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Leis de KirchhoffProf. Marco Simões
Leis de Kirchhoff
Gustav Robert Kirchhoff (1824 –1887)
As leis de Kirchhoff aplicam-se a circuitos que contêm mais de uma fontede alimentação. São duas leis:• Lei das malhas• Lei dos nós
Definições• Nó: um ponto em que três ou mais condutores são ligados (b, d)• Malha: qualquer caminho condutor fechado (badb; bdcb; badcb)
a b c
d
Nó
Nómalha
malha malha
Lei das malhas• A soma das variações de tensão numa malha fechada é
sempre zero.
E −V1 −V2 −V3 =0⇒ E −R1 ⋅i−R2 ⋅i−R3 ⋅i =0120−10⋅2−20⋅2−30⋅2=120−20−40−60=0
i=2 A
R1 R2
R3
E =0∑
Convenção de sinal
−Ri +Ri
Sentido da observação
Sentido da corrente
+E −E
Sentido da corrente
Sentido da observação
Resistores: quandoo sentido de obervação é o mesmo da corrente, a quedade tensão énegativa, e vice-versa
Fontes: quando o sentido de observação vai do polo negativo parao positivo, a quedade tensão épositiva
Sentido da observação
Sentido da observação
Exemplo 1• Aplicando essa regra, determine a corrente elétrica do
circuito abaixo.
Primeiraforma:a partir de A,indonosentidohorário:+12−2i−4i =0−2i−4i = −12−6i = −12
i = −12−6 =2AA
i
Exemplo 1
Segundaforma:apartir de A, indonosentidoanti-horário:4i+2i−12=04i+2i =126i =12
i = 126 =2AA
i
Conclusão: respeitada a convenção de sinais, a escolha do sentido de observação é arbritrária.
Exemplo 2 (uma malha)• No circuito abaixo, calcular a corrente e a tensão e corrente
em cada resistência.
2.1 V
O exemplo será resolvido de quatro possíveis formas.
Procedimento:
1. Escolher um pontoinicial2. Escolher um sentido para análise3. Escolher um sentido para a corrente4. Percorrer o circuitorespeitando a convenção de sinais
Exemplo 2 – primeiro modo
2.1 V
A
Ponto inicial: ASentido de análise: horárioSentido da corrente*: horário
−2,3i+ 4, 4− 2,1−1,8i− 5,5i = 0−2,3i−1,8i− 5,5i = −4, 4+ 2,1−9,6i = −2,3
i = −2,3−9,6
= 0,24A
i
*o sentido da corrente ésuposto no início do problema; se o resultadofor negativo ele deve serinvertido no final dos cálculos.
Dica: escolher o sentido da corrente pela bateria de maior tensão.
Exemplo 2 – segundo modo
2.1 V
A
Ponto inicial: ASentido de análise: anti-horárioSentido da corrente: horário
5,5i+1,8i+ 2,1− 4, 4+ 2,3i = 05,5i+1,8i+ 2,3i = −2,1+ 4, 49, 6i = 2,3
i = 2,39, 6
= 0,24A
i
Exemplo 2 – terceiro modo
2.1 V
A
Ponto inicial: ASentido de análise: horárioSentido da corrente: anti-horário
2,3i+4,4−2,1+1,8i+5,5i =02,3i+1,8i+5,5i = −4,4+2,1
9,6i = −2,3⇒ i = −2,39,6 = −0,24A
i
Portanto a corrente flui no sentido inverso ao suposto
Exemplo 2 – quarto modo
2.1 V
A
Ponto inicial: ASentido de análise: anti-horárioSentido da corrente: anti-horário
−5,5i−1,8i+2,1−4,4−2,3i =0−5,5i−1,8i−2,3i = 4,4−2,1
−9,6i =2,3⇒ i = 2,3−9,6 = −0,24A
i
Portanto a corrente flui no sentido inverso ao suposto
Exercício• Calcule a corrente no circuito abaixo e a tensão em cada
componente
Lei dos nós• A soma das correntes que entram em um nó é igual à
corrente que sai do nó
2 A
3 A
5 A
2 A3 A
5 A
3 A
5 A2 A
Exemplo 3• Calcular a corrente em cada resistência e a potência total do
circuito abaixo
Exemplo 3
1. Montar a equação dos nós2. Escolher o sentido de análise
da malha3. Montar uma equação para
cada malha4. Resolver o sistema
i1
i2
i3
Equaçãodos nós :i2 = i1 + i3 →(1)
A
Malha direita :4i2 +3i3 − 6 = 04i2 +3i3 = 6→ (3)
R2
Sistema :
i2 = i1 + i3i1 + 2i2 = 64i2 +3i3 = 6
!
"##
$##
R3R1
Malhaesquerda :12−2i1 −4i2 =0−2i1 −4i2 = −12i1 +2i2 =6→(2)
Resolução por determinante
! =1 −1 11 2 00 4 3
⇒ ! = 13
*+, = +- + +/+- + 2+, = 64+, + 3+/ = 6
Reorganizando, fica *+- − +, + +/ = 0+- + 2+, + 0+/ = 60+- + 4+, + 3+/ = 6
!12 =0 −1 16 2 06 4 3
⇒ !12 = 30 ⟹ +- =!12! = 30
13 ⇒ +- = 2,31 5
!16 =1 0 11 6 00 6 3
⇒ !16 = 24 ⟹ +, =!16! = 24
13 ⇒ +, = 1,85 5
!19 =1 −1 01 2 60 4 6
⇒ !19 = −6 ⟹ +, =!19! = −6
13 ⇒ +/ = −0,462 5
O valor negativoencontradopara +/ indicaque o sentidoinicialmentesuposto éinverso ao real
Sistema :
i2 = i1 + i3 (1)i1 + 2i2 = 6 (2)4i2 +3i3 = 6 (3)
!
"##
$##
(1)em(2)i1 + 2 i1 + i3( ) = 6i1 + 2i1 + 2i3 = 63i1 + 2i3 = 6
(1)em(3)4 i1 + i3( )+3i3 = 64i1 + 4i3 +3i3 = 64i1 + 7i3 = 6
Novo sistema :
3i1 + 2i3 = 6 (a)4i1 + 7i3 = 6 (b)
!"#
$#
De a( ) : 3i1 + 2i3 = 6
3i1 = 6− 2i3→ i1 =6− 2i33
Em b( ) :4i1 + 7i3 = 6
4 6− 2i33
#
$%
&
'(+ 7i3 = 6
24−8i33
+ 7i3 = 6
24−8i3 + 21i3 =18−8i3 + 21i3 =18− 2413i3 = −6
i3 =−613
= −0, 462 A*
*Atenção: manter negativo para calcularos demais valores e inverter no desenhono final
Resolução por substituição
Resolução por substituição
i3 = −0, 462 AEm(a) :3i1 + 2i3 = 63i1 + 2 −0, 462( ) = 63i1 − 0,923= 63i1 = 6+ 0,9233i1 = 6,923
i1 =6,9233
= 2,31 A
Em(1) :i2 = i1 + i3i2 = 2,31− 0, 462i2 =1,85 A
Resposta:
Exemplo 3• Sabendo-se a corrente, é possível calcular a queda de
tensão e a potência em cada resistência
V1 = R1 × i1V1 = 2×2,31V1 = 4,62V
P1 =V1 × i1P1 = 4,62×2,31P1 =10, 7W
V2 = R2 × i2V2 = 4×1,85V2 = 7, 40V
P2 =V2 × i1P2 = 7, 40×1,85P2 =13, 7W
V3 = R3 × i3V3 = 3×0, 462V3 =1,39V
P3 =V3 × i3P3 =1,39×0, 462P3 = 0,640W
Pt = P1 +P2 +P3⇒ Pt =10,7+13,7+0,640=25,0W
Exercício 1• Calcular a corrente no circuito ao lado, e, em cada
resistência, a tensão e potência. Os valores das resistênciasestão indicados em Ohms.
80 V
Respostas:
Exercício 2• Calcular a corrente no circuito abaixo, e, em cada resistência, a tensão e
potência. Os valores das resistências estão indicados em Ohms. Respostas abaixo.
Exercício 3• Calcular a corrente no circuito abaixo, e, em cada resistência, a tensão e
potência. Os valores das resistências estão indicados em Ohms. Respostas abaixo.
80 v
60 v
10 v
i3
i2
i1
Exercício 3• Três possíveis soluções