Lectia 2 TRANSFERUL DE CǍLDURǍ PRIN CONDUCŢIE

8/7/2019 Lectia 2 TRANSFERUL DE CLDUR PRIN CONDUCIE

1/25

CAP. 2 TRANSFERUL DE CLDURPRIN CONDUCIE

2.1. ECUAIILE DIFERENIALEALE CONDUCIEI TERMICE

2.1.1. Ecuaia legii lui Fourier

Aceast ecuaie care caracterizeaz conducia termic unidirecional, n regimpermanent prin corpuri omogene i izotrope, fr surse interioare de cldur, reprezintecuaia fundamental a conduciei.

Ea a fost enunat n capitolul anterior i are forma:

dx

dTq

SP! [W/m2]. (2.1)

2.1.2. Ecuaia general a conduciei termice

Aceast ecuaie caracterizeaz conducia tridimensional, n regim nestaionar,prin corpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite.

Ipotezele care stau la baza determinrii acestei ecuaii sunt:- corpul este omogen i izotrop, astfel nct conductivitatea termic este constant

i are aceleai valori n toate direciile: .;constzyx !P!P!P!P

- cldura specific pc i densitatea V sunt constante n intervalul de temperatur

considerat;- n interiorul corpului exist surse de cldur uniform distribuite cu densitatea

volumic (flux termic unitar volumic) qv [W/m3] = const.;

- deformarea corpului prin dilataie datorit variaiei temperaturii este neglijabil:Pentru determinarea acestei legi se consider un element cu volumul dv dintr-un

corp (figura 2.1), pentru care se va scrie bilanul termic [20].

dQ 2

A'A

D

C

D'

C'

B B'

T

dQx1 dQx2

dQy1

dQz2

xx

dxx

z


2/25

Fig.2.1. Conducia termic printr-un element de volum

Ecuaia bilanului termic pentru elementul dv are forma:

cldura intrat i rmas n corp cldura generat de surseprin suprafeele lui exterioare (dQ1) interioare de cldur (dQ2)

cldura acumulatn corp (dQ3)

Cldura intrat n elementul dv prin conducie dup direcia Ox, se poate scrie,utiliznd ecuaia legii lui Fourier:

Xx

xP!X! dydzd

x

TdydzdqdQ

sx1 [J], (2.3)

unde: dxdzeste suprafaa de schimb de cldur prin care intr cldura dup direcia Ox.Cldura ieit din elementul dvdup aceeai direcie, innd seama c temperatura

feei A'B'C'D'a elementului dv este dxx

TT

x

x , va fi:

XP dydzddxx

TT

xdQx

xx

xx

!2 [J]. (2.4)

Cldura rmas n elementul dv dup direcia Ox va fi atunci:

XPXP

XPXP

ddvx

Tdxdydzd

x

T

dydzddxx

TT

xdydzd

x

TdQdQdQ xxx

x

x!

x

x!

!

x

x

x

x

x

x!!

2

2

2

2

21

[J]. (2.5)

n mod analog se poate scrie cantitatea de cldur rmas n elementul dv dupdireciile Oy i Oz:

X

ddvy

TdQy 2

2

x

x! , (2.6)

.2

2

Xxx

P! ddvz

TdQz (2.7)

Cantitatea total de cldur intrat prin suprafaa lateral a elementului dv irmas n aceasta va fi:

+ =

=


3/25

,22

2

2

2

2

2

1 XP!X

xx

xx

xx

P! dTdvddvz

T

y

T

x

TdQ (2.8)

unde: T2 este laplacianul temperaturii.Cantitatea de cldur generat de sursele interioare de cldur uniform distribuite

este: XddvqdQ v !2 [J] . (2.9)

Cldura acumulat n corp se poate determina utiliznd relaia:

XXx

xV!X

Xx

x! d

Tdvcd

TcmdQ

pp3 [J] . (2.10)

nlocuind valorile lui 321 ,, dQdQdQ n ecuaia bilanului termic (2.2), se obine:

XXP!XXx

xV ddvqTdvdddv

Tc

vp

2 , (2.11)

sau:

.2

cp

qT

cp

T v

V

V

P!

Xx

x(2.12)

Definind difuzivitatea termicpc

aVP

! ecuaia general a conduciei are forma:

P!

Xx

x vqTT

a

21 (2.13)

Difuzivitatea termic a reprezint o proprietate fizic a unui material, eacaracteriznd capacitatea acestuia de transport conductiv al cldurii.

Ecuaia general a conduciei termice are o serie de cazuri particulare, prezentaten tabelul 2.1

Tabelul 2.1

Ecuaiile difereniale ale conduciei termice

Denumire Regimul Ecuaia

Ecuaia general aconduciei

Regim tranzitoriu cu surseinterioare de cldur P

!Xx

x vqTT

a

21

Ecuaia lui PoissonRegim constant cu surse

interioare de cldur02 !

P vq

T

Ecuaia lui FourierRegim tranzitoriu fr surse

interioare de cldurT

T

a

21 !Xx

x

Ecuaia lui LaplaceRegim constant fr surse

interioare de cldur 02 ! T

n cazul corpurilor neomogene i neizotrope : ,,, zyx PPPP!P la care)(TV!V i )(Tcc pp ! i care au surse interne de cldur discrete n punctele xi, yi, zi, cu

densitile ,,,, Xiiii zyxq ecuaia general a conduciei se poate scrie [39] :


4/25

.,,,0 X

XV

ii

n

ii

iz

yxp

zyxqz

T

z

y

T

yx

TTTTc

! xx

x

x

x

x

x

x

x

x!

x

x

(2.14)

2.1.3. Condiii de determinare univoca proceselor de conducie

Ecuaiile difereniale prezentate descriu o scar larg de procese de conducietermic. Pentru descrierea unui proces concret de transfer conductiv, ecuaiilordifereniale trebuie s li se ataeze condiii de determinare univoca procesului.

Aceste condiii sunt de urmtoarele tipuri:Condiii geometrice, care dau forma i dimensiunile spaiului n care se

desfoar procesul de conducie.Condiii fizice, care dau proprietile fizice ale corpului: pc,,VP i variaia

surselor interioare de cldur.Condiiile iniiale, care apar n cazul proceselor nestaionare i dau de obicei,

valorile cmpului de temperatur, la momentul iniial 0!X .Condiiile limit sau de contur, care definesc legtura corpului cu mediul

ambiant i care se pot defini n mai multe forme [36] :a) Condiiile la limit de ordinul I (condiii Dirichlet) se refer la cunoaterea

cmpului de temperatur pe suprafaa corpului n orice moment de timp: .,,, XzyxTp Un caz particular al acestui tip de condiii la limit este cel n care suprafaa

corpului este izoterm n timp: ctTp ! .b) Condiiile limit de ordinul II (condiii Neumann), la care se cunosc valorile

fluxului termic unitar pe contur n orice moment de timp:

X!

x

xP! ,,, zyxf

n

Tq

p

sp (2.15)

n acest caz exist dou cazuri particulare:- fluxul termic unitar pe suprafa este constant: .constqsp ! ;

- fluxul termic unitar la suprafa este nul (corp izolat termic, adiabat):

.0!

x

x

pn

T(2.16)

c) Condiiile la limit de ordinul III, la care se dau temperatura fluidului carenconjoar corpul fT i legea de transfer de cldur ntre corp i fluid.

n cazul n care transferul de cldur ntre corp i fluid se realizeaz princonvecie, condiia la limit de ordinul III se scrie:

).(fp

p

TTn

TE!

x

xP (2.17)


5/25

d) Condiiile limit de ordinul IV, care caracterizeaz condiiile de transfer lainterfaa dintre dou corpuri solide de naturi diferite (figura 2.2)

Fig.2.2 Condiii la limit de ordinul IV

n cazul n care contactul ntre cele dou corpuri este perfect (nu exist rezistenetermice de contact), fluxul termic unitar de suprafa fiind acelai n ambele corpuri,condiiile la limit de ordinul IV se scriu:

.221

1pp

dx

dT

dx

dT

P!

P (2.18)

La interfaa de contact pantele celor dou variaii ale temperaturilor ndeplinesc

condiia:.

1

2

2

1 consttg

tg!

PP

!NN

(2.19)

2.1.4. Conductivitatea termic

Conductivitatea termic se definete din ecuaia legii lui Fourier:

Tgrand

qs!P [W/(mK)] . (2.20)

Ea reprezint fluxul transmis prin conducie prin unitatea de suprafa izoterm laun gradient de temperatur de 1K/m.

Conductivitatea termic este o proprietate a corpurilor care depinde de naturaacesteia, temperatur i presiune. Ordinul de mrime al conductivitii termice pentrudiferite materiale este prezentat n figura 2.3 [39].

Solid 1 Solid 2

T

x

T

T1

N1

T2N2

P1 P2


6/25

Fig. 2.3. Ordinul de mrime al conductivitii termice

pentru diferite materiale [20]Pentru corpurile solide influena presiunii asupra lui P este neglijabil, variaia cu

temperatura avnd forma: TFsP!P 10 [W/(mK)] (2.21)

Variaiile conductivitii termice pentru cteva solide, lichide sau gaze sunt prezentate nfigurile (2.4), (2.5) i (2.6) [20].

Fig.2.4. Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru solide


7/25

Fig. 2.5. Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru lichide

Fig.2.6. Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru gaze


8/25

2.2. Conducia termic unidirecionaln regim constant

2.2.1. Corpuri cu forme geometrice simple

fr surse interioare de cldur2.2.1.1. Peretele plan

Se consider un perete plan ci grosimea Hp, dintr-un material cu conductivitateatermic Pp, prin care se transmite cldura de la un fluid cald cu temperatura Tf1, la unfluid rece cu temperatura Tf2 (figura 2.7)

a) Conducia la limit de ordinul I

n acest caz mrimile cunoscute sunt: grosimea peretelui H, n m; conductivitateatermic Pp, n W/(mK); temperaturile celor doi perei Tp1 i Tp2, suprafaa peretelui S, nm2.

Se ce mrimile: cmpul de temperatur T(x), fluxul termic unitar qs i fluxultermic Q.

n acest caz conducia fiind unidirecional, n regim permanent, fr surseinterioare de cldur se poate pleca de la ecuaia legii lui Fourier:

Fig. 2.7 Conducia termic printr-un perete plan

Tp1

Fluid caldE1

Fluid receE2

Tf1

Tf2

Tp2

x x =Hp

Pp

Tf1 Tf2Rs1 Rs2 Rs3Tp1 Tp2

qs


9/25

dx

dTqs P! (2.22)

Prin separarea variabilelor i integrare se obine:

H

P!

2

10

p

p

p T

T

ps dTdxq , (2.23)

sau: 21 pppps TTq P!H . (2.24)

Rezult:

p

p

pp

s

TTq

P

H

! 21 [W/m3] . (2.25)

Comparnd ecuaia (2.25) cu ecuaia analogiei electrice (1.8), rezult c rezistenatermic conductiv pentru un perete plan este:

p

p

sR

PH! [(m2K)/W] (2.26)

Fluxul termic va fi:

Q= qsS [W] (2.27]

Pentru determinarea cmpului de temperatur ecuaia (2.22) se va integra de la 0la x, respectiv de la Tp1 la T(x). Rezult:

qsx = P [Tp1T(x)] , (2.28)

de unde, nlocuind pe qs cu valoarea din (2.25), rezult:

xTT

TTp

pp

pxH

! 211 . (2.29)

Rezult c variaia temperaturii prin perete este linear.n cazul n care conductivitatea termic nu este constant, ci variaz liniar cu

temperatura:

P = P0(1 + FT) [W/(mK)] , (2.30)

ecuaia legii lui Fouriei va fi:

dx

dTTq

s )1(0 FP! [W/m2] . (2.31)



10/25

2221210 2 pppppsTTTTq

FP!H , (2.32)

sau:

21210

21 pp

pp

p

s TTTT

q

F

H

P! [W/m2] , (2.33)

21 ppms TTq H

P! [W/m2] . (2.34)

Rezult c n acest caz pentru determinarea fluxului termic unitar se poate utilizaaceeai ecuaia ca pentru cazul P = ct., conductivitatea termic calculndu-se latemperatura medie a peretelui Tm = 0,5 (Tp1 + Tp2).

n cazul n care P = P0 (1 + FT), cmpul de temperatur, determinat analog capentru P = ct., are forma:

F

FP

F!

121)(

0

2

1

xqTxT sp . (2.35)

Variaia temperaturii prin perete n acest caz este prezentat n figura 2.8.

Fig. 2.8 Distribuia temperaturii la conduciatermic printr-un perete plan omogen

b

) Condiii la limit de ordinul IIIn acest caz mrimile cunoscute sunt temperaturile celor dou fluide Tf1 i Tf2, cei

doi coeficieni de convecie E1 i E2, grosimea i conductivitatea termic a peretelui Hp iPp, suprafaa de schimb de cldur S.

Se cere determinarea fluxului termic unitar qs, a fluxului termic i atemperaturilor peretelui Tp1 i Tp2.

Fluxul termic unitar de suprafa se poate scrie n acest caz:

Tp1

Tp2

P = const.(F=0)

P=P0(1+Ft)

T(x)

T

H

F0


11/25

22221111 fpppp

p

pfs TTTTTTq E!H

P!E! [W/m2] (2.36)

Din aceste egaliti vor rezulta:

E!

P

H!

E!

222

21

111

1

1

sfp

p

p

spp

spf

qTT

qTT

qTT

(2.37)

Prin nsumare se obine:

E

P

H

E!

2121

11

p

p

sff qTT . (2.38)

Rezult fluxul termic unitar de suprafa:

21

21

11

E

P

H

E

!

p

p

ff

s

TTq [W/m2] . (2.39)

La acelai rezultata se ajunge folosind analogia electric a transferului de cldur.n acest caz apar trei rezistene termice nseriate:

Rst= Rs1 + Rs2 + Rs3 [(m2K)/W] , (2.40)

unde: Rs1 este rezistena termic convectiv la transferul ntre fluidul cald

i perete; Rs2 rezistena termic conductiv prin perete; Rs3 rezistena termicconvectiv de la perete la fluidul rece; Rst rezistena termic total.

Fluxul termic unitar la convecie este dat de relaia lui Newton:

s

pf

pfsR

TTTTTq

(!

E

!E!

1. (2.41)

Rezult c rezistena termic convectiv n cazul peretelui plan este:

E

!1

scvR [(m2K)/W] . (2.42)

Atunci fluxul termic unitar de suprafa va fi:

21

21

11

E

P

H

E

!

(!

p

p

ff

st

s

TT

R

Tq [W/m2] . (2.43]


12/25

Se definete coeficientul global de transfer de cldur Ks:

21

11

11

E

P

H

E

!!

p

pst

sR

K [W/(m2K)] . (2.44)

Fluxul termic transmis va fi:

Q= Ks S(Tf1Tf2) [W] . (2.45)

Temperaturile suprafeelor peretelui se stabilesc fie din ecuaiile (2.36 ), fie cuajutorul rezistenelor termice.

n general temperatura ntr-un punct oarecare din perete se determin cu relaia:

Tx = T0sqsRs, ox , (2.46)

unde:T0 este temperatura cunoscut ntr-un punct de referin;Rs,ox rezistena termic ntre punctul de referin i punctul cuTx.Aplicnd relaia (2.46) rezult:

322111 sssfssfp RRqTRqTT !! ,

sau:

E

P

H!

E!

21

11

112

p

p

sfsfp qTqTT ; (2.47)

i

322112 ssfsssfp RqTRRqTT !! ,

sau:

22

112

11

E!

P

H

E! sf

p

p

sfp qTqTT . (2.48)

c) Rezistene termice de contact

Dac dou suprafee plane vin n contact una cu cealalt, contactul fizic direct,datorit rugozitii suprafeelor, se realizeaz pe o suprafa Sc, care reprezint o micparte din suprafa total de contact S(figura 2.9)


13/25

Fig. 2.9 Rezistena termic de contact

Suprafaa efectiv de contact este funcie de rugozitatea suprafeelor i de fora de

strngere ntre acestea, ea reprezentnd ntre 1z8% din suprafaa total.Deoarece conductivitatea termic a fluidului din interstiiile ntre cele dousuprafee este diferit de conductivitatea termic a celor dou suprafee, la suprafaa decontact apare o diferen de temperatur (Tc, datorit unei rezistene termice decontactRsc definit ca:

s

csc

q

TR

(! [(m2K)/W] . (2.49)

Mrimea invers rezistenei termice de contact este conductana termic decontact:

scR

1* !E [W/(m2K)] . (2.50)

Rezistena termic de contact este compus din dou rezistene termice legate nparalel: rezistena termic prin punctele solide de contact Rss i rezistena termic prinfluidul din interstiii Rsf:

sfsssc RRR

111* !!E [W/(m2K)] . (2.51)

Fluxul termic transmis n zona de contact va fi:

21*2121 TTSS

R

TTS

R

TTQ f

sf

c

ss

E!! [W] . (2.52)

Dar:

2

2

1

1

P

H

P

H!ssR , (2.53)


14/25

f

sfR PH

! . (2.54)

nlocuind valorile Rss i Rsf n ecuaia (2.52) i fcnd ipoteza: H1 = H2 = H/2,rezult:

PPP

PPH!E f

fc

S

S

S

S

21

21*21

, (2.55)

sau:

PP

H!E f

f

medc

S

S

S

S1* [W/(m2K)] , (2.56)

unde: Pmed este media armonic a conductivitii celor dou corpuri n contact (P1 i P2).Din relaia (2.56) rezult c rezistena termic de contact, respectiv conducia

termic de contact sunt dependente de: presiunea de strngere a celor dou suprafee; rugozitatea suprafeelor; rezistena la rupereWra materialului cu duritate mai mic; conductivitatea termic a celor dou solide; conductivitatea termic a fluidului din interstiii.

n figura 2.10 sunt date curbele de variaie a conductanei termice de contact nfuncie de presiunea de strngere pentru 10 perechi de materiale prezentate n tabelul 2.2[37].


15/25

Fig. 2.10 Variaia conductanei termice de contact

Tabelul 2.2

Caracteristicile suprafeelor n contact corespunztoare

curbelor de conductan termic din figura 2.10

Curbanr.

Perechea demateriale

Rugozitateasuprafeelor

Qm

Fluidul dininterstiiu

Temperaturamedie decontactrC

1 Aluminiu 1,221,65 Vid (10-2 Pa) 432 Aluminiu 1,65 Aer 93

3 Aluminiu 0,150,2(neplane)

Foi de plumb(0,2 mm)

43

4 Oel inoxidabil 1,081,52 Vid (10-2 Pa) 305 Oel inoxidabil 0,250,38 Vid (10-2 Pa) 306 Oel inoxidabil 2,54 Aer 937 Cupru 0,180,22 Vid (10-2 Pa) 46

8 Oel inoxidabilaluminiu

0,761,65 Aer 93

9 Magneziu 0,20,41(oxidat)

Vid (10-2 Pa)30

10 Fieraluminiu Aer 27


16/25

d) Perete plan neomogen cu straturi perpendicularepe direcia de propagare a cldurii

Vom considera un perete plan format din 2 straturi cu rezistentermic de contact ntre ele, cu condiii la limit de ordinul III (figura 2.11).

Mrimile cunoscute n acest caz vor fi: temperaturile celor dou fluide Tf1 i Tf2,coeficienii de convecie E1 i E2, grosimile celor doi perei H1 i H2, conductivitiletermice ale pereilorP1 i P2, conductana termic de contact E

* i suprafaa de schimb decldur S.

.

Fig. 2.11 Transferul cldurii ntre dou fluide printr-un perete omogencu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii:a distribuia temperaturii; b schema electric echivalent.

Se cer: fluxul termice unitar de suprafa qs, fluxul termic Q i temperaturile pereilorTp1,Tp2, Tp3, Tp4.

Vom porni de la schema electric echivalent care este format din 5 rezistenetermice nseriate. Rezult:

!

! 5

1

21

i

si

ff

s

R

TTq [W/m2] , (2.57)

(T

Tp11

11

1

E!!( ssps qRqT

*

1E

!!( sscsc qRqT

2

222 P

H!!( sspsp qRqT

222

1

E!!( sss qRqT

1

111 P

H!!( sspsp qRqT

Tf2

Tf1

Tp2

Tp3Tp4

H2H1

P2P1

E2

E1

qsS

a

11

1

E!sR

1

11 PH!sp

R

*1E

!scR 2

22 PH

!spR 2

2 1E!sR

Tf1 Tf2Tp1 Tp2 Tp3 Tp4

qs

b)


17/25

sau, nlocuind valorile celor 5 rezistene:

22

2*

1

1

1

21

111

E

E

H

E

P

H

E

! ffs

TTq [W/m2] . (2.58)

Coeficientul global de transfer de cldur va fi:

22

2*

1

1

1

11111

E

P

H

E

P

H

E

!!st

sR

K [W/(m2K)] (2.59)

Fluxul termic transmis va fi:

Q = qsS= Ks S(Tf1Tf2) [W] . (2.60)

Aplicnd regula dat de relaia (2.46) rezult:

11111

1

E!! sfssfp qTRqTT ; (2.61)

P

H

E!!

1

1

112112

1sfsssfp

qTRRqTT ; (2.62)

E

P

H

E!!

*1

1

1132113

11sfssssfp

qTRRRqTT ; (2.63)

2224

1

E!! sfspsfp qTRqTT . (2.64)

e) Perete compozit

Pentru exemplificarea acestui caz vom considera faada unei cldiri (figura 2.12)constituit din beton cu conductivitatea termic P1 (haurat) i un material izolant (aer saupolistiren) cu conductivitatea termic P2 [1].

innd seama de simetria sistemului, acesta se poate descompune, n elemente denlime identic b. Schema electric echivalent este compus din 7 rezistene termicelegate n serie i paralele.


18/25

Fig. 2.12 Perete compozit [1]Rezistena termic total echivalent va fi:

76

543

21 1111

ss

sss

ssst RR

RRR

RRR

! . (2.65)

Pentru determinarea rezistenelor termice vom scrie fluxul termic unitar pe fiecarezon, considernd o lime a peretelui z, astfel ca zb=1m2. Vom obine pentru zoneleomogene 1, 2, 4 i 5:

5241

1

21

1

11 TTTTqs (E

!(H

P

!(H

P

!(E

! . (2.66)Rezult:

27

1

16

1

12

11

1;;;

1

E!

PH

!PH

!E

! ssss RRRR [(m2K)/W] (2.67)

Pentru zona 3 care este neomogen fluxul termic unitar va fi:

332

22

2

11

2

2321 Tzbzbzbqqqq ssss (

H

P

H

P

H

P!! . (2.68)

Rezult:

12

2

12

2

2

123

1

b

b

zbzbRs P

H!

P

H!

H

P! ; (2.69)

H

b

b

(T3(T1 (T2 (T4 (T5

Rs2Rs1

Rs3

Rs4

Rs5

Rs6 Rs7T1 T2

T1 T2E1 E2


19/25

21

2

21

2

2

2114

1

b

b

zbzbRs P

H!

P

H!

H

P! ; (2.70)

32

2

32

2

2

325

1

b

b

zbzbRs P

H

!P

H

!H

P! . (2.71)

2.2.1.2. Peretele cilindric

Se consider un perete cilindric tubular cu raza interioar ri (diametrul di) i razaexterioar re (diametrul exteriorde), alctuit dintr-un material omogen cu conductivitateatermic P = const.

a) Condiii la limit de ordinul ISe dau: diametrele di i de, conductivitatea termic P, lungimea la cilindrului i

temperaturile pe cele dou fee Tp1 i Tp2.

Se cer: determinarea cmpului de temperatur, fluxului termic unitar linear ifluxului termic.

n cazul peretelui cilindric suprafaa sa variaz n lungul razei i n consecin ifluxul termic unitar de suprafa va fi variabil n funcie de raz. Din aceste motive nacest caz se utilizeaz fluxul termic unitar linear ql. Legtura ntre cele dou fluxuriunitare este:

dqq sl T! [W/m] . (2.72)

Fig. 1.13 Transferul de cldur conductiv printr-un perete cilindric:a) variaia temperaturii; b) schema electric echivalent

ri

re

di

de

T 1

T 2

T1

T2

drd

l=1

P=const.

T

a)

b)T2 T1T 2 T 1

Rl2 Rl1Rl3


20/25

Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se pornete de la ecuaia legii luiFourier:

dr

dTSlqQ l P!! . (2.73)

Suprafaa de schimb de cldur este: S= 2Trl. Rezult:

dr

dTrq

lPT! 2 . (2.74)

Separnd variabilele i integrnd se obine:

r

drqdT

e

i

p

p

r

r

e

T

T

TP

! 22

1

, (2.75)

de unde:

i

e

pp

l

r

r

TTq

ln2

121

TP

! [W/m] . (2.76)

Din analogia electric va rezulta valoarea rezistenei termice lineare pentru peretelecilindric:

i

e

i

e

ld

d

r

rR ln

2

1ln

2

1

TPTP!! [(mK)/W] . (2.77)

Pentru determinarea ecuaiei cmpului de temperatur ecuaia (2.75) se va integrade la Tp1 la T(r), respectiv de la ri la r. Se obine:

i

lp

r

rqrTT ln

2)(1

TP! . (2.78)

nlocuind valoarea lui qldin (2.77), se obine:

)/(ln

)/(ln)( 211

ie

ippp

rr

rrTTTrT ! , (2.79)

relaie care arat c distribuia temperaturii n peretele cilindric este de tip logaritmic.n cazul n care conductivitatea termic este variabil linear cu temperatura: P =

P0 (1+FT) ecuaia (2.74) devine:

dr

dTrTql TFP! 210 . (2.80)


21/25

Prin integrare ntre limitele r1 i r, respectiv Tp1 i T(r), rezult:

F

FTP

F!

1/ln1)(

0

1

2

1

rrqTrT lp . (2.81)

Distribuia temperaturii prin perete n funcie de semnul lui F este prezentat nfigura 2.14

b) Conducii la limit de ordinul III

n acest caz mrimile cunoscute vor fi: temperaturile celor dou fluide Tf1 i Tf2,coeficienii de convecie Ei, Ee, diametrele i lungimea peretelui: di, de, l iconductivitatea termic P.

Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se va utiliza analogia electric a

transferului termic pentru schema echivalent din figura 2.13.

Fig. 2.14 Distribuia temperaturii la conduciatermic printr-un perete cilindric omogen

Fluxul termic unitar linear va fi:

321

21

lll

ff

lRRR

TTq

! [W/m] , (2.82)

unde: Rl1 i Rl3 sunt rezistene termice convective, n mK/W; Rl2 rezistena termicconductiv, n mK/W.

d1

Pconst.(F=0)T(r)

F0

P=P0(1+TF)

Tp1

Tp2

T

d2

r

ql


22/25

Pentru determinarea valorii rezistenei termice convective se pleac de la relaialegii lui Newton:

TrlTSQ (TE!(E! 2 [W] . (2.83)Rezult:

ET

(!!

d

TlQql 1

[W/m] . (2.84)

Rezistena termic linear convectiv va fi:

ET!

dR cvl

1, [(mK)/W] . (2.85)

nlocuind n (2.82) valorile rezistenelor termice calculate cu (2.85) i (2.77),rezult:

eei

e

ii

ff

l

ddd

d

TTq

ET

TPET

!

1ln2

11

21[W/m] . 2.86)

Definind coeficientul global linear de transfer de cldur:

eei

e

ii

l

dd

d

d

K

ET

TP

ET

!1

ln2

111

[W/(mK)] , (2.87)

fluxul termic va fi: 21 ffl TTlKQ ! [W] . (2.88)

Pentru determinarea temperaturilor pereilor se va aplica relaia (2.46):

ei

lfllfpd

qTRqTTET

!! 11111 ; (2.89)

ee

lfllf

i

e

ii

lflllfp

dqTRqT

d

d

dqTRRqTT

ET

TPET

1

ln2

11

232

12112

!!

!

!!

. (2.90)

c) Perete cilindric neomogen cu straturi perpendicularepe direcia de propagare a cldurii

Se consider un perete cilindric format din dou straturi cu rezisten termic decontact ntre ele (figura 2.15).Rezistena termic total este:

232

3

2*

21

2

111

2211

1ln

2

11ln

2

11

ET

TP

ET

TP

ET!

!!

dd

d

dd

d

d

RRRRRR llplclpllt

. (2.91)


23/25

Coeficientul global de schimb de cldur, fluxul termic unitar linear i fluxultermic se determin cu relaiile:

Fig. 2.15 Transferul cldurii printr-un perete cilindric neomogencu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii

232

3

2*

21

2

111

1ln

2

11ln

2

111

ET

TP

ET

TP

ET

!

dd

d

dd

d

d

Kl [W/(mK)];(2.92)

11 pfll TTKq ! [W/m] . (2.93)

Temperaturile peretelui se determin analog ca n cazul anterior (relaia 2.46).Pentru exemplificare:

222

1113

lpllf

lclpllfp

RRqT

RRRqTT

!

!![rC] . (2.94)

2.2.1.3. Peretele sferic

a) Condiii la limit de ordinul I

Se consider un perete sferic (sfer goal la interior, (figura 2.16) cu razainterioar r1 i cea exterioar r2, dintr-un material cu conductivitatea termic P. Se cunosccele dou temperaturi pe suprafa Tp1 i Tp2.

T1

(

T 1

1111

1

ET!!(

dqRqT lll

*2

1

ET!!(

dqRqT llclc

2

3

2

22 ln2

1

d

dqRqT llplp

TP!!(

2322

1

ET!!(

dqRqT

lll

1

2

111 ln2

1ddqRqT llplp

TP!!(

T2

T 2

T 3T 4

PP

E

E

i

d1

d2

d3

E*


24/25

Fig. 2.16 Transferul cldurii prin conducieprintr-un perete sferic omogen

Fluxul termic, conform ecuaiei legii lui Fourier va fi:

drdT

rdr

dTSQ

2

4TP!P! [W] . (2.95)


TP

!2

1

2

1

24

r

r

T

Tr

drQdT

p

p

, (2.96)

Rezult:

TP!

2121

11

4 rr

QTT pp . (2.97)

Fluxul termic va fi:

TP

!

TP!

21

21

21

21

11

2

111

4

dd

TT

rr

TTQ

pppp [W] . (2.98)

Rezult c rezistena termic conductiv n cazul sferic va fi:

T Tp1

Tp2

T(r)

r1

r2

r dr

dT

d1d2

0

P=const.


25/25

TP!

21

11

2

1

ddRtcd [K/W] (2.99)

Prin integrarea relaiei (2.96) de la Tp1 la T(r), respectiv de la r1 la r, rezultecuaia cmpului de temperatur:

21

1211

11 11

11

11

4)(

rr

rrTTT

rr

QTrT pppp

!

TP! (2.100)

Relaia (2.100) arat c variaia temperaturii prin perete este n acest caz de tiphiperbolic.

b) Condiii la limit de ordinul III

Ecuaia fluxului termic convectiv n cazul sferei este:

ET

(!(ET!(E!

2

2

1

d

TTdTSQ [W] (2.101)

Rezult c rezistena termic convectiv n cazul peretelui sferic este:

ET!

2

1

dRtcv [K/W] . (2.202)

Aplicnd analogia electric, n cazul condiiilor la limit de ordinul III fluxul

termic va fi:

222211

21

21

1

21

111

2

11

2

ET

TP

ET

!

!

!

dddd

TT

RRR

TTQ

ff

tcvtcdtcv

ff

[W] , (2.103)

sau: 21 ffsf TTKQ ! [W] . (2.104)

Rezult coeficientul global de schimb de cldur pentru peretele sferic:

222211

21

111

2

11

1

ET

TP

ET

!

dddd

Ksf [W/K] . (2.105)

Lectia 2 TRANSFERUL DE CǍLDURǍ PRIN CONDUCŢIE

Documents

Transcript of Lectia 2 TRANSFERUL DE CǍLDURǍ PRIN CONDUCŢIE