Le Derivate - UniFIweb.math.unifi.it/users/zecca/Sci-Forma/Funzioni-3.pdf · mento di quantità che...

Capitolo 3

Le Derivate

L’Analisi ed il suo calcolo rappresentano la matematica del cambiamento. Ilpotere dell’analisi deriva dalla sua abilità nel descrivere e predire il comporta-mento di quantità che cambiano. La caduta delle mele, il movimento di razzispaziali, la crescita di popolazioni, il decadimento radioattivo, la crescita deiprezzi al consumo possono essere modellati con i metodi dell’analisi.

Tra questi, particolare rilevanza è assunta dall’operazione di derivazionedelle funzioni. Nei capitoli seguenti la maggior parte dello sforzo sarà con-centrato su come definire formalmente l’operazione di derivazione e su comecalcolarla simbolicamente. Nella costruzione di questo processo ci troveremo difronte a varie sottigliezze e a vari problemi, ma l’idea base che sta sotto a tuttoil processo è semplice:

Data una funzione f , la funzione derivata, che indicheremo con f 0 indicail tasso di variazione di f .

Questo principio, interpretato correttamente, sta dietro a tutti i nostricalcoli e applicazioni delle derivate.

L’idea di derivata non appartiene ad un singolo individuo. Idee e metodicorrelati appaiono attraverso tutta la storia della matematica per almeno 2000anni. Lo sviluppo moderno dell’idea e calcolo della derivata avviene tra il 17-esimo e 18-esimo secolo partendo da Pierre de Fermat (1601-1655, Francia),attraverso Isaac Newton (1642-1727, Inghilterra) e Gottfried Leibnitz (1646-1716, Germania) - generalmente considerati i cofondatori del calcolo moderno- per arrivare a Leonhard Euler (1707-1783, Svizzera) e Joseph-Louis Lagrange(1783-1813, Francia). Lagrange, in particolare, partendo dalle idee di Euler sem-bra essere stato il primo ad usare la dizione “funzione derivata” ed ad adottareil simbolo f 0 per indicarla.

Questo capitolo è dedicato allo sviluppo del concetto di derivata. La re-lazione tra f ed f 0 ne è il tema fondamentale; studieremo che cosa significa perf 0 essere il tasso di cambiamento di f , che cosa ognuna ci dice dell’altra e inspecial modo come sono correlati i grafici delle due funzioni. Finiremo con ladefinizione formale e a seguire con le tecniche per il calcolo formale.

Uno dei problemi da capire è se tutte le funzioni ammettono derivata omeno e qual’è il possibile comportamento della derivata. In questo capitolo,comunque assumeremo sempre (a meno di esplicita negazione) che le funzioni

91

92 CAPITOLO 3. LE DERIVATE

f date ammettano funzione derivata f 0, che sia f che f 0 abbiano un graficoliscio, senza strappi. Più avanti, quando saremo in grado di sviluppare nuovilinguaggi e nuove tecniche, studieremo, con maggior attenzione, tutto ciò chepuò andare storto e non funzionare.

3.1 La Derivata come Variazione

Ogni funzione può essere usata per costruire, in un qualche modo, nuove fun-zioni. Per esempio, partendo da f (x) = sinx possiamo costruire nuove funzionia nostro piacimento. Le funzioni

g (x) = sin 2x , h (x) = sin (x+ π/2) , e k (x) =sin (x+ 0.1)− sinx

0.1

sono tutte “derivate” a partire da f ; le possibilità sono infinite.Tra tutte le funzioni che uno può costruire a partire da una data funzione f

la funzione derivata f 0 è senza dubbio la più importante. Eccone una descrizioneinformale.

Definizione 49 (La derivata come variazione). Sia f una funzione. La nuovafunzione f 0, chiamata la derivata di f è definita dalla regola

f 0 (x) = il tasso di variazione istantanea di f nel punto x.

3.1.1 Quantità, Variazioni ed Automobili: Un Primo Esempio

Il movimento di un’automobile ci fornisce l’ambientazione ideale per capire ilsenso della definizione ed il rapporto esistente tra quantità e loro variazione edanche alcuna delle sottigliezze nascoste. Vediamo una situazione tipica, ridottaall’essenziale:

A mezzogiorno del 1 ◦ Gennaio 1999 un’automobile parte da Firen-ze diretta verso sud. Per diverse ore l’automobile si muove, a varievelocità ed in varie direzioni.

Per mettere questo scenario in un linguaggio funzionale, definiamo alcunisimboli:

t tempo trascorso, misurato in ore, assumendo t = 0 alla partenzaP (t) posizione al tempo t misurata in km a partire da Firenze NordV (t) velocità dell’auto verso sud, misurata in km/hEcco di seguito i grafici di posizione e velocità

Grafico di P (t) Grafico di V (t)

3.1. LA DERIVATA COME VARIAZIONE 93

Molte sono le cose da osservare:Punti di Riferimento. La scelta del tempo e del punto di riferimento è sta-

ta interamente arbitraria. Avremmo potuto scegliere come date di riferimentoil 1 ◦ giugno e come punto di partenza Bologna.

Posizione e velocità come funzione del tempo. Una volta specificati ipunti di riferimento e le unità di misura, P e V diventano funzioni del tempo t: ad ogni istante di tempo l’auto ha una posizione ed una velocità ben definiteP (t) e V (t) . Per esempio le uguaglianze

P (2) = 80 , V (2) = 90

significano che alle 2 del pomeriggio l’auto si trova 80 km a sud di Firenze eviaggia alla velocità di 90 km/h.

Quantità e cambiamento. E’ naturale pensare a P come la funzionequantità e a V come la funzione di variazione associata. Per ogni istante t,V (t) è indica il tasso di variazione istantanea di posizione al variare del tempo.In simboli, V (t) = P 0 (t) , o semplicemente V = P 0.

Valori positivi e negativi. Sia P che V assumono valori sia positivi chenegativi. L’affermazione

P (7) = −100 , V (7) = −70significano che alle 7 di sera la macchina è 100 chilometri a nord di Firenze eviaggia a 70 km/h. Ne consegue che quando P (t) > 0 l’auto è a sud di Firenze.Quando V (t) > 0 l’auto si dirige verso sud.

Che cosa dice e che cosa non ci dice il tachimetro dell’auto. Iltachimetro non ci dice la direzione nella quale viaggia l’auto. Ci dice però chese segna un valore di 80 all’istante t = 4 allora V (4) = ±80. La lettura deltachimetro è d’altra parte una lettura istantanea. Significa solo che se l’automantiene la stessa velocità per un’ora, percorre 80 km.

Accelerazione. La velocità, così come la posizione, ha sua funzione divariazione. Nel linguaggio fisico, la nuova funzione di variazione si chiamaaccelerazione. Così come posizione e velocità, l’accelerazione varia con il tempo,in simboli A (t) = V 0 (t) . Anche l’accelerazione, come la velocità, può esserepositiva o negativa. L’affermazione A (3) > 0 significa, per esempio che altempo t = 2 la velocità della macchina sta crescendo. In modo analogoA (4) < 0implica che per t = 4 la velocità sta decrescendo

Velocità - Variazione o Quantità ? Abbiamo dapprima visto la velocitàcome la funzione variazione della “quantità” posizione. Ora il nostro punto divista è cambiato. Quando consideriamo l’accelerazione, la velocità diventa laquantità che varia. Ne consegue che ogni funzione può essere considerata comeil tasso di variazione di un’altra o come una quantità che varia da cui ricavareil tasso di variazione, dipende dalla situazione. La nomenclatura è solo legataalla visione che abbiamo del fenomeno.

Unità di velocità e di accelerazione. Ogni variazione, propriamente in-tesa, è la variazione di qualcosa rispetto ad altro. Le unità proprie per misurareil tasso di variazione dipendono sia dalla quantità che si misura che dall’unitàdi misura scelta per misurare le quantità.


Nella situazione in esame, la velocità è il tasso di variazione dello spazio(misurato in km) rispetto al tempo (misurato in h), così l’unità di velocità sonoi km/h. L’accelerazione misura il tasso di variazione di velocità col tempo,quindi la sua unità di misura è il (km/h)/h=km/h2.

L’idea di quantità che varia e della misura della sua variazione

Funzione Variazione in Altri Contesti.L’idea di misurare il tasso di variazione della grandezza (o quantità) di una

funzione è intuitivamente naturale quando applicata a grandezze fisiche comeposizione, velocità, ma l’idea ha senso anche in altri contesti. Se f (t) è la po-sizione al tempo t di un oggetto che si muove, allora f 0 (t) rappresenta la velocitàdell’oggetto al variare del tempo. Se f (t) rappresenta l’altezza di un palloneaerostatico in funzione del tempo, allora f 0 (t) rappresenta la velocità di salitadell’oggetto. Se f (t) rappresenta la quantità di denaro depositata in un contoin banca, f 0 (t) rappresenta il tasso di variazione di flusso di denaro nel contostesso. Se f (x) misura la quantità di benzina consumata dopo aver percorsox chilometri, allora f 0 (x) rappresenta la rapidità di consumo di carburante inlitri/km.Anche se f è una funzione matematica, senza alcuna relazione a auto, palloni,benzina e quant’altro, l’idea di misurarne la variazione è sensata e fruttuosa.In questo caso f 0 misura quanto rapidamente l’uscita di f varia al variare del-l’ingresso x. Indicato con y = f (x) si ha che f 0 (x) rappresenta la variazione,nel punto x della quantità y. Per esempio, se f 0 (3) = 5 questo significa che sex ≈ 3 una piccola variazione di x produce una variazione cinque volte maggiorein f (x) .

La Derivata dal Punto di Vista Grafico: f 0 come FunzionePendenza.

Cosa significa la deriva graficamente? Come il grafico di f e di f 0 riflettonola relazione quantità-variazione?Pendenza è l’idea chiave che legano grafici e variazioni. Per definizione, lapendenza è la quantità di variazione, cioè il rapporto tra due cambiamenti, ∆xe ∆y. Specificamente, la pendenza del grafico della funzione f in ogni punto(x, f (x)) è il tasso di variazione istantanea di f rispetto ad x. Riassumendo:

Definizione 50 (La derivata come funzione pendenza) Sia f una funzione. Lafunzione derivata f 0 è data dalla regola

f 0 (x) = valore della pendenza del grafico di f in x.

Come la precedente, anche questa definizione di derivata necessita di chiari-menti e raffinamenti. Vediamo dapprima che cosa significa la definizione.

Cominciamo con il caso più semplice di funzioni lineari.


Esempio 51 Sia f la funzione lineare f (x) = 3x + 1. Spiegare graficamenteed in termini di variazione perché la derivata è la funzione costante f 0 (x) = 3.

Soluzione. Il grafico di f è una retta, così la sua pendenza, per ogni valoredel parametro x è 3. In simboli f 0 (x) = 3 per ogni x. Qui di seguito sonotracciati i grafici di f e f 0

-8

-6

-4

-20

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

Grafico di f (x) = 3x+ 1

-8

-6

-4

-20

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

Grafico di f 0 (x) = 3

Il fatto che f sia lineare di coefficiente angolare 3 significa che il grafico di fcresce ovunque con un incremento di 3 unità di y per ogni unità di x. ¥

L’esempio illustra una proprietà generale

Per ogni funzione lineare f (x) = ax+ b, la funzione derivataè la funzione costante f 0 (x) = a

La Pendenza di un Grafico in un Punto: Rette Tan-genti.

Per funzioni lineari la nozione di pendenza è semplice. Una retta ha unasola pendenza e bastano due punti sul grafico per calcolarla. Che cosa accade,come comportarsi quando il grafico di una funzione non è una retta ? Comecalcolare la pendenza in un punto ? In realtà vi è una domanda ancora a monte:In generale, una curva ammette pendenza in un punto ?

Definire e trovare il valore della pendenza di una curva in un punto sono dueidee chiave (probabilmente le due idee chiave) dell’analisi. In questo paragrafocominceremo col dare un primo approccio grafico al problema, nel prossimoritorneremo sul problema studiandolo con maggiori dettagli.

La pendenza di una curva in un punto P può essere pensata come la pen-denza della retta tangente in P .Volendo ancora usare la strada, vista come una curva, e l’auto, potremmo direche la tangente in un certo punto Pdella strada è la retta indicata dai farianteriori.

Usando queste idee intuitive è possibile tracciare le rette tangenti ad ungrafico, in un punto, con ragionevole accuratezza e calcolare quindi la loropendenza.Qui di seguito è riportato come esempio il grafico della funzione f (x) = x3 +x2 − 6x


Esempi di rette tangenti

Il segmento tangente più a sinistra, valutato per x = −1 appare essereorizzontale; nella notazione delle funzioni f 0 (−1) ≈ 0. Una stima delle pendenzedelle altre due rette suggerisce che f 0 (1) ≈ −5 e f 0 (3) ≈ 15. (Controllare lestime).

Relazione tra Funzioni e Funzioni Derivate.Come sono collegate tra di loro f ed f 0 ? Che cosa di dice una funzione

dell’altra ? Queste questioni sono il fondamento dell’Analisi. Ci torneremosopra ripetutamente da tutti i punti di vista, grafico, numerico e simbolico. Nelproseguo del paragrafo cominceremo questa discussione.

Il Pr incipio delle Corse : Il cavallo più veloce vince.

Ecco una affermazione ovvia:

Se due cavalli f e g partono insieme e g corre sempre più velo-cemente del cavallo f , allora il cavallo g è sempre in testa e vincela gara.

Questo principio delle corse, riparafrasato appropriatamente è sorpren-dentemente utile: Il primo passo è reinterpretare l’affermazione in linguaggiomatematico.

Ecco un modo di farlo

Il principio delle Corse. Siano f e g due funzioni definite per tuttii valori x dell’intervallo [a, b] e supponiamo che f (a) = g (a) . Se

f 0 (x) ≤ g0 (x)per tutti gli x ∈ [a, b] , allora

f (x) ≤ g (x)per tutti gli x ∈ [a, b] .

Osservare con attenzione i vari punti della affermazione:


Partenza equa. La richiesta che f (a) = g (a) implica che f eg partono insieme per x = a.Variazione nella crescita. L’affermazione che f 0 (x) ≤ g0 (x)

significa che f “non cresce più rapidamente” di g per a ≤ x ≤ b.Mai in testa. La conclusione significa che f “non sorpassa mai”

g per a ≤ x ≤ b.Disuguaglianza stretta. Una versione più stringente del prin-

cipio delle corse si ha quando si considera una disuguaglianza stretta:Se f (a) = g (a) e f 0 (x) < g0 (x) per a ≤ x ≤ b, allora f (x) < g (x)per ogni x in [a, b] .

Esempio 52 Sia f una funzione tale che (i) f (0) = 0; (ii) f 0 (0) ≤ 10 sex ≥ 0. Mostrare che f (1) ≤ 10.

Soluzione. Ragionando in modo informale, possiamo dire che la condizione(ii) implica che la crescita della funzione non è maggiore alle 10 unità y per ogniunità x. In modo equivalente si può dire che la pendenza del grafico non superamai 10. Quindi, quando la variabile x si sposta di una unità (da x = 0 a x = 1),y non può salire più di 10 unità (da y = 0 a y = 10), ne consegue che f (1) ≤ 10.Il principio delle corse descrive quanto detto in modo più formale. Per applicarloconsideriamo la funzione lineare g = 10x (abbiamo scelto questa particolare gperché ha pendenza costante 10, così g0 (x) = 10 ed inoltre g (0) = f (0) = 0. Aquesto punto si sono costruiti tutti gli elementi, perché g (0) = f (0) e f 0 (x) ≤10 = g0 (x) . Il principio delle corse garantisce che per tutti gli x ≥ 0 si haf (x) ≤ g (x) = 10x. Ponendo x = 1 si ottiene il risultato, f (1) ≤ g (1) = 10. ¥

Una Variante del Principio delle Corse.Il principio delle corse - il cavallo più veloce è sempre in testa - può essere

riparafrasato in molte altre forme utili, cambiando leggermente le condizioni.Nelle tre varianti che seguono, non assumeremo più che i cavalli f e g partanoinsieme. Esprimeremo sempre il principio prima a parole, poi in formule.

Uguale Velocità, Uguale Distanza. A parole: se due cavallicorrono alla stessa velocità nell’intervallo di tempo che va da a a b,allora la distanza tra di loro rimane inalterata.In simboli: Se f 0 (x) = g0 (x) per a ≤ x ≤ b allora si ha che f (x)−g (x) = C per qualche costante C e per tutti gli x ∈ [a, b] .

Maggior velocità, Maggior Distanza. A parole: Se il cavallof non corre più forte del cavallo g, allora il cavallo f non distanziail cavallo g più di quanto lo fosse al tempo iniziale a.In simboli: Se f 0 (x) ≤ g0 (x) per a ≤ x ≤ b allora

f (x)− f (a) ≤ g (x)− g (a) per ogni x ∈ [a, b] .(Notare che f (x)− f (a) e g (x)− g (a) rappresentano, rispetti-

vamente, la distanza percorsa da f e da g nell’intervallo di tempoche va da a ad x.


Foto Finish. Se i due cavalli f e g arrivano insieme, allora ilcavallo più veloce non può essere stato davanti per tutto il tempo.In simboli: Supponiamo che f 0 (x) ≤ g0 (x) per a ≤ x ≤ b e chef (b) = g (b) , allora:

f (x) ≥ g (x) per a ≤ x ≤ b .

Esempio 53 Supponiamo che f (0) = 3 e f 0 (x) ≤ 2 per tutti gli x. Cosapossiamo dire di f (2) e di f (−4) ? Interpretare il risultato graficamente.

Soluzione. Applichiamo il principio delle corse con g (x) = 2x + 3. Ab-biamo scelto questa g perché (i) f (0) = g (0) e (ii) f 0 (x) ≤ 2 = g0 (x) . Perstimare f (2) usiamo il principio delle corse nella sua formulazione standard,nell’intervallo [0, 2] . Si ha che

f (0) = g (0) e f 0 (x) ≤ g0 (x) =⇒ f (2) ≤ g (2) = 7 .Per stimare f (−4) usiamo il principio, nella sua versione foto finish, nell’inter-vallo [−4, 0] . Esso dice che

f (0) = g (0) e f 0 (x) ≤ g0 (x) =⇒ f (−4) ≥ g (−4) = −5 .Tutto ciò può essere compreso graficamente. Ecco dei possibili grafici per f e g

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3x

Grafici di f e g

Come la figura mostra i grafici di f e di g si sovrappongono per x = 0 ed f noncresce mai più rapidamente di g. Come conseguenza del principio delle corse,il grafico di f giace sotto quello di g per x > 0 e sopra quello di g per x < 0.¥

Ancora sulle Derivate.Molti fenomeni del mondo reale coinvolgono quantità e le loro variazioni; le

derivate sono proprio ciò che occorre per descrivere e predire il loro comporta-mento.Terminiamo questo paragrafo con alcuni esempi di applicazione delle derivate.Come detto sopra, rimandiamo il loro calcolo al paragrafo successivo.

Moto in Caduta Libera Senza Resistenza dell’Aria.


Un oggetto in movimento è detto in caduta libera se l’unica forza a cui èsoggetto è la forza di gravità. Si assume che altre forze - resistenza dell’aria,spinta del motore, etc. - non giochino alcun ruolo.La gravità esercita la stessa accelerazione verso il basso su oggetti che cadonoindipendentemente dalla loro forma, massa, velocità iniziale o altre caratteris-tiche. Per oggetti nelle vicinanze della terra questa accelerazione può essere con-siderata essenzialmente costante. Si dice che Galileo Galilei (1564-16642) scop-erse questa proprietà lanciando oggetti dalla torre pendente di Pisa e notandoche essi atterravano nello stesso istante.

[Si può davvero ignorare la resistenza dell’aria? Nella realtà la resistenza dell’ariaconta. I paracadutisti, per esempio devono ad essa la loro capacità di scendere lenta-mente dal cielo; le palle di cannone cadono a terra più velocemente delle piume. D’altraparte, da un punto di vista fisico, la resistenza dell’aria è usualmente trascurabile quan-do si studia la caduta di oggetti piccoli e densi, che si muovono a bassa velocità, comenel caso, ad esempio, di una moneta che cade sul pavimento. ]

Un oggetto che cade ha, ad ogni istante di tempo t un’altezza h (t) , unavelocità v (t) ed una accelerazione a (t) . Date le opportune unità di misura ditempo l’altezza, la velocità e l’accelerazione sono funzioni del tempo legate tradi loro dalle relazioni v = h0 ed a = v0.La scoperta di Galileo che un oggetto in caduta libera ha un’accelerazione versoil basso costante si traduce matematicamente dicendo che:

a (t) = −g , o in modo equivalente che v0 (t) = −gper qualche costante g. (Il segno negativo perché l’accelerazione è verso ilbasso). Nel sistema MKS g vale circa 9.82 m/ sec2 .

Formule per velocità e distanza. Alla fine del 1600 Newton usò lascoperta di Galileo per derivarne le sue leggi del moto. Il ragionamento diNewton fu che se l’accelerazione (come nel caso della caduta libera) è costanteallora la velocità deve essere lineare.

Se supponiamo che all’istante iniziale di osservazione del fenomeno (t = 0)l’oggetto avesse un’altezza h0 ed una velocità verticale positiva v0, le leggi diNewton ci dicono che

h (t) = h0 + vot− 1/2 g t2 ; v (t) = v0 − g t .Con queste formule possiamo rispondere a molte delle questioni legate al motoin caduta libera.

Esempio 54 Può un giocatore di tennis lanciare una pallina ad un’altezza di100 metri?

Soluzione. Come sappiamo, i campioni più forti riescono a battere ad unavelocità intorno ai 210 km/h che rappresentano circa 60m/ sec . Supponendopure che riescano ad imprimere la stessa velocità lanciando verso l’alto e chel’altezza dell’atleta sia di 1.80m. si ha che le formule per velocità e posizionecome funzione del tempo sono:

h (t) = 1.80 + 60 t− 129.82 t2 ; v (t) = 60 − 9.82 t


L’altezza massima si raggiunge quando la velocità si annulla (la pallina smettedi viaggiare verso l’alto per ricadere) e cioè per

v (t) = 60− 9.82 t = 0 =⇒ t =60

9.82≈ 6. 11 sec

Per questo valore del tempo l’altezza è

h (6.11) = 1.80 + 60 · 6.11− 12· 9.82 · (6.11)2 = 185. 1

più alta dei 100metri proposti. Di seguito sono riportati i grafici di h (t) e div (t) .

0

2040

60

80

100120

140

160180

200

2 4 6 8 10 12t

Grafico di h (t)

-60

-40

-20

0

20

40

60

2 4 6 8 10 12t

Grafico di v (t)

Equazioni Differenziali.Ogni equazione che coinvolga una funzione e le sue funzioni derivate è

chiamata equazione differenziale (ED). Le equazioni

f 0 (x) = 2 ; v (t) = −b+ k v (t)2 ; f 0 (x) = f (x)

sono ED. Una soluzione di un’equazione differenziale è una funzione che conle sue derivate soddisfa l’equazione (come abbiamo visto f (x) = 2x+ 1 è unasoluzione della prima; vedremo più avanti le altre).

La maggior parte delle applicazioni più importanti dell’analisi - specialmentele applicazioni di tipo fisico - coinvolgono la formalizzazione di problemi comeequazioni differenziali, la loro soluzione ed il loro uso.

Cadendo con la Resistenza dell’Aria.E’ un dato fisico che quando un oggetto piccolo e denso cade a bassa ve-

locità, la decelerazione dovuta alla resistenza dell’aria è (approssimativamente)proporzionale al quadrato della velocità. Usando la notazione per le derivate siha questo ci dice che

v0 (t) = a (t) = −g + k v (t)2

per qualche costante positiva k, dove g rappresenta sempre l’accelerazione digravità. Il valore numerico della costante k dipende da fattori fisici quali: formae peso dell’oggetto, densità dell’aria e così via. Per una pallina che cade, unfattore k ≈ 0.007 è ragionevole.


Figura 3.1: Effetto dell’aria sulla posizione

Figura 3.2: Effetto dell’aria sulla velocità

Esempio 55 Consideriamo una palla da tennis che cade, partendo da ferma,da circa 200m. Qual’è la differenza di velocità a terra nei due modelli proposti?

Soluzione. Senza la resistenza dell’aria la legge di Newton ci dice che

h (t) = 200− 129.82 t

2

h0 (t) = v (t) = −9.82 t

v0 (t) = a (t) = −9.82

Tenendo conto della resistenza dell’aria si ha che l’equazione per l’acceler-azione diventa

v0 (t) = −9.82 + 0.007 v (t)2

Risolvere questa ED simbolicamente non è facile, ma vogliamo mostrare igrafici di velocità e posizione

Le due curve mostrano la differenza nei due casi. Con l’attrito dovuto all’ariala palla arriva in fondo con una velocità di circa 38m/ sec contro gli 80m/ secche avrebbe in assenza d’aria, una velocità più che doppia della precedente.


3.1.2 Un Primo Approccio alla Stima della Derivata

Abbiamo descritto la funzione derivata in termini di rapidità di cambiamentoe di pendenza dato un punto a nel dominio di f.

Data una funzione f ed un valore dell’ingresso x = a,

f0 (a) è il tasso di variazione istantanea di f rispetto ad x nelpunto x = a.

In linguaggio grafico,

f 0 (a) è la pendenza del grafico di f nel punto x = a.Vogliamo in questo paragrafo dare una breve occhiata, più da

vicino,alla derivata di una funzione in un punto.

Stima di f’(a). La Pendenza di un Grafico in un Punto,Tangente.

Per una retta ax+ b la ricerca della pendenza è pura routine. Essa infatti,come abbiamo visto, non è altro che a, il coefficiente angolare della rettastessa. Per una curva qualsiasi la questione è più complicata, ma anche piùinteressante.

La pendenza di una curva in un punto P può essere pensata, come già detto,come la pendenza della retta tangente alla curva nel punto P , cioè il coefficienteangolare della retta passante per P che “punta nella direzione della curva” inP.

La definizione è molto vaga per essere soddisfacente dal punto di vistamatematico, ma ci permette, per ora, di illustrare l’idea e di calcolarne “conbuona approssimazione” il valore per molte delle funzioni che incontriamo inquesto corso.

Esempio 56 Sia f (x) = x2. Usare la retta tangente per stimare il valore dif 0 (1) e di f 0 (−1.5) . Interpretare i risultati come rapidità di cambiamento.

Soluzione. Ecco il grafico di f insieme a quello di due ragionevoli candidatiad essere rette tangenti per x = 1 ed x = −1.5

-1

0

1

2

3

4

-1 0 1 2x

Grafico di f (x) = x2 e due rette tangenti


Possiamo adesso stimare la pendenza delle due rette tangenti direttamentedal grafico. La retta passante per (1, 1), per esempio, sembra salire di 2 unitàmentre la variabile indipendente si sposta di 1, così la pendenza è 2. In modosimile la retta tangente ad x = −1.5 sembra avere pendenza di circa −3. Neconcludiamo che

f 0 (1) ≈ 2 e f 0 (−1.5) ≈ −3

Nel linguaggio della rapidità di cambiamento i risultati significano che (i)per x = 1, y cresce due volte più rapidamente di x, e (ii) per x = −1.5, y trevolte più rapidamente della crescita di x. ¥

Tracciare la retta tangente è un modo per stimare il valore della derivata. Lastrategia funziona perché nell’intorno del punto in questione, il grafico e la rettatangente sono quasi indistinguibili. Rimane il problema non sempre banale diessere capaci di tracciare una retta tangente in modo accurato, prescindendodalla conoscenza della sua equazione (per ora).

Un’altra strategia, spesso più conveniente, che si può usare disponendo del-la possibilità di software per il disegno di grafici, è quella dell’ingrandimentonell’intorno del punto in questione, a volte in modo ripetuto, finché il graficostesso appare essere una linea retta. Una volta che il grafico appare come unaretta è semplice stimarne la pendenza.

Esempio 57 Sia f (x) = x2. Stimare il valore di f 0 (1) con il metodo dell’in-grandimento. Usare il risultato per scrivere l’equazione della retta tangente nelpunto x = 1.

Soluzione. Ingrandendo successivamente nell’intorno del punto (1, 1) da iseguenti grafici

0

1

2

0.6 0.8 1 1.2 1.4x

Grafico di x2 per x ∈ [0.5, 1.5]0.8

0.9

1

1.1

1.2

0.9 1 1.1x

Grafico di x2 per x ∈ [0.9, 1.1]Nel secondo disegno il grafico appare come una linea retta e la sua pendenza

appare essere 2 perché y varia da 0.8 a 1.2 mentre x varia da 0.9 a 1.1. La rettain questione è dunque la retta di coefficiente angolare 2 passante per il punto(1, 1) . La sua equazione è y = 2 (x− 1) + 1 = 2x− 1. ¥

Quando Funziona l’Ingrandimento.


La strategia appena illustrata funziona quasi sempre. Ingrandire ripetuta-mente il grafico della maggior parte delle funzioni f nell’intorno di un qualsiasipunto (a, f (a)) del grafico alla fine produce un disegno che appare essere unretta di coefficiente angolare f 0 (a) . Una funzione con questa proprietà è anchechiamata localmente lineare per x = a (Non è una definizione formale, solouna frase descrittiva). La linearità locale dice che in effetti una funzione f“si comporta come una retta” in un intorno del punto x = a e quindi ha unapendenza ben definita in x = a.L’esempio precedente mostra che f (x) = x2 è localmente lineare per x = 1.Vediamo un esempio con funzioni trigonometriche.

Esempio 58 Dire se f (x) = sinx è localmente lineare nel punto x = 1.4.Qual’è il valore di f 0?

Soluzione. Ecco due viste del grafico della funzione seno nell’intorno delpunto (1.4, sin 1.4) ≈ (1.4, 0.9854).

0.97

0.98

0.99

1.3 1.34 1.36 1.38 1.4 1.42 1.44 1.46 1.48 1.5x

Grafico di sinx, x ∈ [1.3, 1.5]

0.982

0.984

0.986

0.988

1.39 1.4 1.41 1.42x

Grafico di sinx, x ∈ [1.38, 1.42]

nel secondo grafico, la curva del seno è quasi retta. Per stimare la pendenza nelpunto P = (1.4, sin 1.4) usiamo due punti presi dal grafico. Prendendo x = 1.38e x = 1.42 si trova che il valore (ovviamente approssimato) della pendenza è(0.989− 0.982) / (1.42− 1.38) ≈ 0.175. Usando la notazione delle funzioni si hacioè f 0 (1.4) ≈ 0.175. ¥

Quando Non Funziona l’Ingrandimento: Nonlinearità Lo-cale.

Non tutte le funzioni sono ovunque localmente lineari. Uno “spigolo” nelgrafico non può essere sempre lisciato da un ripetuto ingrandimento locale delgrafico. In tale punto la derivata non esiste ed il nostro modello di rappresen-tazione non dà risposte.

Esempio 59 Sia f (x) = |x| . Dire se esiste f 0 (0) . Dire se esiste f 0 (a) sea 6= 0.


Soluzione. Ecco il risultato di un ingrandimento intorno all’origine.

-1

-0.8

-0.6

-0.4-0.2

0

0.20.4

0.6

0.8

1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Grafico di |x| per x ∈ [−1, 1]-0.1

-0.08

-0.06

-0.04-0.02

0

0.020.04

0.06

0.08

0.1

-0.08 -0.04 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1x

Grafico di |x| per x ∈ [−0.1, 0.1]

Come si vede, l’ingrandimento non ha alcune effetto sullo ”spigolo” nell’o-rigine. Ingrandire ancora non servirebbe, lo spigolo rimane e perciò f 0 (0) nonesiste.D’altra parte, per a 6= 0 il grafico è già una retta (con coefficiente angolare ±1),così non vi è alcun problema nel valutare le derivate:

f 0 (a) = 1 se a > 0 ; f 0 (a) = −1 se a < 0 .

A parole: la funzione f (x) = |x| non è localmente lineare per x = 0, ma lo è intutti gli altri punti. ¥

NOTA: In tutto questo paragrafo ”ingrandire” significa ingrandire dellostesso fattore rispetto ai due assi cartesiani. Questo fatto non è solo di tipotecnico. Ingrandire con fattori di scala diversi rispetto ai due assi porterebbe adelle distorsioni del grafico che potrebbero far perdere informazioni.Considerate, per esempio, l’esempio precedente. Ingrandendo ripetutamente,ma solo nella direzione dell’asse x (per es. un fattore 4 lungo x ed 1 lungo y)finirebbe gradualmente col far sembrare il grafico orizzontale e quindi derivabile(Provare).

Il metodo di ingrandire o di disegnare tangenti al grafico in un punto per-mette di stimare f 0 (a) per vari valori dell’ingresso a. Mettendo insieme le in-formazioni che se ne ricavano si può provare a disegnare il grafico della funzionederivata.

Esempio 60 Provare a disegnare il grafico di f 0 (x), essendo f (x) = x2.

Soluzione. Nell’esempio relativo alla funzione f (x) = x2 si è stimato chef 0 (1) = 2 e f 0 (−1.5) = −3. Per la simmetria del grafico della funzione rispettoall’asse y si può affermare che f 0 (−1) = −2 e f 0 (−1.5) = +3 e f 0 (0) = 0.Tracciando questi punti su di un grafico si nota che essi sono allineati sullaretta y = 2x.


-4

-2

0

2

4

-2 -1 1 2x

Grafico di f 0

¥

Esempio 61 Sia f (x) = ex. Usare il metodo delle rette tangenti per valutaref 0. Cercare infine di valutare una formula per f 0 (x) .

Soluzione. Disegniamo il grafico di f (x) = ex e cerchiamo, usando matitae righello di valutare la pendenza delle tangenti nei punti marcati.

0

2

4

6

8

-2 -1 1 2x

Grafico di f (x) = ex

Con un po’ di accuratezza si possono trovare i seguenti risultati

Stima grafica della derivata di ex

x −2 −1 0 1 2y 0.135 0.368 1.0 2.718 7.389Pendenza in (x, y) 0.1 0.4 1.0 2.7 7.4

Già ad un primo esame si vede come i valori della pendenza nei punti datiapprossimino con grande precisione i valori della funzione negli stessi punti.


Infatti, il risultato importante che rende unica la funzione esponenziale ex è ilseguente.

Se f (x) = exallora si ha che f 0 (x) = ex.

In altre parole, f (x) = ex risolve l’equazione differenziale f 0 (x) = f (x) .Questa importante proprietà è ciò che rende la funzione esponenziale ex unadelle funzioni più importanti ed utili. ¥


3.1.3 Esercizi

1. Un aeroplano decolla da un aeroporto e, 60 minuti dopo atterra in unaltro aeroporto distante 600 km. Sia t il tempo, misurato dal momentodel decollo, x (t) la distanza orizzontale percorsa e y (t) l’altezza dell’aero-plano.

(a) Qual’è il significato fisico di x0 (t) ? Disegnate dei grafici plausibilidi x (t) e x0 (t) .

(b) Qual’è il significato fisico di y0 (t) ? Disegnate dei grafici plausibilidi y (t) e y0 (t) .

2. Supponiamo che sia f (x) = x3 − 5x2 + x− 1 e g (x) = x3 − 5x2x+ 4.

(a) Spiegare perché f 0 (x) = g0 (x) per ogni valore di x. [Sugg: Comesono correlati i grafici di f e g ?]

(b) Trovare una funzione h tale che h (0) = 3 e tale che h0 (x) = f 0 (x) .

3. Siano f (x) = 5, g (x) = x, h (x) = −2x. Calcolare f 0 (11) , g0 (33) , h0 (−37) .4. Supponiamo che siano f (x) = x− 2, g (x) = 4x+ 1.

(a) Disegnare f e g sullo stesso sistema d’assi.

(b) Mostrare che f 0 (x) ≤ g0 (x) per tutti i valori di x.(c) Mostrare che il principio delle corse implica che f (x) ≤ g (x) per

tutti gli x ≥ −1.

5. Cosa dice il principio delle corse sulla relazione tra f (x) e g (x) perx ≤ 1 ?

6. Interpretare ogni affermazione sottostante in termini di funzioni e suederivate. In ogni situazione indicare chiaramente quale è la funzione, chesignifica la variabile e quali sono le unità di misura appropriate.

(a) Il prezzo di un prodotto diminuisce con l’aumentare della produzione.

(b) La richiesta di un nuovo prodotto diminuisce con il tempo.

(c) La forza lavoro cresce oggi più lentamente di cinque anni fa.

(d) Il costo dell’assistenza sanitaria continua a crescere, ma più lenta-mente negli ultimi cinque anni.

(e) Durante gli scorsi due anni il consumo di energia in Italia è diminuito.

7. Una Compagnia deve decidere il budget per ricerca e sviluppo di un nuovoprodotto. Sia x l’ammontare investito in R&S e T il tempo occorrenteperché il prodotto raggiunga il mercato.

(a) Dare unità ragionevoli a T ed x. Cosa rappresenta T 0 in queste unità?(b) Dare una interpretazione economica a T 0


(c) Vi aspettate un T 0 positivo o negativo? Spiegare la risposta.

8. L’altezza di un sasso in metri, t secondi dopo essere stato lanciato è datada h (t) = −4.91t2++13t+25; la sua velocità è data da v (t) = −9.82t+13.

(a) Da quale altezza è stata lanciato il sasso?

(b) Qual’era la velocità iniziale del sasso?

(c) L’altezza del sasso al tempo t = 2 è maggiore o minore?

(d) Per quale valore del tempo il sasso raggiunge l’altezza massima?Quanto vale l’altezza?

(e) Quanto tempo sta il sasso in aria?

9. Supponiamo che sia f (x) = g (x) + 3 e che f 0 (x) esista per tutti gli x.

(a) Spiegare come sono correlati i grafici di f e g.

(b) Spiegare come sono correlati i grafici di f 0 e g0

(c) Sia h (x) = f (x) + k con k costante. Come è correlato il grafico dih0 con quello di f 0 ?

10. Sia f (x) = sinx e g (x) = cosx.

(a) Come sono correlati tra loro i grafici di f e di g ?

(b) Come sono correlati tra loro i grafici di f 0 e di g0 ?

11. Sia g (x) = f (x+ 3) e supponiamo che f 0 (x) esista per tutti gli x.


(b) Spiegare sono correlati tra loro i grafici di f 0 e di g0 .

(c) Se f 0 (2) = 4 quanto vale g0 (−1) ?(d) Sia h (x) = f (x+ k) con k costante. Come è correlato il grafico di

h0 con quello di f 0 ?

12. Sia g (x) = 3f (x) e supponiamo che f 0 (x) esista per tutti gli x.


(b) Spiegare sono correlati tra loro i grafici di f 0 e di g0 .

(c) Se f 0 (−1) = 2, spiegare perché g0 (−1) = 6.(d) Sia h (x) = k f (x) con k costante. Come è correlato il grafico di h0

con quello di f 0 ?

13. Supponiamo che f sia periodica di periodo 4. Spiegare perché la funzionederivata f 0 è anch’essa periodica con lo stesso periodo.

14. Sia f una funzione tale che f 0 (3) = −2


(a) Supponiamo f pari. Spiegare perché f 0 (−3) = 2. [Sugg.: pensateal grafico di una funzione pari.]

(b) Supponiamo f dispari. Quanto vale f 0 (−3) ?

15. Supponiamo che f e g siano definite entrambe nell’intervallo [a, b] , chesia f (a) = g (a) e che f 0 (x) ≤ g0 (x) per tutti gli x ∈ [a, b] .

(a) Spiegare perché f (b) ≤ g (b) .(b) Supponiamo f (b) = g (b) . Che cosa implica questo sulle derivate f 0

e g0 ?

16. Supponiamo che f e g siano definite entrambe nell’intervallo [a, b] , chesia f (a) = g (a) e che f 0 (x) ≤ g0 (x) per tutti gli x ∈ [a, b] . Usare ilprincipio delle corse per spiegare che f (x)−f (a) ≤ g (x)− g (a) per tuttigli x ∈ [a, b] .

17. Sia f (1) = −2 e f 0 (x) ≤ 3 per tutti gli x ∈ [−10, 10] .

(a) Mostrare che f (2) ≤ 1.(b) Mostrare che f (5) ≤ 10.(c) Mostrare che f (0) ≥ −5.(d) Può essere f (9) < 31 ? Spiegare la risposta.

(e) Può essere f (−5) > −23 ? Spiegare la risposta.(f) Può essere f (4) = 8 ? Giustificare la risposta.

(g) Può essere f (−7) = −25 ? Giustificare la risposta.(h) Può essere f (8) = −25 ? Giustificare la risposta.

18. Sia f (1) = 3 e f 0 (x) ≥ 2 per tutti gli x ∈ [0, 5] .

(a) Mostrare che f (4) ≥ 9.(b) Mostrare che f (0) ≤ 1.

19. Supponiamo che sia f (2) = 1 e −4 ≤ f 0 (x) ≤ 3 per tutti gli x ∈ [−10, 10] .

(a) Trovare una stima superiore ed una inferiore per f (6) ;

(b) Trovare una stima superiore ed una inferiore per f (−5) .

20. Supponiamo sia f (0) = 2 e |f 0 (x)| ≤ 1 per tutti gli x ∈ [−5, 5] .

(a) Trovare una stima superiore ed una inferiore per f (1) ;

(b) Trovare una stima superiore ed una inferiore per f (−3) .

21. Supponiamo che sia f (2) = 1 e f 0 (x) ≤ −3 per tutti gli x ∈ [−10, 10] .

(a) Che cosa implica il principio delle corse per il valore di f (4) ?


(b) Che cosa implica il principio delle corse per il valore di f (−2) ?

22. Sia f 0 (x) ≤ 0 per tutti gli x ∈ (2, 9) . Spiegare perché f (3) ≥ f (7) .23. Sia f 0 (x) > 0 per tutti gli x ∈ (2, 9) . Spiegare perché f (4) < f (8) .24. Supponiamo che sia f (−1) = −2 e che f 0 (x) sia la funzione disegnata qui

sotto

-4

-2

2

4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

Grafico di f 0

Usare il principio delle corse per rispondere alle seguenti domande.

(a) Può essere f (3) = −6 ? Giustificare la risposta.(b) Può essere f (3) = 2 ? Giustificare la risposta.

(c) Mostrare che, nell’intervallo [−4, 4] , la funzione raggiunge il suo val-ore massimo nel punto x = 4. [Sugg. Mostrare che 0 < f (−4) −f (−3) < 6 e che f (1)− f (−2) > 6].

(d) Per quale valore di x nell’intervallo [−4, 4] la f raggiunge il suominimo ?

25. Sia k un numero reale e che f sia una funzione tale chef 0 (x) ≤ k per tuttigli x ∈ [a, b] .Mostrare che f (x) ≤ k (x− a)+f (a) per tutti gli x ∈ [a, b] .

26. Sia f una funzione definita nell’intervallo [a, b] e che f (a) = c .

(a) Supponiamo sia f 0 (x) ≤ 0 per tutti gli x ∈ [a, b] Usare il principiodelle corse per mostrare che f (x) ≥ c per tutti gli x ∈ [a, b] .

(b) Supponiamo sia f 0 (x) ≤ 0 per tutti gli x ∈ [a, b] Usare il principiodelle corse per mostrare che f (x) ≥ c per tutti gli x ∈ [a, b] .

(c) Usare (a) e (b) per mostrare che se f 0 (x) = 0 per tutti gli x ∈ [a, b]allora f è costante in tutto l’intervallo [a, b] .

27. Supponiamo che f 0 (x) = g0 (x) per tutti gli x ∈ [a, b]. Usare l’esercizioprecedente per mostrare che esiste una costante C tale che g (x) = f (x)+C per tutti gli x ∈ [a, b].


28. Sia f (x) =√x.

(a) Usare il metodo dell’ingrandimento per stimare f 0 (1/4) , f 0 (1),f 0 (9/4), f 0 (4) , f 0 (25/4) e f 0 (9) .

(b) Usare i risultati di (a) per disegnare un grafico di f 0 nell’intervallo[0, 9] .

(c) Perché non è definita f 0 (−1) ? Perché non è definita f 0 (0) ? Qual’èil dominio di f 0 ?

(d) Usare i risultati precedenti per tentare di trovare l’espressione alge-brica di f 0 (x) .

29. Sia f (x) = x3 e g (x) = x1/3.

(a) Usare il metodo dell’ingrandimento per stimare f 0 (0), f 0 (1/2), f 0 (1),f 0 (3/2), f 0 (2) .

(b) Usare i risultati di (a) per disegnare un grafico di f 0 nell’intervallo[−2, 2] .[Sugg.: Perché f 0 (−1) = f 0 (1) ?].

(c) Usare i risultati di (a) e (b) per tentare di trovare l’espressionealgebrica di f 0 (x) .

(d) Stimare g0 (−1) e g0 (1) .(e) Perché non è definita g0 (0) ? Qual è il dominio di g0 ? Qual’è il

dominio di g ?

(f) Si può mostrare che f 0 (4) = 48. Usare questo dato per calcolareg0 (64) . [Sugg: Come sono correlati i grafici di f e g ?]

30. Sia f (x) = 1/x

(a) Usare il metodo dell’ingrandimento per stimare f 0 (1/4), f 0 (1/2),f 0 (1), f 0 (2), f 0 (3) .

(b) Usare i risultati di (a) per disegnare un grafico di f 0 sugli intervalli[−3, 0) e (0, 3] .

(c) Usare i risultati di (a) e (b) per tentare di trovare l’espressionealgebrica di f 0 (x) .

31. Sia f (x) = ex.

(a) Usare il metodo dell’ingrandimento per stimare f 0 (−1), f 0 (0), f 0 (1),f 0 (1.5), f 0 (2) .

(b) Usare i risultati di (a) per disegnare un grafico di f 0 sull’intervallo[−1, 2] .

(c) Usare i risultati di (a) e (b) per tentare di trovare l’espressionealgebrica di f 0 (x) . [Sugg.: valutare f (x) nei punti−1, 0, 1, 1.5, 2.]

32. Sia f (x) lnx


(a) Usare il metodo dell’ingrandimento per stimare f 0 (1/10) , f 0 (1/5),f 0 (1/2), f 0 (1) , f 0 (2) , f 0 (5) .

(b) Usare i risultati di (a) per disegnare un grafico di f 0 sull’intervallo(0, 5] .

(c) Usare i risultati di (a) per tentare di trovare l’espressione algebricadi f 0 (x)

33. Sia f (x) = sinx.

(a) Usare il metodo dell’ingrandimento per stimare f 0 (0) , f 0 (π/6), f 0 (π/4),f 0 (π/3) , f 0 (π/2) e f 0 (π) .

(b) Usare la simmetria della funzione seno per calcolare le derivate neipunti f 0 (2π/3) , f 0 (3π/4) e f 0 (5π/6) . Controllate le risposte colmetodo dell’ingrandimento.

(c) Usare i risultati di (a) per tentare di trovare l’espressione algebricadi f 0 (x) .

34. Sia f (x) = cosx.

(a) Usare il metodo dell’ingrandimento per stimare f 0 (0) , f 0 (π/6), f 0 (π/4),f 0 (π/3) , f 0 (π/2) e f 0 (π) .

(b) Usare i risultati di (a) per tentare di trovare l’espressione algebricadi f 0 (x) .

35. Siano f (x) = ex e g (x) = lnx .

(a) Usare il metodo dell’ingrandimento per il grafico di f nell’intorno delpunto del grafico (0, 1) .Qual’è la pendenza della retta?

(b) Usare il metodo dell’ingrandimento per il grafico di g nell’intorno delpunto del grafico (0, 1) .Qual’è la pendenza della retta?

36. Siano f (x) = 10x e g (x) = log10 x .

(a) Usare il metodo dell’ingrandimento per il grafico di f nell’intorno delpunto del grafico (0, 1) .Qual’è la pendenza della retta?

(b) Usare il metodo dell’ingrandimento per il grafico di g nell’intorno delpunto del grafico (0, 1) .Qual’è la pendenza della retta?

(c) Come sono collegate tra loro i valori in (a) ed in (b) ? Quale variantedella legge nell’Esempio (61) vale in questa situazione?

37. Sia f (2) = 4 e f 0 (x) =√x3 + 1 per x ≥ −1

(a) Trovare l’equazione della retta tangente a f nel punto x = 2.

(b) Indichiamo con l la retta in (a) . Il valore l (0) sottostima o sovras-tima il valore di f (0)? Giustificare la risposta.


(c) Il valore l (3) sottostima o sovrastima il valore di f (3)? Giustificarela risposta.

38. Per ognuna delle coppie di funzioni seguenti, scegliere la costante A inmodo tale che sia f 0 (x) = Ag (x) per ogni x nel dominio di g.

(a) f (x) = x3, g (x) = x2.

(b) f (x) =√x, g (x) = x−1/2.

(c) f (x) = sinx , g (x) = cosx.

(d) f (x) = cosx , g (x) = sinx.

(e) f (x) = ex, g (x) = ex.

(f) f (x) = lnx, g (x) = 1/x.

3.2. LA GEOMETRIA DELLE DERIVATE. 115

3.2 La Geometria delle Derivate.

La relazione geometrica che lega una funzione f e la sua derivata f 0 è sempliceda esplicitare.

Per ogni valore dell’ingresso a, f 0 (a) è il valore del coefficiente angolaredella retta tangente al grafico di f nel punto (a, f (a)) .

Questa affermazione, innocua all’apparenza, è una delle più importanti diquesto volume. I prossimi paragrafi (e di fatto la maggior parte di questo libro)ne esplorano significato, implicazioni e conseguenze. Inizieremo la nostra analisiattraverso lo studio approfondito di un esempio.

Confronto tra i Grafici di f e di f ’. Consideriamo i grafici (dati)di una funzione f e della sua derivata f 0(per il momento non daremo la formulaesplicita per le due funzioni). Tre punti interessanti sono stati segnalati sui duegrafici. I tre punti sui due grafici hanno la stessa coordinata x. Chiamiamo itre punti A, B, C e A0, B0, C 0 rispettivamente.

-8

-6

-2

0

2

4

-2 -1 1 2 3x

Grafico di f

-5

0

5

10

15

-2 -1 1 2 3x

Grafico di f 0

Il grafico si f 0 ci dice come si comportano le pendenze delle rette tangential grafico di f . Per esempio, in B il grafico di f sembra avere pendenza −6 I; Controllate, per

esercizio, l’affer-mazione.

per questa ragione, il grafico di f 0 ha altezza −6 in B0.Osserviamo le diverse relazioni geometriche tra i due grafici e introduciamo unpo’ di nomenclatura.

Il segno di f 0. Il grafico di f cresce a sinistra a sinistra del punto A, scendetra A e C, cresce ancora dopo C. Il segno di f 0 ci dice se il coefficiente angolaredella retta tangente è positivo o negativo, cioè se la retta tangente punta versol’alto o verso il basso.. Nei punti A0 e C 0 I la funzione f 0 cambia di segno, A0 e C 0 cor-

rispondono aradici di f 0.

quindi in A e C la tangente ad f cambia direzione.Cosa accade all’esterno. Il disegno suggerisce che a sinistra di A il grafico

di f scenda verso il basso e a destra di C salga. Che c osa accade del graficodi f 0 negli stessi intervalli? A destra di C 0 , f 0 è positiva e crescente, mentre asinistra di A0 è positiva e decrescente.


Punti di massimo, minimo e stazionari. I punti A e C di coordinateapprossimativamente (−1.1, 4) e (1.8,−8) dove il grafico di f ha tangente oriz-zontale sono punti di notevole interesse. Essi indicano, in questa finestra delgrafico, punti “alti” e punti “bassi” del grafico stesso.Volendo esprimere questa situazione in linguaggio matematico diremo che ilpunto del dominio x = 1.1 è un punto di massimo locale per f , la cor-risponde uscita f (−1.1) ≈ 4 è chiamato un valore di massimo locale di f .Analogamente in C. Il punto x = 1.8 è chiamato punto di minimo locale ef (1.8) ≈ −8 è il corrispondente valore di minimo locale per f (l’aggettivolocale si riferisce al fatto che stiamo esaminando ciò che accade intorno al puntoe non globalmente su tutto il grafico). Gli ingressi x dei punti A e C sono anchegenericamente chiamati punti stazionari per f . I corrispondenti punti A0 eC 0 sul grafico di f 0 hanno la proprietà di avere coordinata y = 0,sono cioè radicidell’equazione f 0 (x) = 0.

Altri punti stazionari? A e C sono gli unici punti stazionari di f. Il diseg-no non lo dice. Esso mostra solo il comportamento della funzione nell’intervallo[−2.5, 3.5] ; altri punti stazionari potrebbero essere fuori di questo intervallo.

Concavità e convessità. Il punto B, di coordinata circa x = 0.33 vienechiamato punto di flesso per f . In B il grafico di f cambia la propriadirezione di concavità , da concavo a convesso. Il punto B ha un’altraproprietà geometrica (locale) importante. E’ il punto del grafico con la maggiorependenza.

Il corrispondente punto B0 sul grafico di f 0 è facile da individuare; è unpunto di minimo locale per f 0. Più avanti useremo questa proprietà e un po’ dialgebra per trovare l’esatto valore dell’ingresso di B.

Che cosa dice f ’ a proposito di f.Interpretare la funzione derivata f 0 in termini di coefficienti angolari delle

rette tangenti al grafico di f ha molte implicazioni di notevole importanza cheindichiamo qui di seguito.

(NOTA: Molte idee in questo paragrafo dipendono dal fatto che sia f che f ’ sicomportano “ragionevolmente bene”. Con questa espressione intendiamo il fatto chené il grafico di f né quello di f ’ mostrano salti, spigoli o rotture. Ogni funzione f lacui funzione derivata f ’ è continua, cioè ha un grafico senza rotture, è buona per noia questo livello. Fortunatamente, la maggior parte delle funzioni che ci interesserannosaranno “buone” in questo senso. Andando avanti nel corso chiariremo meglio cosasignifica “buone” e perché è importante.)

Crescente o Decrescente.Una funzione f è detta crescente se (osservandola da sinistra verso de-

stra) il suo grafico sale, e decrescente se il suo grafico scende. La seguentedefinizione trascrive queste idee naturali in linguaggio analitico.

Definizione 62 Sia I l’intervallo (a, b) . Una funzione f è crescente su I se

f (x1) < f (x2) per a < x1 < x2 < b .


f è decrescente su I se

f (x1) > f (x2) per a < x1 < x2 < b .

( Se f (x1) ≤ f (x2) per x1 < x2 allora f è detta non decrescente suI; se f (x1) ≥ f (x2) per x1 < x2 allora f è detta non crescente su I. Inentrambi i casi, in modo generico diremo che f è monotona su I ).

La derivata ci permette di determinare dove la funzione cresce o decrescesu di un intervallo I.

Fatto. Se f 0 (x) > 0 per tutti gli x ∈ I allora f cresce in I.Se f 0 (x) < 0 per tutti gli x ∈ I allora f decresce in I.

Questo fatto sembra essere ragionevole. Affermare che f 0 (x) > 0 significadire che la retta tangente al grafico di f nel punto x punta verso l’alto e (conun po’ di fortuna) anche il grafico di f .Il principio delle corse rende il fattoancora più evidente: se un’auto f ha velocità positiva, allora corre “in avanti”.Anche se il fatto suona plausibile, la sua dimostrazione rigorosa richiede lamessa in campo di uno dei teoremi più importanti di questo corso: il teoremadel valor medio (che vedremo più avanti).

Comportamento in un punto. Spesso diremo che la “funzione cresce (odecresce) in un dato punto. Dire ad esempio che f cresce per x = 3 significadire che f cresce su di un qualche intervallo - per quanto piccolo possa essere -contenente il punto x = 3. Con questa notazione lessicale possiamo riscrivere ilfatto precedente nel seguente modo.

Fatto. Se f 0 (a) > 0 allora f cresce in x = aSe f 0 (a) < 0 allora f decresce in x = a

Nel punto x = 1, per esempio, f 0 (1) < 0. Il Fatto ci dice - ed il disegnoconferma - che per x = 1 il grafico di f discende.

Fare attenzione Il precedente fatto NON implica che se f cresce alloraf 0 (a) > 0. Infatti

Esempio 63 Dove è crescente la funzione f (x) = x3 ? Dove è f 0 (x) > 0 ? Checosa accade per x = 0?

Soluzione. Come suggerisce il grafico

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1x

Grafico di f (x) = x3


la funzione x3 cresce ovunque. Il grafico suggerisce anche che f 0 (x) > 0 sex 6= 0 ma che f 0 (x) = 0 per x = 0.

La Derivata di una Funzione Crescente. Che cosa si può dire dellafunzione derivata f 0 dove f cresce? La risposta è nel seguente fatto

Fatto. Se f cresce per x = a allora si ha f 0 (a) ≥ 0;se f decresce per x = a allora si ha f 0 (a) ≤ 0.

La derivata di una funzione crescente deve essere non negativa ma nonnecessariamente strettamente positiva.

Punti di Massimo, Punti di Minimo e Punti Stazionari:Definizioni Formali.

Il punto A sul primo grafico (vedi pagina 115 ) corrisponde ad un massimolocale ma non globale per f . Per continuare a usare senza fraintesi il linguaggiotecnico della matematica abbiamo bisogno di definizioni chiare.

Definizione 64 Sia f una funzione e x0 un punto del dominio.• x0 è un punto stazionario per f se f 0 (x0) = 0 .• x0 è un punto di massimo relativo (o locale) per f se f (x0) ≥ f (x)per tutti gli x in qualche intervallo aperto contente x0. Il numero f (x0) è unvalore di massimo relativo per f.• x0 è un punto di massimo assoluto (o globale) per f se f (x0) ≥ f (x)per tutti gli x nel dominio di f . Il numero f (x0) è il valore di massimoassoluto per f.

(I punti di minimo relativo (o locale) e assoluto (o globale) sono definiti inmaniera analoga).

Alcune sottigliezze lessicali hanno bisogno di essere puntualizzate:Punti e Valori. I punti di massimo o minimo (relativo o assoluto) sono

gli ingressi per le funzioni; i valori di massimo o minimo sono le corrispondentiuscite. La differenza, sebbene importante, viene a volte sorvolata parlandoinformalmente.

Relativo e Assoluto (Globale e Locale). In un punto di massimolocale, una funzione f può o meno assumere un valore di massimo globale. Lostesso ovviamente per un punto di minimo.

Valori estremi. La parola estremo che può significare sia valore mas-simo che minimo è spesso usata. Diremo, per esempio, che per la funzionedell’esempio precedente, i punti A e C corrispondono ad estremi di f .

Tornando al grafico dell’esempio, l’intuizione geometrica ci dice che in unpunto di massimo o di minimo locale un grafico “liscio” debba avere tangenteorizzontale. Più succintamente

Fatto. In un grafico “liscio”ogni punto di massimo e di minimolocale x0 è un punto stazionario, cioè una radice di f 0,quindi soddisfa l’equazione f 0 (x) = 0.

Questo fatto ha un valore pratico di notevole portata. Il Fatto ci dice cheper trovare i massimi e minimi relativi di f , possiamo limitarci a cercare tra le


radici di f 0 Ogni radice è un punto stazionario e quindi un possibile candidato amassimo o minimo (ricordo che un punto stazionario può anche essere un flessoorizzontale del grafico).

Nell’esempio che segue cercheremo di mostrare come individuare tutte lepossibilità.

Esempio 65 Il grafico di una funzione f 0 appare come segue. Il grafico dif non è mostrato (per ora). Tre punti di particolare interesse sono mostrati(−1, 0) , (0, 0) , (1, 0) . In quali punti, ammesso che esistano, f ammette mini-mo e massimo locale? Perché

-2

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5x

Grafico di f 0

Soluzione. I tre punti, di coordinate x = −1, x = 0, x = 1 sono radicidell’equazione f 0 (x) = 0 e corrispondono quindi a punti stazionari di f . Chetipo di punto stazionario? La chiave per risolvere il problema è quella di studiareil segno della derivata intorno ad ogni punto stazionario. Osserviamo i puntiuno alla volta.

[x = −1] . A sinistra di x = −1 si ha che f 0 (x) > 0. Quindi, per quantoaffermato precedentemente, la funzione f cresce finché x = −1. Passato il puntoè f 0 (x) < 0 così che f decresce immediatamente dopo x = −1. Questo significache f ha un massimo locale in x = −1.

[x = 1] . Consideriamo i valori della f 0 per valori di x vicini ad x = 1. Ilgrafico mostra che se x < 1 allora f 0 (x) < 0, e che f 0 (x) > 0 se x > 1. Allora,ragionando come sopra, si ha che la funzione decresce a sinistra di x = 1 ecresce a destra. Questo significa che x = 1 è un punto di minimo locale.

[x = 0] In questo punto il grafico mostra che f 0 (x) < 0 sia a sinistra che adestra del punto x = 0. Allora f decresce sia prima che dopo il punto x = 0.Ne segue che x = 0 non può essere né un massimo né un minimo. E’ quindi unflesso orizzontale nel grafico di f .Ecco, per finire, un possibile grafico di f .


-2

-1

0

1

2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5x

Grafico di f

Per quanto riguarda i punti stazionari possiamo allora affermare che:

Fatto (Test della derivata prima). Supponiamo che si abbia f 0 (x0) = 0.• Se f 0 (x) < 0 per x < x0 e f 0 (x) > 0 per x > x0, allora x0 è un punto diminimo locale.

• Se f 0 (x) > 0 per x < x0 e f 0 (x) < 0 per x > x0, allora x0 è un punto dimassimo locale.

Il prossimo esempio mostra cosa accade in un grafico non “liscio”.

Esempio 66 La funzione f (x) = |x| ha un minimo locale (e globale) nel puntox = 0, ma non un punto stazionario..

Soluzione. Il grafico mostra il perché|x|

0-1 1x

Grafico di f (x) = |x| ;x = 0 è un minimo locale.


Nel punto x = 0 il grafico ha uno spigolo e quindi non ammette né rettatangente né una pendenza ben definita. Nel linguaggio funzionale possiamo direche f 0 (0) non esiste.

Concava o Convessa ?Abbiamo introdotto in modo informale le proprietà flesso, concavità e con-

vessità usando il linguaggio grafico. Vogliamo adesso dare una definizioneanalitica formale.

Definizione 67 Il grafico di una funzione f è convesso in x = a se la funzionef 0 è crescente in x = a. Il grafico di una funzione f è concavo in x = a se lafunzione f 0 è decrescente in x = a. Ogni punto in cui il grafico cambia concavitàè detto punto di flesso del grafico.

I grafici di f ed f 0 a pag. 115 illustrano quanto detto.

Concavità. A sinistra del punto B, il grafico di f è concavo; a sinistra diB0 il grafico di f 0 è decrescente.

Convessità. A destra del punto B, il grafico di f è convesso; a destra diB0 il grafico di f 0 è crescente.

Punto di Flesso. B è un punto di flesso; f 0 ha un minimo in B0.

Trovare i Flessi dal Grafico di f ’.La direzione della concavità del grafico dipende, come mostra la definizione,

dalla crescita o decrescita della funzione derivata f 0 . Si ha un punto di flessoquando f 0 - cambia direzione - cioè quando f 0 ha un minimo o un massimolocale.

Esempio 68 Discutere la concavità della funzione f (x) = sinx.

Soluzione. E’ un fatto che dimostreremo più avanti, che se f (x) = sinxallora f 0 (x) = cosx. Il raffronto tra i grafici rende, comunque, la cosa plausibile.I Siete daccordo?

Le radici di f 0

sono dove de-vono essere?

-1-0.8-0.6-0.4-0.20

0.20.40.60.81

2 4 6x

Grafico di f (x) = sinx

-1-0.8-0.6-0.4-0.20

0.20.40.60.81

2 4 6x

Grafico di f (x) = cosx

Da notare:


Punti stazionari: f ha punti stazionari (un punto di massimo locale edun punto di minimo locale) per x = π/2 e x = 3π/2 - esattamente le radici dif 0 -.

Crescente o decrescente ? f cresce negli intervalli (0,π/2) e (3π/2, 2π) ;sugli stessi intervalli f 0 è positiva

Concavità. f è concava nell’intevallo(0,π) dove f 0 è decrescente, e convessain (π, 2π) dove f 0 cresce. Nei fatti, questo esempio mostra tutte le possibilicombinazioni di comportamento crescente/decrescente e concavità.

Punti di Fesso. f ha un punto di flesso in ogni multiplo di π - precisamentedove f 0 assume un minimo od un massimo locale.

Esaminiamo ancora.

Esempio 69 Quello che segue è il grafico della derivata di una funzione f.

-3 -2 -1 1 2 3x

Grafico di f 0

Spiegare perché:(a) L’equazione f (x) = 0 non può avere più di due soluzioni nell’intervallo[−3, 3](b) L’equazione f (x) = 0 non può avere due radici nell’intervallo [0, 3] ;(c) Supponiamo che sia f (0) = 1. Quante soluzioni ha l’equazione f (x) = 0nell’intervallo [−3, 3] ?

Soluzione. Poiché f 0 è negativa nell’intervallo (−3, 0) e positiva nell’in-tervallo (0, 3) , f decresce in (−3, 0) e cresce in (0, 3) . Ne segue che f ha unminimo locale per x = 0 e nessun altro punto stazionario. Quindi

1. (a) Il grafico di f ha la forma di una U, quindi può intersecare l’intervallo[−3, 3] al più in due punti.

(b) Il grafico di f cresce nell’intervallo (0, 3), può quindi intersecare l’assedelle al più una volta.

(c) Se f (0) = 1 non ci sono radici nell’intervallo [−3, 3] perché x = 0 èun punto di minimo per f. ¥


3.2.1 Esercizi

1. Il grafico di una funzione f è mostrato qui sotto

-3

-2

-10

1

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

Grafico di f

(a) Su quali intervalli f 0 è negativa?

(b) Su quali intervalli f 0 è crescente? Su quali decrescente?

(c) In quali punti f 0 raggiunge il suo massimo? Stimare il valore di f 0.

(d) In quali punti f 0 raggiunge il suo minimo? Stimare il valore di f 0.

(e) Provare a fare uno schizzo del grafico per f 0.

2. Il grafico della derivata di una funzione g è disegnata qua sotto. Usa ilgrafico di g0 per rispondere a questioni riguardanti g.

-3

-2

-1

0

1

2

2 4 6 8 10x

Grafico di g0

(a) Dove sono i punti stazionari di g ?

(b) In quali punti g ha massimo locale ? E minimo locale ?

(c) Il grafico di g0 ha massimo locale in x = 2.7 e minimo locale inx = 6.5. Cosa dicono questi punti del grafico di g ?

(d) g è concava o convessa in x = 5? E ad x = 8 ? Giustificare la risposta.

(e) Supponiamo sia g (0) = 0. Provare a fare uno schizzo del grafico dig.


3. Il grafico di una funzione f è mostrato qui sotto

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x

Grafico di f 0

(a) Quali sono i punti stazionari di f ?

(b) Quali sono i massimi ed i minimi locali ?

(c) f è concava o convessa in x = 1? Giustificare la risposta.

(d) Provare a fare due schizzo di grafico di funzioni che potrebberoessere f.

4. Supponiamo che la derivata di una funzione f sia f 0 (x) = x+ 3.

(a) Su quali intervalli, se ci sono, f è crescente?

(b) Per quali valori di x la funzione f ha un massimo locale? Un minimolocale?

(c) Su quali intervalli, se esistono, la funzione è concava?

(d) Provare a fare uno schizzo del grafico di f.

5. Ripetere l’esercizio precedente per le seguenti funzioni. (Approssimare lerisposte a due decimali)

(a) f 0 (x) = (x− 2) (x+ 4) ;(b) f 0 (x) = (x− 2)2 (x+ 4) ;(c) f 0 (x) = (x+ 1)2 (x− 2) ;(d) f 0 (x) =

¡x2 + 1

¢(x+ 6) ;

(e) f 0 (x) =¡x2 − 9¢ (x+ 3) ;

(f) f 0 (x) =1

1 + x2;

(g) f 0 (x) =x− 2x2 + 5

;

(h) f 0 (x) =x+ 1√x2 + 1

;

(i) f 0 (x) =x2 + 2√x2 + 1

;

(j) f 0 (x) = e−x2 ;


(k) f 0 (x) =¡9− x2¢ e−x/4 ;

(l) f 0 (x) = ln¡1 + x2

¢.

6. I grafici di f, f 0, g (che non è la derivata di f) sono disegnati sotto. Chiè chi? Perché?

-6-4-20

2468101214

1 2 3 4 5x

7. Disegnare i grafici di funzioni con le seguenti proprietà.

(a) f (x) > 0 per ogni x e f 0 (x) > 0 per ogni x.

(b) g (x) > 0 per ogni x e g0 (x) < 0 per ogni x.

(c) Trovare una formula per f e per g.

8. Disegnare i grafici di funzioni con le seguenti proprietà.

(a) f (x) < 0 per ogni x e f 0 (x) > 0 per ogni x.

(b) g (x) < 0 per ogni x e g0 (x) < 0 per ogni x.

(c) Trovare una formula per f e per g.

9. Il grafico della derivata di una funzione f è disegnato sotto.

-2 -1 1 2 3 4x

Grafico di f 0

(a) Nell’intervallo [−2, 4] , dove è crescente f ? Perché ?(b) Qual’è il punto stazionario di f ? E’ un massimo, un minimo o cosa ?

(c) Provare a disegnare un possibile grafico per f.

10. Sia f (x) = exp (sinx) . Quanti zeri (radici) ha f 0 nell’intervallo [0, 2π] ?Quali sono i loro valori ? Giustificare la risposta.


11. Supponiamo di conoscere le seguenti informazioni sulla funzione f :(i) f è positiva su [−7, 8] ;(ii) f è crescente su [−2, 3] ;(iii) f è decrescentesu (4, 10) ;(iv) f 0 è decrescente su [−3, 6] ; (v) f 0 (4) = 0; (vi) f ha un flesso in x = 7.

(a) Spiegare perché f ha un estremo locale in x = 4. E’ un massimolocale o un minimo locale?

(b) Dove è concava f ?

(c) Dove è non negativa (≥ 0) f’ ?(d) Metti in ordine crescente di valore i numeri f (4) , f 0 (5) , f 0 (6) , e

f (7) .

(e) Prova a disegnare un grafico per una funzione con queste proprietà.


3.2.2 La Geometria delle Derivate di Ordine Superiore

La derivata di una “buona” funzione f è ancora una funzione f 0. Supponendof 0 “buona” il passo successivo è naturale: differenziare ancora. Il risultato èuna funzione , che indicheremo con f 00, chiamata la derivata seconda di f .Come f 0, f 00 ci da informazioni utili su f .

Per esempio: la derivata di una funzione ci dice come, e quanto velocemente,la funzione data cresce o decresce. Quindi, se f 00 (a) > 0, sappiamo che f 0 ècrescente per x = a. Ne segue che f è convessa per x = a.

Che cosa ci dice f 00 di f . Concavità e convessità.

Il grafico di f è convesso o concavo per x = a se f 0 è crescente o decrescenteper x = a. Il precedente principio, applicato ad f 0 ci dice che

Se f 00 (a) > 0, allora f 0 è crescente per x = a. Se f 00 (a) < 0,allora f 0 è decrescente per x = a.

questo porta ad un test utile per la concavità

Fatto. Il grafico di f è convesso quando f 00 > 0e concavo quando f 00 < 0.

Nota. Questo fatto non ci dice niente quando f 00 (a) = 0. In questo caso,come vedremo, f può essere conca, convessa, o niente di tutto ciò.

Esempio 70 Discutere la concavità della funzione f (x) = sinx usando laderivata seconda.

Soluzione. Se f (x) = sinx, allora f 0 (x) = cosx e f 00 (x) = − sinx (Mostr-eremo questo fatto più avanti, per il momento assumiamolo). Disegniamo igrafici di f e di f 00 sugli stessi assi

-1

0

1

1 2 3 4 5 6 7x

Grafici di f e di f 00


Si vede facilmente che f è convessa dove f 00 > 0 e concava dove f 00 < 0. ¥Nota. abbiamo affermato in precedenza, basandosi solo sull’evidenza grafi-

ca, che se f (x) = sinx allora f 0 (x) = cosx. Abbiamo inoltre affermato chese g (x) = cosx allora g0 (x) = − sinx. Entrambe le affermazioni richiedono diessere dimostrate.Notiamo tuttavia che le due affermazioni sono sostanzialmente identiche. Poichéil grafico di f (x) e di g (x) differiscono solo per una traslazione orizzontale, lostesso deve avvenire per le loro derivate.

Ricerca dei Punti di Flesso.

Una funzione f ha un punto di flesso dove cambia il segno di f 00. Ne segue,quindi, che per una ”buona” funzione

Ogni punto di flesso di f è una radice di f 00, è cioè una soluzionedi f 00 (x) = 0.

Nel grafico del seno, per esempio, si ha un punto di flesso per ogni radice dif 00.

Attenzione. Fare ancora attenzione alla formulazione dell’affermazione.

f 00 (a) può essere zero anche se non ci sono flessi in x = a.

Il seguente esempio mostra perché: Se f 00 (a) = 0 il punto a è un puntostazionario di f 0 ma non necessariamente un massimo o minimo locale.

Esempio 71 Consideriamo i seguenti grafici di f, f 0 e f 00. Discutere la con-cavità e i punti di flesso di f.

0

0.5

-1 1x

Grafico di f

-4

-2

0

2

4

-1 1x

Grafico di f 0

0

5

10

-1 1x

Grafico di f 00

Soluzione. Sebbene sia f 00 (0) = 0, il punto (0, 0) non è un punto di flessoper f . Si ha invece che il grafico di f è convesso ovunque poiché f 0 è ovunquecrescente.Notare inoltre che si ha f (0) = f 0 (0) = f 00 (0) = 0. Se più di una derivatadi una funzione vale zero in un punto x = a, il grafico di f appare “piatto”nell’intorno di x = a. I ¥Maggiore è il nu-

mero di derivateche si annullanoper x = a, più“piatto” apparel grafico.


Ricostruiamo il Percorso: Massimi, Minimi, Concavità e DerivateSeconde.

Un punto stazionario sul grafico di f può essere un massimo locale, un minimolocale o nessuno dei due. Se si può disegnare un grafico accurato, la situazioneappare chiara. Se no, la concavità ci aiuta a distinguere tra le varie alternative.L’idea è semplice:

In un minimo locale il grafico è convesso.In un massimo locale il grafico è concavo.

Le seguenti affermazioni sono conseguenze immediate di questi dati. Essesono note come test della derivata seconda.

Fatto. (Test della derivata seconda).Supponiamo che si abbia f 0 (a) = 0Se f 00 (a) > 0, allora f ha un minimo locale in x = a

Se f 00 (a) < 0, allora f ha un massimo locale in x = a

Se f 00 (a) = 0 può accadere di tutto:In x = a, f può avere massimo o minimo locale oppure niente.Il grafico di f può essere concavo o convesso, avere un punto di flesso,o niente di tutto ciò.

Consideriamo anche le formule Torniamo al primo esempio del paragrafoprecedente, nel quale avevamo considerato f ed f 0, unendo a queste anche f 00 econsiderando anche le formule algebriche che le definiscono

f (x) = x3 − x2 − 6x ; f 0 (x) = 3x2 − 2x− 6 ; f 00 (x) = 6x− 2

Ecco i tre grafici.

-8

-6

-2

0

2

4

-2 -1 1 2 3x

Grafico di f

-6-4-20

246810

141618

-2 -1 1 2 3x

Grafico di f 0

-15

-10

-5

0

5

10

15

-2 -1 1 2 3x

Grafico di f 00

Combinando grafici e formule, possiamo migliorare e reinterpretare le osser-vazioni precedenti:


Che cosa dicono le derivate. Sia il grafico che la formula algebrica di f 0

suggeriscono che quando x→∞ allora f 0 (x)→∞.Quindi, per x→∞ si ha chela pendenza del grafico di f è, (a) positiva e, (b) crescente. Equivalentemente,il grafico di f (a) sale e, (b) sale sempre più velocemente.

Punti Stazionari. I grafico di f ha retta tangente orizzontale nei pun-ti stazionari A e C. In accordo con la formula della derivata prima, i puntistazionari si hanno tra i valori di x per i quali è

f 0 (x) = 3x2 − 2x− 6 = 0

Le radici di f 0 si trovano facilmente e sono: x =¡1±√19¢ /3. In forma

decimale, le radici sono x ≈ −1.1196 e x ≈ 1.7863Quanti sono i punti stazionari? Il calcolo precedente mostra che f 0 ha

solo due radici. Quindi A e C sono gli unici punti stazionari di f .Punti di flesso. Il punto di flesso B si ha quando f 0 assume il suo valore

minimo, apparentemente vicino al punto x = 0.3. Dove cade esattamente B ?La formula di f 00 ci da la risposta. f 00 ha un’unica radice per x = 1/3, dove

f 00 (x) = 6x− 2 = 0

Come mostra il grafico, f 00 cambia segno in x = 1/3, così f cambia concavitàin quel punto e solo in quel punto.

Il seguente esempio mostra la varietà di risultati che si possono ottenere daun attenta osservazione del comportamento delle derivate.

Esempio 72 Il grafico mostra la forma di f 0, la derivata di una certa funzionef (che non viene data)

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

(a) Stimare f 00 (−3) ;(b) Dove f è concava o convessa ?(c) Quali sono i punti di flesso di f ?

Soluzione. Osservando attentamente il grafico si ottengono tutte le risposte.E’ fondamentale ricordarsi che siamo osservando f 0, non f o f 00.


1. (a) Per definizione, f 00 (−3) = (f 0)0 (−3) , cioè il coefficiente angolaredella retta tangente a f 0 nel punto x = −3. Una osservazione attentamostra che esso vale circa 5.

(b) Poiché f 00 (−3) > 0, f è convessa per x = −3. Più in generale, fè convessa ovunque sia f 00 > 0 cioè dove f 0 è crescente. Il disegnomostra che ciò avviene negli intervalli −4 ≤ x ≤ −1 e 3 ≤ x ≤ 4.Per la stessa ragione f è concava in −1 ≤ x ≤ 3.

(c) La funzione f ha un flesso dove cambia concavità. La risposta (b) cidice che ciò accade per x = −1 e per x = 3. ¥


3.2.3 Esercizi

1. Il grafico di una funzione f è disegnato qui sotto

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

Grafico di f

(a) Per quali valori di x (se esistono) f 00 (x) è negativa? Positiva? Zero?

(b) Ordina, in ordine crescente, i numeri f 0 (0) , f (2) , f 0 (2) , e f 00 (2) .

2. Dell’acqua fluisce, in modo costante in un cilindro a base circolare. SiaV (t) il volume dell’acqua al tempo t, H (t) l’altezza dell’acqua al tempot . Dare una interpretazione fisica alle seguenti quantità ed indicare sesono positive, negative o nulle:

(a) V 0 (t) , (b) H 0 (t) , (c) V 00 (t) , (d) H 00 (t) .

3. Il grafico di f è dato da: [Nota: f ha punti di flesso in x = 0.7 e x = 2.6]

0

1

2

3

4

5

6

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

(a) In quali intervalli f 00 è positiva? Negativa? Nulla?

(b) Ordina, in ordine crescente, i numeri f (0) , f 00 (0.5) , f 00 (2) , f 00 (2),e f 00 (2.8) .


4. Il grafico della derivata seconda di una funzione g è disegnato sotto. Usail grafico per rispondere alle seguenti domande su g0 e g.

-9-8-7-6-5-4-3-2-10

123

1 2 3 4x

Grafico di g00

(a) Dove è convessa g ?

(b) Quali sono i punti di flesso di g ?

(c) Ordina, in ordine crescente, i numeri g0 (0) , g0 (1) , g0 (2) , g0 (3) .

(d) Supponiamo che g0 (0) = −4 g è crescente o decrescente in x = 2?Giustifica la risposta.

(e) Supponiamo che g0 (0) = 0 g è crescente o decrescente in x = 2?Giustifica la risposta.

(f) Supponiamo che g0 (0) = 0 g è crescente o decrescente in x = 2?Giustifica la risposta.

5. Nella prima colonna sono disegnati i grafici di quattro funzioni. Nellaseconda, in ordine diverso, quello delle loro derivate seconde. Individuarefunzioni e relative derivate seconde [Nota: le scale degli assi possono non


essere le stesse]

x

x

x x

x

x

x

x

6. I grafici di f, f 0, f 00 sono disegnati sotto. Determinare chi è chi, e spiegacome hai fatto a decidere.

-1

0

1

2

3

-2 -1 1 2x

7. I grafici di f, f 0, f 00 sono disegnati sotto. Determinare chi è chi, e spiega


come hai fatto a decidere.

-0.6

-0.4

-0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5x

8. Supponiamo che f, f 0, f 00 siano funzioni continue su (−∞,+∞) e che fabbia le seguenti proprietà:(i) f è negativa nell’intervallo (−10, 1) e positiva su (3, 10) ;(ii) f è crescente nell’intervallo (−∞, 5) e decrescente su (5,+∞) ;(iii) f è convessa in (−∞, 2)e concava in (2,+∞) .Scrivere in ordine crescente di valore i seguenti numeri: f 0 (0) , f 0 (1) , f 0 (2) ,f 00 (2) e f 0 (8)

9. Ripetere il Problema 2, supponendo che il serbatoio sia una sfera.

10. Ripetere il Problema 2, supponendo che il serbatoio sia un cono col verticein basso.

11. Supponiamo che f, f 0, f 00 siano funzioni continue su R.

(a) Disegnare un grafico di f nel caso che f (x) > 0, f 0 (x) > 0, f 00 (x) >0;

(b) Disegnare un grafico di f nel caso che f (x) > 0, f 0 (x) < 0, f 00 (x) >0;

(c) Disegnare un grafico di f nel caso che f (x) < 0, f 0 (x) < 0, f 00 (x) <0;

(d) Disegnare un grafico di f nel caso che f (x) < 0, f 0 (x) > 0, f 00 (x) <0.

12. Dire se esiste una funzione definita su R tale che f (x) > 0, f 0 (x) <0, f 00 (x) < 0. Se si disegnarla; se no spiegare il perché.

13. Dire se esiste una funzione definita su R tale che f (x) < 0, f 00 (x) > 0.Se sì disegnarla; se no spiegare il perché.

14. Disegnare il grafico di una funzione g che possegga tutte le seguenti pro-prietà.(i) Il dominio di g è l’intervallo [−3, 5] ;(ii) g00 (x) < 0 per tutti gli x ∈ (−2, 1) ;(iii) g00 (x) < 0 per tutti gli x ∈ (1, 2) ;


(iv) g0 (−2) < 0;(v) g (1) = 0 ma g (1) non è né massimo né minimo di g nell’intervallo[−2, 4] .

15. Disegnare il grafico di una funzione continua h che possegga tutte leseguenti proprietà.(i) h0 (x) < 0 per tutti gli x 6= 4;(ii) h0 (4) non esiste;(iii) h00 (x) < 0 per tutti gli x < 4;(iv) h00 (x) > 0 per tutti gli x > 4.

16. Supponiamo sia 1 ≤ f 00 (x) ≤ 3 per 2 ≤ x ≤ 4. Supponiamo inoltre chef 0 (2) = 5 e che f (2) = −6.

(a) Spiegare perché f 0 (3) ≤ 8;(b) Usare (a) per mostrare che f (3) ≤ 2;(c) Spiegare perché f 0 (3) ≥ 6;(d) Trovare una limitazione superiore ed una inferiore per f 0 (4) ;(e) Trovare una limitazione superiore ed una inferiore per f (4) .

17. Supponiamo che f, f 0, f 00 siano funzioni continue su R, che f 0 (2) = −1e che 0.1 < f 00 (x) < 0.5 per 2 < x < 4. Trovare una limitazione superioreed una inferiore per il valore di f 0 (3) . [Sugg.: Applicare il principio dellecorse].

18. Supponiamo che la retta y = 2x− 1 sia tangente al grafico di f nel puntox = 3 e che f 00 (x) > 0 per 0 < x < 5.

(a) Trovare f 0 (3) e f 00 (3) ;(b) Spiegare perché è vero che 7 < f (4) ;

(c) Trovare una limitazione inferiore per il valore di f (2) .

19. Supponiamo sia f (2) = 5, f 0 (2) = 2 e che la funzione f sia convessaovunque.

(a) Quante radici potrebbe avere f ? Cosa si può dire della loro localiz-zazione?

(b) Trovare una limitazione inferiore per il valore di f (0) ;

(c) Supponiamo sia f (−2) = −1. Mostrare che f (0) < 3.

20. Dire se la seguente affermazione è vera o falsa. Giustificare la risposta.

Se f (2) = 3, f 0 (2) = 1 e f 00 (2) = 0 allorail grafico di f (x) ha un flesso nel punto (2, 3) .

21. Supponiamo che sia f 0 (c) = f 00 (c) = 0 ma f 000 (c) > 0. Dire se f ha inx = c un punto di massimo relativo, minimo relativo o flesso. Spiegare ilperché.

3.3. DEFINIZIONE DI DERIVATA 137

3.3 Variazione Media ed Istantanea: Definizione diDerivata

In questo paragrafo, affronteremo le derivate da un punto di vista più formale.Data una funzione f ed un valore dell’ingresso x = a, cercheremo di spiegare checosa significa esattamente il simbolo f 0 (a). Fino ad ora abbiamo interpretatoil simbolo f 0 (a) come la pendenza della retta tangente al grafico di f nel puntox = a o come il tasso di variazione istantanea di f relativamente al puntox = a, ma rimangono aperte questioni importanti quali, ad esempio: che cosasignifica esattamente l’espressione “variazione istantanea” di una funzione in unpunto? Come è definita esattamente la retta tangente al grafico di una curva?E, più importante di tutte, come è possibile usare la formula che definisce fper calcolare - non solo stimare - i valori di f 0 ? Osserviamo ancora una volta,i problemi che vogliamo affrontare tramite un paio di esempi.

3.3.1 Il Problema della Variazione.

Esempio 73 A mezzanotte esatta, il Professor X parte sulla sua vecchia Cinque-cento. L’odometro segna zero e d il quadrante delle velocità è rotto. Consultandol’odometro e l’orologio da polso il Professor X può, ad ogni istante t (misuratoin ore), conoscere la distanza totale percorsa D (t) (in chilometri). Egli puòanche disegnare il grafico di D (t)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

km

0.5 1 1.5 2 2.5 3ore

Grafico di D (t)

Come può il Professor X calcolare la sua velocità al tempo t = 2 ?

Soluzione. La lettura dell’odometro per t = 2 non aiuta. Essa può direche egli ha percorso 100 km in 2 ore e quindi che la sua velocità media è di50 km/h, ma qual’è la sua velocità all’istante t = 2?Il Professor X può ragionare che calcolare la velocità media su di un intervallodi tempo più breve, per esempio nell’intervallo che va da t = 1.99 a t = 2 può


dare una risposta migliore. L’odometro riporta che nell’intervallo dato sonostate percorsi 0.6714 km, quindi la velocità media in quel periodo di tempo è

0.7985 km

0.01 ore= 79.85 km/h

ma questo valore non è ancora quello della velocità all’istante t = 2. ¥Riprendiamo il problema della retta tangente ad una curva. La domanda

che esso pone è la seguente

Data una curva C ed un punto P su C, descriverel’equazione della retta tangente a C in P.

Esempio 74 Qual’è l’equazione della retta tangente al grafico di f (x) = x2+xnel punto x = 2?

Soluzione. Disegniamo il grafico della curva, con una tangente plausibilenel punto (2, 6)

-4

-20

2

4

6

8

10

12

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

Grafico di x2 + x e retta tangente in (2, 6)

Dal solo grafico, come fatto in precedenza, si può stimare che il coefficienteangolare m della retta tangente R sia 5 I. Se questo è vero, l’equazione dellaControlla l’affer-

mazione retta è y = 5 (x− 2) + 6.Trovare il coefficiente angolare di R esattamente non è banale poiché cono-

sciamo un solo punto per cui passa la retta. Per cominciare, consideriamol’equazione della retta R0 che passa per due punti vicini del grafico, per esempiox = 2 e x = 2.01. Ci aspettiamo che R ed R0 abbiano coefficienti angolari simili.Conoscendo due punti di R0 è possibile calcolare il coefficiente angolare m0 dellaretta. Si ha

m =∆f

∆x=f (2.01)− f (2)

2.01− 2 =6.0501− 6

0.1= 5.01


L’evidenza numerica conferma la nostra valutazione che m = 5. ¥Il problema della retta tangente è ancora stato posto in termini intuitivi, ma

vaghi. Dobbiamo ancora chiarire che significa l’espressione “data una curva” ecome si “descrive” la retta tangente a C in P.

Dare un equazione. Spesso le curve sono descritte da equazioni (per e-sempio x2 + y2 = 9) o da funzioni (esempio f (x) = x2 + x). Altre volte sonodescritte solo graficamente o numericamente, senza una formula algebrica chele sostanzi. In quest’ultimo caso la retta tangente può essere determinata soloin modo approssimato. Se la curva C è descritta con una formula vorremmoessere capaci di trovare una formula esatta per l’equazione della retta tangentea C in P.

Ricerca di m. Una retta R è completamente determinata dal suo coeffi-ciente angolare m e dal passaggio per un punto P. Nel problema della rettatangente, il punto P è dato, rimane da determinare m. Determinare la rettatangente significa quindi determinare m.

Non esiste retta tangente. Non tutte le curve ammettono retta tangentein un dato punto P . Per esempio, il grafico di y = |x| ha uno spigolo inP = (0, 0) e quindi non ammette retta tangente in quel punto.

Esempio 75 Abbiamo valutato che la retta y = 5 (x− 2) + 6 sia tangente aC, grafico di f (x) = x2 + x nel punto x = 2. Controllare il risultato conil metodo grafico dell’ingrandimento.

Soluzione. Ecco i grafici di C e di R in quattro scale diverse

-10

0

10

20

30

40

-1 1 2 3 4 5 6x 2

4

6

8

10

12

1 1.5 2 2.5 3x


4

5

6

7

8

1.6 1.8 2 2.2 2.4x

5.6

5.8

6

6.2

6.4

1.9 1.95 2 2.05 2.1x

I grafici mostrano che C vista più da vicino, si confonde con R, come affer-mato. In particolare, poiché R ha coefficiente angolare 5 anche la curva C loha nel punto (2, 6) . ¥

I metodi grafici (ingrandimento grafico, traccia della retta a mano, e cosìvia) danno semplicemente una stima utile; per capire meglio e più chiaramenteil significato di derivata abbiamo bisogno di una definizione concisa, chiara,espressa in linguaggio matematico. Il concetto che dobbiamo introdurre perquesto scopo è quello di limite.

Cercheremo di risolvere due problemi in parallelo.

Il Problema della Retta Tangente. Sia f (x) una funzione. Trovare ilcoefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto x = x0.

Il Problema della Velocità Istantanea. Sia s = D (t) la funzione dis-tanza, percorsa per esempio da un’ automobile, come funzione del tempo t.Trovate la velocità istantanea al tempo t = t0.

Rette Secanti, Tangenti e Limiti.

Dati due punti P e Q su di una curva C, si può tracciare la retta secantepassante per P e Q. Se P e Q sono abbastanza vicini tra di loro è ragionevoleaspettarsi che la retta secante, che essi determinano, sia molto “vicina” allaretta tangente a C in P.

Se determinare il coefficiente angolare di una retta tangente è un problemanon banale, la determinazione del coefficiente angolare di una retta secante èsemplice. Se C è il grafico di f (x) e P = (a, f (a)) e Q = (b, f (b)) sono i puntisu C, allora, come mostra il grafico

si ha che il coefficiente angolare della secante da P a Q è dato da

m =∆f

∆x=f (b)− f (a)

b− a .


Figura 3.3:

In precedenza avevamo calcolato che la secante alla curva data da f (x) =x2 + x nei punti x = 2 e x = 2.01 aveva m = 5.01. Il risultato suggeriscela strategia da seguire. Porteremo la pendenza della secante a quella dellatangente, diminuendo sempre più l’ampiezza degli intervalli.

Che cosa E’ un Limite ? Il limite è uno strumento matematico usato perdescrivere il comportamento di una funzione f (x) per valori di x vicini ad unvalore assegnato x = a. Nei prossimi due paragrafi tratteremo in modo formalequesto concetto. Adesso ci limitiamo a farlo in modo informale, nel contestodegli esempi citati.

Esempio 76 Calcolare il valore del coefficiente angolare m per rette secanti ilgrafico di f (x) = x2 + x su piccoli intervalli intorno ad x = 2. Interpretare irisultati nel linguaggio dei limiti. Concludere, decidendo il valore di f 0 (2) .

Soluzione. Riportiamo di seguito i risultati relativi a vari intervalli

Coefficienti angolari m delle secanti su piccoli intervalliIntervallo [1.99, 2] [1.999, 2] [2, 2.001] [2, 2.01] [2, 2.1]

m 4.99 4.999 5.001 5.01 5.1

Per rileggere la situazione nel linguaggio dei limiti, consideriamo un inter-vallo che va da x = 2 a x = 2 + h I. Allora, la secante da x = 2 a x = 2 + h Pensare ad h

come un piccoloincremento(positivo onegativo).

ha coefficiente angolare

m =∆f

∆x=f (2 + h)− f (2)(2 + h)− 2 =

f (2 + h)− f (2)h

Il coefficiente della retta tangente a x = 2 è il valore limite che si ottienequando si manda h a zero nella frazione; in simboli


f 0 (2) = limh→0

f (2 + h)− f (2)h

Usciamo dalla teoria cercando di calcolare ciò che abbiamo scritto

limh→0

f (2 + h)− f (2)h

= limh→0

(2 + h)2 + (2 + h)− 6h

= limh→0

5h+ h2

h= limh→0

(5 + h)

= 5

¥(Il calcolo del precedente limite dovrebbe essere intuitivamente ragionevole.

Studieremo più avanti l’algebra dei limiti).

Velocità Media, Velocità Istantanea e Limiti.

Per il Professor X, il problema del tasso di variazione è quello di convertire leinformazioni sulla distanza, in informazioni sulla velocità. La soluzione di taleproblema è molto simile a quella operata per il problema delle tangenti.

La velocità media su di un intervallo di tempo è molto facile da calcolare.Come tutti sappiamo

velocita media =distanza percorsatempo trascorso

.

Il problema che rimane è quello di collegare la velocità media (su di un in-tervallo) con la velocità istantanea. Ancora una volta, il concetto di limite ci dalo strumento adatto. La velocità istantanea al tempo t0 è il limite della velocitàmedia su intervalli sempre più piccoli che contengono t0. Più succintamente:

Consideriamo l’intervallo di tempo tra t = 2 e t = 2+h. La velocità mediasu tale intervallo è data da

∆D

∆t=D (2 + h)−D (2)(2 + h)− 2 =

D (2 + h)−D (2)h

Quindi la velocità istantanea al tempo t = 2 è

limh→0

D (2 + h)−D (2)h

Supponendo, per esempio, che la formula della distanza possa essere D (t) =20t+ 15t2 avremmo il seguente calcolo

limh→0

D (2 + h)−D (2)h

= limh→0

20 (2 + h) + 15 (2 + h)2 − 100h

= limh→0

15h2 + 80h

h= limh→0

15h+ 80

= 80 .

Quindi, alle 2.00 esatte, il Professor X andava esattamente a 80 km/h.


3.3.2 Derivata: Definizione Formale.

Il problema della tangente e quello della velocità istantanea hanno rivelato diessere identici. Entrambi i problemi, così come molti altri, portano ad un limitedella stessa forma. La forma appare nella seguente definizione.

Definizione 77 Sia f una funzione definita in x = a ed in un suo intorno. Laderivata di f per x = a , indicata con f 0 (a) ,è definita dal limite

limh→0

f (x+ h)− f (x)h

Questa importantissima definizione richiede alcuni chiarimenti:f 0 (a) deve esistere? Risposta: NO. Il limite nella definizione può o

meno esistere. Se esiste, diremo che f è differenziabile per x = a o che fammette derivata per x = a. Molte delle funzioni che considereremo nel corsosono derivabili nel loro dominio. L’eccezione principale è la funzione f (x) = |x| .Lo spigolo che essa ha in x = 0 implica che essa non può avere tangente in quelpunto e quindi non è derivabile per x = 0 (vedremo il calcolo esplicito nelprossimo paragrafo).

Dividere per zero? Il limite nella definizione di derivata implica sempreche il denominatore tenda a zero; il calcolo del limite implica sempre l’uso di unqualche “trucco” . In pratica, dopo un po’ d’algebra sul numeratore, dovremmopoter essere in grado di semplificare e liberarci della quantità h al denominatoreche ci dà problemi di divisione per zero.

Altre forme. Il limite nella definizione di derivata può essere scritto inaltre forme equivalenti. Ecco le più usate:

limh→0f (a+ h)− f (a)

hlim∆x→0

f (a+∆x)− f (a)∆x

limx→af (x)− f (a)

x− a lim∆x→0∆f

∆x

A secondo della forma di f può essere più semplice o più facile usarne unao l’altra, ma tutte contengono la stessa informazione e conducono allo stessorisultato.

Rapporto Incrementale.

I quozienti nei limiti precedenti sono tutte riformulazioni della stessa idea:

Definizione 78 Per ogni funzione f, il rapporto

f (a+ h)− f (a)h

è chiamato rapporto incrementale. Esso misura il tasso di variazione mediadella funzione f dal punto x = a al punto x = a+ h.


Per capire meglio ciò che afferma, consideriamo separatamente le sue variecomponenti:

Il denominatore. La differenza h = (a+ h) − a = ∆x rappresentail tasso di variazione, o incremento, della variabile di ingresso, da x = a ax = a+ h (il cambiamento può essere sia positivo che negativo).

Il Numeratore. Quando x varia dal valore a al valore a + h , l’uscitaf (x) varia anch’essa. Il numeratore ∆f = f (a+ h) − f (a) misura questocambiamento. Così come ∆x, ∆f può avere un segno positivo o negativo.

Il Quoziente. Il quoziente misura il rapporto tra queste variazioni e rapp-resenta quindi la velocità di cambiamento di f rispetto ad x. Poiché il tasso divariazione avviene rispetto ad un intervallo in x , esso rappresenta una varia-zione media. Il segno di ∆f/∆x ci dice se x e f (x) cambiano nella stessadirezione. Se, per esempio, ∆f /∆x < 0, un incremento positivo in x produceuna variazione negativa in f (x) .

Dalla Media all’Istantaneo. Il rapporto incrementale rappresenta il tassodi variazione media sull’intervallo [a, a+ h] . Il limite

limh→0

f (a+ h)− f (a)h

è il tasso di variazione istantanea all’istante x = a.

Rapporti Incrementali e Derivate: Loro Significato in Diverse Situ-azioni. Ogni funzione f ha diverse possibili interpretazioni. Per esempio lafunzione f (x) = x2+x , che abbiamo già usato, può rappresentare il peso di unneonato x giorni dopo la nascita, l’area di un rettangolo di lati variabili, la dis-tanza percorsa al variare del tempo, o qualsiasi altra cosa. Ogni interpretazionedi f porta ad un significato diverso del rapporto incrementale. Eccone alcuniesempi. In ogni situazione, il rapporto incrementale e la derivata rappresentanovariazioni di quantità. Fate attenzione, in particolare, alle unità di misura. Lascelta delle unità di misura per x e per f (x) determinano l’unità di misura delrapporto incrementale e della derivata.

Pendenza. Su ogni grafico del tipo y = f (x) il rapporto incrementale rap-presenta il coefficiente angolare della retta secante passante per i punti (a, f (a))e (a+ h, f (a+ h)) . La derivata rappresenta il coefficiente angolare della rettatangente in x = a.

Velocità. Se y = f (x) rappresenta la posizione di un oggetto che si muoveal tempo x, allora il rapporto incrementale rappresenta la velocità media nel-l’intervallo che va da x = a a x = a + h. La derivata f 0 (a) rappresenta lavelocità istantanea al tempo x = a.

Consumo di Benzina. Supponiamo che y = g (x) rappresenti la distanzatotale percorsa (in km) dal Professor X con x litri di carburante. In tal caso,per esempio, il rapporto incrementale

g (2)− g (0)2

misura il consumo medio nell’intervallo nel quale sono stati consumati i primidue litri di carburante. Il consumo istantaneo cambia da momento a momento.


Per trovare il consumo, per esempio, per x = 2 bisogna trovare il limite. Senzauna formula esplicita per la funzione, essa non può essere calcolata.

Unità di Misura. Quali sono le unità di misura per il rapporto incremen-tale e la derivata? Dipende, ovviamente dalle unità di misura usate per x eper f (x) . Nel caso del Professor X, la distanza era misurata in chilometri, iltempo in ore quindi l’unità di misura del quoziente è di chilometri/ora per lavelocità e, nel caso del consumo di carburante di chilometri/litro.


3.3.3 Esercizi

1. Luciana viaggia da Torino a Genova. A causa di lavori sulla strada ellaguida i primi 20 km a velocità costante di 40 km/h, Quindi, per i successivi70 km,a velocità costante di 100 km/h. Si ferma poi in un’area di servizioper 200 per un caffè e guida gli ultimi 50 km alla velocità costante di80 km/h.

(a) Disegnare il grafico della distanza percorsa da Luciana come funzionedel tempo.

(b) Disegnare il grafico della velocità Luciana come funzione del tempo.

(c) Qual’è la velocità media di Luciana su tutto il viaggio?

2. Se f (1) = 2 e il tasso di variazione media di f da x = 1 ad x = 5 è 3 ,quanto vale f (5) ?

3. Se f (2) = 1 e il tasso di variazione media di f da x = −3 ad x = 2 è 4 ,quanto vale f (−3) ?

4. Vero o falso? Giustificare la risposta.

(a) La velocità è il tasso di variazione della posizione nel tempo.

(b) Se il tasso di variazione media di una funzione in un intervallo ditempo è zero, allora la funzione è costante.

(c) Se il tasso di variazione media di una funzione su ogni intervallo ditempo è 15 allora il grafico di una funzione è una retta.

5. La posizione p (t) di un oggetto (misurata in metri), al variare del tempo(misurato in secondi) è data da p (t) = 3t2 + 1.

(a) Trovare di quanto è variata la posizione dell’oggetto nell’intervallodi tempo tra t = 1 e t = 3.

(b) Trovare la velocità media dell’oggetto nell’intervallo di tempo trat = 1 e t = 3.

(c) Disegnare il grafico di g (t) quello della retta secante tra t = 1 et = 3. Trovare l’equazione della secante.

(d) Trovare la velocità media dell’oggetto nell’intervallo di tempo trat = 1 e t = 1 + h. Quale sono le unità di misura della risposta?

(e) Trovare la velocità istantanea per t = 1.

(f) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico per t = 1. Aggiun-gere questa retta al grafico del punto (c).

6. Per ognuna delle funzioni f sotto, usa il rapporto incrementale con h =0.01 per stimare il valore di f 0 nel punto assegnato.

(a) f (x) = x2 − 3x nel punto x = 3;


(b) f (x) = x1/3 nel punto x = 2;

(c) f (x) = x−2 nel punto x = 1;(d) f (x) = sinx nel punto x = 0;

(e) f (x) = cosx nel punto x = 0;

(f) f (x) = cos 3x nel punto x = π/2;

(g) f (x) = 2x nel punto x = 0;

(h) f (x) = lnx nel punto x = 1.

7. Per ognuna delle funzioni sotto, usa il grafico di g (∆x) =f (1 +∆x)− f (1)

∆xdisegnato su un piccolo intervallo centrato in ∆x = 0 per stimare f 0 (1) .

(a) f (x) = x3;

(b) f (x) = x+ 1/x;

(c) f (x) = sin (πx) ;

(d) f (x) = ex.

8. Sia f (x) =√x. Costruire una tabella con i valori di f nei punti x =

1.998, 1.999, 2.000, 2.001 e 2.002. Usare i risultati per rispondere alleseguenti domande (arrotondare i valori di f (x) alla settima cifra deci-male).

(a) Stimare i valori di f 0 (1.999) , f 0 (2) , f 0 (2.001) usando i valori tab-ulati di f ;

(b) Il rapporto (f (2.001)− f (2)) /0.001 sottostima o sovrastima il val-ore di f 0 (2)? Perché?

(c) Stimare f 00 (2) usando il risultato in (b).

9. Ripetere il problema precedente per le seguenti funzioni:

(a) f (x) = x2;

(b) f (x) = sinx;

(c) f (x) = |x| ;(d) f (x) = ex;

(e) f (x) = lnx.

10. Sia f (x) = |x| .

(a) Disegnare il grafico di f nell’intervallo [−3, 3] .(b) Spiegare perché si ha f 0 (x) =

½ −1 se x < 01 se x > 0

.

(c) Spiegare perché non esiste f 0 (0) .

11. Sia f (x) = x2.


(a) Trovare il tasso di variazione media di f tra x = 0 e x = 0.01. Usareil risultato per stimare f 0 (0) . Spiegare perché la stima è per eccesso.

(b) Trovare il tasso di variazione media di f tra x = −0.01 e x = 0.Usare il risultato per stimare f 0 (0) . Spiegare perché la stima è perdifetto.

(c) Trovare il tasso di variazione media di f tra x = −0.01 e x = 0.01.Usare il risultato per stimare f 0 (0) .

(d) Come mai la stima in (c) è più accurata di quella in (a) o in (b) ?

(e) Partendo da (c), descrivere un metodo per stimare f 0 (a) partendoda i dati tabulati.

12. Ognuno dei seguenti limiti è f 0 (a) per qualche funzione f e qualchenumero x = a. Identificare f ed a.

(a) limx→4√x− 2x− 4 ;

(b) limh→052+h − 25

h;

(c) limu→π/4cosu−√2/2x− π/4

;

(d) lims→8log2 s− 3s− 8 .

3.4. LIMITI E CONTINUITÀ. 149

3.4 Limiti e Continuità.

Nel precedente paragrafo abbiamo introdotto il concetto di limite in funzionedella definizione di derivata. Vogliamo adesso studiare più in dettaglio il con-cetto di limite ed usarlo per definire un’altra importante concetto: la continuitàdi una funzione in un punto del dominio.

3.4.1 L’Idea Base: Alcuni Esempi Semplici.

L’idea generale di limite è abbastanza semplice. Supponiamo che f sia unafunzione definita in un intorno del punto x = a, anche se non necessariamentepunto x = a. Affermare che

limx→a f (x) = L

significa, informalmente, che i valori di f (x) si avvicinano al valore L quandox si avvicina al valore a. Usando altri simboli potremmo scrivere che

f (x)→ L quando x→ a

Con altre parole:

Quando la variabile d’ingresso x tende al valore a, il valore dell’uscita f (x)tende al valore L.

Ancora, in altri termini,

f (x) ≈ L quando x ≈ a.

Osserviamo subito che le idee intuitive se servono, e servono, a capire unconcetto, un’idea, non sono definizioni formali, che daremo presto.

Cominciamo, come al solito, con alcuni esempi.

Esempio 79 Quanto vale limx→3 x2 ? Perché ?

Soluzione. La risposta non genera alcuna sorpresa. E’ ovviamente,

limx→3x

2 = 9.

La funzione quadrato si “comporta bene” nell’intorno del punto x = 3. Inparticolare f (x) ≈ 9 quando x ≈ 3. (Notare che il fatto che sia f (3) = 9 èirrilevante nel calcolo del limite). ¥

Esempio 80 L’affermazione

limx→3

x2 − 9x− 3 = 6

riguarda il limite di una certa funzione in un certo punto. Quale funzione?Quale punto? Che cosa dice l’affermazione? E’ vero o falso?


Soluzione. La funzione, che indicheremo con la lettera g, è definita dallaregola g (x) =

¡x2 − 9¢ / (x− 3) . Il punto in questione è il punto x = 3.

Da notare che la funzione g non è definita nel punto x = 3 (mentre in ognialtro punto la regola che definisce la funzione è definita). Il limite, così comescritto, afferma che, sebbene g non sia definita nel punto x = 3, i valori di g (x)tendono al valore 6 quando l’ingresso x tende al valore 3. In simboli

g (x)→ 6 quando x→ 3.

Questo è precisamente ciò che afferma il limite che abbiamo scritto. L’affer-mazione è vera?La formula di g non è di aiuto immediato poiché la funzione non è definita perx = 3. Il grafico di g è di maggior aiuto

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6x

Grafico di g (x) =x2 − 9x− 3

Esso mostra, in maniera convincente, che l’affermazione del limite è vera.Nonostante che la formula presenti un problema di divisione per zero in x = 3,la funzione g (x) tende ad assumere il valore 6 quando x tende verso il valore 3,sia da destra che da sinistra.Osserviamo infine, che il grafico di g assomiglia in modo inequivocabile a quellodella retta y = x + 3. L’algebra ci spiega, in modo elementare, il motivo: Sex 6= 3 si ha

g (x) =x2 − 9x− 3 =

(x− 3) (x+ 3)(x− 3) = x+ 3

Ripeto: l’ultima uguaglianza vale solo per x 6= 3, ma ciò è sufficiente poichésiamo interessati solo a g (x) per valori di x diversi da x = 3. Una volta eseguitala semplificazione algebrica è chiaro che

limx→3 g (x) = lim

x→3 (x+ 3) = 6.

¥Perché i Limiti Interessano.Le espressioni più semplici quali limx→3 x2 = 9 oppure limx→3 (x+ 3) = 6

illustrano che cosa intendiamo per limite, ma non ci dicono perché siamo inter-essati a questa nuova operazione. A giudicare dagli esempi precedenti i limiti


sembrano essere una complicazione senza contropartite. Questa impressione èerrata. I limiti sono uno dei concetti fondamentali dell’Analisi. Una primaragione è che funzioni con problemi nel loro dominio, come quella dell’Esem-pio precedente, si incontrano spesso in Analisi. Una seconda ragione sta nelladefinizione di derivata di una funzione.

Esempio 81 Sia f (x) = x2. Usarel a definizione per calcolare il valore delladerivata f 0 (3) . Che cosa significa il risultato graficamente?

Soluzione. Per definizione la derivata di f nel punto x = 3 è il limite delrapporto incrementale nel punto 3. Si ha perciò

f 0 (3) = limx→3

f (x)− f (3)x− 3 = lim

x→3x2 − 9x− 3 .

Sappiamo, dall’esempio precedente, che tale limite vale 6, quindi f 0 (3) = 6. Intermini grafici si ha che in x = 3 la retta tangente al grafico della funzione f ,ha coefficiente angolare 6. ¥Limiti in Pratica.Molti dei limiti che incontreremo saranno semplici e diretti da calcolare.

Mettendo insieme le risorse algebriche, geometriche, grafiche e numeriche anostra disposizione, riusciremo a dare una risposta semplice e convincente anchea quei limiti che a prima vista possono sembrare “impossibili”.

Esempio 82 Sia f (x) = sinx. Quale limite definisce f 0 (0) ?.Che cosa significail limite geometricamente? Calcolare il limite.

Soluzione. La derivata f 0 (0) è il coefficiente angolare della retta tangenteal grafico della curva y = sinx nel punto x = 0. Il valore della derivata dellafunzione in x = 0 è dato dal limite del rapporto incrementale della funzione,relativamente al punto x = 0, cioè

f 0 (0) = limx→0

sinx− sin 0x− 0 = lim

x→0sinx

x

Cerchiamo di capire il risultato di questo limite valutando il rapporto sinx/xnell’intorno dello 0. Ecco di seguito alcuni risultati numerici, arrotondati allaquinta cifra decimale.

x −0.1 −0.01 −0.0001 · · · 0.0001 0.01 0.1

sinx/x 0.99833 0.99998 1.00000 · · · 1.00000 0.99998 0.99833

I numeri suggeriscono che il valore del limite sia 1. Cerchiamo di darne unaprova formale.

Osserviamo dapprima che poiché sinx ed x sono entrambe funzioni dispari,il loro rapporto è una funzione pari. E’ allora sufficiente considerare il limitesolo per valori positivi della variabile x, che indicheremo con il simbolo

limx→0+

sinx

x= 1


Il seguente diagramma relativo alla circonferenza unitaria, ci aiuta a valutarela situazione:

Consideriamo le aree dei triangoli OCP, OEQ e del settore di circonferenzaOEP. SI ha che

area (OCP ) ≤ area (OEP ) ≤ area (OEQ) .Calcoliamo il valore di queste aree, si ha

area (OCP ) =base× altezza

2=cosx sinx

2area (OEP ) = Area circonferenza× Frazione d0arco = π × x

2π=x

2

area (OEQ) =base× altezza

2=tanx

2

ne segue che si ha

cosx sinx

2≤ x2≤ tanx

2

Poiché x > 0, moltiplicando per2

sinxsi ha

cosx ≤ x

sinx≤ 1

cosx

Quando x→ 0+ le quantità a sinistra e a destra tendono entrambe al valore1, quindi anche quella nel mezzo deve fare lo stesso. ¥

Nota 83 L’idea di limite è abbastanza sofisticata. Lo sviluppo di una definizionerigorosa e allo stesso tempo semplice da usare è stato storicamente un passo fon-damentale per dare all’Analisi un fondamento rigoroso.L’idea moderna di limite viene fatta discendere dal lavoro del matematico franceseAgostin Louis Cauchy, intorno al 1820, oltre 150 anni dopo lo sviluppo dato daNewton e Leibnitz.


Nota. Una funzione può non ammettere derivata in un punto del propriodominio. Un classico esempio di ciò è la funzione f (x) = |x| che non ammettederivata nel punto x = 0. Il prossimo esempio mostra esattamente il perché diquesta affermazione già espressa graficamente.

Esempio 84 Sia f (x) = |x| . Mostrare, usando i limiti che f 0 (0) non esiste.Soluzione. Per definizione

f 0 (0) = limx→0

f (x)− f (0)x

= limx→0

|x|x

se il limite esiste.

Per vedere che il limite non esiste consideriamo la funzione h (x) =|x|x.

Ricordando che

|x| =½

x se x ≥ 0−x se x < 0

si ha che

h (x) =

½1 se x > 0−1 se x < 0 ,

ma che h (0) non è definita. Il grafico della funzione è il seguente:

0-1 1x

Grafico di h (x) = |x| /xIl limx→0 |x| /x non esiste; non c’è un unico valore al quale h (x) tende

quando x→ 0. Il problema è quando x→ 0 da sinistra (cioè per valori negatividi x), h (x)→ −1, ma quando da destra (cioè per valori positivi di x), h (x)→ 1.Poiché il limite non esiste non può neanche esistere, di conseguenza, f 0 (0) . ¥

3.4.2 Definizione di Limite - Informale e Preciso.

Sia L un numero finito. L’espressione

limx→a f (x) = L (3.1)

significa informalmente che la funzione f (x) tende al valore L quando xtende al valore a.

L’equazione (3.1) contiene due tipi di ingredienti:


• i numeri reali a ed L;

• una funzione f definite per tutti gli x intorno ad x = a ma non necessari-amente in x = a.

Definizione 85 (Informale) Se f (x) tende ad un singolo numero L quandox tende ad a, allora limx→a f (x) = L.

Definizione 86 (Formale) Supponiamo che per ogni numero positivo ε (ep-silon), esista un numero positivo δ (delta) tale che

|f (x)− L| < ε se 0 < |x− a| < δ .

Allora

limx→a f (x) = L

Osserviamo i seguenti dati:Stima del Limite. Se limx→a f (x) = L, allora si ha che f (x) ≈ L quando

x ≈ a. Questo significa che possiamo valutare i limiti numericamente (valutandoil valore di f (x) per valori di x vicino ad a) e graficamente (tracciando il graficodi f (x) per x vicino ad a).

f (a) ? Non è un Problema. E’ un fatto importante che limx→a f (x) = Lpossa esistere anche se f (a) non è definita. Infatti, f (a) non è definita in moltesituazioni che per noi sono interessanti, quali per esempio

limx→4

√x− 2x− 4 ; lim

x→3x2 − 9x− 3 ; lim

x→0cosx− 1

x.

Nessuna di queste funzioni è “definita per x = a”. In questo senso, ilproblema di trovare il limite è quello di trovare un opportuno valore per f (a),ammesso che esista.

Non Ci Sono Garanzie. Anche se f (a) esiste, non ci sono garanzie cheesista il limx→a f (x) e neanche (quando esiste) che esso sia uguale a f (a) .L’operazione di limite non si occupa (non vede) del valore della funzione f nelpunto a . Che f (a) esista o meno la definizione di limite si riferisce solo a queivalori di x per i quali è |x− a| > 0, cioè x 6= a.

Dal Greco all’Italiano. Riportiamo a parole ciò che la definizione formaledi limite afferma:Possiamo affermare che f (x) differisce da L meno di ogni numero prescelto εrichiedendo che x disti da a per meno di δ.

Comprendere bene l’idea di limite, come ripetuto, non è banale, ma il graficoseguente può dare un idea di come ε e δ sono correlati.


Graficamente la definizione formale significa che: Per ogni ε > 0 si puòscegliere una finestra centrata nel punto (a, L) di lunghezza 2δ e di altezza 2εdalla quale il grafico di f non esce né dalla sommità che dal fondo, eccettoeventualmente che per x = a.La scelta della lunghezza δ dipende dalla scelta dell’altezza ε.

Saremo spesso informali. In un corso elementare come questo, l’approc-cio informale al limite è quasi sempre adeguato. In corsi più avanzati, unacomprensione rigorosa del concetto di limite è essenziale. In tale situazione unattento uso degli ε e δ è necessario. Noi siamo più interessati al concetto dilimite che al suo uso che alle dimostrazioni formali. Discuteremo quindi al-cune proprietà teoriche dei limiti, ma principalmente come aiuto al loro calcoloconcreto.

Limiti Destri e Sinistri.

Abbiamo introdotto la definizione di limite e ne abbiamo visto l’applicazionepiù importante: lo studio del limite di una funzione in un punto. Dobbiamoanche studiare alcune varianti del concetto di limite che sono quelle di limitesinistro, limite destro e i limiti che coinvolgono il concetto di ∞.Ci limiteremo a dare definizioni “informali” di questi concetti.

Definizione 87 (Limite sinistro) limx→a− f (x) = L significa che f (x)→ Lquando x→ a da sinistra.

Definizione 88 (Limite destro) limx→a+ f (x) = L significa che f (x) → Lquando x→ a da destra..


Esempio 89 Nell’esempio (84) abbiamo visto che se h (x) = |x| /x , la fun-zione h (x) tende a −1 o a +1 a secondo che x tenda a 0 da sinistra o da destra..Usando le definizioni sopra possiamo scrivere che

limx→0−

h (x) = −1 e limx→0+

h (x) = 1

¥Poiché questi due limiti sono diversi, abbiamo concluso che il limx→0 h (x)

non esisteva. Ne discende una conseguenza generale che stabiliamo di seguito.

Teorema 90 Il limx→a f (x) = L esiste se e solo se entrambi i limiti destro esinistro esistono e sono uguali tra di loro. In simboli

limx→a−

f (x) = L ⇐⇒ limx→a−

f (x) = L = limx→a+

f (x) .

3.4.3 Continuità.

Affermare che una funzione f è continua su un intervallo I significa, parlandointuitivamente, che “il grafico di f non presenta rotture per x ∈ I ”, o cheè lo stesso “che si può disegnare il grafico di f senza staccare la penna dalfoglio”. L’idea intuitiva, sebbene non sia una definizione, ci permette comunquedi lavorare su molte delle funzioni più semplici che incontriamo in questo corso.

Esempio 91 Ognuna delle funzioni che seguono è continua su tutto l’insiemedei numeri reali (−∞,+∞) :

f (x) = x2 ; g (x) = sinx ; h (x) =x2

x2 + 1; k (x) = |x|

Il grafico di |x| ha uno spigolo in x = 0 ma questo non distrugge la continuità.Esempio 92 Se consideriamo invece la funzione

√x si ha che questa è defini-

ta e continua nell’intervallo [0,+∞) . La funzione 1/x è definita e continuanell’insieme (−∞, 0) ∪ (0,+∞) ma non è definita nel punto x = 0. ¥

Esempio 93 Consideriamo la funzione n (x) definita graficamente qui di se-guito. Dire dove è continua n.

Soluzione. L’unica discontinuità si ha per x = −3. In particolare n ècontinua in ogni intervallo che non contenga il punto x = −3. ¥


Definizione di Continuità.

L’intuizione è sempre uno strumento fondamentale per lo studio della matema-tica, ma non è sufficiente. Per poter lavorare con tranquillità abbiamo bisognodi una definizione precisa di continuità. L’idea di limite è quella che occorre,per esprime in termini analitici il concetto geometrico intuitivo di “non rottura”del grafico, in un punto.

Definizione 94 Sia f una funzione definita in un intervallo I contenente ilpunto x = a. Se

limx→a f (x) = f (a)

allora f è continua in x = a. (Se a è l’estremo sinistro o destro dell’intervalloconsidereremo solo il limite destro e sinistro rispettivamente).Affermare che f è continua su I significa affermare che f è continua in tutti ipunti di I.

La definizione formale ci dice ancora quanto sia importante il ruolo giocatodal concetto di limite.Prestate molta attenzione ai fatti seguenti

Leggere Bene la Definizione. La definizione non afferma che f (a) èuguale a limx→a f (x) . Essa afferma che per valutare se una funzione f è con-tinua in x = a dobbiamo 1) calcolare limx→a f (x) e vedere se questo esiste omeno; 2) calcolare f (a) ; 3) controllare se i risultati ottenuti in 1) ed in 2)sono uguali tra loro. In questo caso si può affermare che la funzione è continuain x = a.In altri termini, la definizione ci dice che il comportamento di f per x = a “èprevedibile”.

Continua, Dove? Una funzione f può essere continua se consideratasu un insieme, ma discontinua se considerata su di un altro insieme. L’affer-mazione f è continua può essere tecnicamente ambigua. Essa non dice dove fè continua.Per rendere non ambiguo il suo significato assumiamo che: A meno di unaesplicita limitazione, “continua” significa “continua su tutto il dominio didefinizione”.

Limiti Facili. Trovare i limiti per funzioni continue è molto facile. Infatti,se f è continua in x = a , allora, la definizione di continuità ci dice che

x→ a =⇒ f (x)→ f (a) .

Esempio 95 Sia k (x) = x2 + 3x+ 5. Trovare il limx→2 k (x) .


Soluzione. Il problema appare facile. Né la formula né il grafico di ksuggeriscono sorprese strane nell’intorno del punto x = 2.

0

5

10

15

20

1 2 3x

Grafico di k (x) = x2 + 3x+ 5

La valutazione ovvia che limx→2 k (x) = 15 = k (2) è corretta poiché è continuaper x = 2. ¥

Discontinuità: Due Problemi Possibili.

Una funzione f è discontinua in x = a se, per qualche motivo, la condizioneposta dalla definizione non è soddisfatta. Questo è ciò che può succedere:

• Il limite limx→a f (x) non esiste; questo accade nell’Esempio (93) in x = 3per la funzione n.

• Il limx→a esiste ma è diverso dal valore di f (a) .

Il prossimo esempio illustra questa patologia

Esempio 96 Consideriamo la funzione f così definita:

f (x) =

½x se x 6= 01 se x = 0

Qual è il limx→0 f (x) ?

Soluzione. Il fatto che f (x) = 1 non è di nessuna importanza nel calcolodel limite. Poiché è f (x) = x quando x 6= 0, si ha che

limx→0 f (x) = lim

x→0x = 0 .

Si ha quindi che il valore del limite differisce dal valore della funzione nelpunto, per questa ragione, f è discontinua in x = 0. In certo senso, f ha unvalore “sbagliato” per x = 0. ¥

Qui di seguito sono presentati due problemi che riuniscono le idee di questoparagrafo.


Esempio 97 Sia

f (x) =

½bx2 + 1 se x < −2x se x ≥ −2

Quali valori di b rendono la funzione continua?

Soluzione. Perché la funzione sia continua nel punto x = −2 bisogna chesia

limx→2−

f (x) = f (−2) = −2

Verifichiamo separatamente il limite destro e sinistro. Si ha:

f (x)→ 4b+ 1 per x→ −2−

f (x)→ −2 per x→ −2+

Perché i due limiti siano uguali bisogna che sia 4b+ 1 = −2, cioè b = −3/4. ¥

Esempio 98 Interpretare

limx→0

eh − 1h

come derivata. Stimare il suo valore.

Soluzione. Se f (x) = ex, allora

limx→0

eh − 1h

= limx→0

f (h)− f (0)h

.

Allora, il limite dato è (per definizione) la derivata di f (x) = ex nel puntox = 0.Verificate usando il metodo grafico che è f 0 (0) = 1. ¥


3.4.4 Esercizi.

1. Sia f (x) =½1 , se x e un intero2 , se x non e un intero .

(a) Tracciare il grafico di f nell’intervallo [0, 5] ;

(b) Calcolare il limx→4 f (x) ;(c) Calcolare il limx→5/2 f (x) ;(d) Per quali valori di x il limite esiste? Perché?

2. Sia f la funzione il cui grafico è disegnato sotto. Usando il grafico calcolarei limiti seguenti o dire perché il limite non esiste.

Grafico di f

(a) limx→0 f (x) ;(b) limx→−3 f (x) ;(c) limx→2− f (x) ;(d) limx→2+ f (x) ;(e) limx→2 f (x) ;(f) limx→−2− f (x) ;(g) limx→1+ f (x) ;(h) limx→4+ f (x) ;(i) limx→4− f (x) ;(j) limx→3 f 0 (x) ;(k) limx→1+ f 0 (x) ;(l) limx→1− f 0 (x) ;(m) limx→−3 f 0 (x) ;(n) Su quali intervalli è continua f ?

3. Sia s (t) il coefficiente angolare della retta secante il grafico di f (x) =x2 + x dal punto x = 3 al punto x = t.

(a) Trovare la formula per s (t) ;


(b) Trovare limt→3 s (t) .

4. Supponiamo che la funzione f sia continua in x = 1 e che f (1) = −3.Quanto vale limx→3 f (x)?

5. Supponiamo che f sia continua in x = 3 e che limx→3 f (x) = 13. Direquali delle seguenti affermazioni è vera o falsa. Giustificare la risposta.

(a) 3 è nel dominio di f ;

(b) f (3) = 13 ;

(c) limx→3− f (x) = 13.

6. Sia f (x) =½sinx/x se x 6= 01 se x = 0.

Spiegare perché f è continua in 0.

7. Sia g (x) =½sinx/ |x| se x 6= 01 se x = 0.

. Dire se g è continua in x = 0

Giustificare la risposta.

8. Sia h (x) =

(sinx√1−cos2 x se x 6= 01 se x = 0.

. Dire se h è continua in x = 0

Giustificare la risposta.

9. Sia f (x) =½ax+ 1 se x < 2x2 se x ≥ .2 . Dire per quali valori di a esiste il

limx→2 f (x) .

10. Supponiamo che f sia continua in x = 2 e che f sia definita da

f (x) =

½ax2 + 3 se x < 23x− 5 se x ≥ .2

(a) Trovare il valore di a;

(b) Calcolare limx→3 f (x) ;(c) Calcolare limx→0 f (x) ;(d) Calcolare limx→2 f (x) ;(e) Calcolare limx→1 f (x) .

11. Sia g (x) =

x2 + a se x < −1x+ a2 se x = −1a− x se x > 1

.

(a) Trovare tutti i valori di a per i quali esiste il limx→−1 g (x) ;(b) Trovare tutti i valori di a per i quali g è continua in x = −1.

12. Sia h (x) =½x2 − 2 se x < bx se x ≥ .b . Trovare tutti i valori di b per i quali

esiste il limx→b h (x) .


13. Ognuno dei limiti sotto elencati rappresenta f 0 (a) per qualche funzione fe qualche valore a. Identificare f ed a ed usare il metodo dell’ingrandi-mento grafico per valutare il valore del limite.

(a) limx→0tanx

x; limx→π

sinx

x− π;

(b) limh→0cosh−1h

; limx→02x − 1x− 1 ;

(c) limh→0sin 3h

h; limx→π/2

cosx

x− π/2;

(d) limx→273√x− 3x− 27 ; limh→0

ln (h+ 1)

h.

14. Supponiamo che sia limx→a f (x) = L.Spiegare perché si ha che limh→0 f (a+ h) = L.

15. Supponiamo che sia limh→0f (a+ h)− f (a)

h= L. Spiegare perché si ha

che limx→af (x)− f (a)

x− a = L.

16. Sia f (x) = x2. Spiegare con cura ognuno dei seguenti passi per il calcolodi f 0 (1) .

(a) f 0 (1) = limx→1 x2 − 1x− 1

(b) = limx→1 (x+ 1)(c) = 2.

17. Sia f (x) = x2. Spiegare con cura ognuno dei seguenti passi per il calcolodi f 0 (3) .

(a) f 0 (3) = limh→0 (3 + h)2 − 9h

(b) = limh→06h+ h2

h(c) = 6.

18. Usare la definizione di derivata per calcolare f 0 (4) di ognuna delle seguentifunzioni:

(a) f (x) = 3 ; f (x) = 2x+ 1 ; f (x) = x2 − 3x(b) f (x) =

√x ; f (x) = x−1 ; f (x) = 3x−2.

19. Supponiamo che f (x+ y) = f (x) + f (y) + 3xy per tutti i valori reali di

x e di y. Supponiamo inoltre che limh→0f (h)

h= 37.

(a) Spiegare perché f (0) = 0 ;


(b) Trovare un’espressione simbolica di f 0 (x) .

20. Supponiamo che f 0 (2) = 3.Calcolare il valore del limh→0f (2− h)− f (2)

h.

21. Per ognuno dei limiti seguenti, usare un software per disegnare il graficodi f , in modo da trovare un valore di δ che garantisca che |f (x)− L| < εquando |x− a| < δ.

(a) limx→2 3x = 6 ; limx→1x+ 1

x+ 3= 0.5 ;

(b) limx→01− cosx

x= 0 ; limx→0

1− cos 2xx2

= 2 .

22. Nei limiti seguenti usare il valore di δ preassegnato per dimostrare i limiti.

(a) limx→2 x = 2, δ = ε ; limx→4 x2 = 16, δ = ε/10 ; limx→0 |x| =0, δ = ε;

(b) limx→1 6 = 2, δ = 0.2; limx→3x2 − 9x− 3 = 6, δ = ε.

(c) Usare la definizione formale di limite per mostrare che

limx→1 0.999999x 6= 1.

23. Sia f (x) =½x2 + 1 se x ≤ 0−x se x > 0

.

(a) Usare la definizione formale di limite per mostrare che f non ècontinua in x = 0 [Sugg. f (0)− f (x) > 1 per x > 0].

(b) Mostrare che per ogni δ > 0 esiste ε > 0 tale che |f (x)− 1| < εquando 0 < |x| < δ.

(c) Perché il risultato di (b) non dimostra la continuità di f in x = 0?[Confronta (b) con la definizione formale di limite].


3.4.5 Limiti che Coinvolgono l’Infinito.

Nel paragrafo precedente abbiamo dato la definizione di limite, lo abbiamo ap-plicato a diverse situazioni ed abbiamo infine introdotto il concetto di continu-ità. In questo paragrafo continuiamo lo studio dei limiti, introducendo un’altravariante all’idea di limite, coinvolgendo il concetto di infinito. Cercheremo an-che di dare un’interpretazione geometrica di questa estensione in termini diasintoti.

Limiti all’Infinito, Limiti Infiniti e Asintoti.

Limiti all’infinito e limiti infiniti (non sono la stessa cosa), descrivono il com-portamento di una funzione quando l’ingresso o l’uscita crescono o decresconosenza limitazione. Definizioni di tipo informale ed esempi illustreranno l’idea.

Definizione 99 (Limiti all’Infinito)limx→+∞ f (x) = L quando x→ +∞, (quando x, cioè, cresce senza limitazioni).Analogamente:

limx→−∞ f (x) = L significa che f (x)→ L quando x→ −∞, (quando x, cioè,decresce senza limitazioni).

limx→∞ f (x) = L significa che f (x)→ L quando |x|→ +∞, (quando |x| , cioè,cresce senza limitazioni).

Definizione 100 (Limite Infinito)limx→a f (x) = +∞ significa che f (x)→ +∞ quando x→ a.

Analogamente:

limx→a f (x) = −∞ significa che f (x)→ −∞ quando x→ a.

limx→a f (x) =∞ significa che |f (x)|→ +∞ quando x→ a.

Vediamo adesso alcuni esempi di applicazione delle definizioni date.

Esempio 101 Discutere il significato di ognuno dei seguenti limiti.

limx→∞1

x= 0 ; limx→0

1

x2= +∞

limx→0−1

x= −∞ ; limx→∞ sinx non esiste.

Soluzione. Il limx→+∞ sinx non esiste perché la funzione seno continuaad oscillare periodicamente tra i valori −1 ed 1 senza che si possa mai affer-mare che i valori della funzione tendano verso qualche valore definito. Perquanto riguarda gli altri tre limiti, il disegno dei loro grafici può aiutarne


l’interpretazione.

-20

-10

0

10

20

-2 2x

Grafico di y = 1/x

-20

-10

0

10

20

-2 2x

Grafico di y = 1/x2

Notare con attenzione il significato grafico di ognuno dei limiti all’infinitoe del limite infinito. Ognuno di loro corrisponde ad un asintoto orizzontale overticale. ¥

Asintoti e Limiti. La connessione tra asintoti, limiti all’infinito e limitiinfiniti può essere sintetizzata come segue:

Asintoti Orizzontali; Limiti all’Infinito. La retta orizzontale y = L èun asintoto al grafico della funzione f se e solo se f tende ad L quando x→ ±∞,cioè se

limx→+∞ f (x) = L o lim

x→−∞ f (x) = L

Asintoti Verticali; Limiti Infiniti. La retta verticale x = a è un asintotoorizzontale per il grafico della funzione f se (e solo se) f diverge quando x→ a,cioè se

limx→a−

f (x) = ±∞ o limx→a+

f (x) = ±∞

Limiti ed Asintoti per Funzioni RazionaliL’informazione dell’esistenza o meno di asintoti per una funzione è impor-

tante per capire l’andamento complessivo del grafico.. Gli asintoti orizzontaliriflettono il comportamento della funzioni per valori grandi di |x| , mentre gliasintoti verticali riflettono anomalie e punti di non definitezza al finito. Perfunzioni razionali (cioè rapporto di polinomi) il problema si presenta semplice.

Un Polinomio Può Avere Asintoti? I polinomi non hanno asintotiverticali, visto che sono definiti su tutto R. Un asintoto orizzontale si ha, in-fatti, per un valore finito di x nell’intorno del quale la funzione tende ad essereillimitata. Poiché la forma di un polinomio è la seguente

p (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anxn


essi non possono crescere illimitatamente eccetto che per x→ ±∞.Solo un polinomio costante può avere un asintoto orizzontale. Se, per esem-

pio p (x) = 4, allora il grafico di p è esso stesso orizzontale e quindi asintoto dise stesso. Inoltre, i polinomi che non siano costanti hanno la seguente proprietà:

Affermazione: Se p (x) è un polinomio non costante, allora

limx→±∞ | p (x)| = +∞

Non dimostreremo questa affermazione, ma cercheremo di illustrarla.

Esempio 102 Sia p (x) = 2x3 − 53x2 − 123x. Come si comporta p quandox→ ±∞.?

Soluzione. E’ chiaro che quando x → +∞, 2x3 → +∞, −53x2 → −∞,−123x → −∞, ma che cosa fa la somma dei tre termini? Per vedere il com-portamento complessivo, conviene mettere in evidenza il termine di potenzasuperiore, si ha

limx→+∞ 2x

3 − 53x2 − 123x = limx→+∞x

3

µ2− 53

x− 123x2

¶= lim

x→+∞x3 · lim

x→+∞

µ2− 53

x− 123x2

¶= +∞ · 2 = +∞ .

In modo del tutto simile

limx→−∞ 2x

3 − 53x2 − 123x = limx→−∞x

3

µ2− 53

x− 123x2

¶lim

x→−∞x3 · lim

x→−∞

µ2− 53

x− 123x2

¶= −∞ · 2 = −∞ .

(in ognuno dei calcoli fatti abbiamo usato il fatto che il limite del prodotto è ilprodotto dei limiti, quando questi esistono).IVedremo più

avanti questaproprietà. Algebra con il Simbolo di Infinito. Nell’esempio precedente abbiamo

usato due affermazioni che non abbiamo ancora discusso: 2 × +∞ = +∞ e2×−∞ = −∞. Qual’è il loro senso, che cosa significano? Ricordiamo che ∞ èun simbolo, non un numero, quindi dobbiamo capire meglio che cosa significamoltiplicare un simbolo per un numero. Nei due casi particolari, la rispostaappare intuitivamente chiara. Nella tavola seguente mettiamo insieme alcuneregole per l’uso del simbolo di infinito.


Espressione Significato

1/∞ = 0 OK, ma se con questo vogliamo intendere che limx→∞1

x= 0,

perché non dirlo esplicitamente?

3 ·∞ =∞ OK come notazione abbreviata. Significa che se una quantità

cresce illimitatamente, il suo triplo si comporta nello stesso modo.

+∞+∞ = +∞ OK. Se due quantità crescono illimitatamente,così fa la loro somma.

1/0 = +∞ ERRATO. La divisione per 0 non è definita;inoltre 1/x→ +∞ se x→ 0+, ma 1/x→ −∞ se x→ 0−.

+∞−∞ = 0 ERRATO. Per esempio, se x→ +∞, x2 → +∞,x→ +∞, ma x2 − x→ +∞.

∞/∞ = 1 ERRATO. Per esempio, se x→ +∞,x2 → +∞, x→ +∞, ma x2/x→ +∞.

Asintoti Orizzontali di Funzioni Razionali: Controllare la Potenzadi Ordine Maggiore. Trovare gli asintoti orizzontali delle funzioni razionalisignifica controllare i limiti all’infinito. Una semplice regola algebrica può essereapplicata:

Per trovare il limite all’infinito di una funzione razionale, met-tere in evidenza la potenza più alta di x al numeratore ed al denom-inatore.

Vediamo come funziona:

Esempio 103 Consideriamo le tre funzioni razionali

r (x) =2x3 − xx2 − 1 ; s (x) =

2x3 − xx3 − 1 ; t (x) =

2x3 − xx4 − 1 .

trovare gli asintoti orizzontali, se esistono.

Soluzione. Invece di usare i grafici (ma provate comunque a vederli usandoun qualche strumento) usiamo la strategia proposta sopra. Si ha:

r (x) =2x3 − xx2 − 1 =

x3¡2− 1/x2¢

x2 (1− 1/x2) = x2− 1/x21− 1/x2 ;

s (x) =2x3 − xx3 − 1 =

x3¡2− 1/x2¢

x3 (1− 1/x3) =2− 1/x21− 1/x3 ;

t (x) =2x3 − xx4 − 1 =

x3¡2− 1/x2¢

x4 (1− 1/x4) =1

x

2− 1/x21− 1/x4 ;


vediamo adesso che cosa accade quando x→ +∞. E’ chiaro che si ha

r (x)→ +∞ ; s (x)→ 2 ; t (x)→ 0 .

ne segue che s e t hanno asintoto orizzontale a y = 2 e y = 0 rispettivamente,mentre r non ne ha. ¥

Asintoti Verticali di Funzioni Razionali: Controllare le Radici. Seuna funzione razionale ha asintoti verticali, questi vanno cercati tra le radicidel denominatore.

Esempio 104 Siano r, s, t come sopra. Trovare gli asintoti verticali.

Soluzione. Una funzione razionale ha asintoti verticali nei punti che annul-lano il denominatore, ma non il numeratore. (Se entrambi sono zero nello stesopunto , provvedere alla semplificazione). Per trovare gli asintoti fattorizziamoil denominatore. Si ha

r (x) =2x3 − xx2 − 1 =

2x3 − x(x− 1) (x+ 1) ;

s (x) =2x3 − xx3 − 1 =

2x3 − x(x− 1) (x2 + x+ 1) ;

t (x) =2x3 − xx4 − 1 =

2x3 − x(x− 1) (x+ 1) (x2 + 1) ;

la fattorizzazione del denominatore mostra che per ognuna delle tre funzionii punti x = ±1 sono valori singolari che annullano il denominatore, ma non ilnumeratore. Ne segue che r e t hanno asintoti verticali nei punti x = 1 e x = −1, mentre s ha asintoto verticale per x = 1. Per verificare il comportamentodelle funzioni nell’intorno degli asintoti bisogna valutare i limiti destri e sinistriseparatamente, perché il risultato potrebbe essere diverso.

Sappiamo che in ogni caso il risultato è infinito, il problema è: con qualesegno? Si tratta allora di capire il segno della funzione a sinistra ed a destradell’asintoto per sapere se il risultato del limite è +∞ o −∞.

Consideriamo r (x) . A sinistra di x = −1 si ha che:

2x3 − x < 0 , x+ 1 < 0 , e x− 1 < 0 .

Quindi r (x) < 0, quindi limx→−1− r (x) = −∞. Un controllo simile sul segno dir per valori di x maggiori di x = −1 mostra che r (x)→ +∞ quando x→ −1+.

Si lascia per esercizio, la valutazione del segno delle funzioni s e t nell’intornodegli asintoti verticali.


Per finire, ecco i grafici delle tre funzioni:

-5

0

5

-4 -2 2 4x

Grafico di r

-5

0

5

-4 -2 2 4x

Grafico di s

-5

0

5

-4 -2 2 4x

Grafico di t

Asintoti per Altre Funzioni Algebriche. Così come le funzioni razionali,altre funzioni algebriche possono ammettere asintoti, esattamente con lo stessodi tipo di connessione con i limiti all’infinito ed i limiti infiniti. I calcoli perla ricerca di questi limiti possono essere meno banali di quelli che sono statinecessari per le funzioni razionali.

Esempio 105 Consideriamo la funzione f (x) =√x2 + x − x, per x > 0.

Mostrare che f ammette asintoto orizzontale.

Soluzione. Il comportamento di f (x quando x→ +∞) quando x → +∞non è ovvio dalla formula, abbiamo bisogno di usare un po’ di manipolazionealgebrica per capire il comportamento della funzione.Cominciamo con un trucco, moltiplichiamo e dividiamo per

√x2 + x+ x, si ha

limx→+∞

³px2 + x− x

´= lim

x→+∞

³√x2 + x− x

´³√x2 + x+ x

´√x2 + x+ x

= limx→+∞

x√x2 + x+ x

= limx→+∞

x

x³p

1 + 1/x+ 1´

= limx→+∞

1p1 + 1/x+ 1

=1

2.

¥

3.4.6 Algebra dei Limiti.

Quando si calcolano i limiti, si danno spesso per scontati alcuni limiti semplicio fondamentali e si cerca di ridurre i limiti più complicati a combinazioni diquelli più semplici. Il prossimo esempio illustra il processo.

Esempio 106 Calcolare il limx→+∞x2 + 3

2x2 − 5 .


Soluzione. Cerchiamo sempre di usare la manipolazione algebrica perridurre il tutto. Si ha

limx→+∞

x2 + 3

2x2 − 5 = limx→+∞

x2¡1 + 3/x2

¢x2 (2− 5/x2)

= limx→+∞

1 + 3/x2

2− 5/x2limx→+∞ 1 + limx→+∞ 3/x2

limx→+∞ 2− limx→+∞ 5/x2

=1 + 0

2− 0 =1

2.

¥Nei calcoli precedenti, abbiamo usato diversi passaggi, apparentemente plau-

sibili: limx→+∞ 3/x2 = limx→+∞ 5/x2 = 0, il limite del quoziente uguale alquoziente dei limiti, ed infine che il limite della somma è la somma dei limiti.

Il seguente teorema giustifica i passaggi fatti sopra e ci dice come comportar-ci rispetto alle singole operazioni algebriche. FARE ATTENZIONE a come ilteorema è enunciato.

Teorema 107 (Algebra dei Limiti) Supponiamo che sia

limx→+a f (x) = L e lim

x→+a g (x) =M ,

dove L ed M sono numeri finiti. Sia k una costante. Si ha:

(i) limx→+a k f (x) = k L

(ii) limx→+a [f (x) + g (x)] = L+M

(iii) limx→+a f (x) · g (x) = L ·M

(iv) limx→+af (x)

g (x)=L

M(se M 6= 0)

Osservazioni sul Teorema.Perché valgono. Sebbene intuitive, le dimostrazioni rigorose delle regole

descritte dal Teorema hanno bisogno di un uso delle regole ε − δ. In questocorso salteremo le dimostrazioni, ma una dimostrazione tipica di questo tipo èdescritta nell’Appendice I.

Limiti che Coinvolgono l’Infinito. Tutte le regole che abbiamo enun-ciato valgono anche per i limiti all’infinito, (cioè per x → ±∞) Esse valgonoanche per i limiti infiniti (cioè quando L = ±∞) tenendo conto delle cautelelegate alle regole dell’algebra degli infiniti.

Limiti “Noti”. Usando le regole algebriche per i limiti, possiamo risolverei limiti dati sempre che si conoscano i risultati di limiti più semplici. Per


cominciare, considereremo noti i seguenti limiti:

Limiti Noti

limx→0 |x| = 0limx→a x = a per ogni reale a

limx→∞ xn =∞ per ogni n > 0

limx→±∞1

xn= 0 per ogni n > 0

Algebra delle Funzioni Continue

Se f e g sono funzioni continue, è ragionevole pensare che la somma, il prodotto,il quoziente di funzioni continue, sia continuo. In realtà è così perché la conti-nuità è definita attraverso il concetto di limite e quindi valgono le proprietà delconcetto di limite. Il seguente teorema chiarisce quanto detto sopra:

Teorema 108 (Algebra delle Funzioni Continue). Supponiamo che f e gsiano funzioni continue in x = a. Allora, ognuna delle seguenti funzioni

f + g f − g ; e f · gè continua in x = a.Se g (a) 6= 0, allora anche f/g è continua in x = a.

Dimostrazione. Ognuna delle proprietà descritte sopra segue direttamentedalle proprietà dei limiti. La prima per esempio, si dimostra così:

limx→a (f + g) (x) = lim

x→a f (x) + limx→a g (x) = f (a) + g (a) = (f + g) (a) .

Il risultato ottenuto è ciò che occorre per mostrare che la funzione f + g ècontinua in x = a.

Composizione, Limiti e Continuità I limiti coinvolgono spesso funzioniche sono costruite per composizione. E’ quindi utile sapere come interagisconole operazioni di limite e di composizione. Cominciamo, come sempre, a vederealcuni esempi.

Esempio 109 Discutere e trovare ognuno dei seguenti limiti.

L1 = limx→0 ln (cosx) ; L2 = lim

x→0 lnµsinx

x

¶; L3 = lim

x→+∞ expµx+ 1

x+ 2

¶.

Soluzione. Il primo limite è facile:

Quando x→ 0, cosx→ cos 0 = 1 , quindi ln (cosx)→ ln (cos 0) = ln 1 = 0 .


Com’è che le cose hanno funzionato senza problemi? Perché le due funzionicoinvolte nel limite, cosx e lnx sono funzioni continue nel loro dominio, ed inparticolare nel punto scelto. Quando x → 0, cosx → cos 0 perché la funzionecoseno è continua in x = 0; quando cosx → 1, ln (cosx) → ln 1 perché lafunzione lnx è continua in x = 1.

Per trovare L2, ragioniamo in modo simile. Ricordiamo dapprima chequando x→ 0, (sinx) /x→ 1, quindi

Quando x→ 0,sinx

x→ 1, quindi ln

µsinx

x

¶→ ln 1 = 0.

La continuità ci aiuta ancora, poiché la funzione lnx è continua in x = 1, si hache

sinx

x→ 1 =⇒ ln

µsinx

x

¶→ ln 1 .

Il limite L3 è un limite “all’infinito”, ma si applicano per lui le stesse regoleche valgono per L1 ed L2 :

x→ +∞ =⇒ x+ 1

x+ 2→ 1 =⇒ exp

µx+ 1

x+ 2

¶→ exp (1) = e .

Ancora una volta, la chiave per risolvere il problema è la continuità. La secondaimplicazione vale perché la funzione esponenziale è continua in x = a. ¥

Limiti di Funzioni Continue: un Principio Generale. Alle tre fun-zioni dell’esempio precedente si applica lo stesso principio fondamentale chestabiliamo adesso nella sua forma generale (la sua dimostrazione formale, cheomettiamo, fa ricorso alla definizione ε− δ di limite):

Teorema 110 (Limite della Composizione di Funzioni). Siano f e gfunzioni tali che limx→a g (x) = b e f è continua in x = b. Allora,

limx→a (f ◦ g) (x) = lim

x→a f (g (x)) = f³limx→a g (x)

´= f (b) .

Composizione di Funzioni Continue. Ricordiamo che, per definizione,una funzione f è continua in x = a se e solo se limx→a f (x) = f (a). Con questadefinizione ed il teorema precedente è facile dimostrare che la composizione difunzioni continue è continua. Più precisamente:

Teorema 111 Supponiamo che g sia continua in x = a ed f sia continua ing (a) . Allora f ◦ g è continua in x = a.

Dimostrazione. Se x→ a, g (x)→ g (a) poiché g è continua in a. Quandog (x)→ g (a) , f (g (x))→ f (g (a)) perché f è continua in g (a) .Mettendo tuttoinsieme si ha:

x→ a =⇒ (f ◦ g) (x)→ (f ◦ g) (a) .Questo è quanto dovevamo dimostrare.


Limiti e Disuguaglianze: Il Principio della Compressione (o dei Cara-binieri o del Sandwich). Le regole algebriche sui limiti non aiutano quandosi tratta di calcolare limiti del tipo

limx→0x · sin

µ1

x

¶e lim

x→∞sinx

x.

Il prodotto dei limiti non si applica al primo caso perché il termine sin (1/x) nonha limite quando x → 0 ed il secondo perché sinx non ha limite per x → ∞.Proviamo a calcolarli direttamente.

L’idea è quella di trovare due disuguaglianza in modo da “comprimere”la funzione che ci interessa tra due funzioni più semplici. Nel primo caso,

ricordando che per ogni x è −1 ≤ sinµ1

x

¶≤ 1, si ha che per ogni x è vero che

− |x| ≤ x sinµ1

x

¶≤ |x| .

Tracciamo il grafico, per convincersi che le disuguaglianze sono vere:

Limite per Compressione

Quando x → 0 i termini sinistro e destro delle disuguaglianze tendono a

zero. Compresso tra − |x| e |x| il termine x sinµ1

x

¶ha una sola possibilità:

x sin

µ1

x

¶→ 0 quando x→ 0 .

Enunciamo adesso un Teorema generale. Il grafico precedente lo renderagionevole; noi omettiamo la dimostrazione formale.


Teorema 112 (Il Principio di Compressione). Supponiamo che si abbia

f (x) ≤ g (x) ≤ h (x)

per tutti gli x in un intorno di x = a. Se limx→a f (x) = limx→a h (x) = L ,allora si ha

limx→a g (x) = L .

Nota. Il Principio della Compressione è concettualmente facile da com-prendere; la parte difficile, in pratica, è scegliere le funzioni f e h in modoconveniente.

Esempio 113 Calcolare limx→+∞ x sinµ1

x

¶.

Soluzione. Vediamo dapprima cosa ci dice il grafico della funzione pervalori di x grandi

.9984

.9986

.9988

0.999

.9992

.9994

.9996

.9998

1

20 40 60 80 100x

Grafico di x sin (1/x) per grandi valori di x

L’intuizione ci dice che la funzione tende al valore 1. Cerchiamo adesso diverificare algebricamente il risultato.

Quando x→ +∞, 1/x→ 0, quindi si ha che

limx→+∞

sin (1/x)

1/x= 1 ,

masin (1/x)

1/x= x sin (1/x) , da cui segue che

sin (1/x)

1/x

limx→+∞x sin (1/x) = 1 .

¥


3.4.7 Esercizi

1. Usare la calcolatrice (o il calcolare) per stimare i seguenti limiti.

(a) limx→+∞3

x2; limx→+∞

5√x; limx→+∞

x2 + 1

x; limx→−∞

x2 + 1

x;

(b) limx→0+√x

x; limx→0+ x log10 x ; limx→0+ sin (sinx) ;

(c) limx→+∞2x

x2, limx→−∞

2x

x2; limx→+∞

x2

2x; limx→−∞

x2

2x.

2. Usare i grafici per valutare se i seguenti limiti esistono. Stimare il valoredi quelli che esistono

(a) limx→+∞2000x

100x2 + sinx; limx→−∞

3x − 32x − 2 ; limx→+∞

3x − 32x − 2

(b) limx→01− cos2 (3x)

x2; limx→0

1− cosxx

.

3. Supponiamo che limx→1 f (x) = 4 e limx→1 g (x) = −3. Usare questeinformazioni per calcolare i seguenti limiti

(a) limx→1 (f (x) + g (x)) ;(b) limx→1 (f (x)− g (x)) ;(c) limx→1

f (x) + 2

f (x) g (x).

4. Sia f (x) = 3√x. spiegare perché limx→0 f 0 (x) =∞.

5. Supponiamo che f (x) sia una funzione periodica non costante. Spiegareperché limx→±∞ f (x) non esiste.

6. Disegnare un possibile grafico di una funzione che possiede tutte le pro-prietà elencate.

(a) i. f ha come dominio (−7,+∞) ;ii. f ha rango (−∞, 3) ;iii. f (−1) = 0 ; f (0) = 0 ; f (5) = 0;iv. limx→−7+ = −∞ ;v. limx→2 f (x) = −3 ;vi. limx→+∞ f (x) = 2 .

7. Disegnare un possibile grafico di una funzione che possiede tutte le pro-prietà elencate.

(a) i. f ha come dominio R;ii. f ha immagine (−3,+∞) ;iii. limt→2 f (t) = −2;


iv. limt→+∞ f (t) = −3;v. limt→−∞ f (t) = 3.

8. Sia P = (0, 1) e Q un punto mobile sull’asse delle x. Sia r la retta passanteper P e Q.

(a) Trovare come varia il coefficiente angolare m di r al variare di Q;

(b) Trovare il limite quando il punto Q→ ±∞ ;

(c) Supponiamo che Q tenda verso l’origine, si può affermare che esisteun limite per m ? Giustificare la risposta.

9. Sia O = (0, 0) e Q un punto mobile sulla retta y = 2x + 3.Sia r la rettapassante per O e Q.

(a) Trovare come varia il coefficiente angolare m di r al variare di Q;

(b) Trovare il limite quando la coordinata x del punto Q→ ±∞.

10. Mostrare che esiste un solo valore di k ≥ 1 per il quale limx→0 sin (2 sinx)xk

esiste finito. Trovare il valore di k e calcolare il limite.

11. Siano p (x) = (x+ 1) (2− x) e q (x) = x15 − 7x14+46. Calcolare ognunodei seguenti limiti

(a) limx→−∞ p (x) ; limx→+∞ p (x) ;(b) limx→−∞ q (x) ; limx→+∞ q (x) .

12. Supponiamo che r (x) sia un polinomio di grado n tale che limx→−∞ r (x) =limx→+∞ r (x) = −∞. Si può dire se n è pari o dispari? Spiegare il perché.

13. Sia h una funzione che ha un asintoto verticale in x = 3 e tale chelimx→−∞ h (x) = +∞, mentre limx→+∞ h (x) = −1.(a) Dire se h possiede un asintoto orizzontale e qual è.

(b) Può h essere una funzione razionale? Spiegare la risposta.

14. Ogni funzione razionale r (x) si comporta all’infinito come axn, con a ∈ Re n intero, nel senso che

limx→±∞

r (x)

axn= 1 .

Per esempio r (x) =x

1− x2 si comporta come −x−1, infatti si ha

limx→±∞

x

1− x2−x−1 = lim

x→±∞−x21− x2 = lim

x→±∞−x2

−x2µ1− 1

x2

¶= lim

x→±∞1

1− 1

x2

= 1


Trovare i valori appropriati di a e di n per le funzioni razionali seguenti:

(a) p (x) =4x2 + 3x

3x4 + 2x2 − 6;

(b) q (x) =x4 − 4x3 + 5x2 − 6x+ 7

3x4 − 6x2 + 8 ;

(c) r (x) =2x5 − 3x4 + 4x3 − 5x2 + 6x− 7

3x2 − 4x+ 5 .

15. Calcolare i seguenti limiti

(a) limx→+∞√x2 + 1− x ; limx→−∞

√x2 + 1− x;

(b) limx→+∞√x2 + x− x ; limx→−∞

√x2 + x− x.

16. Dare esempi di polinomi p (x) e q (x) con limx→+∞ p (x) = limx→+∞ q (x) =+∞, tali che:

(a) limx→+∞p (x)

q (x)= +∞ ;

(b) limx→+∞p (x)

q (x)= 2 ;

(c) limx→+∞p (x)

q (x)= 0 ;

(d) limx→+∞p (x)

q (x)= 1;

(e) limx→+∞ (p (x)− q (x)) = 3.

17. Sia p (x) = axn + q (x), dove q (x) è un polinomio di grado m < n.

(a) Quanto vale limx→+∞q (x)

xn?

(b) Quanto vale limx→−∞q (x)

xn?

(c) Se a > 0 e n è pari quanto vale il limx→+∞ p (x) ?

(d) Se a > 0 e n è pari quanto vale il limx→−∞ p (x) ?

(e) Come rispondereste a (c) e (d) se n è dispari?

18. Spiegare perché limx→+∞ cosx non esiste.

19. calcolare i seguenti limiti, se esistono:

(a) limx→+∞sinx

x;

(b) limx→+∞x3

2 + cosx.


20. Supponiamo che limx→a f (x) e limx→a g (x) non esistano. Trovare duefunzioni f e g tali che i seguenti limiti esistono, oppure spiegare perchénon è possibile.

(a) limx→a (f (x) + g (x)) ;

(b) limx→a (f (x) · g (x)) .

21. Sia f una funzione definita su R. Quali delle seguenti affermazioni èsicuramente vera, potrebbe essere vera, è sicuramente falsa?

(a) limx→a f (x) = f (a) ;

(b) Se limx→0f (x)

x= 2, allora f (0) = 0 ;

(c) Se limx→0f (x)

x= 1, allora limx→0 f (x) = 0 ;

(d) Se limx→1− f (x) = 1 e limx→1+ f (x) = 3, allora e limx→1 f (x) = 2;

(e) Se limx→2 f (x) = 3 allora 3 è un elemento del rango di f ;

(f) Se limx→0f (x)− f (0)

x= 3, allora f 0 (0) = 3.

Le Derivate - UniFIweb.math.unifi.it/users/zecca/Sci-Forma/Funzioni-3.pdf · mento di quantità che...

Documents

Transcript of Le Derivate - UniFIweb.math.unifi.it/users/zecca/Sci-Forma/Funzioni-3.pdf · mento di quantità che...