le caratteristiche - · o DEVIAZIONE STANDARD ... variabilità assoluta? E maggior variabilità...

• © Metodologia della ricerca in psicologia clinica - Dott. Luca Filipponi

• 1

Consentono di descrivere la variabilità all’interno

della distribuzione di frequenza tramite un unico valore

che ne sintetizza le caratteristiche


• 2

 SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO  DIFFERENZA INTERQUARTILICA  VARIANZA  SCARTO QUADRATICO MEDIO

o DEVIAZIONE STANDARD  COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

 CAMPO DI VARIAZIONE

Il campo di variazione è dato dalla differenza tra il valore maggiore e quello minore

della distribuzione di frequenza osservata

min max x x CV - =

CAMPO DI VARIAZIONE


• 3

Esempio 11 ragazzi di 8 anni hanno ottenuto ad un test la seguente serie di punteggi:

23 45 34 57 23 57 48 38 38 54 48

Definire il campo di variazione 23 23 34 38 38 45 48 48 54 57 57

CV=57-23 =34

Limiti

Troppo sensibile ai valori estremi

Dà poche indicazioni

Viene usato solo in modo generico


• 4

La differenza interquartile è data dalla differenza

tra il terzo e il primo quartile

DI (o Q ) = Q3 - Q1

DIFFERENZA INTERQUARTILE

E’ analoga al campo di variazione ma tiene conto

soltanto dei valori che cadono tra il 1° e 3° quartile

(cioè del 50% della distribuzione)

Q1 Q3


• 5

Limiti

E’ un indice che non tiene conto di cosa

accade all’interno della distribuzione

(casi centrali) e agli estremi distribuzione

Esempio  15 soggetti hanno espresso il loro grado di adesione (punteggio da 1 a 7) alla seguente affermazione: “Meglio cento anni da pecora che un

giorno da leone” 1 5 4 6 7 2 5 6 3 1 2 4 4 7 7

Trovare il 1°, e il 3° quartile


• 6

414115posQ1 =⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

1234115posQ3 =⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

DI (o Q ) = Q3 - Q1 = 6 – 2 = 4

Punteggi f fcum

1 2 2 2 2 4 3 1 5 4 3 8 5 2 10 6 2 12 7 3 15

Q1 = 2

Q3 = 6

 Per ottenere un indice unico e sintetico di dispersione

dei dati è necessario che i dati siano misurati

su scale metriche  a intervalli equivalenti

o a rapporti equivalenti

INDICI DI DISPERSIONE


• 7

Si può ottenere un indice di dispersione che tenga conto del contributo dei singoli casi:

a.   si calcolano gli scarti dei valori osservati dalla media

b.   si fa una media di questi scarti

Poiché la somma degli scarti dalla media è zero, sommo gli

scarti in valore assoluto:

n

MxSSM

n

1ii∑

=

−=

SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO


• 8

Esempio Ad un test di personalità, 10 adolescenti hanno ottenuto i seguenti punteggi:

8 9 5 4 7 8 9 7 4 3

Calcolare lo scostamento semplice medio

6.410

349874598M =++++++++

=

1.9510

3.4...1.42.61.610

6.43...6.456.496.48SSM

=−++−++

=

=−++−+−+−

=

Calcolo la media:


• 9

Poiché la somma degli scarti dalla media è zero,

sommo gli scarti elevati al quadrato:

( )

n

Mxs

n

1i

2i

2∑=

−=

VARIANZA


8 9 5 4 7 8 9 7 4 3

Calcolare la varianza


• 10

M = 6.4 (vedi es. precedente)

( ) ( ) ( ) ( )

4.4410

11.56...1.966.762.5610

6.43...6.456.496.48s2222

2

=++++

=

=−++−+−+−

=

La varianza non è mai negativa

f

M x

Minore è la varianza più i casi sono concentrati attorno alla media

x

f

M

Maggiore è la varianza più i casi sono dispersi attorno alla media


• 11

Radice quadrata della Varianza: indice di dispersione con unità di

misura uguale alla media. Indica di quanto, mediamente, i dati osservati si discostano

dalla loro media.

( )

n

Mxs

n

1i

2i∑

=

−=

SCARTO QUADRATICO MEDIO (DEVIAZIONE STANDARD)


8 9 5 4 7 8 9 7 4 3

Calcolare la deviazione standard


• 12

( ) ( ) ( ) ( )

2.114.4410

11.56...1.966.762.5610

6.43...6.456.496.48s2222

==++++

=

=−++−+−+−

=

M = 6.4 (vedi es. precedente)

Talvolta si scrive M ± s nel riportare le statistiche descrittive di un gruppo

di soggetti Esempio Si può dire che i 10 adolescenti al test di personalità ottengono

una media di 6.4 ± 2.11


• 13

Esistono formule che consentono il calcolo partendo direttamente

dai dati grezzi:

VARIANZA e DEVIAZIONE STANDARD

non occorre calcolare la media e i singoli scarti

2n

1ii

n

1i

2i

n

x

n

xs

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑∑==

Deviazione standard

2n

1ii

n

1i

2i

2

n

x

n

xs

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑∑==

Varianza


• 14

Analoghe alle precedenti: 2n

1ii

n

1i

2i xxn

n1s ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑∑

==

Deviazione standard

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑∑

2n

1i

n

1

2i2

2 xxnn1s

Varianza

Esempio Ad un test di personalità, 10 adolescenti hanno ottenuto i seguenti punteggi: 8 9 5 4 7 8 9 7 4 3

Calcolare la varianza e la deviazione standard utilizzando le formule con i dati grezzi


• 15

DEVIAZIONE STANDARD

2.114.4440.9645.4

103...598

103...598s

22222

==−=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++−

++++=

1

( )[ ] ( )

2.1121.1101444

10140964540

101

3..5893...59810101s 22222

===−=

=++++−++++⋅=

2

VARIANZA

4.4440.9645.410

3...59810

3...598s22222

2

=−=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++−

++++=

1

( )[ ] ( )

[ ] 4.44x444100140964540

1001

3..5893...598101001s 222222

==−=

=++++−++++⋅=

2


• 16

ESEMPIO

Σ(xi-M)2=10 Σ(xi-M)=0 Σxi2=55 Σxi=15

4 (5-3)=2 25 5 1 (4-3)=1 16 4 0 (3-3)=0 9 3 1 (2-3)=-1 4 2 4 (1-3)=-2 1 1

(xi -M)2 (xi -M) xi2 xi

( )

N

Mxs

N

1i

2i∑ −

= =

Con la formula

CALCOLO DI VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

1.41510s ==

Deviazione standard

2(1.41)s 22 == Varianza


• 17

Con la formula 2N

1ii

N

1i

2i

N

x

N

xs

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ∑−

∑= ==

Deviazione standard 1.41

515

555s

2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

Varianza 2911515

555s

22 =−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

Con la formula 2n

1ii

n

1i

2i xxN

N1s ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∑−∑===

Deviazione standard ( ) 1.41155(55)

51s 2 =−=

Varianza

( )[ ] 2(50)251155(55)

51s 22

2 ==−=


• 18

•  Il coefficiente di variazione sintetizza il rapporto tra Media e Deviazione Standard

100MsV ⋅=

COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

•  Determina la dispersione dei dati osservati mediante l’uso della Media come unità di misura

•  E’ un indicatore di variabilità relativa

Esempio Le medie e le deviazioni standard ad un test di motivazione al lavoro dei lavoratori di due aziende sono rispettivamente:

M1=84±7 e M2=68±6

Quale è l’azienda con maggior variabilità assoluta?

E maggior variabilità relativa?


• 19

 s1= 7 > s2= 6

La 1° azienda ha una maggiore variabilità assoluta

M1=84±7 e M2=68±6

La 2° azienda ha una maggiore variabilità relativa

8100847V1 ≅⋅= 9100

686V2 ≅⋅=

  V1=8 < V2=9

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