Le poligonali 1 - RILEVAMENTO.IT A/2006-2007/Le... · 2007-06-13 · Poligonale chiusa ∑ = i i X...
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Università degli studi di BresciaFacoltà di Ingegneria
Corso di Topografia A – Nuovo Ordinamento
Le poligonali
Anno Accademico 2006-2007
13 Giugno 2004
Poligonale aperta vincolata agli estremi
I vincoli: XA, XB, YA, YB, XP, XQ, YP, YQ
Le misure:
angoli: α, β, γ, δ,
distanze: dA1, d12, d23, d34, d4P
P ,A
DATI
Poligonale aperta vincolata agli estremi
Si calcolano le direzioni di vincolo
PQ
PQPQ
BA
BABA
YYXX
arctan θ
YYXXarctan θ
−−
=
−−
=
g200nαθθii1,-i1ii, ⋅±+=+
Si propagano le direzioni fino a determinare il valore della direzione ΘPQ
Poligonale aperta vincolata agli estremi
Si calcolo dell’errore di chiusura angolare confrontando la direzione ΘPQ calcolata con la direzione di vincolo
Tvα <nσ3T α ⋅⋅=
n = numero degli angoli al vertice misurati
σα = precisione media delle misure angolari
Si dovrà verificare che:
Dove:
Poligonale aperta vincolata agli estremi
PQPQα θθv −=
nvε α
α =
α
α
α
α
α
α
δδ
γγ
ββ
αα
εˆˆε
ε
ε
ε
ε-AA
*
*
*
*
*
*
−=
−=
−=
−=
−=
=
PP
Si calcola l’errore angolare di ogni singolo angolo al vertice misurato:
Poligonale aperta vincolata agli estremi
Si calcolano i valori angolari corretti e quindi si torna a ricalcolare le direzioni compensate come segue:
g*** 200nαθθii1,-i1ii, ⋅±+=+
Errore di chiusura laterale nella componente X:
Errore di chiusura laterale nella componente Y:
Poligonale aperta vincolata agli estremi
)X(Xsendε APi
*1ii,1ii,X −−⋅= ∑ ++ ϑ
)Y(Ycosdε APi
*1ii,1ii,Y −−⋅= ∑ ++ ϑ
2Y
2X εεE +=
∑⋅=i
id0,015T
∑i
id
Errore di chiusura laterale risultante:
= sviluppo lineare della poligonale
TE <Verificare che:
Tolleranza lineare:
Poligonale aperta vincolata agli estremi
∑=
ii
XX d
εμ
Errori laterali nella componente X e Y per unità di misura
∑=
ii
YY d
εμ
Poligonale aperta vincolata agli estremi
( ) 1ii,X*
1ii,1ii,C*
1ii,1ii, dμsenθdsenθd +++++ ⋅−⋅=⋅
Componenti di ogni singolo lato di, corrette dall’errore di chiusura laterale in maniera direttamente proporzionale alla distanza:
( ) 1ii,Y*
1ii,1ii,C*
1ii,1ii, dμcosθdcosθd +++++ ⋅−⋅=⋅
Si dovrà verificare che:
( ) 0)X(Xsenθd APC*
1ii,1ii, =−−⋅∑ ++i
( ) 0)Y(Ycosθd APi
C*
1ii,1ii, =−−⋅∑ ++
Poligonale aperta vincolata agli estremi
( )C
*1ii,1ii,i1i cosθdYY +++ ⋅+=( )
C*
1ii,1ii,i1i senθdXX +++ ⋅+=
In generale:
Si calcolano le coordinate compensate dei vertici
Poligonale aperta vincolata agli estremi
( )( )( )( )( )C
*4P44P
C*343434
C*232323
C*121212
C*A1A11
senθdXX
senθdXX
senθdXX
senθdXX
senθdXX
⋅+=
⋅+=
⋅+=
⋅+=
⋅+= A ( )( )( )( )( )C
*4P4P4P
C*343434
C*232323
C*121212
C*A1A11
cosθdYY
cosθdYY
cosθdYY
cosθdYY
cosθdYY
⋅+=
⋅+=
⋅+=
⋅+=
⋅+= A
Poligonale chiusa.
Viene vincolata la traslazione imponendo che il punto P1coincida con l’origine del sistema di riferimento
Viene vincolata la rotazione imponendo che la direzione θ12 sia pari a 100g.
Le misure:
angoli: α, β, γ, δ, ε, ϕ
distanze: d12, d23, d34, d45, d56, d61
DATI
Poligonale chiusa
Si calcola l’errore di chiusura angolare osservando che, in un poligono chiuso di n lati, la somma degli angoli interni è pari a: (n-2)200g
( ) ∑−⋅−=i
ig
α α2002nv
Tvα <nσ3T α ⋅⋅=
n = numero degli angoli al vertice misurati
σα = precisione media delle misure angolari
Si dovrà verificare che:
Dove:
Poligonale chiusa
g*** 200nαθθii1,-i1ii, ⋅±+=+
Si calcolano gli angoli di direzione
In questo caso si utilizza da subito il valore angolare corretto:
αi*i εα=α +
Poligonale chiusa
α4P* ε4θθ45
⋅+=
α23* ε2θθ23
⋅+=
α12*12 εθθ +=
α* ε5θθ
5656⋅+=
α34* ε3θθ34
⋅+=
nvε α
α =
Si calcola l’errore angolare di ogni singolo angolo al vertice misurato:
Su alcuni testi, anziché correggere gli αi, si usa correggere direttamente le direzioni:
α* ε6θθ
6161⋅+=
Non ci sono differenze!!!! Il risultato finale deve essere uguale
Poligonale chiusa
Si noti inoltre che a compensazione angolare avvenuta, dovrà essere verificata la seguente uguaglianza:
( ) g
i
* 2002nαi
⋅−=∑
Errore di chiusura laterale nella componente X:
∑ ++ ⋅=i
*1ii,1ii,X sendε ϑ
Errore di chiusura laterale nella componente Y:
∑ ++ ⋅=i
*1ii,1ii,Y cosdε ϑ
Poligonale chiusa
Si calcola l’errore di chiusura laterale osservando che il punto di partenza e di arrivo coincidono quindi:
Poligonale chiusa
2Y
2X εεE +=
∑⋅=i
id0,015T
∑i
id
Errore di chiusura laterale risultante:
= sviluppo lineare della poligonale
TE <Verificare che:
Tolleranza lineare:
Poligonale chiusa
∑=
ii
XX d
εμ
Errori laterali nella componente X e Y per unità di misura
∑ −=
i12i
YY dd
εμ
Si osservi che, avendo vincolato l’orientamento della poligonale (θ12 = 100g), compensare la Y del punto 2 significherebbe ottenere un risultato incongruente col vincolo imposto. Per questo motivo, nella formulazione di μY, la lunghezza del primo lato viene tolta dallo sviluppo lineare della poligonale
( ) 1ii,X*
1ii,1ii,C*
1ii,1ii, dμsenθdsenθd +++++ ⋅−⋅=⋅
Si procede alla compensazione laterale delle componenti di ogni singolo lato di che vengono corrette dall’errore di chiusura laterale in maniera direttamente proporzionale alla distanza:
( ) 1ii,Y*
1ii,1ii,C*
1ii,1ii, dμcosθdcosθd +++++ ⋅−⋅=⋅
Poligonale chiusa
Si dovrà verificare che:
( ) 0cosθdi
C*
1ii,1ii, =⋅∑ ++( ) 0senθdC
*1ii,1ii, =⋅∑ ++
i
Poligonale chiusa
( )( )( )( )( )C
*565656
C*454545
C*343434
C*232323
C*121212
senθdXX
senθdXX
senθdXX
senθdXX
senθdXX
⋅+=
⋅+=
⋅+=
⋅+=
⋅+=
( )C
*1ii,1ii,i1i cosθdYY +++ ⋅+=
( )( )( )( )C
*565656
C*454545
C*343434
C*232323
cosθdYY
cosθdYY
cosθdYY
cosθdYY
⋅+=
⋅+=
⋅+=
⋅+=
( )C
*1ii,1ii,i1i senθdXX +++ ⋅+=
In generale:
Si osservi che, a causa dei vincoli imposti:0,000Y
0,000YX
2
11
===
Si calcolano le coordinate compensate dei vertici
ESERCIZIO
107,6989ϕ
94,1403ε
143,1109δ
119,9538γ
93,6579β
241,4359α
61,531d61
79,295d56
110,576d45
60,184d34
76,696d23
48,354d12
Angoli misurati αi[gon]
Distanze misurate [ m ]
n = numero dei lati = numero angoli = 6 quindi:
( ) gg 8002002n =⋅−
ccgggα 240024,09976,799800v ==−=
9976,799α g
ii =∑
( ) ∑−⋅−=i
ig
α α2002nv
Calcolo errore di chiusura angolare
Tolleranza angolare
nσ3T α ⋅⋅=
ccα 10σ =
ccccα 736103nσ3T =⋅⋅=⋅⋅=
Tvα < Verificata
dato del problema
Compensazione angolare empirica
6993,1070004,06989,107ε
1407,940004,01403,94ε
1113,1430004,01109,143ε
9542,1190004,09538,119ε
6583,930004,06579,93ε
4363,2410004,04359,241εαα
gggα
*
gggα
*
gggα
*
gggα
*
gggα
*
gggα
*
=+=+=
=+=+=
=+=+=
=+=+=
=+=+=
=+=+=
ϕϕ
εε
δδ
γγ
ββ
g
i
* 800αi
=∑Dopo la correzione, verificare che
ccgg
αα 40004,0
60024,0
nvε ====
Calcolo delle direzioni
6583,3932006583,93100200β
)β(200400
gggg23
*
g*12
*23
*
*12
*g23
*g
=++=
++=
+−=−
ϑ
ϑϑ
ϑϑ
Calcolo delle direzioni
,6124313200,9542119,6583393200γγ200
gggg34
*
g*23
*34
*
*g34
*23
*
=−+=
−+=
−=−
ϑ
ϑϑ
ϑϑ
Calcolo delle direzioni
7237,2562001113,1436124,313200
200
gggg45
*
g*34
*45
*
*g45
*34
*
=−+=
−+=
−=−
ϑ
δϑϑ
δϑϑ
Calcolo delle direzioni
8644,1502001407,947237,256200
200
gggg56
*
g*45
*56
*
*g56
*45
*
=−+=
−+=
−=−
ϑ
εϑϑ
εϑϑ
Calcolo delle direzioni
5637,582006993,1078644,150200
200
gggg61
*
g*56
*61
*
*g61
*56
*
=−+=
−+=
−=−
ϑ
ϕϑϑ
ϕϑϑ
6
Calcolo dell’errore di chiusura laterale
37,28148,9516-1-56,82655,3045-6-69,511-85,9964-512,771-58,8133-476,316-7,6282-30,00048,3541-2
lato *1ii,1ii, send ++ ⋅ ϑ *
1ii,1ii, cosd ++ ⋅ ϑ
Componenti espresse in metri di ciascun lato della poligonale
m 172,0sendεi
*1ii,1ii,X =⋅= ∑ ++ ϑ
m 031,0cosdεi
*1ii,1ii,Y =⋅= ∑ ++ ϑ
m 174,0031,0172,0εεE 222Y
2X =+=+=
Calcolo dell’errore di chiusura laterale
∑⋅=i
id0,015T
TE <
Verifica dei limiti di tolleranza
m 636,436531,61295,79576,110184,60696,76354,48di
i =+++++=∑
m 313,0636,4360,015T =⋅=
Verificata
00039320,0636,436
172,0d
εμ
ii
XX ===
∑
Errori laterali nella componente X e Y per unitàdi misura
00007881,0282,388
031,0dd
εμ
i12i
YY ==
−=
∑Compensazione laterale con errore direttamente proporzionale alla lunghezza del lato
( ) 1ii,X*
1ii,1ii,C*
1ii,1ii, dμsenθdsenθd +++++ ⋅−⋅=⋅
( ) 1ii,Y*
1ii,1ii,C*
1ii,1ii, dμcosθdcosθd +++++ ⋅−⋅=⋅
Calcolo delle componenti corrette di ciascun lato
37,27648,9276-1-56,83255,2725-6-69,519-86,0394-512,766-58,8373-476,310-7,6582-30,00048,3351-2
lato ( )C
*1ii,1ii, send ++ ⋅ ϑ ( )
C*
1ii,1ii, cosd ++ ⋅ ϑ
Componenti di ciascun lato della poligonale espresse in metri, corrette dall’errore laterale di chiusura.
m 000,0sendεi
*1ii,1ii,X =⋅= ∑ ++ ϑ
m 000,0cosdεi
*1ii,1ii,Y =⋅= ∑ ++ ϑ
Se la compensazione laterale è andata a buon fine, si dovrà verificare che:
( )C
*1ii,1ii,i1i cosθdYY +++ ⋅+=( )
C*
1ii,1ii,i1i senθdXX +++ ⋅+=
m 0,000927,48927,48Xm 48,92755,272199,104Xm ,199104039,86,16018X
m 18,160837,580,6774Xm 40,6777,658-48,335Xm 48,33548,3350,000X
000,0X
1
6
5
4
3
2
1
=+−=−=+−=
−=−−=−=−=
===+=
=
m 0,000276,37276,37Ym 37,27656,832556,19Y
m ,55619519,69,07689Ym 89,076766,1276,310Y
m 76,31076,3100,000Y0,000Y
000,0Y
1
6
5
4
3
2
1
=+−=−=−=
=−==+=
=+===
Calcolo delle coordinate finali compensate
Esercizio: misura e calcolo di un angolo al vertice di una poligonale
73g,8900
232g,4543
Pos. Ι
273g,8920
32g,4559
Pos. ΙΙ
73g,8910
232g,4551
Bessel
21
61
Pcoll.Pstaz.
Dato il seguente libretto delle misure, calcolare l’angolo a al vertice 1 della poligonale dell’esercizio precedente.
2200LLL
gIII ±+
=Ricordare la regola di Bessel
Graficamente
L16 = 232g,4551
L12 = 73g,8910
,4359241400,4551232,891073α
400LLα
LLα400
gggg
g1612
1216g
=+−=
+−=
−=−
indietroavantii LLα −=
In generale
Nota: in questo caso, con L si è indicata una lettura angolare espressa in gradi centesimali.
Lindietro
Lavanti
αi
i
i-1
i+1