LEGGI DI CONSERVAZIONE. Equazione di continuità q = carica contenuta nel volume V Conservazione...
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LEGGI DI CONSERVAZIONE
Equazione di continuità
∇×H =
∂D∂t
+ J
∇⋅∇×H =∇⋅
∂D∂t
+ J⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ 0 =
∂∇⋅D∂t
+∇⋅J
∇⋅∇×V = 0
∇⋅D =ρ 0 =
∂ρ∂t
+∇⋅J
∇⋅J =−
∂ρ∂t
q = carica contenuta nel volume V
Conservazione della carica elettrica
La carica netta che nell’unità di tempo esce da V è
i = J ⋅n̂ dSV
SV
∫
= ∇⋅J dV
V∫
Formula di Gauss (o della divergenza)
U ⋅n̂ dSV
SV
∫ = ∇⋅U dV
V∫
=−∂ρ∂t
dV = −d
dtV∫ ρ dV
V∫
i =−dqdt
Il decremento subito nell’unità di tempo dalla carica contenuta nel volume V uguaglia la carica che nello stesso tempo esce dal volume.
La carica elettrica non si crea né si distrugge
J
n̂
V
SV
zona di volume V
+
+ + ++
+ ++
+ ++++
++
la corrente continua cheentra nel volumeuguaglia quella che esce
q = cost. i = 0
In particolare, la corrente continua è uguale in tutte le sezioni di un filo metallico.
i1 i2i1=i2
Caso stazionario
V
∇⋅J =0
campo solenoidaledi corrente
Le correnti continue sono solenoidali. Le loro linee di flusso sono chiuse. Le correnti continue possono circolare solo in circuiti chiusi
+–
i
Le correnti variabili nel tempo possono non essere solenoidali
Esse posso circolare anche in circuiti aperti
:q
-q
i
:
i= i(z,t)
z
antenna adipolo
∇×H =
∂D∂t
+ J
∇×E =−
∂B∂t
H ⋅∇×E =−H ⋅∂B∂t
E ⋅∇×H =E ⋅
∂D∂t
+ E ⋅J
H ⋅∇×E −E ⋅∇×H =−H ⋅
∂B∂t
− E ⋅∂D
∂t− E ⋅J
B⋅∇×A−A⋅∇×B=∇⋅A×B
Teorema di Poynting(forma differenziale)
∇⋅E ×H
∇⋅S =−H ⋅
∂B∂t
− E ⋅∂D
∂t− E ⋅J
S =E ×H vettore di Poynting [W/m2 ]
Teorema di Poynting(forma integrale) n̂
VSVSe V e costituito da punti regolari,
integrando nel volume la precedente espressione differenziale e usando la formula di Gauss si ottiene
S ⋅n̂
SV
∫ dSV = − E ⋅∂D
∂t+ H ⋅
∂B
∂t+ E ⋅J
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟V∫ dV
Si mostra facilmente che questa espressione vale anche se il volume V include un mezzo discontinuo, comunque complicato.
Inoltre, se il volume intercetta la porzione di una lamina di corrente, bisogna aggiungere al secondo membro
E⋅J S dΣΣ∫
Nel tempuscolo dt il lavoro fatto dalle forze elettromagnetiche sulle particelle contenute nel volumetto dV è
f dV( )⋅v dt( ) =ρ E +v×B( )⋅v dV dt=ρE ⋅v dV dt=E ⋅J dV dt
nelle correnti di convezione si ha ρv=J
dt E ⋅J dV =δL
V∫
Particelle cariche nel vuoto n̂
SVV
dVv
E ⋅
∂D∂t
= ε0E ⋅∂E
∂t= ε0
1
2
∂E
∂t⋅E + E ⋅
∂E
∂t
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= ε0
1
2
∂ E ⋅E( )
∂t=
∂
∂t
ε0E2
2
Poiché D =ε0E , B =μ0H si ha
H ⋅
∂B∂t
=∂
∂t
μ0H 2
2
E ⋅
∂D∂t
+ H ⋅∂B
∂t
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ dV =
d
dt
ε0E2
2+
μ0H 2
2
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
V∫V∫ dV
dt E ⋅
∂D∂t
+H ⋅∂B∂t
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ dV =dU
V∫
U @
ε0E2
2+μ0H
2
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
V∫ dV
Per il teorema di Poynting:
δL + dt S ⋅n̂
SV∫ dSV = −dU
In ogni istante U dipende solo dai valori assunti dal campo nello stesso istante. Dunque U dipende solo dallo stato del campo nella zona e nell’istante considerati, non dal modo in cui si è arrivati.
La variazione di U è collegata ad un lavoro
Una funzione di stato le cui variazioni sono collegate a un lavoro, viene detta “energia”.
U prende il nome di “energia elettromagnetica” perché essa è determinata dallo stato del campo elettromagnetico.
indica che – nel vuoto – l’energia elettromagnetica è distribuita con la densità
L’espressione U =
ε0E2
2+μ0H
2
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
V∫ dV
U =
ε0E2
2+
μ0H 2
2 [J/m3]
Bilancio energetico nel vuoto
δL + dt S ⋅n̂
SV∫ dSV = −dU
Se il flusso del vettore di Poynting è nullo, il lavoro fatto sulle parti-celle corrisponde alla variazione dell’energia elettromagnetica conte-nuta nel volume V. • δL > 0 , dU < 0 : le particelle guadagnano energia e il campo la perde; • δL < 0 , dU > 0 : le particelle perdono energia e il campo l’acquista.
Se il flusso del vettore di Poynting non è nullo si ha dL ≠ dU. Il principio di conservazione dell’energia viene rispettato se si assume che il flusso del vettore di Poynting rappresenta la potenza elettro-magnetica scambiata con il mondo esterno (positivo, verso l’esterno; negativo verso l’interno).
Se le particelle sono assenti la variazione dell’energia contenuta nella zona considerata uguaglia l’energia scambiata con l’esterno.
Nel problema trattato precedentemente non è stata fatta alcuna ipotesi sul mondo esterno al volume V (né sul mezzo né sulla presenza di sorgenti impresse).
Ciò nonostante, sappiamo che la potenza entrante in (o uscente da) tale regione è data dal flusso del vettore di Poynting.
Il campo elettromagnetico è sede di un flusso d’energia, trasmessa lungo le linee di flusso del vettore di Poynting.
Dunque, indipendentemente dal mezzo e dalla presenza di sorgenti impresse, la potenza elettromagnetica dW che attraversa nel verso positivo un elemento di superficie dS è
dW =S ⋅n̂ dS
S
n̂dS
Il teorema di Poynting rappresenta sempre un bilancio energetico, il cui significato deve essere chiarito caso per caso, considerando le equazioni costitutive del mezzo.
S ⋅n̂
SV
∫ dSV = − E ⋅∂D
∂t+ H ⋅
∂B
∂t+ E ⋅J
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟V∫ dV
= 0
J =J c = σ E E =
J c
σ E ⋅J =
J c ⋅J c
σ=
J c2
σ
− S ⋅n̂
SV
∫ dSV =J c
2
σV∫ dV
potenza e.m. entrante
potenza termica sviluppata per effetto Joule
calore sviluppato nell’unità di tempo nell’elemento dV
Bilancio energetico in un mezzo ohmico (caso stazionario)
V
n̂conduttore
isolante
La potenza assorbita da un conduttore proviene dal mezzo esterno
S ⋅n̂
SV
∫ dSV = − E ⋅∂D
∂t+ H ⋅
∂B
∂t+ E ⋅J
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟V∫ dV
ε0ε rE2
2+
μ0μ rH2
2
J c2
σ
U =
ε0ε rE2
2+
μ0μ rH2
2densità dell’energia elettromagnetica.
Bilancio energetico in un mezzo non-dispersivo
V
n̂
D =ε0ε rE B = μ0μ rH J c = σ E
− S ⋅n̂
SV
∫ dSV =dU
dt+ QJ
potenza e.m. entrante
U =ε0εrE
2
2+μ0μrH
2
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟V∫ dV energia elettromagnetica
potenza dissipata per effetto Joule
QJ =J c
2
σV∫ dV
D =ε0E + P τ
∂P
∂t+ P = χε0E
Bilancio energetico in un dielettrico polare dispersivo
V
n̂
E ⋅
∂D∂t
=∂
∂t
ε0E2
2+ E ⋅
∂P
∂t=
∂
∂t
ε0E2
2+
1
ε0χτ
∂P
∂t+ P
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⋅∂P
∂t
=
∂∂t
ε0E2
2+
P 2
2ε0χ
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+
τ
ε0χ
∂P
∂t
2
B ≈μ0H J = 0
− S ⋅n̂
SV
∫ dSV = E ⋅∂D
∂t+
∂
∂t
μ0H 2
2
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟V∫ dV
U =ε0E
2
2+
P 2
2ε0χ⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟V∫ dV
Qd =τε0χ
∂P∂t
2
dVV∫
− S ⋅n̂
SV
∫ dSV =dU
dt+ Qd
energia elettromagnetica
potenza termica generata per le perdite dielettriche
densità della potenza termica generata nel dielettrico