Lectia VI - math.uaic.rooanacon/depozit/CursVI_structuradespatiuafin.pdf · Vse numeste spatiul...
Transcript of Lectia VI - math.uaic.rooanacon/depozit/CursVI_structuradespatiuafin.pdf · Vse numeste spatiul...
Structura de spatiu a�n E3
Subspatii a�ne
Lectia VI
Structura de spatiu a�n E 3. Dreapta si planul casubspatii a�ne
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Lectia VI
Structura de spatiu a�n E3
Subspatii a�ne
Table of Contents
1 Structura de spatiu a�n E 3
2 Subspatii a�ne
Oana Constantinescu Lectia VI
Structura de spatiu a�n E3
Subspatii a�ne
Structura de spatiu a�n E 3
In cursurile anterioare s-a demonstrat ca multimea V a vectorilor
liberi, impreuna cu operatiile de adunare a vectorilor liberi si de
inmultire a acestora cu scalari, are o structura de spatiu liniar real.
In continuare, vrem sa punem in evidenta o legatura subtila intre
multimea punctelor spatiului si spatiul liniar al vectorilor liberi.
Sa consideram functia
Φ : S × S → V,
Φ(A,B) =−→AB.
Oana Constantinescu Lectia VI
Structura de spatiu a�n E 3
Structura de spatiu a�n E 3
Din proprietatile vectorilor liberi observam ca aceasta veri�ca:
1 ∀A ∈ S, ΦA : S → V, ΦA(B) =−→AB este o bijectie;
2 Φ(A,B) + Φ(B,C ) = Φ(A,C ), ∀A,B,C ∈ S; (rescrierearelatiei lui Chasles)
3 ∀A ∈ S si ∀u ∈ V, ∃!B ∈ S a.i .ΦA(B) = u.
Observatie: Φ−1
A(u) este punctul B unic determinat de conditia
−→AB = u.
Structura de spatiu a�n E 3
Din proprietatile vectorilor liberi observam ca aceasta veri�ca:
1 ∀A ∈ S, ΦA : S → V, ΦA(B) =−→AB este o bijectie;
2 Φ(A,B) + Φ(B,C ) = Φ(A,C ), ∀A,B,C ∈ S; (rescrierearelatiei lui Chasles)
3 ∀A ∈ S si ∀u ∈ V, ∃!B ∈ S a.i .ΦA(B) = u.
Observatie: Φ−1
A(u) este punctul B unic determinat de conditia
−→AB = u.
Structura de spatiu a�n E 3
De�nition
Spunem ca E 3 = (S,V,Φ) este un spatiu a�n real. Observam ca el
este format din multimea nevida S a punctelor din spatiu, din
spatiul liniar real V al vectorilor liberi si dintr-o aplicatie care
realizeaza o legatura stransa (o a�nitate) intre cele doua multimi.
V se numeste spatiul vectorial director al spatiului a�n E 3.Deoarece V este un spatiu liniar euclidian (inzestrat cu produs
scalar), spunem ca spatiul a�n E 3 este spatiu a�n real euclidian.
Dimensiunea spatiului a�n este, prin de�nitie, dimensiunea spatiului
sau liniar director.
Structura de spatiu a�n E 3
Vom vedea in continuare cum aceasta functie Φ permite inducerea
unei structuri de spatiu liniar pe S, structura ce depinde insa de
�xarea unui punct in S.Intr-adevar, �xand P ∈ S arbitrar, putem de�ni
A + B = C , unde C e unic determinat de−→PA +
−→PB =
−→PC ,
αA = D, unde D e unic determinat de α−→PA =
−→PD,
Structura de spatiu a�n E 3
Vom vedea in continuare cum aceasta functie Φ permite inducerea
unei structuri de spatiu liniar pe S, structura ce depinde insa de
�xarea unui punct in S.Intr-adevar, �xand P ∈ S arbitrar, putem de�ni
A + B = C , unde C e unic determinat de−→PA +
−→PB =
−→PC ,
αA = D, unde D e unic determinat de α−→PA =
−→PD,
Structura de spatiu a�n E 3
Folosind functia Φ de�nitiile anterioare se rescriu:
A + B = Φ−1
P(−→PA +
−→PB), ∀A,B ∈ S,
αA = Φ−1
P(α−→PA), ∀α ∈ R, ∀A ∈ S.
Structura de spatiu a�n E 3
Theorem
Multimea S, impreuna cu operatiile de adunare a punctelor si de
inmultire a punctelor cu scalari reali este un spatiu liniar real, ce
depinde de punctul �xat P . (Deci aceasta structura de spatiu
vectorial nu este canonica.) El se numeste vectorializatul lui S in P
(sau spatiul liniar tangent in P la S) si se noteaza cu TPS.
Astfel ΦP : TPS → V devine un izomor�sm de spatii liniare.
Structura de spatiu a�n E 3
Theorem
Multimea S, impreuna cu operatiile de adunare a punctelor si de
inmultire a punctelor cu scalari reali este un spatiu liniar real, ce
depinde de punctul �xat P . (Deci aceasta structura de spatiu
vectorial nu este canonica.) El se numeste vectorializatul lui S in P
(sau spatiul liniar tangent in P la S) si se noteaza cu TPS.
Astfel ΦP : TPS → V devine un izomor�sm de spatii liniare.
Structura de spatiu a�n E 3
De�nition
Dat spatiul a�n real (S,V,Φ), �e legea de compozitie
+ : S × V → S,
A + u = B ⇔ u =−→AB, ∀A ∈ S, u ∈ V
O vom numi adunarea punctelor cu vectori si o vom nota simplu
prin �+� fara a exista pericolul de confuzie cu adunarea vectorilor, a
punctelor ori a numerelor reale.
Deci
A +−→AB = B,
−−−−−−→A(A + u) = u si A + u = Φ−1
A(u).
Structura de spatiu a�n E 3
De�nition
Dat spatiul a�n real (S,V,Φ), �e legea de compozitie
+ : S × V → S,
A + u = B ⇔ u =−→AB, ∀A ∈ S, u ∈ V
O vom numi adunarea punctelor cu vectori si o vom nota simplu
prin �+� fara a exista pericolul de confuzie cu adunarea vectorilor, a
punctelor ori a numerelor reale.
Deci
A +−→AB = B,
−−−−−−→A(A + u) = u si A + u = Φ−1
A(u).
Structura de spatiu a�n E 3
Theorem
Operatia de adunare a punctelor cu vectori veri�ca proprietatile
urmatoare:
1) A + (u + v) = (A + u) + v , ∀A ∈ S, u, v ∈ V;2) A + 0 = A ∀A ∈ S;3) ∀A,B ∈ S ∃!v ∈ V a.i . B = A + v .
Structura de spatiu a�n E 3
De�nition
Se numeste combinatie a�na de puncte o expresie de tipul
α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn, cu
n∑i=1
αi = 1.
Conditia∑
n
i=1αi = 1 este esentiala pentru ca expresia
α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn sa nu depinda de spatiul liniar TPS in
care s-a de�nit.
Intr-adevar, �e P,Q ∈ S �xate arbitrar. Atunci
α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn = P + (α1−−→PA1 + α2
−−→PA2 + · · ·αn
−−→PAn)
= Q +−→QP + [α1(
−→PQ +
−−→QA1) + · · ·+ αn(
−→PQ +
−−→QAn)]
= Q +−→QP + (
∑n
i=1αi )−→PQ + +(α1
−−→QA1 + · · ·αn
−−→QAn)
= Q + (α1−−→QA1 + α2
−−→QA2 + · · ·αn
−−−→PQAn).
Structura de spatiu a�n E 3
De�nition
Se numeste combinatie a�na de puncte o expresie de tipul
α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn, cu
n∑i=1
αi = 1.
Conditia∑
n
i=1αi = 1 este esentiala pentru ca expresia
α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn sa nu depinda de spatiul liniar TPS in
care s-a de�nit.
Intr-adevar, �e P,Q ∈ S �xate arbitrar. Atunci
α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn = P + (α1−−→PA1 + α2
−−→PA2 + · · ·αn
−−→PAn)
= Q +−→QP + [α1(
−→PQ +
−−→QA1) + · · ·+ αn(
−→PQ +
−−→QAn)]
= Q +−→QP + (
∑n
i=1αi )−→PQ + +(α1
−−→QA1 + · · ·αn
−−→QAn)
= Q + (α1−−→QA1 + α2
−−→QA2 + · · ·αn
−−−→PQAn).
Structura de spatiu a�n E3
Subspatii a�ne
Subspatii a�ne
De�nition
O submultime nevida X ⊂ S se numeste subspatiu a�n al lui E 3
daca exista un subspatiu liniar−→X al lui V astfel incat
(X ,−→X ,Φ/X×X ) este un spatiu a�n.
Oana Constantinescu Lectia VI
Subspatii a�ne
Example
Fie d o dreapta arbitrara. Consideram−→d dreapta vectoriala
asociata lui d. Stim ca−→d este un subspatiu liniar al lui V. Cand
restrictionam functia Φ la multimea punctelor dreptei d ,
Φ : d × d →−→d , proprietatile ei din de�nitia spatiului a�n se
pastreaza. Astfel, (d ,−→d ,Φ/d×d ) este un subspatiu a�n al lui E 3,
pe care il vom nota simplu cu d si il vom numi dreapta a�na.
Spatiul liniar−→d se numeste spatiul liniar director al dreptei d .
Example
Analog, dat un plan π, tripletul (π,−→π ,Φ/π×π) este un subspatiu
a�n al lui E 3, notat prin π si numit plan a�n. (−→π este planul
vectorial asociat lui π si se numeste spatiul liniar director al planului
π.)
Subspatii a�ne
Example
Fie d o dreapta arbitrara. Consideram−→d dreapta vectoriala
asociata lui d. Stim ca−→d este un subspatiu liniar al lui V. Cand
restrictionam functia Φ la multimea punctelor dreptei d ,
Φ : d × d →−→d , proprietatile ei din de�nitia spatiului a�n se
pastreaza. Astfel, (d ,−→d ,Φ/d×d ) este un subspatiu a�n al lui E 3,
pe care il vom nota simplu cu d si il vom numi dreapta a�na.
Spatiul liniar−→d se numeste spatiul liniar director al dreptei d .
Example
Analog, dat un plan π, tripletul (π,−→π ,Φ/π×π) este un subspatiu
a�n al lui E 3, notat prin π si numit plan a�n. (−→π este planul
vectorial asociat lui π si se numeste spatiul liniar director al planului
π.)
Dreapta a�na
Fie o dreapta d , A un punct oarecare al ei si a ∈−→d un vector
arbitrar, nenul, ce da directia dreptei (numit vector director al
dreptei).
Pentru orice alt punct P ∈ S, P ∈ d ⇔−→AP ∈
−→d . Dar
P = A +−→AP. Deci P apartine dreptei d daca si numai daca se
poate scrie ca suma dintre un punct �xat al dreptei si un vector
director al acesteia.
Dreapta a�na
Am demonstrat astfel ca
d = A +−→d = A + [a],
unde [a] este subspatiul liniar generat de vectorul director a ∈−→d si
am notat cu A +−→d = {A + u/u ∈
−→d }.
Planul a�n
Fie un plan π, A ∈ π arbitrar �xat si a, b ∈ −→π doi vectori
necoliniari. Deci a, b formeaza o baza in −→π , spatiul liniar director
al planului: −→π = [a, b].Orice alt punct P ∈ S apartine planului π daca si numai daca
P = A +−→AP ∈ A +−→π .
Deci
π = A +−→π = A + [a, b].
Structura de spatiu a�n E3
Subspatii a�ne
Repere a�ne
De�nition
Punctele Ai ∈ S, i ∈ 1, 4 se numesc a�n independente daca vectorii
liberi−−−→A1A2,
−−−→A1A3,
−−−→A1A4 sunt liniar independenti.
Evident, numarul maxim de puncte a�n independente este 4
deoarece dimV = 3.Se poate veri�ca faptul ca de�nitia de mai sus nu depinde de
alegerea lui A1.
De�nition
Se numeste reper a�n in E 3 o multime formata din patru puncte
a�n independente.
Oana Constantinescu Lectia VI
Structura de spatiu a�n E3
Subspatii a�ne
Repere a�ne
De�nition
Punctele Ai ∈ S, i ∈ 1, 4 se numesc a�n independente daca vectorii
liberi−−−→A1A2,
−−−→A1A3,
−−−→A1A4 sunt liniar independenti.
Evident, numarul maxim de puncte a�n independente este 4
deoarece dimV = 3.Se poate veri�ca faptul ca de�nitia de mai sus nu depinde de
alegerea lui A1.
De�nition
Se numeste reper a�n in E 3 o multime formata din patru puncte
a�n independente.
Oana Constantinescu Lectia VI
Repere a�ne
Evident, oricarui reper a�n Ra = {A,B,C ,D} i se poate asocia
reperul cartezian Rc = {A;−→AB,−→AC ,−→AD}.
Reciproc, dat reperul cartezian Rc = {O; u, v ,w}, se considera
punctele A,B,C cu proprietatea ca u =−→OA, v =
−→OB, w =
−→OC .
Atunci Ra = {O,A,B,C} este un reper a�n.
De aceea vom prefera sa lucram in continuare cu repere carteziene.
In cursurile viitoare vom determina toate tipurile de ecuatii ale
dreptei si planului in spatiu in raport cu un reper cartezian �xat.
Repere a�ne
Evident, oricarui reper a�n Ra = {A,B,C ,D} i se poate asocia
reperul cartezian Rc = {A;−→AB,−→AC ,−→AD}.
Reciproc, dat reperul cartezian Rc = {O; u, v ,w}, se considera
punctele A,B,C cu proprietatea ca u =−→OA, v =
−→OB, w =
−→OC .
Atunci Ra = {O,A,B,C} este un reper a�n.
De aceea vom prefera sa lucram in continuare cu repere carteziene.
In cursurile viitoare vom determina toate tipurile de ecuatii ale
dreptei si planului in spatiu in raport cu un reper cartezian �xat.