Lec0709 - NEW.ppthome.npru.ac.th/piya/Signal/file/Lec0709 - NEW.pdfรศ.ดร.ป ยะ...

สาขาวิชาวิศวกรรมโทรคมนาคม

มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม

สญัญาณและระบบการแปลงฟเูรยีรท์ีต่อ่เนือ่งทางเวลา(7‐9)

Assoc.Prof.Piya Kovintavewat, Ph.D.Data Storage Technology Research CenterNakhon Pathom Rajabhat University http://home.npru.ac.th/piya

สาขาวิชาวิศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปิยะ โควินท์ทวีวัฒน์

Outlineการแปลงฟูเรียร์ที่ต่อเนื่องทางเวลาของสัญญาณไม่เป็นคาบการแปลงฟูเรียร์ของสัญญาณคาบที่ต่อเนื่องทางเวลาคุณสมบัติการแปลงฟูเรียร์ที่ต่อเนื่องทางเวลาทฤษฎีบทพลังงานของเรย์ลีผลตอบสนองเชิงความถี่ของระบบ LTI ที่ต่อเนื่องทางเวลาตัวอย่างการประยุกตใ์ช้งานการกรองสัญญาณ

2


บทนํา

อนุกรมฟูเรียร์ ⇒ แทนสัญญาณคาบให้อยู่ในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเลขชี้กําลังเชิงซ้อนสัญญาณไม่เป็นคาบ ⇒ แทนด้วยผลรวมเชิงเส้นของเลขชีก้ําลังเชิงซ้อนได้โดยอาศัยการแปลงฟูเรียร์ (Fourier transform)สัญญาณไม่เป็นคาบ ⇒ สัญญาณคาบที่มีคาบเวลาอนันต์

การแปลงฟูเรียร์ ⇒ แปลงสัญญาณในโดเมนเวลาให้อยู่ในรูปของสัญญาณในโดเมนความถี่ที่เรียกว่าสเปกตรัม (spectrum)การวิเคราะห์สัญญาณในโดเมนความถี่จะง่ายกว่าการวิเคราะห์ในโดเมนเวลา

สเปกตรัม ⇒ ช่วยในการออกแบบอุปกรณ์ในระบบสื่อสารต่างๆสัญญาณในโดเมนความถี่บอกให้ทราบถึงแบนด์วิดท์และรูปร่างสเปกตรัมของสัญญาณ ⇒ ช่วยทําให้เข้าใจคุณสมบัติต่างๆ ของสัญญาณมากขึน้ เช่น วงจรกรองแต่ละแบบจะยอมให้สัญญาณช่วงแถบความถี่หนึ่งผ่านไปได้ ในขณะที่จะเกิดการลดทอนในอีกช่วงแถบความถี่หนึ่ง

3


CtFT: continuous-time Fourier transform

สัญญาณไม่เป็นคาบ ⇒ สัญญาณคาบที่มีคาบเวลาเท่ากับอนันต์พิจารณา

4

t

( )x t

1T1T−

t

( )px t

1T1T−


สัญญาณคาบ เขียนให้อยู่ในรูปของอนุกรมฟเูรียร์ที่ต่อเนื่องทางเวลาได้คือ

5

( ) ( )0 0/2

/2

1 T

jk t jk tp k k p

k T

x t a e a x t e dtT

ω ω∞

−

=−∞ −

= ⇔ =∑ ∫

( )px t

0 2 /Tω π=

( )01

ka X jkTω=

( ) ( ) ( )0 00 0 01 1

2jk t jk t

pk k

x t X jk e X jk eT

ω ωω ω ωπ

∞ ∞

=−∞ =−∞

= =∑ ∑

แทนค่า ak ลงในสมการ xp(t) จะได้

สาขาวิชาวิศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปิยะ โควินท์ทวีวัฒน์ 6


คู่การแปลงฟูเรียร์

7


สเปกตรัมฟูเรียร์

8


การลู่เข้าของการแปลงฟูเรียร์

9


Example 1

10

( )x t

t0

1

0.368

1/ a

( )X jω

ωaa−

12a

1/ a( )X jω∠

/ 4π

/ 4π−a−

a

/ 2π

/ 2π−

ω

สญัญาณเลขชีก้ําลงั

สเปกตรัมเชิงแอมพลจิดู สเปกตรัมเชิงเฟส


Example 2

12


สญัญาณใดๆ ไมส่ามารถเป็นได้ทัง้สญัญาณที่มีเวลาจาํกัด

และสญัญาณที่มีแถบความถี่จาํกัด


Example 3

14

สญัญาณพลัส์รูปสี่เหลี่ยมและสญัญาณซงิก์

เป็นคูก่ารแปลงฟเูรียร์ซึง่กนัและกนั


Exercise 1

15


การแปลงฟเูรยีรข์องสญัญาณคาบทีต่อ่เนือ่งทางเวลา

การแปลงฟูเรียร์ ⇒ ใช้ในการแปลงสัญญาณคาบที่ต่อเนื่องทางเวลาให้เป็นสัญญาณในโดเมนความถี่ได้ โดยอาศัยฟังก์ชันไดแร็กเดลตา

16


Example 4

19


Example 5จงหาผลการแปลงฟเูรียร์ของสัญญาณคาบรปูคลื่นสี่เหลี่ยม

21

0 2TTT−2T−t

( )x t

1T

( )X jω

0 0ω

1Tπ

−

ω1T

π

1T−

0ω−


คณุสมบตัิ CtFTคู่การแปลงฟูเรียร์

คุณสมบัติเชิงเส้น

คุณสมบัติการเลื่อนเวลา

คุณสมบัติการเลื่อนความถี่

คุณสมบัติการพับทางเวลา

คุณสมบัติอนุพันธ์

24

( ) ( )CtFTx t X jω←⎯⎯→ ( ) ( )CtFTy t Y jω←⎯⎯→

( ) ( ) ( ) ( )CtFTax t by t aX j bY jω ω+ ←⎯⎯→ +

( ) ( )( )0 0j t CtFTe x t X jω ω ω←⎯⎯→ −

( ) ( )00 j tCtFTx t t e X jω ω−− ←⎯⎯→

( ) ( )CtFTx t X jω− ←⎯⎯→ −

( ) ( ) ( )n

nCtFTn

d x tj X j

dtω ω←⎯⎯→

( ) ( ) ( )n

n CtFTn

d X jjt x t

dω

ω− ←⎯⎯→


คุณสมบัติการสเกลทางเวลา

คุณสมบัติการคูณ

คุณสมบัติการทําคอนโวลูชัน

คุณสมบัติการสังยคุ

25

( ) 1CtFT jx t X ωαα α

⎛ ⎞←⎯⎯→ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )CtFTx t X jω∗ ∗←⎯⎯→ −

( ) ( ) ( ) ( )CtFTx t y t X j Y jω ω∗ ←⎯⎯→

( ) ( )1/x t t Tα α= ∏

t0 1

214

12

−14

−

1

0.5α =

1α =2α =

0

( )X jω

2π

2

1

0.5

11−ω

2π− ππ−4π− 4π

( ) ( ) ( ) ( )CtFTx t y t X j Y jω ω←⎯⎯→ ∗


คุณสมบัติทวิภาวะ

คุณสมบัติการหาปริพันธ์

พื้นที่ใต้กราฟ

26

( ) ( )CtFTx t X jω←⎯⎯→

( ) ( ) ( ) ( )1 0t

CtFTx d X j Xj

τ τ ω π δ ωω−∞

←⎯⎯→ +∫

( ) ( )2CtFTX t x jπ ω←⎯⎯→ −

( ) ( ) ( ) ( )1 0 CtFTx t x t X j djt

ω

π δ θ θ−∞

− + ←⎯⎯→ ∫

( ) ( )0x t dt X∞

−∞

=∫

( ) ( )1 02

X j d xω ωπ

∞

−∞

=∫


ความสัมพันธข์องพาร์ซิวาล

ทฤษฎีบทพลังงานของเรย์ลี

27

( ) ( )2 212

x t dt X j dω ωπ

∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫

( ) ( )2 21 2

x t dt E X j dE ω ωπ

∞ ∞

−∞ −∞

⇔ == ∫ ∫


Example 5

30


Exercise 2

31


Example 6

32


ผลตอบสนองเชงิความถีข่องระบบ LTI ทีต่อ่เนือ่งทางเวลา

ระบบ LTI ถูกกําหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิค์งตัวแบบเชิงเส้น

การหาผลตอบสนองเชิงความถี่

34

( ) ( )0 0

k kN M

k kk kk k

d y t d x ta b

dt dt= ==∑ ∑ สมการเชิงอนพุนัธ์อนัดบั N


Exercise 3

35


การสง่สญัญาณทีไ่มม่คีวามผดิเพีย้นสัญญาณที่ส่งผ่านระบบ LTI จะไม่มีความผิดเพีย้น ก็ต่อเมื่อสัญญาณเอาต์พุตต้องมีรูปร่างเหมือนกับสัญญาณอินพุต แต่อาจมีแอมพลิจูดเปลี่ยนไปหรืออาจมีการหน่วงเวลาของสัญญาณสัญญาณเอาต์พุตของระบบต้องอยู่ในรูปของ

หาผลการแปลงฟูเรยีร์

37

( ) ( )dy t Kx t t= − ( ) ( )dj tY j Ke X jωω ω−=

( ) ( )dj tY j Ke X jωω ω−=

เมื่อ K คือค่าคงตัว และ td คือปริมาณเวลาที่ถูกหน่วง

ระบบ LTI ไม่ก่อให้เกิดความผิดเพีย้น ก็ต่อเมื่อ ( ) ( ) ( )d j H jj tH j Ke H j e ωωω ω ∠−= =


Example 7

38


Exercise 4

40


Exercise 8

42


การกรองสญัญาณเป็นตัวดําเนินการพื้นฐานที่สําคัญในระบบการประมวลผลสัญญาณ เป็นกระบวนการที่ทาํให้แอมพลิจูดของสัญญาณในโดเมนความถี่เปลี่ยนแปลงไปหรือทําให้หมดไป ระบบ LTI มีลักษณะเป็นวงจรกรองที่ทาํหน้าที่เลือกความถี่ของสัญญาณอินพุต

วงจรกรองเลือกความถี่อุดมคติวงจรกรองเลือกความถี่อุดมคติ ⇒ ยอมให้แถบความถี่ชุดหนึ่งผ่านไปได้ทัง้หมด ในขณะที่ไม่ยอมให้แถบความถี่อีกชุดหนึ่งผ่าน ช่วงแถบความถี่ที่วงจรกรองยอมให้ผ่านไปได้เรียกว่าแถบความถี่ผา่น (pass bandช่วงแถบความถี่ที่ไม่ยอมให้ผ่านไปได้เรียกว่าแถบความถี่หยุด (stop band)”

45


ωcω−

(ก) วงจรกรองผ่านตํา่อดุมคติ

cω

1( )H jω

ωcω−

(ข) วงจรกรองผ่านสงูอดุมคติ

cω

1

( )H jω

ω1ω−

(ค) วงจรกรองแถบผ่านอดุมคติ

1ω

1

( )H jω

2ω2ω−ω

1ω−

(ง) วงจรกรองแถบหยุดอดุมคติ

1ω

1( )H jω

2ω2ω−

วงจรกรองอดุมคติ ⇒ ไมส่ามารถสร้างเป็นวงจรอิเลก็ทรอนิกส์ได้จริงในทางปฏิบตั ิเนื่องจากสเปกตรัมเชิงแอมพลจิดู

ของวงจรกรองอดุมคตเิหลา่นัน้มีการเปลี่ยนแปลงอยา่งฉบัพลนั


วงจรกรองเลือกความถี่ในทางปฏิบัติ

47


R

C

( )x t ( )y t

( )i t

L ( )H jω

f

Lf

0.707

1

HfRf

ความถี่เรโซแนนท์

แบนด์วิดท์

ความถี่ (Hz)

B


( )x t ( )y t

( )i t

Lec0709 - NEW.ppthome.npru.ac.th/piya/Signal/file/Lec0709 - NEW.pdfรศ.ดร.ป ยะ...

Documents

Transcript of Lec0709 - NEW.ppthome.npru.ac.th/piya/Signal/file/Lec0709 - NEW.pdfรศ.ดร.ป ยะ...