Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e Secundário

Lei dos cossenos na trigonometria esférica e algumas aplicações

Relatório de estágio

Caroline Andrea Monteiro

2018/2019

Orientador Científico: António Guedes de Oliveira

Orientador Cooperante: Vladimiro Machado

2

3

Índice

𝟏.Introdução ......................................................................................................... 5

𝟐.Análise crítica das atividades desenvolvidas no âmbito da PES ...................... 7

𝟐. 𝟏. Atividade Letiva ....................................................................................................... 7

𝟐. 𝟐. As turmas ................................................................................................................ 8 2.2.1. 11º ano ........................................................................................................................... 9 2.2.2. 12º ano ......................................................................................................................... 10

𝟐. 𝟑. Plano anual de atividades .................................................................................... 11 2.3.1. Desafio de Natal ........................................................................................................... 11 2.3.2. Dia do π ........................................................................................................................ 12 2.3.3. Outras atividades .......................................................................................................... 12

𝟑.Trigonometria-Prosuit ...................................................................................... 13

𝟑. 𝟏.Manual de instruções ........................................................................................... 13 3.1.1.O Jogo .......................................................................................................................... 13 3.1.2.A preparação ................................................................................................................ 14 3.1.3.O objetivo ..................................................................................................................... 14 3.1.4.Como jogar ................................................................................................................... 14

𝟑. 𝟐.O dado .................................................................................................................. 16

𝟑. 𝟑.As cartas .............................................................................................................. 16 3.3.1.Letras ........................................................................................................................... 16 3.3.2.Carta–Pergunta ............................................................................................................ 16 3.3.3.Carta–Duelo ................................................................................................................. 23

𝟒.Lei dos cossenos na trigonometria esférica e algumas aplicações ................ 26

𝟒. 𝟏.Soma dos ângulos internos de um triângulo esférico .......................................... 26

𝟒. 𝟐.Algumas fórmulas da trigonometria esférica ........................................................ 28 4.2.1.Lei fundamental da trigonometria esférica ................................................................... 28 4.2.2.Fórmulas trigonométricas de meio ângulo ................................................................... 31 4.2.3.Lei dos senos na esfera ............................................................................................... 34 4.2.4.Relação envolvendo todos os lados e dois ângulos .................................................... 36 Caso1 ................................................................................................................................. 36 Caso2 ................................................................................................................................. 37

4.2.5.Fórmula das quatro partes ........................................................................................... 38

𝟓.Referências Bibliográficas ............................................................................... 41

4

5

𝟏.Introdução

Este trabalho foi elaborado no âmbito da unidade curricular de Iniciação à Prática Profissional e está dividido em três partes. A primeira parte corresponde à análise critica das atividades desenvolvidas no âmbito da Prática Profissional Supervisionada. Neste capítulo pretendo não só fazer uma descrição do ano letivo, mas também analisá-lo de forma critica.

A segunda parte do trabalho destina-se à componente didática, na qual é proposto um jogo sobre trigonometria para alunos do 11º ano de escolaridade.

Por fim, a última parte deste trabalho é dedicada à componente científica, onde é demonstrada uma variedade de fórmulas da trigonometria esférica a partir da lei dos cossenos.

A escolha do tema Trigonometria surgiu fruto do interesse que desenvolvi pelo tema durante o Mestrado. Quando era aluna do Ensino Básico e Secundário esta era uma matéria em que sentia dificuldades e que não cativava o meu interesse, o que me fez identificar com os alunos das turmas em que estagiei quando me apercebi das dificuldades que eles tinham com este tema.

6

7

𝟐.Análise crítica das atividades desenvolvidas no âmbito da PES

𝟐. 𝟏. Atividade Letiva

Neste ano letivo, e sob a orientação do Professor Vladimiro Machado, fiz parte do núcleo de estágio de Matemática, juntamente com a minha colega Cátia Costa, na Escola Secundária de Valongo.

Quando decidi que queria passar este ano letivo a estagiar na Escola Secundária de Valongo não tinha uma perceção realista do tempo de viagem que, todas as semanas, teria de despender. Apesar de não ser um fator que se relacione com o funcionamento das aulas, foi algo que se tornou um inconveniente e um pouco maçador devido ao tempo de viagem e à necessidade de sair de casa com uma hora de antecedência, de forma a evitar o trânsito.

Na 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎1 pode observar-se que à segunda-feira o último bloco da manhã se destinava ao horário de atendimento da direção de turma. No entanto, durante todo o ano apenas foi utilizado uma vez por parte dos encarregados de educação. Na quinta-feira, à mesma hora, era realizado o seminário semanal. Estes seminários tinham como objetivo debater assuntos relacionados com a dinâmica da prática de ensino. Eram também utilizados para fazer a divisão das regências e discussão das mesmas.

Figura 1 - Horário

8

Quase todas as semanas, na Faculdade de Ciências, eram realizados seminários com o Professor António Guedes de Oliveira onde eram discutidos assuntos relativos ao Relatório de Estágio.

Desde o início do estágio fui incentivada a participar numa variedade de reuniões e encontros, com vista à preparação do novo ano letivo, na Escola Secundária de Valongo. Ainda antes de começarem as aulas, participamos nas Jornadas Pedagógicas que se realizaram na escola durante dois dias e para toda a comunidade do agrupamento de Escolas de Valongo. Estes dias tiveram a presença de vários oradores convidados que falaram sobre diversos temas. Apesar de achar a iniciativa bastante interessante, penso que não teve as melhores condições de funcionamento. Estas palestras foram realizadas na Sala de Alunos, que é uma sala ampla, e sem o auxílio de microfone e colunas não foi possível ouvir os oradores.

Ao longo do ano participei numa reunião geral, numa reunião de departamento, numa reunião com o núcleo de professores de matemática de 11º ano e numa de 12º ano, em sete conselhos de turma e em duas reuniões com os encarregados de educação. Tanto os conselhos de turma como as reuniões com os encarregados de educação foram bastante diferentes do que estava à espera. A participação nestas reuniões ajudou-me a ter uma ideia do trabalho e organização que um professor deve ter para se preparar para as mesmas.

Durante as duas primeiras semanas de aulas apenas assistimos às aulas do Professor Vladimiro, de forma a ficarmos a conhecer o funcionamento das mesmas. Depois seguiu-se uma fase de assessoria, onde percorríamos a sala de aula e tirávamos dúvidas aos alunos. Inicialmente em conjunto, e depois sozinhas. Esta fase foi bastante importante, uma vez que os alunos tiveram oportunidade de se habituar às novas professoras, e nós a eles, ainda antes da nossa primeira regência.

𝟐. 𝟐. As turmas

Neste ano, foram apenas atribuídas duas turmas ao Professor Vladimiro Machado, o 11º𝐶𝑇2 e o 12º𝐶𝑇4, sendo a do 11º a sua direção de turma. Apesar de a maioria dos alunos de ambas as turmas já terem sido alunos do Professor, estas eram muito distintas no que toca ao aproveitamento escolar e ao comportamento na sala de aula, isso exigia diferentes estratégias e preocupações, o que se mostrou ser um grande desafio.

9

Uma vez que o Professor já conhecia ambas as turmas dos anos anteriores, foi-lhe possível dar-nos uma breve introdução sobre aquilo com que nos iriamos deparar. Assim sendo, e ainda antes do início das aulas, já sabíamos que íamos ter uma turma muito empenhada e outra com muitas dificuldades.

Infelizmente, o nosso estágio era apenas constituído por turmas do Ensino Secundário. Gostaria de ter tido a possibilidade de também estagiar com turmas do 3º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Profissional. Julgo que haveria muitos benefícios em ter experiência nestas turmas pois, certamente, têm dinâmicas diferentes de funcionamento e seria uma mais valia aprender estratégias distintas para trabalhar com os diferentes níveis de ensino. No futuro, penso que será uma mais valia os estagiários terem oportunidade de ganhar experiência nestes variados tipos de ensino.

Tivemos a oportunidade de assistir a uma aula de 7º ano da Professora Cristina Fonseca, o que permitiu vivenciar um tipo de aula muito diferente do que estávamos habituadas até então. Para além do comportamento dos alunos ser mais difícil de gerir, a Professora tem que adaptar variadas maneiras de cativar os alunos e mantê-los focados.

𝟐. 𝟐. 𝟏. 11º ano

Esta turma é constituída por 13 rapazes e 12 raparigas, e quase todos os alunos praticavam desporto federado. Grande parte dos alunos mostrava-se interessados e aplicados na disciplina de matemática. No entanto, esta é uma turma bastante irrequieta e difícil de manter concentrada e focada.

Por ser uma turma irrequieta e faladora, manter o ambiente de sala de aula calmo nem sempre foi uma tarefa fácil. Além disso, apesar de ser extremamente gratificante lecionar numa turma com alunos tão interessados, também se revelou ser cansativo tirar as dúvidas que iam surgindo durante a realização de fichas de trabalho. Em ambas as turmas, a gestão do tempo foi mais difícil do que estava à espera e, por isso, nem sempre consegui cumprir o que tinha previamente planeado para as aulas. Outra dificuldade com que me deparei durante o ano foi a escrever no quadro a giz, porque a qualidade do quadro e do próprio giz não eram as mais adequadas.

No total lecionei 11 aulas, nove de 90𝑚𝑖𝑛 e duas de 45𝑚𝑖𝑛, a primeira aula nesta turma foi no dia 29𝑑𝑒𝑛𝑜𝑣𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 e a última no dia 7𝑑𝑒𝑓𝑒𝑣𝑒𝑟𝑒𝑖𝑟𝑜.

10

No final do primeiro período, realizamos um desafio de natal para esta turma que consistia em resolver individualmente um “enigma” matemático durante as férias de natal. Apenas tivemos a participação de duas alunas e estas tiveram direito a um prémio de participação.

No segundo período foi-nos dada a possibilidade de realizarmos um teste de avaliação. Este teste incidiu sobre as sucessões e foram construídas quatro versões. Após a realização do mesmo, e com a supervisão do Professor Vladimiro, ficou ao nosso encargo a correção e atribuição das notas. Esta tarefa foi bastante difícil, pois foi a primeira vez que tivemos que fazer critérios de avaliação e concordar nas correções que estávamos a fazer. A realização do teste revelou-se mais fácil e mais rápida do que a correção do mesmo. Observamos uma descida das notas após a realização do teste, o que poderá ter estado relacionado com o facto de o teste ter sido ligeiramente maior e as perguntas estarem mais encadeadas do que nos testes a que estavam habituados.

𝟐. 𝟐. 𝟐. 12º ano

Esta turma é constituída por 7 raparigas e 13 rapazes dos quais 5 eram repetentes. Ao contrário da turma anterior, esta não se mostrava interessada com a disciplina.

Este desinteresse tornava o funcionamento das aulas bastante difícil visto que não sentia um envolvimento por parte da turma, o que é algo bastante desmotivador e frustrante. Para além dessa questão, o baixo aproveitamento e as dificuldades de aprendizagem faziam com que as aulas se desenrolassem de uma forma mais lenta do que o habitual.

Às segundas-feiras de manhã, esta turma tinha aulas num auditório, onde a mesa do professor estava em cima de um palco, criando, na minha opinião, um grande distanciamento entre o professor e os alunos. Esta disposição não contribuía para o bom funcionamento da aula, principalmente nas aulas práticas, tornando-as muito monótonas e com dificuldades acrescidas quando era necessário tirar dúvidas aos alunos pois era difícil movimentar-me pela sala.

A minha aula assistida foi com nesta turma e, mais uma vez, uma das maiores dificuldades com que me deparei foi controlar o meu nervosismo e tentar cativar a turma. No entanto, e para meu espanto, neste dia os alunos pareciam bastante mais atentos e participativos do que o normal.

11

A minha primeira e última regência neste estágio foram ambas nesta turma, no dia 19𝑑𝑒𝑛𝑜𝑣𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 e 20𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑜 respetivamente. No total lecionei 11 aulas, todas elas de 90𝑚𝑖𝑛.

𝟐. 𝟑. Plano anual de atividades

Ao longo destes meses participei e organizei, em conjunto com a minha colega Cátia Costa, atividades com o objetivo de promover o gosto pela matemática.

𝟐. 𝟑. 𝟏. Desafio de Natal

Para além do desafio de natal destinado à turma do 11º𝐶𝑇2, também foi realizado um desafio de natal para todo o 3º Ciclo. Mais uma vez tratava-se de um enigma de matemática, onde o grau de dificuldade não era muito elevado. Tendo em conta que não tínhamos turmas do 3º Ciclo, falamos com todos os professores de matemática que lecionavam estas turmas a fim de entregarem o desafio por nós criado.

Cada professor recebeu um regulamento e 10 folhas com o desafio, tendo a possibilidade de pedir mais, caso fosse necessário. Ao contrário do 11º, este desafio deveria ser realizado em grupo e a resolução teria que ser apresentada de forma original, podendo recorrer a desenhos, música, teatro, etc.

Infelizmente senti que os professores se mostraram bastante reticentes em ajudar a divulgar este desafio bem como a cativar os seus alunos para participarem.

Apesar de termos muitas esperanças com o desafio, apenas obtivemos a resolução de uma aluna. Sendo assim, fizemos ajustes ao regulamento de forma a poder ser validada a participação individual da aluna, e poder-se proceder à entrega do prémio.

12

𝟐. 𝟑. 𝟐. Dia do 𝜋

Para o dia do 𝜋 falamos com a Professora dos Cursos Profissionais para trabalharmos em conjunto e planearmos este dia. Acabamos por ficar responsáveis de organizar um 𝜋 −Gigante, (𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎2), enquanto que a Professora ficou responsável pela decoração da sala dos professores. A turma de culinária da Escola, organizou um lanche para a sala dos professores com vários aperitivos em formato de 𝜋. No intervalo da manhã, juntamente com a Professora dos Cursos Profissionais, juntamos vários alunos para tirar uma fotografia (𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎3) em forma de 𝜋, no entanto, o local para o efeito não foi o melhor.

𝟐. 𝟑. 𝟑. Outras atividades

No segundo período participamos na vigilância das Olimpíadas em Grupo de Matemática, para o Secundário. Estas Olimpíadas consistiam num conjunto de três tarefas, onde era tido em conta o tempo de resolução. Foi uma atividade que gostei imenso de participar, pois gosto de ver o espírito competitivo saudável.

No entanto penso que o número de participações poderia ter sido melhor se houvesse maior incentivo e promoção da atividade, e também se não houvesse outra atividade a decorrer à mesma hora, nomeadamente um torneio de basquetebol.

No início do ano tínhamos planeado fazer um 𝑃𝑒𝑑𝑑𝑦 − 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑟 pela escola, tendo inclusive começado a sua preparação. Porém, por motivos relacionados com a gestão de tempo, não foi possível avançar com a tarefa.

Figura 2 - 𝜋 − 𝐺𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑒 Figura 3 - 𝜋 −𝐻𝑢𝑚𝑎𝑛𝑜

13

𝟑.Trigonometria-Pursuit

Durante este ano assisti a aulas sobre trigonometria relativas ao 11º ano, durante as quais os alunos apresentaram algumas dificuldades em entender os novos conceitos, o que provocava a diminuição do interesse. Foi aí que comecei a questionar: "𝑂𝑞𝑢𝑒𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟𝑝𝑎𝑟𝑎𝑜𝑠𝑎𝑗𝑢𝑑𝑎𝑟? ". Assim sendo, decidi desenvolver um jogo, pois é algo com o qual me identifico bastante e sou da opinião que se devem promover maneiras inovadoras de aprender, pois os alunos não são todos iguais e estas alternativas podem cativar alunos que previamente se demonstravam desinteressados ou em que os métodos convencionais não se mostram tão eficazes.

Este jogo não é indicado para a introdução ao tema, uma vez que pressupõe conceitos de conteúdos do tema lecionados no 11º ano de escolaridade. Penso que será uma mais valia para se usar numa sala de aula, uma vez que promove o espírito competitivo dos alunos e faz com que se apliquem mais para poderem obter melhores resultados no jogo.

Este jogo pode ter mais vertentes do que aquela que estará representada abaixo. O professor que faça uso do jogo tem a liberdade de construir novas cartas se assim o entender e consoante o objetivo da sua utilização.

Uma vez que se trata de um jogo de perguntas, decidi chamar-lhe "𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 − 𝑃𝑢𝑟𝑠𝑢𝑖𝑡".

𝟑. 𝟏.Manual de instruções

𝟑. 𝟏. 𝟏.O Jogo

O jogo é constituído por um tabuleiro (𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎4), um dado trapezoide pentagonal (10 faces), 160 cartões de letras e 60 Cartas–Pergunta, 20 Cartas–Duelo, dois lápis e dois blocos de notas.

O jogo pode ser jogado entre duas a quatro pessoas.

14

𝟑. 𝟏. 𝟐.A preparação

Colocar o tabuleiro no centro da mesa e dispor as cartas no local indicado na 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎4.

Figura 4 – Representação do Tabuleiro de Jogo.

𝟑. 𝟏. 𝟑.O objetivo

Ser o primeiro jogador a completar a palavra TRIGONOMETRIA.

𝟑. 𝟏. 𝟒.Como jogar

Uma vez que o dado do jogo não é numérico, pode-se optar por ser o jogador mais novo a começar a jogar. Cabe aos outros jogadores cronometrar o tempo de cada pergunta.

Que comece o jogo!

15

Lança o dado e a face que ficar voltada para baixo é a escolhida. Caso saia:

o Uma letra Retira uma Carta–Pergunta e, caso consigas responder à pergunta no tempo indicado, ganhas a letra que te saiu no dado.

o A face-duelo Podes desafiar um adversário teu para um duelo. Escolhes uma das cartas do teu adversário e ele faz o mesmo com as tuas. Essas são as letras em jogo. Retira uma Carta–Duelo. O Jogador a responder primeiro acertadamente, recebe as duas cartas. Se te sair esta face não és obrigado a jogar. Caso decidas não desafiar nenhum Jogador para um duelo, a jogada termina. Casos particulares:

o Nem tu nem o jogador que poderás desafiar têm letras – neste caso não faz sentido fazer o duelo, uma vez que não há prémio, e a jogada termina.

o Tu não tens letras, mas o teu adversário tem – neste caso podes desafiá-lo, e fica apenas uma letra em jogo.

o Tu tens letras, mas o teu adversário não tem – neste caso não se justifica a realização de duelo, pois não há nada a ganhar.

A jogada termina quando ganhares uma letra ou errares a pergunta.

Vai ser normal teres letras repetidas, mas não te preocupes. Se conseguires juntar três letras iguais (para além das que estão a ser usadas na construção da palavra) podes trocá-las por uma letra à tua escolha sem teres que responder a qualquer pergunta extra.

Notas:

• As tuas respostas deverão estar sempre simplificadas. No caso de a tua resposta não corresponder à que está no cartão, fica ao critério dos restantes jogadores validarem ou não a resposta.

• Não é permitido uso de calculadora nem o recurso a qualquer tipo de material de apoio teórico que facilite a resolução das perguntas.

16

𝟑. 𝟐.O dado

Na 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎5 pode-se observar a planificação do dado para recortar e utilizar no jogo.

Figura 5 – Planificação do dado para recortar

𝟑. 𝟑.As cartas

𝟑. 𝟑. 𝟏.Letras

Como já foi indicado no manual de instruções, haverá 160 cartões com letras, como mostra a 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎6.

Este jogo inclui:

Figura 6 – Representação dos cartões com as letras

𝟑. 𝟑. 𝟐.Carta–Pergunta

As 60 Cartas–Pergunta têm grau de dificuldades diferentes e exigem resoluções em tempos limite distintos, como se pode ver na 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎7. A Carta–Pergunta é de seleção aleatória.

o 20 T’s o 20 R’s o 20 I’s

o 16 G’s o 20 O’s o 16 N’s

o 16 M’s o 16 E’s o 16 A’s

17

Figura 7 – Representação da Carta-Pergunta.

De seguida encontram-se as 60 perguntas selecionadas para a elaboração do jogo.

1) 20𝑠 – Calcula o valor exato de sin\ ]^_` + cos\ ]^

_`.

R:1

2) 30𝑠 – Calcula o valor exato de [sin(𝑥) − cos(𝑥)]\. R: 1 − 2 sin(𝑥) cos(𝑥)

3) 20𝑠 – Enuncia a Lei dos Senos. R: fgh(i)

j= fgh(l)

m= fgh(n)

o

4) 20𝑠 – Enuncia a Lei dos Cossenos.

R: 𝑎\ = 𝑏\ + 𝑐\ − 2𝑏𝑐cos(α) ou 𝑏\ = 𝑎\ + 𝑐\ − 2𝑎𝑐cos(β) ou 𝑐\ = 𝑎\ + 𝑏\ − 2𝑎𝑏cos(γ)

5) 15𝑠 – Calcula o valor exato de sin(120°). R: √_

\

6) 30𝑠 – Calcula o valor exato de (sin(𝑥) − cos(𝑥))(cos(𝑥) + sin(𝑥)) + 1.

R: 2 sin\(𝑥)

7) 20𝑠 – Calcula o valor exato de (sin(𝑥) + cos(𝑥))\ − 1. R: 2 sin(𝑥) cos(x)

18

8) 45𝑠 – Calcula o valor exato de wxyzh{(|)

w}yzh{(|)+ sin\(𝑥).

R: cos\(𝑥)

9) 30𝑠 – Calcula o valor exato de w~�f{(|)

− 1. R: tan\(𝑥)

10) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: sin(−𝛼).

R: −sin(𝛼)

11) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: cos(−𝛼).

R: cos(𝛼)

12) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: tan(−𝛼).

R: − tan(𝛼)

13) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: sin(𝜋 − 𝛼).

R: sin(𝛼)

14) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: cos(𝜋 − 𝛼).

R: −cos(𝛼)

15) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: tan(𝜋 − 𝛼).

R: − tan(𝛼)

16) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: sin(𝜋 + 𝛼).

R: −sin(𝛼)

17) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: cos(𝜋 + 𝛼).

R: −cos(𝛼)

18) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: tan(𝜋 + 𝛼).

R: tan(𝛼)

19

19) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão

seguinte em função de 𝛼: sin ]^\− 𝛼`.

R: cos(𝛼)

20) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: cos ]^

\− 𝛼`.

R: sin(𝛼)

21) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: sin ]^

\+ 𝛼`.

R: cos(𝛼)

22) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: cos ]^

\+ 𝛼`.

R: −sin(𝛼)

23) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: sin ]_^

\− 𝛼`.

R: −cos(𝛼)

24) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: cos ]_^

\− 𝛼`.

R: −sin(𝛼)

25) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: sin ]_^

\+ 𝛼`.

R: −cos(𝛼)

26) 20𝑠 – Relações entre as razões trigonométricas. Simplifica a expressão seguinte em função de 𝛼: cos ]_^

\+ 𝛼`.

R: sin(𝛼)

27) 30𝑠 – Calcula o valor exato de sin ]�^�` + cos ]�^

_`.

R: 0

20

28) 30𝑠 – Indica o número de soluções da equação cos(𝑥) = w\ com 𝑥 ∈

�− ^\, 3𝜋�.

R: 4

29) 40𝑠 – Indica a(s) solução(ões) da equação sin(𝑥) = √_\

, com 𝑥 ∈ �−𝜋, ^\�.

R: 𝐶. 𝑆. = �^_�

30) 30𝑠 – Indica o número de vezes em que a função 𝑓, definida por 𝑓(𝑥) =

cos(𝑥) atinge o seu máximo em ]0,4𝜋]? R: 2

31) 30𝑠 – Indica o número de soluções da equação sin(𝑥) = √\\

com 𝑥 ∈ �^\, 3𝜋�.

R: 3

32) 40𝑠 – Indica a(s) solução(ões) da equação cos(𝑥) = − w\ com 𝑥 ∈ �0, _^

\�.

R: 𝐶. 𝑆. = �\^_ , �^_�

33) 30𝑠 – Indica o número de vezes em que a função 𝑔, definida por g(𝑥) =

sin(𝑥) atinge o seu mínimo em �−𝜋, _^\�?

R: 1

34) 30𝑠 – Indica o número de soluções da equação tan(𝑥) = √3 com 𝑥 ∈[−2𝜋, 0].

R: 2

35) 40𝑠 – Indica a(s) solução(ões) da equação tan(𝑥) = 1 com 𝑥 ∈ �−𝜋, ^\�.

R: 𝐶. 𝑆. = �− _^�, ^��

36) 30𝑠 – Indica o número de vezes em que a função ℎ, definida por ℎ(𝑥) =

tan(𝑥) se anula em [0,5𝜋]? R: 6

37) 20𝑠 – Em que quadrante(s) a função 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 é negativa? R: 2º e 4º

38) 20𝑠 – Existe algum quadrante em que as funções 𝑠𝑒𝑛𝑜, 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 e 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 têm todas o mesmo sinal?

R: Sim (no 1º)

21

39) 20𝑠 – Em que quadrante(s) é que as funções 𝑠𝑒𝑛𝑜 e 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 têm o mesmo

sinal? R: 1º e 4º

40) 20𝑠 −Sejam 𝛼 e 𝛽 dois ângulos positivos pertencentes ao terceiro quadrante tais que 𝛼 < 𝛽. Então 𝑠𝑖𝑛(𝛼) é menor ou maior do que sin(𝛽)?

R: sin(𝛼) > sin(𝛽)

41) 20𝑠 − Sejam 𝛼 e 𝛽 dois ângulos positivos tais que 𝛼 < 𝛽. Em que quadrante(s) é que 𝑐𝑜𝑠(𝛼) < cos(𝛽)?

R: 3º e 4º

42) 20𝑠 − Sejam 𝛼 e 𝛽 dois ângulos tais que 𝛼 < 𝛽. Em que quadrante(s) é que 𝑐𝑜𝑠(𝛼) < cos(𝛽) e sin(𝛼) > sin(𝛽)?

R: 3º

43) 20𝑠 −Indica em que quadrante(s) o 𝑠𝑒𝑛𝑜 é positivo e a 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 é decrescente.

R: Não há nenhum quadrante em que a tangente seja decrescente.

44) 20𝑠– Indica em que quadrante(s) todos os ângulos têm o 𝑠𝑒𝑛𝑜 maior do que a 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒.

R: 2º e 4º

45) 30𝑠 −Seja 𝑥 a amplitude de um ângulo. Indica os valores mínimo e máximo que a expressão �x\fgh(|)

_ atinge.

R: mínimo: \_ e máximo: 2

46) 20𝑠 −Quantos zeros tem a função 𝑓, definida por 𝑓(𝑥) = cos(𝑥),

pertencentes ao intervalo �^\, _^\�? Indica-o(s).

R: tem um zero, 𝑥 = ^\

47) 40𝑠 − Calcula cos �arcseno ]w\`� + arctan �sen ]^

\`�.

R: √_\+ ^

�

48) 10𝑠 −Indica o domínio da função 𝑠𝑒𝑛𝑜.

R: ℝ

22

49) 10𝑠 − Indica o período fundamental da função 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒. R: 𝜋

50) 15𝑠 − “A função 𝑠𝑒𝑛𝑜 e a função 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 são ambas par.” Verdadeiro ou falso?

R: Falso

51) 15𝑠 − Indica a expressão geral dos minimizantes da função 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜. R: 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

52) 20𝑠 − Indica a que quadrante pertence o 𝑥, sabendo que 𝑐𝑜𝑠(𝑥) < 0 e tan(𝑥) > 0. R: 3º

53) 20𝑠 − A que quadrante pertence o ângulo de amplitude 4260°? R: 4º

54) 20𝑠– Escreve na forma 𝑎 + 𝑛 × 2𝜋, 𝑛 ∈ ℤ, o ângulo generalizado de amplitude \�^

�.

R: _^�+ 3 × 2𝜋

55) 30𝑠 − Seja 𝛼 um ângulo agudo, justifica se é possível ter-se 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = \

_ e

𝑠𝑖𝑛(𝛼) = w_.

R: Não é possível. A igualdade sin\(𝑥) + cos\(𝑥) = 1 não é verificada.

56) 30𝑠 − Seja 𝛼 um ângulo agudo, justifica se é possível ter-se 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = w� e

tan(𝛼) = 2√6. R: É possível. A igualdade 1 + tan\(𝑥) = w

~�f{(|) é verificada.

57) 20𝑠 − A que quadrante ou semieixo pertence o ângulo generalizado

(−270°, −3)? R: Semieixo positivo das ordenadas.

58) 30𝑠 − Indica o sinal de sin(𝑥) −cos(𝑥) sabendo que 𝑥 ∈ �^

\, 𝜋�.

R: Positivo

59) 30𝑠 − Indica o sinal de tan(𝑥) × sin(𝑥) sabendo que 𝑥 ∈ �𝜋, _^\�.

R: Negativo

23

60) 30𝑠 − Resolve cos(𝑥) = sin(𝑥) em ℝ.

R: 𝑥 = ^�+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

𝟑. 𝟑. 𝟑.Carta–Duelo

Figura 8 – Representação da Carta-Duelo.

Uma particularidade da Carta–Duelo é não ter tempo limite. Vencerá o Jogador a responder primeiro acertadamente à pergunta.

De seguida encontram-se os 20 problemas escolhidos para as Cartas–Duelo (exemplo na 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎8).

Lista de perguntas para as Cartas–Duelo:

1) Dado um triângulo [𝐴𝐵𝐶], sabe-se que 𝐴𝐶�𝐵 = ^_, 𝐴𝐶���� = 6√3 e 𝐵𝐶���� = 3√3.

Determina 𝐴𝐵�𝐶, 𝐵Â𝐶 e 𝐴𝐵����. R: 𝐴𝐵�𝐶 = ^

\, 𝐵Â𝐶 = ^

� e 𝐴𝐵���� = 9.

2) Determina o valor exato de ~�f]x ¡¢ `xfgh]

£¡¤ `

yzh]£¡¢ `.

R: −3

3) Simplifica a expressão: − tan ]^\− 𝛼` × cos ]^

\+ 𝛼` + cos(𝜋 + 𝛼).

R: 0

24

4) Determina o valor de 13 sin ]𝑥 − ^\` − 5 tan(2𝜋 + 𝑥), sabendo que 𝑐𝑜𝑠 ]^

\+

𝑥` = w\w_

e que 𝑥 ∈ �𝜋, _^\�.

R: −7

5) Determina 𝑡𝑎𝑛(−𝑥) × cos ]_^\+ 𝑥` − cos(𝜋 − 𝑥), sabendo que −3 sin ]𝑥 −

_^\` + 2 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 4º quadrante.

R: _\

6) Determina o valor de arccos ]w

\− 𝑠𝑖𝑛 ]^

\`` − arcsin ]− √_

\` +

arctan ]𝑐𝑜𝑠 ]^�` − �√_

�`.

R: �^�

7) Resolve, em [0,2𝜋], a seguinte condição: sin(𝑥) > −√\\∧ cos(x) ≥ 0.

R: �0, ^\� ∪ ��^

�, 2𝜋�

8) Sejam 𝑥, 𝑦 e 𝑧 as amplitudes dos ângulos internos de um triângulo. Então:

(𝐴)cos(𝑥) = cos(𝑦 + 𝑧)(𝐶)sin(𝑥) = sin(𝑦 + 𝑧) (𝐵) cos(𝑥) = sin(𝑦 + 𝑧)(𝐷)sin(𝑥) = −sin(𝑦 + 𝑧)

R: (𝐶)

9) O valor exato da expressão arctan ]𝑡𝑎𝑛 ]�^_`` − arcsin ]𝑐𝑜𝑠 ]\^

_`` é:

(𝐴)3π2

(𝐶) −√32

(𝐵) −π6

(𝐷)5π3

R: (𝐵)

10) Seja 𝛼 ∈ [2𝜋, 3𝜋], tal que tan(𝜋 − 𝛼) = √8. Determina o valor exato de ]cos ]𝛼 − �^

\`` ]cos ]− ª^

\− 𝛼`` − cos(11𝜋 + 𝛼).

R: �ª

11) Indica o valor mínimo e máximo de (sin(𝑥) − 1)_.

R: mínimo: −8 e máximo: 0

12) Determina os valores de 𝑘 para os quais se tem: 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑘\ − 3𝑘 +2 ⋀ 𝑥 ∈ �0, ^\�.

R: [0,1[∪]2,3]

25

13) Simplifica a expressão: 𝑠𝑖𝑛(𝑥) × cos\(𝑥) + sin_(𝑥). R: sin(𝑥)

14) Resolve, em ℝ, 2 sin\(2𝑥) = 1. R: 𝑥 = ^

¬+ ­^

�, 𝑘 ∈ ℤ

15) Resolve, em [0,2𝜋], |cos(𝑥)| < cos ]^

_`.

R: �^_, \^_� ∪ ��^

_, �^_�

16) Determina o valor de tan\(𝜋 − 𝑥) − 3 sin(𝑥), sabendo que cos(𝑥) = w

_ e 𝑥 ∈

�_^\, 2𝜋�.

R: 8 + 2√2

17) Determina o valor de tan(𝑥), sabendo que −630° < 𝑥 < −450° e que sin(𝑥) = w

_.

R: −√\�

18) Resolve em ℝ e indica a maior solução negativa de 2 sin ]𝑥 + ^_` + √3 = 0.

R: 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = − \^_+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ e a maior solução negativa é

−\^_

.

19) Seja 𝑓 a função, de domínio ℝ, definida por:

𝑓(𝑥) = sin �3𝜋2 + 𝑥� + cos(𝜋 − 𝑥) − cos ]

𝜋2 + 𝑥` − sin(2𝜋 − 𝑥)

Qual das expressões define 𝑓? (𝐴) sin(x) + 3 cos(x)(𝐶)3 sin(x) − cos(𝑥) (𝐵)2 sin(x) + 2 cos(𝑥)(𝐷)2 sin(𝑥) − 2cos(𝑥)

R: (𝐷)

20) Determina 𝑘 ≠ 0 tal que w}fgh(|)~�f(|)

+ ~�f(|)w}fgh(|)

= \­

R: cos(𝑥)

26

𝟒.Lei dos cossenos na trigonometria esférica e algumas aplicações

Ao longo deste trabalho, trabalhar-se-á sempre com esferas trigonométricas, ou seja, com esferas de raio 1, e com alguns conceitos que serão introduzidos neste capítulo.

Dá-se o nome de 𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 à interseção da esfera com um plano que passa na origem da esfera.

Por exemplo, na 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎9, podem-se observar dois círculos máximos, 𝐸𝐴𝐵 e 𝑃𝐴𝑄, e ainda uma circunferência 𝐹𝐶𝐷, paralela ao círculo máximo 𝐸𝐴𝐵, esta circunferência não é um círculo máximo pois o plano que a contêm não passa no centro da esfera.

O â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜 é obtido com a interseção de dois círculos máximos e é medido com a ajuda de retas tangentes a esses círculos máximos. Por exemplo, o ângulo 𝐶𝑃�𝐷, na 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎9, é medido com a ajuda das retas tangentes 𝑃𝑆 e 𝑃𝑇.

Dá-se o nome de 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜 ao triângulo formado pela interseção de três semicircunferências distintas definidas por círculos máximos que não se intersetam todos num ponto. Isto é, todos os lados do triângulo têm que estar contidos em círculos máximos. Na 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎9 pode-se observar o triângulo esférico [𝐴𝑋𝑌].

De forma a facilitar a escrita durante este trabalho, iremos denotar os ângulos internos de um triângulo esférico com recurso ao símbolo "aº". Por exemplo, no triângulo esférico [𝐴𝑋𝑌], o ângulo 𝐴𝑋�𝑌 será apenas denotado por 𝑋�.

𝟒. 𝟏.Soma dos ângulos internos de um triângulo esférico

Vamos começar por estudar um dos teoremas mais importantes da geometria esférica.

Na trigonometria plana, a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 𝜋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠. No entanto, quando se trata da trigonometria esférica, a situação é diferente.

Figura 9 – Representação de círculos máximos.

27

Vejamos o seguinte teorema.

Teorema:

“Na geometria esférica, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo esférico é maior do que de dois ângulos de ^

\ radianos, ou

seja, maior do que 𝜋radianos.”

De forma a entender melhor este teorema, é necessário olhar para a seguinte prova.

Prova:

Denota-se por:

¨ ∑𝑎a esfera ¨ 𝐹|¼ o fuso de esfera determinado pelo ângulo 𝑥¼ Na 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎10 pode-se observar os fusos de esfera determinados pelo ângulo 𝐴� e pelo ângulo 𝐴′¾ .

Começa-se por calcular a área do fuso determinado pelo ângulo 𝐴�.

Tem-se que:

𝐴¿À¾ = 4𝜋 ×Â2𝜋

Analogamente obtém-se que a área do fuso determinado pelo ângulo 𝐴′¾ é dado por:

𝐴¿ÀÁÂ = 4𝜋 ×𝐴′¾

2𝜋

A área total dos fusos determinados pelos ângulos 𝐴� e 𝐴′¾ e uma vez que  = 𝐴′¾ será denotado por 𝐴∑ jÀ¾ . Assim,

𝐴∑ jÀ¾ = 𝐹 + 𝐹ÃÄ = 4𝜋 ×Â2𝜋 + 4𝜋 ×

𝐴′¾

2𝜋 = 4𝜋 ×2Â2𝜋 = 4Â

Figura 10 – Fusos de esfera determinado pelo ângulo  e pelo ângulo 𝐴′¾ .

28

Analogamente a área total dos fusos determinados pelos ângulos 𝐵� e 𝐵′¾ e a área total dos fusos determinados pelos ângulos 𝐶¾e 𝐶′¾ é

𝐴∑ jž = 𝐹Æ + 𝐹ÆÄ = 4𝐵�

𝐴∑ jǾ = 𝐹È + 𝐹ÈÄ = 4𝐶�

Ao somarmos as áreas totais 𝐴∑ jÀ¾ + 𝐴∑ jž + 𝐴∑ jǾvamos obter mais do

que a esfera completa, uma vez que estamos a somar a área do triângulo esférico [𝐴𝐵𝐶] e a área do triângulo com simetria central [𝐴Ä𝐵Ä𝐶Ä] mais do que uma vez.

Ora vejamos:

𝐴∑ jÀ¾ + 𝐴∑ jž + 𝐴∑ jǾ= 𝐴∑j + 2𝐴[𝐴𝐵𝐶] + 2𝐴[𝐴Ä𝐵Ä𝐶Ä]

⇔ 4𝐴� + 4𝐵� + 4𝐶� = 4𝜋 + 4𝐴[𝐴𝐵𝐶]

⇔𝐴� + 𝐵� + 𝐶� =4𝜋 + 4𝐴[𝐴𝐵𝐶]

4

⇔ 𝐴� + 𝐵� + 𝐶� = 𝜋 + 𝐴[𝐴𝐵𝐶] > 𝜋𝑟𝑎𝑑

Conclui-se, que a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico é superior a 𝜋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠, aliás, conclui-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico excede os 𝜋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 pela área do próprio triângulo.

Ao longo deste trabalho iremos analisar várias fórmulas trigonométricas que se tornam importantes.

𝟒. 𝟐.Algumas fórmulas da trigonometria esférica

𝟒. 𝟐. 𝟏.Lei fundamental da trigonometria esférica – Lei dos cossenos na esfera

As aplicações desta lei são bastante importantes, uma vez que se consegue obter:

• O terceiro lado do triângulo esférico conhecendo os outros dois e o ângulo por eles formado.

• Os ângulos do triângulo esférico conhecendo os três lados do mesmo.

29

Ao longo deste trabalho será reforçada a importância desta lei na sua aplicação para a demonstração de outros resultados.

Dito isto, vamos ver como funciona.

Seja [𝐴𝐵𝐶] um triângulo esférico numa esfera trigonométrica de centro 𝑂. Consideramos 𝐵𝐶Ê= 𝑎,𝐴𝐶Ê= 𝑏 e 𝐴𝐵Ê= 𝑐, sendo 𝐵𝐶Ê , 𝐴𝐶Ê e 𝐴𝐵Ê os comprimentos dos arcos 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 e 𝐴𝐵 respetivamente.

Tratando-se de uma esfera trigonométrica, 𝑎 = 𝐵Ô𝐶, 𝑏 = 𝐴Ô𝐶 e 𝑐 = 𝐴Ô𝐵, como ilustra a 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎11.

O ponto 𝐷 é a interseção da reta 𝑂𝐵 com a reta tangente ao círculo máximo 𝐴𝐵 no ponto 𝐴, e o ponto 𝐸 é o resultado da interseção da reta 𝑂𝐶 com a reta tangente ao círculo máximo 𝐴𝐶 no ponto 𝐴.

Consideremos, então, quatro triângulos planos diferentes.

¨ Triângulo [𝑂𝐴𝐷] o 𝑂Â𝐷 = 90° o tanÌ𝐴Ô𝐷Í = ÃÎ����

ÏÃ����⟺ 𝐴𝐷���� = 𝑂𝐴���� × tanÌ𝐴Ô𝐷Í

⟺ 𝐴𝐷���� = 𝑂𝐴���� × tan(𝑐) ⟺ 𝐴𝐷���� = tan(𝑐)

o secÌ𝐴Ô𝐷Í = sec(𝑐) = ÏÎ����

ÏÃ����⟺ 𝑂𝐷���� = 𝑂𝐴���� × sec(𝑐)

⟺ 𝑂𝐷���� = sec(𝑐)

¨ Triângulo [𝑂𝐴𝐸] o 𝑂Â𝐸 = 90° o tanÌ𝐴Ô𝐸Í = ÃÑ����

ÏÃ����⟺ 𝐴𝐸���� = 𝑂𝐴���� × tanÌ𝐴Ô𝐸Í

⟺ 𝐴𝐸���� = 𝑂𝐴���� × tan(𝑏) ⟺ 𝐴𝐸���� = tan(𝑏)

o secÌ𝐴Ô𝐸Í = sec(𝑏) = ÏÑ����

ÏÃ����⟺ 𝑂𝐸���� = 𝑂𝐴���� × sec(𝑏)

⟺ 𝑂𝐸���� = sec(𝑏)

Figura 11 – Representação do triângulo esférico [𝐴𝐵𝐶].

30

¨ Triângulo [𝐷𝐴𝐸]

Aplicando a lei, já conhecida, dos cossenos.

𝐷𝐸����\ = 𝐴𝐷����\ + 𝐴𝐸����\ − 2 × 𝐴𝐷���� × 𝐴𝐸���� × cos(𝐷Â𝐸)

⟺𝐷𝐸����\ = (tan(𝑐))\ + (tan(𝑏))\ − 2 × tan(𝑐) × tan(𝑏) × cos(Â)

⟺𝐷𝐸����\ = tan\(𝑐) + tan\(𝑏) − 2 tan(𝑐) tan(𝑏) cosÌÂÍ (∗𝟏)

¨ Triângulo [𝐷𝑂𝐸]

Aplicando novamente a lei dos cossenos.

𝐷𝐸����\ = 𝑂𝐷����\ + 𝑂𝐸����\ − 2 × 𝑂𝐷���� × 𝑂𝐸���� × cos(𝐷Ô𝐸)

⟺𝐷𝐸����\ = (sec(𝑐))\ + (sec(𝑏))\ − 2 × sec(𝑐) × sec(𝑏) × cos(𝑎)

⟺𝐷𝐸����\ = sec\(𝑐) + sec\(𝑏) − 2 sec(𝑐) sec(𝑏) cos(𝑎) (∗𝟐)

Igualando (∗𝟏) a (∗𝟐)

tan\(𝑐) + tan\(𝑏) − 2 tan(𝑐) tan(𝑏) cosÌÂÍ =

= sec\(𝑐) + sec\(𝑏) − 2 sec(𝑐) sec(𝑏) cos(𝑎)

⟺ tan\(𝑐) + tan\(𝑏) − 2 tan(𝑐) tan(𝑏) cosÌÂÍ =

= tan\(𝑐) + 1 + tan\(𝑏) + 1 − 2 ×1

cos(𝑐) ×1

cos(𝑏) × cos(𝑎)

⟺−2 ×sin(𝑐)cos(𝑐) ×

sin(𝑏)cos(𝑏) × cosÌÂÍ = 2 − 2 ×

1cos(𝑐) ×

1cos(𝑏) × cos(𝑎)

⟺−2 ×sin(𝑐)cos(𝑐) ×

sin(𝑏)cos(𝑏) × cosÌÂÍ − 2 = −2 ×

1cos(𝑐) ×

1cos(𝑏) × cos(𝑎)

⟺sin(𝑐)cos(𝑐) ×

sin(𝑏)cos(𝑏) × cosÌÂÍ + 1 =

1cos(𝑐) ×

1cos(𝑏) × cos(𝑎)

31

⟺ cos(𝑎) = cos(𝑐) × cos(𝑏) ×sin(𝑐)cos(𝑐) ×

sin(𝑏)cos(𝑏) × cosÌÂÍ + cos

(𝑐) × cos(𝑏)

⟺ cos(𝑎) = cos(𝑏) × cos(𝑐) + sin(b) × sin(𝑐) × cosÌÂÍ(𝟏)

De forma análoga se tem que:

cos(𝑏) = cos(𝑎) × cos(𝑐) + sin(a) × sin(𝑐) × cosÌ𝐵�Í (𝟐) cos(𝑐) = cos(𝑎) × cos(𝑏) + sin(a) × sin(𝑏) × cosÌ𝐶�Í (𝟑)

Fica assim estabelecida a lei dos cossenos na esfera.

A partir destas três fórmulas, pode-se obter uma variedade de fórmulas trigonométricas, como se irá ver.

𝟒. 𝟐. 𝟐.Fórmulas trigonométricas de meio ângulo

Sabe-se que:

cosÌ2ÂÍ = cos\ÌÂÍ − sin\(Â)

Pode-se manipular esta fórmula de forma a obter-se:

cosÌÂÍ = 1 − 2 sin\ ÔÂ2Õ

Recorrendo a esta fórmula e substituindo-a em (𝟏) obtem-se:

cos(𝑎) = cos(𝑏) × cos(𝑐) + sin(b) × sin(𝑐) × Ô1 − 2 sin\ ÔÂ2ÕÕ

⟺ cos(𝑎) = cos(𝑏) × cos(𝑐) + sin(b) × sin(𝑐) − 2 × sin(b) × sin(𝑐) × sin\ ÔÂ2Õ

⟺ cos(𝑎) = cos(𝑏 − 𝑐) − 2 × sin(b) × sin(𝑐) × sin\ ÔÂ2Õ

⟺ cos(𝑏 − 𝑐) − cos(𝑎) = 2 × sin(b) × sin(𝑐) × sin\ ÔÂ2Õ

32

⟺−(cos(𝑎) − cos(𝑏 − 𝑐)) = 2 × sin(b) × sin(𝑐) × sin\ ÔÂ2Õ

⟺ 2× sinÔ𝑎 − (𝑏 − 𝑐)

2 Õ × sin Ô𝑎 + (𝑏 − 𝑐)

2 Õ = 2 × sin(b) × sin(𝑐) × sin\ ÔÂ2Õ

Tome-se 𝑠 = j}m}o\

⟺ 2𝑠 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, e substituindo na condição anterior obtém-se que:

sin �2𝑠 − 2𝑏

2 � × sin �2𝑠 − 2𝑐

2 � = sin(b) × sin(𝑐) × sin\ ÔÂ2Õ

⟺ sin(𝑠 − 𝑏) × sin(𝑠 − 𝑐) = sin(b) × sin(𝑐) × sin\ ÔÂ2Õ

⟺ sin ÔÂ2Õ = ±×

sin(𝑠 − 𝑏) × sin(𝑠 − 𝑐)sin(b) × sin(𝑐)

Num triângulo esférico todos os ângulos são menores do que 180°, assim, Â\∈ [0,90°[, e neste quadrante o seno é sempre positivo, logo:

⟺ sin ÔÂ2Õ =

×sin(𝑠 − 𝑏) × sin(𝑠 − 𝑐)

sin(b) × sin(𝑐) (𝟒)

Recorrendo novamente à fórmula da duplicação do cosseno:

cosÌ2ÂÍ = cos\ÌÂÍ − sin\ÌÂÍ

De forma análoga, pode-se manipular a seguinte igualdade:

cosÌÂÍ = 2 cos\ ÔÂ2Õ − 1

Voltando a substituir em (𝟏):

cos(𝑎) = cos(𝑏) × cos(𝑐) + sin(b) × sin(𝑐) × Ô2 cos\ ÔÂ2Õ − 1Õ

33

⟺ cos(𝑎) = cos(𝑏) × cos(𝑐) + 2 × sin(b) × sin(𝑐) × cos\ ÔÂ2Õ − sin

(b) × sin(𝑐)

⟺ cos(𝑎) = cos(b + c) + 2 × sin(b) × sin(𝑐) × cos\ ÔÂ2Õ

⟺ cos(𝑎) − cos(b + c) = 2 × sin(b) × sin(𝑐) × cos\ ÔÂ2Õ

⟺−(cos(b + c) − cos(𝑎)) = 2 × sin(b) × sin(𝑐) × cos\ ÔÂ2Õ

⟺ 2× sinÔ(𝑏 + 𝑐) − 𝑎

2 Õ × sin Ô(𝑏 + 𝑐) + 𝑎

2 Õ = 2 × sin(b) × sin(𝑐) × cos\ ÔÂ2Õ

Tomando novamente o 𝑠 = j}m}o\

⟺ 2𝑠 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, vem que a condição anterior é equivalente a:

sin �2𝑠 − 2𝑎

2 � × sin �2𝑠2 � = sin(b) × sin(𝑐) × cos\ Ô

Â2Õ

⟺ sin(𝑠 − 𝑎) × sin(𝑠) = sin(b) × sin(𝑐) × cos\ ÔÂ2Õ

⟺ 𝑐𝑜𝑠 ÔÂ2Õ = ±×

sin(𝑠 − 𝑎) × sin(𝑠)sin(b) × sin(𝑐)

Uma vez que Â\∈ [0,90°[, o cosseno é positivo, e portanto:

⟺ 𝑐𝑜𝑠 ÔÂ2Õ =

×sin(𝑠 − 𝑎) × sin(𝑠)sin(b) × sin(𝑐) (𝟓)

Pode-se obter ainda a fórmula de tan ]Â\` dividindo o seno pelo cosseno.

tanÔÂ2Õ =

×sin(𝑠 − 𝑏) × sin(𝑠 − 𝑐)sin(s − a) × sin(𝑠) (𝟔)

34

As fórmulas para sin ]Æ�\` , sin ]È

�

\` , cos ]Æ

�

\` , cos ]È

�

\` , tan ]Æ

�

\` e tan ]�

\` são

obtidos de fórmula análoga, utilizando a fórmula (𝟐) e (𝟑) em vez da (𝟏).

𝟒. 𝟐. 𝟑.Lei dos senos na esfera

É possível obter a lei dos senos a partir da lei dos cossenos. Tendo em conta a fórmula dos cossenos (𝟏), tem-se que:

cos(𝑎) = cos(𝑏) × cos(𝑐) + sin(b) × sin(𝑐) × cosÌÂÍ

⟺ sin(b) × sin(𝑐) × cosÌÂÍ = cos(𝑎) − cos(𝑏) × cos(𝑐)

Elevando agora ambos os lados ao quadrado

⟺ Ìsin(b) × sin(𝑐) × cosÌÂÍÍ\ = (cos(𝑎) − cos(𝑏) × cos(𝑐))\

⟺ sin\(b) × sin\(𝑐) × cos\ÌÂÍ =

= cos\(𝑎) − 2 × cos(𝑎) × cos(𝑏) × cos(𝑐) + cos\(𝑏) × cos\(𝑐)

Cálculo auxiliar:

sin\(b) × sin\(𝑐) × cos\ÌÂÍ = sin\(b) × sin\(𝑐) × Ì1 − sin\ÌÂÍÍ

= sin\(b) × sin\(𝑐) − sin\(𝑏) × sin\(𝑐) × sin\ÌÂÍ

= (1 − cos\(𝑏)) × (1 − cos\(𝑐)) − sin\(𝑏) × sin\(𝑐) × sin\ÌÂÍ

= 1 − cos\(𝑏) − cos\(𝑐) + cos\(𝑏) × cos\(𝑐) − sin\(𝑏) × sin\(𝑐) × sin\ÌÂÍ

Substituindo novamente em cima obtém-se:

1 − cos\(𝑏) − cos\(𝑐) + cos\(𝑏) × cos\(𝑐) − sin\(𝑏) × sin\(𝑐) × sin\ÌÂÍ =

= cos\(𝑎) − 2 × cos(𝑎) × cos(𝑏) × cos(𝑐) + cos\(𝑏) × cos\(𝑐)

⟺ 1− cos\(𝑏) − cos\(𝑐) − sin\(𝑏) × sin\(𝑐) × sin\ÌÂÍ =

35

= cos\(𝑎) − 2 × cos(𝑎) × cos(𝑏) × cos(𝑐)

⟺ sin\(𝑏) × sin\(𝑐) × sin\ÌÂÍ =

= 1 − cos\(𝑎) − cos\(𝑏) − cos\(𝑐) + 2 × cos(𝑎) × cos(𝑏) × cos(𝑐)

Tome-se agora um valor positivo de 𝑋 tal que:

𝑋\ sin\(𝑎) sin\(𝑏) sin\(𝑐) =

= 1 − cos\(𝑎) − cos\(𝑏) − cos\(𝑐) + 2 cos(𝑎) cos(𝑏) cos(𝑐)

Isto é:

𝑋\ = sin\(𝑏) × sin\(𝑐) × sin\ÌÂÍsin\(𝑎) sin\(𝑏) sin\(𝑐)

⟺ 𝑋\ =𝑠𝑖𝑛\(Â)𝑠𝑖𝑛\(𝑎)

⟺ 𝑋 = ±sin(Â)sin(𝑎)

No entanto, num triângulo esférico, os lados são todos menores do que 180°, o que se aplica também aos ângulos. Portanto, e uma vez que sin(𝜃) é sempre positivo para 𝜃 ∈ [0,180°], pode concluir-se que 𝑋 = fgh(Â)

fgh(j).

Por um processo análogo, e utilizando as fórmulas (𝟐) e (𝟑) em vez da (𝟏), obtém-se:

𝑋 = fgh(Æ�)fgh(m)

e 𝑋 = fgh(È�)fgh(o)

Pode-se assim concluir a lei dos senos:

sin(Â)sin(𝑎) =

sin(𝐵�)sin(𝑏) =

sin(𝐶�)sin(𝑐) (𝟕)

36

𝟒. 𝟐. 𝟒.Relação envolvendo todos os lados e dois ângulos

Para obter esta relação, divide-se em dois casos:

• 𝐶𝑎𝑠𝑜1 – O lado 𝑐 do triângulo esférico [𝐴𝐵𝐶] está entre 0° e 90°. • 𝐶𝑎𝑠𝑜2 – O lado 𝑐 do triângulo esférico [𝐴𝐵𝐶] está entre 90° e 180°.

𝐶𝑎𝑠𝑜1

Considere-se um triângulo esférico tal que:

• 𝐵𝐷Ê = 90° • 𝐴𝐷Ê = 90° − 𝑐 • 𝐶Â𝐷 = 180° − Â

Recorrendo à fórmula (𝟏) e aplicando-a ao triângulo esférico [𝐷𝐴𝐶], tem-se que:

cos(𝑥) = cos(𝑏) × cos(90° − 𝑐) + sin(b) × sin(90° − 𝑐) × cosÌ180° − ÂÍ

⟺ cos(𝑥) = cos(𝑏) × sin(𝑐) + sin(b) × cos(𝑐) × Ì−cosÌÂÍÍ

⟺ cos(𝑥) = cos(𝑏) × sin(𝑐) − sin(b) × cos(𝑐) × cosÌÂÍ(∗𝟑)

Aplicando agora a fórmula (𝟏) ao triângulo esférico [𝐷𝐵𝐶], tem-se que:

cos(𝑥) = cos(𝑎) × cos(90°) + sin(a) × sin(90°) × cosÌ𝐵�Í

⟺ cos(𝑥) = cos(𝑎) × 0 + sin(a) × 1 × cosÌ𝐵�Í

⟺ cos(𝑥) = sin(a) × cosÌ𝐵�Í(∗𝟒)

Ao igualar (∗𝟑) a (∗𝟒) obtém-se que:

sin(𝑎) × cosÌ𝐵�Í = cos(𝑏) × sin(𝑐) − sin(𝑏) × cos(𝑐) × cosÌÂÍ(𝟖)

Esta fórmula relaciona todos os lados de um triângulo esférico e dois ângulos do mesmo.

Figura 12 – representação de um triângulo esférico onde o lado 𝑐 está entre 0° e 90°.

37

𝐶𝑎𝑠𝑜2

Considere-se agora um triângulo esférico tal que:

• 𝐵𝐷Ê = 90° • 𝐴𝐷Ê = 90° + 𝑐 • 𝐶𝐵�𝐷 = 180° − 𝐵�

Aplicando-se a fórmula (𝟏) ao triângulo [𝐷𝐵𝐶], tem-se que:

cos(𝑥) = cos(𝑎) × cos(90°) + sin(a) × sin(90°) × cosÌ180° − 𝐵�Í

⟺ cos(𝑥) = sin(a) × Ì−cosÌ𝐵�ÍÍ

⟺ cos(𝑥) = − sin(a) × cosÌ𝐵�Í(∗𝟓)

De forma análoga, aplique-se a mesma fórmula ao triângulo [𝐷𝐴𝐶].

cos(𝑥) = cos(𝑏) × cos(90° + 𝑐) + sin(b) × sin(90° + 𝑐) × cosÌÂÍ

⟺ cos(𝑥) = cos(𝑏) × (− sin(𝑐)) + sin(b) × cos(𝑐) × cosÌÂÍ

⟺ cos(𝑥) = −Ücos(𝑏) × sin(𝑐) − sin(b) × cos(𝑐) × cosÌÂÍÝ(∗𝟔)

Ao igualar (∗�) a (∗�) tem-se que:

− sin(a) × cosÌ𝐵�Í = −Ücos(𝑏) × sin(𝑐) − sin(b) × cos(𝑐) × cosÌÂÍÝ

⟺ sin(a) × cosÌ𝐵�Í = cos(𝑏) × sin(𝑐) − sin(b) × cos(𝑐) × cosÌÂÍ

Verificando-se que é igual à fórmula (𝟖) obtida anteriormente.

Figura 13 – representação de um triângulo esférico onde o lado 𝑐 está entre 90° e 180°.

38

Considere-se triângulos esféricos semelhantes tais que:

• 𝐶𝐷Ê = 90° • 𝐵𝐷Ê = 90° − 𝑎 • 𝐴𝐵�𝐷 = 180° − 𝐵�

• 𝐶𝐷Ê = 90° • 𝐵𝐷Ê = 90° + 𝑎 • 𝐴𝐶�𝐷 = 180° − 𝐶�

Obtém-se a seguinte fórmula:

sin(𝑏) × cosÌ𝐶�Í = cos(𝑐) × sin(𝑎) − sin(𝑐) × cos(𝑎) × cosÌ𝐵�Í(𝟗)

Considere-se triângulos esféricos tais que:

• 𝐴𝐷Ê = 90° • 𝐶𝐷Ê = 90° − 𝑏 • 𝐵𝐶�𝐷 = 180° − 𝐶�

• 𝐴𝐷Ê = 90° • 𝐶𝐷Ê = 90° + 𝑏 • 𝐵Â𝐷 = 180° − Â

Obtém-se esta fórmula:

sin(𝑐) × cosÌÂÍ = cos(𝑎) × sin(𝑏) − sin(𝑎) × cos(𝑏) × cosÌ𝐶�Í(𝟏𝟎)

𝟒. 𝟐. 𝟓.Fórmula das quatro partes

Comece-se por considerar quatro partes consecutivas de um triângulo esférico, ou seja, dois lados, o ângulo por eles formado e um segundo ângulo.

Relativamente à 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎14 considere-se, por exemplo, as quatro partes consecutivas:

Â, 𝑐, 𝐵�, 𝑎

De seguida utilize-se duas fórmulas da lei dos cossenos que envolvam os ângulos pretendidos.

Figura 14 – representação de um triângulo esférico.

39

Neste caso, use-se a fórmula (𝟏) e a (𝟐).

cos(𝑎) = cos(𝑏) × cos(𝑐) + sin(b) × sin(𝑐) × cosÌÂÍ

cos(𝑏) = cos(𝑎) × cos(𝑐) + sin(a) × sin(𝑐) × cosÌ𝐵�Í

Ao se substituir a fórmula (𝟐) na (𝟏), obtém-se que:

cos(𝑎) = Ücos(𝑎) × cos(𝑐) + sin(a) × sin(𝑐) × cosÌ𝐵�ÍÝ × cos(𝑐) +

+sin(b) × sin(𝑐) × cosÌÂÍ

⟺ cos(𝑎) = cos(𝑎) × cos\(𝑐) + sin(a) × sin(𝑐) × cosÌ𝐵�Í × cos(𝑐) +

+sin(b) × sin(𝑐) × cosÌÂÍ

⟺ cos(𝑎)[1 − cos\(𝑐)] =

= sin(a) × sin(𝑐) × cosÌ𝐵�Í × cos(𝑐) + sin(b) × sin(𝑐) × cosÌÂÍ

⟺ cos(𝑎) × sin\(𝑐) =

= sin(a) × sin(𝑐) × cosÌ𝐵�Í × cos(𝑐) + sin(b) × sin(𝑐) × cosÌÂÍ

De seguida, é necessário, dividir ambos os lados por sin(𝑎) × sin(𝑐).

cos(𝑎)sin(𝑎) × sin

(𝑐) = cosÌ𝐵�Í × cos(𝑐) +sin(b)sin(𝑎) × cosÌÂÍ

⟺ cot(𝑎) × sin(𝑐) = cosÌ𝐵�Í × cos(𝑐) +sin(b)sin(𝑎) × cosÌÂÍ

Recorrendo à fórmula (𝟕) sabe-se que:

sin(Â)sin(𝑎) =

sin(𝐵�)sin(𝑏) ⟺

sin(𝑏)sin(𝑎) =

sinÌ𝐵�Ísin(Â)

Assim sendo,

cot(𝑎) × sin(𝑐) = cosÌ𝐵�Í × cos(𝑐) +sin(𝐵�)sinÌÂÍ

× cosÌÂÍ

40

⟺ cot(𝑎) × sin(𝑐) = cosÌ𝐵�Í × cos(𝑐) + sinÌ𝐵�Í × cotÌÂÍ

⟺ cos(𝑐) × cosÌ𝐵�Í = cot(𝑎) × sin(𝑐) − sinÌ𝐵�Í × cotÌÂÍ(𝟏𝟏)

Analogamente, utilizando as restantes quatro partes consecutivas, obtém-se as seguintes fórmulas:

• 𝐵�, 𝑎, 𝐶�, 𝑏

cos(𝑎) × cosÌ𝐶�Í = cot(𝑏) × sin(𝑎) − cotÌ𝐵�Í × sinÌ𝐶�Í (𝟏𝟐)

• 𝐶�, 𝑏, Â, 𝑐

cos(𝑏) × cosÌ𝐶�Í = cot(𝑎) × sin(𝑏) − cotÌ𝐶�Í × sinÌÂÍ (𝟏𝟑)

41

𝟓.Referências Bibliográficas

Curtiss, D.R., Moulton, E.J. Essentials of Trigonometry with Applications, Boston, D.C. Heath, 1942.

Taylor, M. Plane and Spherical Trigonometry, New York, Barnes & Nobel, 1944.

Smart, W.M. Spherical Astronomy, Cambridge, Cambridge University Press, 1949.

Nikulin, V.V. Geometry and Groups, Berlin, Springer, 1987.