

Faza e shpejtësisë ndryshon nga faza e zhvendosjes me

88

,kur x është maksimal ose minimal shpejtësia është zero , ndërsa faza e nxitimit ndryshon

nga faza e zhvendosjes me , kur x është maksimal nxitimi është maksimal në kah të kundërt .

Energjia në lëkundjet e tjeshta harmonike

Kur një trup i lidhur me një sustë rrëshqet në një sipërfaqe të lëmuar , sistemi trup-sustë është njësistem i mbyllur .Atëherë ne mund të përdorim ligjin e ruajtjes së energjisë . Energjia potenciale esistemit dhe energjia kinetike ndryshojnë me kohën , por energjia mekanike e sistemit mbetetkonstante .Energjia kinetike në sistemin trup-sustë ku masa e sustës është e papërfillshme është ebarabartë me energjinë kinetike të trupit me masë m :

9.10

Energjia potenciale është energjia e bashkëveprimit të sistemit trup-sustë dhe përcaktohet ngakonfiguracioni i sistemit .Për cdo pozicion x ajo është :

9.11

Shihet se energjitë K dhe U janë gjithmonë pozitive dhe ndryshojnë me kohën. Energjia e plotëpër oshilatorin e thjeshtë harmonik është :

pra : 9.12

Energjia e plotë mekanike në lëkundjet e thjeshta harmonike është konstante dhe ështëproporcionale me katrorin e amplitudës .Ky përfundim shpreh ligjin e ruajtjes së energjisë përlëkundjet e thjeshta harmonike . Shndërrimet e energjisë kinetike dhe potenciale janë shndërrimetë kthyeshme , pa humbje .Në pozicionin e ekuilibrit x=0 energjia potenciale është e barabartë mezero U=0 dhe energjia e plotë është e barabartë me energjinë maksimale kinetike :

Në pozicionet ekstreme ku energjia e plotë është e barabartë me energjinë maksimalepotenciale të sistemit :

89

Në figurën 9.3 tregohet paraqitja grafike e energjisëkinetike , potenciale dhe energjisë së plotë në lidhje mekohën kur =0 .Ne mund të përdorim ligjin e ruajtjes së energjisë për njëpozicion dhe shpejtësi cfarëdo :

nga ku gjejmë se : 9.13 fig 9.3

Disa sisteme lëkundës

Shembull 1 Trupi i varur në një sustë

Le të shqyrtojmë lëkundjet e një trupi të varur në një sustë .Në këtë rast , mbi trup vec forcëselastike të sustës vepron dhe forca e rëndesës mg. Nëse zgjedhim poshtë drejtimin pozitiv , forcarezultante që vepron mbi trup është :

Trupin e tërheqim poshtë me y’=A dhe pastaj e lemë të l i r ë.Shënojmë me y0 shformimin e sustës në pozicionin eekuilibrit dhe shprehim :

Duke zëvëndësuar marrim :

Zbatojmë ligjin e dytë të Njutonit dhe marrim :

ose

9.14

Kjo do të thotë se ekuacioni diferencial 9.14 është i fig 9.4 formës 9.3 , pra trupi i varur në sustë kryen lëkundje të thjeshta harmonike rreth pozicionit të

ekuilibrit . Frekuenca e lëkundjes është e njëjtë me atë të sistemit trup-sustë horizontal

, ndryshon vetëm pozicioni i ekuilibrit .

90

Shembull 2

Lavjerrësi matamatikLavjerrësi i thjeshtë është një shembull tjetër i lëvizjesperiodike . Ai përbëhet nga një trup me masë m të varur n ënjë fije të lehtë me gjatësi l .Pika e varjes së fijes është efiksuar . Përmasat e trupit janë shumë më të vogla segjatësia e fijes .Kur trupin e ngremë në një farë lartësie d h ee lemë të lirë , ai do të lëkundet rreth pikës më të ulët , qëështë dhe pozicioni i ekuilibrit . Lëvizja kryhet në planinvertikal .Forcat që veprojnë mbi trup janë tensioni i fijes dheforca e rëndesës . Shihet se komponentja tangenciale eforcës së rëndesës është e drejtuar gjithmonë drejtpozicionit të ekuilinrit . Tregohet lehtë se ajo është në përpjestim të drejte me zhvendosjen fig 9.5këndore për kënde të vegjël . Pra ajo është një forcë kthyese . Nën veprimin e saj lavjerrësimatematik kryen lëkundje të tjeshta harmonike . Duke zbatuar ligjin e dytë të Njutonit nxirret ekuacioni i lëkundjeve të lavjerrësit matematik :

ku

ose 9.15

Shihet se ekuacioni diferencial është i formës 9.3 . Që këtej mund të nxjerrim periodën elëkundjeve të lavjerrësit matematik :

Perioda e lëkundjeve të lavjerrësit matematik varet vetëm nga gjatësia e fijes dhe nga nxitimi irënies së lirë .Meqënëse perioda nuk varet nga masa të gjithë lavjerrësat me gjatësi të njëjtë në tënjëjtin pozicion kanë periodë të njëjtë.Lëkundja e lavjerrësit matematik është krejt analoge me lëkundjen e sistemit trup-sustë(lavjerrësit elastik) .

Shembull 3Lavjerrësi fizik

91

Një trup i ngurtë i cili mund të rrotullohet rreth një boshti që nuk kalon nga qendra e masës quhetlavjerrës fizik .Shqyrtojmë një trup të ngurtë i varur në një pikë nëdistancë d nga qendra e masës(fig9.6 ) .Momenti rrotullues rreth boshtitO shkaktohet nga forca gravitacionale dhe madhësia e tij është

.Duke përdorur ligjin e dytë të Njutonit për lëvizjenrrotulluese gjejmë :

Me përafrimin nxjerrim ekuacionin e lëkundjeve të lavjerrësitfizik :

9.16

Ekuacioni diferencial 9.16 ka formë të njëjtë me ekuacionin 9.3 fig 9.6 Kjo do të thotë se lavjerrësi fizik kryen lëkundje të thjeshta harmonike . Duke krahasuar këto dyekuacione tregohet se perioda e lëkundjeve është :

9.17

Duke futur shënimin ku quhet gjatësia e reduktuar e lavjerrësit fizik, tregohet se

perioda e lavjerrësit fizik është e njëjtë me periodën e lavjerrësit matematik me gjatësi sa gjatësia e

reduktuar e tij : .

2 Lëkundjet që shuhen

Në shumë sisteme realë , forcat rezistente , si p.sh forcat e fërkimit , janë të pranishme , ato kanëkah të kundërt me atë të lëvizjes dhe ngadalësojnë lëkundjet e sistemit .Puna e forcave rezistenteështë negative dhe si rrjedhim energjia mekanike e sistemit zvogëlohet me kalimin e kohës . Kemikështu lëkundje që shuhen.Le të shqyrtojmë një trup i cili lëviz brenda një lëngu apo gazi nën veprimin e forcës elastike dheforcës rezistente (fig 9.7). Dihet se forca rezistente që vepron mbi trup ështënë përpjestim të drejtë me shpejtësinë dhe ka kah të kundërt me të :

, dhe forca elastike është : . Duke zbatuar ligjin e dytë

të Njutonit marrim :

ose

9.18

fig 9.7

92

Zgjidhja e ekuacionit diferencial 9.18 është : 9.19

dhe frekuenca këndore e lëkundjes është :

9.20

Vihet re se ekuacioni 9.19 është i ngjashëm me ekuacionine lëkundjeve me dallimin se amplituda(termi para cosinus) varet nga koha . Figura 9.8 paraqet varësinë e zhvendosjes nga koha tëlëkundjeve që shuhen . fig 9.8Shihet se kur forcat rezistente janë relativisht të vogla , karakteri lëkundës i lëvizjes ruhet ,por amplituda e lëkundjeve zvogëlohet eksponencialisht me kohën dhe lëvizja vjen duke ushuar .

Meqë frekuenca këndore jepet me shprehjen 9.20 kemi disaraste :1- b=0 , forca rezistente është zero , sistemi lëkundet me

frekuencën , që quhet frekuenca vetiake

(natyrale) e sistemit .

2- Kur kemi lëkundje që shuhen (vija a).

fig 9.9

3- Kur atëherë nuk kemi lëkundje periodike : sistemi kthehet në

pozicioni i ekuilibrit në mënyrë eksponenciale (vija b).

4- Kur sistemi i nxjerrë nga pozicioni i ekuilibrit kthehet në këtë gjendje për

(nuk kthehet më ),lëvizja e sistemit quhet shuarje joperiodike(vija c).Meqënëse energjia e lëkundjeve është proporcionale me katrorin e amplitudës atëherë energjia elëkundjeve gjithashtu zvogëlohet eksponencialisht me kohën

Lëkundjet e detyruara

Energjia mekanike e lëkundjeve që shuhen zvogëlohet me kohën si rezultat i forcave të fërkimit .Kompesimi i energjisë mund të bëhet duke zbatuar një forcë të jashtme që kryen punë pozitivembi sistem , dike ruajtur kështu lëkundjet . Një lëkundje e tillë quhet lëkundje e detyruar.Amplituda e lëkundjeve merr shpejt një vlerë konstante nëse energjia që merr sistemi për cdocikël të lëvizjes është e barabartë me zvogëlimin e energjisë mekanike gjatë ciklit si rezultat iforcave rezistente .Një shembull i zakonshëm i lëkundjeve të detyruara është ai i lëkundjeve nën

93

veprimin e një force të jashtme që ndryshon periodikisht me kohën : ku është

frekuenca këndore e forcës detyruese dhe F0 është konstante . Në përgjithësi frekuenca eforcës detyruese është e ndryshme nga frekuenca vetiake e sistemit lëkundës .Ligji i dytë i

Njutonit në këtë situatë na jep :

ose : 9.21

Zgjidhja e këtij ekuacioni është :

9.22ku

9.23

dhe ku është frekuenca vetiake e oshilatorit .

Frekuenca e lëkundjeve të detyruara është frekuenca e forcës detyruese .Shprehja 9.23 tregon seamplituda e lëkundjeve të detyruara është konstante për një forcë detyruese të dhënë .Për shuarjetë vogla , amplituda rritet shumë kur frekuenca këndore e forcës detyruese i afrohet frekuencavetiake të lëkundjeve , pra kur . Rritja e theksuar e amplitudës pranë frekuencës vetiake

të sistemit lëkundës quhet rezonancë dhe frekuenca vetiake quhet frekuenca e rezonancës së

sistemit . Figura 9.10 tregon paraqitjen grafike të amplitudës në funksion të frekuencës së forcësdetyruese , me ndryshimin e forcës sezistente . Shihet se amplituda e lëkundjeve rritet mezvogëlimin e forcës rezistente , dhekurba e rezonancës ulet me rritjen e saj.Nëmumgesë të forcave të fërkimit . shihetnga 9.23 që amplituda e lëkundjeve në kushtet erezonancës rritet pafundimisht

.. Kjo situatë nuk ndodh në praktikësepse rezistencat janë gjithmonë të pranishmeNë rezonancë energjia që merr sistemi ështëmaksimale .

94

fig 9.10

X - VALËT MEKANIKE

Me lëvizjen valore jemi familjarizuar nga jeta e përditshme : p.sh formimi i valëve mbi sipërfaqen eqetë të një liqeni kur hedhim një guralec . Nëse ju do të ekzaminonit lëvizjen e një gjetheje qënoton në zonën e trazuar nga hedhja e guralecit , do të shihnit që gjethja lëviz lart-poshtë rrethpozicionit të saj origjinal , por nuk do të shihni asnjë zhvendosje rezultante të gjethes në drejtimine përhapjes së ngacmimit . Ngacmimi në ujë përhapet në një distancë të madhe , por pikat e ujitlëkunden vetëm në një distancë shumë të vogël - kjo është esenca e lëvizjes valore .Valë quhetdukuria e përhapjes së një ngacmimi fizik nga një pikë e hapësirës në pika të tjera të saj.Vala transporton energji dhe impuls , por nuk transporton lëndë .Bota është plotë me lloje të tjera valësh : valët në korda , valët zanore , valët sizmike ,valët eradios , rrezet x etj. Duke u bazuar në nevojën që kanë valët për mjedis për tu përhapur atondahen në : valë mekanike e cila ka nevojë për mjedis ku të përhapet dhe valëelektromagnetike e cila përhapet edhe në zbrazëti : vala mekanike është dukuria e përhapjes nëlëndë e ngacmimit të një madhësie që karakterizon lëndën .Vala elektromagnetike është dukuriae përhapjes në fushë e ngacmimit të një madhësie që karakterizon fushën . Valët që përhapen nënjë kordë , litar apo sustë përhapen vetëm në një drejtim , i quajmë valë lineare .Kur vala përhapet në një mjedis që nuk është i kufizuar por shtrihet në një zonë të gjerë tëhapësirës , në të gjitha drejtimet në hapësirë nga një pikë ku bëhet ngacmimi i tyre , quhet valëhapësinore .

Bashkësia e të gjithë elementeve të mjedisit ku ka arritur vala në një cast të dhënë quhet fronti ivalës. Sipas formës së frontit valor valët ndahen në valë të rrafshëta dhe valë sferike. Valët errafshëta mund të jenë plane kur fronti i valës është drejtëz (p.sh valët në sipërfaqen e ujit qëkrijohen nga një vizore që dridhet ),ose rrethore kur fronti i valës është rreth (p.sh valët nësipërfaqen e ujit që krijohen nga hedhja e një guri ).Vala quhet sferike kur fronti i valës është njësferë (p.sh valët zanore , valët e tërmetit, valët elektromagnetike ). Bashkësia e të gjithëelementeve të një sipërfaqeje të vazhduar tëmjedisit mjedisit , në gjendje të njëjtëlëkundëse formon një sipërfaqe vale . Vijatpingul me sipërfaqet e valës të orientuara sipasdrejtimit të përhapjes së saj quhen rreze të valës .

fig 10.1Në këtë kapitull ne do të përqëndrohemi nëstudimin e valëve mekanike .

95

10.1 Përhapja e valës dhe karakteristikat e saj

Lëvizja valore është transmetimi i ngacmimit pa u shoqëruar me transmetim të lëndës. Përhapja engacmimit paraqet një transmetim të energjisë , pra ne mund ti shohim valët si një mënyrë etransmetimit të energjisë . Të gjitha valët mbartin energji , por natyra e energjisë së transmetuardhe mekanizmi përgjegjës i energjisë së transmetuar ndryshon nga rasti në rast .P.sh fuqia e valëvetë oqeanit gjatë një stuhie është shumë më e madhe se fuqia e valëve zanore të lindura nga njëinstrument muzikor .Të gjitha valët mekanike kërkojnë : (1) një burim ngacmimi , (2) një mjedis që mund tëngacmohet dhe (3) një mekanizëm fizik përmes të cilit elementët e mjedisit të ndikojnë mbinjëri tjetrin . Pohimi i fundit siguron që ngacmimi i një elementi të shkaktojë ngacmimin e tjetritdhe kështu ngacmimi do të përhapet në mjedis .Kjo realizohet nga veprimi i forcave elastike tëcilat shfaqen kur mjedisi elastik (p.sh litari) pëson një shformim : kur një element i mjedisit duke ungacmuar del nga gjendja e ekuilibrit atëherë elementi fqinj përpiqet nëpërmjet forcave elastike takthejë atë në pozicionin e ekuilibrit . Por ky veprim është i ndërsjelltë , elementi tjetër del ngapozicioni i ekuilibrit e kështu me radhë. Në këtë mënyrë bëhet transmetimi i ngacmimit në tëgjithë elementët e mjedisit . Një mënyrë për të demonstruar lëvizjen valore është të ngacmojmë fundin e lirë të një litari tëtendosur dhe të fiksuar në skajin tjetër .

Një impuls i vetëm i formuar përhapet me një shpejtësi të caktuar . Litari është mjedisi kupërhapet ngacmimi . Forma e impulsit ndryshon shumë pak gjatë përhapjes së tij në litar .Kur një impuls përhapet , cdo element i litarit që ngacmohetlëviz në drejtimin pingul me drejtimin e përhapjes sëngacmimit . Në figurën 10.2 tregohet një element i vecantë nëpikën P . Shihet se nuk ka asnjë zhvendosje të kësaj pikepërgjatë litarit . Kur lëkundjet e pikave të mjedisit ngangacmimi i valës bëhet në drejtimin pingul me drejtimin epërhapjes së valës vala quhet tërthore .

Klasa tjetër e valëve , në klasifikimin sipas mënyrës së përhapjes ,është ajo e valëve gjatësore : kur lëkundja e pikave të mjedisit n g angacmimi i valës bëhet në drejtimin paralel me drejtimin epërhapjes së valës vala quhet gjatësore . P.sh , valët zanore në a j ë rjanë valë gjatësore . Ato i korespondojnë ndryshimeve tëtrysnisë së ajrit që mund të përhapen në ajër ose në një mjedis tjetër me një fig 10.2shpejtësi të caktuar .

96

Një impuls gjatësor mund tëkrijohet në një sustë të fiksuar nënjërin krah si në fig 10.3 , dukengjeshur (ose zgjatur ) skajin fig 10.3 e lirë . Impulsi i formuar do të përhapet përgjatë sustës. Valët gjatësore mund të përhapen në një mjedis cfarëdo (të ngurtë , të lëngët, të gaztë ) , ndërsavalët tërthore përhapen vetëm në mjedise të ngurta dhe në sipërfaqen e lëngjeve .

Deri tani ne vetëm kemi ilustruar përhapjen e një impulsi . Le të paraqesim tani mekanizmin epërhapjes së impulsit .Shqyrtojmë një impuls që përhapet nga e djathta me shpejtësi konstantenë një kordë të shtrirë sipas boshtit x si në fig 10.4.Impulsi zhvendoset përgjatë boshtit x dhezhvendosja lart-poshtë e pikave të kordës përshkruhet nëpërmjet koordinatës yFigura 10.4a tregon formën dhepozicionin e impulsit në castin t=0 .Kuptohet se kjo formë e impulsit mundtë paraqitet matamatikisht nëpërmjetnjë funksioni të dhënë si. Ky funksion paraqet pozicioninvertikal të pikave fig 10.4të kordës për cdo vlerë të xnë castin t=0 . Meqënëse shpejtësia e impulsit është , ai përhapetdjathtas në distancën gjatë kohës t(fig 10.4b) . Do të përdorim modelin e thjeshtuar në të cilinforma e impulsit nuk ndryshon me kohën . Atëherë , në castin t forma e impulsit është e njëjtë meme atë që ishte në castin t=0 . Rrjedhimisht , një element i kordës në x në këtë kohë ka të njëjtënkoordinatë y kur ky element ndodhej në në castin t=0 :

Në përgjithësi ne paraqesim zhvendosjen y për cdo vlerë të x dhe t , në sistemin e referimit tëpalëvizshëm me origjinë në O si :

10.1Kur impulsi përhapet majtas zhvendosja y jepet si :

10.2Funksionin y që ndryshe e quajmë ekuacioni i valës , varet nga dy variablat x dhe t .Është e rëndësishme të sqarohet kuptimi i y .Shqyrtojmë një pikë P në kordë e ndodhur nëpozicionin x . Nëse impulsi kalon në P , koordinata y e kësaj pike rritet , arrin në maksimum dhepastaj zvogëlohet deri në zero. Ekuacioni i valës y(x,t) paraqet zhvendosjen y për cdoelement të kordës në pozicionin x në cdo cast të kohës t . Nëse t është një cast i fiksuar ,grafiku i valës y në funksion të x, ndonjëherë quhët profili i valës , paraqitet me një vijë që ështëforma e impulsit në atë cast .

97

Shqytuam deri tani valën impulsive , që është përhapja e një impulsi të vetëm . Një valëharmonike do të krijohej , p.sh në një kordë n ë s enë skajin e lirë do të prodhojmë një lëkundje t ëthjeshtë harmonike. Në këtë rast ,korda merrformën e paraqitur në figurën 10.5 . Kjo valëquhet valë sinusoidale sepse profili i valësështë një sinusoidë .Pikat me zhvendosje më t ëmadhe pozitive quhen kreshta , pikat më të ulëtaquhen gropa. fig 10.5Cdo pikë e kordës lëkundet rreth pozicionit të ekuilibrit ndërmjet këtyre pozicioneve.Karakteristikat e rëndësishme në përshkrimin e valëve sinusoidale janë : gjatësia e valës ,frekuenca , amplituda dhe shpejtësia e valës v .

Një gjatësi vale është largësia minimale ndërmjet cdo dy pozicioneve identike të pikavenë një valë si kreshtat më të afërta ose gropat më të afërta të treguara në figurën 10.4 .

Perioda e valës T është intervali i kohës gjatë të cilit një element i mjedisit kryen një lëkundje tëplotë (përsërit gjendjen e tij lëkundëse ). Frekuenca e valës sinusoidale është e njëjtë mefrekuencën e lëkundjeve të thjeshta harmonike të një elementi të mjedisit . Ajo tregon numrin ekreshtave që kalojnë nëpër një pikë të caktuar në njësinë e kohës. Perioda është e barabartë meinversin e frekuencës :

10.3

Amplitudë e valës quhet zhvendosja maksimale e një elementi të mjedisit në lidhje mepozicionin e ekuilibrit . Ajo shënohet me A dhe është e njëjtë me amplitudën e lëkundjeveharmonike të elementit të mjedisit .

Shpejtësia v e valës është shpejtësia e përhapjes së një gjendje lëkundjeje nga një pikë emjedisit në një tjetër .Shpejtësia e valës ka drejtimin e përhapjes së valës ndërsa shpejtësia epikave ka drejtime dhe vlera që ndryshojnë me kohën . Një aspekt i rëndësishëm i valëvemekanike është që shpejtësia e valës varet vetëm nga cilësitë e mjedisit përmes të cilitpërhapet vala. Meqënëse perioda T është intervali i kohës gjatë të cilit vala përshkon një distancë sa gjatësia evalës , shpejtësia , gjatësia e valës dhe perioda lidhen me relacionin :

v 10.4

Shpejtësia e valës varet nga vetia e elasticitetit të mjedisit , nga vetia e inertësisë sëmjedisit(dendësia e mjedisit) ,nga gjendja në të cilën ndodhet mjedisi (tensioni , temperatura ,gjendja e lëndës së mjedisit ) dhe nga lloji i valës (tërthore apo gjatësore).Shpejtësia e të gjitha valëve mekanike jepet me shprehjen :

98

Për një valë që përhapet në një kordë , shpejtësia e valës jepet me shprehjen :

ku faktori i elasticitetit është tensioni në kordë . Është tensioni në kordë që kthen një element qëzhvendoset në pozicionin e ekuilibrit . Faktori i inertësisë është dendësia lineare e kordës .Shpejtësia e valës gjatësore në një shufër elastike jepet me :

ku E është moduli i Jungut dhe densiteti vëllimor i shufrës .Shpejtësia e përhapjes së valës tërthore jepet me :

ku G është moduli i rrëshqitjes .Moduli i elasticitetit të ngjeshjeve dhe rrallimeve të mjedisit ështëmë i madh se moduli i rrëshqitjes .Prandaj shpejtësia e valës gjatësore është më e madhe seshpejtësia e valës tërthore .

Vala bredhëse

Le të nxjerrim trajtën matematike të ekuacionit të valës sinusoidale . Në figurë paraqitet një valësinusoidale që përhapet djathtas me shpejtësikonstante v në castin t=0 dhe në një cast më vonë tKemi treguar se ekuacioni i valës jepet si :

.Në t=0 ekuacioni i valës mund të shkruhet :

10.5

fig 10.6

ku amplituda A paraqet vlerën maksimale të zhvendosjes së një elementi të mjedisit në lidhje mepozicionin e ekuilibrit dhe është gjatësia e valës . Shihet se vlera e y është e njëjta kur x rritet me një shumëfish të plotë të .Kur vala përhapet djathtas me shpejtësi konstante v , ekuacioni i valës në një cast më vonë tëcfarëdoshëm t është :

10.6

Nëse vala përhapet majtas madhësia do të zëvëndësohet me , njëlloj si në përhapjene një impulsi të vetëm .

99

Duke zëvëndësuar në ekuacioni 10.6 v = , marrim ;

10.7

Shihet qartë se ë një cast të dhënë y ka të njëjtën vlerë për pozicionin e pikës ekështu me radhë . Gjithashtu për një pozicion të dhënë të pikës (në të cilin një element i mjedisitkryen lëkundje harmonike )vlerat e y janë të njëjtë në castet e kështu me radhë .Ekuacioni i valës sinusoidale mund të shkruhet në një formë tjetër duke futur dy madhësi të tjera :numrin valor dhe frekuencën këndore :

10.8

10.9

atëherë ekuacioni i valës shkruhet në tratën : 10.10

Ekuacioni i valës i dhënë me ekuacioni 10.10 vlen zhvendosja y është zero në x=0 dhe t=0 . Kur ynuk është zero në x=0 dhe t=0 shprehja e përgjithshme e ekuacionit të valës është :

10.11ku quhet faza konstante dhe mund të përcaktohet nga kushtet fillestare .Për një valë sinusoidale kur =0 , nga ekuacioni i valës ne mund tëpërshkruajmë lëvizjen e një elementi të mjedisit në të cilin përhapet vala, p.sh të një korde . Cdoelement i kordës lëviz vetëm vertikalisht , kështu koordinata x mbetet konstante . Shpejtësia dhenxitimi i elementit të mjedisit janë :

10.12

10.13

Vlerat maksimale të këtyre madhësive janë :

Le të marrim derivatin e ekuacionit të valës në lidhje me koordinatën x në një cast të fiksuar , injëjtë me procesin e derivimit në lidhje me kohën për një element në pozicionin e fiksuar x :

10.14

10.15

Duke krahasuar ekuacionin 10.13 dhe 10.15 , shohim se :

100

Duke zënëndësuar vk merret :

10.16

i cili njihet si ekuacioni i valës lineare . Ky është ekuacioni diferencial i valës bredhëse . Zgjidhjae këtij ekuacioni përshkruan valën mekanike lineare . Ne e kemi nxjerrë këtë ekuacion për një valëmekanike sinusoidale , por është shumë më i përgjithshëm . Ekuacioni i valës lineare me suksespërshkruan valët në korda , valët zanore , dhe gjithashtu valët elektromagnetike . Në rastin evalëve elektromagnetike y paraqet madhësinë që karakterizon fushën elektrike E .Zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni është një funksion i formës . Valët jolineare janë shumë më vështirë për tu analizuar , por ato janë një fushë e rëndësishme ekërkimit të sotëm , vecanërisht në optikë . Në valët jolineare amplituda është e madhe krahasuarme gjatësinë e valës .

Energjia e valës

Kur vala përhapet në një mjedis , ajo mbart energji. Ky fakt demonstrohet lehtë duke varur njëtrup në një kordë të tendosur dhe duke shkaktuar një impuls në skajin e saj të lirë .Kur impulsiarrin pikën e varjes së trupit ai zhvendoset .Le të njehsojmë energjinë e valëve lineare harmonike që përhapen në një kordë(fig 10.7). Burimi i energjisë është ndonjë agjenti jashtëm në fundin e majtë të kordës , i cili kryenpunë për të shkaktuar lëkundje .Korda do tëkonsiderohet si një sistem jo i izoluar .Puna ekryer për zhvendosjen lart-poshtë të fundit tëkordës shkon fig 10.7në energji në sistem dhe përhapet përgjatë kordës . Le të marrim një element të kordës me gjatësi

dhe masë . Cdo element i tillë kryen lëkundje harmonike, vertikalisht lart . Të gjithëelementët kanë të njëjtën frekuencë këndore dhe të njëjtën amplitudë (atë të burimit që shkaktonlëkundje ) . Energjia e plotë e lidhur me një pikë materiale që kryen lëkundje harmonike është :

ku A amplituda e valës dhe frekuenca këndore e pikës që lëkundet . Duke e zbatuar këtë përelementin me masë , energjia e plotë e këtij elementi është :

Nëse shqyrtojmë të gjithë elementet e kordës në një gjatësi vale energjia e plotë është :

101

10.17

ku është densiteti linear i kordës atëherë masa e elementëve të kordës me gjatësi është .

Kjo energji kalon nëpër një pikë të dhënë të kordës për një periodë të valës . Energjia e mbarturnga vala në njësinë e kohës quhet fuqi e valës :

pra : 10.18

Kjo tregon se shpejtësia e mbartjes së energjisë nga një valë sinusoidale që përhapet në një kordëështë proporcionale me : katrorin e shpejtësisë këndore ,me katrorin e amplitudës dhe meshpejtësinë e valës . Në të vërtetë , të gjitha tipet e valëve harmonike (të rrafshëta dhe sferike )kanë këto cilësi .Në të njëjtën mënyrë si për valët lineare , tregohet se për valët sferike energjia e valës e mbarturnë njësinë e kohës , pra fuqia e valës jepet me shprehjen :

10.19

ku është densiteti vëllimor i mjedisit dhe S madhësia e sipërfaqes që përshkohet nga vala pingulme drejtimin e përhapjes së valës . Fuqia që mbart vala në njësinë e sipërfaqes pingul me drejtimin e përhapjes së valës quhetintensitet i valës :

10.20

Energjia e mbartur nga një valë harmonike në njësinë e kohës përmes njësisë së sipërfaqespingul me drejtimin e përhapjes së valës , është proporcionale me katrorin e shpejtësisëkëndore ,me katrorin e amplitudës dhe me shpejtësinë e valës .

10.2 Pasqyrimi i valëve

Deri tani kemi shqyrtuar vetëm valët që përhapen në një mjedis homogjen dhe që nuk ndërpritennga asgjë tjetër vec elementëve të mjedisit . Kjo situatë është e ngjashme me lëvizjen e një pikemateriale në zbrazëti dhe që i bindet ligjit të parë të Njutonit. Le të shohim se c’ndodh kur një valë takon një kufi që ndan dy mjedise të ndryshme .

102

Për thjeshtësi shqyrtojmë përsëri një impuls të vetëm . Kur impulsi që përhapet arrin kufirin qëndan mjediset , një pjesë e impulsit pasqyrohet .Pjesa që nuk pasqyrohet thuhet se i transmetohetpengesës .Shqyrtojmë disa raste të vecanta :Le të shqyrtojmë një impuls që përhapet në një kordë të tendosur drejt skajit të fiksuar . Kurimpulsi arrin skajin e fiksuar ai kthehet mbrapsht pa ndryshuar formën (fig10.8) . Kur nuk itransmetohet pengesës , vihet re se impulsi psqyrohet meamplitudë të njëjtë por i përmbysur . Kjo shpjegohet në këtëmënyrë: implsi krijohet p.sh duke e mbajtur me dorë një njeriskajin e lirë dhe duke ngritur dhe ulur dorën shpejt ., pra dukevepruar me një forcë të drejtuar fillimisht lart dhe pastajposhtë në skajin e lirë të kordës . Kur impulsi arrin fundin efiksuar të kordës , korda fillimisht vepron mbi murin kufiksohet ajo , me një forcë të drejtuar lart . Nga ligji i tretë iNjutonit , muri kundërvepron me një forcë të drejtuarfillimisht poshtë mbi kordën , e njëjtë kjo situatë me atë qënjeriu do të zbatonte në fundin e kordës një forcë të drejtuarfillimisht poshtë dhe pastaj lart . Prandaj forma e impulsitruhet por përmbyset . Në këtë rast thuhet se implsipasqyrohet me fazë të kundërt ( ose një ndryshim faze ).

fig 10.8b) Shqyrtojmë një situatë të dytë të idealizuar në të cilin pasqyrimi është i plotë : përhapja eimpulsit në një kordë me fundin e lirë . Një situatë e tillë është përhapja e impulsit në një kordë tëkapur në një unazë të vogël që mund të rrëshqasë pa fërkim në një shufër . Kur impulsi arrinfundin e lirë të kordës ai pasqyrohet pa u përmbysur dhe pa ndryshuar amplitudën .Thuhet sepasqyrimi nuk ka ndryshim faze .c) Në disa situata jemi ndërmjet dy rasteve ekstreme që pamë më lart , psh kur impulsi përhapetnë dy korda me densitet të ndryshëm të lidhura me njëra tjetrën . Kur densiteti i kordës së parë është më i vogël se i të dytës(fig10.9a,b) ,dhe impulsi arrin në nyjënlidhëse të dy kordave një pjesë e impulsit pasqyrohet duke u përmbysur dhe një pjesë itransmetohet kordës me densitet më të madh .Të dy , impulsi i pasqyruar dhe impulsi itransmetuar kanë amplitudë më të vogël se impulsi i dërguar. Pasqyrimi i impulsit ndodh njëlloj sinë rastin e kordës me fundin e fiksuar .

Kur densiteti i kordës së parë është më i madh se i të dytës (fig 10.9 b,c), përsëri një pjesë eimpulsit pasqyrohet por pa u përmbysur dhe një pjesë i transmetohet kordës me densitet më tëvogël . Pasqyrimi i impulsit ndodh njëlloj si në rastin e kordës me fundin e lirë .

103

Nëse në kordë nuk dërgojmë një impuls të vetëm por njëvalë , situata do të jetë e njëjtë . Frekuenca e valës rënëse ,e valës së pasqyruar dhe transmetuar është e njëjtë me atëtë burimit të valës .Përfundimet e nxjerra për valët lineare do tëpërgjithësohen edhe për valët e rrafshëta (sipërfaqësore )dhe valët hapësinore .

fig 10.9

Valët zanore

Le të drejtojmë vëmendjen tonë nga valët tërthore në valët gjatësore .Në valët gjatësore cdoelement i mjedisit zhvendoset paralel me drejtimin e përhapjes së valës . Valët zanore në ajër janëshembulli më i rëndësishëm i valëve gjatësore .Valët zanore mund të përhapen në cdo mjedis , tëngurtë, të lëngët dhe të gaztë dhe shpejtësia e tyre varet nga cilësitë e mjedisit . Këto valë janëtë pakapshme nga syri i njeriut por shkaktojnë ndijimin e dëgjimit , ndryshe i quajmë tinguj .Valët mekanike me frekueca nga 20Hz deri në 20000Hz janë tinguj, valët me frekuencë më tëvogël se 20Hz quhen infratinguj dhe valët zanore me frekuencë mbi 20000Hzquhen ultratinguj . Infratingujt dhe ultratingujt janë të pakapshëm nga veshi i njeriut . Cdo trupqë lëkundet brenda një mjedisi qëshkakton lëkundje të dendësisë dhetrysnisë së mjedisit ku ndodhet prodhon tingull. Që valët zanore të përhapen kanë nevojë për njëmjedis lëndor i cili do të transmetojë valën zanore. Kjo do të thotë që në zbrazëti vala zanore n u kmund të përhapet . Pjesa e fizikës qëstudion tingujt quhet akustikë . Dallohetakustika fizike që studion tingujt dhe proceset fizike me të cilat ato lidhen dhe fig 10.10akustika fiziologjike e cila studion lidhjen ndërmjet madhësive fizike që karakterizojnë tingullin.Është e vështirë të ilustrohet paraqitja e valëve gjatësore , sepse zhvendosjet e elementeve tëmjedisit janë në drejtim të njëjtë me me atë të përhapjes së valës . Figura 10. 10 paraqet njëmënyrë të këtyre lloji valësh . Pjesa e errët paraqet një zonë ku gazi është i ngjeshur , rrjedhimishtdensiteti dhe shtypja është mbi vlerat e tyre të ekuilibrit . Një ngjeshje formohet kur shtyhetpistoni në tub. Ngjeshja përhapet përgjatë tubit ,vazhdimisht duke ngjeshur shtresat e gazit në frontin e saj. Kur pistoni tërhiqet prapa , gazi në front të tijzgjerohet, dhe rrjedhimisht densiteti dhe shtypja janë nën vlerat e tyre të ekuilibrit . Këto ulje tëdendësisë dhe shtypjes quhen rrallime .Rrallimet gjithashtu përhapen përgjatë tubit . N.q.se

104

pistoni kryen lëkundje harmonike ngjeshjet dhe rrallimet janë vazhdimisht të pranishme .

Vala zanore është përhapja e ngjeshjeve dhe rrallimeve të dendësisë dhe trysnisë së mjedisit .Largësia ndërmjet dy ngjeshjeve të njëpasnjëshme (ose dy rrallimeve të njëpasnjëshme ) quhetgjatësi e valës . Cdo element i mjedisit kryen lëkundje harmonike paralel me drejtimin epërhapjes së valëve ( gjatësore ) .Nëse është pozicioni i elementeve të mjedisit në lidhje mepozicionin e tyre të ekuilibrit , ne mund të shprehim këtë pozicion si:

10.21

ku është zhvendosja maksimale ndaj pozicionit të ekuilibrit e quajtur amplitudë e lëkundjeve

të elementëve të mjedisit .Ekuacioni 10.21 paraqet ekuacionin e valës ku k është numri valor dhe është frekuenca këndore e lëkundjeve të pistonit (burimit të valës) .

Shpejtësia e përhapjes së valës zanore varet nga mjedisi në të cilin ato përhapen(i ngurtë , i lëngët, i gaztë ) ,ajo varet nga moduli i elasticitetit dhe dendësia e mjedisit. Shpejtësia e përhapjes sëvalës zanore në ajër varet vetëm nga temperatura e ajrit . Kjo varësi jepet me shprehjen :

10.22

ku t është temperatura e ajrit në gradë celsius dhe shpejtësia e zërit në është 331m/s . Nëlëngje dhe në trupa të ngurtë shpejtësia e zërit është shumë më e madhe p.sh në ujë është 1400m/sdhe në qelq është rreth 4500m/s .-Karakteristikat fizike të tingullit janë :a) Intensiteti i tingullit është madhësia që matet me sasinë e energjisë që mbart vala zanore nënjësinë e kohës në njësinë e sipërfaqes pingul me drejtimin e përhapjes . Intensiteti varet ngaamplituda e lëkundjeve ( është proporcional me katrorin e amplitudës ) . Kemi treguar se ai jepetme shprehjen :

b)Frekuenca e tingullit . Në përgjithësi tingujt formohen nga mivendosja e shumë lëkundjeve mefrekuenca të ndryshme . Ekziston një lëkundje themelore që mbart pjesën kryesore të energjisë ecila quhet harmonika themelore ( ose toni themelor ) . Frekuenca e kësaj harmonike do të quhetfrekuenca e tingullit .-Karakteristikat fiziologjike të tingullita)Lartësia e tingullit përcaktohet nga frekuenca e tij , për frekuenca të larta zëri është i lartë (imprehtë) dhe për frekuenca të ulëta zëri është i ulët .b)Fortësia e tingullit .Veshi i njeriut ka ndjeshmëri të ndryshme për dy tinguj me intensitete tënjëjta , por me frekuenca të ndryshme . Fortësia e tingullit është madhësia e lidhur mendjeshmërinë e ndryshme të veshit për tinguj me frekuenca të ndryshme .c)Timbri(ngjyra) e tingullit . Tingujt e prodhuar nga dy instrumente të ndryshme edhe pse mefrekuenca të njëjta ndryshojnë nga njëri-tjetri . Kjo cilësi përcaktohet nga timbri i cili varet ngaspektri i tingullit ( bashkësia e harmonikave që e përbëjnë atë ).

Efekti Doppler

105

Kur një makinë afrohet drejt jush , ju dëgjoni tingullin e borisë së saj më të mprehtë, d.m.th mefrekuencë më të lartë , se në rastin kur makina u largohet . Ky ndryshim është një shembull iefektit Doppler i zbuluar nga Christian Johann Doppler, fizikan austriak . Efekti Doppler për valët zanore vrojtohet kur ka lëvizje relative ndërmjet burimit të valës dhevrojtuesit .Lëvizja e vrojtuesit ose burimit në lidhje me tjetrin rezulton në një perceptim nga ana evëzhguesit të një frekuence më të lartë (kur afrohen )ose më të ulët(kur largohen) se frekuenca evërtetë e burimit. Megjithëse ne do të përqëndrojmë vëmendjen tonë në efektin Doppler për valët zanore , ai lidhetme të gjitha tipet e valëve . Efekti Doppler për valët elektromagnetike përdoret në sistemin radartë policisë për matjen e shpejtësisë së automjeteve . Gjithashtu , një astronom rus përdori efektinpër të përcaktuar lëvizjen relative të yjeve, galaksive dhe trupave të tjerë qiellorë .Në 1842 ,Doppler i pari njoftoi se ka një zhvendosje të frekuencës në lidhje me dritën e emetuar nga dy yjeqë rrotullohen rreth njëri-tjetrit . Më vonë , në shekullin XX , efekti Doppler për dritën e emetuarnga galaksitë u përdor për të argumentuar zgjerimin e universit në teorinë Bing Bang.Le të shohim se cfarë e shkakton ndryshimin efrekuencës . Mendoni një njeri duke ecur me njëbicikletë me shpejtësi v0 drejt një makine në prehjeqë i bie borisë . Boria e makinës është burimi itingullit S , njeriu është vrojtuesi O dhe ajri ë s h t ëmjedisi ku përhapet vala zanore . Rrathët nëfigurën10.11 paraqesin kreshtat e valëve zanore q ëpërhapen nga burimi S në të gjitha drejtimet .Distanca rrezore ndërmjet dy kreshtave të fig 10.11paraqitura është një gjatësi vale . Do të marrim frekuencën e burimit , gjatësinë e valës dhe

shpejtësia e zërit . Një vrojtues i palëvizshëm do të perceptojë frekuencën ku :

(pra, kur burimi dhe vrojtuesi janë të dy në prehje frekuenca e perceptuar do të jetë e barabartëme frekuencën e vërtetë të burimit ). Kur vrojtuesi lëviz drejt burimit me shpejtësi shpejtësia relative e përhapjes së tingullit në lidhje

me vrojtuesin është :

Frekuenca e tingullit që percepton vrojtuesi në lëvizje drejt burimit është ;

10.23

106

Tani le të shqyrtojmë një situatë në të cilën burimi lëviz me shpejtësi konstante në lidhje me

mjedisin dhe vrojtuesi qëndron në prehje (fig 10.12) . Meqënëse burimi është në lëvizje drejtvrojtuesit , kreshtat e njëpasnjëshme të cdo vale të lëshuar nga burimi në anën e vrojtuesit do të

jenë më afër nga e djathta me një distancë ku është perioda e valës , koha që kalon

gjatë lëshimit të dy kreshtave . Si rezultat gjatësiae valës e matur nga vrojtuesi A është më e

shkurtër se gjatësia e vërtetë e burimit me

distancën :

Frekuenca e perceptuar nga vrojtuesi kur burimilëviz drejt tij është : fig 10.12

10,24

Në ekuacionin 10.24 vëmë re se emëruesi bëhet zero kur shpejtësia e burimit është e barabartë meshpejtësinë e zërit , që e bën frekuencën e perceptuar drejt infinitit . Një përqëndrim i energjisë nëfront të burimit shkakton një valë goditëse . Një situatë e tillë vihet re kur një avion i shpejtëfluturon me shpejtësi të njëjtë ose më të madhe se shpejtësia e zërit dhe vrojtuesi dëgjon një bumakustik.Përfundimisht nëse të dy së bashku burimi dhe vrojtuesi janë në lëvizje shprehja e përgjithshme përfrekuencën e perceptuar është :

Difraksioni

Nëse fronti i valëve ndërpritet nga një pengesë , vala përkulet rreth pengesës. Përkulja e valëverreth pengesave quhet difraksion i valëve . Difraksioni ndodh kur përmasat e pengesës janë tëkrahasueshme me gjatësinë e valës .Kur përmasat e pengesës janë më të vogla se gjatësia e valës , valët vazhdojnë rrugën pothuajsenjëlloj si para pengesave . Kur përmasat e pengesës janë më të mëdha se gjatësia e valës difraksioni është i papërfillshëm ,fronti i valës do të ndërpritet do përkulet lehtë rreth skajeve të pengesës , prapa pengesës keminjë zonë pa valë .

107

Kur përmasat e pengesës janë të krahasueshme me gjatësinë e valës , fronti i valës përkuletdukshëm , prapa pengesës kemi valë . Një grimcë që mund të përplaset me një pengesë nuk mundta kapërcejë atë , vetëm kthehet prapaKur fronti i valës takon një një pengesë me carje , me përmasa më të mëdha se gjatësia e valës ,rrezet e valës që bien në carje nuk e ndryshojnë drejtimin e tyre . Kur përmasat e carjes janë më tëvogla se gjatësia e valës(si në fig 10.13) , vala kalon mbrapa pengesës ,pjesa e frontit të valëspërkulet rreth skajeve të carjes dhe bëhet sferik ose rrethor , carja sillet si një burim pikësor .Pradifraksioni ka të bëjë

fig 10.13

me shfaqjen e valëve edhe prapa pengesave . Në të kundërt për një tufë grimcash që do të binin nënjë pengesë me një carje , pjesa e grimcave që do të kalonin përmes carjes nuk do të ndryshonindrejtimin e përhapjes . Difraksioni është një nga karakteristikat që dallojnë valët nga grimcat .Nedo të tregojmë pse shfaqet difraksioni kur të studiojmë interferencën dhe difraksionin e dritës .

3 Interferenca e valëve

108

Valët janë shumë të ndryshme nga grimcat . Një grimcë ideale nuk ka përmasa, ndërsa një valëideale është e pafundme . Një tjetër ndryshim ndërmjet tyre është se ekziston mundësia ekombinimit të dy ose më shumë valëve në një pikë të një mjedisi .

Parimi i mbivendosjes

Shumë fenomene të rëndësishme të valëve në natyrë nuk mund të përshkruhen nëpërmjet një valetë vetme . Për të analizuar kombinimin e valëve do të përdorim parimin e mbivendosjes :Nëse dy ose më shumë valë që përhapen në një mjedis takohen në një pikë të dhënë , zhvendosjarezultante e elementëve të mjedisit në atë pikë është shuma e zhvendosjeve që shkaktojnë valët evecanta.Kjo cilësi e mrekullueshme shfaqet në shumë valë në natyrë , ku përfshihen valët në korda , valëtzanore valët në sipërfaqen e ujit si dhe valët elektromagnetike . Valët që i binden këtij parimiquhen valë lineare . Në përgjithësi valët lineare kanë amplitudë të vogël krahasuar me gjatësinë evalës .Valët që nuk i nënshtrohen këtij parimi quhen valë jolineare , ato karakterizohen nga njëamplitudë e madhe .Një ilustrim i thjeshtë i parimit të mbivendosjes merret duke shqyrtuar dy impulse që përhapen nëdrejtim të kundërt , me shpejtësi të njëjtë , formëtë ndryshme në një kordë të tendosur si në fig10.14. Të dy impulset shkaktojnë zhvendosje tëelementeve të kordës në drejtimin vertikal të marrëpozitiv.Shihet se dy impulset , të cilët përhapennjëkohësisht në një mjedis, kur mbërrijnë në njëpikë të mjedisit, mbivendosen , mblidhen , ndahenpërsëri dhe vazhdojnë të përhapen në drejtimin etyre origjinal . Forma e tyre mbetet e pandryshuarsikur të mos ishin takuar në rrugën e tyre . Nëse dy impulse të tillë që përhapen në kordë ,janë invers në lidhje me njëri tjetrin , përsërimbivendosen , mblidhen(por një nga zhvendosjet është fig 10.14negative) . Amplituda rezultante është më e vogël . Kur amplitudat e dy impulseve janë tëbarabarta thuhet se ata shuajnë njëri tjetrin . Pasi ndahen ata përsëi përhapen në drejtimet e tyreorigjinale.Nga mbivendosja e dy valëve në një zonë të hapësirës mund të përftohet dukuria e interferencës .

Interferenca e valëve

Rezultati i mbivendosjes së dy valëve harmonike me frekuencë të njëjtë varet nga diferenca e fazës ndërmjet valëve .Dy valë me frekuenca të njëjta dhe diferencë faze konstante me kohën quhen

109

valë koherente . Dy valë koherente përftohen nga dy burime që lëkunden së bashku me frekuencëtë njëjtë dhe quhen burime koherente Nga mbivendosja e dy valëve koherente përftohetinterferenca e valëve . Le të jenë dhe dhe dy valë harmonike që përhapen në të

njëjtin drejtim në një mjedis . Nëse dy valët përhapen djathtas me frekuencë,numër valor dheamplitudë të njëjtë , por me diferencë faze mund të shkruajmë ekuacionin e valëve të vecanta :

dhe

Le të mendojmë se këto dy valë takohen . Ekuacioni i valës rezultante y(x,t), sipas parimit tëmbivendosjes do të jetë :

Për të thjeshtuar këtë shprehje , përdorim formulën e trigonometrisë :

nëse shënojmë dhe ekuacioni i valës rezultante është :

10.25

Kjo paraqitje matematike e valës rezultante ka vecori të rëndësishme.Funksioni i valës rezultante y ështëgjithashtu një valë sinusoidale dhe ka tënjëjtën frekuencë dhe gjatësi vale me dyvalët e vecanta . Amplituda e valës

rezultante është

dhe faza e saj është .Kur amplituda evalës rezultante është 2A. Në këtë rast thuhet se valët janë në fazë dhe se kemi të bëjmë meinterferencë konstruktive . Ky është r a s t ikur kreshtat e të dy valëve ndodhen në tënjëjtin pozicion si në fig 10.15a . Nëpërgjithësi interferenca konstruktivendodh kur osekur ku n numër i plotë dheamplituda është .

fig 10.15Nga ana tjetër , nëse ose një shumëfish tek dhe amplituda evalës rezultante është zero . Në këtë rast thuhet se kemi interferencë destruktive .Kyështë rasti kur kreshtat e njërës valë koincidojnë me gropat e valës tjetër si në fig 10.15b .Kur faza konstante ka një vlerë ndërmjet 0 dhe , vala rezultante ka një vlerë të ndërmjetme ,ndërmjet 0 dhe 2A .

110

Megjithëse ne shqyrtuam interferencën e valëve me amplitudë të njëjtë , edhe për valët meamplitudë të ndryshme do të veprohej në të njëjtën mënyrë . Kur ato janë me fazë të njëjtëamplituda rezultante është e barabartë me shumën e amplitudave të secilës valë . Kur diferenca efazave është amplituda rezultante është e barabartë me diferencën e amplitudave të secilësvalë . Gjatë interferencës së valëve amplituda lëkundjeve të cdo pike të mjedisit nuk ndryshonme kohën . Në varësi të largësisë së pikës nga dy burimet kjo amlitudë merr vlerat ndërnjet

Tabloja e interferencës është tablo interesante e qëndrueshme ku disa pika të mjedisit lëkundenme amplitudë maksimale , disa pika nuk lëkunden fare dhe shumica e pikave lëkunden meamplitudë të ndërmjetme . Në fig 10.16 tregohet një aparat i thjeshtë për të demonstruar interferencën e valëve zanore .Zëri

nga altoparlanti A dërgohet në tubin P. Gjysma e energjisë sëvalës zanore përhapet në një drejtim dhe gjysma në drejtim tëkundërt . Prandaj , valët zanore që arrijnë tek marrësi Mpërhapen secili në rrugën e tyre . Distanca e plotë nga Aderi tek M quhet gjatësi e rrugës r .Gjatësia më e vogël errugës është r1 . Gjatësia e rrugës r2 mund të ndryshojëduke rrëshqitur tubin në formë U –je (e njëjtë me rrëshqitjene një trompe) . Kur diferenca e rrugëve

është e barabartë me zero ose një shumëfish i fig10.16 plotë gjatësi valësh : atëherë , dy valët që arrijnë tekmarrësi janë në fazë dhe interferenca është konstruktive . Në këtë rast intensiteti rezultant i zëritqë arrin tek marrësi është maksimal .Kur diferenca e rrugëve është një shumëfish tek i gjysmëgjatësi valësh : atëherë , dy valët që arrijnë tek marrësi janë në diferencë fazeshumëfish tek dhe interferenca është destruktive . Në këtë rast marrësi nuk dëgjon zë .Kur diferenca e rrugëve nuk plotëson dy kushtet e mësipërme intensiteti rezultant i zërit dotë ketënjë vlerë të ndërnjetme .Shpesh është e dobishme të shprehet diferenca e rrugëvenë funksion të diferencës së fazave ndërmjet dy valëve . Letë jenë S1 dhe S2 dy burime koherente dhe P një pikë emjedisit me një diferencë rruge nga dy burimet .Ekuacioni i valëve të dy burimeve mund të shkruhet :

dhe

fig 10.17

Diferenca e fazave të dy alëve është :

111

Duke përdorur , kemi :

10.26

4 Valët e qëndrueshme

Le të shqyrtojmë dy valë harmonike që përhapen në një mjedis në drejtime të kundërta , meamplitudë , frekuencë dhe gjatësi vale të njëjtë .Ekuacionet e këtyre valëve do të jenë :

dhe

ku y1 paraqet valën që përhapet djathtas dhe y1 paraqet valën që përhapet majtas. Ato takohendiku në kordë duke interferuar me njëra tjetrën .Sipas parimit të mbivendosjes , mbledhja e këtyredy funksioneve jep funksionin e valës rezultante y :

Duke përdorur formulat e trigonometrisë kjo shprehjekthehet në :

10.27Shihet se ky ekuacion nuk i ngjan ekuacionit të valës bredhëse , sepse nuk është funksion i

. Ky ekuacion paraqet ekuacionin e valës së qëndrueshme . Matematikisht ky ekuacion ingjan më shumë ekuacionit të lëkundjeve harmonke se ekuacionit të valës .Cdo element i mjedisitkryen lëkundje harmonike me të njëjtën frekuencë këndore duke u lëkundur njëkohësisht (sipastermit ). Amplituda e lëkundjeve të një elementi të dhënë( faktori ) varet ngapozicioni i tij përgjatë mjedisit , i përshruar nëpërmjet variablit x . Pra, ndryshe nga valabredhëse, ku elementet e mjedisit lëkunden me të njëjtën amplitudë që është edhe amplituda evalës , në valën e qëndrueshme elementët lëkunden njëkohësisht me amplituda të ndryshme .Meqënëse amplituda e një elementi në për cdo vlerë të x është , shihet se amplitudamaksimale e lëkundjeve është 2A .Kjo vlerë është dhe amplituda e valës sëqëndryeshme.Amplituda është maksimale (interferenca është konstruktive ) kur koordinata x përnjë element kënaq kushtin kufitar për maksimumet :

ose kur :

ku n është numër tek : n=1, 3, 5, .... Meqënqse , pozicionet e amplitudave të quajtura

antinyje ( ose bark ) janë :

Vihet re se se largësia ndërmjet dy barqeve të njëpësnjëshëm është .

112

Në mënyrë të njëjtë , tregohet se lëkundja harmonike ka një amplitudë minimale (interferencaështë destruktive ) kur x plotëson kushtin kufitar për minimumet : ose kur ngaku :

ku n është numër i plotë n=1, 2, 3, .... Këto pika me amplitudë zero, që nuk zhvendosen , quhen

nyje . Dy nyje të njëpasnjëshme janë në distancën . Distanca ndërmjet një nyje dhe një

antinyje është . Ndërmjet dy nyjeve elementet e mjedisit lëkunden njëkohësisht , por me

amplituda që rriten nga nyja tek barku .Vala e qëndrueshme ka këto karakteristika :

1- Disa pika lëkunden me amplitudë maksimale (barqet) dhe disa pika nuk lëkunden (nyjet).2- Barqet dhe nyjet nuk zhvendosen përgjatë mjedisit , pra vala e qëndrueshme nuk është

valë bredhëse .3- Pikat e mjedisit ndërmjet dy nyjeve lëkunden në fazë (zhvendosen në cdo cast në kah të

njëjtë ) dhe pikat në dy anët e një nyjeje lëkunden me fazë të kundërt (zhvendosjet epikave në dy anët janë në kahe të kundërta ).Gjithashtu edhe drejtimi i shpejtësisë sëpikave është i njëjtë ndërmjet dy nyjeve dhe i kundërt në dy anët e një nyjeje.

4- Valët e qëndrueshme mund të përftohen me më shumë se një frekuencë .5- Valët e qëndrueshme vendosen në mjedise të kufizuara si , valët në një kordë , valët

zanore në një gyp me ajër , valët e dritës në një lazer , valët elektronike në një nga orbitatrrethore etj.

6- Valët e qëndrueshme nuk mbartin energji .Kur vendoset vala e qëndrueshme ndodh vetëmshndërrimi i energjisë nga kinetike në potenciale dhe anasjelltas gjatë lëkundjes së cdo pike.

Valët e qëndrueshme në korda

Kordat janë burimi i tingujve në instrumentet muzikore si kitara, violina dhe piano .Le tëshqyrtojmë një kordë të tendosur me dy skajet e saj të fiksuara .Kur njëri skaj i kordës lëkundetperiodikisht lart-poshtë me një amplitudë të vogël ,vala rënëse dhe vala e pasqyruar nga fundi ifiksuar i kordës mbivendosen duke vendosur kështu në kordë valë të qëndrueshme .Frekuenca metë cilën përftohen valët e qëndrueshme në kordë quhen frekuenca të rezonancës së kordës , osefrekuenca të lëkundjeve vetiake të kordës . Të gjitha frekuencat e rezonancës së bashkuformojnë spektrin e frekuencave të rezonancës . Aspekti më i spikatur i kësaj dukurie ështëkuantifikimi .Frekuenca më e ulët e rezonancës quhet frekuenca themelore ose harmoniku i parë (rasti i

paraqitur në fig 10.18a) . Në këtë rast skajet e kordës do të jenë nyje sepse këto pika janë tëfiksuara , mesi i saj do të jetë bark dhe sic shihet gjatësia e kordës është e barabartë me gjysëmgjatësie vale :

113

Rasti i dytë (fig 10.18b) tregon frekuencën e dytë më të ulët e cila quhet harmoniku i dytë (oseobertoni i parë )dhe është dyfishi i frekuencës themelore .Harmoniku i tretë (obertoni i dytë ),harmoniku i katërt (obertoni i tretë ) e me radhë do të jenë trefishi , katërfishi , ..... i frekuencësthemelore (fig 10.18 c,d,e).Gjatësia e kordës në këtorëste është përkatësisht njëgjatësi vale , një gjatësi egjysëm vale ,..etj . Atëherëmeqë largësia ndërmjet dynyjeve të njëpasnjëshme ështëgjysma e gjatësisë së valës,gjatësia e valës e harmonikut nplotëson kushtin :

( n= 1,2,3,.......)

10.28Frekuencat për cdo harmonikmund të shprehen nëpërmjet shpejtësisë së valës dhe gjatësisë së saj . fig10.18Duke ditur se kushpejtësia v përcaktohet nëpërmjet tensionit dhe densitetit linear të kordësdhe është e njëjtë për tëgjitha frekuencat : . Atëherë frekuencat janë :

10.29

ose

10.30

Vlerat e frekuencave janë të kuantizuara , sepse vetëm disa frekuenca të valëve kënaqin kushtin emësipërm dhe mund të ekzistojnë në kordë .Nëse një kordë pickohet , ferkohet me hark , goditet ,sic ndodh me instrumentatmuzikore(përkatësisht kitara, violina , piano) , ajo do të lëkundet dhe në të vendosen valë tëqëndrueshme me frekuenca të caktuara . Lëkundjet e kordës janë të detyruara . Nga valët eshkaktuara nga ngacmimi fillestar vetëm ato që plotësojnë kushtin 10.29 mbivendosen dukeformuar sistemin e valëve të qëndrueshme , thuhet se ato rezonojnë me frekuencat vetiake tëkordës . Të tjerat që nuk kënaqin kushtin e mësipërm shuhen shpejt . Pra , korda “zgjedh” nëpërzierjen e frekuencave kur ajo ngacmohet .

114

Frekuenca e një korde të dhënë mund të ndryshojë duke ndryshuar tensionin e kordës T ose dukendryshuar gjatësinë L të pjesës së kordës që lëkundet . P.sh tensioni i telave të kitares dheviolinës rregullohet nëpërmjët mekanizmit të vidave në qafën e instrumentit . Duke e shtrënguarose duke e liruar një kordë , rritet ose zvogëlohet tensioni , si rrjedhim rritet ose zvogëlohetfrekuenca e harmonikave . Instrumentisti ndryshon frekuencën duke lëvizur gishtat e tij përgjatëkordës , duke ndryshuar gjatësinë e pjesës së kordës që lëkundet . Kur gjatësia zvogëlohetfrekuenca rritet dhe e kundërta . Nëse disa korda kanë gjatësi dhe tension të njëjtë por densitete lineare të ndryshme , shpejtësiae përhapjes së valëve në to do të jetë e ndryshme dhe si rrjedhim dhe frekuencat themelore . Dihetse një tel i hollë i tensionuar njëlloj me një tel të trashë me të njëjtën gjatësi lëshon një tingull më tëlartë ( frekuencë më të madhe ) se teli më i trashë . Tek pianoja telat janë me gjatësi dhe trashësitë ndryshme p.sh telat e notave më të ulëta janë më të rëndë .

Korda e fiksuar vetëm në njërin skaj

Për një kordë të fiksuar në njërin skaj dhe të lirë në skajin tjetër (fig 10.19)gjithnjë kemi nyje nëskajin e fiksuar dhe bark në skajin e lirë . Në këtë rast gjatësia e kordës duhet të jetë njëshumëfish tek i cerekut të gjatësisë së valës .Pra gjatësia e valës harmonikut n plotëson kushtin:

10.31

Atëherë , frekuencat e rezonancës jepen me :

10.32

ku është

frekuenca e harmonikut të p a r ë.Frekuencat vetiake tësistemit të valëve tëqëndrueshme rrinë tek n j ë r atjetra si 1:3:5:7.... , që do t ëthotë se të gjithaharmonikat cift humbasin

fig 10.19

115

Valët e qëndrueshme në shtyllat e ajrit

Deri tani folëm për instrumentet me korda që prodhojnë tinguj nga valët tërthore që përhapenpërkundër njëra-tjetrës në kordë . Tepër interes paraqesin edhe instrumentet e klasifikuar siinstrumente fryme .Këta instrumente prodhojnë tinguj duke përdorur një shtylle ajri . Valë tëqëndrueshme gjatësore mund të vendosen në një shtyllë ajri , si p.sh në një klarinetë, organo, flautose pipe interferojnë valë zanore gjatësore që përhapen më drejtime te kundërta .Nëse është njënyje apo bark në skajin e shtyllës së ajrit varet nga fakti nëse ai është i hapur apo i mbyllur .Fundii mbyllur i një shtylle ajri është një nyje e zhvendosjes , njëlloj si skaji i fiksuar i një korde ështënjë nyje e zhvendosjes dhe bark shtypjeje meqënëse shtypja është me një ndryshim faze nëlidhje me zhvendosjen . Nga ana tjetër fundi i hapur i një shtylle ajri është një bark izhvendosjes dhe nyje e shtypjes . Ju ndoshta do të cuditeni se si një valë zanore mund të pasqyrohet nga një fund i hapur sepse nukshfaqet ndonjë ndryshim i mjedisit në atë pikë . Është e vërtetë se mjedisi në të cilin përhapet valazanore është ajri brenda dhe jashtë gypit ( lëkundet ajri në brendësi të gypit dhe më pas këtolëkundje përhapen në ajrin përreth instrumentit ) . Tingulli përftohet nga përhapja e ngjeshjevedhe rralimeve të shtypjes dhe dendësisë së ajrit në brendësi të gypit . Kur zona e ngjeshur është nëfundin e hapur të gypit , ajo është e lirë të shpërndahet në atmosferë . Prandaj ka një ndryshim nëkarakterin e mjedisit brenda dhe jashtë gypit edhe pse nuk ka ndryshim të materialit të mjedisit .Ky ndryshim në karakterin e mjedisit lejon të ketë pasqyrim .Për një gyp me dy fundet e hapura , fundet janë barqe të zhvendosjes . Që të ndodhë kjo duhet qënë brebdësi të gypit të ketë të paktën një nyje . Frekuencës themelore të gypit i përket një nyje nëbrendësi dhe dy barqe në skaje . Meqënëse largësia ndërmjet dy barqeve të njëpasnjëshme është e

barabartë me gjysmë gjatësi valësh , në këtë rast gjatësia e shtyllës është : . Frekuenca

themelore është :

Harmoniku i dytë (obertoni i parë ) , i tretë (obertoni i dytë) e me radhë e kanë frekuemcën njëshumëfish të plotë të frekuencës :

10.33

ku v është shpejtësia e zërit në ajër . Nëse shtylla e ajrit është e mbyllur në njërin fund dhe i hapur në tjetrin kemi një nyje tëzhvendosjes në fundin e mbyllur dhe një bark të zhvendosjes në skajin e hapur . Në këtë rast

gjatësia e shtyllës së ajrit është sa cereku i gjatësisë së valës së harmonikut themelor .

Frekuenca themelore është :

116

Harmonikat më të larta janë shumëfish tek i harmonikut themelor

Valët e qëndrueshme janë burimi kryesor i përftimit të tingujve në instrumentet me frymë . Nëinstrumentet si flauti hapja apo mbyllja e vrimave në pozicione të caktuara ndryshon gjatësinë eshtyllës së ajrit , duke ndryshuar kështu frekuencën e tingullit që lëshon instrumenti . Kështupërftohen tinguj me lartësi të ndryshme . Në trompë frekuenca e tingullit ndryshon dukendryshuar gjatësinë e shtyllës së ajrit , që arrihet duke futur ose nxjerrë një pjesë të tubit në pjesëntjetër .