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Studio delle funzioni di più variabili Studio delle funzioni di più variabili
(Esercizi)(Esercizi) Applicazioni in economia
Tipologia di problemiTipologia di problemi
Per una funzione di più variabili ha senso
effettuare:
Lo studio del dominio
Il calcolo delle derivate prime e seconde
La ricerca dei massimi e dei minimi
Lo studio del dominioLo studio del dominio
Tale funzione ha senso se il denominatore è diverso da zero.
222 909 xyyx
Esempio 1 (Libro ‘Matematica.rosso’ 2013 – Zanichelli; Pag. 1153, n 88).
yx
yxz
2
xyyx 0
Esempio 2 (Libro Pag. 1153, n 91).
922
yx
yxz Anche tale funzione ha senso se il denominatore è diverso da zero.
Si ricerca l’insieme dei valori possibili delle variabili indipendenti per cui la funzione è definita.
Lo studio del dominioLo studio del dominio
2
2
2
2
02
02
02x
x
x
yy
y
xy
yx
yx
yx
Esempio 3 (Libro Pag. 1153, n 92).
222
1
yx
x
xyz
2
2
2
2
2
2 2
02
0
02
yx
xy
xy
xy
yx
xy
Esempio 4 (Libro Pag. 1153, n 97).
yxz
2
5
Il denominatore deve essere diverso da zero e l’argomento
della radice maggiore o uguale a zero.
Lo studio del dominioLo studio del dominio
L’argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero. 14ln xyz
14014 xyxy
Esempio 5 (Libro Pag. 1153, n 100).
Esempio 6 (Libro Pag. 1153, n 103).
2 yxz Gli argomenti delle due radici devono essere
entrambi maggiori o uguali a zero.
2
0
02
0
y
x
y
x
Lo studio del dominioLo studio del dominio
Esempio 7 (Funzione con più di due variabili indipendenti).
L’argomento della radice
deve essere maggiore o
uguali a zero.
2
449
3
2
1
2
43
2
1
094 xx
x
x
xx
x
x
2
43214321 94),,,( xxxxxxxxfz
Il calcolo delle derivateIl calcolo delle derivate
24463 3322 xyxxyxyz
Esempio 1 (Libro Pag. 1154, n 111).
Esempio 2 (Libro Pag. 1154, n 113).
122 yxyxz Effettuiamo il calcolo delle derivate prime e seconde
yxz
yxz
y
x
2
2
0
2
2
yxxy
yy
xx
zz
z
z
22
232
12123
12863
yxxyxz
xxyyyz
y
x
2
2
3
24123
2412
248
xyyzz
yxxz
xyz
yxxy
yy
xx
Il calcolo delle derivateIl calcolo delle derivate
4
22
x
yxz
Esempio 3 (Libro Pag. 1154, n 119).
Esempio 4 (Libro Pag. 1154, n 122).
yxz 24
yxz
yx
xz
y
x
2
2
42
1
4
4
32
32
32
4
2
44
1
4
4
yx
xzz
yx
z
yx
yz
yxxy
yy
xx
4
24
82
22
x
yz
x
yxxz
y
x
2
3
2
4
2
4
24
162
x
yzz
xz
x
yz
yxxy
yy
xx
Il calcolo delle derivateIl calcolo delle derivate
yxez 2
Esempio 5 (Libro Pag. 1154, n 123).
Esempio 6 (Libro Pag. 1154, n 127).
2
2yyz
2
2
2
1
0
yy
x
y
yz
z
0
4
1
0
3
2
2
yxxy
yyy
xx
zz
y
z
z
yx
y
yx
x
ez
xez2
2
2
yx
yxxy
yx
yy
yx
xx
xezz
ez
exz
2
2
2
2
24 2
Il calcolo delle derivateIl calcolo delle derivate
Esempio 7 (Funzione con più di due variabili).
43214321 ),,,( xxxxxxxxfz
011
xxf
321xf xx
231xf xx
041
xxf
321xxfx
312xxfx
213xxfx
14xf
312xf xx
022
xxf
132xf xx
042
xxf
213xf xx
123xf xx
033
xxf
043
xxf
014
xxf
024
xxf
034
xxf
044
xxf
Per le funzioni di n variabili esistono n derivate prime ed nn derivate seconde, di
cui n pure (lungo la diagonale della matrice, segnata in rosso) ed n(n-1) miste.
La ricerca dei Massimi e minimiLa ricerca dei Massimi e minimi
I passi per la ricerca dei massimi e dei minimi sono:
1. Calcolo delle derivate prime f ’x e f ’y;
2. Ricerca dei punti in cui si tali derivate di annullano:
f ’x = 0 ed f ’y= 0;
3. Calcolo delle derivate seconde f ”xx , f ”yy , f ”xy , f ”yx e
dell’Hessiano in corrispondenza di tali punti candidati:
H(x,y) = (f ”xx)(f ”yy) – (f ”xy f ”yx);
4. Distinzione tra punti di massimo, minimo, di sella oppure
di non riconoscibilità, tramite il valore dell’Hessiano e
della derivata seconda f ”xx.
La ricerca dei Massimi e minimiLa ricerca dei Massimi e minimi
),( yxfz
0,
0,
yxf
yxf
y
x
nP
P
P
...
2
1
Punti
candidati
2xyyyxxyxxyyyxx
yyyx
xyxxfffffff
ff
ffH
H > 0 e f ”xx < 0 → P è punto di massimo relativo
H > 0 e f ”xx > 0 → P è punto di minimo relativo
H < 0 → P è punto di sella
H = 0 → nulla si può dire
Casi possibili:
Calcolo dell’Hessiano nei punti candidati:
nPH
PH
PH
...
2
1
Per il teorema di Schwarz
La ricerca dei Massimi e minimiLa ricerca dei Massimi e minimi
Esempio 1 (Libro Pag. 1157, n 152).
23 6124 yxyxz
yxz
yxz
y
x
1212
1212 2
1,0
1,000
01212
01212
21
21222
yy
xx
xy
xx
xy
xy
yx
yx
1,1
0,0
2
1
P
P
12
12
24
yxxy
yy
xx
zz
z
xz
Esistono due punti candidati ad essere di max o min:
Dopo aver calcolato le derivate prime e seconde imponiamo l’annullamento
delle derivate prime, così da ricercare i punti che hanno piano tangente
orizzontale, cioè che si trovano su di una cresta della superficie della funzione:
La ricerca dei Massimi e minimiLa ricerca dei Massimi e minimi
Esempio 1 (Libro Pag. 1157, n 152).
12144121224),(22
xxzzzyxH xyyyxx
Il punto P1 è di sella poiché ha l’Hessiano negativo, mentre il punto P2 è di
minimo relativo poiché l’Hessiano è positivo e la derivata seconda nel punto
positiva. Il minimo ha valore Min = -2.
01441,1
01440,0
112 1441,1
102 1440,0
2
1
H
H
H
H
PH
PH
24124241,1 xzxx
1,1
0,0
2
1
P
PIn questi due punti calcoliamo il valore dell’Hessiano:
La ricerca dei Massimi e minimiLa ricerca dei Massimi e minimi
Esempio 2 (Libro Pag. 1157, n 155).
yxxyz 356
36
56
xz
yz
y
x
63
65
036
056
x
y
x
y
65
63
1 ,P
6
0
0
yxxy
yy
xx
zz
z
z
Esiste un unico punto candidato:
Imponiamo l’annullamento delle derivate prime:
Calcoliamo il valore dell’Hessiano:
36600),(22
xyyyxx zzzyxH
Il punto P1 è di sella poiché ha l’Hessiano negativo.
Non esistono quindi punti massimo o di minimo relativo.
La ricerca dei Massimi e minimiLa ricerca dei Massimi e minimi
Esempio 3 (Libro Pag. 1157, n 158).
yxxyxyz 21066 22
2126
1206
yxz
xyz
y
x
00240260212602126
0120661
6201
6201
6201
x
y
xx
y
x
y
yx
xy x
x
x
61
1 ,0P
6
12
20
yxxy
yy
xx
zz
z
z
Esiste un unico punto candidato:
Imponiamo l’annullamento delle derivate prime:
Calcoliamo il valore dell’Hessiano in tale punto:
2043624061220),(22
xyyyxx zzzyxH
Il punto P1 è quindi di minimo poiché ha l’Hessiano positivo e la derivata
seconda anch’essa positiva. Il valore del minimo relativo è Min = -1/6.
20,061
xxz