LecNote 1 (Intro)
-
Upload
hisyam-sibarani -
Category
Documents
-
view
134 -
download
5
description
Transcript of LecNote 1 (Intro)
FINITE ELEMENT METHOD(Metode Elemen Hingga)
Lecture Notes
Civil Engineering DepartmentSebelas Maret Universityby Agus Supriyadi
What…?How… ?Why…?
Deskripsi Matakuliah (Descriptions)
Nama matakuliah Metode Elemen HinggaFinite Element Methods
Semester & Kredit Point VII – 3 SKS - Pilihan Wajib
Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami konsep dasar Metode Elemen Hingga sebagai cara analisis untuk mengetahui respons struktur (perpindahan, tegangan, gaya-dalam) pada berbagai jenis struktur akibat pengaruh gaya-luar.
Deskripsi Matakuliah (lanjutan)
Metode Pembelajaran
ceramah, diskusi, tugas terstruktur, presentasi kelompok
Referensi Logan D.L., “A First Course in The Finite Element Method”,Yang,
T.Y., “Finite Element Structural Analysis”,
Weaver, “Finite Element for Structural Analysis”
CSI, “SAP2000 Analysis Reference Manual”
Cara Evaluasi / Penilaian
Penilaian tugas / diskusi / presentasiPenilaian UTSPenilaian UASSyarat presensi ≥ 75%
Pokok Bahasan1. Pendahuluan : konsep dasar, filosofi penyelesaian
masalah, tipe elemen-hingga, tahapan umum analisis, aplikasi.
2. Konsep penurunan matriks kekakuan elemen.3. Aplikasi pada struktur dengan berbagai variasi tipe elemen
satu-dimensi (line element).4. Elemen dua-dimensi (2-dimensional element) :
Plane stress, Plane strain Constant strain triangle (CST) Isoparametric element, Natural coordinate Rectangular element Axisymmetric element
5. Elemen tiga-dimensi (3-dimensional element), solid element, brick element
6. Pengantar aplikasi non struktural : heat transfer, thermal stress.
Pendahuluan (Introduction)
Suatu benda (kontinum) dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil dan sederhana (disebut elemen hingga)
Masalah (pada kontinum) dengan jumlah degrees of freedom (d.o.f) tak berhingga, diubah menjadi masalah dengan d.o.f. tertentu (berhingga) sehingga penyelesaian menjadi lebih sederhana
FEM merupakan metode numerik berorientasi komputer, bersifat pendekatan (tidak eksak)
Pendekatan didasarkan asumsi perpindahan, atau tegangan, atau kombinasi keduanya
Digunakan untuk menyelesaikan berbagai problem engineering (penekanan pada analisis struktur).
What is Finite Element Method (FEM) …?
Pendahuluan (Introduction)
Problem engineering yang dapat diselesaikan dengan FEM antara lain :
Structural problem : menghitung defleksi, gaya-dalam, tegangan-dalam, reaksi, vibrasi, tekuk
Non structural problem : rambatan panas, aliran fluida, transportasi massa, potensial elektromagnit,
Prinsip Finite Element Analysis Benda (kontinum) dibagi-bagi menjadi sejumlah elemen
yang lebih kecil dan sederhana geometrinya (garis, segitiga, segiempat, kubus, dsb) elemen-hingga
Perilaku masing-masing elemen-hingga dirumuskan dengan persamaan yang lebih sederhana (element equations)
Antara elemen satu dengan lainnya, dihubungkan (dibatasi) oleh titik-simpul (nodal point / node), dan / atau garis batas, dan/atau permukaan.
Proses pemodelan seperti ini disebut discretization (diskritisasi).
Prinsip Finite Element Analysis
Elemen-elemen digabungkan kembali menjadi satu kesatuan struktur. Demikian pula element equations digabungkan menjadi 1 set persamaan simultan pada tataran sumbu struktur (global equations).
Solusi persamaan simultan menghasilkan 1 set nilai perpindahan pada tataran sumbu struktur.
Perpindahan struktur ditransformasikan menjadi perpindahan individual element, sehingga gaya-dalam elemen dapat dihitung.
Setiap node mempunyai sejumlah komponen perpindahan atau degrees of freedom (d.o.f.). Node merupakan titik bermateri pada suatu struktur, yang dapat mewakili besaran-besaran pada struktur (misalnya perpindahan).
Pada prinsipnya, suatu struktur merupakan sistem kontinum yang mempunyai jumlah d.o.f. tak terhingga. Perpindahan pada sistem struktur bersifat kontinyu.
Banyaknya d.o.f. atau banyaknya elemen yang dimodelkan dalam suatu sistem struktur akan mempengaruhi tingkat kontinyuitas dan ketelitian hasil analisis.
Prinsip Finite Element Analysis
Sifat khas : elemen dapat “diisolir” (dipandang sbg. bagian yang bebas dan seimbang), tidak tergantung pada elemen lain, sehingga dimungkinkan untuk menggabungkan berbagai tipe elemen yang berbeda, asalkan d.o.f. titik-nodal batasnya cocok
Formulasi Finite Element Analysis disajikan dalam bentuk matriks. Pendekatan yang lazim digunakan adalah Metode Kekakuan (Stiffness Matrix)
Prinsip Finite Element Analysis
How is Finite Element Analysis Useful ?
FEM dapat diterapkan dalam kondisi kasus : Geometri tidak teratur Tipe beban yang kompleks Sifat material bervariasi Berbagai jenis perletakan (boundary condition) Perilaku non-linier Dinamis
small deflection and elastic material properties (linear analysis),
small deflection and plastic material properties (material nonlinearity),
large deflection and elastic material properties (geometric nonlinearity),
simultaneous large deflection and plastic material properties (material & geometric nonlinearity)
untuk tingkat S1 ditekankan pada kasus 1
Type of Analysis on Structures
Filosofi & Proses Penyelesaian Masalahdalam Finite Element Analysis
Physical Problem
Mathematical modelGoverned by differential equations.
Assumtion on : geometry, kinematics, material laws, loading, boundary condition, etc.
Finite Element solution
Assessment of accuracy of finite element solution of mathematical model
Interpretation of results
Design improvement, structural optimization
Change of physical problem
Improve mathematical model
Refine mesh, solution parameters, etc
Refine analysis
Fini
te e
lm. s
olut
ion
of
mat
hem
atic
al m
odel
Contoh konsep pemodelan matematis
Figure 1.a :Physical problem sebuah bracket dengan beban W di ujungnya
Figure 1.b :Pemodelan sebagai BEAM
(lihat gambar 1.a & 1.b) :
Pemilihan model matematis tergantung pada : fenomena yang ingin diprediksi, geometri benda, sifat material, beban dan tumpuan.
Bracket bertumpu pada kolom yang “sangat tebal”. Deskripsi “sangat tebal” berarti relatif terhadap tebal t dan tinggi h dari bracket. Pernyataan ini diterjemahkan sebagai asumsi bahwa bracket ditumpu oleh kolom yang kaku (sebagai kondisi batas / boundary condition).
(See Figure 1.a dan 1.b) :
Bekerjanya beban W pada struktur bracket dipandang “sangat lambat”. Deskripsi “sangat lambat” adalah relatif terhadap periode-alami dari sistem bracket. Pernyataan ini diterjemahkan bahwa jenis analisis statis cukup memadai (tidak harus analisis dinamis).
Pemilihan model matematis :
misalkan fenomena / respon yang ingin diprediksi hanya berupa momen lentur pada irisan A-A dan defleksi pada titik ujung (posisi beban W), maka cukup dipilih model matematis sebagai beam. (Figure1.b)
Contoh konsep pemodelan matematis
Model matematis yang “komprehensif” mampu menunjukkan perilaku tiga-dimensi (mendekati kondisi sebenarnya).
Model ini menunjukkan geometri bracket yang lebih akurat dibandingkan dengan model beam (elemen dimensi satu)
Untuk maksud ini, dapat dipilih model plane stress
Kesimpulan penting tentang model matematis
Pemilihan model matematis tergantung pada jenis respon yang ingin diprediksi.
Model matematis yang efektif adalah model yang mampu memberikan jawaban dengan handal dengan minimum cost.
FEM dapat menyelesaikan dengan akurat hanya pada model matematis yang dipilih, dan tidak dapat memprediksi informasi lainnya (selain dari apa yang terkandung di dalam model yang telah dipilih)
General Steps of Finite Element Analysis1. Discretize and Select Element Types
2. Select a Displacement Function
3. Define the Strain-Displacement and Stress-Strain Relationships
4. Derive the Element Stiffness Matrix and Equations {f} = [k] {d}
5. Assemble the Element Equations to Obtain the Global Equations and Introduce Boundary Conditions
6. Solve the Global Equations for the Unknown Degrees of Freedom (Generalized Displacement)
7. Solve for the Element Forces or Stresses
8. Interpret the Result
1. Discretize & Select Element Type
Membagi benda (sebagai satu sistem kontinum) menjadi beberapa elemen, dan memilih tipe elemen apa yang paling cocok untuk masing-masing elemen tersebut.
Penetapan total jumlah elemen, variasi ukuran, serta tipe elemen, merupakan keputusan awal yang penting dalam analisis.
Dari satu segi alasan, ukuran elemen sebaiknya cukup kecil (jumlah banyak) agar diperoleh hasil analisis yang dapat mewakili dengan baik. Namun dari segi alasan lain, elemen sebaiknya cukup besar (jumlah sedikit), agar problem komputasi menjadi kecil.
Discretize & Select Element Type Tipe dasar elemen-hingga dibedakan menjadi 4 macam :
Line Element (elemen satu dimensi), digunakan untuk memodelkan beam, truss (space truss, plane truss), frame (space frame, plane frame), grid, dan kabel.
(sebagian besar aplikasi tipe elemen ini telah dibahas dalam m.k. Analisis Struktur dengan Metode Matriks)
Plane Element (elemen dua dimensi, elemen bidang), digunakan untuk memodelkan kasus tegangan / regangan bidang (plane stress / plane strain), pelat lentur (plate bending), membran (pelat tipis).
Axisymmetric Element, pengembangan plane element untuk memodelkan jenis benda-putar.
Solid Element (elemen tiga dimensi), digunakan untuk memodelkan kasus tegangan tiga dimensi.
Line element (elemen satu dimensi)
Contoh struktur dengan model line element, sebuah space frame
1 2 x
ySebuah line element dengan 2 node
Plane element (elemen dimensi dua)
x
y
1 2
3
x
y
21
34
Elemen segi-tiga 3-node
Triangular element
Elemen segi-empat 4-nodeQuadrilateral element
Contoh struktur dengan model plane element
Plate bendingContoh : pelat lantai Membrane, Plane Stress
Contoh : shear wall
Solid element (elemen dimensi tiga)
x
y
z1 2
34
5 6
78
Hexahedral (brick element) 8 node
Contoh struktur dengan model brick element
Elemen Axisymmetric
Sudut putar
Sumbu putar
Radius r
domesilinder
Contoh iIustrasi pemodelan
1 sistem struktur
diskretisasi
4 blok elemen (plane element, shell, plate bending)
Elemen frame 3D
2. Select a Displacement Function
Pemilihan fungsi perpindahan pada setiap elemen
Fungsi linier, kuadrat, dan polinomial pangkat 3, sering digunakan karena sederhana. Fungsi trigonometri juga dapat digunakan.
Contoh
u(x) = a1 + a2 x
u(x) = a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4
Banyaknya koefisien ai menunjukkan total d.o.f. pada elemen
3. Define the Strain-Displacement and Stress Strain Relationships
Hubungan regangan-perpindahan dan tegangan-regangan diperlukan dalam penurunan persamaan pada masing-masing elemen.
Pada kasus satu dimensi (misal dalam arah x), hubungan regangan x dengan perpindahan u (untuk regangan kecil)
Hukum constitutive menghubungkan tegangan x dengan regangan x. Hubungan yang paling sederhana dinyatakan dengan Hukum Hooke :
E : modulus elastis
dx
dux
xx E .
4. Derive the Element Stiffness Matrix and Equation
Metode keseimbangan langsung (direct equilibrium) Diturunkan dengan prinsip persamaan keseimbangan
gaya pada elemen. Paling mudah diterapkan pada jenis elemen dimensi satu
(misal : beam, truss). Metode energi :
Diturunkan dengan prinsip virtual work, energi potensial minimum, teorema Castigliano.
Cocok diterapkan pada jenis elemen dimensi dua dan dimensi tiga.
Metode Galerkin, metode Ritz : Menghasilkan formulasi yang sama dengan metode
energi. Digunakan khususnya bila fungsi energi potensial tidak dapat disusun.
Element equations (based on Stiffness Method)
nnnn
n
n
n
n d
d
d
d
kk
kkkk
kkkk
kkkk
f
f
f
f
.
...
.....
.
.
.
.3
2
1
1
3333231
2232221
1131211
3
2
1
Vector ofnodal forces
Element Stiffness MatrixVector of unknown nodal
d.o.f. (displacements)
5. Assemble the Element Equations to Obtain the Global Equations and Introduce Boundary Conditions
Semua persamaan elemen yang diperoleh pada tahap 4, “dijumlahkan” (dirakit) menjadi satu persamaan simultan dengan prinsip superposisi (Direct Stiffness Method).
Persamaan global [F] = [K] {D} Sifat matriks [K] global :
Simetris Koefisien pada diagonal utama selalu bernilai positif Bila kondisi-batas belum diterapkan [K] bersifat singular
(determinan NOL, tidak ada invers), tidak ada penyelesaian persamaan, rigid body movement.
Agar persamaan global dapat diselesaikan, harus diberikan kondisi-batas yang cukup.
6. Solve the Global Equations for the Unknown Degrees of Freedom (Generalized Displacement)
Metode yang cocok diterapkan untuk aplikasi program komputer, misalnya : eliminasi Gauss, iterasi Gauss-Seidel.
Metode invers matriks kurang cocok diterapkan pada program komputer, karena penggunaan memory yang besar.
7. Solve for the Element Forces or Stresses
8. Interpret the result
Prinsip analisis ini telah banyak diberikan dalam matakuliah Analisis Struktur dengan Metode Matriks (metode direct stiffness matrix) khusus untuk model elemen satu dimensi (line element)