10/20/2016

1

Lecture 14 Slide 1

EE 5303

Electromagnetic Analysis Using Finite‐Difference Time‐Domain

Lecture #14

3D Update Equations with Uniaxial PML These notes may contain copyrighted material obtained under fair use rules.  Distribution of these materials is strictly prohibited  

Lecture Outline

Lecture 14 Slide 2

• Review of Lecture 13

• Conversion to the time‐domain

• Numerical approximations

• Derivation of the update equations

• Summary of all update equations

10/20/2016

2

Lecture 14 Slide 3

Review of Lecture 13

Lecture 14 Slide 4

No PAB in Two DimensionsIf we model a wave hitting some device or object, it will scatter the applied wave into potentially many directions.  Waves at different angles travel at different speeds through a boundary.  Therefore, the PAB condition can only be satisfied for one direction, not all directions.

fastest

slowest

x

y

10/20/2016

3

Lecture 14 Slide 5

Anisotropy to the Rescue!!It turns out we can prevent reflections at all angles, all frequencies, and for all polarizations if we allow our absorbing material to be diagonally anisotropic.

and

and

x

y

Lecture 14 Slide 6

The PML Parameters (1 of 2)We need to generalize our PML for waves incident on all boundaries.

0 0

0 0

0 0

y z

x

x z

y

x y

z

s s

s

s sS

s

s s

s

0

0

0

1

1

1

xx

yy

zz

xs x

j

ys y

j

zs z

j

10/20/2016

4

Lecture 14 Slide 7

The PML Parameters (2 of 2)The loss terms should increase gradually into the PMLs.

33 3

0 0 0 2 2 2x y z

x y z

x y zx y z

t L t L t L

? length of the PMLL

x x y y x

y

Lecture 14 Slide 8

Maxwell’s Equations with PML

1

0

0 0 0

1

0

0 0 0

0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

y yzx zx

xx

y x zx zy

yy

yx

EEcj H

j j j y z

E Ecj H

j j j z x

jj j

1

0

0

y xzz

zz

E EcH

j x y

x xx x

y yy y

z zz z

D E

D E

D E

1

00 0 0 0

1

00 0 0 0

0 0

1 1 1

1 1 1

1 1

y yzx xxzx x

y yyx zx zy y

yx

HHj D c E

j j j y z

H Hj D c E

j j j z x

jj j

1

00 0

1 y xz zzz z

H HD c E

j x y

0

rE j S Hc

rD E

00

jH E S D

c

10/20/2016

5

Lecture 14 Slide 9

Conversion to the Time‐Domain

Lecture 14 Slide 10

Assume No Loss (=0)

1

0

0 0 0

1

0

0 0 0

0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

y yzx zx

xx

y x zx zy

yy

yx

EEcj H

j j j y z

E Ecj H

j j j z x

jj j

1

0

0

y xzz

zz

E EcH

j x y

x xx x

y yy y

z zz z

D E

D E

D E

1

00 0 0

1

00 0 0

1

0 0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

y yzx zx

y x zx zy

yx z

HHj D c

j j j y z

H Hj D c

j j j z x

jj j j

0

y xz

H HD c

x y

0

rE j s Hc

rD E

00

jH E s D

c

10/20/2016

6

Lecture 14 Slide 11

Recall Fourier Transform Properties

1

aa

a

t

g t G

ag t aG

dg t j G

dt

g d Gj

F

F

F

F

Lecture 14 Slide 12

Prepare Maxwell’s Equations for Conversion (1 of 2)

1

0

0 0 0

1 1 1y yzx zx

xx

EEcj H

j j j y z

We will start with this equation.  The procedure for all other equations has the same basic steps.

The equation now becomes

First, let

yzEx

EEC

y z

1

0

0 0 0

1 1 1y Ex zx x

xx

cj H C

j j j

10/20/2016

7

Lecture 14 Slide 13

Prepare Maxwell’s Equations for Conversion (2 of 2)

The inverse term on the left is brought to the right.

The equation is then expanded by multiplying all of the terms.

1

0

0 0 0

0

0 0 0

1 1 1

1 1 1

y Ex zx x

xx

y Exzx x

xx

cj H C

j j j

cj H C

j j j

0 02

0 0 0

1 1y z y z E Exx x x x x

xx xx

c cj H H H C C

j j

For easy conversion to the time‐domain, we want all the terms to be multiplied by (j)a.

Lecture 14 Slide 14

Convert Each Term to Time‐Domain Individually

020

0

00

1 1y z Ex

x

Exx

xx

yx xx

x

z Hc

Cj

HcCj

jH

0 0

0

0

2 2

0

0

0 0

0

0

1

1

E Ex

tE Ex x

y z y zx x

x xxx x

ty z y z

xx

x

x

x

x

x

x

xx

H H dj

H tj

c cC

c cC C

Ht

C

t

H

dj

H t

10/20/2016

8

Lecture 14 Slide 15

The Time‐Domain Equation with PML

020

0

00

1 1y z Ex

x

Exx

xx

yx xx

x

z Hc

Cj

HcCj

jH

0

0

0

002

tExx

x

ty E

xxx

xzzx y

xx

cCH d

cH t

H t

tC t d

20 0

0 0

0

ty z y zx

x x

tE Exx x

xx xx

H tH t H d

t

c cC t C d

Lecture 14 Slide 16

Summary of All Time‐Domain Equations

0 02

0 0 0

002

0 0 0

t t

y z y z y yz zxx x x

xx xx

t

yx z x zx z x zy y y

yy yy

E t EE t Ec cH t H t H d dt y z y z

cE t E t E EcH t H t H dt z x z x

0 02

0 0 0

t

t t

x y x y y yx xzz z z

zz zz

d

E t EE t Ec cH t H t H d dt x y x y

002

0 0 0

002

0 0 0

t t

y z y z y yz zxx x x

t t

yx z x zx z x zy y y

z

H t HH t HcD t D t D d c dt y z y z

cH t H t H HD t D t D d c dt z x z x

D tt

002

0 0 0

t t

x y x y y yx xzz z

H t HH t HcD t D d c d

x y x y

x xx x

y yy y

z zz z

D t E t

D t E t

D t E t

10/20/2016

9

Lecture 14 Slide 17

Numerical Approximations

Lecture 14 Slide 18

We Will Handle Each Term Separately

0 02

0 0 0

t ty z y zx E Ex

x x x xxx xx

H t c cH t H d C t C d

t

The first governing equation in the time‐domain was

The terms listed separately are:

0

20

0

0

0

Term 1:

Term 2:

Term 3:

Term 4:

Term 5:

x

y zx

ty z

x

Ex

xx

tExx

xx

H t

t

H t

H d

cC t

cC d

10/20/2016

10

Lecture 14 Slide 19

Term 1

We previously approximated this term using finite‐differences as follows.

, , , ,

2 2

i j k i j k

x xt t t txH HH t

t t

Lecture 14 Slide 20

Term 2

The trick here is that we need to interpolate the H field at time t.  We do this by averaging the values at time t+t/2 and t-t/2.

, , , , , , , ,

2 2

0 0 2

i j k i j k i j k i j kH HH Hx xy z t t t ty z

x

H HH t

10/20/2016

11

Lecture 14 Slide 21

Term 3 (1 of 3)

We approximate the integral in this equation with a summation.

2 20 0

2, ,

220

t ty z y z

x x

H H t ti j ky z

x TT t

H d H d

H t

We have a problem.  The summation includes up to t+t/2, but the integral only goes up to t.  We are accidentally integrating too far.  This happened because the summation is integrating a term that exists at the half time steps.

Lecture 14 Slide 22

Term 3 (2 of 3)

We pull out the last term in the summation.

2, ,

2, ,

2 220 0

, ,

22

20 2

H H t tti j ky z y z

x x TT t

H Hi j ky

t tz

x TT t

i j k

x t t

tH

H d H t

H t

We force the extracted term to only integrate over half of a time step.

2

, ,

2 2

, , ,

20 0

,

2 2

2 2

i j k i j k

x xt t tH H t tt

i j ky z y zx x T

T

t

t

H d HH H t

t

H field interpolated at time tHalf time step.

10/20/2016

12

Lecture 14 Slide 23

Term 3 (3 of 3)

We factor out the t term.

The end‐time on this summation implies that we will update the summation beforeupdating the H field.

, , , ,

2, ,2 2

2 220 0 4

i j k i j kH H t tt x x i j kt t t ty z y zx x T

T t

H HtH d H

Lecture 14 Slide 24

Term 4

We approximated this term using finite‐differences in a previous lecture.

, ,0 0

, ,

i j kE Ex xi j k t

xx xx

c cC t C

, 1, , , , , 1 , ,

, ,

i j k i j k i j k i j k

i j k z z y yE t t t tx t

E E E EC

y z

Recall that the curl term is

10/20/2016

13

Lecture 14 Slide 25

Term 5

We approximate the integral in this equation with a summation.

0 0

0 0

, ,

, ,0

, ,00

, ,

, ,0

, ,00

t tE Ex xx x

xx xx

i j kH t i j kx Exi j k T

Txx

i j kH t i j kx Exi j k T

Txx

c cC d C d

cC t

c tC

There are no problems with this summation because it is integrating a term that exists at integer time steps.

The end‐time on this summation implies that we will update the summation before

updating the E field.

Lecture 14 Slide 26

Putting it All Together

Putting all the terms together, the equation is

0 02

0 0 0

t ty z y zx E Ex

x x x xxx xx

H t c cH t H d C t C d

t

, , , ,, , , , , , , , , , , ,2

, ,2 2 2 2 2 2

220 02 4

i j k i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j kH H H H t tx x x x x x i j ky zt t t t t t t t t t t ty z

x TT t

H H H H H HtH

t

, ,

, , , ,00, , , ,

00

i j kH ti j k i j kxE Ex xi j k i j kt T

Txx xx

c tcC C

10/20/2016

14

Lecture 14 Slide 27

Summary of All Numerical Equations

, , , , , , , ,, , , , ,, , , ,2 , ,, , , , , , 02 2 02 2

, ,220 0 2 2

1

2 4

i j k i j k i j k i j k ti j k i j k i jH Hi j k i j k tH H Ht tx x y zt t i j kx x i j k i j k i j ky z xt t t t Et tx x x xi j kT tt t

T t xx

H H tH H c tcH H H C

t

,

, ,

, ,00

, , , , , , , ,, , , , , , , ,2, , , , , ,2 2 02 2

222 20 0

1

2 4

kt i j kE

xi j k TTxx

i j k i j k i j k i j k ti j k i j k i j k i j k H H tH H t ty y x zt ty y i j k i j k i j kx zt t t tt ty y yt t T

T ty

C

H H tH H cH H H

t

, ,

, , , ,0

, , , ,0

0

, , , , , , , ,, , , ,, , , ,

, , , , , ,2 2 2 22

0 0 2 2

1

2 4

i j kH ti j k i j kyE Ey yi j k i j kt T

Ty yy

i j k i j k i j k i j ki j k i j k H Hi j k i j k H H t tz z x yt tz z i j k i j k i j kx yt t t tt tz z z Tt t

T

c tC C

H H tH HH H H

t

, ,2 , , , ,00

, , , ,2 00

t i j kt H ti j k i j kzE Ez zi j k i j kt T

t Tzz zz

c tcC C

, , , ,, , , , , , , ,, , , , , , 2

, , , , , , , , , ,0

0200 0 0 2

,

1

2 4

ti j k i j k ti j k i j k i j k i j ki j k i j k i j kD DD D Dty z i j k i j k i j k i j k i j kx x x xy z xH Ht t t t t tx x x x xt Tt t t T

TT t

i

y t t

tD D D D c tD D D c C C

t

D

, , , ,, , , , , , ,, , , , , , 2

, , , , , , , , , ,0

0200 0 0 2

, ,

1

2 4

ti j k i j k tj k i j k i j k i j ki j k i j k i j kD DD D Dtx z i j k i j k i j k i j k i j ky y yx z yH Ht t t ty y y y yt Tt t t T

TT t

i j k i

z zt t t

tD D D c tD D D c C C

t

D D

, , , ,, , , , , ,, , , , , , 2

, , , , , , , , , ,0

0200 0 0 2

1

2 4

ti j k i j k tj k i j k i j ki j k i j k i j kD DD D Dtx y i j k i j k i j k i j k i j kz zx y zH Ht t tz z z z zt Tt t t T

TT t

tD D c tD D D c C C

t

, , , ,, ,

, , , ,, ,

, , , ,, ,

i j k i j ki j k

x xx xt t t t

i j k i j ki j k

y yy yt t t t

i j k i j ki j k

z zz zt t t t

D E

D E

D E

Lecture 14 Slide 28

Derivation of the Update Equations

10/20/2016

15

Lecture 14 Slide 29

The Starting Point

Just as before, we solve the numerical equation for the future time value of H.  This term appears three times and these must be collected.

, , , ,, , , , , , , ,

2 2 2 2

0

, , , ,

2, , , , , ,

2 2 220

, ,0 0, ,

0

2

1

4

i j k i j ki j k i j k i j k i j kH Hx x x xy zt t t t t t t t

i j k i j k tH H ty z i j k i j k i j k

x x xt t t t TT t

i j k xExi j k t

xx

H H H H

t

tH H H

c c tC

, ,

, ,

, ,

0

i j k tHi j kE

xi j k txx T

C

Lecture 14 Slide 30

Expand the Equation

We start by expanding the equation by multiplying all of the terms.

, , , , , , , ,

, , , ,

20 0 2

, , , , , , , , , ,

, , , ,

22

, ,

2 2

, ,

20 0 2

1 1

2 2

4 4

i j

i j k i j k i j k i j kH H H Hi j k i j ky z y z

tx xt t t

i j k i j k i j k i j k i j kH

k i j k

tx xt

H H H H Hy z y z y zi

t t

i j k

txt

j k

txt

H Ht t

t t

H

H

H

H

, ,

2, ,

220

, ,

, , , ,0 0, , , ,

0 0

i j k tt

i j k

x TT t

i j k tHi j k i j kxE E

x xi j k i j kt txx xx T

tH

c c tC C

, , , , , ,, , , ,, ,2

, , , ,2 22

20

, ,, ,

, ,2 2

20 2

1

2 4

i j k i j k i j k ti j k i j k H Hi j k tH H tx y ztx i j k i j k

i j ki j k tx

tx i j kt t y zt ttxt x Tt

tt

Tx

HHH

H

H Ht

H t

, ,

, , , ,0 0, , , ,

0 0

i j k tHi j k i j kxE E

x xi j k i j kt txx xx T

c c tC C

10/20/2016

16

Lecture 14 Slide 31

Collect Common Terms

Next we collect the coefficients of the common field terms.

, , , , , , , ,

, , , ,

20 0 2

, , , , , , , , , ,

, , , ,

22

, ,

2 2

, ,

20 0 2

1 1

2 2

4 4

i j

i j k i j k i j k i j kH H H Hi j k i j ky z y z

tx xt t t

i j k i j k i j k i j k i j kH

k i j k

tx xt

H H H H Hy z y z y zi

t t

i j k

txt

j k

txt

H Ht t

t t

H

H

H

H

, ,

2, ,

220

, ,

, , , ,0 0, , , ,

0 0

i j k tt

i j k

x TT t

i j k tHi j k i j kxE E

x xi j k i j kt txx xx T

tH

c c tC C

, , , ,, , , ,

20 0

, , , ,, , , ,

, ,

20 0 2

, , , ,

,

2

20

,1

2 4

1

2 4

i j k i j ki j k i j k H HH Hy zy z

i j k i j ki j k i j k H HH Hy z i j ky z

txt

i j k i j kH H

i j k

tx

y z

t

x

Ht

t

tH

t

tH

, ,2 , , , ,, , 0 0

, , , ,2 0 0

t i j kt tHi j k i j ki j k xE E

x xi j k i j kT t tT t xx xx T

c c tC C

Lecture 14 Slide 32

Solve for the Future H Field

Solving our numerical equation for the H field at t+t/2 yields

, , , ,, , , ,

2 , ,0 0

, , 0

, , , ,, , , , , , , ,2

20

2

0

,

0

,

12 4

1 1

2 4 2

i j k i j ki j k i j k H HH Hy zy z

i j ki j k xx

txi j k i j k ti j k i j k i j k i j kH HH

i j k

H H Hy z yy z y

txt

z

t

t cH

t

t

H

t

, ,

, , , ,

20

, ,

, , , ,0, , 2

, ,0 0, , , ,, , , ,

0

20 0

4

+

1 12 4

i j kExi j k i j k tH H

z

i j kHx i j k i j kH H

ti j k y zi j kxx E

xi j k i j k ti j k i j k H HH H HTy zy z y

Ct

c t t

Ct

t t

2

, ,

, , , ,, , , , 2

20 02 4

tt

i j k

xi j k i j k Ti j k i j k H HH T ty zz

Ht

This is the largest equation in the entire course!  

10/20/2016

17

Lecture 14 Slide 33

Final Form of the Update Equation for Hx

, , , , , , , ,, , , , , , , ,

, , , ,

0 1 , ,2 20 0 0 00

, , 02 , , , ,

0

1 1 1

2 4 2 4

1

i j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j kH H H HH H H Hy z y zi j k i j ky z y z

Hx Hx i j k

Hx

i j k

Hx i j k i j k

Hx xx

t tm m

t tm

cm

m

, ,

, , , ,, , , ,03 4, , , , , , 2

0 00 0

1 1

i j kHi j k i j ki j k i j kx H H

Hx Hx y zi j k i j k i j k

Hx xx Hx

c t tm m

m m

, ,, , , , , , , , , , , , , ,

1 2 3 42

, ,

2

i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k i j kEHx x Hx x H

i j k

x x CEx Hx Hxt t t ttt tm H m C m I m IH

, 1, , , , , 1 , ,2, , , ,, , , , , ,

220

t i j k i j k i j k i j ktti j k i j k z z y yi j k i j k i j kE E t t t t

tCEx x Hx x xt Tt ttT t

T

E E E EI C I H C

y z

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

Lecture 14 Slide 34

Are These Equations Correct?

A simple way to test these update equations is to set the PML parameters to zero and see if the update equations reduce to what we discussed in a previous lecture.

The update coefficients reduce to

, , , , , , , ,01 2 3 4, ,1 0 0i j k i j k i j k i j k

Hx Hx Hx Hxi j k

xx

c tm m m m

, 1, , , , , 1 , ,

, , 0,

,2 ,2

,

i j k i j k i j k i j k

z z y yi j k t t t tx i

i j k

j k

xt

x

x t ttH

E E E Ec tH

y z

The update equation reduces to

For problems uniform in the z direction, the z derivative is zero.  This equation reduces to exactly what is shown in Lecture 11.

, 1 ,

, 0,2

,

2

i j i j

z zi j t tx i jt t

j

x t txx

i E Ec tH

yH

10/20/2016

18

Lecture 14 Slide 35

Summary of the Update Equations

Lecture 14 Slide 36

Final Form of the Update Equation for Hx

, , , , , , , ,, , , , , , , ,

, , , ,

0 1 , ,2 20 0 0 00

, , 02 , , , ,

0

1 1 1

2 4 2 4

1

i j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j kH H H HH H H Hy z y zi j k i j ky z y z

Hx Hx i j k

Hx

i j k

Hx i j k i j k

Hx xx

t tm m

t tm

cm

m

, ,

, , , ,, , , ,03 4, , , , , , 2

0 00 0

1 1

i j kHi j k i j ki j k i j kx H H

Hx Hx y zi j k i j k i j k

Hx xx Hx

c t tm m

m m

, ,, , , , , , , , , , , , , ,

1 2 3 422

, ,

2

i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k i j kEtHx x Hx x Hx CE

i j k

x Hx Hxt t tt tx t t

m H m C m I IH m

, 1, , , , , 1 , ,2, , , ,, , , , , ,

220

t i j k i j k i j k i j ktti j k i j k z z y yi j k i j k i j kE E t t t t

tCEx x Hx x xt Tt ttT t

T

E E E EI C I H C

y z

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

10/20/2016

19

Lecture 14 Slide 37

Final Form of the Update Equation for Hy

, , , , , , , ,, , , , , , , ,

, , , ,

0 1 , ,2 20 0 0 00

, ,0

2 , , , ,

0

1 1 1

2 4 2 4

1

i j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j kH H H HH H H Hx z x zi j k i j kx z x z

Hy Hy i j k

Hy

i j k

Hy i j k i j k

Hy yy

t tm m

t tm

cm

m

, ,

, , , ,, , , ,0

3 4, , , , , , 20 00 0

1 1

i j kHi j k i j ki j k i j ky H H

Hy Hy x zi j k i j k i j k

Hy yy Hy

c t tm m

m m

, ,, , , , , , , , , , , , , ,

1 2 3 4

,

2 2

,

2

+i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k i j kE

t tHy y Hy y Hy CEy Hy Hy

i j

t

k

t tt

ty tm H m C m I m IH

, , 1 , , 1, , , ,2, , , ,, , , , , ,

220

t i j k i j k i j k i j ktti j k i j ki j k i j k i j k x x z zE E t t t t

tCEy y Hy y yt t Tt tT t

T

E E E EI C I H C

z x

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

Lecture 14 Slide 38

Final Form of the Update Equation for Hz

, , , , , , , ,, , , , , , , ,

, , , ,

0 12 , , 20 00 00

, , 02 , , , ,

0

1 1 1

2 24 4

1

i j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j kH H H HH H H Hx y x yx y x yi j k i j k

Hz Hz i j k

Hz

i j k

Hz i j k i j k

Hz zz

t tm m

t tm

cm

m

, ,

, , , ,, , , ,03 4, , , , , , 2

0 00 0

1 1

i j kHi j k i j kzi j k i j k H H

Hz Hz x yi j k i j k i j k

Hz zz Hz

c t tm m

m m

, ,, , , , , , , , , , , , , ,

1 2 3 4

,

2 2

,

2

+i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j k i j kE

Hz z t Hz z Hz CEz Hz Hz

i j k

z tt

tttt tm H m C m I m IH

1, , , , , 1, , ,2, , , ,, , , , , ,

220

t i j k i j k i j k i j ktti j k i j k y y x xi j k i j k i j kE E t t t t

tCEz z Hz z zt Tt ttT t

T

E E E EI C I H C

x y

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

10/20/2016

20

Lecture 14 Slide 39

Final Form of the Update Equation for Dx

, , , , , , , ,, , , , , , , ,

, , , ,

0 1 , ,2 20 0 0 00

, , , ,02 3, ,

0

1 1 1

2 4 2 4

i j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j kD D D DD D D Dy z y zi j k i j ky z y z

Dx Dx i j k

Dx

i j k i j

Dx Dxi j k

Dx

t tm m

t tm

cm m

m

, ,

, , , ,, ,0

4, , , , 20 00 0

1 1

i j kDi j k i j kk i j kx D D

Dx y zi j k i j k

Dx Dx

c t tm

m m

, , , ,, , , , , , , , , , , ,

1 2 3 42

, ,

2

+i j k i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j kH

t tDx x Dx x Dx CHx D

i j

x Dx t tt

k

x t t t tm D m C m I m ID

2 2 2 2

2

, , , , 1, , , 1,2, ,, , , ,, , , ,

02 2

t t t t

t

t i j k i j kt i j k i j kt y yi j ki j k i j k z zi j k i j k t t t tH H

tCHx x Dx x xtT tTtT

T t

H HH HI C I D C

y z

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

Lecture 14 Slide 40

Final Form of the Update Equation for Dy

, , , , , , , ,, , , , , , , ,

, , , ,

0 1 , ,2 20 0 0 00

, , , ,0

2 3, ,

0

1 1 1

2 4 2 4

i j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j kD D D DD D D Dx z x zi j k i j kx z x z

Dy Dy i j k

Dy

i j k i j

Dy Dyi j k

Dy

t tm m

t tm

cm m

m

, ,

, , , ,, ,0

4, , , , 20 00 0

1 1

i j kDi j k i j kk i j ky D D

Dy x zi j k i j k

Dy Dy

c t tm

m m

, , , ,, , , , , , , , , , , ,

1 2 3 422

, ,+

i j k i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j kHttDy y Dy y Dy CHy D

i j

y Dyt t tt

k

y t t tm D m C m I m ID

2 2 2 2

2

, , , , 1 , , 1, ,2, ,, , , ,, , , ,

022

t t t t

t

tt i j k i j k i j k i j k

t i j ki j k i j k x x z zi j k i j k t t t tH HtCHy y Dy y yt tT tT

TT t

H H H HI C I D C

z x

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

10/20/2016

21

Lecture 14 Slide 41

Final Form of the Update Equation for Dz

, , , , , , , ,, , , , , , , ,

, , , ,

0 1 , ,2 20 0 0 00

, , , ,02 3, ,

0

1 1 1

2 4 2 4

i j k i j k i j k i j ki j k i j k i j k i j kD D D DD D D Dx y x yi j k i j kx y x y

Dz Dz i j k

Dz

i j k i j

Dz Dzi j k

Dz

t tm m

t tm

cm m

m

, ,

, , , ,, ,0

4, , , , 20 00 0

1 1

i j kDi j k i j kk i j kz D D

Dz x yi j k i j k

Dz Dz

c t tm

m m

, , , ,, , , , , , , , , , , ,

1 2 3 42

, ,

2

+i j k i j ki j k i j k i j k i j k i j k i j kH

t tDz z Dz z Dz CHz D

i j

z Dz t tt

k

z t t t tm D m C m I m ID

2 2 2 2

2

, , 1, , , , , 1,2, ,, , , ,, , , ,

02 2

t t t t

t

t i j k i j kt i j k i j kt y yi j ki j k i j k x xi j k i j k t t t tH H

tCHz z Dz z ztT tTtT

T t

H H H HI C I D C

x y

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The integration terms are computed inside the main FDTD loop, but before the update equation.

The update equation is computed inside the main FDTD loop immediately after the integration terms are updated.

Lecture 14 Slide 42

Final Update Equations for Ex, Ey, and Ez

, ,, , , ,

1 1 1, , , , , ,

1 1 1

i j ki j k i j k

Ex Ey Ezi j k i j k i j k

xx zzyy

m m m

, ,, ,

1

, ,, ,

1

, ,, ,

1

, ,

, ,

, ,

i j ki j k

Ex x t t

i j ki j k

i j k

x t

Ey y t t

i j ki j k

E

t

i j k

y t t

i j k

z z t tz t t

E

E

E

m D

m D

m D

The update coefficients are computed before the main FDTD loop.

The update equations are computed inside the main FDTD loop.