Lei de Gauss – Capítulo 23

Karl Friedrich Gauss

(1777-1855)

Lei de Gauss - Usufruir da simetria que o problema oferece.

-Em vez de considerar os campos dE criados pelos elementos de cargade uma dada distribuição de cargas, a Lei de Gauss considera uma super-fície fechada imaginária que envolve a distribuição de cargas.

-Superfície Gaussiana

-pode ter qualquer forma, mas a forma que facilita o cálculo do E é a que reflete a simetria da distribuição de cargas.

-a Lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfíciegaussiana à carga total envolvida pela superfície.

Fig. 23-8 – Uma superfície gaussiana esférica com centro em uma carga pontual q.

Fig. 23-12 – Uma superfície gaussiana cilíndrica envolvendo parte de uma barra deplástico cilíndrica de comprimento infinito com densidade linear uniforme de cargaspositivas.

Fluxo

Ex. do escoamento de um fluido com velocidade v (fluxo volumétrico).

A cos A

v

A vazão (volume/tempo) do fluido que atravessa a superfície, é

cosvA

v

A

Av

v

: Fluxo de um campo v através de uma área A

Fluxo do campo elétrico.

Considere uma superfície gaussiana arbitrária (assimétrica) imersa em um campo elétrico, o qual não é necessariamente uniforme.

.E A

Tomando limite para A0

dAE

onde o círculo no símbolo de integral indica que a integral deve ser realizada sobre toda a superfície fechada.

onde E é aproximadamente constante sobre A.

.E A

Se E é uniforme, AE

-O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número de linhas de campo elétrico queatravessam a superfície.

.a b c

E dA E dA E dA E dA ������������������������������������������

0

0. (cos180 )a

E dA E dA E dA EA

. (cos 0)c

E dA E dA EA

0. (cos90 ) 0b

E dA E dA

-Qual é a carga total envolvida pelo cubo gaussiano do exemplo acima?

O fluxo de um campo através de uma superfície fechada, quando o número total de linhas que entram é igual ao das que saem, é nulo.

>0 <0

>0

O fluxo de um campo através de uma superfície fechada, quando o número total de linhas que entram é diferente ao das que saem, é não nulo.

q

Lei de GaussO fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada qualquer (superfície gaussiana) é proporcional à carga encerrada pela superfície.

0 . envE dA q

(Lei de Gauss no vácuo ou ar)

- onde dA indica a normal exterior à superfície e o (permissividade elétrica no vácuo = 8,8510-12 C2/N m2.

Método de Gauss

-Mediante uma escolha adequada de uma superfície envolvendo a distribuição de

carga, uma que reflita a simetria da distribuição, é possível a determinação do

campo elétrico E em todos os pontos do espaço.

Simetrias

Aplicações da Lei de Gauss

dAEq

o

dAE

24 rE

1) Carga pontual

+qr

sup. gaussiana

dA

E

Por simetria, E deve ser radial e dirigido para fora

24 r

qE

o

- A Lei de Coulomb pode ser demonstrada a partir da Lei de Gauss.

2) Condutor carregado.-A Lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito dos condutores.

-Se uma carga em excesso é introduzida em umcondutor, a carga se encontra na superfície do condutor; o interior do condutor continua a ser neutro.

O cálculo do campo elétrico próximo à superfíciede um condutor pode ser determinado com facilidadeutilizando a Lei de Gauss.

oEA A

o

E

Superfície condutora

3) Fio retilíneo infinito – simetria cilíndrica.

cos (2 )cos (2 )EA E rh E rh

A qenvolv pela superfície gaussiana é h

0 envq

0 . envE dA q

0 (2 )E rh h

02E

r

4) Placa fina, infinita – simetria planar.

0 . envE dA q

0 ( )EA EA A

02E

Equação 22-27, E de um disco carregadono limite R tendendo a infinito.

5) Casca esférica e esfera sólida – simetria esférica.

-Teoremas das cascas – Seção 21-4.

-Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma partícula carregada situadado lado de fora da casca como se toda a carga da casca estivesse situada nocentro.

-Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca uniforme decargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula.

-Casca esférica carregada de cargatotal q e raio R e duas superfíciesgaussianas concêntricas, S1 e S2.

Aplicar a Lei de Gauss à S2 – r ≥ R.

20

1

4

qE

r

Campo de uma carga pontual q localizadano centro da casca.

Aplicar a Lei de Gauss à S1 – r < R.

0E

A superfície gaussiana não envolve nenhuma carga.

Se existe uma partícula carregada no interior da casca, a casca não exercenenhuma força sobre a partícula.

-Campo devido a uma esfera uniformemente carregada – Tipler – Cap-22.

-Determine o campo elétrico gerado por uma esfera sólida uniformemente carregadaque tem raio R e uma carga total Q, distribuída uniformemente através do volume daesfera cuja densidade de carga é =Q/V, onde V é o volume da esfera.

20 4 envE r q

0 . envE dA q

20

1( )

4envqE rr

Para r ≥ R, qenv=QPara r ≤ R, qenv = V´

Com V´=4/3πr3, então:

3´ 3

33

44 33

env

Q Q rq V r Q

V RR

Para r ≥ R,

3

2 3 30 0

1 1( )

4 4

Q r QE r r

r R R Para r ≥ R,

20

1( )

4

QE r

r

23-1- A sup. quadrada tem 3,2 mm de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E=1800N/C e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35o com a normal. Tome essa normal como apontando para fora, como se a superfície fosse a tampa de uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície.

O fluxo será E.A já que o campo é uniforme.

23 2

22

cos145 1800 3,2 10 cos145

.1.5 10

o oNE A m

C

N m

C

23-6- Uma rede para pegar borboletas está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E=3mN/C. O plano do aro da rede, uma circunferência de raio a=11cm é mantido perpendicular à direção do campo. A rede é eletricamente neutra. Determine o fluxo elétrico através da rede.

A partir da rede podemos construir uma superfície fechada fechando o aro da rede. Como a rede é eletricamente neutra, ou seja, não possue carga, o fluxo total através de toda a rede deve ser zero.

0 aroredetotal

22 4 .

1.1 10

rede aro

E Área

N mE a

C

23-7- Na fig. um próton se encontra a uma distância vertical d/2 do centro de um quadrado de aresta d. Qual é o módulo do fluxo elétrico através do quadrado?

Poderíamos construir uma caixa com mais 5 quadrados similares.

291 .

3.01 106 o

q N m

C

Pela geometria proposta, a carga se encontraria no centro da caixa.

Por tal motivo, e por considerações de simetria, o fluxo seria igual por todas as faces da caixa. Assim, o fluxo pelo quadrado é 1/6 do fluxo total.

23-12- Uma partícula carregada está suspensa no centro de duas cascas esféricas concêntricas que são muito finas e feitas de um material não-condutor. A figura a) mostra uma seção reta do sistema, e a fig. b) o fluxo através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera. a) determine a carga da partícula central, b) determine a carga da casca A e c) determine a carga da casca B.

A primeira seção reta do gráfico do fluxo correspondem a um fluxo constante de 2(Nm2/C) o qual deve corresponder a uma superficie gaussina de raio crescente até o raio da superficie da esfera A.

O valor da carga no centro é 2x 105 (Nm2/C)o..

4

0 envq

23-15- A fig. mostra uma superficie gaussiana com a forma de um cubo de 2m de aresta, com um vértice no ponto (x1, y1)=(5m,4m). O cubo está imerso em um campo elétrico dado por E= (-3 i - 4y2 j + 3k) N/C, com y em metros. Qual é a carga total contida no cubo?

x1

y1

AdE

.

2

1

3

5

64

6

1

.i i

AdE

C

Nmm

C

NkdAkEAdE z

22

11

1243ˆ.ˆ

Na face 1, dA=dA k

C

Nmm

C

NkdAkEAdE z

22

22

1243ˆ.ˆ

Na face 2, dA=-dA k

x1

y1

2

1

3

5

64

Na face 4, dA=dA j

Na face 3, dA=-dA jC

Nmm

C

NjdAjEAdE y

22

33

64416ˆ.ˆ

C

Nmm

C

NjdAjEAdE y

22

44

256464ˆ.ˆ

Na face 5, dA=dA iC

Nmm

C

NidAiEAdE x

22

55

1243ˆ.ˆ

Na face 6, dA=-dA iC

Nmm

C

NidAiEAdE x

22

66

1243ˆ.ˆ

C

Nmtotal

2

192 oq

23-27- A fig. é a seção reta de uma barra condutora de raio R1=1,3mm e comprimento L=11m no interior de uma casca coaxial de paredes finas, de raio R2=10 R1 e mesmo comprimento. A carga da barra é Q1=+3,410-12C; a carga da casca é Q2=-2 Q1. a) Determine o módulo de E e a direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r=2 R2. b) Idem para r=5 R1. c) Determine a carga na superfície interna da casca.

23-36- Na fig. um pequeno furo circular de raio R=1,8cm foi aberto no meio de uma placa fina infinita, não condutora, com uma densidade superficial de cargas =4,5 pC/m2. O eixo z, cuja origem está no centro do furo, é perpendicular à placa. Determine, em termos dos vetores unitários, o campo elétrico no ponto P situado em z=2,56cm.

= +

= -

sup buraco superficie discoE E E

O campo de uma dist. circular uniforme de cargas, num ponto como o P é

O campo de uma dist. uniforme plana infinita de cargas, sem o buraco, num ponto como o P é

superfícieˆ

2 o

E k

disco 2 2

ˆ12 o

zE k

z R

superficie +buraco 2 2

ˆzE k

z R