9/21/2019

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Electromagnetics:Electromagnetic Field Theory

Electrostatic Boundary Conditions

Outline

•General classes of electromagnetic materials•Boundary conditions for dielectric‐dielectric interface•Refraction of static fields at a dielectric‐dielectric interface•Boundary conditions for dielectric‐conductor interface• Examples

Slide 2

1

2

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General Classes of Electromagnetic 

Materials

Slide 3

Classification by Conductivity

Slide 4

Insulator

1

• No free charges• Opposes current• Most dielectrics are insulating

Conductor

1

• Many free charges• Easily conducts current• Most metals are conducting

Semiconductor

• Often switchable and tunable conductivity

• Silicon, gallium arsenide, etc.

3

4

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Boundary Conditions for Dielectric‐Dielectric 

Interface

Slide 5

What Are Boundary Conditions?

Slide 6

We often solve electromagnetic problems using differential equations.

22

2 0d E k Edz

2 2 2

2 2 2 0V V Vx y z

The problem is that derivatives are infinite at discontinuities.

x

5

6

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4

What Are Boundary Conditions?

Slide 7

We are forced to solve our differential equations in each homogeneous region separately.

…and then connect our solutions via boundary conditions.

x

221

12 0d E k Edz

2 2 21 1 1

2 2 2 0V V Vx y z

222

22 0d E k Edz

2 2 22 2 2

2 2 2 0V V Vx y z

1 2

1 2

Boundary Conditions0 0

0 0

E E

V V

Deriving Boundary Conditions

Slide 8

Integral equations do not require boundary conditions as long as they do not contain derivatives.

For this reason, we will derive our boundary conditions using Maxwell’s equations in integral form.

0L

E d

S

Q D ds

Boundary conditions for tangential electric fields.

Boundary conditions for normal electric fields.

7

8

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Analysis Setup

Slide 9

Let’s examine the interface between two different dielectrics.

1

2

1

2

Analysis Setup

Slide 10

1

2

1

2

We wish to examine the relation between electric fields on either side of the interface, so that if one is known the other can be calculated.

1E

2E

1,tE

1,nE

2,tE

2,nE

It will be useful to separate the field on either side of the interface into tangential and normal components.

Let’s examine the interface between two different dielectrics.

9

10

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Derivation of Tangential BCs

Slide 11

Apply the following integral to a closed path spanning some section of the interface.

1

2

1

2

1E

2E

1,tE

1,nE

2,tE

2,nE

0L

E d

0

00

0

b c

a bd a

c d

E d E d E d

E d E d E d

wh

a

b

c

d

1,t 1,n 2,n

2,t 2,n 1,n

2 2

2 2

h hE w E E

h hE w E E

Derivation of Tangential BCs

Slide 12

Cancel like terms with opposite sign.1

2

1

2

1E

2E

1,tE

1,nE

2,tE

2,nE

wh

a

b

c

d

1,t 1,n0 2hE w E 2,n 2

hE

2,t 2,n 2hE w E 1,n 2

hE

1,t 2,tE w E w

From this, it is concluded that the tangential component of 𝐸 is continuous across the interface.

1,t 2,tE E

11

12

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Derivation of Tangential BCs

Slide 13

Apply the constitutive relation to get the boundary condition for 𝐷.1

2

1

2

1E

2E

1,tE

1,nE

2,tE

2,nE

wh

a

b

c

d

1,t 2,tE E

1,t 2,t

1 2

D D

The tangential component of 𝐷 is NOT continuous across the interface, but the ratio of 𝐷 /𝜀 is.

Derivation of Normal BCs

Slide 14

Place some charge density s on the surface.

1

2

1

2

1D

2D

1,tD

1,nD

2,tD

2,nD

S

Q D ds

sApply the following surface integral to a pillbox spanning the interface.

S

h

top bottom sides

Q D ds D ds D ds

Separate the closed‐surface integral into three separate surface integrals.

13

14

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Derivation of Normal BCs

Slide 15

In the limit as h 01

2

1

2

1D

2D

1,tD

1,nD

2,tD

2,nD

sS

h

top bottom sides

Q D ds D ds D ds

1,n 2,n D S D S

The total charge encompassed within the pillbox is

sQ S

Putting these together gives

s 1,n 2,nS D S D S

Derivation of Normal BCs

Slide 16

The final boundary condition is then1

2

1

2

1D

2D

1,tD

1,nD

2,tD

2,nD

sS

h

s 1,n 2,nS D S D S

1,n 2,n sD D

In the absence of charge (i.e. s = 0)

1,n 2,n s 0D D

15

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Derivation of Normal BCs

Slide 17

Apply the constitutive relation to get the boundary condition for 𝐸.1

2

1

2

1D

2D

1,tD

1,nD

2,tD

2,nD

sS

h

1,n 2,n sD D

1 1,n 2 2,n sE E

In the absence of charge (i.e. s = 0)

1 1,n 2 2,n s 0E E

The normal component of 𝐸 is NOT continuous across the interface, but the product of 𝜀𝐸 is.

Refraction of Static Fields at a Dielectric‐Dielectric Interface

Slide 18

17

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Analysis Setup

Slide 19

We want a single equation that relates 1, 2, 1, and 2 without any field quantities in the equation.

1

2

1

2

1E

1,tE

1,nE

2,tE

2,nE

1,tD

1,nD

2,tD 2,nD

1D

2E

2D

1

2Given the angles 1 and 2, the field components can be written as

1 1,t t 1,n nˆ ˆE E a E a

1 1 t 1 1 nˆ ˆsin cosE a E a

2 2,t t 2,n nˆ ˆE E a E a

2 2 t 2 2 nˆ ˆsin cosE a E a

Derivation of Refraction Law

Slide 20

Apply the boundary conditions for tangential components.

1

2

1

2

1E

1,tE

1,nE

2,tE

2,nE

1,tD

1,nD

2,tD 2,nD

1D

2E

2D

1

2

1,t 2,tE E

1 1 2 2sin sinE E

Apply the boundary conditions for normal components.

1 1,n 2 2,nE E

1 1 1 2 2 2cos cosE E

19

20

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Derivation of Refraction Law

Slide 21

We now have1

2

1

2

1E

1,tE

1,nE

2,tE

2,nE

1,tD

1,nD

2,tD 2,nD

1D

2E

2D

1

2

1 1 2 2sin sinE E

Divide these equations to get

1 1 1 2 2 2cos cosE E

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

sin sincos cos

E EE E

Simplify

1 2

1 2

tan tan

This is NOT Snell’s law.

Boundary Conditions for Dielectric‐

Conductor Interface

Slide 22

21

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Analysis Setup

Slide 23

We start like we did for the dielectric‐dielectric interface.

1

2

1

2

1E

2E

1,tE

1,nE

2,tE

2,nE

Assume the conductor is perfect.

Recall Ohm’s law

J E

In order for 𝐽 not to be infinite, 𝐸 0inside the conductor.

Analysis Setup

Slide 24

If E2,t is zero, then1

2

1

2

1E

1,tE

1,nE

1,t 0E

23

24

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Analysis Setup

Slide 25

There can only be a normal component for the electric field at the interface with a perfect conductor.

1

2

1

2

1 1,nE E

1 1,n nˆE E a

Notes About Perfect Conductors

•No electric field can exist inside of a perfect conductor (i.e. 𝐸 0).• Electric potential V is constant throughout a perfect conductor (i.e. 2V = 0).• The electric field at the boundary has no tangential component.  The electric field can only be normal at the interface to a metal.

Slide 26

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Examples

Slide 27

Example #1

Slide 28

Let there be an interface between two semi‐infinite media in the x‐y plane.  The dielectric constant of the first medium is 2.0 and the second medium is 4.4.

1. Given that the electric flux density in medium 1 is 𝐷 2.1𝑎 0.7𝑎 1.5𝑎 , calculate the electric flux density in medium 2, 𝐷 .

2. Calculate the angle 𝐷 makes with the interface.3. Using the law of refraction, calculate the angle 𝐷 makes with the interface.

27

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Example #1 – Problem Setup

Slide 29

Start by visualizing the problem and setting up the coordinates.

Example #1 – Problem Setup

Slide 30

We start by visualizing the problem and setting up the coordinates.

Plot     .1D

1 ˆ ˆ ˆ2.1 0.7 1.5x y zD a a a

29

30

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Example #1 – Part 1

Slide 31

Separate 𝐷 into tangential and normal components.

1,t ˆ ˆ2.1 0.7x yD a a

1,n ˆ1.5 zD aTangential Normal

1 ˆ ˆ ˆ2.1 0.7 1.5x y zD a a a

Example #1 – Part 1

Slide 32

Apply boundary condition for normal component.

2,nˆ1.5 za D

1,n 2,nD D

31

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Example #1 – Part 1

Slide 33

Apply boundary condition for tangential component.

2,t 4.4 ˆ ˆ2.1 0.72.0 x yD a a

1,t 2,t

1 2

D D

22,t 1,t

1

D D

2,t ˆ ˆ4.62 1.54x yD a a

Example #1 – Part 1

Slide 34

Gather both components to get overall 𝐷 .2 2,t 2,nD D D

2 ˆ ˆ ˆ4.62 1.54 1.5x y zD a a a

2 ˆ ˆ ˆ4.62 1.54 1.5x y zD a a a

33

34

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Example #1 – Part 2

Slide 35

Calculate the angle 1 of 𝐷 .

cos ABA B A B

Recall the property of dot products.

1

1

ˆzAB

A D

B a

We can calculate 1 by letting

Our dot product becomes

1 1 1ˆ ˆ cosz zD a D a

Example #1 – Part 2

Slide 36

Continued…Solve the dot product equation for 1.

1 1 1ˆ ˆ cosz zD a D a

1 1coszD D

11

1

cos zDD

1

1 2 2 2

1.5cos2.1 0.7 1.5

1 55.9

35

36

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Example #1 – Part 2

Slide 37

Calculate the angle 2 of 𝐷 .

1 2

1 2

tan tan

The law of refraction is

Solving this for 2 gives

1 22 1

1

tan tan

12

4.4tan tan 55.92.0

2 72.9

37