Lectia 8 Puteri Radicali

of 13 /13
Lectia numarul 8 clasa a 10-a Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National „B. P. Hasdeu” Buzau Funcţia putere/ Funcţia radical x n x 2k :RR + Definiţie: x 2k =x x x ... x de 2k ori Ex.2 4 =16; 3 2 =9 :R + R + Definiţie: =a>0 cu proprietatea a 2 =x Ex. ; Grafic:exemplificare pentru n=2 Funcţia nu este bijectivă, nici strict monotonă. Este pară. Putem construi restricţia bijectivă: Graficul este simetric faţă de prima bisectoare cu graficul funcţiei putere (deoarece este inversa acesteia) -Funcţia este bijectivă, crescătoare. -Nu putem vorbi despre paritatea ei deoarece 1

Embed Size (px)

Transcript of Lectia 8 Puteri Radicali

Lectia numarul 8

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

Funcia putere/ Funcia radical xn x :R R+ Definiie: x2k=x x x ... x de 2k ori Ex.2 =16; 3 =94 2 2k2k n

x

x :R+ R+2k

Definiie:

x =a>0 cu proprietatea

a2=x Ex. 2 9 = 3 ; 4 16 = 2 Grafic:exemplificare pentru n=2

Funcia nu este bijectiv, nici strict monoton. Este par. Putem construi restricia bijectiv:

Graficul este simetric fa de prima bisectoare cu graficul funciei putere (deoarece este inversa acesteia) -Funcia este bijectiv, cresctoare. -Nu putem vorbi despre paritatea ei deoarece domeniul de definiie nu o permite (dac x este n domeniu nu avem x n domeniu) Relaia de legtur dintre cele dou funcii este:

x2k:R+ R+. Astfel, f va fi bijectiv, cresctoare i va admite invers. Inversa ei va fi funcia radical din coloana alturat

2k 4

x = x 2k 81 = 81 4 = 3 4 4 =31 1

1

1

Lectia numarul 8

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

x2k+1:R R Ex.25=32; 33=27

2 k +1

x :R R

Ex. 3 27 = 3 ; 5 32 = 2 Grafic:exemplificare pentru n=3

Funcia este bijectiv, strict monoton. Este impar. Inversa ei este funcia radical de ordin impar din coloana alturat.

Funcia este bijectiv, strict monoton. Este impar.Graficul celor dou funcii sunt simetrice fa de prima bisectoare.

Proprieti x =1; x =x;0 =0; xn+m=xn xm xn-m=xn:xm=x xmn

0

1

n

n

0 = 0 ; n xn = xm

n n

xm = x n x mn = x m x x = x xm 1 1 1 n 1 m 1 1 + n m m+n mn

(xn)m=xnm xn+xm xn+m xn yn=(xy)n xn:yn=(x n ) y

n

=x

=x =x

= mn x m+ n = mn x m n

n n

x : m x = xn : xm = xn x n y n x y

1 1 m

mn mn

xn+yn (x+y)n

Observaie:Dac avem o expresie cu radicali, cel mai simplu este s o transformm n expresie cu puteri pe care le putem gestiona mai uor.2k

E 2 k ( x) =| E k ( x) |

2

Lectia numarul 8

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

Calcule cu puteri i radicali numerici Cum aducem la o form mai simpl -scriem puterile i radicalii cu baze restrnse la numere prime -folosim proprietile puterilor Exemple: a)(25)4(-125)3:5-3=(52)4(-53)3:6 1

1 58 5 9 = 3 = 5173 = 514 53 56 1 5 1 27 3 2 5 5 11

b) 5 24 64 = 5 24 2 6 = (2 2 4 ) 5 = (2 (1+ 4 ) ) 5 = 2 2 + 5 = 2 10 = 10 2 27 = 10 2 20 2 7 = 2 2 10 2 7 + 3+ 2 6 1 2 1 2 1 1 =5 6 =5 6 c) ( ) 6 25 2 ( ) 3 ( ) 6 = 5 6 5 2 ( 3 ) 3 5 6 = 5 6 5 250 5 5 5 3 2 5

Raionalizarea expresiilor cu radicali Definim conjugata unei expresii acea expresie care, nmulit cu expresia iniial va da ca rezultat o sum/diferen de puteri . Folosim formulele: x2-y2=(x-y)(x+y) x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2) x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2) x4-y4=(x2-y2)(x2+y2)=(x-y)(x+y)(x2+y2) etc. Exemple: Conjugatul lui 2 este tot 2 Conjugatul lui 1+ 2 poate fi: 1- 2 , -1+ 2 Conjugatul lui 1+ 3 5 este 1- 3 5 +( 3 5 )2 Conjugatul lui 3 4 - 3 5 =( 3 4 )2+ 3 4 3 5 +( 3 5 )2= 3 16 + 3 20 + 3 25 Pentru a aduce la o form mai simpl o expresie cu radicali : -transformm fraciile care conin radicali n fracii cu numitori naturali prin conjugare -aducem la acelai numitor -restrngem expresiile cu acceai valoare sub radical, respectiv expresiile fr radical -simplificm transformnd eventual n puteri Obs. - Dac avem n expresie radicali de ordine diferite, atunci i transformm n radicali de acelai ordin (amplificm):3

7 5 = 6 7 2 6 5 3 (noul ordin va fi cmmmc al ordinelor iniiale)

-dac avem radicali de acelai ordin, dar mai mult de 2, conjugm din aproape n aproape grupnd ct mai convenabil Ex:3

Lectia numarul 8

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

Exerciiu rezolvat 1:2 3+ 2 6 36+ 2 +2 6 = 2 3+ 5 32 = 3 5 2 ( 3 2)( 3 2 ) 2 3 + 5 2 2(3 2 3 + 2 2 6 ) + = = 1 2 32 2

Exerciiu rezolvat 2:3 1+ 3 3 + 3 9 = 3 1 + 3 3 + 3 32 = 3(1 3 3 ) (1 + 3 3 + 3 9 )(1 3 3 ) = 3 33 3 3 = (1 3 3 ) 1 3 2

Exerciiu rezolvat 3:33

4 3 2

=

3(3 4 2 + 3 8 + 3 2 2 ) 3 3 2 3 = ( 4 + 8 + 3 22 ) 42 2

Exerciiu rezolvat 4:13

3 2

=

16

9 6 8

=

6

9 5 + 6 9 4 8 + 6 9 3 8 2 + 6 9 2 8 3 + 6 9 8 4 + 6 8 5 98

Am folosit formulaa n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b1 + a n 3 b 2 + ... + a 1 b n 2 + b n 1 ) pentru n=6

Exerciiu rezolvat 5:1 11 3 + 2 = 1 ( 11 3 ) + 2 = ( 11 3 ) 2 ( 11 3 ) ( 2 )2 2

=

( 11 3 ) 2 12 2 33

=

=

1 ( 11 3 2 )(6 + 33 ) 1 = ( 11 3 2 )(6 + 33 ) 2 36 33 6

Exerciii propuse: I.S se aduc expresiile urmtoare la o form mai simpl (se tie c sunt bine definite): 1. 5. 9.2+ 2 2 2 1 3+ 2 5 153

2 2 2+ 2

2. 6.

a +1 a 1 a 1 a +1 31 2+ 2 6 a b a+ b

3. 7.

1 2 1+ 2 1 5+ 21 6

4. 8.

13

25 3 24 1

2 2 + 3 62 7

3+3 7

10.

0 11. 3 a + a 3 a a 3a , a > 0 21

a

a

a

12. 12 3 3 + 192 75 Trasarea graficelor prin puncte4

Lectia numarul 8

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

Pentru a trasa graficul unei funcii compuse cu aspect de putere/radical: -stabilim domeniul maxim de definiie (dac nu se d) -alctuim un tabel de variaie al funciei alegnd convenabil puncte din domeniu -reprezentm punctele pe grafic apoi le unim trasnd curba Exemplu rezolvat 6: f(x)=(x-3)3 Domeniul=R Codomeniul=R (nu avem nicio restricie deoarece e putere impar) x - -1 0 1 2 3 4 5 f(x) - -64 -27 -8 -1 0 1 8 Observm c graficul este cel al funciei g(x)=x3 translatat pe Ox cu a=3

Exemplu rezolvat 7: f(x)= 4 x 1 Pentru determinarea domeniului maxim de definiie vom pune condiii de existen a radicalului de prdin par, i anume x-1 0, adic x [1, ) Domeniul= [1, ) Codomeniul=[0, ) x /////////////// 1 2 175

82

Lectia numarul 8

clasa a 10-a

f(x)

/////////////// 0

1

2

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau 3

Exerciii propuse: II.S se traseze graficele urmtoarelor funcii: 1.f(x)=(2x-1)2 2. f(x)=(x+1)3 3. f(x)= 5 x 4

4.f(x)= 3 3 x

Radicali compui a + b este un radical compus de ordinul 2. Uneori, expresia de sub radical poate fi un binom la ptrat deoarece binoamele unor expresii cu radicali se restrng la expresii cu doi termeni. ( 2 + 3 ) 2 = 5 + 2 6 , deci 5 + 2 6 = ( 2 + 3 ) 2 =| 2 + 3 |= 2 + 3 Vom proceda astfel: 2 2 a b = x y ; ridicm la ptrat a b = x 2 xy + y ; identificm grupele de termeni ca n exemplul de mai sus, astfel: a=x2+y2 b=4x2y2 Sistemul de mai sus ne conduce la aflarea lui x, respectiv y. Exemplu rezolvat 8: S se precizeze dac numrul de mai jos este raional sau iraional. N= 5 + 2 6 + 5 2 62 2 5 + 2 6 = x+y x +y =5; 2xy=2 6 ; deci xy= 6 , ceea ce ne conduce la dou

posibile situaii ( nu singurele!): x=1, y= 6 respectiv x= 3 , y= 2 (am ncercat divizorii lui 6). A doua situaie ne conduce la x2+y2=5, deci soluia va fi: 5 + 2 6 = 2 + 36

Lectia numarul 8

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

Analog, 5 2 6 = 2 - 3 Prin urmare, N=| 2 + 3 |+| 2 - 3 |=2 3 , adic e numr iraional Exemplu rezolvat 9: S se precizeze dac numrul de mai jos este raional sau iraional. N= 31 + 12 3 31 12 32 2 31 + 12 3 = x+y x +y =31; 2xy=12 3 ; deci xy=6 3 , ceea ce ne conduce la

x=1 x=2 x=3 x=6 y=6 3 , y=3 3 y=2 3 y= 3 2 2 A doua situaie ne conduce la x +y =31, deci N=|2+3 3 |-|2-3 3 |=4 care este chiar numr natural Exemplu rezolvat 10: S se aduc la o form mai simpl: N= 26 + 6 13 4 8 + 2 6 20 Procedm ca mai sus ncepnd cu radicalul cel mai din interior:6 20 = 6 2 5 =| 1 5 |= 5 1

Pregtim urmtorul radical:8+2( 5 1) =6+2 56 + 2 5 =| 1 + 5 |= 1 + 5

Analog

13-4(1+ 5 )=9-4 59 4 5 =| 2 5 |= 5 2

26+6( 5 -2)=14+6 514 + 6 5 =| 3 + 5 |= 3 + 5

Deci N=3+ 5 Exemplu rezolvat 11: S se determine dac numrul N= 3 7 2 12 3 7 + 2 12 este raional. Folosim formula (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b) Prin urmare: N3=7-2 12 +7+2 12 +3 3 7 2 12 3 7 + 2 12 ( 3 7 2 12 + 3 7 + 2 12 ), adic N3=14+3 3 49 48 N N3-3N-14=0. Dac N ar fi raional, atunci el ar fi divizor al termenului liber. Incercm N=1,-1,2,-2,7,-7,14,-14. Dac niciuna nu satisface ecuaia , atunci N nu este raional. Din exemplele de mai sus observm c o sum de numere iraionale nu e neaprat iraional. Astfel: a=1+ 5

7

Lectia numarul 8

clasa a 10-a

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

b=1- 5 a+b=2 (natural), ab=-4 (ntreg) Teorem Dac a Q, b R\Q, atunci a+b,a-b,a*b,a/b (b nenul) sunt iraionale. Ex: 2+ 3 este irational, la fel i 2 3 , 2- 3 ,2/ 3 . Obs.Orice combinaie de numere iraionale nu este neaprat iraional. Se poate arta c un numr este iraional folosind principiul reducerii la absurd i teorema de mai sus. Ex. a= 3 + 5m , fracie n m2 m2 2 ireductibil. (m, n prime ntre ele). Ridicm la ptrat a =8+2 6 = 2 2 6 = 2 -8 n n 2 2 m m 4 Q) 6 = 2 4 - contradicie ( 6 R\Q, 2n 2n 2

Presupunem c a este raional, adic exist m,n raionale astfel nct a=

Ecuaii iraionale Ex. S se rezolve ecuaia: x 3 2 x = 5 Etapele rezolvrii ecuaiilor iraionale: I.punem condiiile de existen a fiecrui radical de ordin par II.echilibrm membrii ecuaiei astfel nct egalitatea s aib sens din punct de vedere al semnului (eventual trecem unii termeni n cellalt membru), sau, dac acest lucru nu este posibil, se pun condiii suplimentare de existen. III.ridicm la puterea corespunztoare de cte ori e nevoie pn se ajunge la o ecuaie raional. IV. pentru anumite tipuri de ecuaii, putem apela la substituii Astfel, pentru ecuaia de mai sus, din etapa I se vede c nu are soluii:x3 2 x = 5 x-3 0, 2-x 0 x 3 i x 2, imposibil

Exemplu rezolvat 12: x 3 7 x = 5 Metoda 1. I.x-3 0, 7-x 0 x 3 i x 7, deci x [3,7] II. x 3 = 7 x + 5 , cei doi membri ai ecuaiei sunt pozitivi, deci putem s ridicm egalitatea la ptrat; altfel, trebuia s punem condiia suplimentar: x 3 7 x > 0 deoarece 5>0 (ceea ce ne conduce la calcule suplimentare) III.x-3=7-x+25+10 7 x 2x35=10 7 x 4x2-140x+1225=100(7-x)

8

Lectia numarul 8

clasa a 10-a

4x2-40x+525=0 care se rezolv mai departe cu metoda cunoscut, alegnd dintre

Algebra autor prof. Martin Elena Colegiul National B. P. Hasdeu Buzau

soluii pe acelea care satisfac condiiile de existen de la etapele I, II. Metoda 2. Notm x 3 = u, 7 x = v , deci x-3=u2, 7-x=v2, de unde u2+v2=4, iar relaia iniial ne conduce la u-v=5. Am obinut un soistem simetric de gradul II, pe care l rescriem n funcie de S, P, apoi determinm soluiile din ecuaia t2-St+P=0. Exemplu rezolvat 13: S se rezolve ecuaia 2 x 3 + 11 x = 4 I.x 3/2, x 11, deci x [3/2,11] II.Nu e nevoie de echilibrare, ambii membri sunt pozitivi III.2x-3+11-x+2 2 x 3 11 x =16 2 2 x 3 11 x =8-x 4(25x-2x2-33)=64-16x+x2 9x2-116x+196=0 etc. Obs. Substituia nu ne mai conduce la o situaie convenabil. Exerciii propuse: I.S se rezolve ecuaiile iraionale: 1. x 2 4 = 5 2. 3 x 4 = x 6 3. 3x 2 4 x 14 = x 2 4.3x- 2 x 1 = 34 5. 3 x + 2 = 23 x + 9 6. 3 x + 1 + 3 2 x + 5 = 0 7. x + 5 + 2 x + 1 = 6 10.x +1 2 x +1 4 = x +1 6 x +1 7

8. x + 20 + 20 x =

x 2

9. x + 6 = 3x + 16 x + 1

11. x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4 x + 4 = 3

12. x + 3 4 x 1 + x + 8 6 x 1 = 1 13. x + 1 4 x 3 + x + 22 10 x 3 = 9 14. 2 x 2 + 8 x = x 2 + 8 x 3 15. x 2 + 3x = x 2 + 3x 2 16. 3 x + 83 x 2 = 9 17. 3 x 2 + 1 = 19 x 18. 5 ( x + 1) 2 35 x 2 1 + 25 ( x + 1) 2 = 0 19. 3 2 x 5 + 3 40 2 x = 5 20. x + x + 1 + x + 4 = 3 II.S se calculeze: 1. 26 + 6 13 4 8 + 2 6 20 + 26 6 13 + 4 8 2 6 + 20 2. 13 30 2 9 4 2 + 13 + 30 2 + 9 + 4 2 III.S se verifice c expresiile de mai jos verific relaia scris n dreptul lor: 1.x= 3 4 + 15 + 3 4 15 , x 2 = 3x + 8 2.x= 3 5 + 17 + 3 5 17 , x 2 = 6 x + 10

9