Mecanica cuantica: o răsturnare a imaginii

realițătii

Lecția 2

Planul pentru lecție

• Criza fizicii clasice și soluția neașteptată

• Conceptele mechanicii quantice și diferențele majore de descripția clasica

• Observațiile in mechanica cuantică

• Paradoxurile cuantice

Criza fizicii classice• După lucrarea lui Newton au urmat lucrarile lui

Hamilton, Lagrange și Liouville

• Spre sfarsitul secolului XIX nu mai existau probleme teoretice conceptuale

• Existau cateva “mici” probleme, fenomene, care se așteptau explicate: radiația termală, efectul fotoelectric, etc.

Soluția neașteptată…

• Radiația corpului negru (Black body radiation) și efectul fotoelectric a putut fi explicată de, respectiv, M. Planck și A. Einstein asumănd cuantizarea energiei atomilor

• Nivele energetice al atomului de Hidrogen au putut fi explicate reieșind din asumarea naturei ondulatorie a electronului

Mecanică ondulatorie sau matriceală?

Dezvoltarea conceptelor atomice au culminat cu două teorii:

• Mecanica ondulatorie a lui Schrödinger

• Mecanica matriceală a lui Heisenberg

Echivalența acestor două abordări a fost demonstrată de P. Dirac, deși până in ziua de azi persistă divizarea teoreticenilor in “algebraiști” și analiști

Mecanica ondulatorie• Sistemul fizic este descris de funcția de undă

• care este soluția equației Schrödinger

• Operatorul Hamiltonianei:

Mecanica matriceală• Coordonatele si impulsurile sistemului nu mai sunt

cantități numerice ci sunt date de obiecte necomutative (matrice), și

• astfel că comutatorul, adică, rezultatul comutării al impulsului cu coordonata respectivă este

• Toate celelate observabile sunt funcții matriceale a și

Unificarea abordărilor• Operatorii și generează algebra Heisenberg

• Representarea algebrei:

• impreună cu interpretarea Hamiltonianei ca operatorul deplasărilor in timp, ne duce la equația Schrödinger…

Conceptele mecanicii cuantice

• Ambele abordări pot fi obținute ca reprezentari a unei descrieri universale caracterizată de…

Starea cuantica• Conepția de stare cuantică…

• Sistemul se află intr-o stare , element a spațiului linear care include toate stările posibile

• Numai direcția vectorului are relevanță nu și magnitudinea

Convenția Dirac…• Starea este denotată printr-un “ket”: , in

interiourul cărui stau “etichetele” care ne permit identificarea unice a stării

• “ket” este partea finală a cuvântului bracket: “bra-c-ket”; nu este ceva întreg, desinestătător

• …la fel ca și “bra” , care e prima jumatate

Produs Hermitean• Numai “bra” și “ket” impreuna, , “bracket”

fac un întreg, adică pot avea o valoare numerică

• Este un produs Hermitean intre doua stări

Spațiu linear

• Daca sistemul poate fi găsit în starea sau în starea atunci în mod necesar orice stare care este o combinație lineară

• este posibilă la fel

ProbabilitatePrincipiul suprapunerii stărilor:

• Date fiind două stări și al aceluiași sistem, probabilitatea să găsim sistemul în starea atunci când el este în starea este dat de

• Pe când se numește amplitudine

Echivalența• Deci stările cuantice sunt descrise de vectori in spații

lineare Hermitiene, de obicei infinit-dimensionale

• Doar nu toți vectorii diferiți corespund starilor diferite: doi vecori colineari descriu aceiași stare

• Chiar dacă cerem vectorii sa fie normalizați

• mai exista arbitraritatea de fază:

Observabilele cuantice• Datorită proprietățlor sale funcția de undă nu

poate fi observabilă

• Observabilele sunt operatori lineari

• Operatorii formează algebra operatorilor

• Pentru un sistem mecanic algebra este generată de operatorii de bază

Algebra Heisenberg• Operatorii de bază sunt operatorul impulsului și coordonatei

• Spre deosebire de versiunile clasice operatorii impulsului și coordonatei sunt necomutativi

Valorile observabilelor• O observabilă are o valoare bine definită în stări

care sunt stări proprii

• Pentru o stare normalizată

• probabilitatea s-o găsim în e …

Valorile medii• Când sistemul se află în starea valoarea

medie observabilei (oarecare) este dată de

• Temă: demonstrați formula!

Observarea și colapsul funcției de undă

• Conform interpretării tradiționale, în momentul observării starea sistemului va fi proiectat în una din stările proprii a observabilei măsurate

• Aceasta se va întâmpla cu probabilitatea dată mai sus

• Acest fenomen se numește colapsul funcției de undă și se întâmplă instantaneu…

Evoluția cuantică• Stările cuantice evoluează în timp așa cum e

dictat de operatorul Hamiltonianei cuantice

Paradoxuri cuantice

De o astfel de interpretare a observării sunt legate două paradoxuri cunoscute

• EPR (Einstein-Podolski-Rosen) paradox

• Paradoxul cuantic lui Zenon (Quantum Zeno paradox)

EPR paradox• Imaginați-vă un proces în care se produce o

pereche de particele, e.g. un electron și un positron în așa fel că spinul electronului e opus celui positronului

e p sau e p

EPR paradox• Electronul pleacă intr-o parte, iar positronul in alta

• Fără a face observații nu știm dacă electrunul sau positronul au spinul în sus… poate fi oricum cu probabilitatea 1/2

• În schimb, după ce s-a facut o singură măsurare, să zicem a spinului electronului, spinul positronului va fi determinat

• Chiar dacă la momentul acela positronul va fi deja în alta galaxie…

EPR• Aparent concluzia intră în contradicție cu

cauzalitatea: semnalul nu poate travesa cu viteza ce depașăște viteza luminii (vezi următoarele lecții)

• EPR au propus că există variabile ascunse care conțin informații despre rezultatul posibil a măsurătoarii…

Teorema lui Bell

• Bell a generalizat argumentul EPR și a dedus o relație de inegalitate (Bell inequality), care demonstreaza că variabilele ascunse nu pot fi introduse fără să intram în contradicție cu predicțiile mecancii cuantice (confirmate de experiment)

• Asta a fost inceputul teoriei informatiei…

Paradoxul Zenon cuanticFilosoful grec Zenon a propus un paradox (aporiu) din care “reiese” imposibilitatea mișcării

• Înainte oricărei mișcări trebuie sa faci primul pas…

• Înainte, să faci prima jumătate…

• Înainte, primul sfert…

• etc,

Șirul n-are sfârșit, adică n-ai șansa să incepi prima mișcare

Zenon cuantic• Colapsul funcției de undă oferă prilejul unui

paradox similar

• Considerați un sistem care trece dintr-o stare instabilă în altă stare

• La momentul t probabilitatea sa găsim sistemul in starea 1 e P(t) și in starea 2 e 1-P(t)

Zenon cuantic• La scurt timp după începerea procesului se

produce o observație

• Cu probabilitatea P(t) regăsim starea 1

• Funcția de undă colapsează la și procesul reîncepe de la capăt…

• Dacă P(t) e funcție liniară probabilitatea transferului 1→2 nu se schimbă

Zenon cuantic• Dacă P(t) crește mai rapid decât liniar…

• în cazul mesuraătorilor în succesiune rapidă probabilitatea transferului se reduce la zero

• Ideea e că măsuratorile ar trebui să se întâmple cu adevarat foarte rapid (în timpuri cuantice)

• Deși s-au încercat numeroase experimente, deocamdată nu există probe concludente…