Le succes paradoxal du` Modus Ponens Gen´ eralis´ perso.crans.org › moubeche...

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    04-Jul-2020
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  • Le succès paradoxal du Modus Ponens Généralisé de Mamdani

    Rapport de stage de M1

    Benjamin Moubêche

    Sous la direction de Marcin Detyniecki

    Stage réalisé du 01 Février au 31 Juillet 2011 Au Laboratoire d’Informatique de Paris 6

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  • Table des matières

    0 Résumé 6

    1 Introduction 7

    2 La Logique Floue 8 2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Ensembles flous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Opérateurs flous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3 Le Modus Ponens Généralisé (MPG) et contrôleur de Mamdani 11 3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Contrôleur de Mamdani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Gestion des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.4 Succès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    4 MPG avec applicabilité de la règle 15 4.1 Comparaison avec le MPG de Mamdani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.3 Nouveaux opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    5 Conclusion 19

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  • Merci à Bernadette Bouchon-Meunier, directrice du Département DAPA, et à l’équipe LOFTI pour son acceuil et son suivi apportés à ce stage. Merci à Marcin Detyniecki pour son attention et pour m’avoir proposé ce stage.

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  • 5

  • Chapitre 0

    Résumé

    Durant 6 mois (de Février à Juillet), j’ai été accueilli au sein de l’équipe LOFTI (Logique Floue et Traitement de l’Information) au LIP6 (Laboratoire d’Informatique de Paris 6). J’ai ainsi pu assister aux groupes de travail mensuels, permettant de connaitre l’avancement de chacun sur son projet personnel, ce qui m’a permis de découvrir de nombreuses applications et sujets de recherche actuels sur le domaine étudié. J’ai aussi pu participer à l’organisation par le labora- toire de la conférence internationale IEEE-SSCI2011 à Paris regroupant nombre de chercheurs en matière d’intelligence artificielle et donc découvrir la gestion d’un événement d’une telle ampleur tout en rencontrant ces chercheurs.

    Mon travail personnel s’est porté sur l’étude du Modus Ponens Généralisé de Mamdani. La logique floue permet de traiter les imprécisions et incertitudes liées à l’aspect humain des données, en attribuant des valeures de vérités non pas booléennes mais continues entre 0 et 1. On traite alors avec des ensembles flous. On peut étendre le concept logique du Modus Ponens ( A ∧ (A ⇒ B) → B ) au Modus Ponens Généralisé en utilisant l’implication pour un en- semble de départ A′ proche de A pour en déduire quand même une information B′. C’est la formulation de Mamdani de ce concept que j’ai étudiée durant mon stage. Cette formulation est la plus utilisée dans le domaine de la logique floue appliquée, et utilise pourtant des opérateurs qui ne vérifient pas certaines propriétés demandées (l’implication mathématique utilisée n’en est pas une). Pourtant, cette méthode est communément admise. L’étude poussée de cette for- mulation nous a permis de comprendre son fonctionnement et de proposer une autre méthode, utilisant cette fois une vraie implication et présentant exactement les mêmes résultats que celle de Mamdani. Par ailleurs, nous pouvons aussi proposer de nouvelles fomulations ouvrants sur des résultats différents et interessants à étudier à l’avenir.

    Durant ce stage, j’ai donc étudié en profondeur une méthode de logique floue communément utilisée pour en comprendre le fonctionnement et essayer de l’approcher par d’autres méthodes. Finalement, la méthode proposée dans ce rapport, le Modus Ponens Généralisée avec appli- cabilité de la règle par conjonction entre la prémisse et l’observation, présente pour certains opérateurs exactement les mêmes résultats que la méthode de Mamdani, ce qui nous permet d’expliquer le succès de cette méthode. Le Modus Ponens Généralisé de Mamdani coincide en fait exactement avec un Modus Ponens Généralisé prenant en compte l’applicabilité de la règle et utilisant, lui, une vraie implication. Par ailleurs, pour d’autres opérateurs, la formulation proposée dans ce rapport ouvre sur de nou- velles formulations et de nouveaux résultats, qui feront sans doute l’objet d’une étude ultérieure.

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  • Chapitre 1

    Introduction

    La Laboratoire d’Informatique de Paris 6 (LIP6) est un des plus importants laboratoires de recherche en informatique en France. Plus de 400 chercheurs et doctorants sont regroupés dans les divers Départements qui recouvrent le domaine de l’informatique. Au sein du Département DAPA (Données et Apprentissage Artificiel), l’équipe MALIRE (Machine Learning and Infor- mation Retrieval) travaille avec certains de ses membres sur la logique floue. Plusieurs projets, aussi bien appliqués (comme la détection de buzz par exemple) que théoriques (comme le su- jet de ce stage), y sont réalisés. Marcin Detyniecki m’a proposé d’étudier les mécanismes du Modus Ponens flou, et plus particulièrement la méthode la plus utilisée pour le transcrire pro- posée par Mamdani en 1974.

    Le contrôle par logique floue a connu un grand succès dès sa découverte dans la deuxième moitié du XX˚siècle. De nombreuses technologies sont maintenant asservies par logique floue, allant de gros projets comme le métro de Sendaı̈ [9], à des outils de la vie courante, comme des machines à laver [1]. Le contrôle se base sur des règles d’inférences pour tirer, des informations observées, des décisions de régulation. Le raisonnement utilise le principe du Modus Ponens pour traiter ces observations. Plusieurs versions existent, la plus populaire dans ce domaine étant celle proposée par Mamdani en 1975 [5, 10]. Étrangement, le Modus Ponens de Mamdani permet de conclure à partir d’hypothèses et d’implications en utilisant une pseudo-implication, dont il est bien connu qu’elle ne répond pas aux critères des implications “classiques”. Ce rapport a pour objectif d’expliquer le succès du Modus Ponens de Mamdani malgré cette implication, en l’approchant d’une méthode originale utilisant de vraies implications. Nous commencerons pour cela, après avoir présenté succintement la logique floue au chapitre 2, par étudier en section 3.3 la version de Mamdani, en localisant l’origine de ses particularités. Puis au chapitre 4 nous proposerons un Modus Ponens Généralisé (MPG) intégrant l’applicabilité de la règle, qui expliquera le cas de Mamdani et ouvrira en section 4.3 de nouvelles formulations.

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  • Chapitre 2

    La Logique Floue

    2.1 Présentation La logique floue a été élaborée en 1960 par Zadeh. Très vite, une émulation s’est créée et

    nombre de chercheurs se sont penchés sur le sujet. Cette forme de logique prend en compte les incertitudes qui pondèrent les prises de données, concepts et perceptions humains etc. Par exemple, il est assez délicat de fixer une limite d’âge en deçà de laquelle nous serions jeunes et au dessus de laquelle nous serions vieux. Ce changement s’effectue plutôt de manière continue et lisse. C’est entre autre pour traduire ces notions graduelles que la logique floue se démarque de la logique classique. Au lieu de donner à un point précis x de l’univers du discours U une valeur de vérité dans l’ensemble {0, 1}, on lui en attribue une dans le segment [0, 1]. Mais la logique floue se démarque des probabilités. Bien que proches, elles ne signifient pas la même chose. Une eau, potable à 0, 9, “signifierait” en proba qu’une personne sur 10 la buvant sera intoxiquée, alors qu’en logique floue, les 10 se porteront bien puisque l’eau ne contient que 10% d’impureté.

    La logique floue est par exemple prisée en intelligence artificielle pour faire comprendre à des machines des commandes telles que “un peu” , “fortement” , etc.

    2.2 Ensembles flous Dans la suite de ce rapport, tout comme dans le language courant dans le domaine, un

    amalgamme est fait entre des données floues et l’ensemble qui les représente. En effet, il est possible d’aménager la théorie des ensembles pour parler d’ensembles flous et représenter ainsi les données. Si l’on considère l’exemple de la vieillesse ; on souhaite déterminer les âges où l’on est con- sidéré vieux. Un âge sera noté x, pour x ∈ [0, 135] = U (dans cet exemple). À chaque valeure on va attribuer une valeure de vérité. Ainsi, on peut construire une fonction f : U → [0, 1] telle que f(x) représente le degré de vérité. L’ensemble “vieux” noté A sera alors l’ensemble {(x, f(x))|x ∈ U}.

    On définit l’ensemble vide par ∀x ∈ U f∅(x) = 0 et le plus grand ensemble par ∀x ∈ U f1U (x) = 1.

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  • Pour un ensemble flou A, on définit aussi les notions suivantes

    Le support supp(A) = {x