lectures רשימות הרצאות תשס"ג
Transcript of lectures רשימות הרצאות תשס"ג
אלכסנדר גרסטן' סיכום הרצאותיו של פרופ
3בקורס קוונטים
2003' סמסטר א
גבאי כרמית ושוסטרמן רומן: ערכו
1
:תוכן עיניינים
מרחב , חבורה: הבאים את המושגיםבין היתרהכולל ' חלק א-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 1פרק
פונקציות מרוכבות , הרמוניות ספריות, נדר'פולינומי לג, ית סדרה פונדמנטל/סדרת קושי, נורמי
3-19מ " ע .פונקציית דלתא הלא שלמה, פונקציית דלתא, ומשפט השארית
טרנספורמציית , טנסור:הכולל את המושגים הבאים' חלק ב-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 2פרק
האופרטור , הדלתא של קרונקר, פורמציה של טנסור תחת סיבובטרנס, הסכם סומציה, סיבוב
20-27מ " ע.טנסור לוי ציוויתא, פעולות בין טנסורים, מכפלה סקלרית, נבלה
28-32מ " ע חזרה על תנע זוויתי: 3פרק
33-35מ " ע והקשר שלהם לתנע הזוויתיסיבובים: 4פרק
36-38מ " ע אויילרם וזוויותסיבובי: 5ק פר
39-40מ " עהרמוניות ספריות: 6פרק
41-47מ " ע.בפרט טנסורים כדוריים וטנסורים,סיבובים: 7 פרק
48-55מ " עטריהסימ: 8 פרק
56-59מ "עבור מצבים לא מנווונים ע, תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן: ' חלק א9פרק
60-62מ "עבור מצבים מנווונים ע, תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן: 'ב חלק 9פרק
63-67מ " עתורת ההפרעות התלויה בזמן: 10פרק
68-76מ " ע פיזור: 11פרק
2
' חלק א-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 1פרק
חלקשל , רה תמציתית המובאת בנקודותלכל הקוראים שימו לב פתיח זה מהווה סקי: פתח דבר
לשם הבנת פתיח זה על , המושגים המתמטיים והפיזיקליים הדרושים לשם הבנת הפרקים הבאים
לשם רענון ניתן , 2 וקוונטים 1קוונטים , א להתמצא במושגים מן הקורסים הקודמים היינוהקור
-שנכתב על" מתוך הרצאותיו של פרופסור אלכס גרסטן3רשימות לקורס קוונטים "לקרוא את ה
.ידי קנטרוביץ קרן ומארק שלמה
,קריאה נעימה
.ψ עליו וקטור מצב המתאר את כל האינפורמציה וקטור קט מייצג . 1
) לכל גודל פיזיקלי מתאים אופרטור . 2 )A
aaaAהגדלים הפיזיקליים הניתנים למדידה הינם רק הערכים העצמיים . 3 =ˆ
A
של
).יים הם הרמיטע ממשיים ולפיכך נובע שהאופרטורים "הע. (האופרטור
:מעבר ממכניקה קלסית למכניקה קוונטית באמצעות יחסי חילוף. 4
: במכניקה בקלסית משתמשים בסוגרי פואסון xB
pA
pB
xABA PB ∂
∂⋅
∂∂
−∂∂⋅
∂∂
=,
( ) ( )
: ידי -במכניקה הקוונטית משתמשים ביחסי חילוף והמעבר מסוגרי פואסון ליחסי חילוף נתון על
. [ ]BAi
pxBpxA PBˆ,ˆ1,,,
h=
] : לפיכך ] [ ] Iipxpxi
px PBˆˆ,ˆˆ,ˆ11, h
h=⇒==
:ת המילטוןמשווא. 5
∂∂
−=
∂∂
=
•
•
xHp
pHx
)1(
( )
tAHA
tA
xH
pA
pH
xA
tAp
pAx
xA
dtdA
PB ∂∂
+=∂∂
+∂∂⋅
∂∂
−∂∂⋅
∂∂
=∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂
=••
,1
: אם כן קיבלנו שtAHA
idtAd
∂∂
+=ˆ
,1ˆ
h
A
[ ]
: אינו תלוי מפורשות בזמן נקבלנשים לב שאם PBHAdtdA ,=
3
היינו נקבל אם ורק אם ) או מערכת פיזיקלית משמרת(גודל פיזיקלי שמור . 6
. להמילטוניין כלומר מתקיים יחס החילוף בין האופרטור ]
0ˆ=
dtAd
] 0ˆ,ˆ =HAA
: כדי שהאנרגיה תשמר התנאי הוא שלהמלטוניין לא תהא תלות מפורשת בזמן, לדוגמה
tH
dtHd
∂∂
=ˆˆ
:ψצגות לפונקצית הגל בפורמליזם של דיראק קיימות שתי ה . 7
; ,p: הצגת המקום •x
i∂∂
−= hIxx ˆˆ =
Ip ˆ p , : הצגת התנע • = p
ix∂∂
= hˆ
כלומר , ]זמנית על שני אופרטורים רק במידה והם חילופיים -ניתן לבצע מדידות בו .8
אפשר למצוא פונקציה עצמית משותפת לשניהם
B
Aˆ
ˆ
=
=
babba
baaba
,,
,, .
] 0ˆ,ˆ =BA
האופרטורים צריכים להיות חילופיים , מנת שנוכל לאפיין את המערכת-על: חשיבות הדבר(
אם לדוגמה נרצה לאפיין אנרגיה נרצה שהיא תהיה גודל נשמר , ובלתי תלויים
,....,....ˆ EEEH =
h
.(
:עתה נגדיר מושגים מתמטיים שיסייעו בידינו בהמשך .9
חבורה • בקצרה נתאר את תורת החבורות
אילו אלמנטיי סימטריה קיימים במשולש שווה
ניתן להבחין בציר ? 1.1צלעות המופיע באיור
, הניצב למישור המשולש ועובר במרכזוc3סיבוב
שלושה , σמישור שיקוף הניצב לציר הסיבוב
מישורי שיקוף הכוללים את ציר הסיבוב
σσσ . ושלושה צירי סיבוב, ′′′ ,, vv222 c,c,c ′′′
: פעולות הסימטריה הקיימות במשולש הן
e.
2,cvσ
2,cvσ ′ ′ 2,cvσ ′′ ′′
3,chσ
1.1איור
222233 c,c,c,,,,,c,c, ′′′′′ vvvh σσσσ
סימטריה של גוף אוסף כל פעולות ה. D3hסימטריה " קבוצת"פעולות סימטריה אלו שייכים ל
".חבורה"מימדי היא -תלת
4
העצמים המרכיבים את הקבוצה יקראו איברים . אוסף מוגדר היטב של עצמים–קבוצה : הגדרה
. של הקבוצה
חבורהנקראת ) לא בהכרח כפל רגיל בין מספרים( שעליה מוגדרת פעולת כפל Gקבוצה : הגדרה
:אם מתקיימים בה התנאים הבאים
אזי . מכפלת שני איברים בחבורה אף הוא בחבורה): קשירות(כפל סגירות תחת ) 1
.
Ggn ∈
Gggg kji ∈=⋅
Ggggאם : אסוציאטיביות) 2 kji ()( .) אזי ,,∋ kjikji gggggg ⋅=⋅
kk gggg : כך שקיים איבר יחידה ) 3 0gkg ⋅ 00Ggk ∈
011 gggg kkk =⋅= −−Ggk ∈
G∈ikki gggg
=⋅= . לכל
−1 . לכל : כך שקיים איבר הופכי ) 4kggk ⋅
, אם מתקיים בה תנאי נוסף) Abelian(או אבלית ) commutative( נקראת קומוטטיבית G חבורה
gg מתקיים לכל : קרי ki , . ⋅=⋅
) או מרוכבים שדה מספרים ממשייםφ) φ מעל שדה Lמרחב לינארי •
פעולה אחת בין . פעולות2 הנו קבוצה לא ריקה של עצמים עם מעל שדה מרחב לינארי
לבין איברי ופעולה שניה בין איברי השדה , " + "-ותסומן ב" חיבור" שתיקרא איברי
: כך שמתקיימות התכונות הבאות, "• "-ותסומן ב " כפל בסקלר"שנקראת
Lφ
LLφ
zyx ,,Lzyx βα- ו וקטורים φβα סקלרים , ∈,,1 ∈,,
:תכונות החיבור
Lyxל לכ : סגירות.1 ∈,Lyx ∈+
Lyx לכל :קומוטטיביות.2 ∈,xyyx +=+
Lzyx לכל :אסוציאטיביות.3 ∈,, )()( zyxzyx ++=++
Lx0 : בעל התכונה איבר שיסומן - קיים ב :קיום איבר ניטרלי. 4
Lx xx ∋ לכל x =+ 0
−Lx : המקייםשיסומן , איבר - קיים ב לכל :קיום איברים נגדיים. 5
0)(
Lx∈
=−+ xx
:תכונות הכפל בסקלר
Lx∈•α ולכל ∋Lx לכל : סגירות.6 φα ∈
:- ב ורדיסטריביוטיביות הכפל בסקלר מעל החיב .7 L
Ly∈,xφα ולכל לכל ∈ yxyx •+•=+• ααα )(
5
:φ-ב דיסטריביוטיביות הכפל בסקלר מעל החיבור . 8
Lx∈φβα ולכל לכל ∈, xxx •+•=•+ βαβα )(
: אסוציאטיביות . 9
Lx∈φβα ולכל לכל ∈, xx ••=•• )()( βαβα
xx 1 לכל :זהות. 10 =• Lx∈
.φ הנו איבר היחידה בשדה 1 כאשר
: הגדרה-מרחב -תת •
של מרחב -תת נקראת W, אזי. תת קבוצה של Wותהי , מרחב לינארי מעל שדה יהי
עצמה מהווה מרחב לינארי מעל השדה Wאם ,
L
Lφ עם אותן שתי פעולות שהוגדרו על .
Lφ
L :משפט
אם ורק אם מתקיימים כל מרחב של - תתWאזי . תת קבוצה של מרחב לינארי Wתהי
:התנאים הבאים
LL
W
1 .Wלא ריקה .
2 .Wלכל : סגורה תחת חיבור ww1 2Www∋ . מתקיים, ∈+ 21
Ww∈Waw∈ 3 .Wלכל סקלר : סגורה תחת כפל בסקלרa בשדה F מתקיים ולכל .
: הגדרה-צירוף לינארי •
Lvvvויהיו , Lφ מרחב לינארי מעל שדה יהי n ∈,...,, ר אזי הוקטו. - ו21
v של צירוף לינארי נקרא v. nnvαn
ii == ∑
=1ivα
φααα ∈n,...,, 21
vv αα +++ ...2211nvv ,...,, 21
הגדרה–פרוש •
של כל הצירופים הקבוצה . L תת קבוצה לא ריקה של מרחב וקטורי Mתהי
. מסמנים . M נקראת הפרוש של M –הלינאריים של הוקטורים מ
.מגדירים
)(MS
MspanMS =)(0)( =φS
הגדרות–תלות לינארית ובלתי תלות לינארית •
אם קיימים סקלרים ל"ת הם וקטורים, Lφ מרחב לינארי מעל שדה יהי . 1
φααα ∈n,...,, =v0 . - אפסים כך ש לא כולם21
Lvvv n ∈,...,, 21
nn
n
iii vvvv ...2211
1
+++=∑=
αααα
L .ל" לא תM אם אף תת קבוצה סופית של ל"בת היא של מרחב לינארי Mתת קבוצה . 2
6
הגדרה–בסיס •
LLMS . -ל ו " בתM אם בסיס היא במרחב לינארי Mקבוצת וקטורים =)(
ב מכפלה פנימיתמרח •
אם לכל זוג סדור של )פ"ממ(מרחב מכפלה פנימית L נקרא . φ מרחב לינארי מעל שדה Lיהי
- וxהנקרא מכפלה פנימית של הוקטורים ) סקלר ( - מתאים מספר מוקטורים
: כך שמתקיימות התכונות הבאותy - ומסומן ב
LLyx ×∈),(φ
>< yx,
> ∀∋>+>=<<+> :לינאריות .1 zyzxzyxlzyx ,,,,,*,,, >>=<<∈∀ xyyxLyx
><>=<><>=<∈∈∀ yxyxyxyxLyx ,,,,,, *ααααφα
: צמוד קומפלקסי .2
3.
4. ( ) 0,0,0 ≥><∧>=<⇔=∈∀ xxxxxLx x
:הגדרות נוספות •
=><המספר האי שלילי .1 xxx .xל הוקטור שנורמה או אורך נקרא ,
x=1 . וקטור יחידה הוא המקיים xוקטור .2
י " של וקטור הוא הפיכתו לוקטור יחידה ענרמול xxx =ˆ
Lyx ∈,L
.
,0 .> אם )ניצבים(ורתוגונליים אפ הם " ממ כאשר וקטורים .3 >=yx
L מתקיים כך ש אם לכל אורתוגונלית היא פ " מממSקבוצת וקטורים .4
<.
Syx ∈,yx ≠
0, >=yx
.ל" קבוצה אורתוגונלית של וקטורים שונים מאפס היא בת :משפט
)ם בהם קיימת נורמה המקיימת שלוש דרישותמרחבי(מרחב נורמי •
מספר-Ω , λ מרחב
uρ ; Ω∈u)(נורמה
1 ( )()( uu ρλλρ =
)()()( vuvu 2( ρρρ +≤+
)(0אם )3 =uρ 0 אזי=u
7
סדרה פונדמנטלית\סדרת קושי •
lim)(0 -ידי התכנסות הנורמה כך ש-התכנסות של סדרה נמדדת על =−∞→ uunn ρ
קיים מתm - וεN>n) כך שעבור כל וקיים , עבור סדרת קושי קיים
)(εN> )(εN) 0≥ε
ερ <− )( mn uu
. אם כל סדרת קושי מתכנסת במרחבשלםמרחב נורמי נקרא *
. מרחב נורמי שלם–) banach (מרחב בנך*
)Rigged Hilbert Space. ( מרחב מכפלה פנימית שלם-מרחב הילברט*
בשנות Gelfandי גלפאנד "הוכח ע(בפורמליזם של דיראק פונקציות הגל אינן במרחב הילברט
)השישים בערך
נדר והרמוניות ספריות'פולינומי לז •
) )Legendre(נדר 'זמשוואת ל ) ( )21 x y 2xy n n 1 y 0′′ ′− − + + =
הצגת רודריגז
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
n n2n n n
n 2rr
nr
1 dp x x 12 n! dx
2n 2r !x1 12 n r !r! n 2r !
−
= − =
−= −
− −∑
) אורתוגונליות ) ( )1
m n m n mn1
2p ,p p x p x dx2n 1−
= =+∫ δ
)
) נירמול )np 1 1=
) זוגיות ) ( ) (nn np x 1 p x− = −
רקורסיהיחסי
[ ]1 1
1 1
1
1xp (x) ( 1)p p2 1
( 1)p (x) (2 1)xp (x) p (x) 0p xp ( 1)p 0
+ −
+ −
+
= + ++
+ − + +′ − − + =
l l l
l l l
l l l
l ll
l l l
l
=
) פונקציה יוצרת ) ( ) ( )1
2 n2n
n 0g x, t 1 2xt t p x t
∞−
=
≡ − + = ∑
) מספר פולינומים ראשונים )0p x = 1
( )1p x x=
( ) ( )212 2p x 3x 1= −
( ) ( )313 2p x 5x 3x= −
8
) זימוטלית עם סימטריה אLaplaceפתרון כללי של משוואת )2 r, 0∇ χ θ =
( ) ( )10
Br, A r p cosr
∞
+=
χ θ = + θ ∑ l l
l lll
נדר המוכללים'פולינומי לז
(Associated Legendre Polynomials) ( ) ( )
mm 2m 2n m
1 dP (x) 1 x x 12 n! dx
+
+= − −l
l
l l
2
אורתוגונליות1
m m
1
2 ( m)!P (x)P (x)dx2 1 ( m)! ′
−
+= δ
+ −∫ l l
l
l lll
) הגדרה של הרמוניות ספריות ) ( ) ( )( ) ( ) ϕθ+−+
−≡ϕθ immmm ecosP!m!m
2121,Y lll
ll
) ורתוגונליותא ) ( )1 2
1 2 1 2
2*m m
,0 0
d sin d Y , Y ,π π
ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ = δ δ∫ ∫ l l l l1 2m ,m
)
) סימטריה ) ( ) ( )m *, m ,mY , 1 Y ,− θ ϕ = − θ ϕl l
) יחס שלמות ) ( ) ( ) (*,m ,m
0 m
Y , Y , cos cos∞
= =−
′ ′ ′ ′θ ϕ θ ϕ = δ ϕ − ϕ δ θ − θ∑ ∑l
l ll l
:שימושים
שמוגדרת על פני ספירה כל פונקציה
ניתן לפתח בטור של הרמוניות ספריות( ) (,m ,m
0 m
g , A Y ,∞
= =−
θ ϕ = θ ϕ∑ ∑l
l ll l
ידי-י הפיתוח נקבעים עלכאשר מקדמ( ) ( )*
,m ,mA d Y , g ,= Ω θ ϕ θ ϕ∫l l
d d sin dΩ = ϕ θ θ
) m-ללא תלות ב ) ( ) ( )2,m ,m2
1Y , Y ,
r+
∇ θ ϕ = − θl l
l lϕ
) Laplaceפתרון כללי של משוואת )2 r, , 0∇ χ θ ϕ =
( ) ( ),m,m ,m1
0 m
Br, , A r Y ,
r
∞
+= =−
χ θ ϕ = + θ ϕ
∑ ∑
lll
l lll l
( )g ,θ ϕ)
9
X( ,θ φ
X ( ,′ ′ ′θ φ
להרמוניות ה כדוריותמשוואת החיבו
*m m
m
4 Y ( , )Y ( , ) P (cos )2 1 =−
π ′ ′θ φ θ φ = γ+ ∑
l
l l lll
:ך משפט החיבור2
mm
2 1Y ( , )4=−
+θ φ =
π∑l
ll
l
יות ספריות
( )1 5 3s242Y ,θ ϕ = −
( )2Y ,θ ϕ
( )1 3sin25Y ,
24−
π( )
θ ϕ = + ϕ
γ
( )22
5Y ,96
θ ϕ =π
( )00
1Y ,4
θ ϕ =π
π( )1 i
13Y , sin e
8ϕθ ϕ = − θ
π
0 5 34 2
= π ( )0
13Y , cos
4θ ϕ = θ
π
1 i1
3Y , sin e8
− −θ ϕ = + θπ
( )22
5Y ,96
− θ ϕ =π
קציות מרוכבות ומשפט השארית
ליטיות עבור הפונקציה המרוכבת
U V Uandx y y
∂ ∂ ∂ ∂= =
∂ ∂ ∂ ∂Vx
−
La של הפונקציה f zב סבי=
( ) ( )nn 0
n
f z a z z∞
=−∞
= −∑
( )( )n n 1C
0
f w dw1a2 i w z +=π −∫
: רית
) הם הקטבים שסגורים על ידי )f iCi
f (z)dz 2 i Re s z z= π =∑∫
)y,x(U)z(W =
( )0z z
10
)
)ר
מסקנה מתו
מספר הרמונ
2i
iin cos e ϕ
icos e− ϕθ θ
2i
23sin e ϕθ
θ θ
2 1cos2θ −
23sin e− ϕθ
פונ •
תנאי לאנ
urentפיתוח
משפט השא
כאשר
.Cהמסלול
iz
)y,x(iV+
-בשל פונקציה ) Residue(מציאת השארית
של הפונקציה Laurentאם נתון פיתוח 0
1z zRes f a−=
=
אם לפונקציה יש קוטב פשוט בנקודה [ ]o0
1 oz zz zRes f a lim (z z )f (z)− →=
= = −
)אם )f z ,וz z היא קוטב פשוט=- ( )( )0
0
z z0
h zRes f
g z==
′
ב
0z z
אם לפונקציה יש קוט
ה בנקודnמסדר
0
o
n 1n
oz zz z
1 dRes f (z z ) f (z)(n 1)! dz
−
==
= − −
≠0 לקוטב פשוט" כלל המחיקה" 0z z
g(z) g(a)Res f ( ,a)(z a)h(z) h(a)=
= =−
mלקוטב מסדר " כלל המחיקה"
)
( )( ) ( )0
0
(m 1)0
mz z0 0 z z
g z 1 gRes(m 1)! hz z h z
−
==
= − −
0z z=
( )f z
0z z=
( )( )
h zg z
=0
=
( )0h z
( ) (0 0h z 0 & g z 0≠ ≠
z ) שיטת הכפל בלוג ) ( ) ( )0
I f x dx f z ln z d∞
Γ
= →∫ ∫
החיובי x כאשר קו החתך של הלוג הוא ציר המסלול
) החלפת משתנים )2 i
0
1 1z zz zf sin , cos d z e , cos , sin
2 2π θ
+ − θ θ θ = = θ = θ =
∫ i
מירכוב
)קומפלקסיפיקציה(
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
imx
imx
f x sin mx dx Im f x e dx
f x cos mx dx Re f x e dx
∞ ∞
−∞ −∞
∞ ∞
−∞ −∞
=
=
∫ ∫
∫ ∫
פונקציית דלתא •
0 :הגדרה 0x)dx g(x )=(x)dx 1∞
−∞
⇒ δ =∫
=∞
≠=
0;
0;0)(
x
xxδ
(x x )g(∞
−∞
δ −∫
11
: תכונות של פונקציית דלתא1(ax) (x)a
δ = δ
( ) ( )( )
= ( )( )ii
i i
f (x )f x g x dx g x 0g x
δ = ′∑∫
( ) ( ) :נגזרת של פונקצית דלתאx 0
dff x x dxdx =
′δ = −∫
zr: דיתתא תלת מימפונקציית דל ( ) ( ) ( ) ( )r x yδ = δ δ δ
) : פיתוח פורייה של פונקציית דלתא ) ( )0ik x x0
1x x dke2
∞ −
−∞δ − ≡
π ∫
קוויתהיא לדוגמה צפיפות מטען, תאהפיזיקה מאחורי המושג המתמטי פונקצית דלlq
=λ
⇐−=
∫ אינטגרציה עליה תוביל למטען הכוללו drrrq )( 0λδ
∫∞
∞−
= )0()()( fdxxfxδ
∫∞
∞−
−= )0()1()()( )()( nnn fdxxfxδ
: ת נוספות של פונקציית דלתא הנובעות מן ההגדרהתכונו
∫ : ל"צ∞
∞−
− −=−= )'()'(21 )'( xxxxdpe xxip δδπ
: הוכחה
[ ]=
−−−=
−−==
→
∞=
=
−−
→
∞−−
∞
→
− ∫∫ επεπππ ε
ε
ε
ε
ε )'(1lim
21
)'(lim
21
21lim
21
00
))'(
00
))'((
00
)'(
xxixxiedpedpe
p
p
pxxipxxixxip
( )( ) ( )
( ) ( )
−+
−+
−+=
−+−−−
−=−−−−−
−−−−
→
→→
22220
2200
)'(2)'(
)'(2lim
)'()'(lim
21
)'()'()'(lim
21
xxxxi
xx
xxxxi
xxixxixxi
επεπε
εε
πεεε
π
ε
εε
xx ='
0→
∞- נקבל ביטוי ששואף ל -ם יש תכונות של דלתא כי כש לאיבר הראשון בסוגריי
כל שנשאר להראות ε - נקבל ביטוי ששואף לאפס ולכן כש - וכשε-כש
.: הוא נרמול של פונקציית דלתא
xx ≠'0→
∫∞
∞−
= 1)( dxxδ
):המופיע לעיל(יש שתי נקודות סינגולריות מסדר ראשון נשתמש במשפט השארית
∑∫ ==⋅=++
⇒∞
∞− 21)(Re2
21
)'(21
22 if zzsixx
dx ππε
επ
12
εε - ואזכי ( ixxixx ±=−⇐= ''m
20
))'(()'()'(
)'()'()'( 2222
iAiBA
BAxx
ixxBixxAixx
Bixx
Axx
=⇒
=−=+
⇒
⇒−+
+−+−−=
−−+
+−=
−+ εεε
εεεε
: ואז
∫
∫
∫
∞
∞−
−
∞−
−
∞−
−=
−−−=
−+−=
+
)'(21
)'(2)'(
21
21
)'(2)'(
21
21
)'(
0)'(
0
)'(
xxdpe
xxixxdpe
xxixxdpe
xxip
xxip
xxip
δπ
πδ
π
πδ
π
ל.ש.מ
)'(sin)'(
)'(sin)'(22
2)'(2
121 )'()'()'(
)'( xxacaxxa
xxaaaxxi
eeaxxi
edpexxipxxipap
ap
xxipa
a
xxip −=−−
=−−
=−
=−−−=
−=
−
−
−∫ πππππ∞→a נקבל פונקציה של דיראק הנקראת גם פונקצית דיסטריבוציה-בגבול כש
הפורמליזם של דיראק. 10
.ידי וקטור קט שהוא למעשה וקטור עמודה-כפי שכבר הזכרנו וקטור מצב מיוצג על
: יראה כךD3לדוגמה בסיס סטנדרטי ב, ידי מרחב וקטורי הקטים–בסיס המרחב מיוצג על
=
=
=
100
3;010
2;001
1
: ונקבל:נגדיר בסיס צמוד
( )10;0102;0011 == 03 =
+= ii
( ) ( )
: כל וקטור ניתן לפתח לפי הבסיס
321
321
321
*3
*2
*1
321
321
bbbbb
bbbb
aaaa
++==
++=
++=
+
בוקטור קט ) וקטור שורה(הינה מכפלה של וקטור ברא ) או מכפלה סקלרית(מכפלה פנימית
3 : והתוצאה המתקבלת היא סקלר) וקטור עמודה(*32
*21
*1 abababab ++=
13
ijji : במידה ומכפילים וקטורים אורתונורמליים מקבלים δ=
maaaaאם ): projector(אופרטור ההיטל . 11 ,,.........,, וקטורים m הם 321
mjiaa : ומקיימיםΠ מרחבהשייכים לאורתוגונליים בזוגות ijji ,....,2,1, == δ
j: תוגדר באופן הבאΠ( Iשל (אזי הטלתם לתוך תת מרחב
m
iim aaP ∑
=
=1
: לדוגמה בבסיס בסטנדרטי לעיל נקבל
( )
( )
( ) 111
000000010
010001
21
000000001
001001
11
1aa =
=
=
=
=
i: וסכימה של כל אופרטורי ההיטל מגדיר את אופרטור הזהות באופן הבא
m
ii aaI ∑
=
=1
aaaI: לעיל נקבלטנדרטילדוגמה בבסיס בס =++= 332211 [ ]
: )מהבסיס הרגיל לבסיס הפסיקי כמובן ששני הבסיסים אורתונורמליים(מעבר מבסיס לבסיס . 12
, ''''
''
iaiaiiaii∑∑ ==
iiiiiii ולהיפך ii∑∑ ==
''
'''
:עד כה הכל היה בדיד נבנה בסיס אורתונורמלי אבל רציף. 13
∞≤≤−∞= + xדואליבסיסxx ;
)( '' xxxx −= δ
dxxxff ∫∞
∞−
= )(
dxxxfff ∫∞
∞−
+ == )(*
dxxxgg ∫∞
∞−
= )(
14
:מכפלה פנימית תראה כך בבסיס רציף
dxxgxfdxdxxxxgxfdxxxgdxxxfgf
xx
)()()()()()( '*'
)(
''*'''*
'
∫∫∫∫ ∫∞
∞−−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
===321
δ
dxxxI : אופרטור הזהות בבסיס רציף ∫∞
∞−
=ˆ
dxxxxx : אופרטור המקום בבסיס רציף nn ∫∞
∞−
=ˆ
ˆ''': כי xxxx nn = ( )( ) ( ) '''ˆ xxfxxf =
( ) ( )
dxxxxfxf ∫∞
∞−
=ˆ
dxxxff ∫∞
∞−
= )(
)()( '
)(
''
'
xfdxxxxffx
xx
==
−
∞
∞−∫ 321
δ
:ההצגות השונות בתורת הקוונטים. 14
: פונקציית גל בהצגת המקום •
x :ψψ על הבסיס ψ היטל של המצב xx =)(
:פונקציית גל בהצגת התנע •
p :ψψ על הבסיס ψ היטל של המצב px =)(
ψψ : הצגת היזנברג-פונקציית גל בהצגת האנרגיה • nEx =)(
dxxxI : אופרטור הזהות בבסיס המקום ∫∞
∞−
=ˆ
dpppI : אופרטור הזהות בבסיס התנע ∫∞
∞−
=ˆ
ההוכחה הובאה (פורשים את אותו המרחב, התנע והמקום: אפשר לראות ששני הבסיסים
.)כתרגיל
)()( xpxx
i pp ψψ =∂∂
− h
15
: באופן הבאxהמשמעות של פונקציית הגל בהצגת המקום הינה היטל על הבסיס .15
pxxp =)(ψ
( )
[ ] Iixppxpxi
Ipx
xp
pp
xxpx PB
ˆˆˆˆˆˆ,ˆ1ˆ1, hh
=−⇔=⇒=∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=
): הצגת שרדינגר(אם נציב את הצגת המקום
∂∂
−=
=
xip
Ixx
hˆ
ˆˆ
:נקבל
)()()()()( xix
xix
xixx
ix
xixxx
ix
ix ψψψψψψψ hhhhhhh =
+
∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
−=
∂∂
+∂∂
−
: באותו אופן ניתן להשתמש בהצעת התנע
∂∂
=
=
pix
Ipp
hˆ
ˆˆ
)(xg
כך שאין השפעה על יחס xשהן חילופיות עם אפשר באותה מידה להוסיף אינסוף פונקציות
i, ואז, x - לpהחילוף בין ∂−= h Ixg
xp ˆ)(ˆ +
∂ .במשמעות של דיראק תוספת הפונקציה משמעה תוספת פאזה, כאשר
pppp ) אין ציון בסיס(בפורמליזם של דיראק .16 =ˆ
משוואות תורת הקוונטים בצורה שהיא בלתי תלויה בפורמליזם של דיראק ניתן לכתוב את , היינו
.בבסיס
:נפתור את המשוואה
)()( xpxx
i pp ψψ =∂∂
− h
h קבוע C כאשר : הפתרון באופן כללי הוא
ipx
p Cex =)(ψ
∞== ∫∫∞
∞−
∞
∞−
dxCCdxxx pp** )()( ψψ
)()()( '* ppdxxx pp −=∫∞
∞−
δψψ
: ננסה לנרמל את הפתרון
ול ולפיכך גם לא שייך למרחב הילברטניתן לראות שהפתרון בלתי ניתן לנרמ
: דיראק מציע דרך אחרת לנרמול
: הוכחה
hנציב את הפתרון
ipx
p Cex =)(ψונמצא את קבוע הנרמול - ב: dxxx pp )()(* ψψ∫∞
∞−
16
hh
hhh
hhh
ππδ
ψψ
21)'(2
;)()(
22
)'(2)'(
2'
2*
=⇒−
==
===== ∫∫∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
CppC
dyeCdydxyxdxeCdxeeCdxxx ppiyppixipxxip
pp
h : אם כן קיבלנו שהפתרון הוא
h
ipx
p exπ
ψ21)( =
: ומרכל
xpex
pxex
ipx
p
ipx
p
==
==
−h
h
h
h
πψ
πψ
21)(
21)(
*
: ונוכל להציג את התנע בבסיס המקום באופן הבא
dxxedxpxxpIpipx
∫∫∞
∞−
∞
∞−
=== h
hπ21ˆ
: באותה דרך ניתן לעבור בין בסיסים ולקבל
dppppP
ppppppppppPp
ppdpppppdppppppP
dppppP
pppp
nn ∫
∫∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=
−===
=−==
=
−=
)ˆ(
)'(''ˆ'
'')'(''ˆ
ˆ
)'('
δ
δ
δ
xPx :נרצה למצוא את ˆ'
dpppI : נשתמש באופרטור הזהות ∫∞
∞−
=ˆ
dppedpxppxIx : ואזipx
∫∫∞
∞−
−∞
∞−
=== h
hπ21ˆ
'' :באותו אופן21'
''
dppexxip
∫∞
∞−
= h
hπ
'ˆ'')'( :נשתמש גם במשוואה שמצאנו למעלה ppppppppppPp −=== δ
:ונקבל ש) xלפי (וכן בהגדרה של נגזרת של פונקצית דלתא
17
)'()'(221
21
)'('21ˆ''
21ˆ'
2)'('
)''()''(
xxx
ixxxi
pedp
epppdpdpepPpdpdpxPx
xxip
pxxpipxxpi
−∂∂
−=−∂∂
⋅==
=−==
−∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
∫
∫∫∫∫
δδπππ
δππ
hh
hh
hh
h
hh
.זוהי למעשה דיסטרבוציה
pPx -אנו יודעים ש ˆ)( : הינוˆ xppxpppxpPx pψ===
:על מנת למצוא ביטוי שקול נשתמש בתכונות הבאות של פונקציית דלתא
)()1()()(
)(')()(')()()()(
)()()(
0)()(
0)(
0000
00
xfdxxxxf
xfdxxxxfxxxfdxxxxf
xfdxxxxf
nnn −=−
−=−−−=−
=−
∫
∫∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
δ
δδδ
δ
xPxובביטוי שמצאנו עבור , וכן נשתמש ביחס השלמות בבסיס המקום : ונקבל'ˆ
)()'('
)('))'()('(
''))'()('('''ˆˆˆ
xpx
idxxxx
xidxxxx
xi
dxpxxxx
ixdxpxxPxpIPx
pp
pp
p
ψψ
δψδψ
δψ
=∂
∂−=−
∂∂
=−∂∂
−=
=−∂∂
−==
∫∫
∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
hhh
h
),',ˆ( xxPδ
:-פונקציית דלתא הלא שלמה. 17
P ) לא התנע( הוא אופרטור ההיטל נשים לב שפה
')'( :פונקציית דלתא הרגילה שאנו מכירים היא xxxx −= δ
=⇐=+P הוא אופרטור היטל והוא הרמיטי היינו אופרטור PPPP ˆˆˆˆ 2
xPxxPPxxxP : לפיכך פונקציית דלתא הלא שלמה תוגדר כך ˆ'ˆˆ'),',ˆ( =≡ +δ
')'''()'()''(
')'()'()(
dxxxxxxx
dxxxxfxf
−−=−
−=
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
δδδ
δ
')'',',ˆ()',,ˆ()'',,ˆ( dxxxPxxPxxP δδδ ∫∞
∞−
=
:נשים לב שלפונקציית דלתא הלא שלמה תכונות דומות לפונקציית דלתא הרגילה
: אם פונקציית דלתא הרגילה מקיימת
: הרי שפונקצית דלתא הלא שלמה באופן דומה מקיימת
18
תבתת מרחב אופרטור ההיטל הוא אופרטור הזהו
)()'(* xx nn
n ψψ∑
)'()()'(* xxxx nn
n −=∑ δψψ
∞
שלא כמו ( זוהי פונקצית דלתא הלא שלמה כי באינסוף פונקצית הגל מתאפסת
).פונקצית דלתא הרגילה שבאינסוף לא מתאפסת
: עבור כל נקודה סופית מתקיים
קצית דלתא לעיל הוא פונ צד ימין של המשוואה: לאינסוף מרגישים את ההבדל שהואיםכשהולכ
).תת מרחב של המרחב השלם(וצד שמאל הוא פונקצית דלתא הלא שלמה ) מרחב שלם(
:דוגמה
≥≥ החיובי x-נניח רק על ציר ה, נבצע הטלה על תת המרחב של הקורדינטות x0
dxxxP : יוגדר כך) החיוביx-על ציר ה(ואופרטור ההיטל ∫∞
=0
ˆ
שימו לב תנע יסומן באות קטנה בניגוד לאופרטור ההטלה המסומן (צע הטלה על התנע עתה אם נב
ונכפול משמאל שוב בתנע נקבל את פונקצית דלתא הלא pPכלומר ) כאות גדולה וכובע מעליו
:שלמה
)'(1
21)'(
21
21'ˆ'
0
)'(
0 ppippdxedxpxxppPp
ppix
−+−=== ∫∫
∞ −∞
πδ
πh
h
תת מרחב ואז אפשר לראות נשתמש בפונקצית דלתא הלא שלמה לעיל שמבטאת את המעבר ל
: הבא) פיזור( שבאה לידי ביטוי באינטגרל הנפיצה fשנקבל מגבלה על הפונקציה
')'()ˆ,(1....')ˆ,(
)'(1
21)'(
21)ˆ,( dp
ppPpf
idpPpf
ppippPpf ∫∫
∞
∞−
∞
∞− −==
−
+−=ππ
δ
( )
לחלק fשל הפונקציה ) מקדם השבירה(בין החלק הממשי ) למעשה מעין יחס דיספרסיה(והקשר
:שלה נתון באופן הבא ) מקדם הבליעה(המדומה
')'(
)ˆ,(Im1)ˆ,(Re dppp
PpfPpf ∫∞
∞− −=π
19
' חלק ב-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 2פרק
הסברים הבאים ולעבור ישירות לפרק מי שהמושג טנסורים נהיר לו מוזמן לדלג על ה,פתח דבר
ההסברים מובאים , רצוי שיקרא חלק זה ולא ידלג עליו, מי שאינו מכיר את המושג טנסור, הבא
וזוהי , כי המושג טנסור מעולם לא הוזכרהיא שלנו בהם נקודת המוצא , בצורה הפשוטה ביותר
.הפעם הראשונה שהקורא נתקל במושג זה
סקלר , באופן הפשטני ביותר. ושגים של סקלר ווקטורמעד כה הכרנו את ה: מתמטיקה טנסורית
ווקטור הוא . ρצפיפות , qמטען חשמלי , Eאנרגיה : למשל. הוא גודל פיזיקלי שאין לו אינדקסים
viווקטור המהירות , למשל ווקטור המקום . גודל פיזיקלי בעל אינדקס יחידr
ווקטור התנע ,
ישנם גדלים אחרים בפיזיקה שלהם שני אינדקסים ושמבחינה . והתנע הזוויתי הקווי
.יאור באמצעות מטריצותמתמטית ניתנים לת
ixr
iLr
ipr
מומנט ההתמד שהוא גודל פיזיקלי המתקבל כאשר מנסים לחשב את התנע הזוויתי של : לדוגמה
אזי התנע הזוויתי נתון , mאם נחלק את הגוף הקשיח לאלמנטים קטנים בעלי מסות . גוף קשיח
ווקטור המהירות , אולם בגוף קשיח. : ידי-על
i
ii
n
ii vrmL rrr×= ∑
=1ivr ידי– נתון על של נקודה :
v
i
i irrrr
×= ω , הוא ווקטור המהירות הזוויתית המשותף לכל הנקודות בגוף הקשיחכאשר ,
)( :ואם נשתמש בנוסחה של מכפלה ווקטורית משולשת נקבל, : לפיכך1
i
n
ii rmL rrr
×= ∑=
ω
)]()([1
iiii
n
ii rrrrmL rrrrrrr
⋅−⋅= ∑=
ωωL
irr×
ωr
של הווקטור kאם נסתכל על רכיב , לכן, r
: נקבל
ניתן לכתוב את הביטוי הלז בצורה של מכפלת , מצד שני.
מטריצה
][ 2
1∑∑ ⋅−=
= lilliki
n
ikik rrrmL ωω rr
I בווקטור ωr
:∑=l
lklk IL ωכאשר : .
≠−
=−=∑=
lkrr
lkrrI
iliki
i
ili
n
ikl
22
1)(r
klI
∑=
m
m
n
i
1
ו שני אינדקסים ויותר נקרא כל גודל פיזיקלי שיש ל, באופן דומה. נקרא טנסור ההתמד-ו
מספר האינדקסים קובע את הסדר היינו טנסור עם שני אינדקסים נקרא טנסור מסדר . טנסור
באותו אופן אפשר לומר . 'טנסור עם שלושה אינדקסים נקרא טנסור מסדר שלישי וכו, שני
.1ווקטור הוא טנסור מסדר, 0שסקלר הוא טנסור מסדר
20
נקראה , Φ, כל פונקציה ללא אינדקס, יזה ווקטוריתבאנל: טרנספורמציית סיבוב
או ( נקראה פונקציה , כל פונקציה עם אינדקס אחד, באופן דומה. פונקציה סקלרית
?נשאלת השאלה האם זה נכון מבחינה פיזיקלית. ווקטורית) שדה
),,( zyx
Ai
mq
),,( zyx
מטען , ן באמצעות מסה מאופיי) למשל אלקטרון(חלקיק אלמנטרי : ניקח דוגמה טריוויאלית
לכאורה אפשר היה לקחת את שלושת הגדלים הללו ולבנות מהם . µ ומומנט מגנטי חשמלי
???אך האם זה אכן ווקטור, dווקטור
=
µqm
r
, Tטמפרטורה : א ניתן להגדיר שלושה גדלים"ל כדוהבכל נקודה באטמוספירה ש: דוגמה נוספת
??? מהווה פונקציה ווקטוריתהאם . Hולחות יחסית , Pלחץ
=
)()()(
)(xHxPxT
xAr
r
r
rr
מוגדרים H -ו, T,Pמבחינה מתמטית היינו לפי אנליזה ווקטורית התשובה היא כן אם
הוא פונקציה ווקטורית ומתקיימים כל חוקי האנליזה הווקטורית כמו , כפונקציות של המרחב
.לדוגמה משפט גאוס ומשפט סטוקס
Ar
כזכור לנו מהשיעור הראשון בפיזיקה . אינה פונקציה ווקטורית -מבחינה פיזיקלית ברור ש
ההצגה שלו בצורה של שלושה מספרים קשורה להגדרה של מערכת , במרחב" חץ"ווקטור הוגדר כ
לכן מבחינה . צירים מסויימת ושלושת המספרים הם ההטלים של הווקטור על מערכת הצירים
לא מתאר שדה ווקטורי מבחינה פיזיקלית כי אין לו שום קשר -אינטואיטיבית ברור לנו ש
.לכיוון במרחב התלת מימדי
)(xA rr
)(xA rr
נשאלת השאלה כיצד אנו מתארים בצורה של נוסחה את העובדה ששדה ווקטורי מסויים הוא אכן
.שדה ווקטורי מבחינה פיזיקלית
סובבים את מערכת התשובה לכך היא באמצעות ההתנהגות שלו תחת טרנספורמציה שבה אנו מ
ברכיבים של שדה פיזיקלי ישתנו בצורה , כאשר אנו מבצעים טרנספורמציה כזו. הקורדינטות
שהוגדר קודם לכן לא יתנו הרכיבים של הווקטור המלאכותי , לעומת זאת, מסויימת
.כתוצאה מסיבוב מערכת הצירים
)(xA rr
שהם בעצם , יצד משתנים הרכיבים של ווקטור המקוםנראה כ? כיצד ישתנו הרכיבים של ווקטור
zyx . עצמןהקורדינטות ,,
zy מקבלים θ בזווית ומסובבים אותה סביב ציר אם אנו יוצאים ממערכת קורדינטות
: שהקורדינטות שלה היוoואם נסתכל על נקודה מסויימת . מערכת קורדינטות חדשה ', z
zy
',' yx
: ידי- הקורדינטות החדשות יהיו נתונות על
x ,,z
x ,,
( ) ( )
zzxyxyy
yxyxxyxx
=−=−=
+=+−=−+=
'sincoscos)tan('
sincossinsin1cos
sintancos
' 2
θθθθ
θθθθθ
θθθ
21
: וזה ניתן לתיאור בצורה מטריצית
−=
zyx
zyx
1000cossin0sincos
'''
θθθθ
זוהי מטריצה אורתוגונלית . נקראת מטריצת הסיבובהמטריצה שמופיעה באגף ימין
xבצורה דומה מתקבלות מטריצות המתארות סיבובים סביב צירי . 1-והדטרמיננטה שלה שווה ל
z .- וכל סיבוב אחר ניתן לתאר באמצעות קומבינציה של סיבובים מסביב לצירים . או yyx,
והיטלו על לכיוון ציר θ שהוא בזווית OA מסביב לציר αלמשל אם אנו רוצים לסובב בזווית
:אנו יכולים לעשות זאת בשלושה שלבים. x לציר ϕ הוא בזווית מישור
zyx,
יתלכד עם ההיטל xכך שציר , z מסביב לציר ϕסיבוב של מערכת הצירים בזווית .א
,yx . במישור OAשל ציר
y OA . יתלכד עם הציר z כך שציר θ החדש בזווית סיבוב סביב ציר .ב
.α החדש בזווית zסיבוב סביב ציר .גידי -ידי מטריצת סיבוב ושלושת הסיבובים זה אחר זה יתוארו איפוא על-מתואר עלכל סיבוב
אבל אנו , תוצאת המכפלה תתן מטריצה די מורכבת. מכפלה של שלוש מטריצות הסיבובים
:יודעים עליה שני דברים
זוהי מטריצה אורתוגונלית כי מכפלה של מטריצות אורתוגונליות נותנת מטריצה .א
מטריצות אורתוגונליות כלומר B-וAאם : חההוכ(אורתוגונלית
TT )) אזי AAוB =−= −11B−TTT ABABABAB )() 111 === −−−
1±
1)(det1)det(det1)det(det 211 =⇒=⋅⇒=⋅= −− AAAAAIAA T
jj
iji XRX
כי דטרמיננטה של מכפלת מטריצות שווה , 1-הדטרמיננטה של המטריצה תהיה שווה ל .ב
: כילית היא ודטרמיננטה של מטריצה אורתוגונ(למכפלת הדטרמיננטות
.
הדטרמיננטה הופכת , אם יש בנוסף לסיבוב גם שיקוף. 1סיבוב מתאים לדטרמיננטה
).1-סימן ונהיית
⇒
הקורדינטות , אזי נוכל לומר שבאופן כללי1 מטריצה אורתוגונלית עם דטרמיננטה R -אם נסמן ב
, במרחב" חץ"בתור , כל ווקטור אחר, : יבוב בצורהעוברות טרנספורמצית ס
: נראה כמו ווקטור המקום ולכן אנו מצפים שהוא יעבור טרנספורמצית סיבוב בדיוק באותה צורה
ברור איפוא שווקטור , r
, תנאי הזהאינו מקיים את ה, עליו דיברנו בהתחלה
.לא כל סט של שלוש פונקציות שרירותיות מקיים את התנאי הזה: ובאופן כללי
∑='
jj
iji BRB ∑='A
כי אם אנו גוזרים לפי הזמן את שני האגפים של , ברור שווקטור המהירות הוא אכן ווקטור
V מקבלים הנוסחה jj
ij XR∑jj
iji VR iX '=∑ .ל לגבי ווקטור התאוצה"כנ . '=
1r
הכוח בין שני : כלומר, כל הכוחות האלמנטריים בטבע הם כוחות מרכזיים? לגבי הכוחמה קורה
r2גופים שנמצאים בקורדינטות ו rrrfr12F)( הוא − rr
=21 rr rrrrכאשר rr - ו=− r
=.
22
rכפי שמובן לנו מבחינה אינטואיטיבית וכפי שגם ניתן לראות מבחינה , אינווריאנטי תחת סיבוב
: פורמלית
2
,
1
,
1
,,,,
2
)(
)()('''''
rrrrrIrrRRrr
RRrrRRrrrRrRrrrrr
jjjjk
kjkj
ijk
kjkj
iki
jikj
kjiki
jiT
kjkjkikj
kjiij
iii
=⋅====
====⋅=⋅=
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑−
−
rr
rr
12Fלכן r
. והוא אכן ווקטור: מקייםj
FRrfrRrfrFj
ijjj
ijii 12'
12 )()'(' ∑∑ ===
amF
: כאשר אנו כותבים חוק פיזיקלי שמקשר בין שני ווקטורים כמו למשל חוק שני של ניוטון
: המשמעות היא לא רק שהשוויון הלז נכון לכל שלושת הרכיבים היינו.
אלא גם שכשמסובבים את מערכת הצירים וכתוצאה מכך ,
: עדיין מתקיימים השוויונים כלומר, וכן aמשתנים ערכי הרכיבים zazyx FFF ,,
amFmaF xx
yx a ,,
maF yy maF zz = ''= כלומר החוק השני של ניוטון לא תלוי , ''
ולמעשה כל חוק פיזיקלי צריך לשמור נכונותו בלי שום קשר לבחירת , בבחירת מערכת הצירים
.מערכת הצירים
rr=
zzyyxx maFmaFmaF ===
rr=⇒= ''
בהרבה מהביטויים שראינו עד כה וכאלה שנראה בעתיד מופיעה סומציה : הסכם הסומציה
לכן נוהגים , קס עליו מסכמים מופיע תמיד פעמיים באותו איברהאינד. על אינדקסים) סיכום(
. ולהבין שכאשר שאינדקס מופיע פעמיים יש לבצע עליו סיכום, ∑להשמיט את סימן הסכום
: תראה לפי הסכם הסומציה באופן הבאבהתאם לכך הנוסחה הבאה
.jויש להבין מכך שבאגף ימין מסכמים על אינדקס
jj
iji BRB ∑='jiji BRB ='
אנו דורשים מטנסור מסדר שני שיעבור טרנספורמציה : טרנספורמציה של טנסור תחת סיבוב
: ובאותו אופן עבור טנסור מסדר שלישי. : תחת סיבוב על פי הנוסחה
הסדר של הטנסור קובע את . וכדומה לטנסורים מסדרים גבוהים יותר
מספר האיברים של
ilijk RRA ='
R ווקטור (1שמופיעים בנוסחת הטרנספורמציה בצורה כזו לטנסור מסדר (
jij: מופיע רק איבר אחד AR . לא מופיע אף איבר) סקלר (0ולטנסור מסדר :.
kljlikij ARRA ='
lmnknjm AR
iA ='AA ='
jiij BA=
ij
kljliklkjliklkikji TRRBARRBARBA =
מכפלה . T: ניתן לייצר באופן מלאכותי טנסור מסדר שני מתוך שני ווקטורים
: אכן עובר טרנספורמציה בצורה נכונהTנראה ש. כזו נקראת מכפלה חיצונית
T
ii AB ,
jlRij'לפיכך יוצא שלמשל
. היו טנסורים מסדר שני
=== ))((''
jijiji xxpppx ,,
23
כלומר היא מתארת : הדלתא של קרונקר מוגדרת בצורה: הדלתא של קרונקר
.את מטריצת היחידה
≠=
=jiji
ij 01
δ
3===⋅== iiijjiiijijiikjkij BABABABBAA δδδδ
: בהתאם לכלל הסיכום שלנו אנו יכולים לרשום לפיכך למשל
rr
, מורכב מאיברים קבועים שאינם משתנים תחת סיבוב מערכת הצירים-נוכיח עתה שלמרות ש
: אם הוא אכן כזה צריך להתקיים. הוא טנסור מסדר שני
ijijijT
kjT
ikjkikkljlikij IRRRRRRRR δδδ ===== ))('
ij
= (
ijδ
. הוא אינווריאנטי תחת טרנספורמציית סיבוב של טנסור מסדר שניδכלומר
עדיין אפשר לומר , עם זאת, נווריאנטי כי הוא מורכב מאיברים שוניםהוא חייב להיות אי, אמנם
.שהוא עובר טרנספורמציית סיבוב בהתאם לכלל של טנסור מסדר שני
הוא לא (: אפשר לכתוב למשל את טנסור ההתמד-באמצעות ה
.) קורדינטה מרחבית ולכן אנו לא מפעילים עליו את כלל הסיכוםאינדקס שמייצג
ijδ)(1
2ilik
n
iklikl rrrmI ∑
=
−= δrl
klI
klI
∇r
הוא מורכב מסכום של ביטויים שכל : ברור לנו מדוע הוא אכן טנסורמהצורה הזו של כתיבת
סכום או הפרש של טנסורים מסדר מסויים . אחד מהם הוא הפרש של שני טנסורים מסדר שני
. הוא טנסור מסדר שנילכן גם , )ראה להלן(סור מאותו סדר נותן לנו תמיד טנ
∇,נוכיח עתה שהאופרטור נבלה: האופרטור r
כלומר הוא עובר , הוא אכן אופרטור ווקטורי,
: טרנספורמציית סיבוב כמו ווקטור
jiji
ijkji
kkj
i
j
kkjkTjkj
T
ji
j
ii
R
RRxxR
xx
xRxRxxRxRxxRx
xxx
x
∇=∇
==∂∂
=∂
∂
==
=⇒=
∂∂
∂
ki
='
δ
∂=
∂∂
=∇
−
'
'
'
'
''
1
'''
'' rrrrr
r
BABABABAIBARRBARRBRARBABABA jjkjjkkjjkkjjkT
kjikTjikikjijii
. אכן עובר טרנספורמציית סיבוב כמו ווקטור∇כלומר
: מכפלה סקלרית בין ווקטורים אכן נותנת סקלר כי: מכפלה סקלרית
rrrrrr⋅=======⋅=⋅=⋅ δ)('')'( ''
24
: פעולות בין טנסורים
, למשל: חיבור בין טנסורים מאותו סדר נותן טנסור שלישי מאותו סדר .א
, מתנהג תחת סיבוב כמו טנסור מסדר שניQ אזי : אם
. מתנהגים כך- וT-כמובן בתנאי ש
ij
ij
kijijk BA=
jiji BA=
ijS
ijijij STQ +=
מכפלה חיצונית של שני טנסורים נותנת טנסור שלישי מסדר שהוא סכום .ב
. הוא טנסור מסדר שלישיTלמשל . הסדרים של שני הטנסורים
כלומר בנוסף , V: למשל,מכפלה פנימית של שני טנסורים .ג
. להכפלה יש גם סיכום על אינדקס שמקבל אותו ערך בשני הטנסורים
אפשר לסכם גם על שני . מכפלה פנימית היא הכללה של מכפלה סקלרית
V: אינדקסים או יותר למשל jkijki BA=.
צמצום אינדקסים היא פעולה שמבצעים על טנסור יחיד כאשר משווים בין .ד
V. ijji: למשל, שניים מהאינדקסים שלו ומסכמים עליהם A=
נותנת טנסור A בטנסור מסויים Tאם מכפלה פנימית של : חוק המנה .ה
מסדר שני וTנוכיח זאת למשל עבור . הוא טנסורTאזי גם , Bאחר
ו
A
Bווקטורים :j . iji ATB =
jiji : קיים ATB ''' =
kjkijiij : כלומר ARTBR '=
imRi :ונקבל ונסכום על -נכפול את שני האגפים ב
kijjkimj ATRRBR 'ijim R =
kjkij : לכןTmijij
Tmi ARTRBRR '=
kmkT
jmjT ARTRBRR )'()( =
kmkT
m ARTRB )'(=
kmkT
kmk ARTRAT )'(=
mkATRTRkljlik
Tljklikij TRRRTRT =='
: או
: או
: ואם נשווה זאת למשוואה המקורית נקבל
:אזי חייב להתקיים, ולכל ערך של ומאחר שזה נכון לכל
T TRTR =⇒= ''Tומכאן :
. עובר טרנספורמציית סיבוב כמו טנסור מסדר שניT-והתקבל איפוא ש
אפשר לחשב דטרמיננטה ולכתוב אותה , T, לגבי טנסור מסדר שני: יויטה'צ- לוי טנסור
: בצורה
ij
kji TTT 32det ijkT1ε=.
ijkε
25
: כאשר
−=
same) theare indices 2 (i.e. otherwise0npermutatio cyclic -anti ,,1
1,2,3 ofn permutatio cyclic ,,1kji
kji
ijkε
ijk ijknkmjlilmn : כלומר נוכיח, הוא טנסור אינווריאנטיεנוכיח שגם RRR εε =
3,2,1 = : ואגף ימין נותן1- אגף שמאל שווה לעבור : הוכחה
1det == Rijkε ,כאשר . אכן השוויון מתקייםl הוא פרמוטציה ציקלית של
אגף ימין נותן את בדטרמיננטה של . 1 אזי אגף שמאל נותן 1
nm,,
3,2,R לאחר שביצענו בה
והשוויון 1פרמוטציה ציקלית של השורות וזה לא משנה את ערך הדטרמיננטה ומקבלים
-1מקבלים באותו אופן אזי 1ציקלית של -אנטי הוא פרמוטציה כאשר . מתקיים
אזי אגף שמאל מתאפס וגם אגף ימין מתאפס , זהיםl-מהאם לפחות שניים . בשני האגפים
.ל.ש.מ. כי מופיעה בו דטרמיננטה של מטריצה שיש בה שתי שורות זהות
nml ,,3,
nm,,
kjiijk TTTT 321123
2,
== nml
321 RRR kji
שמתאימות , אפשר לכתוב בשש צורות שונותdetאת הנוסחה הקודמת
: לשש הפרמוטציות השונות שאפשר לבצע על השורות
εε=
kjiijk
kjiijk
kjiijk
kjiijk
kjiijk
kjiijk
TTT
TTTTTT
TTT
TTTTTTT
231132
123321
312213
213312
132231
321123det
εε
εε
εε
εε
εε
εε
=
=
=
=
=
=
: ואז זה יכתב באופן הבא6- האפשרויות ולחלק ב6ולכן אפשר גם לסכם על כל
nkmjliijklmn TTTT εε61det =
T
ijk
. הוא סקלרdet -היתרון של כתיבה בצורה כזו הוא שרואים מכאן בבירור ש
ומכאן נובע שמכפלה , : ריתמכפלה וקטו ניתן לכתוב εבאמצעות
: נובע שתוצאת מכפלה משולשת היא סקלרבאופן דומה . ווקטורית אכן נותנת ווקטור
kjCBCB ε=⋅× iijk AAr
)(.
kjijki BABA ε=× )(rr
rr
): יראה כךijkεתוך שימוש ב curl-הבאופן דומה kjijk x∂= εix×∇ )rr
) j
j x∂∂
≡∂.(
: ניתן להוכיח את הזהויות הבאות, כמו כן
6
2
=
=
−=
=
ijkijk
knijnijk
kmjnknjmlmnijk
knkmkl
jnjmjl
inimil
lmnijk
εε
δεε
δδδδεεδδδδδδδδδ
εε
26
)()()( : ל ניתן לקבל גם את הזהות"ובאמצעות אחת הזהויות הנ cbacabcba rrrrrrrrr⋅−⋅=××
Niiijij ==
. בסכימה של אינדקסים יכול להיות מצב בו אותו אבר נספר מספר פעמים,לפי הסכם הסומציה
באופן דומה . הוא הערך המכסימלי של כאשר, למשל
האינדקסים של (
Ni
92 −=−=== NNjijjiikijijkijkijk δδδεεεε 63 =− ijδεהם מרחביים ,
3 ).ולכן
δδδ
=N
AijA
ריך להחליט כעל מטריצה צ2כאשר חושבים על טנסור ממעלה : סימטריה -סימטריה ואנטי
כ האינדקס הראשון יתאר את "בד. ואיזה את העמודות, איזה אינדקס מתאר את השורות
כפל היא מטריצה שמתוארת שרכיביה הם למשל אם . והשני את העמודות, השורות
jijiבוקטור מימין ייתן vAvA =)( rjjijiji .כאשר , ומשמאל , vAAv ==)ij
TA =)(
as AAA
T Av(rjiA
=+ ,: סימטרי-כל מטריצה ניתן לפרק לחלק סימטרי ואנטי
כאשר 2
T
sAAA +
= ,2
TA−ijaijsij AAA )()( += a
AA , או ברכיבים , =
כאשר 2
) jiijijs
AAA
+ , החלק הסימטרי מקיים . , )=
2)( jiij
ija
AAA
−=s
Ts AA =
aT
a AA −=jiij uA : נקבל למשל עבור . סימטרי מקיים -והאנטי
2) ijj
ija
uuAA
∂−
2ijiij A ∂
=(−
=
ijk
.
∂=
.3סימטרי מסדר - הוא אם כן טנסור אנטיε יויטה'צ-טנסור לוי
תמיד ניתן לחשוב עליו כעל מטריצה בשני אינדקסים (פלים ביטוי בעל שני אינדקסים כאשר כו
למשל , בביטוי סימטרי ביחס לשני אינדקסים אלו יישאר בתוצאה רק החלק הסימטרי) אלו
סימטרי יישאר רק החלק האנטי -כאשר כופלים אותו בביטוי אנטי.
הסיבה לכך היא שכפל של ביטוי סימטרי . סימטרי
אזי , סימטרית -ו, סימטרית- אנטיתהי : הוכחה. סימטרי מתאפס-בביטוי אנטי ijAijB
jijiijij BABA = ijij BA− ,ובשני , יהר הראשון השתמשנו בתכונות הסימטרכאשר במעב
והעברת , הגענו לביטוי שנראה כמו . סים עליהם אנו סוכמיםהחלפנו את שמות האינדק
.אגף תיתן
jiijsjiij xxAxxA )(=
)()()( jijiijajijiij xvvxAxvvxA −=−
−= )(
xx −=
0=ijij BA
27
חזרה על תנע זוויתי: 3פרק
:לפני שנדבר על סיבובים נחזור בקצרה על נושא התנע הזויתי בפרק הבא נדבר על סיבובים אולם
: יחסי החילוף הבאים ידי –תנע זויתי מוגדר על
[ ][ ][ ]
=
=
=
xzy
yxz
zyx
JiJJ
JiJJ
JiJJ
ˆˆ,ˆ
ˆˆ,ˆ
ˆˆ,ˆ
h
h
h
] : ובצורה כללית ] kijkji JiJJ ˆˆ,ˆ εh=
−=
npermutatioanticyclichaveindexesindenticaltwo
npermutatiocyclichave
ijk
ijk
ijk
101
ε
2222 ˆˆˆˆzyx JJJJ ++=
±Jyx JiJJ ˆˆˆ ±=±
2JzJ
,כאשר
, עם כל רכיבי התנע הזויתיותחילופיהמקיים :נגדיר אופרטור קזימיר
: דרים כךהמוג וכן אופרטורי העלאה והורדה
צריך שיתקיימו יחסי חילוף ולכן אפשר ) ע"למצוא ע( לאפיין מצבים כמו כן אנו יודעים כי על מנת
.להשתמש רק ברכיב תנע אחד בכל פעם
: היינוע של " עb- וע של " עaנניח: לדוגמה
babbaJ
baabaJ
z ,,ˆ,,ˆ 2
=
=
mlba: אנו נשאף להראות כי ,, ⇒b :- וaע " ונמצא במפורש את הע
: כלומרע של " אינם משנים את העניתן לראות כי , שמשום
( ) ( )baJ ,ˆ±abaJJbaJJ ,ˆˆ,ˆˆ 22
±± ==
[ ] 0ˆ,ˆ 2 =±JJ±J2J
[ ,ע משתנה ולכן"הע, על אם מפעילים את , ] -לעומת זאת משום ש ±± = JJJ zˆˆ,ˆ mhzJ±J
( ) ( ) ( ) baJbbaJJJbaJJ zz ,ˆ,ˆˆˆ,ˆˆ±±±± ±=+= hhm
+
+=+h: נקבל,Jba פועל על -כש baCbaJ ,,ˆ
−=−h: נקבל,Jba− פועל על -וכש baCbaJ ,,ˆ *
+−J−
++
+
=−=
+=
JJiJJ
JiJJ
yx
yx
ˆˆˆˆ
ˆˆˆ
J : אופרטורים הרמיטייםהם - והיות ואופרטורי העלאה והורדה
28
) : נקבל ש ) ( )+++
++++−−+ +=+=− JJJJJJJJJJ z
ˆˆˆˆ21ˆˆˆˆ
21ˆˆ 22
: משני הצדדים ונקבל,baנפעיל
( )a+babababaJJba z ≤≤−→≥→≥−⇒≥− 2222 00,ˆˆ,
maxb2maxba ≥
, - המקייםקיבלנו שמצבים חסומים היינו צריך להיות חסם עליון שנקרא לו
ˆ,0 -לפיכך נדרוש שmax =+ baJ
: כן-כמו0,ˆˆ)2(
ˆˆˆˆˆ)1(
max
22
=
−−=
+−
+−
baJJ
JJJJJ zz h
) .: ונקבל) 2(לתוך ) 1(נציב את ) 0, maxmax2max =−− babba h
( )
)1(max
maxmaxmax2max
+==
+=+=
jjajb
bbbba
h
h
hh
: כלומר
ˆ,0 - וכך נקבל שminb - ונדרוש שבאותו אופן נקבע חסם תחתון שנקרא לו min =− baJ
maxmin
maxmin
bbbjmjmb
bb
≤≤<<⇒= : מצביםיש 12 +j
−=h
: אם כן קיבלנו את התוצאה הצפויהmjmmjJ
mjjjmjJ
z ,,ˆ,)1(,ˆ 22
h
h
=
+=
:חיבור תנע זויתי
)נגדיר מרחב ממימד )( )1212 21 ++ jj :2211 ,, mjmj ⊗
212121ˆˆˆˆˆˆˆ JJJIIJJ +≡⊗+⊗=
: תוצאת חיבור התנע הזויתי אף היא תנע זויתי
: באמצעות קיום יחסי חילוף נוכיח טענה זו
[ ] ( )( ) ( )( )
[ ] [ ] zzzyxyx
xyxyyxyxxyyxxyyx
xxyyyyxxyx
JiJiJiJJJJ
JJJJJJJJJJJJJJJJ
JJJJJJJJJJ
ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ
212211
1221122122221111
21212121
hhh =+=+=
=−−++−+−=
=++−++=
21ˆ,ˆ JJ ] : חילופיים כלומר -כאשר השתמשנו בעובדה ש ] 0ˆ,ˆ
21 =JJ
באותו האופן מראים ששאר יחסי החילוף של התנע הזויתי מתקיימים ובכך משלימים את
.י בעצמהההוכחה כי תוצאת חיבור תנע זויתי הינה תנע זוית
29
mmmjmj : עתה נבדוק האם המצבים אורתוגונליים ',', δ=
)'(,',0 : הוכחה,','',,
,',,',=−
=
=mjmjmm
mjmjmmjJmj
mjmjmmjJmj
z
zh
h
h
'm≠ - ש מכאן נובעm-המצבים העצמיים לא מנוונים והם אורתוגונליים היות ו
,',0 ל.ש. מ =mjmj
,',' :תה נשאף למצוא את הביטויים הבאיםע, -אם כן קיבלנו ש mmz mmjJmj δh=
?,',)(
?,',)(
=
=
mjJmjב
mjJmjא
y
x
: לשם כך נשתמש באופרטורי העלאה והורדה
−=
+=⇒
−=
+=
−+
−+
−
+
)ˆˆ(21ˆ
)ˆˆ(21ˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
JJi
J
JJJ
JiJJ
JiJJ
y
x
yx
yx
ˆ,,1: כזכור( += ++ mjCmjJ m+J−J ) הוא והצמוד ההרמיטי של ,
: אם נשתמש במשוואות הבאות
mjCmjJCmjJJ
CmjJmjJmj
mm
m
,1,ˆ,ˆˆ1,ˆ,ˆ, *
+−++−
+++−
=+=
+==
-נקבל ש2,ˆˆ, ++− = mCmjJJmj
+mC : נחשב במפורש את
[ ] zzyxyxyxyx JJJJiJJJiJJiJJJ ˆˆˆ,ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(ˆˆ 222 h−−++=+−=+− J 2=
: נציב את המשוואה לעיל בקודמתה ונקבל
[ ]
)1)((
)1()1(
)1(
)1()1(,ˆˆ,
22
222222222
++−=
=+−+=
=−−+=
⇓
−−+=−−+==
+
++−
mjmj
mmjj
mmjjC
mmjjmmjjCmjJJmj
m
m
h
h
h
444444444444444 3444444444444444 21hhhh
,1: באותו אופן −= − mjCm,ˆ− mjJ−mC ))(1(: הוא והמקדם +−+=− mjmjCm h
30
: אלמנטי המטריצה היחידים השונים מאפס הם+−−−
−+++
==−
==+
)1(
)1(
,ˆ1,
,ˆ1,
mm
mm
CCmjJmj
CCmjJmj
−
+
m
m
CC
+−
−+
)1(
)1(
m
m
C
C . מקבלים כשפועלים שמאלה - מקבלים כשפועלים ימינה ואת
2211יבור התנע הזויתי ניתן לבנות שני בסיסים שונים הפורשים את מרחב ח ,, mjmj ⊗
zz JJJJ 2221
21
ˆ,ˆ,ˆ,ˆ
: חילופיים ואזהאחד הוא בסיס בו האופרטורים
2211 ,, mjmj ⊗
22
21
2 ˆ,ˆ,ˆ,ˆ JJJJ z
1221 ,,, jmjm =
: חילופיים ואזהשני הוא בסיס בו האופרטורים
2211 ,,, mjmj ⊗
( )[ ] 0ˆ,ˆ
ˆˆ2ˆˆˆˆˆ22
1
2122
21
2
212
=
++=+=
JJ
JJJJJJJ
12 ,, jMJj =
-שני נובעת מכאשר חילופיות האופרטורים בבסיס ה
: מקיים) בדומה לראשון(ובסיס זה MJjjMMJjjJ
MJjjJJMJjjJ
z ,,,,,,ˆ,,,)1(,,,ˆ
2121
212
212
h
h
=
+=
: גורדן באופן הבא-ידי מקדמי קלבש-הקשר בין שני הבסיסים ניתן על
∑ ∑+
−=
+
−=↓
=1
11
2
22
,,,,,,,,,,, 212211221121
j
jm
j
jmJMjjmjmjmjmjMJjj4444 34444 21
C.G גורדן -מקדמי קלבש
:ידי–והמעבר ההפוך בין הבסיסים באמצעותם ניתן על
∑ ∑+
−= −=
=21
21
221121212211 ,,,,,,,,,,,,jj
jjJ
J
JM
mjmjMJjjMJjjmjmj
2m211מספר המצבים בשני הבסיסים ,,, jmjו -MJjj ,,, היינו שניהם בעלי , הוא זהה21
) .: אותו מימד )( )1212 21 ++ jj
2121 : שוויון המשולש-מכאן מתקיים האי jjJjj +≤≤−
: כלומרממשייםכן נקבל שהמקדמים -כמו
221121212211 ,,,,,,,,,,, mjmjMJjjJMjjmjmj =
Mm
+= m -עתה נרצה להוכיח ש 21
31
: הוכחה
ובכך הוכחנו שעבור מקדמי - מתאפסים כשG .Cגורדן-מקדמי קלבש, אם כן
mmגורדן שונים מאפס נקבל -קלבש =+ ל.ש. מ 21
( )
0,,,,,,)(,,,ˆˆ,,,0
,,,,,,ˆ,,,)(,,ˆˆ,,,ˆ
ˆˆˆ
21221121212211
2121
2211212211212211
21
=−+=−=⇒
⇒
=
+=⊗+=
+=
↓4444 34444 21
h
h
h
MJjjmjmjMmmMJjjJJmjmj
MJjjMMJjjJ
mjmjmmmjmjJJmjmjJ
JJJ
zz
z
zzz
zzz
Mmm ≠+ 21
M
: דוגמה לחיבור תנע זויתי
2m211 ,21,,
21 jmj == MJjj ,,
21,
21
21 ==
2121 : נקבלשוויון המשולש -לפי האי jjJjj +≤≤−
Singlet 0,0,21,
21
21 ==== MJjj
−====
====
====
1,0,21,
21
1,0,21,
21
1,1,21,
21
21
21
21
MJjj
MJjj
MJjj
Triplet
32
סיבובים והקשר שלהם לתנע הזוויתי: 4פרק
:הזויתי נוכל לדון בנושא הקרוי סיבוביםעתה כשכבר ברור לנו נושא התנע
זווית ציר הסיבוב ו, מטריצת הסיבובR כאשר : נגדיר מטריצת סיבוב באופן הבא
.הסיבוב
),( αnR rnrα
: היאϕ בזווית zלדוגמה מטריצת הסיבוב סביב ציר
−=
1000cossin0sincos
),( ϕϕϕϕ
ϕznR r
)(ˆ RD
)()()( 321321 RDRDRDRRR
חבורה ראה הגדרת(אורתוגונלית מהוות חבורה ) 3x3מטריצות (Rת הסיבוב ומטריצ, למעשה
כי הן מטריצות אורתוגונליות סימטריות כלומר המטריצה שווה להופכית שלה )4,5בעמודים
SO(3) (SO(3)-Special Orthogonal 3D) זו נקראת חבורה , 1=והריבוע
) סיבוב ושיקוף היינו)-1=(דטרמיננטה ; סיבובהיינו 1=דטרמיננטה : המשמעות הפיזיקלית(
מהווים חבורה מהוות חבורה ובאותו אופן גם אופרטורי הסיבוב Rמטריצות הסיבוב
:כלומר מקיימים
=⇒= :סגירות תחת כפל
)(ˆ)( : ר יחידהקיום איב RDIRDRIR =⋅⇒=⋅
)()(ˆ)()( 111
11
111
11 RDRDIRDRDIRR −−−− =⇒=⇒=
321321 )()( RRRRRR
: קיום איבר הופכי
=: אסוציאטיביות
:נשאף למצוא את הקשר בין התנע הזויתי לסיבובים לשם כך נתבונן בסיבובים אינפניטיסימליים
: היאzהראנו שמטריצת הסיבוב סביב ציר כבר
−
−==
1000cossin0sincos
),()( ϕϕϕϕ
ϕϕ zz nRR r
נקבל את ת זווית סיבוב אינפיניטסימאליεאולם כאשר מבצעים סיבוב אינפנטיסימלי באשר
:מטריצת הסיבוב הבאה
אנו מזניחים סדרים של אפסילון (=
).ממעלה שנייה ומעלה
−
−−
100
02
1
02
1
)(2
2
εε
εε
εzR
וסביב xסביב ציר , התאמהשאר מטריצות הסיבוב הרגילות והאינפנטיסימליות ב, באותה צורה
: יראו כךyציר
33
ϕ
−=⇐
ϕϕϕϕ
cossin0sincos0001
)(xR
−
−−=
210
210
001
)(2
2
εε
εεεxR
ϕ
−=⇐
ϕϕ
ϕϕ
cos0sin010
sin0cos)(yR
−−
−
=
210
010
02
1
)(2
2
εε
εε
εyR
xyz JJJ ,,
.שהיוצרים של הסיבובים הם למעשה רכיבי התנע הזויתי אנו נשאף להראות
: תנע זויתי כוללכאשר J
h
rr
h
rr
r
r
)ˆ()(
)(
),(
),(nJi
l
nJi
enD
enR⋅−
⋅−
=
=α
α
α
α
: וטרנספורמציית הסיבוב היא
εε
εε
ieGGie
GiGi 1ˆˆ1
ˆˆ −
=⇒+≈
. הנקרא יוצר טרנספורמציית הסיבובGכאשר מתוך הקירוב האינפנטיסימלי חילצנו את
:נתבונן ביחסי החילוף של סיבובים, ראשית, לשם כך
1)(0000000
12
10
21
12
1
02
1
)()()()(
22
2
2
2
22
2
22
2
−=
−=
=
−−
−−
−
−
−−
−−
−
=−
εεε
εεε
εε
εεε
εεε
εεε
εε
εεεε
z
xyyx
R
RRRR
2ε
אינם חילופיים עבור , y- וxשסיבובים אנפינטיסימליים סביב צירים שונים לדוגמה ניתן לראות
יחסי חילוף אלו כבר מרמזים εאולם עבור סדר לינארי ב. וסדרים גבוהים יותרסדרים של
.על איזשהו קשר בין סיבובים לתנע זוויתי
נבצע טור טיילור של פונקציה כלשהי ונביעו באמצעות אופרטור , הלזהקשר כדי להבין את מהות
C :) לציון אופרטור הגזירהDכ משתמשים באות "בדר ( גזירה
34
)()()(...)ˆ!2
ˆ1(...)(''!2
)(')()()(2
22
xfexfexfCxCxxfxxxfxfxxfxCi
ixC ∆−∆ ==+
∆+∆+=+
∆+∆+=∆+ h
h
⇔=+ GG
.....ˆ1ˆ +−=− Gie Gi εε
ˆ
)Cכאנלוגיה לאופרטור הגזירה ( אופרטור הרמיטיGנניח עתה
)( : )כאנלוגיה ל ( של טרנספורמציה אינפנטיסימלית1פיתוח מסדר xCie ∆−
: יוצר הטרנספורמציה G-נקרא לε
ε
ieG
Gi
−−
=− 1ˆ
ˆ
( )( )
: נראית כךzסביב ציר האינפיניטיסמלי סיבוב כזכור מטריצת ה
−
−−
=
100
02
1
02
1
)(2
2
εε
εε
εzR
2ε
−=
1000101
)( εε
εzR
( )
:ונקבל) 2 פיתוח מסדראין צורך ב (1 ניקח רק פיתוח מסדר עתה
: עד כדי קבוע פלאנק הואקיבלנומה ש, למעשה zJ
−=
−−
0000000
1)(i
i
iRz
εε
h
: ונקבל ונחלק בו ית בנכפיל את הטרנספורמציה האינפנטיסימללפיכך
)ˆ( Gi
eεh
h
−
−=
0000000
ii
J Z h
−=00
00000
iiJ x h
−=
00000
iJ y h
: באותו אופן נקבל גם ש: ואז
.
00i
] ).ואכן אם בודקים מטריצות אלו מקיימות את יחסי החילוף ( ] zyx JiJJ h=,
ם רכיבי התנע הזוויתי ה ו אופרטור הסיבוב הוא הוכחנו כי אם כן
.יוצרי הסיבובים
h
rr
r)ˆ(
)(),(nJi
eRDnD⋅−
==α
α
35
אוילרם וזוויותסיבובי: 5פרק
הללו , כי סיבוב של גוף קשיח ניתן לתאר באמצעות סיבובי אוילרסית למדנוקל הניקמכב
כגוף , xyמצאת על משטח נ הסקה דקהד הדגמה נבחרשםל. מוגדרים באמצעות שלושה שלבים
:נבצע את שלושת השלבים הבאים אשר עליו, קשיח
בביצוע הסיבוב הזה ציר , כיוון השעוןנגד αבזווית , z -נסובב את הדסקה סביב ציר ה .1
'a .( yציור (קבל ציר של הדסקה משתנה ומת -ה
y
y
כתוצאה מכך הדסקה מכוונת כעת לא סביב , β בזווית 'נסובב את הדסקה סביב ציר .2
'b.( zציור (zמנו ס חדש שנ הראשוני אלא לכוון ציר z -ציר ה
z משתנה ומתקבל ציר ציר השונקבל γבזווית ' סביב ציר נסובב את הדסקה .3
).cציור (
'y''y
( ) ( ) ( )
) '( לב כי פסיק נרשום כעת את ההצגה האופרטורית של שלוש פעולות סיבוב אלו כאשר נשים
וללא , הגוףמציין כי הסיבוב נעשה סביב הציר של הגוף ולכן מטריצת הסיבוב היא סביב ציר
.המרחבזהו ציר ) '(פסיק
( )αβγγβα zyz DDDD '',, ≡
ניקת הקוונטים היא סיבוב מערכת הצירים של הגוף סיבובים במכרלתיאודרך מקובלת יותר
. כאשר מערכת הצירים של המרחב מקובעת
36
): הנראה בציור שבעמוד הקודם ('y סביב βנגדיר את היחס הבא המתאר סיבוב יחיד בזווית
( ) ( ) ( ) ( ) ( )αβαβ 1'* −= zyzy DDDD
( ) ( ) :באותה צורה נרשום
( ) ( ) ( )βγβγ 1'''** −= yzyz DDDD
( )
:ונקבלבנוסחה המרכזית מהעמוד הקודם (**) - ו(*) אותנציב את נוסח
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )γβα
γααβααγαβα
αββγβαβγγβα
zyz
zzzyzzzzyz
zyyzyzyz
DDD
DDDDDDDDDD
DDDDDDDDD
=
===
==≡−−
−
11
'1
'''',,
הם יוצריו ורכיבי התנע הזוויתי : אופרטור הסיבוב הינוכאשר
): ולפיכך ) hzy Ji
z eDγ
γ−
=;hhz Ji
y
Ji
z eDeDβα
βα−−
== ;
( ) ( )
h
rr
r)ˆ(
)(),(nJi
eRDnD⋅−
==α
α
( ) ( )
: הםD(R)אלמנטי המטריצה של אופרטור הסיבוב
mjemjmjRDmjRnJi
mm,',,)(',
)ˆ(
'
h
rr⋅−
==α
jD
.(Winger functions) ויגנרלעיתים נקראים אלמנטי המטריצה בשם פונקציות
mjRD -משום ש, ים שונים יתבטלו- עבור מצבים בעלי אלמנטי המטריצה של ,
:2J עם אותם ערכים עצמיים הוא וקטור עצמי של
( )RDj( )
( ) 21 h+jj
( ) ( ) ( ) ( )[ ]mjRDjjmjJRDmjRDJ ,1,, 222 h+==
2Jkj
kjjאזי ממילא הוא חילופי עם כל , חילופי עם מכיוון ש : אפשר להסביר זאת גם בצורה אחרת
.סיבוב לא יכול לשנות את ערכי ולכן ניתן לומר כי , פונקציה של
) המטריצה הנוצרת מתוך )mm
jD'
) ממימד היא תי הצגה בל והיא למעשה , (
אימה לאופרטור הסיבוב טריצה המתכלומר מ. ב הסיבוביםפריקה של אופרטור הסיבוב במרח
הבסיס ים אתרוחבואם , לא בהכרח על ידי ערך אחד של מתאפיינת , במרחב הסיבובים
. דיאגונלית-מקבלים מטריצת בלוקיםהמתאים
( )R( )1212 +×+ jj
j
עם ערך מוגדר י " הנוצרת עהוא מטריצה ממימד כל בלוק , כאשר
. וכל אחד מבלוקים אלו הוא מטריצה בלתי פריקה.של
( ) ( )1212 +×+ jj( ) ( )Rmm
jD'
j
37
j : כי מסוים יוצרות חבורהמטריצות סיבוב המוגדרות על ידי
( .α בזווית המתארת סיבוב)מטריצת הזהות זו מטריצה ממימד . א ( )1212 +×+ jj0=
ללא שינוי בציר הסיבוב , הסיבוב בזווית ההפוכה מטריצת המטריצה ההופכית היא . ב
.והיא שייכת לחבורה,
αα −→
n
( ) ( ) :לחבורה אף היא מטריצה השייכת מכפלה של שתי מטריצות השייכות לחבורה נותנת. ג
( ) ( ) ( ) ( )21'''2'1'
''' RRDRDRD jmm
jmm
m
jmm =∑
21RR
( ) ( )
. מייצגת סיבוב אחדכאשר המכפלה
:כשם שאופרטור הסיבוב הוא אוניטרי, מטריצת הסיבוב היא אוניטרית. ד
( )RDRD mmj
mm*
'1
' =−
: באופן הבא,mjוב על המצב נפעיל את מטריצת הסיב
mjRDmj ,, →
j
m
( ) ולרוב מקבלים שהערכים שמשתנים הם -הסיבוב אינו משפיע על ערכי ה, וכפי שכבר הזכרנו
.-ערכי הרק
,ב חשב את אמפליטודת ההסתברות להימצאות במצנרצה ל, לפיכך 'j m
( )
:
( ) ( ) ( )∑∑ =='
''
',,',',,m
jmm
mRDmjmjRDmjmjmjRD
המצב המסובב כך שיתקבל הנדרשת הם למעשה האמפליטודהאיברי המטריצה , היינו
', mjהלא מסובב מצב מהmj,
( ) ( )
.
( ) ( )RD jmm '
: באמצעות זוויות אוילר את הסיבוב הכללי ביות ניתן לאפייןראינו כבר כי
( ) mjemjemjeeemjDyzyz iJ
mmiiJiJiJ
jmm ,',,',,, ''
hhhh
β−γ+α−
γ−β−α−
==γβα
mjemjd :ר פונקציית ויגננולה קרא, d מטריצה חדשה ובכתה הגדרנוyiJ
j ,', h
β−
≡β ( ) ( )βj( ) ( )
38
),(: 6פרק ϕθmlY הרמוניות ספריות Spherical Harmonics
וקטור בקואורדינטות כדוריות ניתן לכתוב . נציאל מרכזינסתכל על חלקיק ללא ספין תחת פוט
nrrx : בצורה rr⊗≡⊗= ϕθ ,
: על מצב במרחב האנרגיה מביא ל: הטלת וקטור מיקום
Y: )(rRnl ולחלק זוויתי יכולים להתייחס בנפרד לחלק רדיאליאנו
),()(,,' ϕθmlnl YrRmlnx ⋅=
r
),( ϕθml
xr
),()(, ϕθml
ml YnYmln ==
rr
),( ϕθml
למצב ( אמפליטודת ההסתברות - כYאחרונה רואים שאפשר להתייחס ל מהמשוואה ה
נדר 'גניתן לייצג על ידי פולינומי לY פונקציות .(nלהימצא בכיוון ) l,mהמאופיין על ידי
. שמהווים בסיס שלם ארתוגונלי
ml
m=0 ועבור אשר , Yשל לפיכך הם למעשה מקרה פרטי θ-נדר ישנה תלות רק ב'גבפולינומי ל
: ונראה כךסימטריה אזימוטליתמקרה זה מתאר , -אינו תלוי בYולפיכך
ml
mlϕ
Y )(cos4
12),(0 θπ
ϕθ ll Pl +=
),( ϕθml :נדר' ופולינומי לגYתכונות שללהלן ה
:אורתוגונליות •
''*'
'
1
1
2
0
1
1
2
0
),()],([cos,','cos mmllm
lm
l YYddmlnnmldd δδϕθϕθϕθϕθππ
==∫ ∫∫ ∫−−
rr
'' :לזנדרנירמול של פולינומי •
1
1 122cos)(cos)(cos llll l
dPP δθθθ+
=∫−
1)1()0(cos == :כאשר הדרישה היא ll PP
),( ϕθml
)()()()()()( ''
:ראינו קודם שמתקיים. סיבוב לבין מטריצות Y ניתן למצוא קשר בין
γβααβγ zyzzyz DDDDDD =
γβα .ת אוילר זוויו-כאשר ,,
),( ϕθml
0,,( ===
: אין תלות בזווית שלישית כמו באופרטור סיבוב ולכן נבחר אופרטור סיבוב מסוייםYב
=γ. γθβϕαD0 שבו ביטלנו את התלות בזווית השלישית בכך שבחרנו (
:zrלהציג כסיבוב של ניתן nrוקטור מצב )0,,(
)0,,(
θϕ
γθβϕα+=
====
Dzn
zDnrr
rr
=∑∑ :נשתמש ביחס שלמותl m
zmlmlDn rr ,,)0,,( θϕ
39
, משמאלאם נכפיל את המשוואה ב . אפשריים הl כל ערכי אתהמשוואה האחרונה מכילה
: יתרוםרק איבר אחד מהתור של
,0
,
,
(
θ
θ
ϕ
)0,,(
,'
(
*'
θϕ
∑∑
ml
l m
Y
mlm
D
ml
m
lm
ml
ml
m
lmm
ml
m
lmm
mm
lm
lmmmmmmll
l m
YD
Ynml
YDYD
YzmlmlDlmlml
zmlmmlDzmlmlmlnml
r
rzr
l
m . משתנים m קבוע ורק lכלומר , ים מאותה הצגה-Yי " עYקיבלנו שאפשר לפרוס l
', ml
l
),0()0,,(),(
),(',
)()0,(),0(
),0(,,)0,,(,,','
,',)0,,,,)0,,',',
*
'0
*'
*00
*'
0*
''''
ϕθϕϕθ
ϕθ
ϕθϕδϕθ
δϕθθϕδδδ
θθϕ
=⋅=
⇓
=
===
======⇒=
===
∑
∑∑
∑
∑∑ rrr
ml
)0,,(0 θϕlmD ),( : באופן הבא ל Yכמו כן אפשר לקבל את הקשר הישיר בין ϕθm
l
-אנו יודעים ש
0000
*
4)12()1(
4)12())0(cos(
4)12(),0(, mmlmlm
ml
lPlPlYzml δπ
δπ
δθπ
δϕθ +=
+==
+===
r
),,0( -לכן אם נציב זאת בפיתוח הקודם נקבל ש4
)12(),( 0*' θϕ
πϕθ l
mm
l DlY +=
),( : או את הקשר ההפוך)12(
4)0,,( *'0 ϕθπθϕ m
llm Y
lD
+=
0 : ר היינוגנית ופונקציו אחת מנקבל בדיוק את) סימטריה אזימוטלית( נשים לב שעבור
)(00 θl =
=m
)(cosθlPd
)(RD הסיבוב שלנו , לפיכך, ניתן להציג באמצעות אקספוננטיםראינו קודם שאופרטור סיבוב
:יראה כך
hh
yz LiLi
eeDˆˆ
)0,,(θϕ
θϕ−−
=
:ואז נוכל לקבל את פונקציות ויגנר באופן הבא
)(,',,)0,,(', '
ˆ
θθϕ ϕθ
ϕ lmm
imLi
im demlemlemlDmly
−−
− == h
),( ϕθml
:באופן הבאYכל לקבל קשר גם בין פונקציות ויגנר לנו
)(4
)12()0,,(4
)12(),( 0*' θ
πθϕ
πϕθ ϕ l
moiml
mm
l delDlY −+=
+=
),( ϕθml .) פרקטית יותר ונוחה יותר לשימושYפונקציות ויגנר לבין נוסחה זו המקשרת (
40
ים כדוריטנסורים טנסורים ובפרט,סיבובים :7פרק
המושג של טנסור ', חלק ב-מבוא מתמטי ופיזיקלי: 2בפרק (שתמש במושג הטנסורים בפרק זה נ
).בפרק זה נסביר בקצרה את מושג הטנסור. מוסבר בצורה יותר פשוטה ומפורטת
zxyxxx :נגדיר קואורדינטות ≡≡≡ 321 ;;ij
←=
.Tטריצהמראשית נגדיר טרנספורמציה מסוימת אותה נציג באמצעות , לצורך הגדרת טנסורים
∑ . אחרי הטרנספורמציה→לפני הטרנספורמציה j
jij
i xTx'
jij
i
jij
i xTxTx == ∑'
i
←= jij
i VTV '
j
←= −j
jii UTU )(' 1
mm
ml
lm
lm
jm
lj
ml
jm
lj
mjml
lj
jj xxxx
mlml
TTxxTTxTxTxx ==
≠=
====== −−− δδ01
)()()('' 111
lm
jm
il
ij
lmjm
il
ij
NTTN
MTTM
)('
'1−=
=
lmp
pk
jm
il
ijk STTTS )( 1' −=
1−
: סוכמים עליו– אינדקס שמופיע פעמיים ,לפי הסכם הסיכום של איינשטיין
: הוא וקטורVאזי , עוברים אותה טרנספורמציה כמו הקואורדינטותVאם הרכיבים של
וקטור קונטרווריאנטי
V -הי הוא וקטור ביחס לטרנספורמצ.
וקטור קווריאנטי
אינווריאנטית תחת סקלריתמכפלה .איבר ששומר על צורתו תחת טרנספורמציה נקרא סקלר
:טרנספורמציה
.1 ווקטור הוא טנסור מסדר ,0טנסור מסדר סקלר הוא
:טנסור מסדר שני כאיבר בעל שני אינדקסים אשר מקיים טרנספורמציה נגדיר
). רכיבים9לטנסור כזה (
:אינדקסים אשר מקיים טרנספורמציה בעל שלושה טנסור מסדר שלישי באותו אופן
). רכיבים27לטנסור כזה (
.הוא שהם שומרים על אותה צורה תחת אותה טרנספורמציה, היתרון הגדול של הטנסורים
ם אין הבדל בין אינדקסי–) Tמקיימות ( טרנספורמציות אורתוגונליותעבור
.קונטרווריאנטיים ל קווריאנטיים
= T
41
: הנחות בתורת היחסות2הגדיר טנסורים בשל אינשטיין
.מהירות האור קבועה בכל מערכת אינרציאלית .1
.משוואות התנועה אינן משתנות במעבר בין מערכות אינרציאליות .2
:בתורת היחסות מתקיים
2222222222 '''' zyxtczyxtc −−−=−−−
zxyxxxctx ==== 3210 ;;;24
23
22
21
24
23
22
21 '''' xxxxxxxx +++=+++⇒
23222120
33
22
11
00
)()()()( xxxxxx
xxxxxx
xx
jj −−−=
−=−=−==
jj xx
−−
−
11
11
4ר לשם נוחות נגדי. וגונליתת שמקיימת טרנספורמציה שאינה אורתקיבלנו מטריקה מיוחד
:ווקטור לטיפול בבעיה זו
כלומר אין הבדל בין קרדינטות , ל ישמור על אורתוגונליות של טרנספורמציית המעבר" וקטור הנ4
:קווריאנטיות וקונטרווריאנטיות
:אנטי תחת מטריקה אינוורי קיבלנו ש
זרם4משוואת לורנץ בגישת
:משוואת הרציפות
tj
ticicjj
icjjicj
∂∂
+∇=∂
∂+∇=∂
==
ρρ
ρρ
µµ
µ
rr
r],[;4
⇐∂=∂ µµµµ '' jjישמור על הצורה תחת הטרנספורמציה .
ונביא , לשם כך נכיר מושג חדש הנקרא טנסורים כדוריים, נרצה לקשר בין טנסורים לסיבובים
: חשוביםכמה נתונים
.ץנם מקרה פרטי של טרנספורמציית לורנהסיבובים ה •
• R 1 :טרנספורמצית סיבוב אורתוגונלית
1−
+
+
=⇒
==
=RR
RRRRRR T
T
T
)('' mkjmikji WVRRW =
kkWV
. תחת טרנספורמציות סיבובאינווריאנטים ,ורים כדורייםטנס •
אפשר , V : בשלושה מימדיםנסתכל על טרנספורמציית סיבוב •
Vלראות שמתקיים ii W kiki ואז V: משום שלפי הגדרת הווקטור( ''= VR='
42
kkmkkmmkmiikmkimikii WVWVWVRRWVRRW ==== − δ)()()('' 1
mkW
λλσλσλµλσµσλσµµλσµσλµλµµµ
µ νννδννννννννν
V( , קיבלנו אם כן
. אינה משתנה תחת טרנספורמציית סיבובVשהעכבה
λσ νν =
023
23
13
AA
4342symmetric
Tνµµν +
µν νµνν =
µν νµ−=
)σλT−
הבדל בין קואורדינטות כפי שהזכרנו קודם עבור טרנספורמציות אורתוגונליות אין •
ומשום שטרנספורמצית סיבוב היא אורתוגונלית כלל , קונטרווריאנטיות לקווריאנטיות
:זה מתקיים גם לגביה
===== −+ RRRRRR )('''' 1
−−−= 0
0
12
12
12
AAA
AAij
לדוגמה (תחת טרנספורמציית סיבוב מטריצות אנטי סימטריות •
) תלויים רכיבים בלתי3סימטרית יש - במטריצה אנטי
באותו רכיבים בלתי תלויים6 בהן יש( ומטריצות סימטריות , סימטריות-נשארות אנטי
.אופן נשארות סימטריות
9 אשר לו טנסור מסדר שניטרנספורמצית סיבוב בשלושה מימשים אפשר לקשר עם •
:י הזהות"סימטרי ואנטיסימטרי עחלק ניתן לפרק לטנסור כזה . רכיבים
T . 143421
symmetricanti
TTT )(21)(
21
νµµνµν +−=
−
µν :T הטרנספורמציהמטריית הוקטור תקבע לפי המעבר לאחרסי
סימטרי
νν סימטרי- אנטי
:סימטרי-נתבונן על החלק האנטי
(21
21
21)''(
21
λσνσµλσλµλνσλσνσµλνµµν TRRTRRTRRTT ⋅=−=−
.סימטריים- רכיבים אנטי3 ישנם
:והחלק הסימטרי
)(21)''(
21
σλλσνσµλνµµν TTRRTT +=+
639
. רכיבים סימטריים6 ישנם
=+ :ולכן הפירוק ולרכיב 0-בה שווה ל חלוקה לרכיבים שבהם העכנוכל לפרק את החלק הסימטרי על ידי, אולם
:באופן הבאשונה מאפס ודד שעבורו ישנה עכבה ב
156
)2(21)(
21
+=⇒
+−+=+ iiii TTTTTT σλλσσλλσ
43
:והפירוק המלא נראה כך
5319
)32(
21)(
21
31
++=↓↓↓↓
−++−+=
−4444 34444 214342143421
סימטרי
ii
עכבהסימטריאנטי
ii TTTTTTT µννµµννµµνµνµν δδ
ij
jiij VUT =
הוא ו היות ) dyadic( דיאדי טנסור נקרא ה Tרטזי מסדר שני קטנסור אנו התעסקנו עד כה עם
: של שני וקטורים) outer product ( מורכב ממכפלה חיצונית
כך שכל , שכל אחד מהם בלתי פריק לרכיביםואפשר לפרקהיא שטנסור דיאדי הבעייתיות עם
:ראינו איך נראה פירוק כזהמקודם . ת סיבובים יתנהג אחרתרכיב תחת טרנספורמצי
)32(
21)(
21
31
µννµµννµµνµνµν δδ iiii TTTTTTT −++−+=
53133
,קרטזי לטנסורים כדוריים בלתי פריקיםק הטנסור הפירוק כזה הוא דוגמה הממחישה את פירו
, ) רכיב אחד -העכבה(אינווריאנטי תחת טרנספורמצית סיבוב אשר סקלרהוא ראשון ה כאשר
בהר סימטרי ללא עכשלישי הוא טנסווה) רכיבים בלתי תלויים 3 ( סימטרי- טנסור אנטי–שני ה
×=++ :תתקבלהמשוואה שמ). כיבים בלתי תלויים ר5(
mlYm
l
)(r
צד ימין של המשוואה שהתקבלה נקשור להצגות בלתי פריקות של תנע זוויתי ומכאן נקבל
ים הם - Yהסיבה לכך היא ש. ים- י קומבינציה של "שטנסורים קרטזיים ניתן להציג ע
אפשר לפרקו לטנסורים מסדר נמוך - אי–בלתי פריק טנסור . ( טנסורים כדוריים בלתי פריקים
אפשר להציג כקומבינציה של ,של פוטנציאל חשמלי לדוגמא פיתוח מילטיפולי , יותר
l :טנסורים כדוריים בלתי פריקים
ml
lmV rYrd
rrrr ),('
|'|)()( 3 ϕθρ
∫ −=
rr
qrr )'())(
a∑
r '(*
φ צפיפות ,כאשר, =
:י"ניתנת ע) בגישה קוונטית ( המטען rr
Ψ.(
rφ
rΨ=ρ
),( ϕθml)(nm
l
Y: כבר ראינו שאפשר לכתוב אותן בצורה, Yניקח את ההרמוניות הספריות r ,
בוקטור נחליף את הוקטור עתה . י צמד הזוויות " הינו ציר הסיבוב המאופיין עnכאשר
V , מחליף את (ונקבל טנסור כדורי מסדרl ( עם מספר קוונטי מגנטי) היינו) מחליף את:
r),( ϕθnr
rkqm
)(VY qmkl
kqT.
r=
==
1 ) ונחליף את l עם Y ניקח k=במקרה שבו , לדוגמה וכך הלאה V- ב(
:- וkלהלן מספר דוגמאות עבור . kעבור סדרים גבוהים יותר של
znrz )(/ r=z
2=k 1=
),( ϕθml1=
zVTrzY
ππθ
π 43
43cos
43 1
00
1 =→==
44
±=→
±=⋅= ±
±
243)(
21
43sin
83 1
11
1yxi iVV
Tr
iyxeY mmππ
θπ
ϕ
( ) ( )2222
2222
2 3215
3215sin
3215
yxi iVVT
riyxeY ±=→
±=⋅= ±
±±
ππθ
πϕ
גישה אקטיבית או סיבוב הצירים בכיוון –סיבוב המצב : לסיבוב ניתן להתייחס בשתי צורות
. גישה פסיבית-ההפוך
: גישה פסיביתββ
αα
)(
)(
RD
RD
→
→
)()()( RDnYRD ml
: גישה אקטיביתr+
),0()0,,(),( *
'0
*' ϕθθϕϕθ =⋅=∑ ml
m
lm
ml YDY
),( ϕθmlY←)(nm
l
: בפרק הקודם ראינו שקיבלנו
Yואם נבצע פה את ההמרה r: באמצעות העברת אגפים פשוטה נקבל,
∑ −1' )('( mm
ml RnY =
'
' )()m
lml DnY rr
)(' : כאשר nnRDn rrr≡→
n אם נחליף את הוקטור נפעל לפי הגישה האקטיבית וr
בוקטור כמו מקודם נקבל
T ,ואז אפשר לכתוב : )(VY qmkl
kq
r=
==
)()()()()()()( '
'
*'
'
'
1' VYRDVYRDRDVYRD m
lm
lmm
ml
m
lmm
ml
rrr∑∑ == −+
kq
∑−=
+ =k
kq
kq
kqq
kq TRDRDTRD
''
*' )()()(
∑−=
+ =k
kq
kq
kqq
kq TRDRDTRD
''' )()()(
:באופן הבאT ורי בלתי פריק טנסור כדועכשיו נוכל לכתוב את אותה נוסחה באמצעות
: או
) . כמו מקודםT :ל תקיפה גם אם לא מתקיים"הפעם הכתיבה הנכאשר )VY qmkl
kq
r=
==)(
, של טנסור כדורי מסדר שני הוא הרכיב עם - למרות ש:לדוגמה
שלא כמו
2+=q
( )2yx iVV )הוא אינו יכול להכתב בצורה , + )VqkYr
.
( )( )yxyx iVViUU ++
פיתוח של אפרטור מתאפשרת באמצעותלהגדרת טנסור כדורי בלתי פריק , נוחה יותר ,דרך נוספת
) :סיבוב לטור חזקותה ) Lh
rr
h
rr
+−=
−=
JniJniRD εε 1exp
45
: ונקבלתנפיניטסימלינעבור לצורה אי
qkJniqkTJniTJni k
kq
kq
kq ,...)
ˆ1(',...)
ˆ1(...)
ˆ1(
'' ++=+−++ ∑
−= h
r
h
r
h
rεεε
: ונקבלε-נפתח את הביטוי עד סדר ראשון ב
[ ] ∑ ⋅+=⋅+'
' ,ˆ',,ˆq
kq
kq
kq
kq qkJnqkTiTTJniT
r
h
r
h
εε
:ומכאן נקבל הגדרה אקוויולנטית לטנסור כדורי בלתי פריק
[ ] ∑ ⋅=⋅'
' ,ˆ',,ˆq
kq
kq qkJnqkTTJn
rr
:מקרים פרטיים
• [ ] kq
q
kqqq
q
kq
q
kqz
kqz TqTqTqkqkqTqkJqkTJ hhh ==== ∑∑∑
'''
''
'' ,',,ˆ',, δ
• [ ] kq
kq TqkqkTJ 1)1)((, ±± +±= mh
r
וזה בגלל שטנסורים הם הצגה . אנלוגיה מלאה בין טנסורים כדוריים לבין תנע זוויתישיש רואים
:שונה של תנע זוויתי
±+±±=
=
± 1,1)((,
,,ˆ
gkgkgkgkJ
gkqgkJ z
h
h
)(kqT
לחשב ניתן , שאחראי על מעבר של אלקטרון בין רמות שונות באטוםm selection ruleבעזרת
:אלמנטי מטריצה של טנסור
qmm: אם מתקיים ',',',,0 : אזי מתקיים'≠+ =mjTmj kq αα
:ל" הנראשוןהפרטי המקרה הנוכיח באמצעות
[ ]
לשמmjTmjאזqmmאם
mjTmjqmmmjTqTmTmmj
mjTqJTTJmjmjTqTJmj
kq
kq
kq
kq
kq
kqz
kq
kqz
kq
kqz
:':0,,',','..
0,,',',')'(,,'',','
0,,',',',,,',','
−≠=
⇓
=−−=−−
⇓
=−−=−
αα
αααα
αααα
hhhh
hh
46
: יאז, בהתאמה- ו כדוריים בלתי פריקים מסדרנסורים הם ט - ואם : משפט 1
1
kq
2
2
kqZ12k Xk
; Xkq,1 kkT ,הוא טנסור כדורי בלתי פריק מסדר k. ∑∑=1 2
2
2
1
11,;, 22121
q q
kq
kq
kq Zqqkk
kq
1
1
kq
2
2
kqZ
∑−=
+ =k
kq
kq
kqq TRDRRD
''
*' )()()(
בנוסחה שכבר ,המופיעה למעלה- ו באמצעות T נציב את ההצגה של טנסור :הוכחה
רמצית ספותחת טרנ אכן משתנה ,נראה כי ו :ראינו
:הלז בהתאם לנוסחה ,סיבוב
X
kqT k
q DT
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
2
( ) ( )† ( ) † †1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )1 11 2 1 2 1 2 ' ' ' '
' '
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2' ' '' '
( ) ( ) ; ; ( ) ( ) ( ) ( )
; ; ( ) ( )
; ; ; ' ' ; '' '
k kkq q
q q
k k k kq q q q q q
q q q q
q q q q
q
D R T D R k k q q k k kq D R X D R D R Z D R
k k q q k k kq X D R Z D R
k k q q k k kq k k q q k k k q
− −
= ×
= ×
= ×
∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑1 2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
''
( ) ( )( '') 11 2 1 2 1 2 ' '' ' '
( ) ( )( '') 1'' '' 1 2 1 2 1 2 ' '' ' '
'' ' ' '' '
( ) ( )1 2 1 2 1 2 ' '
' '
; ; '' '' ( )
; ' ' ; '' ' ( )
; ' ' ; '
k q q
k kkq q q q
k kkkk qq q q q q
k q q q q
k kq q
q q
k k q q k k k q D R X Z
k k q q k k k q D R X Z
k k q q k k kq X Z D
δ δ
−
−
×
×
=
=
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑ ( ) 1'
'
( ) ( ) 1 ( )* 1 ( )' ' ' '
' '
( )
( ) ( )
kq q
q
k k k kq q q qq q
q q
R
T D R D R T
−
− −= =
∑
∑ ∑
: אלמנטי מטריצת סיבוב גורדן במונחים של– פיתוח של טור קלבשלצורך ההוכחה השתמשנו ב
1 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )' ' 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 '
'( ) ( ) ; ; ; ' ' ; ' (j j j
m m m m mmj m m
D R D R j j m m j j jm j j m m j j jm D R= ×∑∑∑
00
)
. גורדן– אורתוגונליות של מקדמי קלבשוכן ב
: נקבל סקלרTעבור מקרה פרטי אם נשתמש במשפט
∑ −−=m
jm
jm ZXjjmmjjT 0,0,,,;,0
0
jjZ
( )
: נראית כך - ושל טנסורים בלתי פריקים " מכפלה סקלרית" כאשר X
∑m
j+j2 ∑−=
−− −=−−=⋅j
jm
jm
jm
mjm
jm
jjj ZXZXjjmmjZX )1(0,0,,,;,1)1(
47
סימטריה: 8פרק
אופרטור האבולוציה
במילים אחרות זמן הוא לא גודל . ולא אופרטור בתורת הקוונטים זמן משחק תפקיד של פרמטר
ליצור כלי ל זאת צריכיםאך בכ, ופרטור הזמןלכן אנו לא יכולים לדבר על א ). observable ( ניצפה
איך : ננסה לענות על שאלה אחרת. מסוים אשר יתאר התפתחות בזמן של מערכת קוונטית
t,αמשתנה בזמן וקטור מצב
),( 0tt
?
אם כן הוא צריך לענות . שמתאר התפתחות בזמן של וקטור מצבUנניח שקיים אופרטור
:על דרישות הבאות
• 1),( 00 =tt
),(),(),( 322131 ttUttUtt
U- ופרטור שווה ליחידההא אם אין התפתחות בזמן אז
• U י מכפלה של כמה " התפתחות סופית אפשר להציג ע-=
.התפתחויות הדרגתיות
: וקטור מצב סופי אפשר להציג בצורה
00 ,),(, tttUt αα =
:ננרמל את המצבים1
,,,),(),(,,, 0000
=⇒
==+
+
UU
tttttUttUttt oo αααααα
),(1ˆ... :תוב את אופרטור האבולוציה בהצגה אינפנטיסימליתנכ +∆
−=∆+ GtitttUh
ˆ
אנו מצפים שאופרטור , באנלוגיה למכניקה קלאסית שבה המילטוניאן הוא יוצר ההתפתחות בזמן
),(1ˆ... : יהיה למעשה ההמילטוניאן של מערכתGהרמיטי +∆
−=∆+⇒ HtitttUh
U תאשר תחת תנאים מסויימים היא תהיה חבור( הינה חבורהLee (. משוואה אחרונה ה מתוך
היינו ) המילטוניאןה( ללא הגבלה על , אנו יכולים לקבל משוואה עבור אופרטור אבולוציה
.להיות תלוי בזמןהוא יכול גם
H
),(ˆ),(),(ˆ),(),(
),(),()ˆ1(),(),(),(
00000
0000
ttUHttUt
ittUHtittUtttU
tttUttUHtitttUttUtttU
⋅=∂∂
⇒⋅∆
−=−∆+⇒
⇒∆+=∆
−⇒∆+=⋅∆+
hh
h
48
ttHt: משוואת שרדינגראם נשווה בין t
,)(ˆ, αα =∂
i ,משוואה שקיבלנו ל
0000 ,),(ˆ,),( tttUHtttUt
αα ⋅=i ,אבולוציה מקיים השאופרטור לראות נוכל ,למעשה
.משוואת שרדינגר משוואה דמויית
∂h
∂∂
h
),(ˆ)(),( :עבור, תלוי ב , המשוואה פתרון 00 ttUtHttUt
i ⋅=∂∂
hH
h :את הפתרון נקבל לא תלוי בזמן .1
Htti
ettUˆ)(
0
0
),(−
−= H
H :נקבל פתרונות שונים עבור שני מקרים, תלוי בזמן .2
]חילופי בזמנים שוני • ] ואז נקבל את הפתרון ם כלומר
: הבא∫=
−t
tHdti
ett 0'
0),( ht )'(ˆ
U .
H0)(),( 21 =tHtH
לגבי (אינו חילופי בזמנים שונים ואז נקבל את פתרון באמצעות טור דייסון •
):המשךפתרון זה נפרט ב
H
[ ] 0)(),( 21 ≠⇐ tHtHseriesDyson
:בתורת הקוונטים קיימות שתי תמונות לגביהם חשוב לזכור
. לא–אופרטורים , מצבים תלויים בזמן–תמונת שרדינגר .1
. לא–מצבים , אופרטורים תלויים בזמן–רג תמונת הייזנב .2
:הקשר בין תמונת שרדינגר לתמונת הייזנברג
→=← תמונת שרדינגרתמונת הייזנברג HoS
tttUt 0,),(, αα
0 0, , , ,S S H
t t t tα α α α=H
נשים לב שהערך הפיזיקלי המדיד אינו תלוי בתמונה והערכים הממוצעים של גדלים פיזיקליים
: כלומר, מתמונה לתמונהלא ישתנו במעבר
0 0 0 0ˆ ˆ, ( ) , , ( ) ( ) , , ,H S
ˆS Sα
H H H H St A t t t U t A U t t t A tα α α α α+= =
)(ˆ)()(ˆ tUAtUtA SH+= :וקיבלנו ש
49
אופרטור הסימטריה
עם פעולות כמו טרנסלציה , לדוגמה ,בפרקים הקודמים למדנו לקשר בין אופרטור אוניטרי
פרטור סימטריה וזאת בלי שום קשר אם המערכת הפיזיקלית אכן או -נהוג לקרוא ל. ורוטציה
.בעלת סימטריה המתאימה ל
S
S
S
S
)(ˆˆ)(ˆ tUStS ⋅⋅=
)(ˆˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆˆ)(ˆ tUStUStUtUStU ⋅=⋅⋅⋅=⋅ +
: אינו משתנה עם הזמן ואז בתמונת הייזנברג נקבל את התנאי הבאנניח שאופרטור
. U +
ˆ)( : מימיןUנכפול משוואה זו ב t
:נכתוב את אופרטור האבולוציה בהצגה אינפנטיסימלית ואם נ: ונקבל
...ˆ +H1),( ∆−=∆+
tittth
Uנוכל גם לומר שמתקיים :
[ ] 0ˆ),(ˆ =StU
[ ] 0ˆ,ˆ =SH
S
ˆˆ
אזי הוא יהיה חילופי עם , אינו משתנה עם הזמן, קיבלנו שבמידה ואופרטור הסימטריה , אם כן
הוא שההמילטוניין , Uואם נעבור להצגה האינפנטיסימלית של , Uאופרטור האבולוציה
.אזי נקבל שאופרטור הסימטריה אף הוא חילופי עם ההמילטוניין, היוצר שלה
H
ˆ : G אשר היוצר שלו הוא אופרטור סימטריה אינפיניטסימלינגדיר, עתהh
GiSˆ
1ˆ εנציב , =−
]הגדרה זו ביחס החילוף ] 0ˆ,ˆ =SH :,ˆ0= SH⇐ [ ] 0ˆ
1,ˆˆ]ˆ,ˆ[0ˆ
=
−=⇐=
h
GiHHGdtGd ε
ˆ . תלוי מפורשות בזמןוא לא הוא קבוע תנועה במידה וה, Gקיבלנו שיוצר הסימטריה
את אם נפעיל . Gשהוא מצב עצמי של , :נניח שברגע מסוים מערכת נמצאת במצב
:שתנהלא מ, )(, Gעצמי של הערך האופרטור האבולוציה נקבל ש
0, tαˆ
ˆ0g
00000
0000000000
,),(,),(ˆ,),(,),(,),(,),(ˆ
tttUgtttUG
tttUgtgttUtGttUtttUG
αα
αααα
=⇒
===
50
מצבים מנוונים
- חילופי עם המילטוניאן ואם אופרטור סימטריה S הוא מצב עצמי במרחב האנרגיה עם
nE,S אזי ערך עצמי n αהוא גם כן מצב עצמי עם אותו ערך של אנרגיה :
,n α
αααα
αα
,ˆ,ˆ),ˆ(ˆ),ˆ(ˆ,,ˆ
0]ˆ,ˆ[
nSEnESnHSnSH
nEnH
HS
nn
n
===
=
=
α,nאנרגיה אותה , אותו ערך עצמיעם מצבים , היינומנוונים ם מצבים ה-ו. α,ˆ nSnE
:באמצעות שימוש באופרטור סיבוב, נתבונן בדוגמה נוספת למצבים מנוונים
[ ]
( ) mjnEmjnRDH
mjnEmjnH
HRD
jn
n
,,,,)(ˆ,,,,ˆ
0ˆ),(
=⇒
=
=
12
מסוים ישנם jמפרק קודם אנו יודעים שעבור . שוניםm מצבי אנרגיה עבור קיבלנו אותם
j+ .2ניוון של זאת אומרת , שונהmמצבים עם +j1
תאופרטור הזוגיו
גם אופרטור היפוך אופרטור זה נקרא . הזוגיותאופרטור נקרא לו , אוניטריאופרטורנגדיר
המרחב כי כשמפעילים אותו על מערכת קורדינטות הוא מחליף את החלק הימני של המערכת עם
:כפי הנראה בציור הבא, החלק השמאלי שלה
π
מערכת קורדינטות שמאלית----- מערכת קורדינטות ימנית
z Xחדש
Y yחדש
xZחדש
51
. פה נפעיל אופרטור זה על מצבים ולא על מערכת קורדינטות ,עם זאת
:אופרטור הזוגיות נגדיר כך
∫∞
∞−
−
−=
=
dxexx
xxxi
xx
)(
)3()'(
ˆ
'ϕπ
δrr
rrrr
ˆ'' : ונקבלxr'על המצב , נפעיל את אופרטור הזוגיות )'( xex xi rr−= ϕπ π
טל את הפאזה ולקבלבדרך כלל נוהגים לב, אופרטור זה למעשה מבצע שיקוף עם תוספת הפאזה
) =1 : כיתער-הצגה חד )' ' i xx x e ϕπ = − ⇐r r
∫ : לפיכך אופרטור הזוגיות יראה כך∞
∞−−= dxxx rrπ
πππ ˆˆˆ 1 == +−
:נסתכל על תכונות של אופרטור הזוגיות
.: אופרטור הזוגיות לא רק אוניטרי אלא גם הרמיטי •
: בתלת מימד נקבל : הוכחה
π
π
ˆ
ˆ
3
33
=−∫∫∫=
=−∫∫∫−=−∫∫∫=
∞
∞−
−∞
∞
∞
∞−
+
xdxx
xdxxxdxx
rr
rrrr
אופרטור הזוגיות אנטי חילופי עם ,דהיינו :כמו כן מתקיים •
אפשר , כפי שכבר הזכרנו, פועל במרחב המקוםכאשר אופרטור הזוגיות . אופרטור המקום
.ל אופרטור היפוך המרחבלהתייחס אליו כא
ππππ
αππααα
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
xxxx
xxrrrr
rr
−=→−=
→+
תחת xrנחשב ערך הממוצע אם , אפשר לראות להבין את פעולת אופרטור הזוגיות •
: ההיפוךטרנספורמצית
* 3 *
* 3
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
x xV V
V
3
x x x x d x x x x d x
x x x d x x x
α α α α
α α
→−= Ψ Ψ →− Ψ − − Ψ − =
= − Ψ − Ψ − = − = −
∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫
r rr r r r r r r
r r r r r
−−
−=
11
1R
−−
−=
−−−
=
zyx
zyx
zyx
11
1
'''
:-1טריצות עם דטרמיננטה ר היפוך המרחב אותן תכונות כמו למלמעשה לאופרטו •
:כ שיקוף"מטריצות אלו הן מטריצות המבצעות סיבוב ואח, כזכור,
.
52
• Rנרצה .הפועל על וקטורי הבסיס) אופרטור הזוגיות(וך נו בעצם אופרטור ההיפי ה
απ :למצוא את פעולת האופרטור הזוגיות על מצב כללי
1=
112 andii −=
jkkjijjikji
⋅−=⋅⋅−=⋅
−=== 1222
PP ˆˆ −→
מתוך אנלוגיה לפעולה על .
ˆ .בסיסים נקבל כי אופרטור הזוגיות יקיים 2π
QUATERNION) (קווטרניונים
.סימטריים-ים אנטיטרניונים הם דוגמא לחלקיקקוו
:דהיינו נוכל לפרוש אותו על ידי, לייצג על ידי מספרים מרוכביםאפשרמימדי -מרחב דו
4מרחב . מימדי לא קיים מספר כלשהו אשר נוכל לתאר בעזרתו את המרחב-עבור מרחב תלת
:נוכל לתאר על ידי קווטרניונים, מימדי
1, i, j, k
:כאשר הם מקיימים
מטריצות פאולי הנן בעלות . מהיחסים למעלה רואים שקווטרניונים אנטי סימטריים במכפלה
.קשר דומה ולכן הן סוג מסוים של קווטרניונים
עתה נרצה לראות אלו עוד , גיות אנטי חילופי עם אופרטור המקוםראינו כבר שאופרטור הזו
:אופרטורים פיזיקליים מתנהגים בצורה דומה
שגם כאן אופרטור הזוגיות באנלוגיה לאופרטור המיקום נצפה. נתבונן על זוגיות התנע •
:, עם התנעיהיה אנטי חילופי
: לפי המכניקה הקלסיתdtxdmvmp
dtxdm
dtxdm xx
rrr
rrrr ==⇐− → −→
h : לפי המכניקה הקוונטית
r
h
r
h
r )()( pxipxipxi
eee−∆−∆−−∆−
+ ==ππ
:פרטור של האואינפיניטסימליתונעבור להצגה ה
pπr
(1 ) 1
ˆ ˆ ˆ;
i xp i xp
p p p
π π
π π π
+
+
∆ ∆− = +
⇒ − = = −
r r
h hr r r
ˆ ˆ ˆL x= ×r
.חילופי עם התנע-אנטי אכן אופרטור הזוגיות קיבלנו שכצפוי
p . r: י הזוויתנתבונן על זוגיות התנע , באותו אופן • r
ˆ ולכן) -(סימן תורם גם כן ) התנע ( -ו) -(תורם סימן ) המקום ( -אפשר לראות ש
:מרבסופו של דבר תנע זוויתי נשˆ ˆˆ ˆL Lπ π+ ⇐זוגיותהתנע הזוויתי חילופי עם אופרטור ה.
pr xr
=r r
53
SS :באופן דומה קיימת חילופיות בין ספין לאופרטור הזוגיות • ˆˆˆˆrr
=+ ππ
LS ˆˆ נראה שהיא , אופרטור הזוגיות תונפעיל עליה א רית סקלהמכפלה הנתבונן על •
L: נשמרת תחת היפוך המרחבr
rr⋅
SLSסקלרLS ˆˆˆˆˆ;ˆˆ rrrrr⋅=⋅=⋅ + ππ
xS ˆˆ rאינה נשמרת , אשרוגמה המכפלה הסקלרית לד נשים לב שישנן מכפלות סקלריות •
שלא נשמר תחת היפוך המרחב סקלר כלשהו. : תחת היפוך המרחב
אשר דוגמא נוספת היא נויטרינו . (רסקל-נקרא פסאודו) ימטריות האחרות הסאו אחת(
& Lee: ת הוכיחו המדעניםזא. את הזוגיותת משמרמבצע אינטרקציה אשר אינה
Yang.(
r⋅
xSxS ˆˆˆˆˆˆ rrrr⋅−=⋅+ ππ
)coscos),((
),()1(),(0
1 θθϕθ
ϕθϕθ
−→≈
− → −→
Y
YY ml
lxx
ml rr
1
• Yתחת היפוך המרחב : ml
קיים לשניהם בסיס משותף כך שייתכנו , משום שאופרטור התנע ואופרטור הזוגיות חילופים
. מצבים עצמיים משותפים הן לאופרטור התנע והן לאופרטור הזוגיות
.±ערכים עצמיים שהם רק לאופרטור הזוגיות •
)()( .:1עצמי - זוגיות חיובית פירושה ערך xx rrαα ψψ =−
)()( :-1עצמי - זוגיות שלילית פירושה ערך xx rrαα ψψ −=−
0]ˆ,ˆ =πH
:משפט
nnE - ו]: ההמילטוניין חילופי עם הזוגיותאם :מצב לא מנוון עם אנרגיות עצמיות
nEnH n=ˆ ,אזיnהיינו יש לו זוגיות מוגדרת ( הוא מצב עצמי של הזוגיות.(
:הוכחה
)n)ˆ1נשים לב ש 21 π±זוגיות גם מצב עצמי של המילטוניאן וגם כן מצב עצמי של ה.
:כאשר, זהו אופרטור היטל על הזוגיות
)n)ˆ1 : אופרטור היטל לזוגיות חיובית21 π+
)n)ˆ1 :אופרטור היטל לזוגיות שלילית21 π−
nn –עבור זוגיות חיובית )ˆ1(21)ˆ1(
21ˆ πππ +=+
nn -עבור זוגיות שלילית )ˆ1(21)ˆ1(
21ˆ πππ −−=−
עבורם המצבים אינם מנוונים והמילטוניאן יתחלף עם הזוגיות יהיו עם כל הפוטנציאלים ש
היא הסיבה לכך , הזוגיות מתחלפת, למשלבאוסילטור הרמוני .מצבים בעלי זוגיות מוגדרת
54
x-אחד תלוי ב, הורדה שיש בו שני חלקים/שהמצבים מתקבלים כהפעלה של אופרטור העלאה
הרמה , רמת הייסוד בעלת זוגיות חיובית, ולכן המצב הראשון היינו. הראשונהוהשני בנגזרת
.השנייה בעלת זוגיות חיובית וכך הלאה , הראשונה בעלת זוגיות שלילית
דוגמה לאינטרקציה שלא שומרת על זוגיות היא בור פוטנציאל שהוא לא סימטרי
פורמציה שתשמור על הזוגיות ותהפוך את אבל תמיד אפשר לבצע טרנס
.בור הפוטנציאל לסימטרי
x
0
55
שאינה תלויה בזמן עבור ) Perturbation theory(תורת ההפרעות : ' חלק א9פרק
מצבים לא מנוונים
קבל י שיטות אנליטיות ול"אשר ניתן לפתור אותם ע, ישנם מעט המילטוניאנים במכניקה קוונטית
לשם כך פותחו שיטות קירוב שונות על מנת להתמודד . אנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים מדויקים
. שיטות שונות לפתרוןבפרק זה אנו נראה). שהם בעצם רוב ( עם שאר המילטוניאנים
. למצבים לא מנווניםתורת ההפרעות שאינה תלויה בזמןנפתח עם
אנו יודעים במדוייק את הפתרון היינו תלוי בזמן שאינו המילטוניאן אנו יודעים שעבור
מצבים עצמיים ואנרגיות עצמיות
0ˆˆ HH =
)0(0(0
ˆ)1( nnH )0() En= .
1)0()0( : אנו דורשים את יחס השלמות הבא, כאשר nn∑=VHH += 0
ˆˆ : Vעתה נתבונן על המילטוניין שנוסיף לו הפרעה קטנה
:n של המצב המופרע העצמיים והאנרגיות העצמיותנרצה למצוא את המצבים ו
( ) nEnVH n=+0ˆ.
וקובע למעשה את חוזק 1- ל0הנע ביןשהוא פרמטר ממשי ורציף , λליתר דיוק נוסיף פרמטר
: 'שדה חשמלי חלש וכו, שדה מגנטי חלש יכולה לבוא לידי ביטוי כVההפרעה הקטנה , ההפרעה
VHH λ+= 0ˆˆ
. 1 ובחישוב סופי נציב λאנו נפתח תיקונים לאנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים בחזקות של
עצמיים המצבים העצמיות והות אנרגיההתחלתי עם הלהמילטוניאן , כמובן, חוזרים0עבור
.ידועיםה
λ=
λ=
: אנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים של המילטוניאן עם הפרעה
( ) ( )λλλ
λ nEnVHnH n=+= 0ˆˆ2
): הוא תיקון לאנרגיההונקבע ש ) )0(3 nnn EE −=∆.
: נקבל, ונעביר אגפים) 3(בתוך ) 2(-ו) 1 ( את נוסחאותאם נציב
)4 ( nVnEVEnEH nnnn |)(|)ˆ( )0()0(0 λλ −∆=−−=− ( )
)5 (nVnHE nn ||)ˆ0
)0( ∆−=− λ( ( ) :ומכאן
)6 ( nVHE
n nn
|)ˆ(
1
0)0( ∆−−
= λ| ( )
)המצבים ) nV n |∆−λ0(-אורתוגונליים ל(n| :
nVnnHEn nn |)(|)ˆ(0)7 )0(0
)0()0( ∆−=−= λ(
56
∑ :נגדיר אופרטור משלים≠
≡−=)0()0(
)0()0()0()0(|ˆ)8(nk
n kknnIφ
אופרטור 0
)0( ˆ1
HEn −|)0(הוא לא מוגדר אם פועל על : תמהווה בעייתיו n
n
נה מתאפסהמכ (
. גדר היטב האופרטור הופך להיות מוφבעזרת ). והפתרון מתבדר
)9 (∑≠ −
=− )0()0(
)0()0()0()0(
0)0(
1ˆ
1
nk knn
n
kkEEHE
φ
:ניתן לרשום בצורה) 5(את משוואה
)10 (nVnHE nnn |)(|ˆ0
)0( ∆−=− λφ ( ) :הופכת ל) 6(ומשוואה
)11 (nVHE
n nnn
|)(ˆ1|
0)0(
?∆−
−= λφ
0→
)0( אנו אמורים לקבל λלוקחים כש0 | nn → →λאבל מקבלים :
)12 ( 0|ˆ|0
)0(→
−∆
−= nHE
n nn
n φ
.|n)0(ידי הוספת איבר -נתקן אותה על. אינה מתאימה) 11(לכן הגדרה
)13 ( nVHE
nn nnn
|)(ˆ1|
0)0(
)0( ∆−−
+= λφ
באמצעות שיטה ,נטפל בבעיה בסוף. : מהנרמול נובע ש. נקבע נרמול ביניים
.הנקראת רנורמליזציה
1≠nn 10 =nn
:λנפתח אנרגיות ומצבים חדשים בחזקות של
)14 ( ...)(
...)3(3)2(2)1()0(
)2(2)1()0(
+∆⋅+∆⋅+∆⋅=−=∆
+⋅+⋅+=
nnnnnn EE
nnnn
λλλ
λλ
)אנו זוכרים שמצבים ) nn |∆−Vλ0(- ו(n|אורתוגונליים זה לזה .
)15 (nVnnn
nVn
n
n
)0()0(
)0( 0
λ
λ
=∆⇒
=∆−
( )
:ביניים מקבליםהמנרמול
)16 ( nVnn)0(λ=∆
:נקבל) 16(בתוך ) 14(אם נציב
)17 ( ( ) ( )( )LL )2(2)1(00)3(3)2(2)1( nnnVnnnnn λλλλλλ ++=+∆⋅+∆⋅+∆⋅=∆
57
: נקבלλמהשוואת חזקות שוות של )1()0()2(
)0()0()1(
nVn
nVn
n
n
=∆
=∆
k
: היא לתיקןן באנרגיה מסדר והנוסחה הכללית
)18 ( )1()0()( −=∆ kkn nVn
:נראה ש) 13(בתוך ) 14(ואם נציב
)19(
...)...]([ˆ)2(2)1()0()2(2)1(
0)0(
)0( +⋅+⋅++∆⋅−∆⋅−−
+= nnnVHE
nn nnn
n λλλλλφ
: נקבל תיקון מסדר ראשון למצביםλועוד הפעם על ידי השוואת חזקות של
)20 (
( )( )( ) )0()0()0(
)0()0()0(
0)0(
)0()1(
00
)1(
)0()0(
1ˆ
1ˆ nVkk
EEnV
HEnV
HEn
nk knn
nn
n
n ∑≠ −
=−
=∆−−
= φφ
:נכונה בגלל שחלק מהביטוי מתאפס בגלל אורתוגונליות) 20(המשוואה
0ˆˆ
1 )0()0()0(
0)0(
)1()0()1(
0)0(
)0()0(
ityorthogonalfrom
nkn
nnn
n
nkkHE
nHE
=−
∆=∆
−∑≠
φ
0
קיבלנו תיקון מסדר ראשון למצבים . כלומר , נכונה במקרה הלא מנוון) 20(משוואה
) ) 21 ( :עצמיים )∑≠ −
=)0()0(
000
001
ˆ
nk kn
kEE
nVkn
≠− kn EE
( )( ) ( )
( ) ( )( ) : הוא כזכורתיקון מסדר ראשון לאנרגיההו
)22 ( )0()0()0()1(
)0()1()0()0()1(
ˆ
ˆ
nVnEE
EEnVn
nn
nnn
+=
−==∆
:עכשיו נחשב תיקונים מסדר שני
)23(
∑∑≠≠ −
=⋅−
⋅==∆)0()0()0()0(
00
00000
00
00)0()1()0()2(
ˆˆˆ
ˆˆ
nk knnk knn EE
kVnnVkkV
EE
nVknnVn
( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
:יים נקבלעבור התיקונים למצבים עצמ). 21(כאן השתמשנו במשוואה
)24(
)0(
0)0(
0)0(
)0()0()0(
0)0(
0)0(
)1()1(
0)0(
)1()1()0()2(
0)0(
2
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
)(ˆ1])([ˆ
1
nVHEHE
nVnnV
HEV
HE
nVHE
nVnHE
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nnn
nnnn
−⋅
−−
−−
=∆−−
=∆−+∆−−
=
φφφφ
φφ
58
)0()0(ונגדיר ) 9(אם נשתמש במשוואה lVkkl ≡Vהתיקון ייראה :
)25 ()0(2)0()0(
)0()0()0()0()0(
ln)2(
)())((k
EEVV
kEEEE
VVn
nk kn
nnkn
nk nl lnkn
kl ∑∑∑≠≠ ≠ −
−−−
=
נורמליזציה של פונקצית הגלר
עלינו לנרמל מחדש את , לאחר שפיתחנו תיקונים לאנרגיות ולמצבים עצמיים עד סדר שני
)רנורמליזציה(לנו המצבים שקיב
)0(1 קודם הנחנו שמתקיים =nn
:נגדיר
)26 (nZn nN21
=
1=n= nZnn nNN
:נקבל) 14(ומכאן על ידי שימוש במשוואה
)27 (
[ ] [ ] ( )4)1()1(2)2()2(4)1()1(2)1()0()0()1(
)2(2)1()0()2(2)1()0(
01....1
1
)0()0(
λλλλλλ
λλλλ
++=+++++=
=+++⋅+++==
nnnnnnnnnn
nnnnnnnnz
nn
LL
10שאר האיברים מהצורה nnאורתוגנליותים בגלל מתאפס. ( ) ( )
)28 (
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )...111
200
22)0()0(
'0'
0'
002 +
−+=
−
⋅
−
+= ∑∑∑≠≠≠ nk kn
kn
nk kn
nk
nk kn
kn
EE
Vkk
EEV
EEV
zλλ
: בקירוב שווה לZמכאן פקטור נרמול
)29 ( ∑≠ −
λ−=nk kn
knn
EE
VZ 200
221
( ) ( )( ) :הסבר
...1...1
1...1
222
2
22
1
+−=++
=
++=−
λλ
λ
aa
z
az
59
תלויה בזמן עבור שאינה ) Perturbation theory(תורת ההפרעות : 'ב חלק 9פרק
מצבים מנוונים
: תורת ההפרעות שפיתחנו בפרק קודם מפסיקה לעבוד כאשר מצבי האנרגיה מנוונים
)0()0(הביטויkn
nk
EEV−
nk)0()0(
kn EE =
2−n
1,0=
לכן עבור מצבים מנוונים . הוא סופי ו V נעשה סינגולרי אם
.שר תהיה מבוססת על תורת ההפרעות הלא מנוונתנצטרך לפתח תורה חדשה א
זוויתי יכול לקבל שני התנע ה , עבור רמת אנרגיה שנייה: כדוגמה נסתכל על אטום המימן
: 4כלומר הניוון של רמה שנייה הוא , l:ערכים
4444 34444 21ps
ml22
1,10,11,10,0, −→
zE ˆα=
: אחיד בכיוון לאחר הפעלת שדה חשמלי zr
נקבל פיצול של רמות אנרגיה עקב שבירת
ועכשיו נפתח הביטוי הכמותי , ראינו איכותית שישנו פיצול רמות אנרגיה. סימטרייה כדורית
.לחישוב
עם אותה רמת (ים המנוונים המצבgנסמן את . -נסמן כל רמת האנרגיה המנוונת ב
- ב)האנרגיה
)0(dE
)0(m . ההפרעה תסיר ניוון כלומרg המצבים החדשים )המסומנים ב, )לא מנוונים-
l0עבור . יהיו בעלי אנרגיה שונה→λ 0( נקבל(ll יפרסו את אותו l)0(המצבים . →
הם l)0(במילים אחרות . m)0(-אך אינם חייבים להיות זהים ל, פורסיםm)0(-מרחב ש-תת
: m)0(קומבינציה ליניארית של
)30 (∑∈
=g
dm
lmml)0(
)0()0()0()0(
-נכתוב עכשיו כ) 5(המשוואה
)31 (lVlHE ld ||)ˆ( 0)0( ∆−=− λ ( )
llהמצבים את כאשר נפתח ) מרחב מנוון -הכוונה לפיצול בתוך תת( ∆ תיקון באנרגיות - ו
:נקבל, λת של בטור חזקו
)32( ...)(
...)3(3)2(2)1()0(
)2(2)1()0(
+∆⋅+∆⋅+∆⋅=−=∆
+⋅+⋅+=
llldll EE
llll
λλλ
λλ
ונחפש תיקון לאנרגיות מסדר ראשון על ידי השוואת מקדמים של ) 31(בתוך ) 32(נציב משוואה
λ- עבור חזקה ראשונה של . חזקה ות בעלות אותהλנקבל :
)33 ( ( ) )0()1()1(0
)0( ||)ˆ( lVlHE ld ∆−=−
60
לכן ננסה לבטא את התיקון לאנרגיה , m)0(י מצבים ידועים " נפרסים עl)0(המצבים
:באמצעותם
( )
)0()0()0()1()0()0()0(
)0()0()0()1()1()0()0(0
)0(
)0()0(
)0()0(
)ˆ(
lmmlmmV
lmmVlmmHE
m
l
m
m
l
md
∑∑
∑∑∆=⇒
∆−=−
m')0( :קבל משמאל ונ -נכפול את המשוואה לעיל ב
)34 ( )0()0()0()0()1()0()0()0()0(
)0()0(
'' lmmmlmmVmm
l
m∑∑ ∆=
.m)0(הוא אחד ממצבים המנוונים מתוך קבוצה של m')0(כאשר
): מימדיתgמטריצה (קיבלנו משוואת ערכים עצמיים
)35 ( )0()0()1()0()0(' '
)0(
lmlmV l
mmm ∆=∑
מתת " לצאת"על מנת לקבל תיקונים מסדר גבוה יותר צריך . ןקיבלנו תיקון לאנרגיה מסדר ראשו
:י"המרחב המנוון ע-לשם כך נגדיר אופרטור משלים לתת. המרחב המנוון
)36 ( ∑∈
−=dl
d llI)0(
)0()0(ˆφ
: הופכת ל) 31(המשוואה
)37 ( lVlHE ldd )()ˆ( 0)0( ∆−=− λφ
: ובאנלוגיה מלאה למקרה הלא מנוון
)38 (lVHE
l ldd
)()ˆ(
1
0)0( ∆−−
= λφ
)39 (lVlll
lVl
dl
ld
φλ
λφ)0()0(
)0( 0)(
=∆⇒
=∆−
:נשתמש בנרמול זמני
)40 ( 1)0( =ll
: ונקבל
)41 (lVl dl φλ )0(=∆
.ראינו שהבדל בין המקרה המנוון למקרה הלא מנוון הוא אך ורק בתיקון לאנרגיות מסדר ראשון
.התיקונים מסדרים גבוהים יותר זהים בשני המקרים
61
)Starck(אפקט שטרק
חשמלי אחידונפעיל עליו הפרעה של שדה) לא יחסותי ( ב הקלאסי נסתכל על אטום המימן בקירו
: בכיוון Er
z
n
12 +l
lmlnll
מצבי האנרגיה הקשורים תלויים אך , עבור אטום המימן עם פוטנציאל קולומבי טהור וללא ספין
כיוון שעבור , יש ניוון ) למעט מצב היסוד( המעוררים לכן בכל המצבים. ורק במספר הקוונטי
l :היטלי ספין ישנםכל
≤≤−<≤ ,0:
statepmlstatesml2,1,0,1
2,0,0±==
n=2 :עבור ==
:רמות האנרגיה באטום המימן
)42 (0
2
20
2
22
82 aeE
anezEn −=⇒−=
Z : שדה חשמלי אחיד בכיוון : ההפרעה
)43 ( EzeEzeV ˆˆˆ =−=r
: מוצאים באמצעות שימוש בזוגיות ובכלל הברירהןאת אלמנטי המטריצה של הניוו
)44(
ijVsVmpmpVs
mpmpmps
mpmpmps
ˆ
000000000002ˆ0,200,2ˆ200
1,20,21,2
2
1,20,21,22
=
==
−===
−===
0)1( 3eEal ±=∆
:לכן נקבל תיקונים לרמות האנרגיה
)45 (
: רמות שונות3-קיבלנו פיצול של רמת האנרגיה השניה ל
3eEa0
-3eEa0
:והתיקונים למצבים
)46 ( ( )0,20,22
1=±==± mpms
1,2ובמצבים =mp1,2- ו −=mpלא יהיה שינוי .
62
תלויה בזמן ה) Perturbation theory(תורת ההפרעות : 10פרק
רוב המקרים וזה לא מציאותי כי ב. נים אשר אינם תלויים בזמן ישירותעד כה דנו בהמילטוניי
לשני ובפרק זה נסתכל על המילטוניאן שאפשר להפריד. תלות בזמן משחקת תפקיד חשוב
ˆˆˆ)( :חלקים0 tVHH +=
מה ההסתברות היאהשאלה העיקרית שנענה עליה. מסויםiונניח שהמערכת נמצאת במצב
inכפונקציה של הזמן למציאת המערכת במצב ≠.
:לה נעשה חזרה קצרה על תמונות שונות בתורת הקוונטיםיתחאך
:אופרטור האבולוציה •
Htti
ettUˆ)(
00),(ˆ −−
= h
0 0ˆ, ( , )t U t t tα α= ,
.המצבים תלויים בזמן, אופרטורים אינם תלויים בזמן–תמונת שרדינגר •
. המצבים קבועים בזמן, אופרטורים תלויים בזמן–תמונת הייזנברג •
0)(
00
ˆ)()(ˆ)(
0)( ,)(ˆ,,ˆ,,ˆ, 00 ttAtteAettAt
pictureHeisenberg
HHttiSHtti
picturerSchrodinge
S ααααβα321
hh ==−−−
)(ˆ t
0H
וחלק Vחלק תלוי בזמן: ההמילטוניאן שמכיל הפרעה תלויה בזמן ניתן להפריד לשני חלקים
מנת -על. דינגר ולא בתמונת הייזנברגלא נוכל להשתמש לא בתמונת שר, לכןלא תלוי בזמן
: תמונת האינטרקציה–לפתור המילטוניאן מצורה זו נגדיר תמונה חדשה
0000ˆ)()(
ˆ)( ˆ)(ˆ HttisHtti
I eAetA−−−
= hh
0H
)(ˆ t
זוהי תמונה בין שרדינגר לבין הייזנברג שבה עבור - )תמונת דיראק (אינטראקציההתמונת
נחפש את הצגת המצב בתמונת . בתמונת שרדינגרVרעה נשתמש בתמונת הייזנברג ועבור ההפ
הדבר אפשרי אם נכפיל . כך שגם האופרטור וגם המצב יהיו תלויים בזמן האינטראקציה
:אופרטור בתמונת שרדינגר משני צדדים באופרטור יחידה
It,α
III
t
S
Htti
tA
HttiSHtti
t
Htti
SSS
S
ttAt
teeAeettAt
III
,)(ˆ,
,ˆ,,ˆ,,
ˆ)(
)(ˆ
ˆ)()(ˆ)(
,
ˆ)()( 00000000
βα
βαβαβα
=
==−−−−−−
44 344 21444 3444 2144 344 21hhhh
ת הייזנברג או מונת שרדינגר ונתפתח בהתאם לכל אחד מהמקרים או לתמונולכן נתחיל מת
:לתמונת אינטראקציה
0)(
0)( ,,,,,)(ˆ, tAttAtttAt H
ss
sIII βαβαβα →←
63
ˆ)(1]ˆ),(ˆ[ :משוואת התנועה של אופרטור בתמונת הייזנברג)(
)(
HtAidt
tAd HH
h=
ˆ)(1]ˆ),(ˆ[ :אינטראקציההבתמונת ו0HtA
idttAd
II
h=
)(ˆˆ)(ˆ0 tVHtH +=0H הוא החלק שאינו תלוי בזמן עבורו כאשר (: נתבונן על ההמילטוניין הבא
)הפתרון יגדוע
:לתמונת האינטרקציה ולהיפך הואתמונת שרדינגר הקשר בין
I
Htti
SS
Htti
Itettet ,,,, 0000
ˆ)(ˆ)(ββββ
−−−=⇒= hh
כדי ליצור משוואה דומה לעילבקשר ונשתמש , משוואת שרדינגר בתמונת שרדינגראת נרשום
:רקציהבתמונת האינט
( )III
HttiHtti
S
Htti
S
Htti
S
Htti
S
Htti
I
SS
ttVtetVetHHe
tHeteHit
itet
itt
i
tHtt
i
,)(,)(,ˆ
,,ˆ,,
,,
000000
000000
ˆ)(ˆ)(
0
ˆ)(
ˆ)(ˆ)(
0
ˆ)(
ααα
αααα
αα
==−=
=+
∂∂
=
∂∂
=∂∂
=∂∂
−−−−
−−−
hhh
hhh
hhhh
h
:קיבלנו ש
(*), t ˆ, ( )II Ii t V t
tα α∂
=∂
h
: היאההפרעה בתמונת אינטראקציה, כאשר0000
ˆ)(ˆ)()()(
HttiHtti
I etVetV−−−
= hh
. התלויה בזמן את תורת ההפרעות אשר בה נפתח,אינטראקציההזוהי צורה פשוטה תחת תמונת
H :ללא הפרעה נקבל, לא תלוי בזמןר כאש
0
0
ˆ
, (n
n
H n E n
t C tα
=
= =∑ 0) n
nעל ידי t,αלכן נפרוש את המצב , נו בסיסי הn -אנחנו יודעים ש
0H
נשתמש במצבים .
: ונפתח את תמונת המצב של האינטראקציה בבסיס זה כבסיסהעצמיים של
∑∑ ===−−−−
nn
Etti
nn
Htti
IntCneCtet n )()0(,,
)(
0
ˆ)( 000hh αα
)(tCn
:nבעזרת בסיס(*) משוואה ה לשם כך כתוב את, מקדמים נרצה למצוא מהם ה
∑
∑∑−−−
=
====∂∂
nn
Htti
Htti
nnIII
nnI
ntCVee
ntCtVttVntCitt
i
)(
)()(,)()(,
0000ˆ)(ˆ)(
hh
&hh αα
64
אם נכפיל משמאל את המשוואה האחרונה ב00
ˆ)( Htti
e−−
hונעזר ב : nene nEttiHtti )(ˆ)( 000 −−−−= hh
:נקבל0 0( ) ( )ˆ( ) ( ) ( )n n
i it t E t t E
n ni C t e n V t C t e n− − − −
=∑ ∑h h&h
mnnm -י שימוש ב"ע δ=וב - ntVmt )(ˆ) =( )mn VV t -ריצה של אלמנטי המט
:נקבל ש) ההפרעה בתמונת שרדינגר
mn ()
nmn Ct)( mm Etti
n
Etti
m etVetCi)()( 00 )()(
−−−−
∑= hh&h
)(tCn :שוואה דיפרנציאלית למקדמים מקיבלנו , אם כן
0( )(1( ) ( ) ( ) n mi t t E E
m mn nn
C t V t C t ei
− − −= ∑ h&h
)()()()( )2(2)1()0( tCtCtCtC nnnn λλ ++=
)
.נפתור על ידי קירובים בלבד, במקרה כללי ישנן בעצם אינסוף משוואות עם אינסוף נעלמים
:אם למשל מעונינים לחשב הפרעה עד סדר שני. ק הציע פתרון רקורסיביאבמקרה סופי דיר
:אז מקבלים תלות הבאה
)()(
)()(
)1()()2(
)0()()1(
tCeVtCi
tCeVtCi
m
EEi
mnmn
m
EEi
mnmn
mm
mm
−−
−−
∑
∑
=
=
h
h
&h
&h
)(tCn
(tn
שיטת דייסון
השיטה מתבססת על מציאת . F.J.Dysonי " פותחה עשיטה נוספת למציאת מקדמים
ההפרעה לאופרטור האבולוציה בתמונת האינטרקציה ואחר כך לקשר אלמנטי המטריצה של
השיטה הזאת מסובכת לפתרון בעיות פשוטות בתורה . Cאופרטור אבולוציה עם מקדמי
.QEDאך שימושית ב, הלא רלטיביסטית
)
:אופרטור האבולוציה בתמונת האינטרקציה נרשום את II tttUt 00 ,),(ˆ, αα =
:עבור ההפרעה בתמונת האינטרקציה (*)נציב לתוך משוואה
[ ]
IIIII
IIIII
III
tttUtVtt
ttUi
tttUtVtttUt
i
ttVtt
i
0000
0000
,),(ˆ)(ˆ,),(ˆ
,),(ˆ)(ˆ,),(ˆ
,)(ˆ,
αα
αα
αα
=∂
∂
=∂∂
⇒
=∂∂
h
h
h
: והמצבים אינם תלויים בזמן נקבלמאחר
),(ˆ)(),(ˆ00 ttUtVttU
ti III =∂∂
h
65
: נבצע אינטגרציה על המשוואה האחרונה ונקבל את הפתרון הבא
∫−=+t
t
In
IIn dtttUtViIttU
0
'),'(ˆ)'(ˆ),( 0)(
0)1(
h
ˆ U זהו הערך של -Iכאשר t בזמן t=0. 0( ,I t )
λ=1 :בסוף נציב לוλ -ב נפתח את אופרטור האבולוציה לטור חזקות
∫∫∫∫ ∫
∫
∫
−−=
−−=
−=
=
⇒+++=−=+
'2
0)2(
0)1(
0)0(
0)2(2
0)1(
0)0(
0)(
0)1(
0000 0
0
0
''')''()'(')'(ˆ'')'(ˆ)'(ˆ),(
')'(ˆ),(
ˆ),(
...),(),(),('),'(ˆ)'(ˆ),(
t
tI
t
tI
t
tI
t
t
t
tIII
t
tII
I
III
t
t
In
IIn
dtdttVtVdttViIdtdttViItViIttU
dttViIttU
IttU
ttUttUttUdtttUtViIttU
hhhh
h
h
λλλλ
λ
λλλ
.גרמות פיינמןות קוונטים ופיתוח זה מוביל לדיאשיטה זו שימושית בעיקר בתורת שד
י הפעלה של " עאנו יכולים לחשב התפתחות בזמן של המערכת, אם אופרטור האבולוציה נתון
:iמצב האופרטור על ה
∑∑ ===n
nIn
IIntCittUnnittUt )(),(),(, 00α
ittUnכאשר I ),( 0)(tCn . המקדם הוא בעצם
:י"הקשר בין אופרטור האבולוציה בתמונת שרדינגר לאופרטור האבולוציה בתמונת דיראק נתון ע
0 0 0 0ˆ ˆ( ) ( )
0 0( , ) ( , )i it t H t t H
I sU t t e U t t e− −
= h h
)(tn
−
:בתמונת האינטרקציהCמכאן נקבל המקדמים
0( )( )
0 0ˆ( ) ( , ) ( , )n i
i t t E E
n I sC t n U t t i e n U t t i− −
= = h
nC
i -נניח מצב התחלתי . -נקבל משוואה מפורשת עבור ה, נקשר שיטה זו לשיטת דיראק
0H
:שהוא מצב עצמי של (
∫−=
=
=
t
tIn
nin
dtitVniC
C
it
0
')'(ˆ
,
)1(
)0(
0
h
δ
α
:כאשר0000
ˆ)(ˆ)()(ˆ)(ˆ Htti
s
Htti
I etVetV−−−
= hh
66
')'(
)'(ˆ
0
0
0
))((
1
)1(
))((
dtetViC
etViVnt
t
EEtti
nin
EEtti
niI
in
in
∫−−
=
−−
−=⇒
=
h
h
hλ
0H
ונפעיל iאז נפרוש אותו על ידי בסיס השלם , אם המצב ההתחלתי לא יהיה מצב עצמי של
:עבור תיקון מסדר שני נקבל. תורת ההפרעות על כל מצב
∑ ∫ ∫−−−−
−=m
t
t
t
t
EEtti
mi
EEtti
nmn dtdtetVetVitC immn ''')''()'()(0 0
00' ))(''())('(
2)2( hh
h
niברות המעבר ולבסוף הסת :י" נתונה ע→
2)2()1( ...)()()( ++=→ tctcniP nn
i00המערכת נמצאת במצב : דוגמה t00= : ישנה הפרעהבזמן . עד זמן =t
0
0
(0)
( ' )( ) '( )(1)0 0
0 0
'( )( )0
0 ( )( )
0
( )(1) 0( )
0 , 0, 0
( ) ' '
1
( ) 1
n i n i
n in i
n in i
n i
n i
n ni
t ti it t E E t E E
n
ti t E E it E E
i E EE E
it E E
n E E
tV
V t
C
i iC t V e dt V e dt
Vi V e
VC t e
δ− − −
−−
−−
−
−
<= ≥
=
= − = −
− = − = ⋅ −
⇒ = −
∫ ∫h h
hh
h
h
h h
h
=
: היאn למצב iוהסתברות המעבר ממצב
( )
2
2 2
2 2
2 ( ) ( )2(1) 0( )
2 2( ) ( )0 0( ) ( )
2 20 0
( ) ( )
( ) 1 1
2 2 2c
2 21 cos 1 cos
n i n i
n i
n i n i
n i n i
n i n i
it itE E E E
n E E
it itE E E E nE E E E
n iE E E E
VC t e e
V Ve e t
V E E Vt tω
− − −
−
− − −
− −
− −
= − − =
− = − − = −
− = − = −
h h
h h
h
h
os E E =
בתדירות i - וnקיבלנו שישנן תנודות בין מצבים h
in EE −=ω
67
Scattering theory תורת הפיזור : 11פרק :ה על מושג הפיזור בתורת הקוונטיםלפני שנרחיב בנושא הפיזור נבצע חזרה קצר
=−∇Ψ+Ψ : ניקח את משוואת שרדינגר∂Ψ∂ V
mti 2
2
2h
h
2** : ומשוואת שרדינגר הצמודה לה2*
2Ψ+Ψ∇−=
∂Ψ∂
− Vmt
i hh
* ונחסר בין -ואת משוואת שרדינגר הצמודה ב, Ψעתה נכפיל את משוואת שרדינגר ב
: המשוואות
Ψ
2
2
2
[
2
2
∇⋅
Ψ
−
∇
r
h
h
h
m
m
m
[ ]***
*22**
*
**2*
2*
2)((*)
]2
Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ=∂ΨΨ∂
−
⇓
Ψ∇Ψ−Ψ∇−=
∂Ψ∂
Ψ+∂Ψ∂
Ψ
Ψ+Ψ∇=∂Ψ∂
−⋅Ψ
−
Ψ+Ψ−=∂Ψ∂
⋅Ψ
rrh
h
h
h
imt
tti
Vt
i
Vt
i
:נגדיר את הגדלים הפיזיקליים הבאים
ψψρ : שנקרא לו צפיפות ההסתברות • *= ρ
: שנקרא לו זרם ההסתברות • Jr
)ההסתברות מתאפסממשית הזרם Ψ-נשים לב שכש(
[ ] [ ]Ψ∇Ψ=Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ=rhrrhr
*** Im22 mim
J
J : ונקבל את משוואת הרציפות(*) נציב את הגדלים שהגדרנו במשוואה t
rr∇=
∂∂
−ρ
∫∫ -משום ש, זוהי גם משוואת שימור הזרם =∂∂
−Sv
SdJdVt
rrρ
sdJ ) -ומהגדרת המטען , -מחוק שימור מטען כאשר אנו יודעים ש(dtdQ
s
rr∫=−∫=
v
dVQ ρ
:נקבל צורה אינטגרלית של משואת הרציפותאם נשתמש במשפט גאוס הדיפרנציאלי
∫∫ =vs
dVJdivsdJrrr
: משוואת הרציפות מקבלת צורה ידידותית יותרStocksי שימוש במשפט "עו
Jdivt
r=
∂∂
−ρ
68
:1-שווה ל יהיה כך שסכום ההסתברויות,ר אנו נדרוש נרמולהיות ויש פה משוואת שימו
: במילים אחרות כל הזרם הנכנס שווה לכל הזרם היוצא כך ש,
∑
∑∑
=
=
in
iouti
in
out
JJ
P
JJ
1
∫ =ΨΨv
dV 1*
נניח גל חופשי : וגמהד
Ψ=Ψ∇⇒=Ψ kiexki r
hh
rr
vmkki
mJ r
h
rhr
ρ=ΨΨ=ΨΨ= ** )Im(
r
.יא מהירות החלקיקים הvכאשר
אסימפטוטי הפתרון ה. מה שיעניין אותנו הוא התנהגות משוואת שרדינגר במרחק אינסופי ממפזר
:ייראה כך
)(~ fi
ikrzik kkf
ree i
rr⋅+Ψ
ziki
סוףנ גל מישורי המגיע מאי- e כאשר
r
eikr
),( fi kkf
גל כדורי מפוזר-
)פיזור אינו אחיד( פקטור אשר תלוי בכיוון הפיזור - rr
הנחה נוספת ). אין תלות בזמן(כלומר תמיד יש זרם חלקיקים ויש פיזור , steady stateמניחים
kkk .| -שימור תנע היא if
rrr== |||
:י מכפלה של הגל בצמוד"אמפליטודה של החלק המפוזר ניתנת ע
2
2*
2
2*
|),(|~
|,(|~
rkkf
vvvJ
rkkf
fi
fi
rrrsrr
rr
ΨΨ==
ΨΨ
ρ
הביטויים את נציב , = שטח בזווית מרחבית , -נגדיר זווית מרחבית
: שקיבלנו לתוך
Ωdr 2
I = SJ ⋅rr
θθϕ ddd sin=Ω
Iכאשר r
=⋅Sd Ω :נקבלו, שטח- זרם ו- drr
kkfvI fi 2
2
2|),(|rr
rr
σd : נגדיר חתך פעולהvId≡r
r
69
|),(|2 : יראה כךדיפרנציאליהפעולה הואז חתך fi kkfdd rr
=Ωσ
. הגלים החלקייםנמצא את אמפליטודת הפיזור באמצעות שיטת
)י להביא בחשבון את הספין והבורגיותנבצע זאת בל: הערה(
+===Ψ : הבאהמשוואת שרדינגרלשם כך נטפל בΨ∇
−mk
mpErV
m 22)(
2
22222 hh ψψψ
)(r כך שאת פתרונה אפשר לחלק לשני , כדוריתהסימטריי שבה הוא בעל Vאשר הפוטנציאל
),( : חלק רדיאלי וחלק זוויתי, חלקים)(
),()()( ϕθϕθ lmkl
lmkl Yr
rUYrRr ⋅==Ψ
r
2- משוואת שרדינגר לעיל באם נכפול את
2h
m2)(0 : נקבל 2
22 =
−+∇− ψkrVm
h
: כזכור הלפלסיאן בקורדינטות כדוריות הוא
2
2
2222
22
sin1sin
sin11
ϕψ
θθψθ
θθψψ
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∇rrr
rrr
, לא נעשה זאת פה(ל ומפרידים אותו לחלק רדיאלי וחלק זוויתי "ואם מפתחים את הלפלסיאן הנ
: נקבל ש) ס אלקטרודינמיקהאולם הפיתוח הובא מספר פעמים בקור
0)()(2)1( 2222
2
=
−+
++− rUkrVm
rll
drd
klh
)(rkl)(krJ l)(krNl : ופונקציות ניומן שקשור לפונקציות בסל Uגל חלקי והפתרון הוא
(krJA ll )())(
)( krNBr
rUrR ll
lkkl +==
)(krNl
∞→
:כאשר
Spherical Bessel function - )(krJ l
- Spherical Neumann function
עניין אותנו הוא התנהגות משוואת שרדינגר במרחק אינסופי ממפזרמה שמ פי שכבר הזכרנו כ
ולכן נקבל את - יותר מהר מ0 - שואף לV(r) -ההנחה היא ש כאשר r לפיכך ניקח
: המשוואה
2
1r
0)()1( 222
2
≈
−
++− rUk
rll
drd
kl
70
:לפיכך נתבונן במספר פונקציות כאלו, ראינו שהפתרונות שלה הם פונקציות בסל ופונקציות ניומן
xx
xxxN
xxxN
xx
xxxJ
xxxJ
xJx
xJll
sincos)(cos)(
cossin)(sin)(
)(2
)(
210
210
21
−−=−=
−==
=+
π
:ת בסל ניתן לפרק לגל נכנס וגל מתפזרי פונקצי"רדיאלית עהמשוואה הפתרון של ואת ה
( )4342143421יוצאגל
ikr
נכנסגל
ikrikrikr eikr
eikr
eeikrkr
krkrJ2
12
12
1sin)(0 +−=−== −−
:התנהגות של פונקציות בסל ונוימן נראית כךהבאינסוף
+=
+
−→
+=
+
−→
+−
∞→
+−
∞→
...2
12
)1(sin1)(
...21
2)1(cos1)(
2)1(
2)1(
π
π
π
π
liikr
rkl
liikr
rkl
eeikr
lkrkr
krN
eekr
lkrkr
krJ
הפתרון , כפי שאמרנו קודם. י גלים חלקיים"אמפליטודת הפיזור עאת למצוא עתה נרצה
:י משוואה הבאה"האסימפטוטי ניתן ע
),(),(~ cosfi
rikrki
fi
rikzki kkf
reekkf
ree
rrrr⋅+=⋅+Ψ θ
).מתפזרהגל נכנס לגל הזווית בין היא ה -θבאשר (
בגלל שבמצב נתון לאנרגיה ישנו ערך מסוים . ניתן לפתח בטור של גל מישורי
mkE2
22h ישנה סימטריה e -כמו כן ל. kערך של אזי פונקציות בטור יהיו רק בעלי אותו =
בטור של m=0 נשים ⇐אקסיאלית
θcos⋅ikr
k mlΨ . הגענו לתוצאה שטור הפונקציות צריך להיראות:
θcos⋅ikremlkΨ
∑∑∞
=
∞
=
⋅ =Ψ=0
00
0cos
lllkl
llkl
rki YRaae θ
lk0l
∑∞
=
⋅ =0
cos )(cos)(l
lllikr PkrJCe θθ
l
∑∞
=
⋅ +=0
cos )(cos)()12(l
lllikr PkrJlie θθ
R : נקבל, לתוך המשוואהY-וביטויים עבור את האם נציב
משני צדדים של המשוואה ואז להגיעrי השוואת חזקות שוות של " ניתן למצוא עCהקבועיםאת
: סופית של השוויוןהצורה ל
71
הגל היוצא צריך להכפיל באמפליטודת את ונזכור שנכתוב את פונקציות בסל בעזרת אקספוננטים
:פיזורה
+→
+
−−
rekS
re
ikre
re
ikkrJi
ikr
l
ikrikrikr
ll )(
21
21~)(
∑
∑∞
=
−
∞
=
⋅
++
+==⇒
0
0
cos
)(cos)()12(21~
~)(cos)()12(
ll
ikr
l
ikr
lll
likrikz
Pr
ekSr
elik
PkrJliee
θ
θθ
)(kSl1|)(|
kSl= :תקיים שימור תנע נדרוש ש היא מטריצת הפיזור וכדי שיכאשר
1|)( <kSl
למעשה מתנאי זה , ספר החלקיקיםת כך שיש שמירה על מלמעשה דרישה זו היא תנאי אוניטריו
שהרי במידה והפיזור היה פלסטי אזי הייתה בליעה היינו , מדובר בפיזור אלסטימשתמע כי
|.
)(tan
)( )(2
kAB
ekS
ll
l
kil
l
δ
δ
=−
=
)(kl
k .א תלויה באנרגיה משום שהי והיא פונקציה של בפאזההיא התזוזהδכאשר
:הפתרון יראה כך, ובצורה קצת שונה
∑∑∞
=
∞
=
−
−++
−+++Ψ
00)(cos)1)()(12(
21~)(cos)1)(()12(
21~)(
lll
ikz
ll
ikr
l
ikrikr
PkSlik
ePr
ekSr
er
elik
r θθr
∑ : ואמפליטודת הפיזור כך∞
=
−+=≡0
)(cos]1)()[12(21)(),(
lllfi PkSl
ikfkkf θθ
rr
. R בעלת רדיוס פיזור מדיסקהנתבונן בדוגמה פשוטה של
, לחלוטיןפיזור פלסטי מדובר ב, היינו ,נניח שכל החלקיקים המתנגשים בדיסקה נבלעים בה
. יכול לקבל את הערכים וכן התנע הזוויתי מתקיים לפיכך
מדובר , היינו, כלומר אין בכלל בליעה, אם כל החלקיקים שפוגעים בדיסקה היו מתפזרים, אולם
kSl=1י יתקיים בהתנגשות אלסטית לחלוטין אז
L
וכן התנע הזוויתי יכול לקבל את הערכים
l כמו כן נקבל שאמפיטודת הפיזור תהיה ∑=
−=
kR
lik 021)θ + lPlf )(cos)12(( θ.
0)( =kSlRkLrr
=RkLlrr
≤≤
)(
r≥
72
:(Optical theorem)המשפט האופטי
Ω : נגדיר את חתך הפעולה הכללי כךΩ
≡ ∫ ddd
vtotal
σσ
והשני מפיזור לא ) (את חתך הפעולה לשניים אחד הנובע מפיזור אלסטיאפשר לחלק
)(1 (אלסטי <kSl (:
1)( =kSl
intoatl
eltotaltotal σσσ +=
: לסטי נקבלאלא פיזורעבור
( )( )
( )[ ]( ) ( )∑∑
∑∑
∫∑∑
∫∫
−+≈ →−++=
=−−++=−+=
=−−++=
==ΩΩ
≡
<
−
ll
kS
lll
llll
ll
lllll l
v
intotal
kSlk
kSkSlk
kSkSkSlk
kSlk
dPPkSkSllk
dfddd
l 22
1)(22
*22
2
2
'*
'2
1
1
2
)(1)12()(Re2)(1)12(
)()()(1)12(1)()12(
cos)(cos)(cos1)(1)()1'2)(12(2
cos)(2
ππ
ππ
θθθπ
θθπσσ
:נקבלבאותו אופן אילו עבור פיזור אלסטי ו
( )[ ]( ) [ ]( )
[ ]( )∑
∑∑
∑∑
−+=
=−+≈ →−++=
=−−++=−+=
=
ll
ll
kS
lll
llll
ll
eltotal
kSlk
kSlk
kSkSlk
kSkSkSlk
kSlk
l
)(Re1)12(2
)(Re22)12()(Re2)(1)12(
)()()(1)12(1)()12(
2
21)(2
2
*22
2
2
π
ππ
ππσ
0
θ= :ונפריד לשני חלקים מדומנ וממשי, עתה נתבונן על אמפליטודת הפיזור בזווית
( )∑∑
∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−+++=
=−+==−+==
00
00
1)](Re[)12(21)](Im[)12(
21
]1)()[12(21)1(cos]1)()[12(
21)0(
ll
ll
ll
lll
kSlik
kSlk
kSlik
PkSlik
f θθ
[ ]
: הוא0אפשר לראות שהחלק המדומה של אמפליטודת הפיזור בזווית
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
−+=−+−==00
)](Re[1)12(211)](Re[)12(
21)0(Im
ll
ll kSl
kkSl
kf θ
[ ]
לבין 0של אמפליטודת הפיזור בזווית בין החלק המדומה הבא המשפט האופטי מצביע על הקשר
: חתך הפעולה הכללי
[ ] [ ] eltotall f
kkSl
kf σθπθ ==⇒−+== ∑ )0(Im4))(Re1()12(
21)0(Im
73
)Lippmann Schwinger ( שווינגר -משוואת ליפמן
ננסה ליצור משוואת פיזור שאינה תלויה בזמן לשם כך נניח שאפשר לכתוב את ההמילטוניין
VHH .: באופן הבא += 0
0 : הוא המילטוניין של חלקיק חופשיכאשר H m
pE
mmPH
2;
22
20
222
0
rh
r
=∇
−≡=
0 כמובן שנוכחות . פשוטה של חלקיק חופשי עם תנע משוואה נקבלV= כלומר,בהעדר פיזור
≠0 .נות מאלו של חלקיק חופשי תגרום לקבלת אנרגיות עצמיות שוVשל פוטנציאל
Pr
לפיכך אנו מעוניינים למצוא . אם הפיזור הוא אלסטי לא צריך להיות שום שינוי באנרגיה, עם זאת
ע של " כך שנקבל אותם עפתרון של משוואת שרדינגר בעלת ההמילטוניין המלא
-כך שצב עצמי של הוא מφנניח , ליתר דיוק. אנרגיה 0Hφφ EH =0.
VHH += 0
:ונרצה לפתור את משוואת שרדינגר הבסיסית הבאה
(*)ψψ EVH =+0
VH +0
( )
פקטרומי אנרגיה מציגים ס וגם כשגם 0Hרציפים.
φψ→0 נקבל Vכך שכש(*) אנו מחפשים פתרון למשוואה →.
:הוא לכאורה(*) הפתרון המתקבל של משוואה , לאחר העברת אגפים
ϕψψ +−
= VHE 0
1
ל ושם " מן הסוג הנבפתרון הבלתי תלויה בזמן תורת ההפרעות פרק הקודם של כבר נתקלנו ב
.אולם פה טריק מן הסוג הלז לא יעבוד', יק של הכנסת אופרטור שלמות וכוכזכור השתמשנו בטר
.ע רציפים" מציגים עψ וגם φהסיבה לכך היא שגם
±εi : באופן הבאי הכנסת גורם מרוכב "הפתרון פה יתקבל ע, במקום זאת
)(
0
)( 1 ±±
±−+= ψ
εφψ V
iHE
. Lippmann Schwinger ידוע בשם משוואת ל"הביטוי הנ
xלשם כך נכפיל את המשוואה ב. אנו רוצים לקבל משוואה אינטגרלית עבור אמפליטודת פיזור
:מימין
'''''''''1
1
33)(
0
)(
0
)(
xdxdxxVxxiHE
xx
ViHE
xxx
±
±±
±−+=
=±−
+=
∫ ψε
φ
ψε
φψ
rrrrrr
vrv
היינו פוטנציאל (י קביעת פוטנציאל מקומי" נפשט אותה ע.קיבלנו משוואה אינטגרלית מסובכת
''')'()'''( :)דיאגונלי בהצגת המקום xxxVxVx rrrrr−= δ
74
:נציבו חזרה למשוואה ונקבל
'')'()',(
'')'('1
3)(
3)(
0
)(
xdxxVxxGx
xdxxVxiHE
xxx
±±
±±
∫
∫+
=±−
+=⇒
ψφ
ψε
φψ
rrrrr
rrrrrv
בהצגת . נסתכל על תכונות שלו. הוא פונקצית גרין כאשר האופרטור
) :קום המ )'xx rr−
εiHExxG
±−=±
0
1)',( rr
( ) ( )'22
' 320
22
0 xGxim
pm
xGxiEH rrm
rhrr
m =
−
∇−=− ±± δεε
( ) ) ובהצגת ה :תנע ) ( )qpqGpim
pm
pqGpiEH rrrrm
rrrr
m −=
−−=− ±± 3
20
2
0 22δεε
:מכאן מקבלים( )( )
εδ
ippqpmqGp
mrr
rrrr
20
2
32−
−=±
:כעת נחשב פונקציית גרין בהצגת המקום
( )( ) ( )
( )
( )
pdipp
emqdpdeippqpme
qdpdxqqGppxxGx
xxpixpixpi
320
2
'
333
'
20
2
3
3
33
222
21
''
∫∫
∫
−=
−−
=
==
−⋅−
⋅
±±
επεδ
π mrr
hmrr
rr
h
rrrrrrrr
rr
hh
rr
h
rr
:נחשב את פונקצית גרין לגלים יוצאים
( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )επ
απϕ
εθϕ
πεπ
θθ
αα
π
θπ
ippipeedppm
ieeanddwhen
ippeddppdmpd
ippemxGx
xxpixxpi
xixi
xxpixxpi
−−
−=
==
=−−
=−−
=
−−−∞
−∞
−
−
+
∫
∫∫
∫ ∫∫∫
20
2
cos'cos'
0
232
2
0
20
2
cos'
0
1
1
22
03
320
2
'
3
22
2
cos22
22'
hh
hh
rr
rrr
h
rrr
h
rrr
h
rrr
h
:כאשר הקטבים הם בנקודות
'2
1 00
020
20
20
2 εεεεε ipp
ippiippipp +≡+≈+=+=⇒+=
'1 020
20 εεε ip
piipp −−=+−=+−=
) : נקבל)פונקציות המקיימות (ועבור פונקציות זוגיות ) ( )dxxfdxxf ∫∫∞∞
∞−
=02
1
75
76
( )
( ) ( )
−−−
−−= ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−−−
+
εεπ ipppedp
ipppedp
imxGx
xxpixxpi
20
2
'
20
2
'
322'
rrr
h
rrr
h
h
hrr
'0
י מסלול סגור הנסגר בחצי המישור העליון המכיל את הקוטב "את האינטגרל הראשון נחשב ע
בחצי המישור התחתון דהיינו עבור י סגירת המסלול "ואת האינטגרל השני נחשב ע.
.
εip +
'0 εip −−
( )
:עבור האינטגרל הראשון השארית היא
( )
( )( )( )'
00
'
0'0
0 21
'''lim
xxpixxpi
ipp eippipp
peipprr
h
rrr
h −−
+→ =−−++
−−εε
εε
( )
:נחשב את השארית עבור האינטגרל השני כאשר נשים לב כי כיוון המסלול הוא עם כיוון השעון
( )
( )( )( )'
00
'
0'0
0 21
'''lim
xxpixxpi
ipp eippipp
peipprr
h
rrr
h −−−
−−→ =−−++
++εε
εε
:ולפי משפט השארית נקבל
( )( ) ( )
( )
( )'221
21
22'
'
2
''
32
000
xxemee
imixGx
xxpi
xxpixxpi
rrhh
hrrrr
hrr
h
rr
h
−=
+=
−−−+
πππ
:באותו אופן נוכל לחשב את פונקצית גרין לגלים נכנסים
( )
( )'2'
'
2
0
xxemxGx
xxpi
rrh
rrrr
h
−=
−−
−
π
( )
:נתון פוטנציאל יוקבה : דוגמאלr
errµ−
ρ−= 2V
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) 222
2
22
2
2
2
032
2
cos1
1
2
0 0
23
2
13
13
2
13
13
23
123
113
3223
2113
1
12
12
11122
cos222
1
21
111
21
hrr
h
rrh
rr
h
rr
h
rrhrr
hh
hhh
rr
h
rrrrrrrr
rr
h
rr
h
rr
h
rrr
h
rrr
h
rr
h
rr
h
µπρ
µπρ
µµπρ
πρ
θϕπρ
πρ
π
δπ
µ
θµπµ
+−
−=
+−
−=
=
−−−
+−−
−−
−=
−
−
=
====
=−==
∫
∫∫ ∫∫∫
∫∫
∞−−−−
−
−
−∞−−−−−
−−
pqpq
pqipqipqidr
pqi
eee
edr
edrrdxdx
eexdxVe
exdxxxVxdeqxxdxVxxdxpqVp
rrpqirpqi
rpqirxxqpixqpi
xqixpi