Lectia 8 Puteri Radicali

13
Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau Funcţia putere/ Funcţia radical x n x 2k :RR + Definiţie: x 2k =x x x ... x de 2k ori Ex.2 4 =16; 3 2 =9 :R + R + Definiţie: =a>0 cu proprietatea a 2 =x Ex. ; Grafic:exemplificare pentru n=2 Funcţia nu este bijectivă, nici strict monotonă. Este pară. Putem construi restricţia bijectivă: Graficul este simetric faţă de prima bisectoare cu graficul funcţiei putere (deoarece este inversa acesteia) -Funcţia este bijectivă, crescătoare. -Nu putem vorbi despre paritatea ei deoarece 1

Transcript of Lectia 8 Puteri Radicali

Page 1: Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

Funcţia putere/ Funcţia radical

xn

x2k:RR+

Definiţie: x2k=x x x ... x de 2k ori

Ex.24=16; 32=9

:R+R+

Definiţie: =a>0 cu proprietatea a2=xEx. ;

Grafic:exemplificare pentru n=2

Funcţia nu este bijectivă, nici strict monotonă. Este pară.Putem construi restricţia bijectivă:

x2k:R+R+. Astfel, f va fi bijectivă, crescătoare şi va admite inversă. Inversa ei va fi funcţia radical din coloana alăturată

Graficul este simetric faţă de prima bisectoare cu graficul funcţiei putere (deoarece este inversa acesteia)-Funcţia este bijectivă, crescătoare.-Nu putem vorbi despre paritatea ei deoarece domeniul de definiţie nu o permite (dacă x este în domeniu nu avem –x în domeniu)

Relaţia de legătură dintre cele două funcţii este:

=

= = =3

x2k+1:RR :RR

1

Page 2: Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauEx.25=32; 33=27 Ex. ;

Grafic:exemplificare pentru n=3

Funcţia este bijectivă, strict monotonă. Este impară.Inversa ei este funcţia radical de ordin impar din coloana alăturată.

Funcţia este bijectivă, strict monotonă. Este impară.Graficul celor două funcţii sunt simetrice faţă de prima bisectoare.

Proprietăţix0=1; x1=x;0n=0;xn+m=xn xm

xn-m=xn:xm=

(xn)m=xnm

xn+xm xn+m

xn yn=(xy)n

xn:yn=( )n

xn+yn (x+y)n

;

Observaţie:Dacă avem o expresie cu radicali, cel mai simplu este să o transformăm în expresie cu puteri pe care le putem gestiona mai uşor.

Calcule cu puteri şi radicali numerici

2

Page 3: Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauCum aducem la o formă mai simplă-scriem puterile şi radicalii cu baze restrânse la numere prime-folosim proprietăţile puterilor Exemple:

a)(25)4(-125)3:5-3=(52)4(-53)3: =

b)

c)

Raţionalizarea expresiilor cu radicali

Definim conjugata unei expresii acea expresie care, înmulţită cu expresia iniţială va da ca rezultat o sumă/diferenţă de puteri .Folosim formulele:x2-y2=(x-y)(x+y)x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)x4-y4=(x2-y2)(x2+y2)=(x-y)(x+y)(x2+y2)etc.Exemple: Conjugatul lui este tot Conjugatul lui 1+ poate fi: 1- , -1+Conjugatul lui 1+ este 1- +( )2

Conjugatul lui - =( )2+ +( )2=

Pentru a aduce la o formă mai simplă o expresie cu radicali :-transformăm fracţiile care conţin radicali în fracţii cu numitori naturali prin conjugare-aducem la acelaşi numitor-restrângem expresiile cu acceaşi valoare sub radical, respectiv expresiile fără radical-simplificăm transformând eventual în puteri

Obs.- Dacă avem în expresie radicali de ordine diferite, atunci îi transformăm în radicali de acelaşi ordin (amplificăm):

(noul ordin va fi cmmmc al ordinelor iniţiale)-dacă avem radicali de acelaşi ordin, dar mai mult de 2, conjugăm „din aproape în aproape” grupând cât mai convenabilEx:

Exerciţiu rezolvat 1:

3

Page 4: Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

=

=

Exerciţiu rezolvat 2:

Exerciţiu rezolvat 3:

Exerciţiu rezolvat 4:

Am folosit formula pentru n=6

Exerciţiu rezolvat 5:

=

Exerciţii propuse:I.Să se aducă expresiile următoare la o formă mai simplă (se ştie că sunt bine definite):

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11.

12.

Trasarea graficelor prin puncte

Pentru a trasa graficul unei funcţii compuse cu aspect de putere/radical:-stabilim domeniul maxim de definiţie (dacă nu se dă)-alcătuim un tabel de variaţie al funcţiei alegând convenabil puncte din domeniu

4

Page 5: Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau-reprezentăm punctele pe grafic apoi le unim trasând curba

Exemplu rezolvat 6:f(x)=(x-3)3

Domeniul=R Codomeniul=R (nu avem nicio restricţie deoarece e putere impară)x - -1 0 1 2 3 4 5 f(x) - -64 -27 -8 -1 0 1 8

Observăm că graficuleste cel al funcţiei g(x)=x3 translatat pe Ox cu a=3

Exemplu rezolvat 7:f(x)=Pentru determinarea domeniului maxim de definiţie vom pune condiţii de existenţă a radicalului de prdin par, şi anume x-1 0, adică xDomeniul= Codomeniul=[0, )

x /////////////// 1 2 17 82 f(x) /////////////// 0 1 2 3

5

Page 6: Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

Exerciţii propuse:II.Să se traseze graficele următoarelor funcţii:1.f(x)=(2x-1)2 2. f(x)=(x+1)3 3. f(x)= 4.f(x)=

Radicali compuşieste un radical compus de ordinul 2.

Uneori, expresia de sub radical poate fi un binom la pătrat deoarece binoamele unor expresii cu radicali se restrâng la expresii cu doi termeni.

( , deci Vom proceda astfel:

; ridicăm la pătrat ; identificăm grupele de termeni ca în exemplul de mai sus, astfel: a=x2+y2

b=4x2y2

Sistemul de mai sus ne conduce la aflarea lui x, respectiv y.

Exemplu rezolvat 8:Să se precizeze dacă numărul de mai jos este raţional sau iraţional.N=

= x+y x2+y2=5; 2xy=2 ; deci xy= , ceea ce ne conduce la două posibile situaţii ( nu singurele!):x=1, y= respectiv x= , y= (am încercat divizorii lui 6).A doua situaţie ne conduce la x2+y2=5, deci soluţia va fi: = +Analog, = -Prin urmare, N=| + |+| - |=2 , adică e număr iraţional

Exemplu rezolvat 9:

6

Page 7: Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauSă se precizeze dacă numărul de mai jos este raţional sau iraţional.N=

= x+y x2+y2=31; 2xy=12 ; deci xy=6 , ceea ce ne conduce lax=1 x=2 x=3 x=6y=6 , y=3 y=2 y=A doua situaţie ne conduce la x2+y2=31, deciN=|2+3 |-|2-3 |=4 care este chiar număr natural

Exemplu rezolvat 10:Să se aducă la o formă mai simplă:N=Procedăm ca mai sus începând cu radicalul cel mai „din interior”:

Pregătim următorul radical:8+2( =6+2

Analog 13-4(1+ )=9-4

26+6( -2)=14+6

Deci N=3+

Exemplu rezolvat 11:Să se determine dacă numărul N= este raţional.Folosim formula (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)Prin urmare: N3=7-2 +7+2 +3 ( ), adică N3=14+3 N N3-3N-14=0. Dacă N ar fi raţional, atunci el ar fi divizor al termenului liber. Incercăm N=1,-1,2,-2,7,-7,14,-14. Dacă niciuna nu satisface ecuaţia , atunci N nu este raţional.Din exemplele de mai sus observăm că o sumă de numere iraţionale nu e neapărat iraţională.Astfel:a=1+b=1- a+b=2 (natural), ab=-4 (întreg)TeoremăDacă a Q, b R\Q, atunci a+b,a-b,a*b,a/b (b nenul) sunt iraţionale.Ex: 2+ este irational, la fel şi 2 , 2- ,2/ .

Obs.Orice combinaţie de numere iraţionale nu este neapărat iraţională. Se poate arăta că un număr este iraţional folosind principiul reducerii la absurd şi teorema de mai sus.Ex. a= +

7

Page 8: Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau

Presupunem că a este raţional, adică există m,n raţionale astfel încât a= , fracţie

ireductibilă. (m, n prime între ele). Ridicăm la pătrat a2=8+2 = 2 = -8

= - contradicţie ( R\Q, Q)

Ecuaţii iraţionale

Ex. Să se rezolve ecuaţia: Etapele rezolvării ecuaţiilor iraţionale:I.punem condiţiile de existenţă a fiecărui radical de ordin parII.„echilibrăm” membrii ecuaţiei astfel încât egalitatea să aibă sens din punct de vedere al semnului (eventual trecem unii termeni în celălalt membru), sau, dacă acest lucru nu este posibil, se pun condiţii suplimentare de existenţă.III.ridicăm la puterea corespunzătoare de câte ori e nevoie până se ajunge la o ecuaţie raţională.IV. pentru anumite tipuri de ecuaţii, putem apela la substituţii

Astfel, pentru ecuaţia de mai sus, din etapa I se vede că nu are soluţii:

x-3 0, 2-x 0 x 3 şi x 2, imposibil

Exemplu rezolvat 12: Metoda 1.

I.x-3 0, 7-x 0 x 3 şi x 7, deci x [3,7]II. , cei doi membri ai ecuaţiei sunt pozitivi, deci putem să ridicăm egalitatea la pătrat; altfel, trebuia să punem condiţia suplimentară:

deoarece 5>0 (ceea ce ne conduce la calcule suplimentare) III.x-3=7-x+25+10 2x—35=10 4x2-140x+1225=100(7-x)

4x2-40x+525=0 care se rezolvă mai departe cu metoda cunoscută, alegând dintre soluţii pe acelea care satisfac condiţiile de existenţă de la etapele I, II.

Metoda 2.Notăm , deci x-3=u2, 7-x=v2, de unde u2+v2=4, iar relaţia iniţială ne conduce la u-v=5. Am obţinut un soistem simetric de gradul II, pe care îl rescriem în funcţie de S, P, apoi determinăm soluţiile din ecuaţia t2-St+P=0.

Exemplu rezolvat 13:Să se rezolve ecuaţia

I.x 3/2, x 11, deci x [3/2,11]II.Nu e nevoie de echilibrare, ambii membri sunt pozitivi

8

Page 9: Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebraautor prof. Martin Elena

Colegiul National „B. P. Hasdeu” BuzauIII.2x-3+11-x+2 =16 2 =8-x

4(25x-2x2-33)=64-16x+x2 9x2-116x+196=0 etc.Obs. Substituţia nu ne mai conduce la o situaţie convenabilă.Exerciţii propuse:I.Să se rezolve ecuaţiile iraţionale:1. 2. 3 3. 4.3x- 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11.

12. 13. 14. 15. 16. 17.18. 19.

20. II.Să se calculeze:1.2. III.Să se verifice că expresiile de mai jos verifică relaţia scrisă în dreptul lor:1.x=2.x=

9