Le système numérique

Mathématique 10e – 1.1

* Nombres réels : nombres rationnels (entiers, décimaux et fractionnaires) et nombres irrationnels

(tels que p ou 2)

* Nombres rationnels : Ils peuvent s’écrire sous la forme d ’une fraction d ’entiers

* Nombres entiers relatifs : entiers positifs et négatifs*Nombres entiers naturels

=3,333333...

82 30- 2

5010

4,2567

3100

103

1

7

2

3

* Nombres décimaux: ils incluent les nombres entiers

Entiers Naturels

Entiers Relatifs

Décimaux

RationnelsIrrationnels

Les nombres réels

Les sous-ensembles des nombres réels

Fiche 9

Les nombres rationnels (Q)

• Ce sont toutes les fractions et tous les nombres fractionnaires qui sont des nombres rationnels.

– Exemple: 2

7

2

13

Les nombres rationnels (Q)

• Tous les nombres décimaux et tous les nombres à décimales périodiques sont des nombres rationnels. – Exemple:

Nombre décimal 0.5 =

Nombre à décimale périodique 0.272 727 272… =

Ici, les chiffres qui se répète se nomment la période et le nombre de chiffres qui se répètent constitue la longueur de la période.

La période est donc 27 et la longueur est 2.

2

1

11

3

Changer un nombre périodique en fraction

• Exemple 1:0.23232323…

99

2399

23

99

99

23100

23.23100

23.0...232323.0

x

x

xx

x

x

...232323.099

23

Les nombres rationnels (Q)

• Les nombres entiers (Z) sont des nombres rationnels.

• Les nombres naturels (N) sont des nombres rationnels.

• Les nombres naturels non nuls (N*) sont des nombres rationnels.

Les nombres entiers (Z)

• Un nombre entier est un nombre qui n’appartient aucun reste fractionnaire (n’a pas de décimaux). Ceux-ci peuvent être négatifs ou positifs. Le 0 fait aussi partie des nombres entiers.– Exemple: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

• Remarque: 1 peut aussi s’écrire comme ou …donc une fraction qui occupe le même nombre au

numérateur et au dénominateur est un nombre entier.

6

6

3

3

Les nombres naturels non nuls (N*)

• Un nombre naturel non nul est un nombre entier supérieur à 0.– Exemple:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}

Fiche 2

Les nombres naturels (N)

• Un nombre naturel est un nombre entier supérieur ou égal à 0. – Exemple:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Les nombres irrationnels (Q’)

• Un nombre est irrationnels si celui-ci a une infinité de nombres décimaux sans répétition périodique.– Exemple:– = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 72…–   = 1,7320508075 6887729352 7446341…– π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279

50288 41971 69399 37510…

2

3

Les différentes représentations d’un sous-ensemble de R

• Il y a quatre différentes formes de représentation

ExtentionCompréhensionIntervalleDroite numérique

Représentation parExtension

• Les éléments sont énumérés entre des accolades et séparer par une virgule.

• La représentation par extension est utilisée pour représenté un sous-ensemble fini de R ou un sous-ensemble infinie qui représente une régularité.

Exemples Représentation par extension

Exemples Ensemble Représenté

entiersnombresLes

demultiplesLes

defacteursLes

...2,1,0,1,2...

312,9,6,3,0

1616,8,4,2,1

Représentation parCompréhension

• Entre accolades, on définit premièrement l’ensemble de référence et ensuite, on décrit les éléments de l’ensemble.

• Cette notation peut être utilisée pour représenter un sous-ensemble spécifique de R.

Exemples Représentation par compréhension

Exemples Ensemble Représenté

inclusetinclusnon

entrecomprisréelsnombresLesxRx

premiersnombresLespremierestxx

àégaux

ouérieursentiersnombresLesxx

71

71|

|

.4

inf4|

Représentation parIntervalle

• On indique entre crochets et séparées par une virgule, les bornes de l’intervalle. Si la borne est incluse dans l’intervalle ( ) alors le crochet et tourné vers l’intérieur ( ). Si l’intervalle n’est pas incluse ( ), les crochets seront tournés vers l’extérieur ( ).

ou

ou

ou ou

Représentation parIntervalle

• Représente tout les nombres de R compris entre les bornes de l’intervalle. Les bornes peuvent être comprises ou non.

Exemples Représentation par Intervalle

Exemples Ensemble Représenté

.12

inf'12,

.inf'

1,1

.8

58,5

inclusà

inilmoinsderéelsnombresLes

inilplusà

inclusnonderéelsnombresLes

inclusnonà

inclusderéelsnombresLes

Représentation parDroite numérique

• On représente le sous-ensemble par des points s’il s’agit de valeurs discrètes ou par un segment ou par un segment ou une demi-droite s’il s’agit d’un intervalle.

Représentation parDroite numérique

• Cette notation est utilisée plus fréquemment pour représenter un intervalle de R, mais on peut aussi l’utiliser pour représenter soit un petit nombre d’éléments ou un sous-ensemble de N, Z ou Q qui présente une régularité.

Rappel:

< ou > (point vide) – nombre n’est pas inclu

ou (point noirci) – nombre est inclu

Exemples Représentation par droite numérique

Exemples Ensemble Représenté

inclusnon

àinclusderéelsnombresLes

àérieursentiersnombresLes

etnombresLes

5

2

7sup

13

1

Exemple 1Représentation par droite numériqueReprésente ces inéquations sur la droite numérique ( ):Rx

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

4/ xRx

]-∞, 4[

Exemples 2Représentation par droite numérique

Représente ces inéquations sur la droite numérique :

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

3/ xRx

[ -3, + ∞ [

Exemples 3Représentation par droite numérique

Représente ces inéquations sur la droite numérique ( ):Rx

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

34 xRx

] -4, 3 ]

Aide moi à compléter ce tableau

La notion du radical

• C’est une racine carrée où 2 est l’indice et x est le radicande.

Rappel:- Les nombres carrés sont:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …

xoux2

La notion du radical

• C’est une racine carrée où 3 est l’indice et x est le radicande.

Rappel:- Les nombres cubiques sont:

1, 8, 27, 64, 125, 216, …

3 x

La notion du radicalExemples: calculatrice

?5)

?50d)

1.414

1688...73095048804142135623.12)

327)

416)

3

3

e

c

b

a

La notion de valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre réel est sa distance par rapport à «0» (zéro) sur une droite numérique des nombres réels.

Pour représenter la valeur absolue d’un nombre réel x, on écrit x, ce qui désigne la valeur positive de x.

La notion de valeur absolueExemple

a) | -5 | = 5

b) | 1 – 3 | = | -2 | = 2

c) | 3 | - | -2 | = 3 – 2 = 1

Exercice

Place les nombres suivants sur la droite numérique:

et,3,4

3|,3|,3,

2

5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4