Le raisonnement math́matique et ses difficult́ s · Emmanuel Sander Professeur de Psychologie du...
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Resolution de problemeset
developpement des connaissances arithmetiques
Emmanuel Sander
Professeur de Psychologie du Developpement et de l’EducationLaboratoire Paragraphe - Equipe CRAC, Université Paris 8
Le raisonnementmathematique et ses difficultes
• RDP : Lien entre les propriétés mathématiques et les propriétés sémantiques issues de l'environnement
– Des mathématiques vers la sémantique quotidienne : perspective applicative
– De la sémantique quotidienne vers les mathématiques : perspective psychologique, orientée vers les acquisitions de connaissances
• Première partie : Les Connaissances Naïves– Influence de nos conceptions quotidiennes sur la construction
des notions mathématiques• Conception spontanée des notions mathématiques
• Conception spontanée des situations décrites
• Modèle mentaux, simulation mentale
• Deuxième partie : Le Recodage Sémantique– Surmonter des conceptions limitatives pour favoriser le
developpement des notions et le transfert d’apprentissage• Le recodage semantique comme voie vers l’abstraction
• Favoriser la flexibilite cognitive par l’introduction de situation sémantiquement ambiguës
• Première partie : Les Connaissances Naïves– Influence de nos conceptions quotidiennes sur la
construction des notions mathématiques• Conception spontanée des notions mathématiques
• Conception spontanée des situations décrites
• Modèle mentaux, simulation mentale
LA CIGALE ET LA FOURMI
La Cigale, ayant chanté Tout l'été, Se trouva fort dépourvue Quand la bise fut venue. Pas un seul petit morceau De mouche ou de vermisseau.Elle alla crier famineChez la fourmi sa voisine
Hofstadter & Sander, 2013
LA CIGALE ET LA FOURMI
La Cigale, ayant chanté Tout l'été, Se trouva fort dépourvue Quand la bise fut venue. Pas un seul petit morceau De mouche ou de vermisseau.Elle alla crier famineChez la fourmi sa voisine
Hofstadter & Sander, 2013
LA CIGALE ET LA FOURMI
La Cigale, ayant chanté Tout l'été, Se trouva fort dépourvue Quand la bise fut venue. Pas un seul petit morceau De lion ou de taureau.Elle alla crier famineChez la fourmi sa voisine
Hofstadter & Sander, 2013
LA CIGALE ET LA FOURMI
La Cigale, ayant chanté Tout l'été, Se trouva fort dépourvue Quand la bise fut venue. Pas un seul petit morceau De mouche ou de vermisseau.Elle alla crier famineChez la fourmi sa voisine
Hofstadter & Sander, 2013
LA CIGALE ET LA FOURMI
La Cigale, ayant chanté Tout l'été, Se trouva fort dépourvue Quand la bise fut venue. Pas un seul petit morceau De mouche ou de vermisseau.Elle alla crier famineChez la fourmi sa voisine
Jean-Henri Fabre (1823-1915) dans ses "Souvenirs entomologiques" relève les erreurs concernant la cigale : elle ne dispose pour s'alimenter que d'un suçoir et n'a rien à faire de mouches ou de vermisseaux.
Les cigales au stade larvaire se nourrissent de la sève des racines, alors que les adultes aspirent le liquide des branches de divers arbres et arbustes.
Hofstadter & Sander, 2013
LA CIGALE ET LA FOURMI
La Cigale, ayant chanté Tout l'été, Se trouva fort dépourvue Quand la bise fut venue. Pas une seule goutte de sève à aspirer même en rêve.Elle alla crier famineChez la fourmi sa voisine
Hofstadter & Sander, 2013
• Première partie : Les Connaissances Naïves– Influence de nos conceptions quotidiennes sur la
construction des notions mathématiques• Conception spontanée des notions mathématiques
Fischbein, 1994 ; Lakoff & Nunez, 2000 ; Sander, 2008
• ? = 3+4 3+4 =?
• 3 = 3 7-4 = 3
• 4+5 = 3+6 « Après la fin, il devrait y avoir le résultat et pas un autre problème.
– 2 produits achetés = le deuxième à 50 %
– 1 lunette de vue achetée = 1 lunette de soleil offerte
• Analogie naïve : « L’egalite est le resultat d’un processus »
• Robert Recorde (1557) : I will sette as I doe often in woorke use, a pair
of paralleles, or Gemowe [twin] lines of one length, thus : ===, bicause noe 2
thynges, can be moare equalle
Ginsburg, 1977 ; Kieran, 1981
Connaissance naïve du signe « égal »
• “Inventer un probleme de soustraction dont la solution est 8-3=5”
Connaissance naïve de la soustraction
• “Inventer un probleme de soustraction dont la solution est 8-3=5”
•Paul (Hugo, Théo, Nathan, Léa, Marie, Judith, etc…) a 8 bonbons (billes,
gâteaux, pommes, etc…). Il/Elle en donne (mange, perd, etc…) 3 à
(pendant, etc…). COMBIEN LUI EN RESTE-T-IL ?
Connaissance naïve de la soustraction
Connaissance naïve de la soustraction
• “Inventer un probleme d’addition dont la solution est 5+3=8”
Connaissance naïve de l’addition
• “Inventer un probleme d’addition dont la solution est 5+3=8”
•Paul (Hugo, Théo, Nathan, Léa, Marie, Judith, etc…) a 5 bonbons (billes,
gâteaux, pommes, etc…). Il/Elle en reçoit (gagne, etc…) 3 à (pendant,
etc…). COMBIEN EN A T-IL EN TOUT ?
• “Inventer un problème de soustraction dont la solution est 8-3=5 et
dans lequel on ne perd rien, on ne fait que gagner”
Connaissance naïve de la soustraction
• “Inventer un problème de soustraction dont la solution est 8-3=5 et
dans lequel on ne perd rien, on ne fait que gagner”
Paul a 3 billes. Il en gagne pendant la récréation et maintenant il en a 8. Combien de billes a-t-il gagnées ?
Connaissance naïve de la soustraction
• “Inventer un probleme d’addition dont la solution est 5+3=8 et dans
lequel on ne gagne rien, on ne fait que perdre”
Paul avait des billes. Il en perd 3 pendant la récréation et maintenant il lui en reste 5. Combien de billes avait-il avant la récréation ?
Connaissance naïve de l’addition
Connaissances naïvesde l’addition et de la soustraction
• Additionner, c’est ajouter (deux parties qui forment un tout, ou un accroissement depuis un état initial et une question sur l’etat resultant)
• Soustraire c’est perdre, retirer, enlever (une totalite dont une partie est retranchée, et une question sur la partie subsistante)
• 1998)
Riley, Greeno, Heller, 1983
• “Inventer un probleme de multiplication”
Connaissance naïve de la multiplication
Sander, 2008 ; Hofstadter & Sander, 2013
• “Inventer un probleme de multiplication”
• “Definir l’operation mathematique de multiplication”
• “Est-ce qu’à votre avis multiplier rend plus grand ?”
Connaissance naïve de la multiplication
Sander, 2008 ; Hofstadter & Sander, 2013
Quelques exemples de définitions (étudiants à l’université) :
Une multiplication est une addition réitérée d’un nombre, un nombre de fois donnée.
Multiplier consiste à ajouter à un chiffre donné ce même chiffre autant de fois qu’on le souhaite.
Multiplier, c’est additionner un certain nombre à lui-même autant de fois que le nombre par lequel on le multiplie l’indique.
La multiplication est un calcul dans lequel on choisit combien de fois on additionne une quantité par elle-même.
Connaissance naïve de la multiplication
Hofstadter & Sander, 2013
Bezout (Traité d’arithmétique destiné à la marine et à
l’artillerie, 1821): « Multiplier un nombre par un autre,
c’est prendre le premier de ces deux nombres autant de
fois qu’il y a d’unités dans l’autre »
Connaissance naïve de la multiplication
Hofstadter & Sander, 2013
Multiplier rend plus grand
Si on demande d’inventer un probleme de multiplication, presque tout le monde introduit un nombre entier
Si un gallon d’essence coûte £1,27, combien coûte 0,22 gallon ? (Majorite d’erreurs alors que si on remplace 0,22 par 5, 100% de réussite; Bell, Swann & Taylor, 1981)
Prix de 3 objets à 50 cruzeiros ? vs 50 objets à 3 cruzeiros ?
Pourquoi 3x5=5x3, càd 5+5+5 = 3+3+3+3+3 ?
Definition consensuelle de ce qu’est une multiplication : Additionner une valeur autant de fois qu’indique par l’autre valeur
Connaissance naïve de la multiplication
Brissiaud & Sander, 2010 ; Sander, 2008 ; Schliemann et al., 1998
• “Inventer un problème de division (une et une seule division)”
Connaissance naïve de la division
Hofstadter & Sander, 2013 ; Sander, 2008
• “Inventer un probleme de division (une et une seule division)”
• Une mère achète 20 bonbons pour ses 4 enfants. Combien de
bonbons chacun d’entre eux recevra-t-il ?
• 20/4 = 5
Connaissance naïve de la division
Hofstadter & Sander, 2013 ; Sander, 2008
Quelques exemples de problèmes (étudiants à
l’université) :
4 amis se partagent 12 bonbons. Combien de bonbons chaque ami
recevra-t-il ?
Un terrain de 90 m2 doit être divisé en 6 parcelles de superficie
égale. Quelle sera la superficie de chaque parcelle ?
Au marché, une maman achète 20 pommes pour ses 5 enfants.
Combien de pommes chaque enfant aura-t-il ?
Au cinéma, il y a 120 sièges et 10 rangées. Combien y a-t-il de
sièges par rangée ?
Pour les vacances, on prépare 20 kilos de vêtements à mettre dans
4 valises. Combien va peser chaque valise ?
On utilise 12 mètres de tissu pour fabriquer 4 robes. Combien de
mètres de tissu faut-il pour fabriquer une seule robe ?
Hofstadter & Sander, 2013
“Inventer un problème de division (une et une seule
division)”
Problèmes de partage attendus
“Inventer un problème de division (une et une seule
division) dont le résultat soit plus grand que la valeur initiale”
Tâche difficile car elle est incompatible avec l’analogie
du partage, qui conduit toujours à obtenir une quantité
moindre.
Connaissance naïve de la division
Hofstadter & Sander, 2013 ; Sander, 2008
Elèves de 6ème et 5ème
• “Inventer un probleme de division”
219
15 16 40
50
100
150
200
250
Sharing O ther Inappropriate P roblem No answer
Success Failure
Audo & Sander, 2008 ; Sander, 2008
200
317
5
24
1 4
0
50
100
150
200
250
1 2 3 4 5 6 7
“Inventer un probleme de division (une et une seule division) dont le résultat soit plus grand que la valeur initiale”
1: « Impossible ! »2: Possible, mais pas de problème proposé3: Possible, mais valeurs numériques uniquement4: Possible, mais justification erronée5: Invente un problème inapproprié6: Réussite7: Pas de réponse
Une seule réussite sur 254 élèves ! Audo & Sander, 2008 ; Sander, 2008
Etudiants à l’Universite
Tâche 1 (“Inventer un problème de division”) :
93% des problèmes inventés par les adultes sont dérivés de l’analogie “Diviser
c’est partager”
Tâche 2 (“Inventer un problème de division qui rende plus grand”) :
74% échec
27% écrivent “ Impossible ”
23% construisent un problème incompatible avec la consigne
23% posent une opération (exemple : 4/0.2), mais sans énoncé
Audo & Sander, 2008 ; Sander, 2008
« Lorsqu’on a une certaine valeur au début et qu’on
divise, on a forcément moins à la fin ; donc, ce
n’est pas possible. »
« Diviser, c’est répartir en parts égales. Alors,
chacun a moins que ce qu’il y avait au début ;
donc, il est impossible d’inventer un problème où
il y a plus à la fin. »
« Impossible, car diviser c’est découper en plusieurs
morceaux ; pour avoir plus, il faut multiplier. »
Hofstadter & Sander, 2013 ; Sander, 2008
« On peut faire 10/0,5 = 20 mais c’est juste un
résultat. On ne peut pas construire de tel
problème, car dans la réalité on partage en 2,
3, 4… c’est-à-dire toujours en plus que 1. »
« Oui, c’est possible – par exemple, 5/0,20 –
mais je ne trouve aucune situation qui va
avec. »
« Lorsqu’on divise par une moitié, on a plus,
mais c’est impossible de diviser par une
moitié. »
Hofstadter & Sander, 2013 ; Sander, 2008
Jean a 20 bouteilles de vin. Il en vend la moitié à 8
euros la bouteille. Combien d’argent reçoit-il ?
Hofstadter & Sander, 2013 ; Sander, 2008
Si j’ai 3 kilos de farine et que j’utilise 0,5 kilo de farine par
gâteau, combien puis-je faire de gâteaux ?
J’ai 10 euros et un bonbon coûte 0,2 euros. Combien de
bonbons puis-je acheter ?
Combien puis-je découper de bandes de tissus de 0,15 m
dans un rouleau de 3 mètres ?
Hofstadter & Sander, 2013 ; Sander, 2008
• Première partie : Les Connaissances Naïves– Influence de nos conceptions quotidiennes sur la
construction des notions mathématiques• Conception spontanée des notions mathématiques
• Conception spontanée des situations décrites
• Avec 75 roses, on peut faire 5 bouquets identiques. Combien de roses seront dans chaque bouquet ? (93%)
• 15 amis ont acheté 5 kg de cookies. Combien chacun a-t-il reçu ? (28%)
• Si un gallon d’essence coûte £1,27, combien coûte 5 gallons ? (100%)
• Si un gallon d’essence coûte £1,27, combien coûte 0,22 gallons ? (44%)
Fischbein et al., 1985 ; Bell, Swann & Taylor, 1981
Conception spontanée des situations décrites
Conception spontanée des situations décrites
Inventer un problème dans lequel il est question de 12 oranges et 4 pommes
Inventer un problème dans lequel il est question de 12 oranges et 4 paniers
Bassok, Chase & Martin, 1998
Conception spontanée des situations décrites
Dans les manuels, pour 97% des problèmes à résoudre par addition, les objets additionnés appartenaient à des catégories de même niveau (e.g., des pommes et des poires, ou des billes rouges et noires) alors que 94% des problèmes demandant une division utilisaient des objets reliés fonctionnellement (e.g., des billes et des boites)
Bassok, Pedigo, & Oskarsson, 2008
• La métaphore de l’habillage …
– et ses limites
• La surface n’est pas seulement source d’interférence …
– mais aussi d’inférence
• Structure induite et structure profonde
– Un vase qui contient des fleurs, un sac qui contient des billes
– Structure additive, structure multiplicative
• Contenu et abstraction de l’encodage
– Un même contenu peut faire l’objet d’une diversité d’encodage
– L’abstraction de l’encodage détermine le champ des transferts entre situations
Conception spontanée des situations décrites
Bassok & Olseth, 1995 ; Sander, 2007 ; Gamo, Sander & Richard, 2010
• Une infirmière mélange une solution de 6% d’acide borique avec une solution de 12% d’acide borique. Combien lui faut-il de chaque solution pour avoir 4,5 litres de mélange à 8%?
• M. Roberts reçoit 7% d’intérêt comme revenu de ses actions et 11% d’intérêt de ses bons du Trésor. Combien a-t-il sur chaque compte, sachant qu’il a au total 1200 euros et qu’il a eu en moyenne 8% d’intérêt ?
Combinaison (mélange virtuel)
Mélange sans nécessité de dissolution des composants
Mélange avec dissolution des composants
Reed, 1987 ; Sander & Richard, 2005
Conception spontanée des situations décrites
Transfert : 38%
6%x+12%y = 8%4,5x + y = 4,5
Problème d’entraînement : Les mécaniciens d’IBM doivent s’assurerque les voitures de la société fonctionnent bien. Ce jour-là, il y a 11voitures et 8 mécaniciens. Les mécaniciens choisissent au hasard surquelle voiture ils vont travailler. Ce choix est fait par ordred’anciennete. Quelle est la probabilité que les 3 plus anciensmécaniciens, Al, Bud et Carl, choisissent respectivement les voituresdu chef du conseil d’administration, du président exécutif et du vice-président ?
Solution : 1/(11x10x9)
Ross, 1987, 1989
Conception spontanée des situations décrites
Problème test 2 : Les mécaniciens d’IBM réparent les voitures descommerciaux de la société. Les commerciaux choisissent au hasard lemécanicien qui réparera leur voiture, le meilleur commercialchoisissant en premier et ainsi de suite. Ce jour là, il y a 14 voitures decommerciaux et 16 mécaniciens. Quelle est la probabilité que lemeilleur mécanicien répare la voiture du meilleur vendeur et que le2ème meilleur mécanicien répare la voiture du 2ème meilleur vendeur ?
Problème test 1 : Les mecaniciens d’IBM reparent les voitures des commerciaux de la société. Les mécaniciens choisissent au hasard sur quelle voiture ils vont travailler, le meilleur mécanicien choisissant en premier et ainsi de suite. Ce jour là, il y a 16 voitures de commerciaux et 5 mécaniciens. Quelle est la probabilité que le meilleur mécanicien choisisse la voiture du meilleur vendeur et que le 2ème meilleur mécanicien choisisse la voiture du 2ème meilleur vendeur ?
Solution : 1/(16x15) ; taux de réussite de 37%
Solution : 1/(16x15) ; taux de réussite de 75%
Ross, 1987, 1989
Test
Entraînement
OP PO PP
OP 89 0 60
PO 33 53 50
PP 67 31 50
Bassok, Wu & Olseth, 1995
Conception spontanée des situations décrites
• Problème source– Les mécaniciens d’IBM doivent s’assurer que les voitures de la société fonctionnent bien. Ce jour-là, il
y a 11 voitures et 8 mécaniciens. Les mécaniciens tirent au hasard la voiture sur laquelle ils vonttravailler. …
• Problème cible 1– Les mécaniciens d’IBM réparent les voitures des commerciaux de la société. Les mécaniciens tirent au
hasard la voiture sur laquelle ils vont travailler. …
• Problème cible 2
– Les mécaniciens d’IBM réparent les voitures des commerciaux de la société. Les commerciaux tirent auhasard le mécanicien qui réparera leur voiture. …
• Lorsque la distinction animé/inanimé fait office d’indicateur pour réussir le problèmecible 1, que signifie cette réussite ?
• Importance de dissocier la structure induite de la structure profonde pour l’évaluationdes connaissances
– Cela nécessite de mettre en évidence les structures induites
Bassok, Wu & Olseth, 1995
Sander, 2007
Conception spontanée des situations décrites
• Première partie : Les Connaissances Naïves– Influence de nos conceptions quotidiennes sur la
construction des notions mathématiques• Conception spontanée des notions mathématiques
• Conception spontanée des situations décrites
• Modèle mentaux, simulation mentale
Modèle mentaux, simulation mentale
1/ Nicolas va en récréation avec 27 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ?
2/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 27 billes. Combien de billes reste-t-il à Nicolas ?
3/ Nicolas va en récréation avec 4 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ?
4/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 4 billes. Combien de billes reste-t-il à Nicolas ?
Brissiaud & Sander, 2010
1/ Nicolas va en récréation avec 27 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ? (14/20)
2/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 27 billes. Combien de billes reste-t-il à Nicolas ? (8/20)
3/ Nicolas va en récréation avec 4 billes. Pendant la récréation, il gagne des billes et maintenant il en a 31. Combien de billes Nicolas a-t-il gagnées ? (8/20)
4/ Nicolas va en récréation avec 31 billes. Pendant la récréation, il perd 4 billes. Combien de billes reste-t-il à Nicolas ? (16/20)
Modèle mentaux, simulation mentale
Brissiaud & Sander, 2010
• 1/ Dans un paquet de 200 images, on fait des tas de 50 images. Combien y a-t-il de tas ?
• 2/ On partage 200 images en 50 tas. Combien y a-t-il d’images dans chaque tas ?
• 3/ On partage 200 images en 4 tas. Combien y a-t-il d’images dans chaque tas ?
• 4/ Dans un paquet de 200 images, on fait des tas de 4 images. Combien y a-t-il de tas ?
Modèle mentaux, simulation mentale
Brissiaud & Sander, 2010
• 1/ Dans un paquet de 200 images, on fait des tas de 50 images. Combien y a-t-il de tas ? (14/20)
• 2/ On partage 200 images en 50 tas. Combien y a-t-il d’images dans chaque tas ? (4/20)
• 3/ On partage 200 images en 4 tas. Combien y a-t-il d’images dans chaque tas ? (15/20)
• 4/ Dans un paquet de 200 images, on fait des tas de 4 images. Combien y a-t-il de tas ? (5/20)
Modèle mentaux, simulation mentale
Brissiaud & Sander, 2010
Modèle hiérarchique des stratégies
• Concerne les apprentissages arithmétiques élémentaires
• La procédure associée à la structure induite est-elle efficiente ?
Base de texte
Modèle de situation
Modèle du problème #1
Procédure
informelle
efficiente ?
OUI
Comptage ou
fait numérique
NON
Modification de la
représentation initiale
Modèle du problème # 2
Opération arithmétique
Solution
numérique
Brissiaud & Sander, 2010
Structure Multiplicative (S1)
1,45
1,07
1,44
0,41
1,33
0,48
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
Conc (d1) Disc (d2) Conc (d1) Disc (d2) Conc (d1) Disc (d2)
S1T1 S1T2 S1T3
Les 6 Types de problèm e
No
te m
oy
enn
e (su
r 2
)
Structure Additive (S2)
1,50
0,75
1,36
0,84
1,25
0,85
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
Conc (d1) Disc (d2) Conc (d1) Disc (d2) Conc (d1) Disc (d2)
S2T1 S2T2 S2T3
Les 6 types de problèm e
No
te m
oy
enn
e (su
r 2
)
• Madame Durand a 30 images. Elle partage ces images entre 3 enfants pour que chacun ait la même chose. Combien d’images chaque enfant va-t-il recevoir ?
– Induit une structure de partage et la procédure X+X+X=30
• Monsieur Dupont a 30 gâteaux. Il partage ces gâteaux entre 10 enfants pour que chacun ait la même chose. Combien de gâteaux chaque enfant va-t-il recevoir ?
– Même structure de partage mais la procedure associee X+X+………+X = 30
Brissiaud & Sander, 2010
Modèle hiérarchique des stratégies
• Première partie : Les Connaissances Naïves– Influence de nos conceptions quotidiennes sur la
construction des notions mathématiques
• Deuxième partie : Le Recodage Sémantique– Surmonter des conceptions limitatives pour favoriser le
developpement des notions et le transfert d’apprentissage
La resolution de probleme repose sur l’analyse semantique des proprietes d’une situation qui relevent d’une même operation et de ce fait elle est essentielle pour donner du sens à l’operation
Chercher l’operation mene souvent à l’echec ; ce qui est souhaitable, c’est de faire l’analyse profonde de l’enonce, eventuellement avec recodage sémantique
Une voie est de développer la flexibilité représentationnelle : capacité à envisager la même situation sous plusieurs perspectives de manière à favoriser la stratégie la plus efficiente selon le contexte
Sander & Fort, 2014Gamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Sander, Richard, 2010
Hofstdater & Sander, 2013
Paul perd 4 de ses 31 billes pendant la récréation. Combien lui en reste-t-il ?
Paul avait des billes en allant à l’ecole. Il en gagne 4 pendant la recreation et maintenant il en a 31. Combien de billes Paul avait-il avant la récréation ?
Paul a 4 billes. Mathieu a 31 billes. Combien de billes manque-t-il à Paul pour qu’il en ait autant que Mathieu ?
Paul a 4 billes. Il en gagne pendant la récréation et maintenant il en a 31. Combien de billes a-t-il gagnées ?
Paul a 4 billes de moins que Mathieu. Mathieu a 31 billes. Combien de billes Paul a-t-il ?
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?
Gamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Nogry, Sander, 2014
15-7 = 8 (classeur) ; 15-3 = 12 (Laurent) ; 12-8 = 4 (équerre)
L’equerre coûte 4 euros
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?
Gamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Nogry, Sander, 2014
15-7 = 8 (classeur) ; 15-3 = 12 (Laurent) ; 12-8 = 4 (équerre)
L’equerre coûte 4 euros
Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s’est arrêtee 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?
Gamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Nogry, Sander, 2014
15-7 = 8 (classeur) ; 15-3 = 12 (Laurent) ; 12-8 = 4 (équerre)
L’equerre coûte 4 euros
Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s’est arrêtee 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?
15-7 = 8 (début) ; 15-3 = 12 (arrêt Laurence) ; 12-8 = 4 (durée)
Jeanne a suivi ses cours de danse pendant 4 ansGamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Nogry, Sander, 2014
15-7 = 8 (classeur) ; 15-3 = 12 (Laurent) ; 12-8 = 4 (équerre)
L’equerre coûte 4 euros
Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s’est arrêtee 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?
15-7 = 8 (début) ; 15-3 = 12 (arrêt Laurence) ; 12-8 = 4 (durée)MAIS AUSSI 7-3 = 4
Jeanne a suivi ses cours de danse pendant 4 ansGamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Nogry, Sander, 2014
15-7 = 8 (classeur) ; 15-3 = 12 (Laurent) ; 12-8 = 4 (équerre)MAIS AUSSI 7-3 = 4
L’equerre coûte 4 euros
Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s’est arrêtee 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?
15-7 = 8 (début) ; 15-3 = 12 (arrêt Laurence) ; 12-8 = 4 (durée)MAIS AUSSI 7-3 = 4
Jeanne a suivi ses cours de danse pendant 4 ansGamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Nogry, Sander, 2014
Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtee à 15 ans. Jeanne a commence au même âge que Laurence et s’est arrêtée 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?
1 calcul 3 calculs
Achat 5% 95%
Cours 70% 30%
Gamo, Taabane & Sander, 2011 ; Gamo, Nogry, Sander, 2014
Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s’est arrêtee 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?
Gros, Thibaut & Sander, 2015
Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtee à 15 ans. Jeanne a commence au même âge que Laurence et s’est arrêtee 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’equerre ?
Gros, Thibaut & Sander, 2015
3 calculs
Structure profonde
P2
P1P3
T2T1
P3
P2
P1
T2
T1P2 T2 T1
P1
P3
Structure induisant un schéma partie-toutInférence de complément
Structure induisant un schéma de comparaisonInférence de comparaison
1 calcul
Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s’est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s’est arrêtée 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse ?
Laurent achète une trousse à 7 euros et un classeur. Il paie 15 euros. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 euros de moins que Laurent. Combien coûte l’équerre ?
Apprentissage par comparaison pour provoquer un recodage sémantique
En s’appuyant sur des contenus adaptes, on peut faire acquerir à des enfants d’ecole primaire des points de vue « invisibles » à des adultes, voire à des enseignants
Un apprentissage fondé sur la comparaison entre procédures peut favoriser un recodage sémantique
Pré-test; Apprentissage (pour les groupes expérimentaux); Post-test
Gamo, Sander & Richard, 2010
• Pierre est au 3ème étage. Il veut rejoindre Paul qui est au 21ème etage. Combien d’etages doit-il monter ?
• Jean avait 21 bonbons. Il en a donné 18 à ses amis. Combien reste-t-il de bonbons à Jean ?
Problème de combinaison
Paul a 5 billes rouges et 3 billes bleues.Combien de billes a-t-il au total ?
Partie 1: 5 billes rouges
Partie 2: 3 billes bleues
Tout : toutes les billes de Paul
Problème de transformation
Paul a 5 billes. Il gagne 3 billes de plus durant la récréation. Combien Paul a-t-il de billes après la récréation ?
Etat initial : 5 billes (avant la
récréation)
Transformation : 3 billes de plus
durant la récréation
Etat final : les billes de Paul après la
récréation
P1
P2Tout
I FT
Sander & Fort, 2014
Problème de combinaison
Partie 1: 3 ampoules allumées
Partie 2: des ampoules allumées
ensuite
Tout : 32 ampoules allumées
Problème de transformation
Etat initial : 3 ampoules allumées
Transformation : des ampoules
allumées ensuite
Etat final : 32 ampoules allumées
I F
T
P1
P2Tout
Sander & Fort, 2014
• Problème de combinaison
Partie 1: 39 billes rouges perdues
Part 2: 4 billes bleues restantes
Tout : Les billes de Pierre avant la
récréation
• Problème de Transformation
Etat initial : Les billes de Pierre avant
la récréation
Transformation : 39 billes (rouge)
Etat final : 4 billes (bleues)
I F
C
P1
P2Tout
Sander & Fort, 2014
• Problème de combinaison
Partie 1: 39 billes perdues
Part 2: 4 billes restantes
Tout : Les billes de Pierre avant la
récréation
• Problème de Transformation
Etat initial : Les billes de Pierre avant
la récréation
Transformation : 39 billes
Etat final : 4 billes
I F
C
P1
P2Tout
Sander & Fort, 2014
Contrôle (C) (N=115) Experimental (E) (N=111)
CE1 (N=78)MOY (7A 6M)
39 39
CE2 (N=148)MOY (8A 7M)
76 72
Prétest Problèmes de complémentProblèmes de transformation
Apprentissage Problèmes « Classiques »
Problèmes« Flexibles »
Posttest Problèmes de complémentProblèmes de transformation
Sander & Fort, 2014
Evolution entre prétest et posttest
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
CE1 GE GC CE2 GE GC
Sander & Fort, 2014
• Bibliographie du diaporama (1)
• Audo, S., & Sander, E. (2008). Les sources de difficulté dans la résolution de problèmes de division. Congrès de la Société Française de Psychologie, Bordeaux, septembre 2008.
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• Bassok, M., Pedigol, F., & Oskarsson, An T. (2008). Priming Addition Facts With Semantic Relations. Learning, Memory, and Cognition, 34, 343-352.
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• Bibliographie du diaporama (2)
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Experimental Psychology: Learning, Memory and Cognition, 13, 629-639.• Ross, B.H. (1989). Distinguishing types of superficial similarities: different effects on the access and use of• earlier problems. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory and Cognition, 15, 456-468.• Sander, E. (2007). Manipuler l’habillage d’un probleme pour evaluer les apprentissages, Bulletin de psychologie,
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• Sander, E., & Richard, J-F. (2005). Analogy and transfer: encoding the problem at the right level of abstraction. Proceedings of the 27th Annual Conference of the Cognitive Science Society, Stresa, Italy, pp. 1925-1930.
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• References bibliographiques d’approfondissement
• Bassok, M, Chase, V. M, & Martin, S. A. (1998). Adding apples and oranges: Alignment of semantic and formalknowledge. Cognitive Psychology, 35, 99-134
• Brissiaud, R., & Sander, E. (2010). Arithmetic word problem solving: a Situation Strategy First Framework. Developmental Science, 13(1), 92-107.
• Fischbein, E., (1989). Tacit models and mathematical reasoning, For the Learning of Mathematics, 9, 9-14. • Gamo, S., Sander, E. & Richard, J.-F. (2010). Transfer of strategy use by semantic recoding in arithmetic problem
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• Gamo, S., Taabane, L., & Sander, E. (2011). Rôle de la nature des variables dans la résolution de problèmes additifs complexes. L’année psychologique, 111, 613-640.
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• Sander, E. (2008). Les connaissances naïves en mathématiques. In J. Lautrey, S. Rémi-Giraud, E. Sander & Tiberghien, A. (Eds.). Les connaissances naïves (pp. 57-102). Paris, Armand Colin.
• Sophian, C. (2007). The origins of mathematical knowledge in childhood. New-York: Routledge• Thevenot, C., & Oakhill, J. (2006), Representations and strategies for solving dynamic and static arithmetic word
problem: The role of working memory capacities Quarterly Journal of Experimental Psychology-A, 58 (7), 1311-1323.
• Vicente, S., Orrantia, J., & Verschaffel, L. (2007). Influence of situational and conceptual rewording on wordproblem solving. British Journal of Educational Psychology, 77(4), 829-848.
Resolution de problemeset
developpement des connaissances arithmetiques
Emmanuel Sander
Professeur de Psychologie du Developpement et de l’EducationLaboratoire Paragraphe - Equipe CRAC, Université Paris 8
Le raisonnement mathematique et ses difficultes