Le Formulaire PCSI-PTSI PC-PSI-PT

FORMULAIRE

Le Formulaire PCSI-PTSI PC-PSI-PT

PCSI | PTSI | PC | PSI | PT

DANIEL FREDON

LIONEL PORCHERON

MAGALI DÉCOMBE VASSET

DIDIER MAGLOIRE

© Dunod, 2014

5 rue Laromiguière, 75005 Paris

ISBN 978-2-10-071224-3

Conception et création de couverture : Atelier 3+

Collaboration technique : Thomas Fredon, ingénieur Télécom Bretagne

Table des matieres

Avant-propos 11

Mathematiques 12

1. Analyse 12

1.1 Les nombres reels 121.2 Continuite 121.3 Derivation 131.4 Suites numeriques 141.5 Integration 151.6 Developpements limites 201.7 Equations differentielles 211.8 Espaces vectoriels normes 241.9 Series numeriques 251.10 Suites et series de fonctions 271.11 Calcul differentiel 31

2. Algebre generale 33

2.1 Ensembles et applications 332.2 Relations 342.3 Calculs algebriques 352.4 Nombres complexes 362.5 Arithmetique 372.6 Polynomes 38

3. Algebre lineaire et multilineaire 39

3.1 Espaces vectoriels 393.2 Applications lineaires 433.3 Matrices, determinants 453.4 Reduction des endomorphismes 483.5 Espaces vectoriels euclidiens 50

6 Table des matieres

4. Calcul des probabilites 54

4.1 Evenements et probabilites 544.2 Variables aleatoires 57

Physique 63

1. Etude du signal 631.1 Oscillateur harmonique non amorti (ressort horizontal) 631.2 Propagation du signal 641.3 Circuits electriques 68

2. Optique 762.1 Optique geometrique 762.2 Modele scalaire des ondes lumineuses (PC) 782.3 Dephasage et chemin optique (PC) 802.4 Les sources lumineuses (PC) 812.5 Les detecteurs de lumiere (PC) 832.6 Superpositions d’ondes lumineuses (PC) 842.7 Interferences (PC) 86

3. Mecanique 883.1 Cinematique d’un point 883.2 Cinematique d’un solide 903.3 Dynamique du point - Etude energetique 913.4 Dynamique de particules chargees 963.5 Dynamique du solide - Etude energetique 973.6 Mouvement dans un champ de force centrale conservative 1003.7 Referentiels non galileens - Cinematique (PC) 1033.8 Referentiels non galileens - Dynamique (PC) 1053.9 Lois de Coulomb du frottement solide (PC) 107

4. Thermodynamique 1084.1 Description d’un systeme a l’equilibre 1084.2 Changement d’etat d’un corps pur 1104.3 Travail, transfert thermique et transformations 1114.4 Premier et second principes 1134.5 Machines thermiques 1154.6 Systemes ouverts en regime stationnaire 1174.7 Diffusion de particules 1194.8 Diffusion thermique 122

5. Statique des fluides 127

Table des matieres 7

6. Mecanique des fluides 1306.1 Description d’un fluide en mouvement 1306.2 Bilan de masse 1316.3 Actions de contact dans un fluide en mouvement 1326.4 Dynamique des fluides 1356.5 Bilans macroscopiques 136

7. Electromagnetisme 1387.1 Action d’un champ magnetique 1387.2 Induction, auto-induction et couplage 1397.3 Conversion de puissance electromecanique 1437.4 Transport de charge electrique 1447.5 Champs electrostatiques 1477.6 Proprietes du champ electrostatique 1507.7 Champs electrostatiques de distributions particulieres 1537.8 Analogie pour le champ de gravitation 1557.9 Dipoles electriques 1567.10 Champ magnetostatique 1597.11 Calcul de champs magnetostatiques 1627.12 L’approximation des regimes quasi-stationnaires 163

8. Dipoles magnetiques 1658.1 Moment magnetique, champ, actions 1658.2 Matiere aimantee 167

9. Electronique (PSI) 1699.1 Stabilite des systemes lineaires 1699.2 L’amplificateur lineaire integre et la retroaction 1709.3 L’A.L.I. et la reaction positive 1749.4 Les oscillateurs 1769.5 L’echantillonnage 1799.6 Filtrage numerique du signal 1809.7 Introduction a la transmission des signaux 182

10.Milieux ferro-magnetiques (PSI) 18310.1 Description 18310.2 Circuits magnetiques 185

11. Conversions de puissance (PSI) 18811.1 Conversion statique 18811.2 Conversion electro-mecanique 191


12. Ondes electromagnetiques 19512.1 Les equations de propagation des champs 19512.2 Energie du champ electromagnetique 19612.3 Le champ electromagnetique dans le vide sans chargesni courants electriques 19712.4 Propagation du champ electromagnetique dans un plasma 19812.5 Champ electromagnetique dans le plasma 19912.6 Propagation du champ electromagnetiqueen presence d’un milieu conducteur ohmique 201

13. Ondes mecaniques (PSI) 20413.1 Ondes sur les cordes 20413.2 Ondes acoustiques 205

14. Mecanique quantique 20814.1 Premieres notions 20814.2 Physique du laser (PC) 20914.3 Mecanique quantique (PC) 211

Chimie 217

1. Thermodynamique 217

1.1 Etats de la matiere 2171.2 Description d’un systeme physico-chimique 2191.3 Etude thermodynamique d’une transformation 2211.4 Diagrammes binaires (PSI) 2231.5 Application du premier principe a la transformation chimique 2261.6 Application du second principe a la transformation chimique 227

2. Cinetique 232

2.1 Cinetique formelle 2322.2 Mecanismes reactionnels 2352.3 Cinetique en reacteur ouvert 236

3. Architecture de la matiere 237

3.1 Classification periodique des elements 2373.2 Edifices chimiques 2403.3 Modelisation quantique et reactivite 245

Table des matieres 9

4. Etat solide 246

4.1 Modele du cristal parfait 2464.2 Types de cristaux 248

5. Solutions aqueuses 249

5.1 Reaction d’oxydo-reduction 2495.2 Reaction acido-basique 2515.3 Reaction de complexion 2535.4 Reaction de precipitation 2545.5 Diagrammes potentiel-pH 255

6. Electrochimie 256

6.1 Thermodynamique de l’oxydoreduction (PC) 2566.2 Cinetique de l’oxydoreduction 2566.3 Corrosion (PSI) 2586.4 Conversion et stockage d’energie (PSI) 260

7. Chimie organique 260

7.1 Description des molecules organiques 2607.2 Polarimetrie et spectroscopie 2647.3 Controle et selectivite 2667.4 Mecanismes en chimie organique 2677.5 Strategie de synthese 2737.6 Activation des alcools, phenols et composes carbonyles 2747.7 Activation des acides carboxyliques 2787.8 Protection et deprotection de fonction 2827.9 Oxydo-reduction en chimie organique 2837.10 Creation de liaisons carbone-carbone 2867.11 Materiaux organiques polymeres 292

Annexe A : Unites et constantes fondamentales 294

1. Unites du systeme international 2942. Constantes fondamentales 2953. Ordres de grandeur 296

Annexe B : Classification periodique 297

Annexe C : Constantes chimiques 300

1. Potentiels standards redox 3002. Constantes acido-basiques 3013. Zone de virage des principaux indicateurs colores 302


Annexe D : Champs scalaires - champs vectoriels 303

1. Coordonnees cartesiennes 3032. Proprietes 3033. Coordonnees cylindriques 3044. Coordonnees spheriques 304

Index des mathematiques 306

Index de la physique 308

Index de la chimie 314

Avant-proposCe nouveau formulaire reprend la presentation et les objectifs des anciens for-mulaires concus par Lionel Porcheron. Mais il a ete entierement reecrit pours’adapter aux nouveaux programmes, avec des auteurs nouveaux, et donc deschoix nouveaux.

Cet ouvrage s’adresse principalement aux etudiants de PCSI, puis de PC ouPSI. Mais il sera aussi utile a la filiere PTSI-PT : il ne manque que la thermo-dynamique industrielle.Pour chaque item, vous trouverez :

− la mention ¶ ou · qui indique si c’est une notion de premiere annee ou dedeuxieme annee ;− parfois la mention PC ou PSI pour indiquer une notion reservee a une seulesection.

Le livre est scinde en trois parties : mathematiques, physique, chimie. Danschaque partie, vous trouverez l’essentiel du cours, les principaux resultats etantmis en valeur par un support trame.A la fin un index tres detaille vous permettra d’acceder tres vite a la notion quevous voulez reviser.

Des annexes font le bilan d’informations essentielles et parfois dispersees dansvotre cours.

Ne vous trompez pas dans l’offre Dunod. Vous trouverez des livres de cours etd’exercices pour renforcer votre travail de classe.Pour des revisions structurees, les Tout-en-fiches par classes (PCSI, PC, PSI)comportent l’essentiel du cours et quelques exercices d’entraınement.

Ce livre est un outil pedagogique adapte aux revisions rapides avant un devoir.C’est aussi un puissant remede contre l’anxiete du trou de memoire. C’est enquelque sorte un anxiolytique sans risque sanitaire. Mais vous risquez l’ac-coutumance : quand vous aurez commence a vous servir de ce livre, vous nepourrez plus vous en passer, surtout a l’approche des concours (qui portent surles deux annees de prepa n’oubliez pas).

Un grand merci a Thomas Fredon, soutien technique indispensable a l’exis-tence de ce livre, et a Matthieu Daniel pour la realisation finale.

Daniel [email protected]

Mathematiques

1. Analyse

1.1 Les nombres reels

¶ Parties denses dans �

Une partie A est dense dans R si ellerencontre tout intervalle ouvert nonvide.

Une partie A est dense dans Rsi tout reel est limite d’une suited’elements de A.

¶ Borne superieure

La borne superieure de A est le plus pe-tit element (s’il existe) de l’ensembledes majorants de A.

M = sup A si :

∀x ∈ A x 6 M,

∀ε > 0 ∃x ∈ A M − ε < x.

1.2 Continuite

¶ Continuite : definition

f est continue en a si elle est definie en a et si limx→a

f (x) = f (a).

¶ Theoreme des valeurs intermediaires

Si f est continue, pour tout y tel quef (a) < y < f (b), il existe c tel que y =

f (c).

En particulier, si une fonction f estcontinue sur [a, b], et si f (a) et f (b)sont de signe contraire, l’equationf (x) = 0 admet au moins une so-lution dans [a; b].

¶ Continuite sur un segment

Toute fonction continue sur un segment est bornee et atteint ses bornes.

L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

1. Analyse 13

1.3 Derivation

¶ Derivee en un point

Soit f une fonction definie sur D et x0 un element de D tel que f soit definieau voisinage de x0. On appelle derivee de f au point x0 le nombre (lorsqu’ilexiste) :

limx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

= limh→0

f (x0 + h) − f (x0)h

= f ′(x0).

¶ Derivees usuelles

f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) f (x) f ′(x)

xn (n , 0) nxn−1 1x

−1x2

√x

12√

x

cos x − sin x sin x cos x tan x1

cos2 x

ln x1x

ex ex cot x −1

sin2 x

arcsin x1

√1 − x2

arccos x −1

√1 − x2

arctan x1

1 + x2

¶ Derivee d’une fonction reciproque

La fonction reciproque f −1 est deri-vable en f (x0) et

( f −1)′( f (x0)) =1

f ′(x0)·

f est strictement monotone sur I,derivable en f (x0) et f ′(x0) , 0.

¶ Theoreme de Rolle

Soit f une fonction continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[, et telle quef (a) = f (b).Alors il existe au moins un point c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

14 [1] Mathematiques

¶ Egalite des accroissements finis

Si f est continue sur [a, b] et derivablesur ]a, b[. il existe au moins un pointc ∈]a, b[ tel que :

f (b) − f (a) = (b − a) f ′(c).

Ce theoreme ne se prolonge pas auxfonctions de R dans C.

¶ Inegalite des accroissements finis

Soit f une fonction continue sur [a, b],derivable sur ]a, b[.

Si m 6 f ′ 6 M, alors :

m (b − a) 6 f (b) − f (a) 6 M (b − a).

En particulier, si | f | 6 K, alors,pour tous x et x′ de ]a, b[,

| f (x) − f (x′)| 6 K |x − x′|.

¶ Limite de la derivee

Si f est continue sur [a, b], derivablesur ]a, b[, et si f ′ a une limite finie l ena, alors f est derivable a droite en a etf ′d(a) = l.

Attention, il s’agit d’une conditionsuffisante de derivabilite, mais ellen’est pas necessaire. Il peut arriverque f ′d(a) existe sans que f ′ ait unelimite en a.

1.4 Suites numeriques

¶ Suite convergente

La suite (un) est convergente vers l si :∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀n > n0

|un − l| 6 ε.

Une suite qui n’est pas convergenteest dite divergente.

Lorsqu’elle existe, la limite d’unesuite est unique.

¶ Theoreme d’encadrement

Si, a partir d’un certain rang, un 6 xn 6 vn et si (un) et (vn) convergent vers lameme limite l, alors la suite (xn) est convergente vers l.

1. Analyse 15

¶ Suite extraite

La suite (vn) est extraite de la suite (un)s’il existe une application ϕ de N dansN, strictement croissante, telle que vn =

uϕ(n) .

On dit aussi que (vn) est une sous-suite de (un).Si une suite possede une limite(finie ou infinie), toute sous-suitepossede la meme limite.

¶ Theoreme de la limite monotone

Toute suite de reels croissante et majoree est convergente.Toute suite de reels decroissante et minoree est convergente.Si une suite est croissante et non majoree, elle diverge vers +∞.Si une suite est decroissante et non minoree, elle diverge vers −∞.

¶ Suites adjacentes

(un) et (vn) sont adjacentes si :(un) est croissante ;(vn) est decroissante ;lim

n→+∞(vn − un) = 0.

Si deux suites sont adjacentes, ellesconvergent et ont la meme limite.

VarianteSi (un) croissante, (vn) decroissanteet un 6 vn pour tout n, alors ellesconvergent vers l1 et l2. Il reste amontrer que l1 = l2 pour qu’ellessoient adjacentes.

1.5 Integration

¶ Valeur absolue∣∣∣∣∣∣∫ b

af (x) dx

∣∣∣∣∣∣ 6∫ b

a| f (x)| dx.

¶ Integrales et ordre

• Si a < b, et si f 6 g sur [a, b], alors :∫ b

af (x) dx 6

∫ b

ag(x) dx.


• Si f est continue et positive sur [a, b], on a :∫ b

af (x) dx = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ [a, b] f (x) = 0.

¶ Inegalite de la moyenne

∣∣∣∣ ∫ b

af (x)g(x) dx

∣∣∣∣ 6 supx∈[a,b]

| f (x)| ×∫ b

a|g(x)| dx.

¶ Sommes de Riemann

Si f est continue sur [a; b], a valeursdans R, on a :

limn→∞

1n

n−1∑k=0

f( kn)

=

∫ 1

0f (x) dx.

Les sommes de Riemann, donton considere la limite, sont dessommes d’aires de rectangles.

¶ Integration par parties

∫ b

au′(t) v(t) dt

=[u(t) v(t)

]ba −

∫ b

au(t) v′(t) dt.

u et v sont deux fonctions de classeC1 sur un intervalle I, et a et b desreels de I.

¶ Integration par changement de variable

∫ β

α

f(u(t)

)u′(t) dt =

∫ u(β)

u(α)f (x) dx. u de classe C1 de [α, β] dans [a, b],

et f continue sur [a, b].

¶ Formule de Taylor avec reste integral

Soit f une fonction de classe Cn+1 sur I, x0 et x des points de I. On a :

f (x) = Pn(x) +

∫ x

x0

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt ,

1. Analyse 17

ou Pn(x) = f (x0) +(x − x0)

1!f ′(x0) + · · · +

(x − x0)n

n!f (n)(x0)

est l’approximation de Taylor a l’ordre n ;

et Rn(x) =

∫ x

x0

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt est le reste integral d’ordre n.

· Fonction integrable

limx→+∞

∫ x

af (t) dt existe

∫ +∞

af (t) dt converge∫ +∞

a| f (t)| dt converge f integrable sur [a,+∞[∫ b

a| f (t)| dt converge f integrable sur [a, b]

· Regles d’integrabilite (fonctions positives)

• Comparaison

Supposons 0 6 f 6 g sur [a,+∞[.− Si g est integrable sur [a,+∞[, alors f est integrable sur [a,+∞[.− Si f n’est pas integrable sur [a,+∞[, alors g n’est pas integrable sur [a,+∞[.

• Domination

Si f (x) =+∞

O(g(x)

), l’integrabilite de g sur [a,+∞[ implique celle de f .

• equivalence

Si f (x) ∼+∞

g(x), l’integrabilite de g sur [a,+∞[ equivaut a celle de f .

· Situations de reference

• Pour a > 0,1xα

integrable sur [a,+∞[⇐⇒ α > 1.

• Pour α > 0, e−αx integrable sur [0,+∞[.

•1xα

integrable sur ]0, a]⇐⇒ α < 1.

• ln x integrable sur ]0, 1].


· Theoreme de convergence dominee

( fn) fonctions a valeurs dans R ou C, continues par morceaux sur I.( fn) converge simplement sur I vers f continue par morceaux sur I,il existe une fonction g continue par morceaux sur I, positive et integrable surI, telle que pour tout entier n, on ait | fn| 6 g (hypothese de domination),

=⇒ les fonctions fn et f sont integrables sur I et∫I

f = limn→+∞

∫I

fn.

· Theoreme d’integration terme a terme

Soit ( fn) une suite de fonctions a valeurs reelles ou complexes, continues parmorceaux et integrables sur I, telle que la serie

∑fn converge simplement

vers f continue par morceaux sur I et telle que la serie∑∫

I| fn| converge.

=⇒ f est integrable sur I et ∫I

∞∑n=0

fn =

∞∑n=0

∫I

fn.

· Integrales a parametre (existence et continuite)

On considere I et J des intervalles de R,f une fonction definie sur J × I a valeurs dans K.

On suppose :• f continue par rapport a la premiere variable, continue par morceaux par rap-port a la seconde.

•il existe une fonction ϕ, integrable sur I, a valeurs dans R+, telle que, pourtout x de J, on ait | f (x, .)| 6 ϕ, c’est-a-dire :

∀x ∈ J ∀t ∈ I f (x, t)| 6 ϕ(t).

Alors la fonction x 7→ g(x) =

∫I

f (x, t) dt est definie et continue sur J.

1. Analyse 19

· Integrales a parametre (derivabilite)

Soit I et J deux intervalles de R et f une fonction definie sur J × I, avec :

• f continue par morceaux par rapport a la seconde variable,• pour tout x de J, t 7→ f (x, t) integrable sur I,

•∂ f∂x

est definie sur J × I, continue par rapport a la premiere variable, continuepar morceaux par rapport a la seconde.

• il existe une fonction ϕ integrable sur I, a valeurs dans R+ telle que, pour tout

x de J,∣∣∣∣∣∂ f∂x

(x, .)∣∣∣∣∣ 6 ϕ.

Alors la fonction g est de classe C1 sur J et verifie :

∀x ∈ J g′(x) =

∫I

∂ f∂x

(x, t) dt.

· Transformation de Laplace

L[ f ](p) =

∫ +∞

0e−pt f (t) dt

pour Re (p) > a

f fonction causale, soit f (t) = 0pour t < 0a abscisse d’integrabilite de f

· Proprietes de la transformation de Laplace

LineariteL[λ1 f1 + λ2 f2](p)

= λ1L[ f1](p) + λ2L[ f2](p).

Changement d’echelle

L[ f (kt)](p) =1kL[ f (t)]

( pk

)k > 0.

Retard sur la fonctionL[ f (t − t0)](p) = e−t0 pL[ f ](p).

Retard sur la transformeeL[ f ](p − p0) = L

[ep0t f (t)

](p)

Theoreme de la valeur initialelim

x→+∞xL[ f ](x) = f (0+).

Theoreme de la valeur finalelimx→0+

xL[ f ](x) = l.


1.6 Developpements limites

¶ Formule de Taylor-Young

Soit f une fonction derivable sur I jusqu’a l’ordre n. Alors la fonction ε definieau voisinage de 0 par :

f (x0 + h) = f (x0) + h f ′(x0) + · · · +hn

n!f (n)(x0) + hnε(h)

est telle que limh→0

ε(h) = 0.

¶ Developpements limites usuels

(1 + x)α = 1 + αx1!

+ · · · + α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn

n!+ o(xn)

avec les cas particuliers :

α =12

√1 + x = 1 +

12

x −18

x2 +1

16x3 + o(x3)

α = −11

1 + x= 1 − x + x2 + · · · + (−1)nxn + o(xn)

α = −12

1√

1 + x= 1 −

12

x +38

x2 −516

x3 + o(x3)

ex = 1 +x1!

+ · · · +xn

n!+ o(xn)

cos x = 1 −x2

2!+ · · · + (−1)p x2p

(2p)!+ o(x2p+1)

ch x = 1 +x2

2!+ · · · +

x2p

(2p)!+ o(x2p+1)

sin x = x −x3

3!+ · · · + (−1)p−1 x2p−1

(2p − 1)!+ o(x2p)

sh x = x +x3

3!+ · · · +

x2p−1

(2p − 1)!+ o(x2p)

tan x = x +13

x3 +215

x5 + o(x6)

th x = x −13

x3 +2

15x5 + o(x6)

1. Analyse 21

ln (1 + x) = x −x2

2+

x3

3+ · · · + (−1)n xn+1

n + 1+ o(xn+1)

arctan x = x −x3

3+

x5

5+ · · · +

(−1)p

2p + 1x2p+1 + o(x2p+2)

arcsin x = x +16

x3 +3

40x5 + o(x6)

arccos x =π

2− x −

16

x3 −3

40x5 + o(x6)

1.7 Equations differentielles

¶ Equations differentielles lineaires du premier ordre

De la forme :

y′ + a(x) y = b(x) (1)

equation homogene associee :

y′ + a(x) y = 0 (2)

Solution generale de (1)= Solution generale yS de (2)

+ Solution particuliere de (1)

¶ Resolution de l’equation homogene (2)

Les solutions de l’equation (2) sont du type :

yS (x) = K e−A(x) ou A(x) =

∫ x

t0a(u) du est une primitive de a(x)

avec K constante arbitraire et x0 element quelconque de I.

¶ Recherche d’une solution particuliere de (1)

y1 etant une solution non nulle de (2), on introduit une fonction auxiliaire in-connue K(x) telle que y(x) = K(x) y1(x) soit solution de (1).

Ceci conduit a K′(x) =b(x)y1(x)

ce qui permet de calculer K(x) puis y(x).

Cette methode s’appelle aussi methode de variation de la constante.


¶ Equations du second ordre a coefficients constants

De la forme :

y′′ + ay′ + by = f (x) (1)

equation homogene associee :

y′′ + ay′ + by = 0 (2)

Solution generale de (1)= Solution generale yS de (2)

+ Solution particuliere de (1)

¶ Resolution de l’equation homogene (2)

• ∆ > 0 deux racines r1 et r2.

yS (x) = K1 er1 x + K2 er2 x

• ∆ = 0 une racine double r0.

yS (x) = (K1 x + K2) er0 x

• ∆ < 0 deux racines α ± iβ.

yS (x) = eαx (K1 cos βx + K2 sin βx)

cas a, b, c reels.equation caracteristique :

r2 + ar + b = 0.

∆ = a2 − 4b.

K1 et K2 sont des constantes reellesquelconques.

¶ Recherche d’une solution particuliere de (1)

• Cas ou f (x) est un polynome P(x) de degren

Il existe une solution particuliere de(1) sous la forme d’un polynome dedegre :

n si b , 0 ;n + 1 si b = 0 et a , 0 ;n + 2 si a = b = 0.

La recherche de cette solution sefait par identification.

• Cas ou f (x) = ekx P(x) avec P polynome et k constante

On effectue le changement de fonc-tion inconnue

y(x) = ekx z(x)ou z est une nouvelle fonction incon-nue.

En reportant y, y′ et y′′ dans (1), onest conduit a une equation en z dutype precedent.

1. Analyse 23

• Cas ou f (x) = eαx cos βx P(x) ou f (x) = eαx sin βx P(x) avec α et β reels,et P polynome a coefficients reels

On cherche une solution particuliere(a valeurs complexes) obtenuepour l’equation de second membree(α+iβ) xP(x).

Une solution particuliere est la par-tie reelle, ou la partie imaginaire, dela solution ainsi obtenue.

· Equation differentielle lineaire

y(n) + an−1(t) y(n−1) + · · · + a1(t)y′ + a0(t)y = b(t) (1).

y(n) + an−1(t) y(n−1) + · · · + a1(t)y′ + a0(t)y = 0 (2).

· Systeme differentiel d’ordre n

(S )

x′1(t) = a11 x1(t) + · · · + a1p xp(t) + b1(t)

...x′p(t) = ap1 x1(t) + · · · + app xp(t) + bp(t)

X′(t) = A(t) X(t) + B(t) (1).X′(t) = A(t) X(t) (2).

· Solutions d’une equation differentielle lineaire

La solution generale de (1) est la somme de la solution generale de (2) et d’unesolution particuliere de (1).

· Resolution d’un systeme a coefficients constants

cas A diagonalisable

Soit A diagonalisable ; notons λ1, . . ., λp ses valeurs propres et V1, . . .,Vp desvecteurs propres associes.• L’espace vectoriel des solutions du systeme homogene (S ′) admet pour base :(

V1 eλ1t, . . .,Vp eλpt).• On a A = PDP−1 ou D est diagonale.Si l’on pose Y(t) = P−1X(t) et C(t) = P−1B(t), le systeme (S ) s’ecrit :

Y ′(t) = DY(t) + C(t) .On resout ce systeme reduit et on en deduit X(t) = PY(t).


1.8 Espaces vectoriels normes

· NormeUne norme sur E est une application N de E dans R qui verifie :

(1) ∀x ∈ E N(x) > 0 et N(x) = 0 =⇒ x = 0;(2) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E N (λx) = |λ| N(x);(3) ∀x ∈ E ∀y ∈ E N (x + y) 6 N (x) + N (y).

· Voisinage

Une partie V est un voisinage de a ∈ E s’il existe une boule ouverte centree ena et incluse dans V .

· Ouvert• Une partie A de E est ouverte (ou est un ouvert) si elle est au voisinage dechacun de ses points, ce qui s’ecrit :

∀a ∈ A ∃ ra > 0 B(a, ra) ⊂ A.• Un point a est un point interieur de A si A est un voisinage de a.

L’ensemble des points interieurs de A est l’interieur◦

A de A. On a◦

A ⊂ A.• La reunion d’une famille quelconque d’ouverts, l’intersection d’une famillefinie d’ouverts sont des ouverts.

· Ferme• Une partie A est fermee (ou est un ferme) si son complementaire est un ou-vert.• a est un point adherent a A si toute boule B(a, r) avec r > 0 contient un pointde A. L’ensemble des points adherents a A est l’adherence A de A. On a A ⊂ A.Si A = E, on dit que A est dense dans E.• Une partie A est fermee si, et seulement si, pour toute suite d’elements de Aqui converge dans E, la limite appartient a A.• L’intersection d’une famille quelconque de fermes, la reunion d’une famillefinie de fermes sont des fermes.

· Frontiere

La frontiere d’une partie A est l’ensemble A \◦

A.C’est l’ensemble des points a tels que toute boule B(a, r) avec r > 0 contientau moins un vecteur de A et un vecteur qui n’appartient pas a A.

1. Analyse 25

· Caracterisation sequentielle de la continuite

Pour que f soit continue en a, il faut et il suffit que, pour toute suite (un) quiconverge vers a, la suite

(f (un)

)converge vers f (a).

· Fonction lipchitzienne

• Une fonction f de D dans F est lipschitzienne de rapport k > 0 si :∀x ∈ D ∀y ∈ D ‖ f (y) − f (x)‖ 6 k ‖y − x‖.

• Si 0 < k < 1, on dit que f est contractante .

1.9 Series numeriques

¶ Serie : convergence

Une serie∑

un converge si la suite

S n =

n∑k=0

uk converge.

Une suite (un) converge ⇐⇒ laserie

∑(un+1 − un) converge.

¶ Convergence absolue

Si∑|un| converge, on dit que

∑un

est absolument convergente.

Si une serie est absolument conver-gente, alors elle est convergente ;mais la reciproque est fausse.

¶ Comparaison de deux series a termes positifs∑vn converge=⇒

∑un converge ;∑

un diverge =⇒∑

vn diverge.

Si 0 6 un 6 vn a partir d’un certainrang.

¶ Cas de deux series a termes positifs equivalentes

Si un ∼+∞

vn, les deux series sont alors dememe nature, c’est-a-dire qu’elles sontconvergentes ou divergentes en memetemps.

Ce theoreme n’est pas vrai pourdes series qui ne sont pas de signeconstant.


¶ Series de Riemann

∑ 1nα

converge ⇐⇒ α > 1. La serie harmonique∑ 1

ndiverge.

¶ - · Series geometriques

+∞∑n=0

azn = a1

1 − z·

a ∈ C, z ∈ Cconvergence (absolue) si, et seule-ment si, |z| < 1

· Serie exponentielle

+∞∑n=0

zn

n!= ez z ∈ C

· Regle de d’Alembert

Soit un une serie a termes strictement positifs telle queun+1

unadmette une limite

l quand n tend vers +∞.

Si l < 1, la serie converge ; si l > 1, la serie diverge.

· Comparaison serie-integrale

Si f est une fonction continue par morceaux et decroissante de R+ dans R+,

alors la serie de terme general∫ n

n−1f (t) dt − f (n) converge.

· Serie alternee

En supposant u0 > 0, une serie alternee a pour terme general un = (−1)nan ouan = |un|.Critere special des series alterneesSi la suite de termes positifs (an) est decroissante et converge vers 0, alors

• la serie alternee+∞∑n=0

(−1)nan est convergente.

1. Analyse 27

• le reste Rn =

+∞∑k=n+1

(−1)kak est du signe de (−1)n+1 et verifie :

|Rn| 6 an+1

· Produit de Cauchy

• Le produit de Cauchy de deux series∑

un et∑

vn est la serie de terme

general : wn =∑

p+q=n

upvq .

• Si les series∑

un et∑

vn sont absolument convergentes, alors la serie∑wn l’est aussi et l’on a :

+∞∑n=0

wn =

+∞∑p=0

up

+∞∑

q=0

vq

.1.10 Suites et series de fonctions

· Convergence simple d’une suite de fonctions

La suite ( fn) converge simplement surA vers une fonction f , de A dans F, si :

∀x ∈ A limn→+∞

‖ fn(x) − f (x)‖ = 0.‖.‖ est la norme dans A

· Convergence uniforme d’une suite de fonctions

La suite ( fn) converge uniformementvers f sur I si : lim

n→+∞‖ fn − f ‖∞ = 0

‖ f ‖∞ = supx∈I| f (x)|

convergence uniforme =⇒ convergence simple.

· Continuite de la limite

• Si la suite ( fn)n>0 converge uniformement vers f sur A, et si chaque fn estcontinue sur A, alors f est continue sur A.

• Il suffit que la convergence soit uniforme sur tout segment inclus dans A, pourque f soit continue sur A.


· Integration de la limite

Si les fn sont continues sur I et si∑

n

fn converge uniformement sur I, alors,

pour tous a et b dans I, on a :∫ b

a

( +∞∑n=0

fn(x))

dx =

+∞∑n=0

( ∫ b

afn(x) dx

)· Derivation de la limite

Si les fn sont de classe C1 sur I et si∑

n

f ′n converge uniformement sur I, alors

la somme+∞∑n=0

fn est de classe C1 et sa derivee est+∞∑n=0

f ′n .

· Convergence simple d’une serie de fonctions

On dit que la serie∑

n

fn converge simplement sur I si la suite(S n =

n∑k=0

fk)

converge simplement et on note :

S (x) =

+∞∑k=0

fk(x) = limn→+∞

S n(x).

· Convergence uniforme d’une serie de fonctions

• La serie∑

n

fn converge uniformement sur I si la suite (S n) converge uni-

formement sur I.

• Si∑

n

fn converge uniformement sur I :

− Si les fn sont continues sur I, alors la somme S est continue sur I.

− Si les fn sont continues dans I et si∑

n

fn converge uniformement sur I, alors,

pour tous a et b dans I, on a :

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