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Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Un angolo è la parte di piano descritta da una semiretta a che ruota attorno alla sua origine.
Inoltre, poiché la rotazione può avvenire in due modi diversi conveniamo di considerare:
• angoli orientati negativamente se la rotazione avviene in verso orario
• angoli orientati positivamente se la rotazione avviene in verso antiorario
Definizione di angolo
• dalla definizione precedente deriva che è possibile considerare angoli maggiori di un angolo giro: basta continuare a far ruotare la semiretta oltre tale angolo.
L’angolo α supera l’amgolo giro dell’angolo β.
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Grado sessagesimale: novantesima parte dell’angolo retto.
Il grado non ha multipli, ma ha dei sottomultipli:
Misure di angoli
• il primo, corrispondente a di grado
1
60
• il secondo, corrispondente a di primo, cioè a di grado.
1
60
1
3600
Con gli angoli si possono eseguire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione per un numero reale.
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Misure di angoli
ESEMPIO
322 5 4 8 124 2 3 6
Sommiamo gradi con gradi, primi con primi e secondi con secondi.
32 12 44
2 5 4 2 6 7
4 8 3 6 8 4
Il valore ottenuto per i secondi supera 60, cioè in esso è contenuto 1 primo, quindi:
8 4 6 0 2 4 1 2 4 aggiungiamo 1 ai primi ottenendo
446 8 2 4
Anche il valore ottenuto per i primi supera 60, quindi in esso è contenuto 1 grado:
6 8 6 0 8 1 8 aggiungiamo 1 ai gradi ottenendo
45 8 2 4
La somma dei due angoli, in forma normale, è quindi:
45 8 2 4
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Misure di angoli
Un radiante è l’ampiezza di un angolo al quale corrisponde un arco AB la cui lunghezza l è uguale al raggio r.
In questo modo, ad esempio, un angolo giro misura:
lunghezza circonferenza rettificata
raggio
2 r
r2
angolo giro
2
angolo piatto
angolo retto
2
Le funzioni goniometriche e i triangoli
ESEMPIO
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Misure di angoli
In generale, per passare dalla misura di un angolo in gradi a quella in radianti, e viceversa, si usa la proporzione
: x 180 : yx : misura nell’angolo in radianti
y : misura nell’angolo in gradi
se vogliamo sapere quanto misura in gradi l’angolo di radianti, basta risolvere la proporzione rispetto a y
5
:5
180 : y
1805
36
oppure più semplicemente attribuire a π il suo valore in gradi:
5
180
536
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Circonferenza goniometrica: circonferenza nel piano cartesiano con centro nell’origine degli assi e raggio unitario.
In una circonferenza goniometrica ad un angolo orientato α possiamo associare un punto P appartenente alla circonferenza stessa.
Circonferenza goniometrica
Se a due angoli α e β è associato lo stesso punto P allora:
k360 k Z
k indica il numero di giri che OP deve compiere per ritornare su se stessa.
Si possono anche descrivere angoli negativi facendo compiere una rotazione oraria a OP.
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Un angolo α, a meno di multipli di 360°, è completamente individuato se sono date le coordinate del punto P sulla circonferenza.
Possiamo allora definire le seguenti funzioni goniometriche:
Definizione
Tracciando la semiretta tangente in A alla circonferenza goniometica e indicando con Q la sua intersezione con la semiretta OP, chiamiamo:
tangente dell’angolo α, e scriviamo tan α, l’ordinata del punto Q: tan α = yQ
seno dell’angolo α, e scriviamo sin α, l’ordinata del punto P: sin α = yP
coseno dell’angolo α, e scriviamo cos α, l’ascissa del punto P: cos α = xP
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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la funzione seno e la funzione coseno hanno periodo 360°, cioè:
Caratteristiche
sin k360 sin
cos k360 cos
k Z
la funzione tangente è periodica di periodo 180°, cioè:
tan k180 tan
k Z
Al reciproco della funzione tangente viene dato il nome di cotangente, cioè:
cotan 1tan
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Grafici dellefunzioni goniometriche
y sin x
Insieme di definizione: R
−1 ≤ y ≤ 1
Periodo: 360° (2π)
Il grafico della funzione seno è simmetrico rispetto all’origine
sin sin
Passa per i punti:x y
0°
2π
0
1
0
−1
0
π
π
2
π2
3
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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y cos x
Insieme di definizione: R
−1 ≤ y ≤ 1
Periodo: 360° (2π)
Il grafico della funzione coseno è simmetrico rispetto all’asse y
cos cos
Passa per i punti:x y
0°
2π
1
0
−1
0
1
π
π
2
π2
3
Grafici delle funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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y tan x
Periodo: 180° (π)
Il grafico della funzione tangente è simmetrico rispetto all’origine
tan tan
Insieme di definizione: la tangente non è definita in
x =
2+ k
Gli angoli compresi tra 0 e hanno la tangente positiva che cresce molto rapidamente al crescere di xπ
2
Gli angoli compresi tra e 0 hanno la tangente negativa che diminuisce molto rapidamente
quando x si avvicina a
π
2−π
2−
Grafici delle funzioni goniometriche
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Tra le funzioni che abbiamo definito esistono delle relazioni:
• Prima relazione fondamentale della goniometria
Relazioni fondamentali
Deriva dal teorema di Pitagora applicato al triangolo OHP nella circonferenza goniometrica.
sin2 cos2 1
• Seconda relazione fondamentale della goniometria
tan sincos
Deriva dalla similitudine dei triangoli OHP e OKQ nella circonferenza goniometrica.
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Dalle due relazioni fondamentali si possono ricavare le formule che permettono di calcolare le funzioni goniometriche di un angolo a partire dal valore di una di esse.
Relazioni fondamentali
sin α cos α tan α
sin α
cos α
tan α
sin α
cos α
tan α
1 cos2
1 sin2
sin
1 sin2
tan
1 tan2
1
1 tan2
1 cos2
cos
Il segno ± viene attribuito in funzione del quadrante in cui cade α.
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Con considerazioni di carattere geometrico si possono ricavare i valori delle funzioni goniometriche di alcuni angoli particolari.
Valori delle Funzionigoniometriche
x (in gradi) 30° 45° 60°
x (in radianti)
sin x
cos x
6
4
tan x
3
1
2
2
2
3
2
3
2
3
3
2
2
1
2
1
3
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Risolvere un triangolo significa trovare le lunghezze di tutti i suoi lati e le misure di tutti i suoi angoli.
I triangoli rettangoli
Per il triangolo rettangolo valgono i seguenti due teoremi.
b a sin
c a sin
b a cos
c a cos
Primo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale:
al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto (al cateto che si deve trovare),
oppure
al prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente (al cateto che si deve trovare).
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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I triangoli rettangoli
b c tan
c b tan
b c cotan
c b cotan
Secondo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di ciascun cateto è uguale:
al prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto (al cateto che si deve trovare),
al prodotto della misura dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente (al cateto che si deve trovare).
Le funzioni goniometriche e i triangoli
ESEMPIO
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I triangoli rettangoli
Di un triangolo rettangolo sono note le misure in cm di due cateti: b = 12,4, c = 9,6. Vogliamo risolvere il triangolo e determinare la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa.
Con il teorema di Pitagora possiamo subito determinare la misura dell’ipotenusa:
a b2 c2 12,42 9,62 15,68
Dalle relazioni della slide precedente ricaviamo che:
tan bc
tan 12,49,6
521 5 1 2
Possiamo ora calcolare
90 521 5 1 2 374 4 4 8
Per trovare l’altezza relativa all’ipotenusa, basta applicare il primo teorema ad uno dei triangoli rettangoli indicati in figura; relativamente al triangolo arancio, dove c rappresenta la misura dell’ipotenusa, si ha che:
h c sin 9,6 sin 521 5 1 2 7,6 cm
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Area di un poligono
I teoremi sui triangoli rettangoli permettono di risolvere il problema del calcolo dell’area di un poligono.
Il calcolo dell’area di un poligono può sempre essere ricondotto al calcolo dell’area di un triangolo, per esempio tracciando le diagonali uscenti da un vertice.
La misura dell’area di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell’angolo fra essi compreso.
S 12
ab sin
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Triangoli qualsiasi
Teorema della corda. In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda.
Applicando il teorema della corda a un triangolo qualsiasi:
a 2r sin
asin
2r
b 2r sin
bsin
2r
c 2r sin
csin
2r
Teorema dei seni. In ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
asin
bsin
csin
2rUguagliando i rapporti otteniamo:
Le funzioni goniometriche e i triangoli
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Triangoli qualsiasi
Teorema di Carnot. In ogni triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell’angolo fra essi compreso.
a2 b2 c2 2bc cos
b2 a2 c2 2ac cos
c2 a2 b2 2ab cos
Questo teorema è anche noto come teorema del coseno.
Le funzioni goniometriche e i triangoli
ESEMPIO
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Triangoli qualsiasi
L’applicazione del teorema dei seni e del teorema di Carnot permette di risolvere qualunque triangolo.
Risolviamo il triangolo sapendo che
60 45b 15
Usiamo poi il teorema dei seni per calcolare le misure degli altri due lati a e c:
bsin
asin
06sin 57sin
15 a 45,1375sin
60sin 15 a
bsin
csin
54sin 57sin
15 c 98,1075sin
45sin 15 c
Calcoliamo β = 180° − (60° + 45°) = 75°