LEERBOEK

VAN

REKENKUNDE TEN GEBRUIKE VAN

VLAAMSCHH NORMAALSCHOLEN DOOR

A. DE RIEJ.M:AECKER

PROFBSSOR VAN REKENKUNDE

IN DE NORMAALSCHOOL VAN SINT-NIKLAAS

---$~""'--

GENT DRUKKERIJ S. LELIAERT, A. SIFFER & Cic

HOOGPOORT. 52

1885

VOORAFGAANDE BEGRIPPEN.

1. Grootheid. - Eene grootheid is alles wat kan vermeerderd of verminderd worden.

Er zijn twee soorten van grootheden: 10 De afgebroken grootheid, die bestaat uit voorwerpen

van dezelfde soort, b. v. eene verzameling huizen; 2° De onafgebroken grootheid, b. v. eene lijn, een vlak,

~en licht. Om zich van de grootheid een juist denkbeeld te maken,

moet men ze meten. Eene grootheid meten is ze vergelijken met eene andere welgekende grootheid van dezelfde soort:

-4-

De meetbare getallen zijn: 1° Het geheel getal: de eenheid zelve of eene verzameling-

van eenheden. 20 Het gebroken getal of breuk: één of meer der gelijke-

deelen waar de eenheid in verdeeld is. 3° Het gemengd getal: eene samenstelling van een geheel~

en een gebroken getal.

De getallen worden nog verdeeld in beno~mde en onbe-· noemde getallen, volgens dat de naam der eenheid er bijge-voegd is of niet.

4. Rekenkunde. - De rekenkunde is de wetenschap. der getallen.

Zij leert ons : 10 De verschillige eigenschappen der getallen; 2° De bewerkingen op de getallen; 3° De toepassing dier bewerkingen aan het oplossen van

vraagstukken.

EERSTE DEEL.

DE GEHEELE GETALLEN.

HOOFDSTUK I.

Tientallige telling.

5. Bepaling. - De telling is de manier van de getallen 1° te vormen, 2° uit te spreken en 3° te schrijven.

I. - VORMlNG DER GETALLEN.

6. Het kleinste geheel getal is de eenheid. Men vormt de ,andere geheele getallen door bij de eenheid nog eene eenheid te voegen; blj het zoo gevormde getal nog eene eenheid, enz.

De reeks getallen die op zulke manier ontstaat, heet de natuurlijke volgreeks del' geheele getallen.

Uit de manier zelve van de getallen te vormen, blijkt dat het aantal geheele getallen oneindig groot is.

II. - GESPROKENE TELLI;SG.

7. De gesprokene telling is de manier van alle mogelijke 'getallen met een klein aantal woorden, kunstmatig gerang-schikt, uit te spreken.

De getallen kunnen uitgesproken worden met de vol--gen de woorden: één, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien, honderd, duizend, millioen, billioen, trillioen, quatrillioen, quintillioen, sextillioen, enz.

8. Rangeenheden. - De negen eerste woorden zijn de namen der ne~en eerste getallen die enkele eenheden 'Voorstellen of eenheden van eersten rang.

-6-

Tien is de naam van het volgende getal. Het tiental or verzameling van tien enkele eenheden wordt aanzien als eene nieuwe eenheid, eenheid van tweeden rang. Men kan met de tientallen tellen zooals men met de enkele eenheden telt : twee tien, drie tien, vier tien, vijf tien, enz.

De verzameling van.tien tientallen is honderd of eenheid van del'den rang. Men telt met de honderdtallen gelijk met de enkele eenheden: tweehonderd, driehonderd, vierhon-derd, enz.

De verzameling van tien honderdtallen maakt eene nieuwe eenheid uit, welke men duizend noemt of eenheid van vierden rang.

Men gaat voort met tien eenheden van een en rang te vereenigen om eene eenheid van eenen naast hoogeren rang' te vormen. Maar, om geene nieuwe woorden noodig tehebben, noemt men de eenheid van vijfden rang, tien duizend, en die van zesden rang, honderd duizend. De verzameling van tien honderdduizendtallen of eenheid van zevenden rang ver-krijgt den nieuwen naam van millioen. Maar de eenheden van achtsten en negenden rang heeten tien millioen, en hon-derd millioen. Het billioell, tien billioen en honderd billioen zijn de eenheden van tienden, elfden en twaalfden rang; het tdUioen, tien t/'ilUoen, honderd trillioen zijn de eenheden van dertienden, veertienden en vijftienllen rang, enz.

In die reeks eenheden waarmede wij kennis gemaakt hebben, is de eenheid van eenen willekeurigen rang tienmaal grooter dan de haar onmiddellijk voorgaande eenheid. Tien is. de basis of grondslag van ons stelsel van telling, dat daarom tientallig stelsel genoemd wordt.

De namen van de eenheden der verschilli~e rangen in hunne natuurlijke volgorde ~enomen, zijn de schaal der telling. Elkeen dier namen is een term der schaal.

9. Klaseenheden. - Eenheden die, te beginnen van de enkele eenheid, van duizend- tot duizendmaal grooter worden, maken de reeks der klaseenheden of. voorname-eenheden uit: zij zijn dus éen, duizend, millioen, billioen,. tdllioen, enz.

-7-De eerste klasse, of die der oorspronkelijke eenheden.

wordt uitgedrukt door de enkele eenheden, tientallen, en honderdtallen; de tweede klasse, of die der duizendtallen, door de enkele duizendtallen, de tienduizendtallen en de honderdduizendtallen; de derde klasse, of die der millioenen, door de enkele millioenen, de tienmillioenen en de honderd-millioenen, enz.

Elke klasse bevat dus drie achtereenvolgende rangen, te beginnen met de enkele eenheden.

10. Men zal nu gemakkelijk begrijpen hoe men, bij middel van de voorgestelde woorden, al de getallen uitspreken kan. Inderdaad, nemen wij voor oogen de gansche verzame-ling der enkele eenheden waar een geheel getal uit bestaat, en beginnen" ij met ze te verdeelen in verzamelingen, elk van tien enkele eenheden. Dan zal men in het getal vinden: -t 0 een zeker aantal tientallen; 2° eene rest enkele eenheden zeker kleiner dan tien, welke rest overigens niet altijd bestaat. Indien het aantal tientallen lien overtreft, voegen wij ze dan tien aan tien te zamen. Het getal zal dan bevatten: 1° een zeker aantal honderdtallen; 2" een aantal tientallen kleiner dan tien; 3° een aantal enkele eenheden insgelijks kleiner dan tien: nochtans zullen deze twee laatste deelen niet altijd bestaan. Zoo voortgaande, zal men eindelijk het getal splitsen in zijne eenheden van vet'schillige rangen, waarvan elke rang min dan tien eenheden bevat.

Om nu het getal uit te spreken, zal men het aantal een-heden van eIken ràng beurtelings kunnen opgeven, begin-nende met de eenheden van den hoogsten rang.

VOORBEELD : drie millioen, vijf honderdduizend, twee tienduizend, negen duizend, zes honderd, vier tien en vijf.

In plaats van het getal met zijne rangeenheden uit te spreken, is het veel korter achtereenvolgens zijn aantal een-heden van elke klasse op te geven. Het hierboven uitge-sproken getal wordt korter gezeid : drie millioen, vijf honderd twee tien en negen duizend, zes honderd vier tien en vijf.

11. Onregelmatigheden. - Volgens de hierboven uit-gelegde uitspreekwijze heeft men slechts 14 woorden van-

-8-

doen om al de getallen tot de billioenen uit te spreken. Het gebI'Uik echter heeft onregelmatigheden in die manier inge-bracht.

1° In plaats van twee tien, drie tien, vier tien, enz. zegt men twintig, dertig, veertig, enz. ;

2° Om de getallen uit te spreken van tien tot honderd, drukt men eerst de enkele eenheden uit, daarna de tientallen: zoo bekomt men één en tien, negen en veertig, negen en negentig.

3° In plaats van één en tien zegt men elf, en verder, voor de overige getallen tusschen tien en twintig, twaalf, dertien, veertien, vijftien, zestien, zeventien, achttien, negentien.

lIl. - GESCHREVENE TELLING.

12. De geschrevene telling is de manier van alle moge-lijke getallen op eepe korte en duidelijke wijze te schrijven bij middel van bijzondere teekens, die men cijfers noemt.

De cijfers zijn ten getaIIe van tien, te weten: 1, 2, 3, 4, ä, 6, 7, 8, 9, 0.

De eerste negen cijfers, beduidende cijfers genoemd, stellen de negen eerste getallen voor.

13. Overeenkomsten. - De cijfers gekend zijnde, berust de geschrevene telling op de twee volgende overeen-komsten:

10 Elk cijfer tel' linkerhand Mn een ander geplaatst, stelt eenheden VrJOt' van eenen naast hoogeren ráng;

2° Het cijfer 0, dat men nul uitspreekt, heeft uit zichzelf geene weerde, maar dien: slechts om de ontbrekende rangen aan te vullen.

Zij b. v. bet getal vijthonderd zeven en zestig in cijfers te schrijven. Men zou kunnen schrijven ö honderdtallen, 6 tientallen, 7 eenheden; maar, door toepassing der eerste overeenkomst, heeft men ~67.

Om een tiental te schrijven zonder enkele eenheden, schrijft men 10. Zoo ook in de geschrevene getallen 30, 40, 50, 60, zijn er tientallen zonder enkele eenheden; in 504, honderdtallen en enkele eenheden zonder tientallen; in 10234,

-9-

tienduizendtallen, honderdtallen, tientallen en enkele eenhe-den, zonder duizendtallen.

Bemerkingen. - Het woord cijfer wordt soms figuurlijk gebruikt, om het getal dat het cijfer voorstelt, aan te duiden: h. v. men zegt het -cijfer 5 voor het getal 5. Bij uitbreiding zegt men zelfs het getal 0, alhoe-wel de nul alle begrip van getal uitsluit.

14. Dubbele weerde der cijfers. - Uit het vooraf-gaande blijkt, dat men aan de cijfers twee onderscheiden weerden toekent :

1° Eene volstrekte weerde, die onveranderlijk is en alleen van den vorm afhangt;

2° Eene betrekkelijke weerde, die van de plaats afhangt. Het is klaarblijkend dat elk geschreven getal gelijk is

aan de som der betrekkelijke weerden van al de cijfers.

15. Voorstelling in cijfers van een uitgesproken getal. _1 0 Indien het getal kleiner is dan 1000, en dus maar eene klasse beval, schrijft men achter elkander, met de hon-derdtallen beginnende, de honderdtallen, tientallen en enkele ~enhedcn, opmerkende dat, in het Vlaamsch, de enkele eenhe-den vóór de tientallen uitgesproken worden. Men draagt zorg nullen te stellen in plaats van de ontbrekende rangeenheden,

'tenzij deze de hoogste wezen. B. v. zeshonderd vijftien wordt geschreven: 615.

2° Indien het getal grooter is dan 1000, doet het uitspre-ken zelf de verschillige klassen kennen waaruit het bestaat. Men schrijft iedere klasse, naarmate zij uitgesproken wordt, alsof zij alleen ware, bij middel van een vak van drie cijfers, zorg dragende nullen te stellen in plaats van de ontbrekende rangeen heden.

VOORBEELDEN: Vierhonderd drie millioen vijf en zestig duizend veertig wordt geschreven: 403.060.040.

Vier triIIioen, vijf duizend, vierhonderd en twee wordt geschreven: 4.000.000.000.402.

In dit laatste voorbeeld zijn de ontbrekende klassen der billioenen en millioenen voorgesteld door twee vakken, elk van drie nullen.

-.,- 10 -

16. Uitspreken van een geschreven getal. -10 Indien het getal niet meel' dan drie cijfers heeft, spreekt men beurtelings uit het aantal honderdtallen, enkele eenhe-den en tientallen. Voorbeeld: 328 wordt uitgesproken: drie-honderd acht en twintig.

20 Jt;dien het getal meer dan drie cijfers heeft, verdeelt men het, van den rechter- naar den linkerkant, in vakken van drie cijfers, zoodat elk vak eene klasse voorstelt. Daarna spreekt men elk vak uit, te beginnen van den linkerkant, alsof het alleen ware, en voegt er den naam der klasse bij. Voorbeeld : 5.302.248.504 wordt uitgesproken 5 billioen 302 millioen 248 duizend 504.

17. Bemerking. - Uit de overeenkomsten der geschrevene telling-volgt dat, indien men één, twee, drie nullen, eni. ter rechterhand van een getal plctatst, dit getal daardoor tien-, honderd-, duizendmaal enz. grooter wordt.

Inderdaad elk cijfer wordt daardoor één, twee, drie .... rangen naar de linkerhand ~erschovell. en verkrijgt eene betrekkelijke weerde die tien-, honderd-. duizend· .... maal grooter is.

Omgekeerd, indien men van een getal eindigende op nullen, één, twee, drie nullen enz. wegneemt, wordt daardoor het getal tien-, honderd-, duizendmaal enz. kleine,'.

NOTA OVER DE REKENKUNlIIGE BEWERKINGEN.

18. Eene rekmkundige bewerking is eene samentelling of ontbinding van getallen tot het oplossen van vraagstukken dienstig.

De samenstellende bewerkingen zijn de samentelling, de vermenigvuldiging en de machtsverheffing.

De ontbindende bewerkmgen zijn de aftrekking, de dee-Hng en de worteltrekking.

Onder die bewerkingen heeten de samentelling, aftrek-king, vermenigvuldiging en deeling hoofdbewerkingen, omdat zij de voornaamste zijn en meest eigenaardigheid bezitten.

Wij zullen beurtelings de hoofdbewerkingen op de geheele getallen beschouwen.

-11-

HOOFDSTUK Ir.

Samentelling.

19. Bepaling. -De samentelling der geheelegetallen is eene bewerking waardoor men al de eenheden van verschillige getallen tot één enkel getal vel'eenigt.

Het gevonden getal heet som. De getallen die samengeteld worden, heeten termen der

som. Het is klaarblijkend dat, wanneer men benoemde getallen

samentelt, deze getallen eenbeden moeten uitdrukken van dezelfde soort, of anders gezegd, dat die getallen moeten geltjknamig zijn.

De samentelling wordt aanged~id door het teeken +, dat men plus uitspreekt. Het teeken dat de gelijkheid van twee getallen aanduidt, is =-, en wordt uitgesproken is gelijk aan.

Zoo 3 + ö = 8 wordt gelezen: drie plus ö is gelijk aan 8.

De ongelijkheid van twee getallen wordt aangeduid door de teekens > en

-1.2-

Zij 8 + 5 + 9 + 6. Om deze samentelling te bewerken, telt men achtereenvolgens al de eenheden b. v. van 5 bij 8.

Men zegt: 8 + 1 = 9; 9 + 1 = 10; 10 + 1 = 11; 11+ 1 =12; 12 + 1 = 13. Vervolgens telt men beurtelings al de eenheden van 9 en 6 bij de bekomen som.

In het gebruik moet men uit het hoofd kunnen berekenen: 10 de som van twee getallen kleiner dan 10; 2° de som van twee getallen waarvan één grooter en het ander kleiner dan 10 is.

Men zal dan zeggen :

8 + 5 = 13; 13 + 9 = 22; 22 + 6 = 28.

22. Tweede geval. - Samentelling van willekeurige getallen.

Zij voorgesteld samen te tellen de gelallen 324, 48 en 7'13.

Om die samentelling te bewerken, kan men elk gelal splitsen in enkele eenheden, tientallen, honderdtallen; daarna af1.Onderlijk de som maken der enkele eenheden, tientallen, honderdtallen, en al de afzonderlijke sommen in een zelfde getal vereenigen.

Om zulks gemakkelij k te verrichten, stelt men de getallen onder elkaar, op zulke wijze dat dezelfde rangeenheden in dezelfde verticale kolom staan, en trekt daaronder eene schreef.

324 48

713 1085

Dat gedaan zijnde, zegt men: 3 en 8 is 11 ; 11 en 4 is 15. 15 is de som der enkele eenheden. Daar de volgende

gedeeltelijke sommen geene enkele eenheden kunnen geven, mag men de D eenheden onder de kolom der eenheden schrijven. Het tienta.l wordt gevoegd bij de som der tientallen op te maken uil de tweede kolom.

Men zegt 1 mededragen en 1 is 2, 2 en 4 is 6, 6 en 2 is 8. De som heeft dus 8 tientallen, die men onder de kolom der tientallen schrijft.

-13 -

Eindelijk: 7 en 3 is 10. Er zijn dus 10 honderdtallen. Men schrijft 10 voluit nevens 8.

23. Regel. - Om willekeurige geheele getallen samen te tellen, schrijft men ze onder elkaa/', zoodat de eenheden van denzelfden rang in dezelfde verticale kolom staan. Onder de getallen trekt men eene horizontale Zijl!.

Men maakt achtereenvolgens de som der cijfers van elke kolom, te beginnen met de kolom der enkele eenheden. Zoo de som kleiner is dan 10, schrijft men ze onder de kolom; zoo zij echter grooter is dan 10, schrijft men onder de kolom de eenheden der som, en de tientallen worden medegedragen naar de volgende kolom. iJ'Jen gaat zoo voort tot de laatste kolom, waarondel' men de som voluit schnjft.

Indien al de gedeeltelijke sommen kleiner waren dan 10, dan zou men onverschillig de samentelling van de recbter-naar de linkerhand, of van de linker- naar de rechterhand mogen bewerken.

24. Proef der samentelling. - Door proef eener' bewerking verstaat men eene tweede bewerking die men doet om zich van de juistheid dér eerste te verzekeren.

Om de proef der samentelling te maken, kan men eene van de twee volgende middelen gebruiken, beide gesteund op de grondeigenschap der samentelling (20) :

10 De bewerking in eene omgekeerde orde herhalen; 20 Zoo zij zeer veel termen heeft, de samentelling in

twee of meer deelen splitsen, en de gedeeltelijke sommen tot ééne som vereenigen.

-14-

HOOFDSTUK lIl.

Aftrekking.

25. Bepaling. - De aftrekking met geheele getallen is eene bewerking waarin men een geheel getal met al de eenhe-den van een ander vermindert.

De uitkomst heet rest of verschil. Beide getallen waarvan men het verschil zoekt, heeten

termen van het verschil. De term van welken men aftrekt, wordt aftrektal; de

andere, aftrekker genoemd. Het is klaarblijkend dat, indien de termen benoemde

getallen zijn, zij ook moeten gelijknamig wezen. Uit de bepaling blijkt dat het aftrektal gelijk is aan de

som van den aftrekker en het verschil. De aftrekking is dus de omgekeerde bewerking van de

samentelling: men zal ze nog mogen bepalen: eene bewer-ki1lg waarin men, de som van twee getallen kennende en een dier getallen, het ande1' getal zoekt.

De aftrekking wordt aangeduid door het teeken -, dat men min uitspreekt.

Zoo 13 - 7

wordt gelezen: vijftien min zeven.

26. Wij onderscheiden drie gevallen in het beredeneeren. der aftrekking:

1° Een getal kleiner dan 10 van een ander aftrekken; 2° Een getal grooter dan 10 aftrekken van een ander, zoo

gekozen, dat geen zijner cijfers kleiner is dan het overeen-komstig cijfer van den aftrekker;

3° Een getal grooter dan 10 aftrekken van een ander in hetwelk eenige cijfers kleiner zijn dan de overeenkomstige cijfers van den aftrekker.

27. Eerste geval. - Zij 13 - 6. De beredeneering van dit geval steunt op de volgende

grondeigenschap:

-15 -

Om een geheel getal af te trekken, mag men beurtelings al zijne eenheden aftrekken.

Om dus 6 van 15 af te trekken, kan men achtereen-volgens 15 met elkeen der eenheden van 6 verminderen. Men zegt: 15 - 1 = 14; 14 - 1 = 13; 13 - 1 = 12; 12 - 1 = 11 ; 11 -1 = 10 ; 10 - 1 = 9.

In het gebruik moet men de bewerkingen ineens en uit het hoofd kunnen verrichten.

28. Tweede geval. - Zij b. v. 4839 - 3237. De beredeneering van dit geval steunt op de volgende

grondeigenschap: Om een getal van een ander at te trekken, mag men, na

ze beide in deelen gesplitst te hebben, elk deel van het aftrektal verminderen met een deel van den aftrekker, en daarna al de bekomen resten samenvoegen.

Men splitst beide getallen in zijne eenheden, tientallen, honderdtallen, enz.; men trekt de eenheden van het kleinste af van die van het grootste, en zoo ook voor de tientallen, honderdtallen, enz. Om dit ~emakkelijker te doen, schrijft men het kleinste getal onder het grootste, zoodanig dat de eenheden van denzelfden rang onder elkaar staan.

4839 3237 1602

Men zegt: 7 van 9 blijft 2; 3 van 3 blijft 0; 2 van 8 blijft 6; 3 van 4 blijft 1. De rest is 1602.

29. Derde geval. - Zij 4839 - 2958. In dit geval is de grondeigenschap van het voorgaande

ji!.'eval niet toepasselijk, zoo men wil de enkele eenheden van de enkele eenheden, de tientallen van de tientallen, de hon-derdtallen van de honderdtallen enz. aftrekken. Het aftrektal moet dus anders in deel en gesplitst worden dan volgens de betrekkelijke weerde van elk cijfèr, om, door toepassing van die grondeigenschap, de aftrekking te bewerken.

4839 2958 1881 .

-16 -

Men redeneert volgender wijze: 8 eenbeden van 9 eenheden blijft 1 eenheid. 5 tientallen

van 3 tientallen is onmogelijk. Ontleenen wij een honderdtal aan de 8 honderdtallen van het aftrektal. Dit honderdtal, dat 10 tientallen doet, gevoegd bij 3 tientallen geeft 13 tientallen. 5 tientallen van 13 tientallen blijft 8 tientallen. In hel aftrektal bestaan nu nog 7 honderdtallen. 9 honderdtallen van 7 hon-derdtallen is onmogelijk. Ontleenen wij 1 duizendtal aan de 4 duizendtallen van het aftrektal, en 1 duizendtal of tien hon-derdtallen plus 7 honderdtallen geeft 17 honderdtallen. 9 hon-derdtallen van 17 honderdtallen blijft 8 honderdtallen. In bet altrektal blijven er nog 3 duizendtallen. 2 duizendtallen van 3 duizendtallen blijft 1 duizendtal.

Men ziet dus dat men inderdaad het aftrektal gesplitst heeft in 9 eenheden, 13 tientallen, 17 honderdtallen, 3 dui-zendtallen, en respectievelijk van dk deel de 8 eenheden, 5 tientallen, 9 honderdtallen en 2 duizendtallen van den aftrekker heeft afgetrokken, zoodat men de grondeigenschap van het tweede geval heeft toegepast.

30. Regel. - Om een geheel getal van een geheel getal af te trekken, schrijft men het kleinste onder het grootste, zoodat de eellheden van denzelfden rang onder elkaar staan, en men trekt eene streep om de getallen van het verschil, dat men er onder schrijven zal, af te scheiden.

Te beginnen van de ,·echterhand, trekt men elk cijfer van het onderste getal af van het overeenkomstig cijfer van het bovenste, en de rest schrijft men onder de streep in dezelfde kolom van die beide cijfers.

Zoo een der onderste cijfers grooter is dan het overeen-komstig cijfer van het bovenste, vermeerdert men dat cijfer met 10 eenheden van zijnen rang om de aftrekking mogelijk te maken; en men vermindert het volgende cijfer van het aftrek-tal met eene eenheid van zijnen rang.

Bemerking. - Zoo de ontleening moet gebeuren wanneer het vol-gende cijfer 0 is, moet men, bij het ontleenen, verder ~aan dan de hoogere rangeenheid. B. v. 304 - 237. lk kan geen tientalontleenen, daar er geene zijn. Ik ontleen dan een honderdtal aan de drie honderdtallen, en

-17 -

aan de 10 tientallen die ik zoo bekom, ontleen ik 1 tiental, zoodat er 2 honderdtallen en 9 tientallen in het aftrektal overblijven.

Zij nog 3004 - 237. Hier zal ik 1 duizendtal of 10 honderdtallen ontleenen, zoodat er 2 duizendtallen overblijven; Tan de tien honderd-tallen ontleen ik 1 honderdtal of 10 tientallen, zoodat er 9 honderdtallen overblijven; van de tientallen ontleen ik 1 tiental of 10 eenheden, zoodat er 9 tientallen overblijven. 10 + 4 geeft 14, waarvan nu 7 kan afgetrok-ken worden. De volgende cijfers van den aftrekker worden nu respectie-velijk afgetrokken van 9, van9 en van 2.

31. De methode in de beredeneering van het derde geval gevolgd, heet methode van ontleening. Er bestaat eene andere methode, die men methode van vergoeding noemt.

Behalve de grondeigenschap van het tweede geval, moet men, bij de beredeneering van het derde geval volgens de methode van vergoeding, nog de volgende grondeigen-schap voor oogen houden :

Het verschil van twee getallen verandert niet als men beide getallen met een zelfde getal vermeerdert.

Zij wederom 4839 - 29ö8.

8 eenheden van 9 eenheden blijft 1 eenheid. ti tientallen van 3 tientallen is onmogelijk. Om deze aftrekking m~gelijk te maken, vermeerderen wij het aftrektal met tien tientallen, en zoo bekomen wij 13 tientallen. ö tientallen van 13 tien-tallen blijft 8 tientallen. Wij hebben het aftrektal met tien tientallen vermeerderd; wij moeten dus, wil de rest dezelfde blijven, den aftrekker met 10 tientallen of een honderdtal vermeerderen. Er bestaan in den aftrekker 9 honderdtallen. 9 honderdtallen + 1 honderdtal geeft tien honderdtallen. Trekken wij dus 10 honderdtallen van de 8 honderdtallen van het aftrektal af; maar dit is onmogelijk. Vermeerderen wij het aftrektal met 10 hondertallen : wij hebben dan 18 honderdtallen. 10 honderdtallen van 18 honderdtallen blijft 8 honderdtallen. Wij hebben het aftrektal met 10 hon-derdtallen vermeerdeI'd; opdat het verschil gelijk blijve, moeten wij ook den aftrekker met 10 honderdtallen of 1 duizendtal vermeerderen. 2 duizendtallen + 1 duizendtal geeft 3 duizendtallen. 3 duizendtallen van 4 duizendtallen blijft 1 duizendtal.

2

- 18-

Gebruikt men de methode van vergoeding, dan heeft men den regel, hooger (30) voor de aftrekking gegeven, enkel in zijne laatste woorden te wijzigen: in plaats van en men vermindert het volgende cijfer enz., heeft men en vervolgens voegt men eene eenheid van zijnen mug bij het volgende cijfet· van den aftrekker.

32. Opmerkende dat de aftrekker plus de rest gelijk moet zijn aan het aftrektal, kan men nog de aftrekking bewerken zooals in het volgende voorbeeld:

4839 2958 1881

8 plus 1 is 9 (men schrijft 1 onder 8, terwijl men 1 uitspreekt). 5 plus 8 is 13 (men schrijft 8 onder 5). 1 plus 9 is 10, plus 8 is 18 (men schrijft 8 onder 9). 1 plus 2 is 3, plus 1 is 4 (men schrijft 1 onder 2).

33. Proef der aftrekking. - Men maakt de proef der aftrekking op twee manieren:

1 ~ Men telt de rest bij den aftrekker en de som moet gelijk zij n aan het aftrektal;

2° Men trekt de rest af van het aftrektal en het verschil moet gelijk zijn aan den aftrekker.

34. Stelling I. (1) - Om een verschil bij een getal te voegen, kan men den eersten term van het verschil bij het getal voegen en van de bekomene som den tweeden term aftrekken.

Zij voorgesteld bij 8 het verschil 12 - 7 te voegen. Indien wij 12 bij 8 voegen, bekomen wij 8 + 12. Maar de uitkomst is klaarblijkend 7 eenheden te groot. De juiste uitkomst zal dus zijn 8 + 12 - 7.

De volgende gelijkheid stelt die eigenschap voor:

8 + (12 - 7) = 8 + 12 - 7. In het algemeen:

a + (b - c) = a + b - c.

(1) Eene stelling is eene waarheid die kan bewezen worden.

-19 -

Toepassing op het hoofdrekenen:

ö4 + 98 = 54 + (100 - 2) = 54 + iOO - 2. 165 + 960 = 165 + (1000 - 40) = 165 + 1000 - 40.

35. Stelling II. - Om van een getal een verschil af te trekken, mag men van het getal den eersten term van het verschil aftrekken, en bij de uitkomst den tweeden term van het verschil voegen.

Zij van 40 het verschil 34 - 18 af te trekken. Indien wij van 40 den eersten term van het verschil 34 aftrekken zal de uitkomst 40 - 34 zijn. Maar de uitkomst is klaarblijkend 1.8 eenheden te klein. De juiste uitkomst is dus 40-34 + 18.

De volgende gelijkheid drukt de eigenschap uit:

40 - (34 - 18) = 40 - 34 + 18. In het algemeen a - (b - c) = a - b + c Toepassing op het hoofdrekenen:

145 - 99 = 145 - (100 - 1) = 145 - 100 + 1 13it) - 995 ~ 1315 - (1000 - ti) = 1315 -100 + 5.

- 20-

HOOFDSTUK IV.

Vermenigvuldiging.

36. Bepaling. - De vermenigvuldiging van een geheel' getal met een geheel getal is eene bewerking, waardoor men: 'het eerste dier getallen zoo dikwijls neemt als er eenheden in het tweede zijn.

Het getal dat men eenige malen neemt, heet vermenigvul-digtal; het getal dat aanduidt hoe dikwijls het vermenigvul-digtal moet genomen worden, heet vermenigvuldiger; de-uitkomst van de bewerking heet product.

Het product is dus de som van zooveel getallen, alle gelijk aan het vermenigvuldigtal, als er eenheden zijn in den vermenigvuldiger.

Daaruit volgt dat het product altijd van denzelfden aard, is als het vermenigvuldigtal.

De vermenigvuldiger is altijd een onbenoemd getal. Het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger zijn de-

factoren van het product. Het teeken der vermenigvuldiging is X, dat wij uitspre-

ken vermenigvuldigd met. Dan staal het vermenigvuldigtal links en de vermenigvuldiger rechts.

3x4=12

beteekent : 3 vermenigvuldigd met 4 is ~elijk aan 12. Met algemeene getallen door letters voorgesteld, of met

sommen of verschillen tusschen haakjes, duidt men dikwijls. de vermenigvuldiging aan alleenlijk door de factoren nevens. elkaar te schrijven.

b. v. ab (3 + 4) (5 - 2)

5 (8 + 4) bete~kent a X b

» (3 + 4) X (5 - 2) » I) X (3 + 4).

Bemerking. - Sommigen spreken het teeken der vermenigvuldi-ging maal uit.

Zoo 3 X 5 beteekent 3 maal 5.

Dan staat de vermenigvuldiger op de eerste, en het vermenigvuldig-tal op de tweede plaats.

- 21-

37. Beredeneering. - Wij onderscheiden vijf ge-'Vallen:

1° product van een getal van 1 cijfer met een getal van 1 cijfer;

2° product van een setal van verscheidene cijfers met ·een getal van 1 cijfer;

3° product van een willekeurig getal met de eenheid gevolgd van nullen;

40 product van een willekeurig getal met een beduidend eijfer gevolgd van nullen;

5° product van twee willekeurige getallen.

38. Eerste geval. - B. v. 8 X ". Volgens de bepaling moet men 4, getallen samentellen,

alle gelijk aan 8 :

8 x 4 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32. Deze som moeten wij in eens en uit het hoofd kunnen

'berekenen. In de tafel van vermenigvuldiging leert men al de produc-

eten van twee getallen van 1 cijfer.

39. Tweede geval. - B. v. 2558 X 4. 2558 met 4 vermenigvuldigen, is de som maken van vier

getallen gelijk aan 2558. SAMENTELLING.

2558 2558 2558 2558

10232

VERMENIGVULDIGING.

2öö8 4

10232

Men zou dus, om den regel der samentelling (23) toe te passen, afzonderlijk de som der enkele eenheden, tiental-len, honderdtallen en duizendtallen moeten zoeken, of 4 maal 8 eenheden, 4 maal ö tientallen, 4 maal ö honderdtallen en 4 maal 2 duizendtallen nemen, vermenigvuldigingen die tot het eerste geval behooren. Indien één der producten grooter is dan 10, worden de tientallen bij het volgende pro-.duet gevoegd.

- 22-

Regel. - Om een getat van verscheidene cijfers te-vermenigvuldigen met een getal van één cijfer, vermelligvuldigt men achtereetlVolgens, te beginnen van de rechter hand, ieder cijfer van het vermenigvuldigtal met den vermenigvuldiger. Men schrijft de eenheden van el~ product; de tientallen, zoo er zijn, worden medegedragen om bij het volgende product gevoegd te worden.

40. Derde geval. - B. v. 3208 x 100. De som maken van 100 getallen gelijk aan 3208 is 3208

honderdmaal grooter maken. In detelIing (17) hebben wij gezien dat men zulks bekomt met twee nullen achter 3208 te plaatsen, wat 320800 als product geeft.

Regel. - Om een getal te vermenigvuldigen met de eenhfid gevolgd van nullen, sch1'ijfl meu achter het vermenig-vuldigtal zooueel nullen als el' achter de eenheid in den vermenigvuldiger zijn.

41. Vierde geval. - Zij b.·v. 3208 x 300. Wij moelen de som maken van 300 getallen gelijk

aan 3258. Daar 300 gelijk is aan 100 maal 3 (40), kan men deze

lange bewerking splitsen in 100 samentellingen, die elk 3 ter-men zouden hebben gelijk aan 3208.

3208 3208 3208 300 3208 977400 9774 = :~208 x 3

De uitkomst van iedere bewerking zal men bekomen door den regel van het lweedegeval (39),en de totale uitkomst. die 100 maal grooter is, door den regel van het derde· geval (40).

Regel. - Om een getal te vermenigvuldigen met een beduidend cijfer gevolgd van nullen, vermenigvuldigt mell het vermenigvuldigtal met het beduidend cijfer, en schrijft achter het product zooveel nullen als el' nevens het beduidend cijfe,' in den vermenigvuldiger zijn.

- 23-

42. Vijfde geval. - B. v. 3458 X 934. Wij moeten de som maken van 934 getallen gelijk

aan 3458.

SAMENTELLING.

3458) 3458t 3458 ( = 3458 X 4 3.458 ,

3458 3458 3458

3458 3458 3458 3458

= 3458 X 30

= 3458 x 900.

VERMENIGVULDIGING.

3458 934

1383~ 103740

3112200 3229772

PRACTJSCHE MANIER.

3458 934

13832 10374

311-12 3229772

Men kan die lange bewerking ontbinden in drie gedeelte-lijke samentellingen, en daarna de gedeeltelijke sommen s3menvoegen. Men maakt eerst de som van vier getallen gelijk aan 3458, daarna van 30 en eindelijk van 900. De eerste som wordt bekomen door den regel van het 2de geval, de twee andere door dien van het 3de geval. De gedeeltelijke sommen zijn 13832, 103740 en 3112200, en de totale som of het product 3229772.

l\len bemerke dat het tweede gedeeltelijk product (hier 3458 X 30) altijd op eene nul uitgaat of tientallen oplevert; het derde (hier 3458 X 900) altijd op twee nullen uitgaat of honderdtallen oplevert enz. De plaatsen. welke die nullen zouden bekleeden, laat men in de practische manier open.

Regel. - Om een willekeurig getal met een willekeurig getal te vermenigvuldigen, schrijft men het vermenigvuldigtal

- 24-

onder den vermenigvuldiger op zulke wijze dat dezelfde rang-eenheden onder elkaar staan, en men trekt eene horizontale lijn om er de gedeeltelijke producten onder te schrijven.

Men vermelligvuldigt het vermenigvuldigtal beurtelings met elk cijfer van den vermenigvuldiger, en men schlijft elk product derwijze dat het eerste cijfel' el' van, te beginnen van de rechter hand, in dezelfde verticale kolom sta als het cijfel' vel'menigvuldigel' : daal'na. maakt men de som van al die p"oducten en bekomt zoo het gevraagde product.

Bemerkingen. - 10 Men begint gewoonlijk door de vermenigvul-diging van het vermenigvuldigtal met het cijfer der eenheden, alhoewel dit niet noodzakelijk is.

2° Is een der cijfers van den vermenigvuldiger 0, dan is dat gedeel-telijk product nul.

3° Eindigt het vermenigvuldigtal of de vermenigvuldiger of beide op nullen, dan maakt men de vermenigvuldiging van de getallen zonder de nullen, en voegt vervolgens bij het product zoo veel nullen als er zijn in het vermenigvuldigtal en den vermenigvuldiger te zamen.

43. Aantal cijfers van het product. - Het product heeft zooveel cijfers als er zijn in het vermenigvuldigtal eu den vermenigvul-diger te za men, ot zooveel min één.

Veronderstellen wij b. v. dat het vermenigvuldigtal 5 en de ver-menigvuldiger 3 cijfers hebbe; dan heeft het product 5 + 3 = 8 cijfers ofwel 8 - 1 = 7.

Inderdaad de vermenigvuldiger is grooter dan 100, dat het kleinste getal met 3 cijfers is, en kleiner dan 1000, het kleiuste getal met 4 cijfers. Het product is dus kleiner dan het vermenigvuldigtal gevolgd van 3 nullen, en grooter dan het vermenigvulrligtal gevolgd van 2 nullen. Het aantal cijfers is dus ten minste 5 + 2 =-= 7 en ten hoogste 5 + 3 = 8.

44. Gedurig product. - Een gedurig product is de uitkomst der vermenigvuldiging van een getal met een tweede, van het komende product met een derde, van het nieuw komende product met een vierde, enz.

Zoo is 3 X Ö X 4 X 6 gelijk aan 3 X 5 of Hi vermenig-vuldigd met 4 of 1ö X 4 = 60, en daarbij 60 X 6 of 360.

De getallen tusschen welke het teeken X staat, iteeten factoren van het product.

Het gedurig product wordt ook genoemd product van meer dan twee factoren.

- 25-

45. Macht. - Eene macht is ePll product van gelijke factoren.

Zoois3 X 3 eenemacht,alsook5 X 5 X 5en7 X 7 X 7 X 7.

Men onderscheidt de machten volgens het aantal màlen .dat hetzelfde getal factor is in het product.

Zoo is: 3 X 3 de tweede macht van 3,

5 X 5 X 5 de derde macht van 5,

7 X 7 X 7 X 7 de vierde macht van 7.

De tweede macht heet ook vierkant, en de derde macht, kubiek.

Kortheidshalve wordt de macht van een getal aangeduid door den exponent of klein cijfer ter rechterhand bovenaan het getal geplaatst, en aanduidende hoe dikwijls het getal factor is in het product.

3 X 3 wordt geschreven: 32 ,

l:iX5x5 » »

7x7X7X7 ]) »

In een gedurig product kan de macht van een getal met nog andere factoren voorkomen.

B. V. 32 X 7; 32 X 53 ; 5 X 3" .

Het aantal factoren van een gedurig product wordt aan-geduid door de som der exponenten van al de factoren, zoo nochtans dat elk getal zonder exponent altijd als hebbende exponent 1 gerekend wordt, daar het dan éénmaal als factor voorkomt.

In : 32 X 7 zijn 3 facLoren.

32 X 5:1 ]) 5 »

5 X 35 )) 6 »

Bemerking. - Het is van belang wel onderscheid te maken b. v. tusschen 3' en 3 X 4 :

3' = 3 X 3 X 3 X 3

3 X 4 = 3 + 3 + 3 + 3.

- 26-

EIGENSCHAPPEN AANGAANDE DE VERMENIGVULDlGI:'IG.

46. Grondeigenschap. - Men vermenigvuldigt eene som met een getal, als men elken term der som met dit getal vermenigvuldigt, en de gedeeltelijke producten samenvoegt.

B. v. (3 + 4) X 5 = 3 X 5 + 4 X 5. Toepassing op het hoofdrekenen:

45 X 6 = (40 + ö) X 6 = 40 X 6 + 5 X 6. 47. Stelling I. - Een product van twee factoren ver-

andert niet, als men die {actoren verwisselt. Men zal b. v. hebben: 5 X 4 = 4 x 5. Inderdaad 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Men kan dus, om 5 met 4 te vermenigvuldigen (46),

4 maal elkeen der eenheden nemen waar 5 uit bestaat, of (1 + 1 + '1 + 1 + 1) X 4 =- 4 + 4 + 4 + 4 + 4. Maar 4, vijfmaal herhaald, is gelijk aan 4 X 5.

De beredeneering kan in 't kort volgender wijze ge-schreven worden :

o X 4 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) X 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 X 5.

48. Proef der vermenigvuldiging. - Uit de voor-gaande stelling ziet men dat het product hetzelfde blijft, als men het vermeni~vuldigtal en den vermenigvuldiger verwis-selt. Hieruit : om de proef der vermenigvuldiging te maken, verwisselt men de factoren en herbegint de bewerking.

49. Stelling Il. - 111 een gedurig product mag men de factoren in willekeurige volgorde nemen.

Zij het gedurig product 2 X 5 X 6 X 3 X 4. Ik zeg 10 dat mende twee eerste factoren mag verwisselen. Volgens wat boven (44) gezeid is, beteekent

2 X ö X 6 X 3 X 4, dat men 2 eerst 5 maal moet nemen, het komende product 6 maal, het nieuw komende product 3 maal, en dit laatste product nog 4 maal.

- 27-

Volgens de voorgaande stelling (47) is het product 2 X ;) gelijk aan;) X 2, en in plaats van het eerste product beUite-Iings te vermenigvuldigen met 6,3 en 4, mag men het tweede product beurtelings door diezelfde getallen vermenigvuldigen; dus:

2 X Ö x 6 X 3 X 4 = ö x 2 X 6 X 3 X 4.

2° Men mag de twee laatste factoren verwisselen. Inder-daad, volgens de voorgaande stelling (47), is 3 X 4 gelijk aan 4 X 3: dus in plaats van 4 maal3 maal het produkt 2 X Ö X 6 te nemen, mag men het 3 maal 4 maal nemen, dus:

2 X ;) X 6 X 3 X 4 = 2 X ;) X 6 X 4 x 3.

3° Men mag twee opeenvolgende factoren verwisselen. Inderdaad, volgens hetgeen vool'3fgaat, is 2 X Ö X 6

gelijk aan 2 X 6 X Ö. Dus in plaats van het product 2 X 1) X 6 beurtelings

met 3 en 4 te vermenigvuldigen, mag men 2 X 6 X t beurte-lings door dezelfde getallen vermenigvuldigen,

Dus:

2 X ;) x 6 x 3 X 4 = 2 x 6 x 1) x 3 x 4.

Uit die toegelatene verwisselingen blij kt dat men eIken factor mag br'engen op de plaats waar men wil, of de factoren in eene willekeurige orde nemen.

50. Stelling 111. - Men vermenigvuldigt een getal met een produkt van verscheidene factoren, door het achtereen-volgens door elkeen dier factoren te vermenigvuldigen,

Zij te bewijzen 13 x (2 x D x 3) = 13 X 2 x 5 x 3. In het product 13 X (2 x D x 3) mag men de 2 factoren

verwisselen (47). Waaruit:

13 x (2 x D x 3) = (2 x ö x 3) x 13. Volgens de bepaling van het gedurig product (44) heeft

men: (2 x 5 x 3) x 13 = 2 x ö x 3 x 13.

- 28-

In dit laatste product mag 13 op de eerste plaats gebracht worden (49). Dus :

2 x 5 x 3 x 13 = 13 x 2 x 5 x 3. De bovenstaande beredeneering kan in 't kort zoo

geschreven worden :

13 x (2 X 5 X 3) = (2 X 5 X 3) X 13 = 2 X 5 X 3 X 13 = 13 X 2 X 5 X 3.

Toepassing op het hoofdrekenen :

25 X 36 = 25 X 4 X 9 = 900.

51. Stelling IV. - .lJfen vermenigvuldigt een product met een product, als men het 11roduct van al de factm'en van beide producten vor'mt.

Zij te bewijzen: (3 X 4 X 5) (2 X 7 X 8) = 3 X 4 X 5 X 2 X 7 X 8.

Men heeft volgens stelling IU (50) :

(3 X 4 X 5) (2 X 7 X 8) = (3 X 4 X 5) X 2 X 7 X 8. Volgens de bepaling van het gedurig produkt (44) :

(3 X 4 X 5) X 2 X 7 X 8 -= 3 X 4 X 5 X 2 X 7 X 8.

Gevolg I. - Om eene macht van een getal met eene andere macht van hetzelfde getal te vermenigvuldigen, geeft men aan het getal voor exponent de som de,. t!xponenten.

tP X 54 = t)7

Want 53 X 54 =' (5 X 5 X 5) X (5 X 5 X 5 X 5) = 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 58 •

Gevolg II. - Om een product tot eene zekere macht te verheffen, verheft men elken factor tot die macht, en maakt het product dier machten.

(2 X 5 X 7)3 = (2 X 5 X 7) X (2 X 5 X 7) X 2 X 5 X 7) = 2 X 5 X 7 X ~ X 5 X 7 X 2 X 5 X 7 ~ 23 X lP X 73 •

- 29-

52. Stelling V. - Men mag in een gedurig product eenige factoren doot· hun uitgewerkt product vervangen.

Volgens de bepaling van het gedurig product (44) is deze stelling klaarblijkend, wanneer die factoren de eerste zijn. Nu, men kan ze altijd de eerste maken (49). Dm, is de stelling bewezen.

53. Stelling VI. - Omgekeerd, men mag, in een product van verscheidene factoren, een dier factoren vervangen door andere waa/wan hij het product is.

De stelling is klaarblijkend (44), indien die factor de eerste is. Nu, men kan hem altijd op de eerste plaats brengen (49).

54. Stelling VII. - Men vermenigvuldigt een product met een getal, als men een der {actoren van het product met dit getal vermenigvuldigt.

Te bewijzen (3 X 1) x 7) X 8 = 24 x ;) x 7. Volgens de bepaling van het gedurig product heeft men:

(3 X 3 x 7) x 8 = 3 x 3 X 7 X 8. De factoren 3 en 8 door hun uitgewerlit product ver-

vangende: 3 X 3 X 7 x 8 = 24 X 3 X 7.

55. Stelling VIII. - llfen vermenigvuldigt een getal met eelle som, als men het getal met elkeen van de termen diet· som vermenigvuldigt, en de gedeeltelijke producten samenvoegt.

Zij: 3 X (3 + 2). Door verwisseling der factoren (47) :

3 X (3 + 2) = (3 + 2) x 3. Door toepassing van de grondeigenschap (46) :

(3 + 2) X 3 = 3 X 3 + 2 X 3. Door verwisseling der factoren (47) :

t> X 3 + 2 X 3 = 3 X 3 + 3 X 2.

- 30-

56. Stelling IX. - Men vermenigvuldigt eene som met eene som, als men elken term van het vermenigvuldigtal beurtelings vermenigvuldigt met elken term van den vermenig-vuldiger, en de gedeeltelijke producten samenvoegt.

Zij b. v. (2 + 3 + 4) X (I> + 6).

Volgens de grondeigenschap (46) heeft men:

(2 + 3 + 4) X (I> + 6) = 2 X (I> + 6) + 3 X (I> + 6) + 4 X (1)+6).

Volgens stelling VIII (1)1>) :

2 X (I> + 6) + 3 X (I> + 6) + 4 X (I> + 6) = ~ X I> + 2 X 6 + 3 X ;) + 3 X 6 + 4 X I> + 4 X 6.

Gevolg. - Het vierkant eener som van twee getallen is gelijk aan het vierkant van het eerste getal, plus tweemaal het product van het eerste getal met het lweede, plus het vierkant van het tweede.

~+~=~+~X~+~=3X3+I>X3+ 3X5+I>XI>=3X3+3XI>+3XI>+I>XI>= 32 + 3 X I> X 2 + 1>2 .

Toepassing op het hoofdrekenen :

432 = (40 + 3)2 = 402 + 40 X 3 X 2 + 32 •

57. Stelling X. - Men vermenigvuldigt een verschil met een getal, als men den eersten en den tweeden term van het verschil beurtelings met dit getal vermenigvuldigt, en het tweede product van het eer'ste aftrekt.

Zij : (7 - 3) X 4.

Zoo men 7 X 4 als product neemt, .dan is dit te groot met 3 X 4. Het juist product is dus 7 X 3 - 3 X 4.

Toepassing op het hoofdrekenen:

94 X 7 = (100 - 6) X 7 = 700 - 42.

58. Stelling XI. - Men vermenigvuldigt een getal met een verschil, als men het getal beurteliHgs met den eet'sten en

- 31-

den tweeden term van het verschil vermenigvuldigt, en het tweede product van het eerste aftrekt.

7 X (10 - 2) = (10 - 2) X 7 = 10 X 7 - 2 X 7 = 7 X 10-7 X 2.

59. Stelling XII. - Men vermenigvuldigt een verschil met een verschil, als mell het product maakt van het eerste verschil met den eersten term van hd tweede, en daarvan het product van het eerste verschil met den tweeden term van het tweede aftrekt.

(10 - D) X (7 - 2) = (10 - 5) X 7 - ilO - 5) X 2 = 10 X 7 - D X 7 - (10 X 2 - D X 2) = 10 X 7 -!J X 7 - 10 X 2 + 5 X 2.

Gevolg. - Het vierkant van een verschil van twee getallen is gelijk aan het vief'kant van het eers:e, min tweemaal het product van het eerste met het tweede, plus het vin'kant van het tweede.

(10 - 7)2 = (10 - 7) X (10 - 7) = 102 - 7 X lO-10 X 7 + 72 = 102 - 10 X 7 X 2 + 72•

60. Stelling XIII. - Het product van de som van twee getallen met hun verschil is gelijk aan het verschil hunner viakanten.

~+~X~-~=~+~X6-~+~X2= 62 + 2 X 6 - (6 X 2 + 22) = 62 + 2 X 6 - 6 X 2 - 22 = 62 - 22 •

Toepassing op het hoo/(Irekenen :

10D X 9!J = (100 + D) (100 - 5) = 1002 - D2 992 = (99 + 1) X (99 - 1) + 1 = 100 X 98 + 1 982 = (98 + 2) X (98 - 1) + 22 = 100 X 96 + 4 952 = (9D + D) X (9D - 5) + D2 = 100 X 90 + 2D 842 = (84 + 6) X (84 - 6) + 62 = 90 X 78 + 36.

- 32-

HOOFDSTUK V.

Deeling.

61. Bepaling. - De deeling is eelle bewerking waar-doof' men, het product van twee factoren en een dier {actoren kennende, den anderen (actor zoekt.

Het product is het deeltal; de bekende factor, de deeler; de gevraagde factor, het quotient.

Het teeken der deeling is : ofwel -. Gebruikt men het. eerste, dan komt het deelial vooraan, en de deel er achter-aan; gebruikt men het tweede, dan staat het deeltal vanboven en de deeler vanonder.

Zoo: 63 63 : 9 = 7 of 9" = 7

beteekent : 63 gedeeld door 9, is gelijk aan 7.

62. Verhoudings- en verdeelingsdeeling. - De bekende factor kan het vermenigvuldigtal of de vermenigvul-digei' van het product zijn.

Zij b. v. het volgende vraagstuk: Hoeveel kosten ~4 meters laken als 1 meter 9 fr. kost? Om dit vraagstuk op te lossen, moeten wij 24 maal den

prijs van 1 meIer nemen, zoodat de uitkomst is :

9 fr. X 24 = 216 fr.

Veronderstellen wij nu dat het product 216 fr. gekend zij. Volgens dat de gekende factor 24 of 9 Ir. is, heeft men het vermenigvuldigtal of den vermenigvuldiger van het product te zoeken.

VOORBEELDEN:

1° Het quotient is het vermenigvuldigtal. Als 24 meters laken 216 fr. kosten, hoeveel kost dan 1 meter 1

Daar 24 m. 216 fr. kosten, zoo kost 1 m. 2'i maal min. Om dus den gevraagden prijs te vinden, moet men 216 fr. in 24 gelijke deelen verdee-len, waarvan. elk deel den prijs van 1 m. zal voorstellen, die hier de onbekende factor van het prouuct is.

- 33-

De deeIing heeft hier VOOI' doel de verdeeling van het deeltal in zoo veel gelijke deelen als er eenheden in den deeler zijn. Het quotient gelijk aan een dier deelen wordt de helft, het derde, vierde, vijfde, zesde..... deel van het deeltal genoemd, volgens dat de deeler 2, 3, 4, 5, 6 ..... is.

2° Het quotiellt is de vermenigvuldiger. Als 1 meter laken 9 fr. kost, hoeveel meters zal men voor 216 fr.

hebbenf

Daar 1 meter 9 fr. kost, zoo dikwijls 9 fr. in 216 fr. begrepen is, zoo dikwijls zal men 1 meter hebben. Om dus het aantal meters te vinden. moet men zoeken hoe dikwijls 9 fr. in 216 fr. begrepen is, en de uitkomst zal de onb$kende factor van het product zijn.

De deeling heeft hier voor doel, te zoeken hoe dikwijls de deel er in het deeltal begrepen is, of el' kan van afgetrok-ken worden.

In het eerste geval noemt men de deeling verdeelings-deeling of verdeelingsdivisie; in het tweede, verhoudingsdee-ling of verhoudingsdivisie.

63. Samenvatting. - De vel'deelingsdivisie is eelle bewerking in welke, het geheel kennende en het aantal gelijke deelelI, men de grootte van elk deel zoekt. Zoo 63 : 9, als verdeelingsdivisie beschouwd, wil zeggen dat men de grootte zoekt van het ge deel van 63.

De verhoudingsdivisie is eene bewerking in welke men, het geheel en de grootte van elk deel kermende, het aantal gelijke deelen bepaalt. Zoo 63 : 9, beschouwd als verhou-dingsdivisie, wil zeggen dat men zoekt hoe dikwijls 9 in 63 begrepen is of er kan van afgetrokken worden.

In de verdeeIingsdivisie zoekt men het vermenigvuldig-tal; in de verhoudingsdivisie, den vermenigvuldiger; vandaar dat bij de verdeelingsdivisie het quotient een benoemd getal kan zijn, terwijl, bij de verhoudingsdivisie, het quotient altijd noodzakelijk een onbenoemd getal is, zooals de vermenig-vuldiger in de vermenigvuldiging.

Uit wat voorafgaat volgt klaarblijkend dat de deeling de omgekeerde bewerking is van de vermenigvuldiging.

3

- 34-

64. Wederbrenging van de verdeelingsdivbde tot de verhoudingsdivisie en omgekeerd. - Wij hebben gezien (47) dat een product van twee getallen niet verandert, als men vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger verwisselt.

Daarom mag men Haar willekeur, voor wat de onbe-noemde weerde van het quotient aangaat, den deeler als vermenigvuldigtal of als vermenigvuldiger van het product aanzien.

Daaruit volgt dat men zich mag steunen, hetzij op de bepaling van de verdeelingsdivisie, hetzij op die der verhou-dingsdivisie om eene algemeene beredeneering der deeling te geven.

Voor de geheele getallen zal de deeling voor ons altoos zijn zoeken hoe dikwijls de deeler in het deeltal begrepen is; anders gezeid, wij zullen de deeling beredeneeren als verhou-dingsdeeling.

65. Qu

- 35-

In hetgeen volgt, zullen wij kortheidshalve den naam van quotient geven aan het geheel gedeelte van het quotient.

Het is klaar dat het deeltal gelijk is aan het product van den deeler met het quotient plus de rest. Indien wij dus-door a het deeltal, door b den deeler, door q het quotient en door r de rest voorstellen, hebben wij:

a = bq + r. Deze formuul gaat door, zelfs wanneer de deeling opgaat,

't is te zeggen als de rest 0 is, want dan heeft men :

a = bq + 0 of a = bq. Men ziet ook dat, voor wat de weerde van hel quotient en

van de re8t betreft, het onverschillig is, de deeling als ver-houdings- of verdeelingsdivisie te beschouwen.

66. Aantal cijfers van het quotient. - Er bestaat een gemakkelijk middel om te bepalen hoe,-eel cijfers er aal) het quotient zijn.

Zij b. v. 2.1,57.893 te deelen door 285.

Indien men achtereeD\'olgens ééne nul, twee, drie nullen achter den deeler schrijft, bekomt men de getallen 2850, 28500, 285000, alle kleiner dan het deeltal. Maar zoo men vier nullen achter 285 schrijft, bekomt men 2850000 grooler dan het deeltal. Het deeltal is dus grooter dan 1000 maal de deeler, maar kleiner dan 10000 maal de deeler, hetgeen volgender wijze geschreven wordt:

285 x 1000 < 2457893 < 285 x 10000. Men besluit er uit dat het quotient begrepen is tusschen

1000 en 10000, en bijgevolg met 4 cijfers geschreven wordt.

Regel. - Om het aantal cijfers van het quotient te bepalen, schrijft men achtel' den deeler nullen totdat hij grootel' wordt dan het deeltal : het aantal bijgevoegde nullen is het aantal cijfers van het quotient.

- 36-

67. Beredeneering der deeling als vElI'houdings-divisie. - De volgende tafel geeft ons de gevallen der beredeneering :

) deeler < 10 deeler: beduidend cijfer

quotient < 10 gevolgd van nullen DEELING : I deeler : een, willekeurig

getal quotient> 10 . . . . . .

Er zijn dus 4 gevallen: 1° deeling waarin het quotient kleiner is dan 10, en de

deeler insgelij ks; 20 deeling waarin het quotient kleiner is dan 10, en de

deeler een beduidend cijfer gevolgd van nullen; 3° deeling waarin het quotient kleiner is dan 10, en de

deeler een willekeurig getal; 4° deeling waarin het quotient grooter is dan 10.

68. Eerste geval. - Quotient < 10; deeler < 10. Zij: 21> : 3.

Wij moeten zoeken hoe dikwijls 3 in 2ö begrepen is. Door de kennis der tafel van vermenigvuldiging weet men dat 3 X 8 = 24 en 3 X 9 = 27; dat dus 3 in 23 acht maal en min dan 9 maal begrepen is, ot dat het quotient 8 is.

Regel. - Het quotient wordt bepaald dool' de kennis der tafel van vermenigvuldiging.

69. Tweede geval. - Quotient < 10. Deeler, een beduidend cijfer gevolgd van nullen.

Zij: 3497 : 400.

Wij moeten zoeken hoe dikwijls 400 in 3497 begrepen is, of er kan van afgetrokken worden. 400 kan niet eens meer van 3497 afgetrokken worden dan 4 honderdtallen van 34 honderdtallen; en 4 honderdtallen kan juist zoo dikwijls van 34 honderdtallen afgetrokken worden als 4 van 34.

- 37-

Regel. - Volgens dat het beduidend cijfer van den deeler tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz. voorstelt, deelt men het aantal tientallen, honderdtallen, duizendtal-len, enz;. Mn het deeltal door dit beduidend cijfer.

70. Derde geval. - Quotient < 10. Deeler, een willekeurig getal.

Zij b. v. 3497 : 472.

Wij moeten zoeken hoe dikwijls 472 van 3497 kan afgetrokken worden. Zoeken wij hoe dikwijls 400 van 3497 kan afgetrokken worden. Bemerkende dat 400 < 472, en bijgevolg 400 zeker niet min malen kan afgetrokken worden van 3497 dan 472, zal de deeling van 3497 door 400 ons het grootste mogelijk quotient geven der deeling van 3497 door 472. Volgens den regel van het voorgaande geval is het quotient der deeling van 3497 door 400 gelijk aan 8. Het is dus onmogelijk dat 472 meer dan 8 maal in 3497 begrepen zij. Het quotient 8 kan niet te klein zijn, maar het kan te groot zijn. Beproeven wij dus welk het product is van 472 X 8. Wij vinden 3776, en daar 3776 > 3497, zien wij dat het vermoedelijk cijfer 8 werkelijk te groot is. Ver-minderen wij dit vermoedelijk cijfer met 1 en vormen wij een nieuw proeftal : 472 X 7 = 3304, dat ditmaal van 3497 kan afgetrokken worden. 7 is dus het juist cijfer van het quotient.

Het is duidelijk dat, indien men het tweede proeftal 3204 nog niet had kunnen aftrekken van het deeltal, men 7 met nog eene eenheid hadde moeten verminderen en een nieuw proef tal vormen. In die vermindering van het vermoe-delijk cijfer, altijd met eéne eenheid seffens, hadde men moeten voortgaan tot dat het proef tal kleiner wierd dan het deeltal of daaraan gelijk.

De bewerking kan volgender wijze geschreven worden :

3497 I 472 3304 -7-193

- 38-

Regel. - Volgens dat het eerste cijfer van den deele1' tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz, voorstelt, deelt men het aantal tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz. van het deeltal door dit cijfer. Het bekomen quotie/lt is het vermoedelijk cijfer van het quotient. Om dit vermoedelijk cijfer te beproeven, vormt men het proef tal of product van den deeler met het ve1'moedelijk cijfer. Kan het proef/al van het deeltal afgetrokken worden, dali is het vermoedelijk cijfer het juist cijfer; zoo /liet, dan vermindert men het vermoedelijk cijfer met de eenheid en vormt een nieuw pl'oeftal, enz., totdat het proef tal kleiner wordt dan het deeltal,

Bemerkingen, - 10 In de twee eerste gevallen vindt men in eens het juist cijfer van het quotient; in het derde geval vindt men dit juist cijfer slechts na beproeving, en dikwijls na herhaalde beproevingen. Practisch maakt men deze beproevingen uit het hoofd, zonder iets te schrijven.

20 Wanneer men veronderstelt dat het vermoedelijk cijfer, gezocht volgens den bovenstaanden regel, te groot zal zijn, kan men het kort-heidshalve opzettelijk kleiner nemen. Opdat in zulk geval het cijfer niet te klein zij, moet het proef tal afgetrokken van het deeltal eene rest geven kleiner dan de de el er.

B. v. 3497 : 472. Ik neem áls vermoedelijk cijfer van het quotiellt 6. Daar 472 X 6 = 2832 en 3497 - 2832 = 665, zie ik aan die rest 665. dat de deeler meer dan 6 maal in het deeltal begrepen is.

30 Men kan bij het deden de vorming en de aftrekking van het proef tal in eens verrichten, daarbij de methode van vergoeding toepas. sende: De bewerking kan volgender wijze geschreven worden:

3497 I 472 193 7

Men zegt 2 X 7 = 14; 14 van 17 blijft 3 (men schrijft 3 en ont-houdt 1); 7 X 7 = 49 en 1 is 50; 50 van de 59 blijft 9 (men schrijft 9 en onthoudt 5); 4 X 7 = 28 en 5 is 33; 33 van 34 blijft 1 (men schrijft 1 en onthoudt 3) ; 3 van 3 is O.

In het voorgaande vermeerdert men met gelijke getallen het deeltal of aftrektal en den deeler of aftrekker, zoodat de rest onveranderd blijft.

71. Vierde geval. - Quotient> 10. Zij: 349752 : 472. Het quolient heeft 3 cijfers (66). Het hoogste cijfer duidt

honderdtallen, het tweede tientallen, en het derde enkele eenheden aan. Alle drie zeggen hoeveelmaal de deeler in

- 39-

het deeltal begrepen is; maar het eerste hoeveel honderdmaal, het tweede hoeveel tienmaal daarbij, en het derde hoeveel enkele malen daarenboven. Het is slechts in de honderdtallen van het deeltal dat de deeler eenige honderd malen kan begrepen zijn, te weten, zoo dikwijls één honderdmaal als 472 honderdtallen in de 3497 honderdtallen van het deeltal, of 472 eenheden in 3497 eenheden begrepen zijn. Deze deeling volgens den regel van het derde geval bewerkende, vinden wij voor quotient 7. De deeler is dus in de honderdtallen van het deeltal 700 maal begrepen en er schieten nog 193 honderd-tallen over. Deze tot tientallen herleidende, en er de 5 tiental-len van het deeltal bijvoegende, hebben wij 1935 tientallen.

Het is in die tientallen dat de deeler nu nog een aantal tienmalen kan begrepen zijn, te weten, zoo dikwijls tienmaal als 472 tientallen in 1935 tientallen, of als 472 eenheden in 1935 eenheden begrepen zijn. De deeling volgens den regel van het derde geval bewerken de , vinden wij voor quotient 4. Dus zal de deeler nog 40 maal in het deeital begrepen zijn en er 47 tientallen overblijven. Deze tot enkele eenheden herleidende, vinden wij, met de enkele eenheden van het deeltal, 472.

In die enkele eenheden is nu de deeler nog een aantal enkele malen begrepen: hier', 1 maal.

De bewerkin, kan volgender wijze geschreven worden:

349752 1472 3304 741 1935 1888

472 472

o Regel. - Wanneer het quotient verscheidene cijfers

heeft, scheide men, om de deeling te bewerken, ter linkerhand van het deeltal een getal af, waarin de deeler ten minste éénmaal en geene tienmaal begrepen zij: dit getal is het eerste gedeeltelijk deeltal, en de rang van het laatste cijfer er van is ook de rang van het eerste cijfer van het quotient. Men deelt

- 40-

dit getal nu door den deeler volgens den regel van het derde geval: die deeling geeft het eerste cijfer van het quotient.

Nevens de rest haalt men het volgende cijfer van het quotieJ/t af. Zoo bekomt men het tweede gedeeltelijk deeltal, dat men insgelijks volgens den "egel van het del'de geval deelt dool' den deeler: die deeling geeft het tweede cijfer van het quotient.

Nevens de rest haalt men het volgende cijfer van het quotient af. Zoo bekomt men het derde gedeeltelijk deeltal, waarop men werkt zooals op de vool'gaande. Men gaat zoo voort totdat al de cijfers van het deeltal afgehaald en al de" cijfers van het quotient bepaald zijn.

Bemerkingen. - 10 Wanneer een gedeeltelijk deeltal kleiner is dan de deeler, dan ontbreken in het quotient de eenheden van den over-eenkomstigen rang, zoodat men 0 bij het quotient plaatst. Men haalt aanstonJs het volgend.e cijfer van het deeltal af, om een nieuw gedeelte-lijk deeltal te vormen.

20 Men kan ook (70, bemerkingen, 30) elk proeltal terzelfder tijd vormen en aftrekken. Dan zal de blo'werking korter geschreven worden zooals volgt :

349752 [ 472 1935 741

472 o

Wij meen en niet die methode in het algemeen te moeten aanraden, en vinden beter meer te schrijven tm gemakkelijker te rekenen. In de volgende gevallen nochtans ware het zonder het minste nut de proef-tallen te schrijven: a) als de deeler een der 9 eerste getallen of 11 is; b) als het cijfer van het quotient 1 is.

3° In het geval dat wij beredeneerd hebben, gaat de deeling op. Het is duidelijk dat zulks niet altijd het geval is. De laatste aftrekking geeft meermaals eene rest die dan klaarblijkend de rest der deeling is.

4° Indien de deeler op nullen eindigt, laat men deze weg; maar snijdt zooveel cijfers van het deeltal af als er nullen weggelaten zijn. Daarna deelt men het linker deel ~an het deeltal door den gewijzigden deeler en vindt het gevraagde quotient. Maar om de geheele rest te bekomen, herstelt men nevens de bekomene rest de cijfers die van het deeltal afgesneden waren.

B. v. om 25782 te deelen door 500, deelt men 257 door 5, waaruit het quotient 51 en de rest 2 is. Het quotient der deeling van 25782 door 500 is ook 51, maar de rest is 282.

Inderdaad: waaruit: .en:

- 41-

257 = 5 X 51 + 2 25700 = 500 X 51 + 200 25782 = 500 X 51 + 282 .

72. Proef der deeling. - De proef der deeling berust oOp de eigenschap dat het deeltal gelijk is aan het product van den deeler met het quotient plus de rest (65).

·Regel. - Om de proef der deeling te maken, vermenig-vuldigt men den deeler met het gevonden quotient. Bestaat et· geene rest, dan moet dit product gelijk zijn aan het deeltal. Bestaat N' eenc rest, dan moet het product vermeerderd met die rest, gelijk zijn aan het deeltal.

Men schrijft de proef volgender wijze:

DEELING. PROEF.

57325 1342 34g 342 167 167 2312 2394 2052 2052 2605 342 2394 211

211 57325

Bemerkingen. - 10 Vooraleer in de vermenigvuldiging de som der gedeeltelijke producten te maken, stelt men er de rest onder, zoodat dan de samentelling de som van het product en van de rest geeft.

2- In de deeling geven de proef tallen de gedeeltelijke producten van ·de vermenigvuldiging. Inderdaad het eerste proef tal 342, stelt honderd-tallen voor; het tweede, tientallen, en het derde, enkele eenheden. Stelt men ze onder elkaar en schrijft men er de rest onder, dan moet men bij samentelling het deeltal bekomen.

34200 20520 2395

211

57325

In de bovenstaande deeling .zal men dus de proef kunnen bewerken zonder eene nieuwe vermenigvuldiging en zelfs zonder schrijven, daar de getallen die moeten samengeteld worden, in de deeling zelve op de geschikte wijze onder elkaar staan en hunne som bovenaan. Men heeft slechts de gedeeltelijke deeltallen over te gaan of, beter nog, uit te Bchrappen.

- 42-

EIGENSCHAPPEN AANGAANDE DE DEELING.

73. Stelling 1. - Men deelt een product dool' eenen zijllel' factoren, met dien factor weg te laten.

8 X 3 X 7 : 8 = 3 X 7.

Want, zoo men den deeler vermenigvuldigt met 3 X 7 .. bekomt men het deeltal.

74. Stelling Il. - Wanneer een der factoren van een p"oductjuist deelbaar is door eell getal, deelt men het product door dit getat, met dien factor door het getal te deelen.

8 X 3 X 7 : 4 = 2 X 3 X 7.

Inderdaad : 8 X 3 X 7 = 2 X 4 X 3 X 7 en dan wordt de eerste stelling toepasselijk.

75. Stelling lIl. - Om een getal me: een product van-ve1'scheidene {actoren te deelen, mag men het bew'telings doOf"" elkeen dier factoren deelen: dat wil zeggen, hit getal eerst deel en door den eersten factor, het komende quotient door" den tweeden, het nieuw komende quotient door den derden, enz.

Wij veronderstellen hier dat die opvolgende deelingen geene resten geven.

Zij b. v. 360: 5 X 6 X 4.

Men deelt 360 door 5, daarna het quotient 72 door 6" het nieuw quotient door 4, en men moet bewijzen dat het laatste quotient 3 Ilok het quotient der deeling is van 360 door 5 X 6 X 4.

Inderdaad:

Maar: Dus (50) : Nu: Dus (50) : Of:

360 = 5 X 72. 72 = 6 X 12.

360 = 5 X 6 X '12. 12 = 4 X 3.

360 = 5 X 6 X 4 X 3. 360 = (5 X 6 X 4) X 3.

Dus is 3 het quotient der deeling van 360 door 5 X 6 X 4.

- 43-

Gevolg. - Om eene macht van een getal door eene andere macht van hetzelfdç getal te deelen, vermindert men den exponent van den deelel' met den eXJlonent van het deeltal.

~F : 1)3 = 54 •

76. Stelling IV. - Wanneer men in eene deeling deeltal en deeler dool' een zelfde getal 'lJermenigvuldigf, dan blijft het quotient onveranderd, maat de rest hunner deeUng is dool' dit getal vermenigvuldigd.

Als men b. v. a door b deelt, heeft men voor quotient q

W" b" d a x n en voor rest 1'. IJ moeten eWIJzen at b-- nog voor X n

quotient q, maar voor rest l' X n geeft.

Wij hebben: a = IJ X q + 7'. Indien wij a met n vermenigvuldigen, moeten wij, om de

gelijkheid te bewaren, ook b x q + I' metn vermenigvuldigen. Men heeft dus:

a X n = b X q X n + ,. X n. En daar men in het product b X q X n de factoren in

willekeurige volgorde mag nemen (49), en het product van twee factoren uitwerken (52), bekomt men:

a X n = (b X n) X q + ,. X n. Nu daar men heeft: ,. < b,

bekomt men ook: l' X n < b X n. Zoodat in de deeling van a X n door b X n, q no~ het

quotient, en ,. X n de rest is, waardoor de stelling bewezen is. Deze stelling is ook toepasselijk aan andere getallen

dan aan de geheele, en daarom hebben wij ze hier in het algemeen bewezen.

TWEEDE DEEL.

Eigenschappen der geheele getallen.

HOOFDSTUK I.

Kenmerken van deelbaarheid.

77. Bepaling. - Een geheel getal is deelbaar dool' een ander', of IS er een veelvoud van, wanneer de deding van dit getal door dit ander opgaat, of, hetgeen hetzelfde is, indien het eerste getal het product is van het ander met een geheel getal.

Het tweede getal heet deeler, onderveelvoud, {actor of evenmatig deel van het eerste.

Om uit te drukken dat 60 een veelvoud is van 5, kan men schrijven:

60 = v. 5,

gelezen: 60 is gelijk aan een veelvoud van 5.

78. Stelling 1. - Elk getal dat twee o{ meel' getallen juist deelt, deelt ook hunne som.

B. v. 5 deelt afzonderlijk 40, 35 en 15; ik moet bewij-zen dat ö ook de som 40 + 35 + 15 deelt.

40 is gelij k aan een aantal malen 5, zoo ook 35 en 15. De som is dus gelijk aan een aantal malen 5, plus een aantal malen ö, plus een aantal malen 5, wat duidelijk een aantal malen 5 als som geeft.

- 45-

79. Stelling II. - Elk getal dat een ande,' getal deelt, deelt ook al de veelvouden van dit getal.

B. v. 35 is deelbaar door 5 : wij moeten bewijzen dat 35 X 8 het ook is.

Inderdaad een veelvoud van 35 is de som van eenige ~etallen gelijk aan 35, zoodat de eerste stelling (78) hier toepasselij kis.

80. Stelling lIl. - Elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook hUil vet'schil.

B. v. 40 en 25 zijn beide deelbaar door 5; wij moeten bewijzen dat 40 - 25 ook deelbaar is door 5.

Inderdaad 40 is gelijk aan een aantal malen 5, en zoo ook 25; en een aantal malell 5 min een aantal malen 5 geeft -duidelijk een aantal malen 5.

81. stelling IV. - Als eene som bestaat uit twee deelell, waat'van het eerste deelbaar is dool' een getal en het tweede niet, dan is : 1° de som niet deelbaar dool' dit getal, en 2° de rest del' deeling van de som dool' het getal, dezelfde als de rest det' deeling van het tweede deel doot' het getal.

Zij b. v. de som 25 + 17, waarvan het eerste deel deel-baar is door 5 en het tweede niet, zeg ik :

1° De som is niet deelbaar door het getal, want 17 = 5 X 3 + 2. Dus is de som gelijk aan een aantal malen 5, plus een aantal malen 5, plus 2, of aan een aantal malen 5 plus 2;

2° de rest" der deeIing van 25 + 17 door 5 is dezelfde als. die van 17 door 5. Dat is klaarblijkend uit de vorige uitlegging.

82. Stelling V. - De rest der deeling van twee getallen verandert 'liet, als men bij het deeltal eenige malen den deeler optelt of el' van aftrekt.

De rest der deeling van twee getallen kan men bekomen met van het deeltal den deeler af te trekken zoo dikwijls het mogelijk is. De rest welke men aldus bekomt, zal niet veran-

- 46-

deren als men het deeltal met eenige malen den deel er vermeerdert of vermindert, want zoo brengt men niets anders teweeg dan het aantal aftrekkingen grooter of kleiner te maken.

83. Deelbaarheid door 2 of 5. - Een getal is deelbaar door 2 of 5, als het cijfer zijner eenheden deelbaar is door2 of5.

Inderdaad, elk getal is gelijk aan een veelvoud van 10 vet'-meerderd met het cijfer der eenheden. B. v. 178 is de som van 17 tientallen en 8 eenheden. Nu, een tiental gelijk zijnde aan 2 X 5, is terzelfder tijd een veelvoud van 2 en van 5. Het moet dus ook zoo zijn met een aantal tientallen of een veel-voud van 10 (79). Dus, indien het tweede deel van de som, 't is te zeggen het cijfer der eenheden, door 2 of door 5 deel-baar is, dan zal de som of het getal het insgelijks zijn (78).

Indien het cijfer der eenheden niet deelbaar is door 2 of door 5, dan is het getal zelf het ook niet, en de rest der deeling is dezelfde als die der deeling van dit cijfer door 2 of 5 (81). In het gegeven voorbeeld is 8 deelbaar door 2; maar gedeeld door 5 geeft het voor rest 3. 178 is dus deel-baar door 2; maar gedeeld door 5 geeft het voor rest 3.

Hieruit volgt: 10 dat een getal deelbaar is door 2, wan-neer het eindigt op 0, 2, 4, 6, 8;

20 dat een getal deelbaar is door 5, wanneer het eindigt op 00f5.

De getallen deelbaar door 2 dragen den naam van even getallen; de andere, van oneven getallen.

84. Deelbaarheid door 4 of 25. - Een getal is deelbaar door 4 of 25, wanneer het getal, uitgedritkt door de twee laatste cijfers, deelbaar is door 4 of 25.

Inderdaad, elk getal is gelijk aan een veelvoud van 100, vermeerderd met het getal uitgedrukt door de twee laatste cijfers. 43737 b. v. is gelijk aan 4B7 honderdtallen plus 37. EtJn honderdtal is deelbaar door 4 en 25: eene verzameling van honderdtallen zal het dus ook zijn (79). Indien dus 37

- 47-

door 4 of 25 deelbaar is, zal de som of het getal 43737 het ook zijn (78).

Indien 37 door 4 of 25 niet deelbaar is, dan is 43737 hel ook niet, en de rest der deeJing van 43737 door 4 of 25 is dezelfde als die van 87 door 4 of 25 (81).

85. Deelbaarheid door 8 of 125. - Een getal is deelbaar door 8 of 125, wanneer het getal uitgedrukt, door de drie laatste cijfers, deelbaar is dool' 8of125.

Elk getal is gelijk aan een veelvoud van 1000 plus het getal uitgedrukt door de drie laatste cijfers. De beredeneering komt overeen met die der 2 voorgaande gevallen.

86. Deelbaarheid door 9 of 3. - Elk getal is deel-baar door 9 or3, als de som zijnet· cijfer's, in volstrekte weerde genomen, deelbaar is door 9 of 3.

Deze voorwaarden van deelbaarheid steunen op de vol-gende hulpstelling, die wij eerst gaan bewijzen :

Elk getal is gelijk aan een veelvoud van 9 vermeet'det'd met de som zijner cijfers in volstrekte weerde genomen.

10 Elk getal uitgedrukt door de eenheid gevolgd van nullen, is gelijk aan een veelvoud van 9 plus de eenheid.

Want: 10 = 9 + 1 100 = 99 + 1

1000 = 999 + 1 enz. 2° Elk getal uitgedrukt door een beduidend. cijfer

gevolgd van nullen, is gelijk aan een veelvoud van 9 plus dit beduidend cijfer.

B. v. 400 = v. 9 +4, want400 =100 x 4; 100 = v. 9 + 1. Dus heeft men 400 = (v. 9 + 1) X 4 = v. 9 + 4. 3° Zij nu het willekeurig getal 3787.

3787 = 3000 + 700 + 80 + 7, of is gelijk aan de som der betrekkelijke weerden van al de cijfers (14).

Waaruit :

- 48-

3000 = v. 9 + 3 700 = v. 9 + 7

80 = v. 9 + 8 7= 7

3787 = v. 9 + 3 + 7 + 8 + 9, zoo wij opmerken dat de som van verscheidene veelvouden van 9 nog een veelvoud van 9 is (78). Deze gelijkheid bewijst de stelling.

Nu kunnen wij het gegeven kenmerk van deelbaarheid vaststellen.

Inderdaad, elk getal kan gesplitst worden in twee deelen, waarvan het eerste gelijk is aan een ,'eelvoud van 9, en dus ook van 3 (79), en het tweede aan de som der cijfers in volstrekte weerde genomen. Is dit tweede deel nu ook deelbaar door 9 of 3, dan is het totaal getal deelbaar door 90f3(78).

Indien de som der cijfers niet deelbaar is door 9 of 3, dan is het getal het ook niet, en de rest del' deeling door 9 of 3 van die som is ook de rest der deeling door 9 of 3 van het getal (81).

87. Rest der deeling door 9 of 3. - In het boven-staande voorbeeld is de som der cijfers 2;). De rest der deeling door 9 is dus dezelfde als die van 2;) dool' 9. 1\1aal' 2;) = v. 9 X 2 + ;) = v. 9 + 7. De rest der deeling door 9 is dus 7.

Insgelijks de det'ling van 2;) door 3 geeft de rest der deeling van het getal door 3.

Bemerking. ~ Om de rest der deeling door 9 te zoeken, is het niet noodzakelijk werkelijk de som der cijfers te maken, want de rest der deeling verandert niet, als men het deeltal (hier de som der cijfers) eenige malen met den deeler (hier 9) vermindert (82). Iedermaal dat men dus in de som 9 bekomt, laat men die negen vallen. Een voorbeeld zal de manier van te werk te gaan klaar maken.

Zij 5491744. Men laat nit de samentelling weg de negen en de cijfers waarvan de som gelijk is aan negen. Zoo 5 + 4 = 9; 1 + 4 + 4 = 9· Men ziet dan aanstonds dat 7 de rest der deeling is.

- 49-

Andel' voorbeeld: 735192781. 5 + 4 = 9 2 + 7 = 9 8 + 1 - 9.

De twee cijfers 7 en 3 blijven alleen over, en men ziet aanstonds dat 1 de-rest der deeling doo l' 9 is.

Hetzelfde geldt voor de rest der deeling door 3. Men mag daar de cijfers 6 en 9 weglaten en al de sommen van cijfel's twee en twee, drie-en drie, die veelvouden zijn van 3.

88. Deelbaarheid door 11. - Een getal is deelbam' door 11, wanneet" hel verschil tusschell de som der rijfet"s van oneven rang en die van even rang 0 is, 11 of een veelvoud van 11.

Die voorwaarden van deelbaarheid steunen op de vol-gende hulpstelling:

Elk getal is gelijk aan een veelvoud van 11, vermeerderd met de som del' cijfers van oneven rang, en ve,.minderd met de som der cijfers van even rallg.

1° Elke eenheid van oneven rang is gelijk aan een veel-voud van 11 plus 1; en elke eenheid van even rang is gelijk aan een veelvoud van 11 min een.

Inderdaad: 100 = 99 + 1 = v. 11 + 1 10000 = 9999 + 1 = v. 11 + '1

1000000 = 999999 + 1 = v. 11 + 1 enz. Zoo ook: 10 = v. 11 - 1.

1000 = 990 + 10 = 990 + 11-1 = v.11-1 100000 = 99990+10 = 99990 + 11-1 = v.11-1 enz.

2° Elk beduidend cijfer van oneven rang geldt een veel-voud van H plus dit beduidend eijfer, en elk beduidend cijfer van even rang, een veelvoud van 11 min dit beduidend cijfer.

400 = 100 x 4 = (v. 11 + 1) X 4 = v. 11 + 4 4000 = 1000 X 4 = (v. 11 - 1) X 4 = v. 11 - 4.

3° Zij nu het willekeurig getal ;>849.

;>849 = ;>000 + 800 + 40 + 9 ;>000 = v. 11 - ti 800 = v.11 + 8

40 = v.11 -4 9= 9

waaruit ;>849 = v. 11 -;> + 8 - 4 + 9, 4

-öQ-

zoo men in acht neemt dat de som van verscheidene veelvou-den van 11, ook een veelvoud van 11 is (78).

Dus:

5849 = v. 11 + (8 + 9) - (3 + 4) = v. 1 t + 17 - 9. Door deze geJij kheid is de stelling bewezen.

Nu kunnen wij het gegeven kenmerk van deelbaarheid vaststellen.

Indien wij de som der cijfers van oneven rang door Sen die van even rang door S' voorstellen, hebben wij uit het voorgaande:

Getal = v. 11 + (S - S'). 1° Indien de som der cijfers van oneven rang gelijk is

aan die van even rang:

Getal = v. 11 + 0 = v. 11. 2° Indien de som der cijfers van oneven rang de grootste

is, en het verschil def\lbaar door 11 :

Getal = v. 11. + v. 11 = v. 11 (78). 3° Indien de som der cijfers van even rang de grootste

is, en het verschil deelbaar door 11 : daar men heeft :

v.l1 + (S - S')=v.l1-(S'- SJ, zoo is dan:

Getal = v. 11 - v. 11 = v. 11 (79).

Dus is het opgegeven kenmerk van deelbaarheid be-wezen.

Regel. - Om te zien of een getal deelbaar is dool' 11, maakt men afzonderlijk de som del' cijfers van oneven rang en die der cijfers val! even rang. Zijn beide sommen gelijk, zoo is het getal deelbaar door 11; zijn zij niet gelijk, dan trekt men de kleinste som van de grootste af, en, is de rest deelbaar door 11, dan is het getal het ook.

-!H -

89. Rest der deeling door 11. - Indien het verschil der twee sommen niet 0 is of door 11 deelbaar, dan is het getal een veelvoud van 11 vermeerderd of verminderd met een getal dat zelf niet door 11 deelbaar is, of in beide gevallen Mn veelvoud van 11 plus eelle rest (81).

Om die rest te bepalen, onderscheidt men 2 gevallen:

10 Ot som der cijfers van oneven rang is gl'ooter dan de som del' cijfers van èven rang.

Het getal is dan gelijk aan een veelvoud van 11 plus het verschil tusschen beide sommen: dus geeft de rest der deeling van het verschil door 11 ook de rest der deeling van het gelal door 11 (81).

B. v. 0849 = v. 11 + ('l7 - 9) = v. 11 + 8. 2" De som del' cijfers van oneven rmlg is kleiner dan die

van epen rang.

In dat geval vermeerdert men de eerste som of vermin-dert men de tweede met een veelvoud van 11 totdat de aftrekking mogelijk worde. Hierdoorwordt de rest der deeling van het getal door 11 niet veranderd (82).

B. v. :

9406 = v. 11 + 10 -14 = v.11 + 21-14 = v.11 + 7. Of:

9406 = v. 11 + 10 - 14 = v. 11 + 10 - 3 = v. 11 + 7.

NEGEN- OF ELFPROEF OP DE HOOFDBEWERKINGEN.

90. Samentelling. - In de samentelling is de som der termen gelijk aan een veelvoud van 9, plus de som der resten door 9 van al de termen, of aan een veelvoud van 9 plus de rest der deeling door 9 van de som der resten.

2304 = v. 9 + 0 1338 = v. 9 + 6 8230 = v. 9 + 0

som 11927 = v. 9 + 11 = v. 9 + 2.

- 52-

Hetzelfde geldt voor de deeling door i 1 :

2Jö4 = v. 11 + 0 1338=v.11+ 7 8235 = v. 11 + 7

som 11927 = \'.11 + 14 = v. 11 + 3. Daaruit volgt :

Regel. - Om de negen- of elfproef op de samentelling te maken, zoekt men de resten der deeling dool' 9 of 11 van al de termen det' som, maakt de som dier resten, bepaalt de rest del' deeling door 9 of 11 van die som, en ziet vel'tJolgens of die ,'est dezelfde is als de rest det' deeling dool' 9 of 11 van de som del' termen.

Bemerking. - Als de negenproef geelle fout aanwijst, kan men alleen met zekerheid zeggen dat, zoo in de bewerking eene fout gemaakt is, zij een veelvoud van 9 zijn moet, Hetzelfde voor de elfproef. Als dus geene van beide proeven eene fout aanwijst, moet de fout, zoo zij bestaat, te gelijk een veelvoud van 9 en van 11 zijn. Deze bemerking is toepasselijk aan de negen- en elfproeven op al de andere bewerkingen.

91. Aftrekking. - Het aftrektal is ~elijk aan een veelvoud van 9, plus de som del' resten dool' 9 van aftrekker en verschil, of aan een veelvoud van 9 plus de rest del' deeling door 9 van de som dier resten.

Inderdaad: 5601 - 2239 = 3362. De som van den aftrekker plus de rest is gelijk aan het

aftrektal :

2239 = v. 9 + 7 3362 = v. 9 + I) 5601 = v. 9 + 12 =- v. 9 + 3.

Hetzelfde geldt voor de deeling door 11 :

2239 = v. 11 + 6 3362 -= v. 11 + 7 1)601 = v. 11 + 13 = v. 11 + 2.

- 53-

Regel. - Om de negen- of elfproef op de aftrekking te maken, zoekt men de resten der deeling door 9 of 11 van den aftrekker en van de rest, maakt de som dier resten, zoekt de "est der deeling doof' 9 of 11 van die som en, ziet vervolgens of die "est dezelfde is als de rest del' deeling dool' 9 of 11 van het aftrektal.

9~. Vermenigvuldiging. - Het product is gelijk aan een veelvoud van 9, plus hel product van de resten der deeling döor 9 van vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger; of het product is gelijk aan een veelvoud van 9 plus de rest der deeling door 9 van het product dier resten.

Zij de vermenigvuldiging:

5485 237

38395 1641>1>

10970 1299941>

In de bovenstaande vermenigvuldiging :

of (56) :

M85 = v. 9 + 4 237 = Y. 9 + 3

M85 X 237 = (v. 9 + 4) (v. 9 + 3)

M85 X 237 = v. 9 X v. 9 + 4 X v. 9 + v. 9 X 3 + 4 X 3 of (79 en 78) :

5485 X 237 = v. 9 + 12 en (81) :

M85 X 237 = v. 9 + 3 w. m. b. w. Helzelfde geldt voor de deeling door 11 :

548ö = v. 11 + 7 237 = v. 11 + 6

548ö X 237 = v. 11 + 42 = v. 11 + 9.

-54-

Regel. - Om de negen- en elfproef op de vermenigvul-diging te maken, maakt men het product der resten van de deeling door 9 of 11 van vermenigvuldigtal en vermenigvul-diget', zoekt de rest del' deeling door 9 of 11 van dit p,'odnct, en ziet vervolgens of het product der vermenigvuldiging dezelfde ,'est geeft, wanneer men het deelt dool' 9 of 11.

93, Deeling. - In de deeling die opgaat, is het deeltal gelijk aan een veelvoud van 9, plus het product der resten door 9 van deelel' en quotient; of is gelijk aan een veelvoud ran 9, plus de rest der deeling door 9 van het product die,' resten.

B. v. 1299943 : 5483 = 237 1299943 = 348ë x 237

1299943 = (v. 9 + 4) (v. 9 + 3) = v. 9 + 12 = v. 9 + 3. Hetzelfde geldt voor de deeling door 11 :

1299943=(v.11 + 7)(v.11 +6) = v. 11 + 42 = v.11 +9. Regel. - Om de negen- ot elfproef te maken op eene

deeling die opgaat, maakt men het product der resten van de deeling door 9 of 11 van deelel' en quol'ient, zoekt de rest dc,' deeling dool' 9 of 11 van dit product, en ziet vervolgens of het deeltal dezelfde rest geeft, wanneer men het deelt do Ot' 9 of 11.

Gaat de deeling niet op, dan heeft men de negènproef te maken op de samentelling van het product van den deeler met het quotient plus de rest.

B. v. 4313 = 222 x 20 + 73 4313 = v. 9 + 3 + v. 9 + 1 4313 = v. 9 + 4.

Insgelijks:

4313 = v. 11 + 7 + v. 11 + 7 4313 = v. 11 + 1.4 4313 = v. 11 + 3.

Regel. - Om de negen- of elfproef te maken op eene deeling die niet opgaat, maakt men de proef 0Jl de samentel-ling van het pr'oduct van deele,' met quotiellt plus de ,'est.

- 55-

HOOFDSTUK 11.

Grootste gemeene deeler.

94. Bepalingen. - Een gemeene deeler van verschei-dene geheele getallen is een geheel getal dat elkeen dier getallen juist deelt, b. v. 9 is een gemeene deeler van 45, 729, 4581 en 3fi45.

Eenige getallen kunnen verscheidene gemeene deelers hebben.

De grootste gemeel1e deeler (g. g. d.) is het grootste der geheele ~etallen dat de voorgestelde getallen juist deelt.

§ I. - GROOTSTE GEMEENE DEELER VAN TWEE GETALLEN.

95. Stelling I. - Wanneer van twee getallen het grootste door het kleinste juist deelbaar is, dan is het kleinste de g. g. d. van beide.

Want hel kleinste deelt zich zelf, en is dus het grootste geheel getal dat beide deelt.

96. Stelling 11. - Wanneer van twee getallen het grootste dool' het kleinste nid deelbaar is, dan is de g. g. d. van de tw~e getallen dezelfde als die welke bestaat tusschen het kleinste getal en de rest hunner deeling.

Zij b. v. het gelal 228 dat, gedeeld door 24, als quotient 9 en als rest 12 geeft:

228 = 24 x 9 + 12. 1° Elke gemeene deeler, b. v. 6, van het deeltal 288 en

den deele1· 24, zal ook de rest del' deeling of 12 deelen.

Inderdaad elk getal dat 24 deelt, moet ook 24 x 9, dat er een veelvoud van is, deelen (79). Die gemeene deeler van 288 en 24 is dus ook een gemeene deeler van 288 en 24 X 9. Maar 12 is het verschil van 288 en 24 x 9, en elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook hun verschil (80) : dus is 12 ook deelbaar door 6.

- 56-

2° Elke gemeene deeler, 12 b. V., van den deeler 24 en 4e "est 12, deelt ook het deeltal 288.

Want elk getal dat 24 deelt, deelt ook (79) het veelvoud 24 X 9. Elke gemeene deeler van 24 en 12 is dus ook gemeene deel er van 24 X 9 en 12. Maar 288 is de som van 24 X 9 + 12, en elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook hunne som (78) : dus is 288 deelbaar door 12.

Uit de twee bovenstaande eigenschappen volgt dat de gemeene deelers van 288 en 24 en de gemeene deelers van 24 en 12 juist dezelfde zijn. Indien men twee tafels vormde, behelzende de eene al de gemeene deelers van 288 en 24, en de andere al de gemeene deel ers van 24 en 12, dan zouden die twee tafels juist dezelfde getallen bevatten. Het grootste getal in beide tafels zou dus ook hetzeJtde zijn; ander's gezeid, de g. g. d. van 288 en 24 is dezelfde als die van 24 en 12, w. m. b. w.

Gevolg. Elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook de rest hunner deeling. Het eerste deel der beredeneering bewijst deze eigenschap.

97. Vraagstuk:. - Den grootsten gemeenen deelet· van twee getallen zoeken.

Zij b. v. den g. g. d. van 4488 en 344 te zoeken. Indien 344 juist 4488 deelde, zou 344 de g. g. d. zijn

(94). Beproeven wij die deeling. Men vindt 13 vnor quotient en 16 voor rest. 344 is dus niet de g. g. d., maar de g. g. d. is dezelfde als die welke bestaat tusschen 344 en 16 (95). Indien 16 juist 344 deelde, dan zou 16 de g. g. d. zijn (94). Beproe-ven wij die deeling : men vindt 21 voor quotient en 8 voor rest. Dus is 16 de g. g. d. niet, maar deze is dezelfde als die welke bestaat tusschen 16 en 8 (95). Indien dus 8 juist 16 deelt, dan is 8 de g. g. d. (94). Nu 8 is juist 2 maal in 16 begrepen.

Regel. - Om den g. g. d. van twee getallen te zoeken, deelt men het grootste door het kleinste, het kleinste door de

- 57-

eerste 7'est, de eerste rest dool' de tweede, de tweede rest do07' de derde, enz. totdat eene dier deelingen opgaat: de laatste gebezigde deeler is de g. g. d.

Gewoonlijk schrijft men de bewerking volgender wijze

13 21 2 4488 1048

16

344 16-8-24 0 8

Bemerking. - Daar bij de opvolgende deelingen de resten gedurig kleiner en kleiner worden, zal men noodzakelijk moeten eindigen met 0 als rest te beko men.

98. Eerste vereenvoudiging. - Wanneer in eene der deelin-gen de rest grooter is dan de helft van den deeler, mag men als volgenden deeler het verschil tu sschen den voorgaanden deel er en die rest nemen.

B. v. : g. g. d. tusschen 582 en 213. Den algemeenen regel toepassende, heeft men de volgende bewer-

kingen:

582 [ :13 [ ~56[ :7[ !2[ ~5[-k-[ : g. g. d. 156 57 42 15 12 3 0

De eerste rest 156 is grooter dan de helft van den deeler 213. Ik zeg dat men als volgende deel er 213 - 156 of 57 nemen mag.

Inderdaad: en daar:

heeft men ook: of:

582 = 213 X 2 + 156 156 = 213 - 57 582 = 213 X 2 + 213 - 57 582 = 213 X 3 - 57.

Nu : 10 Elke gemeene deeler die 582 en 213 deelt zal ook 57 deelen. Want elke deeler van 213 deelt ook 213 X 3 dat er een veelvoud

'Van is (79), zoo dat al de gemeene deelers van 582 en 213 ook gemeene deel ers zijn van 582 en 213 X 3. Maar 57 is het verschil van 213 X 3 en 582, en elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook hun verschil (80). Dus is 57 ook deelbaar door al de gemeene deelers van 582 en 212.

20 Elke gemeene deeler van 213 en 57 zal ook 582 deelen. Want (79) elke deel er van 213 deelt ook 213 X 3. Al de gemeene

deelers van 213 en 57 zijn dus ook gemeene deelers van 213 X 3 en 57. Maar (80) elk getal dat de twee getallen 213 X 3 en 57 deelt, deelt ook hun verschil 582, zoodat 582 ook deelbaar is door al de gemeene deelers van 213 en 57.

- 58-

Uit die twee eigenschappen besluit men, zooals in stelling II (96), dat al de gemeene deelers van 582 en 213 dezelfde zijn als de gemeene deelers van 213 en 57 : zoodat de g. g. d. van 582 en 213 dezelfde is als van 213 en 57.

Om nu de g. g. d. van 582 en 213 te zoeken, mag men 213 door 57 deelen, en hierdoor verdwijnt de tweede deeling uit hl't gegeven voor-beeld. Om dezelfde reden mag de 4de en 6de deeling verdwijnen en de-bewerkingen zullen voorkomen als volgt:

582 I 2~3 j+I+/+ g. g. d. 156 42 12 0

99. Stelling lIl. - Elk gdal dat twee getallen deelt~ deelt ook hunnen g. g. d. en omgekeerd.

Inderdaad elk getal dat twee getallen deelt, deelt ook de rest hunner deeling (96, gevolg). In het opzop.ken van d'!m g. g. d. volgens den gegeven regel (97), zullen dus al de opvolgende resten dOOl' het getal deel baal' zijn, en ook de laatste die de g. g. d. is.

Hel omgekeerde der stelling is duidehjk, daar beide getallen veelvouden van den g. g. d. zijn.

100. Vraagstuk. - Wanneer >nen den g. g. d. van twee getallen en de opvolgende quotie,tten kent, de beide getallen wedervinden.

Zij b. v. de g. g. d. 3 en de opvolgende quotienten 2, 1, 2, 1, 2, 1, 4 : welke zijn beide getallen 1

Stellen wij beide getallen voor door a en b, 6n de opvolgende resten door r, r', r', r", r'" enz. dan zullen de he werkingen tot het opzoeken van den g. g. d. volgeuder wijze voor het oog kunnen gebracht worden.

21112 1 2 1 4 b171-;:;- r"" ~ ----rm' -3-r· r'" r'" r"" 3 0

I r a

Waarin men ziet:

r'''' = 4 X 3 =