Lección sobre adición de fracciones de igual y distinto denominador
52
1 FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA POSTÍTULO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA TALLER DE ANÁLISIS Y PRODUCCIÓN DE RECURSOS PARA LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA PROFESOR: RICARDO RIVERO Z. LECCIO N: ADICION DE FRACCIONES DE IGUAL Y DISTINTO DENOMINADOR. INTEGRANTE: Constance Escudero Ossandón SANTIAGO, 15 DE ENERO, 2013
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Trabajo final de Taller de Producción de Textos.
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1
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESCUELA DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA POSTÍTULO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA TALLER DE ANÁLISIS Y PRODUCCIÓN DE RECURSOS PARA LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA PROFESOR: RICARDO RIVERO Z.
LECCIO N: ADICIO N DE FRACCIONES DE IGUAL Y
DISTINTO DENOMINADOR.
INTEGRANTE: Constance Escudero Ossandón
SANTIAGO, 15 DE ENERO, 2013
2
.
¡Hola! Mi nombre es Francis y te acompañaré en esta
nueva Unidad, llamada ―Francis y la adición de fracciones‖.
El objetivo de esta Unidad es que aprendas cómo sumar
fracciones de igual y distinto denominador.
Para ello, debes conocer la lista de contenidos y conceptos
que leerás a continuación.
Antes de empezar, debes recordar lo siguiente:
Qué es una adición.
Qué son las fracciones y sus partes: Numerador y
Denominador.
Mínimo Común Múltiplo.
Máximo Común Divisor.
3
Primero, hay que ejercitar los conceptos previos.
Para ello, te desafío a que respondas los siguientes
problemas. Cada uno de ellos está enfocado a la lista
de contenidos que presenté anteriormente.
¡Recuerda leer atentamente cada enunciado antes
de responder!
4
1. En una fiesta de cumpleaños, a Javiera le entregan una bolsa con 5 dulces adentro. Después de
la fiesta, sobraron dulces y por quedarse más tiempo, le agregan 4 dulces más a su bolsa.
¿Cuántos dulces tiene Javiera en total en la bolsa?
Operación:
Respuesta:
¿De qué forma encontraste la respuesta?
PRIMER CRITERIO: Identificar y resolver una adición dentro de un problema.
5 dulces que tenía
Javiera en la bolsa. 4 dulces que
agregan a la
bolsa.
5 + 4 = 9
Javiera tiene 9 dulces en total.
Supe la respuesta porque las palabras claves del problema eran ―agregar‖
y ―total‖. Y esa pista me avisa que debo sumar las cantidades para
encontrar mi respuesta.
5
2. Cecilia tiene una botella vacía. Tuvo sed y llenó
de su botella con agua. Dibuja en la botella la
cantidad de agua con que Cecilia llenó su botella.
Respuesta:
¿Cómo hiciste el dibujo?
SEGUNDO CRITERIO: Identificar y escribir fracciones, considerando sus partes.
La botella tiene
de agua.
Supe que había que pintar
, porque la fracción indica que es la mitad de
la botella.
6
3. A Cecilia se le acabó el agua de la botella. Esta vez, decide dividir la botella en 4 y llena 3 partes
de la botella. Pero su mamá también dejó una botella con agua, que estaba dividida en 3 partes y
llenó 1 de ellas.
Mira las botellas y responde:
¿Cuál de las botellas pertenece a Cecilia? ¿Cuál es la botella de la mamá? ¿Qué fracción corresponde a cada botella?
¿Cómo encontraste la respuesta?
Botella de: Mamá de Cecilia
Fracción:
3
Las figuras indican las fracciones que debo poner en cada una. La de Cecilia es la
botella de la derecha, por tener la fracción 3
4, que significa 3 partes de 4. La botella de
la mamá es la de la izquierda, porque es 1 parte de 3, es decir,
3.
Botella de: Cecilia
Fracción: 3
4
7
4. ¿Cuál será el Mínimo Común Múltiplo entre 6, 4 y 8? Para resolverlo, utiliza la tabla.
Operatoria:
Respuesta:
¿Cómo descubriste el Mínimo Común Múltiplo?
6 4 8 :2
3 2 4 :2
3 1 2 :2
3 1 :3
1
TERCER CRITERIO: Identificar y calcular el Mínimo Común Múltiplo entre 2 o más números.
Debo dividir 6, 4 y 8 por un mismo número primo, hasta llegar a resto 1 en todas
las divisiones. Luego, multiplico todos los números primos por el cual dividí y así
obtengo el Mínimo Común Múltiplo.
2 • 2 • 2 • 3 =
4 • 6 = 24
El Mínimo Común Múltiplo entre 6, 4 y 8 es 24.
8
5. ¿Cuál será el Máximo Común Divisor entre 12, 36 y 24? Para resolverlo, utiliza la tabla.
Operatoria:
Respuesta:
¿Cómo descubriste el Máximo Común Divisor?
12 36 24 :2
6 18 12 :2
3 9 6 :3
1 3 2
CUARTO CRITERIO: Identificar y calcular el Máximo Común Divisor entre 2 o más números.
Se debe dividir por números primos los 3 números, hasta que ya no pueda
dividirlos por un mismo número primo. Luego, se multiplican y obtengo el Máximo
Común Divisor.
2 • 2 • 3 =
4 • 3 = 12
El Máximo Común Divisor entre 12, 36 y 24 es 12.
9
6. El siguiente queque de chocolate está dividido en 3 partes iguales:
Si Juan se come 1 trozo y luego Alberto se come otro trozo, ¿Cuántos trozos de queque se
comieron en total estos amigos?
Datos:
Operatoria:
Respuesta:
¿Cómo resolviste este problema?
QUINTO CRITERIO: Sumar fracciones de igual denominador.
Intenté resolver este problema sumando los numeradores, y como los
denominadores eran iguales, pensé en mantenerlos igual. Como si fuese una
suma normal.
Juan =
3
Alberto:
3
1
3+
1
3=
2
3
Los amigos se comieron
3 de queque.
10
Los resultados de la resolución
del Primer Desafío por parte de
los alumnos, los mostraré en el
siguiente cuadro.
De 36 alumnos que resolvieron el Primer Desafío, se obtuvo que:
La totalidad del curso entiende y aplica de forma correcta el concepto de adición.
Sólo 2 alumnos del curso poseen dificultades con la identificación, representación gráfica y
escritura de fracciones. No pueden identificar las fracciones al leerlas y confunden los conceptos de
Numerador y Denominador.
En cuanto al concepto de Mínimo Común Múltiplo, el resultado del Desafío arrojó que 9 alumnos
poseen confusiones con este concepto. No usan los números primos o no completan la operatoria
para descubrir el MCM.
Dentro de los 9 alumnos que posen dificultades con el concepto de Mínimo Común Múltiplo, hay 7
alumnos que lo confunden con el Máximo Común Divisor.
Tres alumnos no dominan el concepto de Máximo Común Divisor, sin que lo confundan con el
MCM.
Tres alumnos de la totalidad del curso logró resolver el problema de adición de fracciones de igual
denominador. Esto se debe a que lo habían visto en su anterior colegio, o lo habían revisado antes
en sus hogares.
11
Es importante que, antes de continuar con
nuestra unidad, nos comprometamos con lo
que realizaremos. Por eso, traigo este
compromiso. Te invito a que lo leas y lo firmes.
El alumno (a) _________________________________ de Quinto Básico, se compromete en esta Unidad
a:
Estar atento durante la realización de la Unidad.
Tener disposición para participar.
Superar mis debilidades durante la Unidad.
Preguntar cuando tenga dudas.
Trabajar cuando sea necesario.
Y por supuesto, a aprender la adición de fracciones de igual y distinto denominador.
Francis, como guía de la Unidad, se compromete a:
Entregar información clara.
Acompañar durante toda la Unidad.
Ayudar a resolver tus dudas.
Por último, la Profesora de Matemática también se compromete a:
Resolver las dudas.
Ayudar a Francis con los conceptos
Guiar el aprendizaje y lograr que todos los alumnos aprendan a sumar fracciones de igual y distinto
denominador.
Este compromiso se respeta durante toda la Unidad.
Firma Alumno Firma Francis Firma profesora de Matemática
12
Constanza compró un chocolate en la mañana y se comió 5/12 trozos de él. En la noche se comió 2/12 trozos del mismo chocolate.
¿Cuánto chocolate se comió en total?
Después de leer el problema, debemos identificar la información que el texto nos entrega y anotar los datos más importantes.
Datos:
5
= partes del chocolate que se comió en la mañana.
= partes del chocolate que se comió en la tarde.
Dibujamos los datos que nos entrega el problema:
5
12
2
12
Estos son problemas de adición de fracciones.
Observa y lee bien cada pada, para que puedas
tener una idea clara de cómo resolver una adición
de fracciones, tenga o no igual denominador.
Problema 1.
Paso 1.
Paso 2.
13
Debo establecer qué tipo de operación servirá para resolver el problema. El problema pregunta por
el total del chocolate que comió Constanza. Por lo tanto, debemos escribir una adición de
fracciones de igual denominador.
Sumamos sólo 5 y 3, y mantenemos el denominador.
Operatoria:
5
12+
2
12=
7
12
Gráficamente, se realiza de la siguiente forma:
+ =
5
12 +
2
12 =
7
12
Sumamos 5 trozos, que es la cantidad de chocolate que Constanza comió en la mañana, con 3,
que es la cantidad que comió en la tarde. La suma de ellos da 7
.
Finalmente, como hemos resuelto el problema, anotamos la solución con respuesta completa.
Solución:
Constanza se comió 7
trozos de chocolate en total.
Paso 3.
Paso 4.
Paso 5.
14
Jorge y Francisco compran una pizza para almorzar. Jorge come la mitad de la pizza y Francisco
4
de la pizza.
¿Cuánto pizza comieron en total?
Después de leer el problema, debemos identificar la información que el texto nos entrega y anotar los datos que nos servirán para resolver el problema.
Datos:
= de pizza comió Jorge
4 = de pizza comió Francisco
Escribimos la operatoria, ya que estas fracciones tienen distinto denominador:
Operatoria:
1
2+1
4=
Como son distintos denominadores, no podemos sumar las fracciones. Para poder hacerlo,
debemos igualar los denominadores, buscando el Mínimo Común Múltiplo entre ellos, esto es, un
número que, al multiplicarlo por los denominadores, nos entregue el mismo resultado.
Mínimo Común Múltiplo:
2 * 2 = 4 (MCM)
Para encontrar el MCM, debemos dividir 2 y 4 por números primos, hasta que ambas divisiones
nos den resto 1. Luego, multiplicamos los números primos y obtenemos nuestro MCM. En este
caso, el resultado es 4.
2 4 :2
1 2 :2
1
Paso 1.
Paso 2.
Paso 3.
Problema 2.
15
Luego de obtener nuestro MCM, debemos multiplicar el numerador y denominador de la primera
fracción por un número que, multiplicado por el denominador, nos dé 4. En este caso,
multiplicamos la fracción por 2.
Dibujamos esta transformación:
=
1
2 =
2
4
1
4
La operación para igualar denominadores es:
1 2
2 2
Resolvemos la adición:
Operatoria: 1 2
2 2+
1
4=
2
4+
1
4=3
4
Representación Gráfica:
+ =
2
4 +
1
4 =
3
4
Finalmente, como hemos resuelto el problema, anotamos la solución con respuesta completa.
Solución:
Jorge y Francisco se comieron 3
4 de la pizza.
Paso 4.
Paso 5.
Paso 6.
16
Tres amigos querían pintar una muralla de distintos colores. Para ello, dividieron la muralla en 8
partes. Pintaron 2/8 de color azul y 4/8 de color verde.
¿Cuántas partes pintaron los amigos?
Después de leer el problema, debemos escribir los datos que nos ayudan a responder la pregunta:
Datos:
8 = partes de color azul.
4
8 = partes de color verde
Dibujamos los datos que nos entrega el problema:
2
8
4
8
Intenta resolver este problema.
Recuerda ir paso a paso, igual que en
los ejemplos anteriores.
Problema 3.
Paso 1.
Paso 2.
17
Escribo la operatoria, que es adición de fracciones de igual denominador. Sumamos 2 y 4, y
mantenemos el denominador.
Operatoria:
2
8+4
8=6
8
Dibujo la suma:
+ =
2
8 +
4
8 =
6
8
Finalmente, escribo la solución.
Solución:
Los amigos pintaron 6
8 de la pared.
Paso 3.
Paso 4.
Paso 5.
18
Tres amigas estaban envolviendo regalos y usaron cinta para hacer rositas de adorno. La primera
usó 4/7 m, la segunda 6/7 m y la tercera 1/7 m.
¿Cuántos metros de cinta usaron en total?
Datos:
4
7 = m de cinta usó la primera.
6
7 = m de cinta usó la segunda.
7 = m de cinta usó la tercera.
Operatoria:
4
7+6
7+1
7=
11
7
11
7= 1
4
7
Resultado:
Entre las tres ocuparon 1 4
7 m de cinta para adornar los regalos.
En este segundo desafío, tendrás que resolver
estos problemas con lo que observaste
anteriormente. Recuerda leer bien cada problema.
Puedes dejar la representación gráfica al final del
ejercicio.
Problema 1.
19
Representación Gráfica:
4
7
6
7
1
7
+
+
=
4
7 +
6
7 +
1
7 =
11
7 = 1
4
7
Marta y Andrea quieren hacer un queque y para eso necesitan harina. Marta tiene 3/5 Kg y Andrea
tiene medio kilo.
¿Cuántos kilos de harina logran juntar Marta y Andrea?
Datos:
3
5 = Kg de harina tiene Marta.
= Kg de harina tiene Andrea.
Operatoria:
3
5+1
2=
Problema 2.
20
Mínimo Común Múltiplo:
2 * 5 = 10 (MCM)
3 2
5 2+
1 5
2 5=
6
1 +
5
1 =11
1
11
1 = 1
1
1
Solución:
Marta y Andrea logran juntar 1
.Kg de harina.
Representación Gráfica:
=
=
3
5 =
6
1
1
2 =
5
1
+
=
6
1 +
5
1 =
11
1 = 1
1
1
5 2 :2
5 1 :5
1
21
Paz, Camila y Joaquín prepararon una lasagna entre los tres. Paz se comió un cuarto de la
lasagna, Joaquín comió la mitad y Camila comió un octavo de ella.
¿Cuánta lasagna comieron entre los tres?
Datos:
4 = Lasagna que comió Paz.
= Lasagna que comió Joaquin.
8 = Lasagna que comió Camila.
Operatoria:
1
4+1
2+
1
8=
Mínimo Común Múltiplo:
2 * 2 * 2 = 8 (MCM)
1 2
4 2+
1 4
2 4+
1
8=2
8+
4
8+
1
8=7
8
Resultado:
Paz, Camila y Joaquín comieron 7
8 de la lasagna.
Representación Gráfica:
=
=
1
4 =
2
8
1
2 =
4
8
1
8
4 2 8 :2
2 1 4 :2
1 2 :2
1
Problema 3.
22
+
+
=
2
8 +
4
8 +
1
8 =
7
8
Felipe está arreglando las ruedas de sus patines. El primer día consiguió arreglar 3/8 de las ruedas
y el segundo día tan sólo 1/8.
¿Cuántas ruedas alcanzó a arreglar?
Datos:
3
8 = ruedas arregló el primer día
8 = ruedas arregló el segundo día
Operatoria:
3
8+1
8=
4
8 ( )
4 4
8 4=1
2
Solución:
Felipe arregló
de las ruedas de sus patines en dos días.
Problema 4.
23
Representación Gráfica:
3
8
1
8
+
=
=
3
8 +
1
8 =
4
8 =
1
2
Paulina y Manuel comieron uvas de postre. Paulina se comió 5/12 de su racimo de uvas y Manuel
11/6 de ellas.
¿Cuántos racimos de uvas comieron en total?
Datos:
5
= racimos de uva comió Paulina
6 = racimos de uva comió Manuel
Operatoria:
5
12+11
6=
Mínimo Común Múltiplo:
6 * 2 = 12 (MCM)
12 6 :6
2 1 :2
1
Problema 5.
24
5
12+
11 2
6 2=
5
12+
22
12=27
12
27
12 ( )
27 3
12 3=9
4= 2
1
4
Solución:
Paulina y Manuel comieron 21
4 racimos de uva en total.
Representación Gráfica:
=
5
12
11
6 =
22
12
+
=
5
12 +
22
12 =
27
12 = 2
3
12 = 2
1
4
25
La mamá de Matías le permite ver televisión 1 1/6 horas al día y usar el computador por 1 2/3
horas al día.
¿Cuántas horas en total al día Matías puede ocupar la televisión o el computador?
Datos:
1
6 = horas que puede ver televisión
1
3 = horas que puede ocupar el computador
Operatoria:
11
6+ 1
2
3=
11
6=7
6 1
2
3=
5
3
7
6+5
3=
Mínimo Común Múltiplo:
2 * 3 = 6 (MCM)
7
6+
5 2
3 2=
7
6+
1
6=17
6
17
6= 2
5
6
Solución:
Matías puede ocupar el computador o ver televisión por 2 56 horas al día en total.
6 3 :3 2 1 :2 1
Problema 6.
26
Representación gráfica:
=
7
6
5
3 =
1
6
+
=
7
6 +
1
6 =
17
6 = 2
5
6
27
Este año, la biblioteca del colegio sufrirá una remodelación y se organizará de la siguiente forma:
L
H
I D
L = Lenguaje.
I = Inglés
M = Matemática.
C = Ciencias.
H = Historia
D = Deportes.
Este desafío es para que puedas ejercitar
tranquilamente en tu casa. Puedes pedir ayuda a
alguien, pero lo que importa es que participes de la
resolución de estos problemas.
M C
28
1. ¿Qué parte del área total ocupan Matemáticas y Ciencias?
Datos:
8 = Matemática.
8 = Ciencias.
Operatoria:
2
8+2
8=
4
8
Solución:
Ambos ocupan 4
8 de la biblioteca.
2. ¿Qué parte del área total ocupan Ciencias y Deportes?
Datos:
8 = Ciencias.
8 = Deportes.
Operatoria:
2
8+1
8=
3
8
Solución:
Ambos ocupan 3
8 de la biblioteca.
Responde las preguntas de acuerdo al nuevo orden de la biblioteca..
29
3. ¿Qué parte del área total ocupan Lenguaje e Historia?
Datos:
8 = Lenguaje.
8 = Historia.
Operatoria:
1
8+1
8=
2
8
Solución:
Ambos ocupan
8 de la biblioteca.
4. ¿Qué parte del área total ocupan Ciencias, Lenguaje y Matemática?
Datos:
8 = Ciencias.
8 = Lenguaje.
8 = Matemática.
Operatoria:
2
8+1
8+2
8=
5
8
Solución:
Matemática, Ciencias y Lenguaje ocupan 5
8 de la biblioteca.
30
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes
iguales. En otras palabras, una fracción es una parte de un total.
Por ejemplo…
Corta una pizza y verás fracciones:
1/2
1/4
3/8
(Una mitad) (Un cuarto) (Tres octavos)
El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza.
Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.
Aquí te presento definiciones y
ejemplos que son de importancia en
nuestra Unidad.
Definición de Fracción.
31
a Numerador
— -
b Denominador
El Numerador indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. El Denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.
Por ejemplo:
1 Numerador
— -
2 Denominador
Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes entre dos o más números.
Para calcular el Mínimo Común Múltiplo, sólo escribe los múltiplos de los números hasta que encuentres uno que coincida.
Ejemplo 1: encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ...,
así:
Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es
el 15. Respuesta: 15
Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.
Ejemplo 2: calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8
Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
Mínimo Común Múltiplo.
32
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....
Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8.
Otra forma de encontrar el MCM es mediante la división de cada número por números primos,
hasta obtener resto 1 en todas las divisiones. Terminadas las divisiones, multiplica todos los
números primos por el cual dividiste y obtendrás el MCM.
Ejemplo:
El Mínimo Común Múltiplo entre 6, 4 y 12 es 12.
Es el máximo de los factores comunes para dividir dos o más números.
Puedes simplemente calcular todos los factores de ambos números, seleccionar los comunes, y elegir el más grande:
Dos números Todos los factores Factores comunes El mayor
factor común
Ejemplo de fracción
simplificada
9 y 12 9: 1,3,9
12: 1,2,3,4,6,12 1,3 3
9/12 »
3/4
6 y 18 6: 1,2,3,6
18: 1,2,3,6,9,18 1,2,3,6 6
6/18 »
1/3
6 4 12 :2
3 2 6 :2
3 1 3 :3
1 1
Máximo Común Divisor.
MCM: 2 • 2 • 3 = 4 • 3 = 12
33
Puedes simplemente jugar con los factores hasta que lo descubras, así:
Dos números Pensando ... Máximo
factor común
Ejemplo de fracción
simplificada
9 y 12 3 × 3 = 9 y 3 × 4 = 12 3 9/12 »
3/4
24 y 108 2 × 12 = 24, y
9 × 12 = 108 12
24/108 »
2/9
o: 2 × 2 × 2 × 3 = 24, y
2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 108 2 × 2 × 3 = 12
O puedes utilizar una tabla y dividir cada número por números primos, hasta que ya no los puedas
dividir por el mismo número. Luego de finalizar las divisiones, multiplica todos los números primos
por el cual dividiste y encontrarás el MCD.
Ejemplo:
El Máximo Común Divisor entre 6, 4 y 12 es 4.
Amplificar una fracción consiste en multiplicar por el mismo número el numerador y denominador,
para obtener una fracción equivalente.
Ejemplo:
4
11 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 2
4
11
2
=
2
8
22
6 4 12 :2
3 2 6 :2
3 1 3
Amplificación de fracciones.
MCD: 2 • 2 = 4
34
Simplificar una fracción consiste en dividir por el mismo número el numerador y denominador, para
obtener una fracción equivalente. Para esto se debe encontrar un número que sea divisor del
numerador y del denominador.
Una fracción que no se puede simplificar se llama fracción irreductible.
9
27 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟
99
27 =
9
9
1
9
Para resolver una adición de dos o más fracciones se suman los con igual denominador
numeradores y se conserva el denominador.
Por ejemplo:
1
7 +5
7 =
6
7
Para sumar fracciones debes seguir los siguientes pasos: con distinto denominador
1º Amplificar o simplificar todas o algunas de las fracciones dadas, para obtener fracciones con
igual denominador. Puedes encontrar también el mínimo común múltiplo entre los denominadores.
2º Sumar o restar los numeradores, según corresponda, y conservar el denominador. Recuerda
que para expresar los resultados obtenidos como fracción irreductible debes simplificarlos.
1
3+
2
5=
1 5
3 5+
2 3
5 3 =
5
15+
6
15=
11
15
Simplificación de fracciones.
Adición de fracciones de igual y distinto denominador.
35
Inés y Andrea salieron en auto para ir al Mall. Ines condujo 1
3 kilómetros y luego Andrea condujo
10/3 antes de que se les acabara la gasolina.
¿Cuántos km alcanzaron a recorrer Inés y Andrea?
Datos:
1
3 = km condujo Inés.
3 = km condujo Andrea.
Operatoria:
11
3+1
3=
1
3= 3
1
3
11
3+ 3
1
3= 4
2
3
Resultado:
Inés y Andrea lograron recorrer 42
3 km. antes de que se acabara la gasolina.
¡Muy bien! Estamos en el Tercer Desafío. Aquí
tendrás que aplicar todos tus aprendizajes hasta
ahora. No olvides leer bien las preguntas y los
problemas. Nuevamente, puedes dejar la
representación gráfica al final del ejercicio.
Problema 1.
36
Representación Gráfica:
1 1
3
1
3 = 3
1
3
+
=
11
3 + 3
1
3 = 4
2
3
La mamá de Patricio y Marcelo les encargó pintar la fachada de la casa y la reja a cada uno.
Patricio pintó la reja y ocupó 1/3 litro de pintura mientras que Marcelo ocupó 1 3/5 litros de pintura.
¿Cuántos pintura ocuparon Patricio y Marcelo?
Datos:
3 = litros de pintura ocupó Patricio.
13
5 = litros de pintura ocupó Marcelo.
Operatoria:
1
3+ 1
3
5=
Problema 2.
37
1
3+(1 5) + 3
5=
1
3+
8
5=
Mínimo Común Múltiplo:
3 * 5 = 15 (MCM)
1 5
3 5+
8 3
5 3=
5
15+
24
15=29
15
29
15= 1
14
15
Solución:
Patricio y Marcelo ocupan 1 4
5.Litros de pintura.
Representación Gráfica:
=
=
1
3 =
5
15 1
3
5 =
24
15
+ =
5
15 +
24
15 =
29
15 = 1
14
15
3 5 :3
1 5 :5
1
38
José y Daniel son hermanos. José tiene 3 ¼ años y Daniel tiene 11/12 años.
¿Cuántos años suman las edades de José y Daniel?
Datos:
3
4 = años de José
= años de Daniel.
Operatoria:
31
3+11
12=
(3 3) + 1
3+
11
12=
1
3+11
12=
Mínimo Común Múltiplo:
3 * 4 = 12 (MCM)
1 4
3 4+
11
12=
4
12+
11
12=51
12
51
12 ( )
51 3
12 3=17
4
17
4= 4
1
4
Solución:
Las edades de José y Daniel suman 4
6 años.
3 12 :3 1 3 :4 1
Problema 3.
39
Representación Gráfica:
31
3 =
1
3 =
4
12
11
12
+
=
4
12 +
11
12 =
51
12 = 4
1
4
40
Javier está juntando dólares trabajando en cortar el pasto de sus vecinas. El primer día ganó 4 y
1/3 y el segundo día ganó 5 y 2/3 dólares.
¿Cuánto dinero ganó en total entre los dos días?
Datos:
4
3 = dólares que ganó el primer día
5
3 = dólares que ganó el segundo día
Operatoria:
41
3+ 5
2
3=
(4 3) + 1
3+
(5 5) + 2
3=13
3+
17
3=
3
3
3
3 ( )
3 3
3 3=1
1= 1
Solución:
Javier juntó 10 dólares entre los dos días que trabajó.
Representación Gráfica:
41
3=13
3 5
2
3=
17
3
Problema 4.
41
+
=
13
3 +
17
3 =
3
3 = 1
42
Alejandra tiene 3 horas y media de clases de Matemáticas el día Lunes y 1 hora y media hora el
día Jueves.
¿Cuántas horas de Matemáticas tiene Alejandra a la semana?
Datos:
3
= horas de matemáticas el Lunes
1
= horas de matemáticas el Jueves.
Operatoria:
31
2+ 1
1
2=
31
2=(3 2) + 1
2=7
2 1
1
2=(1 2) + 1
2=3
2
7
2+3
2=1
2 ( )
1 2
2 2=5
1= 5
Solución:
Alejandra tiene 5 horas de clases de Matemáticas a la semana.
¡Hemos llegado al último desafío de esta Unidad! Este
es el desafío más importante de todos, ya que tendrás
que resolver estos problemas sin ayuda.
Recuerda leer y seguir el procedimiento de siempre.
Problema 1.
43
Representación Gráfica:
31
2 =
7
2 1
1
2 =
3
2
+
=
7
2 +
3
2 =
1
2 = 5
Tres hermanos juntaron agua en botellas de a litro. El primer hermano juntó medio litro, el segundo
3/2 litros y el tercero 10/3 litros.
¿Cuántos litros de agua juntaron en total?
Datos:
= litro de agua juntó el primer hermano
3
= litro de agua juntó el segundo hermano
3 = litro de agua juntó el tercer hermano
Operatoria:
1
2+3
2+1
3=
Mínimo Común Múltiplo:
2 * 3 = 6 (MCM)
1 3
2 3+
3 3
2 3+
1 2
3 2=
3
6+9
6+
2
6=32
6
2 3 :2
1 3 :3
1
Problema 2.
44
32
6 ( )
32 2
6 2=16
3= 5
1
3
Solución:
Los tres hermanos reunieron 5
3 litros de agua en total.
Representación Gráfica:
=
=
=
1
2=3
6
3
2=9
6
1
3=
2
6
+
+
=
3
6 +
9
6 +
2
6 =
32
6 = 5
1
3
45
Javier, Tomás y Elisa salieron a recoger papas en canastos. Javier recogió 3 y ½ canastos, Tomás
recogió 2 y 5/8 canastos y Elisa solo recogió 1 y ¼ canastos.
¿Cuánto canastos de papas recogieron en total?
Datos:
3
= canastos de papas recogió Javier
25
8 = canastos de papas recogió Tomás
1
4 = canastos de papas recogió Elisa
Operatoria:
31
2+ 2
5
8+ 1
1
4=
(3 2 ) + 1
2+(2 8) + 5
8+(1 4) + 1
4=
7
2+21
8+5
4=
Mínimo Común Múltiplo:
2 * 2 * 2 = 8 (MCM)
7 4
2 4+21
8+5 2
4 2=
28
8+21
8+1
8=
59
8
59
8= 7
3
8
Solución:
Javier, Tomás y Elisa recogieron 73
8 canastos de papas en total.
2 8 4 :2
1 4 2 :2
2 1 :2
1
Problema 3.
46
Representación Gráfica:
=
=
31
2=28
8 2
5
8 1
1
4=
1
8
+
+
=
28
8 +
21
8 +
1
8 =
59
8 = 7
3
8
47
Marca con una X en la columna donde te identifiques más con tus avances y aprendizajes.
INDICADOR PUEDO
HACERLO ME CUESTA
UN POCO NO PUEDO
Identifico fracciones y sus partes
Identifico y uso el Mínimo Común Múltiplo
Identifico y aplico el Máximo Común Divisor cuando es necesario
Sumo fracciones de igual denominador
Sumo fracciones de distinto denominador
Amplifico una fracción
Simplifico una fracción cuando es necesario
En esta sección, tendrás una tabla para rellenar.
Necesito que contestes con la verdad, porque si
algún contenido de la Unidad fue difícil para ti y aún
no puedes aprenderlo, lo podremos revisar y
reforzar.
48
Después de un largo camino, estas son las
conclusiones que se obtuvieron con los
resultados del Último Desafío y las respuestas de
la Autoevaluación
De 36 alumnos que resolvieron el Último Desafío y de la tabla de Autoevaluación que respondieron, se
obtuvo que:
El 100% de los alumnos domina el concepto de fracción, identificando sus partes, y entendiendo que el significado de fracción es el entero dividido en partes iguales. Comprenden además, los conceptos de Numerador y Denominador.
Un 84% de los alumnos usa y aplica el concepto de Mínimo Común Múltiplo. Los 6 alumnos restantes (26%) aún se confunde con el Máximo Común Divisor. Explican que aún no se aprenden bien las tablas de multiplicar y el término múltiplo los confunde, pero son capaces de reconocer el error y corregirlo.
El mismo 84% domina y usa el concepto de Máximo Común Divisor cuando es necesario aplicarlo. Los mismos alumnos que poseen dificultades con el MCM las presentan con el MCD por error de conceptos.
El 70% de los alumnos puede realizar adiciones de fracciones con igual denominador. El error más usual del 30% restante es que se confunden y suman también los denominadores. Pero al representar gráficamente, se percatan de sus errores y corrigen.
A pesar de que el 84% del curso domina los conceptos de MCM y MCD, el 67% solamente logra realizar adiciones de fracciones con distinto denominador. Esto sucede porque aún no aplican del todo los conceptos de Amplificación y Simplificación.
Se observa que si los alumnos grafican las sumas con distinto denominador, pueden percibir el error que cometen e intentan rectificar.
Es necesario, a partir de estas conclusiones, tomar decisiones pertinentes sobre el contenido de Amplificación, Simplificación y Adición de fracciones de distinto denominado, para que los alumnos logren avances y puedan aplicar estos contenidos en la Sustracción, Multiplicación y División de Fracciones.
49
Roberto y Amanda trabajan en el departamento de producción de una fábrica. Cierto día, Roberto
realiza 5/24 de una obra, y Amanda 7/24. Sin embargo, debido a un corte de energía inesperado,
se perdió 1/24 del trabajo. ¿Qué parte del trabajo realizaron ese día Roberto y Amanda?
Después de leer el problema, debemos identificar la información que el texto nos entrega y anotar los datos más importantes.
Datos:
5
4 = trabajo que realiza Roberto.
7
4 = trabajo que realiza Amanda.
4 = se pierde por el corte de energía.
Lo que aprendas con las Adiciones de Fracciones de igual y
distinto denominador, lo verás también con la Sustracción
de Fracciones. Por ello es tan importante aprender este
contenido antes de avanzar.
Te invito a resolver este último ejercicio, que tendrá una diferencia respecto de
los anteriores…
Hasta aquí, parece un problema normal y lo podemos resolver con sumas…
Vamos paso a paso, como al inicio de la unidad.
Paso 1.
50
Resolvemos la suma entre el trabajo que realizó Roberto y Amanda en un día.
Operatoria:
5
24+
7
24=12
24
El problema indica que se perdió
24 del trabajo por el corte de energía. Por lo tanto…
Operatoria:
12
24
1
24=−11
24
Finalmente, como hemos resuelto el problema, anotamos la solución con respuesta completa.
Solución:
En total, Roberto y Amanda realizaron
4 de la obra.
Paso 2.
Paso 3.
Paso 4.
Roberto y Amanda realizaron 𝟏𝟐
𝟐𝟒 del trabajo. Pero…
¡Esa no es la solución! Nos falta un dato por usar.
Debemos usar la Sustracción de Fracciones con igual denominador.
Si ya sabes cómo sumar, esto te será fácil…
51
Espero que hayas disfrutado este largo camino,
aprendiendo sobre la adición de fracciones.
No olvides ejercitar y consultar si tienes dudas. Y no
olvides visitar el blog de fracciones, donde aparezco
explicando otros términos respecto a Fracciones:
http://fraccioblog.blogspot.com/
52
Libro del Estudiante, Matemática Quinto Año Básico. Ministerio de Educación, 2012.
Disfruta las Matemáticas: http://www.disfrutalasmatematicas.com
Matemáticas – Ejercicios Resueltos: http://www.matematica1.com/search/label/FRACCIONES
Profesor en Línea: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/FraccionConcepto.htm
Suma de Fracciones: http://www.aplicaciones.info/decimales/fra03.htm
Documento Google – Red Maestros de Maestros: https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:eKMDeTwt5SkJ:www.rmm.cl/usuarios/mojed/doc/200506241748400.Fracciones.doc+&hl=es-419&gl=cl&pid=bl&srcid=ADGEESjnEsdxTT2JVz0XzX-o6ZaWLwNJipTOhWxqwiEtLe8zhyokd5SMOscx_Gn1X3DYFrDU06J80vUfj6KiKAbN2D6W2XIOkzeZoWxCk-PVweWF8RSj7jxyxKo0DB4JHG2Zlj2gJsu0&sig=AHIEtbT0y61S7ZIJ8XGRBivc0jAajGGIrA
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Agradecimientos y crédito a Paz Avaca Vilugrón, por ayudarme a redactar problemas.
