Lavori di gruppo per il corso di Storia della

Matematica

Angela Capobianchi Rosa Castronovo Mara Fanti

2 maggio 2017

1 Costruire con GeoGebra la prima e la se-

conda curva disegnate dal compasso di Car-

tesio cioe, con riferimento alla figura, la

curva tracciata dai punti D ed F.

Il compasso di Cartesio e rappresentato in figura dalle rette in figura.Esso si costruisce nel seguente modo:

• Si prende una semiretta qualsiasi e si mantiene fissa (in figura e la rettaAC)

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• si traccia una circonferenza di raggio OA e centro O.

• Si prende una semiretta avente origine O inclinata di un angolo a pia-cere rispetto alla semiretta fissa. Questa retta puo ruotare (in figura ela retta BD)

• il punto B e dato dall’intersezione della semiretta con la circonferenza.Si ottiene che A e B sono equidistanti dall’origine O delle due semirette.

• Si traccia la perpendicolare alla retta BD passante per B (l’intersezionecon OA fornisce il punto C).

• Si traccia la perpendicolare ad OA passante per il punto C. L’interse-zione di tale retta con la retta mobile ci permette di trovare il puntoD.

• Si traccia la perprendicolare alla semiretta OB passante per D e si trovaE come prima

• Si traccia la perpendicolare alla retta OA passante per E e si trova ilpunto F. Si e cosı ottenuto il Compasso di Cartesio. Al ruotare dellaretta mobile le ”squadre” (date dalle rette perpendicolari tracciate innero) si muovevano spingendo ognuna la successiva.

In particolare i punti D ed F tracciano, durante questo movimento,due curve, note come la prima e seconda curva di Cartesio.Il luogo dei punti descritto da B al ruotare della semiretta intorno alpunto fisso O invece individua, ovviamente, una circonferenza.

• Con il comando ”locus”, presente nel terzo menu a tendina di Geo-Gebra a partire da sinistra, si trovano le curve descritte da D ed F(selezionando rispettivamente i punti D e B e nel secondo caso F e B)

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2 Dati i segmenti a e b, determinare, con il

compasso di Cartesio, due medie propor-

zionali tra a e b, ovvero due segmenti x e

y tali che a:x=x:y=y:b.

Si prendano 2 segmenti a e b (come in figura).Per determinare due segmenti x e y medi proporzionali tra due lati a e b conil compasso di Cartesio si procede nel seguente modo:Si considerino i triangoli CBY e DYC. Essi sono simili per i criteri di simi-litudine. Infatti hanno entrambi un angolo retto. 1 Inoltre YB=YC sempreper costruzione. L’angolo in Y invece e in comune.Similmente si procede per verificare che CBY e DBC sono simili.Si ottiene dunque che BC e medio proporzionale a BD e BY. Si puo osservareche, in generale, dato il compasso di Cartesio, si ha che CBY, DYC, EYD,FYE, GYF e HYG sono simili e rettangoli.Si ha pertanto la seguente serie di proporzioni geometriche continue:

Y B

Y C=

Y C

Y D=

Y D

Y E=

Y E

Y F=

Y F

Y G=

Y G

Y H

Tutti i lati presi in esame dimostrano di essere medi proporzionali fra di essi,si sono trovati cosı non 2 ma una serie di 12 lati Medi Proporzionali attra-verso l’apertura del compasso.

1Si veda la costruzione del Compasso di Cartesio, Sezione 1

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Ad ogni modo, tornando all’esercizio, si ha che i segmenti x e y ricercatisono tali che : x = Y C e y = Y D, per i criteri di similitudine fra triangoli.Dunque a : x = x : y = y : b

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3 Dati i segmenti a e b, determinare, con il

compasso di Cartesio, tre e quattro medie

proporzionali tra a e b.

3 MEDIE PROPORZIONALI:

Dati due segmenti a e b come in figura, i segmenti x,y e z medi proporzionalitra i due, per le similitudini tra i triangoli e per le osservazioni fatte nellasezione 2, sono tali che: x = Y C, y = Y D e z = Y E.Si ha dunque a : x = x : y = y : z = z : b

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4 MEDIE PROPORZIONALI:

S sta cercando a : x = x : y = y : z = z : t = t : bPer i criteri di similitudine fra triangoli si ottiene che x = Y C, y = Y D,z = Y E, t = Y F .

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4 Determinare le equazioni della prima e del-

la seconda curva di Cartesio

equazione prima curva cartesio:

Per ogni punto B consideriamo la semiretta OB, la retta BD perpendicolarea OB e la retta DC perpendicolare a r.Il luogo dei punti C descrive una curva la cui equazione, scegliendo comeorigine il centro della circonferenza come asse delle x la retta r e come unitail raggio della circonferenza, , si determina immediatamente:sia x = OD e y = DC.

x2 + y2 = OC2

ma, (OC) ⇤ (OB) = OD2 ed, essendo OB=1, si ricava

OC = x2

e quindi l’equazione della curva e di quarto grado

x2 + y2 = x4

equazione seconda curva cartesio:Si procede iterando il procedimento. Per ogni punto C di coordinate (a,b)

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della curva ottenuta, costruiamo la retta OC, la sua perpendicolare CF ela perpendicolare a r, FE. Il luogo descritto da E e una nuova curva la cuiequazione si calcola a partire dall’equazione precedente. Abbiamo intantoessendo simili i triangoli OCD e OEF

bx� ay = 0

Consideriamo ora il triangolo rettangolo CFE , risulta CF 2 = by, e d’altraparte,guardando al triangolo rettangolo OCF, CF 2 = x(x � a). Otteniamoquindi

ax+ by = x2

ricaviamo da queste equazioni a e b in funzione di x e y

a = x3/(x2 + y2)

b = x2y/(x2 + y2)

Sostituiamo questi valori nell’equazione della curva: a2 + b2 = a4. Troviamocosı l’equazione del secondo luogo

(x3/x2 + y2)2 + (x2y/x2 + y2)2 = (x3/x2 + y2)4

cioe(x2 + y2)3 = x8

che e di grado 8.

In generale se F(x,y)=0 e l’equazione del luogo n-esimo, quella del luogosuccessivo e

F (x3/x2 + y2, x2y/x2 + y2) = 0

In generale le equazione dei vari luoghi sono:

x2+y2 = x4, (x2+y2)3 = x8, (x2+y2)5 = x12, (x2+y2)7 = x16, (x2+y2)9 = x20ecc..

Ognuna di queste equazioni rappresenta una curva che si puo ottenere con ilcompasso cartesiano.

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5 Costruire con GeoGebra la curva prodotta

applicando il meccanismo di Cartesio a una

retta, a una circonferenza e a una parabola.

Riportiamo qui di seguito il MECCANISMO DI CARTESIO:

Il meccanismo di Cartesio produce una nuova curva a partire da una vec-chia, nella maniera seguente.Si consideri un piano fisso, di coordinate cartesiane ortogonali x, y e un pianoche scorre sul precedente, in direzione parallela all’asse delle y, di coordinatecartesiane ortogonali X, Y, legate alle precedenti dalle equazioni :

X = xa

Y = yt

dove a e una costante e t una variabile. Si consideri sul piano variabile uncurva e si intersechi questa curva con la retta congiungente l’origine O delpiano cartesiano fisso con l’origine O’ del piano cartesiano variabile.La curva descritta da tali intersezioni si dice prodotta applicando il mecca-nismo di Cartesio alla curva assegnata sul piano variabile.

Come richiesto dalla consegna, applichiamo il meccanismo di Cartesio a unacirconferenza, a una retta e a una parabola.

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Procedimento applicato alla circonferenza:

• Si prende una retta (in figura la retta blu) e si prende un punto su essa(C)

• Si traccia la perpendicolare passante per C a tale retta. Sulla perpen-dicolare si prende il punto O’

• Si prende un punto O qualsiasi e si traccia la semiretta passante per Oe O’

• Si prendano due punti qualsiasi ( D ed E) e , con l’apposito strumentodi Geo Gebra, nel menu delle circonferenze, si traccia una circonferenzadi cento O’ e raggio DE

• Si prende l’intersezione tra tale circonferenza e la semiretta OO’

• Al muoversi di O’ su tale retta viene individuata la curva rosa in figura,che e stata tracciata con l’apposito strumento ”locus”

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procedimento applicato a una retta:

Si procede nel seguente modo:

• Si traccia una retta qualsiasi, in figura blu e si prende su di essa ilpunto C

• Si prende O’ su tale retta e O qualsiasi, in figura e preso sulla rettablu. Si tracci la retta OO’ ( tratteggiata in figura).

• Si prendono due punti qualsiasi D ed E e si traccia una circonferenzadi centro O’ e raggio DE. L’intersezione con la retta perprendicolarefornisce il punto F.

• Si prende un punto qualsiasi sulla circonferenza (G) e si traccia unaretta tangente alla circonferenza passante per G.

• H e l’intersezione tra tale retta e OO’

• al muoversi di O’ sulla retta su cui e vincolato, G descrive una curvasimile a una iperbole . Cio si verifica con la funzione ”locus”.

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procedimento applicato a una parabola:

• Si prende una retta qualsiasi in blu e si prende la perpendicolare a taleretta passante per C

• Si prende un punto O’ su tale retta. Dati due punti qualsiasi sulla rettablu (D ed E) si traccia una circonferenza di centro O’ e raggio DE. Sitrova cosı F come intersezione.

• Si traccia la tangente alla circonferenza in F e si traccia la paraboladi fuoco O’ e direttrice la tangente appena tracciata. In questo modoal traslare di O’ sulla retta la parabola non variera di pendenza matraslera e basta.

• Si prende un punto qualsiasi O e si traccia la retta OO’. L’intersezionedi tale retta con la parabola , ossia il punto G, descrive, al muoversidi O’ sulla retta su cui sta vincolato, una curva molto simile a unaparabola, in figura in rosso.

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6 Determinare le equazioni delle curve otte-

nute al punto precedente.

equazione 1:Si tratta di una concoide.

Sia P polo qualsiasi, sia O’=l’intersezione della retta c ed a.Si ha O’A=O’B=rSia P polo della concoide.Si ricava allora l’equazione nel seguente modo: Il luogo geometrico dei puntiA e B, in particolare nella figura e tracciato quello di B, ramo interno dellaconcoide di Nicomede, si veda la figura.

Se P coincide con l’origine allora si ricavano le seguenti equazioni:

sia y=mx il fascio di rette passante per O’.Possiamo scrivere allora O’(k,t) tale che t=mkIl coe�ciente angolare della retta, scritto rispetto alle coordinate del puntoO’ e dato da:

m =yB � y0Oxb � x0

O

=y � t

x� k

Da cui segue chey � t = mk (1)

Sia O’B=r, allora AB2 = r2 da cui (x� k)2 + (y � t)2 = r2 (2)Imponendo (1) in (2) si ottiene che: (x � k)2 +m2(x � k)2 = r2 (3) Da

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cui segue che(x� k)2(1 +m2) = r2 (3)

Imponendo m = yk, che corrisponde al coe�ciente angolare passante per il

punto O’.

(x� k)2(1 + (y

x)2) = r2

da cui segue(x� k)2(x2 + y2) = r2x2

Volendo ricavare la forma parametrica di ha, partendo da (3):

(x� k)2(1 +m2) = r2

Da cui

(x� k)2 =r2

1 +m2

|x� k| = rp1 +m2

x = k ± rp1 +m2

Per y=mx si ottiene il sistema:

x = k ± rp1 +m2

y = mk ± mxp1 +m2

Essendo m = tan(✓)e essendo sin(✓) = tan(✓)p

1+tan(✓)2= mp

1+m2

e cos(✓) = 1p1+tan(✓)2

= 1p1+m2

Allora si ottiene il sistema:

x = k ± rcos(✓)

y = ktant(✓)± rsin(✓)

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equazione 2:

Si procede nel seguente modo: Sia O l’origine del piano fisso e O’ l’originedel piano mobile. Si ha che valgono le seguenti relazioni2:

X = x� a

Y = y � t

Si scelga O’F come raggio unitario per semplificare i calcoli.Si ottiene dunque che la parabola ha vertice F=(0,-1)Essa e dunque descritta dall’equazione Y = cX2 � 1 Sostituendo le relazionisopra riportate di ha che X = x � a e Y = t � ay

xdalle quali segue che

l’equazione della curva descritta e la seguente:

y � ay

x� c(x� a)2 + 1 = 0

da cui, svolgendo i calcoli si arriva a:

cx3 � 2acx2 � (1 + y)x+ ay

osservazione:Si ottiene una curva di grado 3 che pertanto, pur essendo molto simile a unaparabola, non e una parabola.

2a tale proposito si legga l’introduzione alla sezione 5

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equazione 3:

Si ponga O’ origine degli assi mobili ed O origine degli assi fissi.Si ricordi la relazione fra le coordinate degli assi fissi (X,Y) e quelle degli assimobili (x,y).Per semplificare i calcoli si ponga OF=1.La retta (in verde) ha pertanto equazione, rispetto agli assi mobili: Y = �1E↵ettuando il cambio di variabili si ottiene che

y � t = �1

Dal quale segue che:

y � ay

x= �1

e l’equazione cercata.

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Volendo trovare un’equazione piu generale , scegliendo sempre O’B comesegmento unitario, si ha che:

Y = �m(X + 1)

Sfruttando, come negli esercizi precedenti, le relazioni tra le coordinate x,y eX,Ysi ottiene:

y � ay

x+m(x� a+ 1) = 0

Ovvero, riscrivendo l’equazione, si ottiene:

(x� a)(y +mx) = �mx

7 Usare una delle curve prodotte applicando

il meccanismo di Cartesio per trisecare una

angolo qualsiasi.

Tra le curve ottenute con il meccanismo di Cartesio c’e la Concoide. Essapuo essere utilizzata per trisecare un angolo qualsiasi.In particolare l’equazione di una concoide e data da:

(y � a)2(x2 + y2) = k2y2

Per k < a si ha la curva ottenuta prima in sezione 5.Per k = a si ha questa concoide:

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(si e ottenuta variando il raggio della circonferenza nella costruzione).

La curva, come detto, puo essere usata per risolvere il problema della tri-sezione dell’angolo. Vediamo come:Dato un angolo acuto AOB, vogliamo costruire un angolo che sia 1

3 dellostesso.Per prima cosa tracciamo una retta l che attraversa il segmento OA e siaperpendicolare ad esso.Sia D l’intersezione tra la retta ed il segmento OA, E l’intersezione tra laretta ed il segmento OB: Tracciamo una Concoide di Nicomede con retta l,punto non sulla retta O e distanza 2OE.Tracciamo ancora una linea s passante per E e perpendicolare ad l.Sia C l’intersezione della retta s con il ramo della concoide in cui non si trovail polo O.L’angolo AOB e tre volte l’angolo AOC.Ovviamente la costruzine del punto C non puo essere fatta con il solo ausiliodi riga e compasso, poiche la stessa concoide non puo essere costruita solocon riga e compasso.Da notare che, contrariamente a quanto accade con altre curve trisettrici,per la trisezione di un angolo c’e bisogno di una nuova concoide ogni volta.

Riferimenti bibliografici

http://corsomonografico.wikidot.com

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