LECCIONES DEL

CURSO DE MODELACIÓN

MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL POSGRADOS DE

CIENCIAS DE LA TIERRA

Y DE

CIENCIA E INGENIERÍA DE LA

COMPUTACIÓN

UNAM

AUTOR:

ISMAEL HERRERA REVILLA 1

Basado en el Libro

‘‘Mathematical Modeling in

Science and Engineering:

An Axiomatic Approach’’ Por

Ismael Herrera y George F. Pinder

2

3

John Wiley

2012

LECCIÓN 3

4

MODELOS CLÁSICOS

DE LA

FÍSICA MACROSCÓPICA

CARACTERÍSTICAS GENERALES

● La teoría que se va a desarrollar es una teoría

unificada de sólidos y fluidos;

●Ella constituye la mecánica clásica de medios

continuos;

● Todos los sistemas de la mecánica clásica de

medios continuos son de una fase;

● Esta teoría se basa en cinco propiedades extensivas.

5

6

EL MODELO GENERAL DE LOS

SISTEMAS DE UNA FASE

CONDICIONES DE BALANCE

EN TÉRMINOS DE LAS PROPIEDADES

INTENSIVAS

7

RECUERDE

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DE UNA FASE

Los modelos continuos de una fase satisfacen la

siguiente hipótesis: "En cada punto del espacio físico, hay

una y sól

o una partícula material"

Un cuerpo material es un conjunto de partículas que en

cada instante ocupa un dominio en el sentido matemático

del espacio físico. En cada dominio del espacío físico hay

un cu

erpo material, y sólo uno

Se usa la notación para el cuerpo material, el cual en el

tiempo ocupa el dominio B del espacio físicot t

B

8

1

:

,..., N

Cada sistema de una fase está

caracterizado por

Una familia de propiedades

intensivas

CARACTERIZACIÓN DE LOS MODELOS

DE UNA FASE DE LA

FÍSICA MACROSCÓPICA

9

EL MODELO BÁSICO DE LA

FÍSICA MACROSCÓPICA

DE UNA FASE

El ‘modelo matemático básico’ del

sistema está constituido por el sistema

de ecuaciones diferenciales parciales (y

de saltos) que se obtiene al aplicar la

ecuación general de balance, expresada

en términos de la propiedad intensiva

asociada, a cada uno de los miembros de

la familia de propiedades extensivas

10

, 1,...,

, 1,...,

OBSERVACIÓN. Para sistemas de una fase sólo

hay una velocidad de

Las "ecuaciones diferenciales"

g Nt

y las "condiciones de salto"

n g N

v

v v

las partículas

MODELOS CLÁSICOS DE LA

FÍSICA MACROSCÓPICA:

Teoría unificada de sólidos y fluidos

11

PROPIEDADES

EXTENSIVAS DE LA

MECÁNICA CLÁSICA

●Masa

●Momento lineal

●Momento angular

●Energía cinética

●Energía interna

12

FAMILIA DE PROPIEDADES

EXTENSIVAS

13

B t

212

Masa: ,

Momento lineal:

Momento angular:

Energía cinética:

Energía interna:

B t

a

B t

C

B t

I

B t

M t x t d x

t x,t x,t d x

t x d x

E t d x

E t Ed x

M

M

v

v

v

FAMILIA DE PROPIEDADES

INTENSIVAS

14

21

2

Densidad: ,

Densidad de momento lineal:

Densidad de momento angular:

Densidad de energía cinética:

Densidad de energía interna:

x t

x,t x,t

x

U

v

v

v

15

RECORDATORIO

ECUACIONES DE BALANCE

16

E

dE+

B t

B t B t

t dx

t gdx ndxdt

t gt

v

17

LA MASA

18

,

, ,

B t

M t x t d x

x t x t

PRINCIPIO FÍSICO:

CONSERVACIÓN DE MASA

19

20

LUEGO

ASÍ QUE

, , 0

, 0 y , 0

0

B tB t

dMt g x t dx x t ndx

dt

g x t x t

t

LOS CUERPOS CONSERVAN LA MASA EN SU MOVIMIENTO

v

21

MOMENTO LINEAL

EL PRINCIPIO FÍSICO

QUE GOBIERNA EL

BALANCE DE MOMENTO LINEAL

22

2A LEY DE NEWTON GENERALIZADA

La rapidez de cambio del momento

lineal de un cuerpo es igual a la

fuerza total que se ejerce sobre el

cuerpo

23

24

NOMENCLATURA.

LA SEGUNDA LEY DE NEWTON

, ,B t B t

g fuerza por unidad de volumen

q fuerza por unidad de superficie

q Tracciones T (tractions)

g fuerzas de cuerpo (body forces)

dt x t dx q x t dx

dtg

M

LAS TRACCIONES

Y

LA MATRIZ DE ESFUERZOS

25

26

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

, .

, , . = , .

=

Donde , ,

2a LEY DE NEWTON POR COMPONENTES

, , iii i i

B t B t B t B t

ii i

i i i i

n

g g g g

q T q q q q T T T

T q n

qd

t dx x t dx dx dx i=1,2,3dt

g g

M

27

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

1

Defina la matriz de esfuerzos

Entonces las ecuaciones :

= ,

son equivalentes a la ecuación matricial

iiT n i = 1,2,3

T

11 12 13 11 12 131 1

2 21 22 23 2 21 22 23 2

3 3 331 32 33 31 32 33

n n

T n n n

T n n

28

Además escribiremos

, iii=1,2,3

LAS FUERZAS DE CUERPO

29

30

FUERZAS DE CUERPO

Frecuentemente se escribe

, , ,

En tal caso

ˆLa gravedad (aceleración de la gravedad)EJEMPLOS:

Fuerzas electromagnéticas

g x t x t b x t

fuerza de cuerpob

masa

b g

31

ECUACIONES DIFERENCIALES

DE BALANCE

DE MOMENTO LINEAL

Observación:

EL MOMENTO LINEAL ES UNA PROPIEDAD

VECTORIAL

Debido a ello las ecuaciones diferenciales de

balance se aplican componente por

componente

32

33

1, 2,3

1,2,3

1, 2,3

iii i

i i

iii i ii

i j ijii

j j

+ = + g t

x,t x,t x,t , i

+ = + g = + b , it

o

+ = + b , it x x

v

v

vv v

v vv

ECUACIONES DIFERENCIALES

DE MOMENTO LINEAL

34

Las ecuaciones diferenciales son

, 1, 2,3 ii ii

b it

vv v

35

ECUACIONES DE MOMENTO LINEAL

REDUCIDAS POR CONSERVACIÓN DE MASA

36

, 1, 2,3

Usando conservación de masa se reducen a

, 1, 2,3

De otra manera

, con

i ii i

i ii

iii

D

t Dt

D DDi

Dt Dt Dt

Db i

Dt

Db

Dt

v vv v v v

v vv v

v

v

1 2 3

1

1

, ,

O

, 1, 2,3

O

iji ij i

j j

b it x x

bt

v vv

vv v

37

EJERCICIO: Demostrar que las ecuaciones

, 1, 2,3

, 1, 2,3

y

, 1, 2,3

Son equivalentes. Además, l

ii ii

ii ii

ii ii

b it

Db i

Dt

D Db i

Dt Dt

vv v

vv v

vv v

as anteriores son equivalentes a

cuando hay conservación de masa. Dé otras formas equivalenetes.

Db

Dt

bt

v

vv v

ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA SÓLIDOS Y FLUIDOS

38

Ecuaciones Generales de Movimiento

Estados estacionarios :

1

Sistemas en reposo (equilibrio) :

Dg

Dt

b

b

v

v v

Ecuación de Balance de

MOMENTO ANGULAR

39

Balance de momento

angular

40

Momento angular: a

B t

a

B t B t

a

B t B t

t x d x

dt x b d x x Td x

dt

dt x b d x x nd x

dt

M

M

M

v

La Ecuación de Balance del

MOMENTO ANGULAR

es equivalente a

LA SIMETRÍA DEL TENSOR DE

ESFUERZOS

41

42

La ecuación de balance angular :

se satiface para todo cuerpo del sistema continuo,

si y sólo si (la demostración está en el libro),

a

B t B t

dt x b d x x nd x

dt

M

Es decir :

=

T

ij ji

ENERGÍA

43

UNA RELACIÓN IMPORTANTE

44

2 2

La ecuación

Implica

2

2

Su demostración queda como ejercicio

Dg

Dt

gt

v

v vv v v

EL CONCEPTO DE TRABAJO

45

La diferencial del trabajo dado por una fuerza

es igual al producto interior de la fuerza por la

diferencial del desplazamiento. En lo que sigue :

W Trabajo

46

El Trabajo, , dado por las fuerzas que actúan

en un cuerpo, satisface :

O sea

Así :

:

B t B t

B t

B t

W

dWb dx n dx

dt

dWb dx

dt

dWb dx

dt

v v

v v

v v v

CONCEPTOS BÁSICOS

DE

ENERGÍA

47

48

Los cuerpos contienen energía en varias formas.

Ellas son: energía cinética (también llamada

energía mecánica) y energía interna (también llamada

calor). Cuando el estado de los cuerpos evoluciona,

como cuando están en movimiento, hay intercambio

de estas dos formas de la energía, transformándose

una en la otra. Además, ambas formas de energía

constituyen propiedades extensivas; la "energía total"

es la suma de las dos.

LAS DIVERSAS CLASES DE ENERGÍA

49

212

La energía cinética, la energía interna y la energía total se

definen respec

tivamente por:

K

B t

I

B t

K I

t d x

t Ud x

t t t

E v

E

E E E

BALANCE DE ENERGÍA

CINÉTICA

50

51

212

PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA

A LA ENERGÍA CINÉTICA

Propiedad intensiva:

K

energía cinética

unidad de volumen v

52

(Empírico)

El cambio de , es debido al trabajo dado por las

fuerzas que actúan en el cuerpo y la transformación

de energía interna en cinética :

K

K

B t

E

dEb dx n

dt

PRINCIPIO FÍSICO

v

O sea

K

IB t B t

KKI

B t

dx g dx

dE dWg dx

dt dt

v

OBSERVACIÓN

53

2

2 2

El Teorema de Reynolds

con = 2, y la ecuación

2

2

implican

= :

K KK

B t

K

K

B t B t

dEt d x

dt t

bt

dE dWb dx dx

dt dt

v

v

v vv v v

v v v

54

:K

IB t B t

g dx dx v

EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CALOR

BALANCE DE ENERGÍA

INTERNA

55

LA ENERGÍA INTERNA

56

La energía interna, es una propiedad extensiva:

La propiedad intensiva asociada es:

Luego:

I

B t

I

t Ud x

energía internaU

unidad de volumen

E

energía interna

Uunidad de masa

57

BALANCE DE ENERGÍA INTERNA

+

=

Usa

I

B t

I IIK K

B t B t B t

I

K

E t Ud x

dEt h g d x q nd x h q g d x

dt

U Uh q g U U

t t

v v

ndo

=0 que implica :

Se obtiene

:

I K I

K I Kg g g

DUh q

Dt

v

v

58

RESUMEN

59

MASA

0

MOMENTO LINEAL

MOMENTO ANGULAR

T

t

Db

Dt

v

v

60

2

ENERGÍA

ENERGÍA CINÉTICA

1:

2

ENERGÍA INTERNA

:

ENERGÍA TOTAL

Db b

Dt

DUh q

Dt

vvv v v

v

2

1

2

EQUIVALENTE MECÁNICO DEL CALOR

:K

I

D DUb b h q

Dt Dt

g

vvv v

v

CONCEPTOS BÁSICOS

DE

TERMODINÁMICA

61

62

CONCEPTOS BÁSICOS DE TERMODINÁMICA 1

1 1 :

Caso en que la matriz de esfuerzos es presión pura, o estado isotrópico

de esfuerzos:

DUq h

Dt

v

:

Estado isotrópico de esfuerzos implica

ij ij

i i iij ij

j j i

p

p

p p px x x

v v vv v

1

DU pq h

Dt v

63

2

1

CONCEPTOS BÁSICOS DE TERODINÁMICA 2

1Conservación de masa implica =

1

El volumen específico es: . Así:

1

D

Dt

DU p Dq h

Dt Dt

V

DU Dq h p

Dt

v

Cuando es adiabático: 0: y 0. Así:

0

V

Dt

q h

DU DVp

Dt Dt

64

1

1

MODELO PARA EL TRANSPORTE DE CALOR

1

Procesos isobáricos: , . Ecuación para la tempertura.

Ejemplo:

DU Dp q h

Dt Dt

T U T

nRT

p

1 c

c and T

p

p H

TT q h

t

dUnR q k

dT

v

65

MODELO PARA EL TRANSPORTE DE CALOR 2

c T

Caso Isotrópico

c T

Caso Isotrópico Homogéneo

p H

p H

TT k h

t

TT k h

t

y

v

v

c

Caso Isotrópico, Homogéneo y en reposo

c

H

p

H

p

T hT k T

t

T hk T

t

v