6/2/2018

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Lecture 9 Slide 1

EE 5303

Electromagnetic Analysis Using Finite‐Difference Time‐Domain

Lecture #9

Examples of One‐Dimensional FDTD These notes may contain copyrighted material obtained under fair use rules.  Distribution of these materials is strictly prohibited  

Lecture Outline

Lecture 9 Slide 2

• Review of Lecture 8

– FDTD Algorithm

– Code walkthrough

• Simple Electromagnetic Structures

• Two Examples

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2

Lecture 9 Slide 3

Review of Lecture #8

Lecture 9 Slide 4

Typical FDTD Grid Layout

Note: A real grid would have 200 or more points.

PAB PAB

bcnbcn

max min and n n

Total‐FieldScattered‐Field

TF/SF Interface

src src and k kr r

Source Injection Point

Transmission Record Point

Reflection Record Point

Structure Being Modeled

Spacer Region

max

Spacer Region

max

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3

Lecture 9 Slide 5

Initializing the FDTD Simulation

Compute Source

max 0

2

0,src

src

0

2

0,src

0.5 6

exp

2 2

exp

y

r

r

x

f t

t tE t

n z tA t

c

t t tH t A

Initialize Simulation

• Initialize MATLAB• Define units• Define constants

Initialize Fourier Transforms2 0ij f t

i iK e F

Define Simulation Parameters

• Frequency range (fmax)• Device parameters• Grid parameters (NRES, etc.)

Compute Grid Resolution

min min10

min , 1dd

Nd

NN N

Initial resolution

ceil c cN d d N

Snap grid to critical dimension

Build Device on Grid

Refer to Lecture 3.

Compute Time Step

bc 02zt n c

Compute Update Coefficients

0 0 k k

Ey Hxk k

xxyy

c t c tm m

Initialize Fields to Zero

0y xE H

Initialize Boundary Terms to Zero

3 2 1 3 2 1e e e 0h h h

Lecture 9 Slide 6

The Main FDTD Loop

noDone?

, ,m i j ki i i yt t t t tF F t K E

Update Fourier Transforms

Update H (Perfectly Absorbing Boundary)

2 2

2 2

1

3e

z z

t t

zz

t t

k k k kk

Hx zt tt t

NN

Hx ztt t

x x

N Nx x

y y

y

m z k N

m

E E

E

H

zH N

H

H k

Handle H Sourcesrc

src srsrc

c

2 2

1

1 1,srct t

k

Hxk kx xt t

k

y t

mH H

zE

Record H at Boundary

2

1

2 1 1 tx t

h h h H

Update E (Perfectly Absorbing Boundary)

2 2

23

1

11 1 1

1

1

t t

t

k kk k k

Eyt t t t t

Eyt t t

y

y

x

t

y x

xy

E m H H

H h

E

E E

z k

m z k

Handle E Source

src

src sr sr

2

c c 1srct

k

k k Ey

y y

k

t xt t t t

mE E

zH

Record E at Boundary

2 1 1 z

y

N

te Ee e

Visualize Simulation

• Superimpose fields on materials• Show reflectance, transmittance and conservation

• Update only after some number of iterations

yes

z

z

f

Loop over time

t

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Lecture 9 Slide 7

The Main FDTD Loop (Pseudo Code)% MAIN FDTD LOOPfor T = 1 : STEPS

% Record H-Field at BoundaryH2Hx(1)

% Update H from Efor nz = 1 : Nz

Update Hx(nz)end

% H SourceCorrect Hx(nz_src-1)

% Record E-Field BoundaryE2Ey(Nz)

% Update E from Hfor nz = 1 : Nz

Update Ey(nz)end

% E SourceCorrect Ey(nz_src)

% Update Fourier Transformsfor nf = 1 : NFREQ

Integrate REF(nf), TRN(nf), and SRC(nf)end

% VisualizePlot fields, materials, and response

end

Lecture 9 Slide 8

Post Processing

Finished!

Compute Response

2

ref

src

2

trn

src

FFT

FFT

F fR f

E t

F fT f

E t

C f R f T f

Visualize Results

• Superimpose fields on materials• Show reflectance, transmittance and conservation

• Show response on linear and dB scale

noDone?

yes

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Outline of Steps for FDTD Analysis

• Step 1: Define problem– What device are you modeling?

– What is its geometry?

– What materials is it made of?

– What do you want to learn about the device?

• Step 2: Initialize FDTD– Compute grid resolution

– Assign materials values to points on the grid

– Compute time step

– Initialize Fourier transforms

• Step 3: Run FDTD

• Step 4: Analyze the data

Lecture 9 Slide 9

Lecture 9 Slide 10

Step 1: Define the Problem

What device are you modeling?  –A dielectric slabWhat is its geometry?  –1 foot thick slabWhat materials it is made from?  –r=2.0, r=6.0 (outside is air)What do you want to learn?  –reflectance and transmittance

from 0 to 1 GHz

2.0, 6.0r r

Air

Air

1.0 ft

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6

Lecture 9 Slide 11

Step 2: Compute Grid (1 of 2)

Initial Grid Resolution (Wavelength)

max

m0 s

minmax max

min

20

2.0 6.0 3.46

299792458 8.6543 cm

1.0 GHz 3.46

8.6543 cm0.4327 cm

20

r r

N

n

c

f n

N

Initial Grid Resolution (Structure)

4

30.48 cm7.6200 cm

4

d

dd

N

d

N

Initial Grid Resolution (Overall)

min , 0.4327 cmdz

2.0, 6.0r r

Air

Air

1.0 ft

Lecture 9 Slide 12

Step 2: Compute Grid (2 of 2)

Snap Grid to Critical Dimension(s)

30.48 cm70.44 cells

0.4327 cmcdNz

The number of grid cells representing the thickness of the dielectric slab is

It is impossible to represent the thickness of the slab exactly with this grid resolution.

To represent the thickness of the slab exactly, we round N’ up to the nearest integer and then calculate the grid resolution based on this quantity.

round 71 cells

30.48 cm0.4293 cm

71c

N N

dz

N

2.0, 6.0r r

Air

Air

1.0 ft

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7

Lecture 9 Slide 13

Step 2: Build Device on the Grid (1 of 2)

Determine Size of Grid

71 2 10 cells 3 94 cellszN

We need to have enough grid cells to fit the device being modeled, some space on either side of the device (10 cells for now), and cells for injecting the source and recording transmitted and reflected fields.

slab will go herespace space

record transmission

record reflection

TF/SF Source

TRN/REF/SRC cells

spacer regions

cells for device

Lecture 9 Slide 14

Step 2: Build Device on the Grid (2 of 2)

Compute Position of Materials on Grid

,1

,2 ,1

2 10 1 13

round 1 13 71 1 83

z

z z

n

n n d z

,1zn ,2zn

Add Materials to Grid

,1zn ,2zn

UR(nz1:nz2) = ur;ER(nz1:nz2) = er;

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Lecture 9 Slide 15

Step 2: Initialize FDTD (1 of 2)

Compute the Time Step

12bc

m0 s

1.0 0.4293 cm7.1599 10 sec

2 2 299792458

n zt

c

Compute Source Parameters

10

max

90

1 15.00 10 sec

2 2 1 GHz

6 3.00 10 sec

f

t

0 6 Rule of thumbt

Compute Number of Time Steps

9maxprop m

0 s

10 9 8prop

3.46 94 0.4293 cm4.6629 10 sec

299792458

12 5 12 5 10 s 5 4.6597 10 s 2.9314 10 sec

STEPS round 4095

zn N zt

c

T t

T

t

prop12 5 Rule of thumbT t

STEPS must be an integer

Time it takes a wave to propagate across the grid.

Lecture 9 Slide 16

Step 2: Initialize FDTD (2 of 2)

Compute the Source Functions for Ey/Hx Mode

src

src

11src

0

2 2

0 0

3 1.01.0740 10 sec 1

2 2 2 1.0

exp exp

krkr

y x

n z t tt A

c

t t t t tE t H t A

Initialize the Fourier Transforms

% INITIALIZE FOURIER TRANSFORMSNFREQ = 100;FREQ = linspace(0,1*gigahertz,NFREQ);K = exp(-i*2*pi*dt*FREQ);REF = zeros(1,NFREQ);TRN = zeros(1,NFREQ);SRC = zeros(1,NFREQ);

% COMPUTE GAUSSIAN SOURCE FUNCTIONSt = [0:STEPS-1]*dt; %time axisdelt = nsrc*dz/(2*c0) + dt/2; %total delay between E and HA = - sqrt(ersrc/ursrc); %amplitude of H fieldEsrc = exp(-((t-t0)/tau).^2); %E field sourceHsrc = A*exp(-((t-t0+delt)/tau).^2); %H field source

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9

Lecture 9 Slide 17

Step 3: Run FDTD (3 of 3)

Lecture 9 Slide 18

Step 4: Analyze the Data

Normalize the Data to the Source Spectrum

t

src

src

r

rn

2

2

ef

FFT

FFT

F fR

E t

E t

f

R f

F fT

f

f

fC T

% COMPUTE REFLECTANCE % AND TRANSMITTANCEREF = abs(REF./SRC).^2;TRN = abs(TRN./SRC).^2;CON = REF + TRN;

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Lecture 9 Slide 19

Simple Electromagnetic 

Structures

Lecture 9 Slide 20

Reflection and Transmission at an Interface

2 1 2

2 1 2 1

2 r t

Reflection and Transmission CoefficientsAt normal incidence, the field amplitude of waves reflected from, or transmitted through, an interface are related to the incident wave through the reflection and transmission coefficients.

Reflectance and TransmittanceThe reflectance and transmittance quantify the fraction of power that is reflected from, or transmitted through, an interface.

2 2 R r T t

1

2

Useful Special Cases

For r=9.0 and r=1.0, R=25% and T=75%.For r=1.0 and r=9.0, R=25% and T=75%.For r=9.0 and r=9.0, R=0% and T=100%.

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Lecture 9 Slide 21

Anti‐Reflection Layer

1 1,n 2 2,n

1 1,n 2 2,n ar ar,n

L

ar 1 2

0

ar4L

n

General Case

ar 1 2

0

ar4

n n n

Ln

No magnetic response

Lecture 9 Slide 22

Bragg Gratings

Ln Ln Ln LnHnHnHnHn

LLHL LLHL LLHL LLHL

A Bragg grating is typically composed of alternating layers of high and low refractive index.  Each layer is /4 thick.  Higher index contrast provides wider stop band.  More layers improves suppression in the stop band.

0

0

4

4

LL

HH

Ln

Ln

stop band

0

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Lecture 9 Slide 23

Example #1:  The Invisible Slab

Lecture 9 Slide 24

Design Problem

A radome is being designed to protect an antenna operating at 2.4 GHz.  For mechanical reasons, it must be constructed from 1 ft thick plastic with dielectric constant 12.  How could you modify the design to maximize transmission through the radome?  Simulate the design using 1D FDTD.

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Lecture 9 Slide 25

A Solution

Add anti‐reflection layers to both sides of the radome.

1

2

2

Lecture 9 Slide 26

The Design

To match the slab material to air on both sides, the dielectric constant and thickness of the anti‐reflection layers should be 

1

2

2

2d

2d

2 1 air

2 2

m0 s

0 90

ms

9

02

2

12 1 3.46

3.46 1.86

299792458

2.4 10 Hz

299792458 12.49 cm

2.4 10 Hz12.49 cm

1.6779 cm4 4 1.86

n

c

f

dn

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Lecture 9 Slide 27

FDTD Simulation

Lecture 9 Slide 28

Final Transmittance/Reflectance/Conservation

Frequency (GHz)

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Lecture 9 Slide 29

Example #2:  The Blinded Missile

Lecture 9 Slide 30

Design Problem

A heat‐seeking missile is vulnerable to jamming from high power lasers operating at 0=980 nm.  Design a multilayer cover that would prevent this energy from reaching the infrared camera.  The design should provide at least 30 dB of suppression at 980 nm.  Simulate the design using 1D FDTD.  The only materials available to you are SiO2 (nSiO2 = 1.5) and SiN (nSiN = 2.0).

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Lecture 9 Slide 31

A Solution

Use a Bragg grating with alternating layers of SiO2 and SiN.

2n

1n

1n

1n

1n

2n

2n

2n

2SiO

SiN

1.5

2.0

n

n

SiN

SiO2

SiN

SiO2

SiN

SiO2

SiN

SiO2

2d

1d

Lecture 9 Slide 32

The Design

2n

1n

1n

1n

1n

2n

2n

2n

2d

1d

01

1

02

2

980 nm163 nm

4 4 1.5

980 nm122 nm

4 4 2.0

dn

dn

SiN

SiO2

SiN

SiO2

SiN

SiO2

SiN

SiO2

But how many layers?

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Lecture 9 Slide 33

Number of Layers for 30 dB Suppression

10 periods, barely 20 dB   20 periods, 45 dB!  Yikes!!

15 periods, 30 dB.  

In practice, you may want to include a few extra layers as a safety margin.  

Manufacturing inaccuracies often degrade performance.

Lecture 9 Slide 34

FDTD Simulation Results