Sveučilǐste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilǐsni preddiplomski studij matematike

Laura Marušić

Newton – Cotesove formule

Završni rad

Osijek, 2019.

Sveučilǐste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveučilǐsni preddiplomski studij matematike

Laura Marušić

Newton – Cotesove formule

Završni rad

Mentor: izv.prof.dr.sc. Tomislav Marošević

Osijek, 2019.

Sadržaj

1 Uvod 2

2 Općenito o integracijskim formulama 3

2.1 Newton – Cotesova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Ponašanje težinskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Pogreška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Newton – Cotesove formule 6

3.1 Trapezno pravilo (n = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Pogreška kod trapeznog pravila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.2 Produljeno trapezno pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Simpsonovo pravilo (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 Produljeno Simpsonovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Simpsonovo 3/8 pravilo (n = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Midpoint pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5 Zatvorene i otvorene Newton – Cotesove formule . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6 Formule za polinome vǐseg stupnja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Literatura 18

Sažetak

U ovom završnom radu upoznat ćemo se s numeričkom integracijom. Glavni dio ovograda bit će baziran na metodama numeričke integracije, točnije Newton – Cotesovojformuli te ćemo detaljnije obraditi njene posebne slučajeve, trapezno pravilo i Simp-sonovo pravilo, koje dolaze od Newton – Cotesove formule. Spomenut ćemo i jednumetodu otvorene Newton – Cotesove formule.

Ključne riječi: Newton – Cotesove formule, trapezno pravilo, Simpsonovo pravilo,Simpsonovo 3/8 pravilo, midpoint pravilo, Newton – Leibniz, aproksimacija, pogreškaaproksimacije, numeričko integriranje, Lagrangeov interpolacijski polinom

Abstract

In this final paper we will get knowledge about numerical analysis. The main partof this paper will be based on numerical integration methods, more precisely Newton– Cotes formula, then we will further elaborate its special instances, trapezoidal ruleand Simpson’s rule, that come from the Newton – Cotes formula. We will mention onemethod of open Newton – Cotes formula.

Keywords: Newton – Cotes formulae, trapezodial rule, Simpson’s rule, Simpson’s 3/8rule, midpoint rule, Newton – Leibniz, approximation, approximation error, numericalintegration, Lagrange interpolating polynomial

Newton – Cotesove formule

1 Uvod

Numerička analiza, pa tako i numerička integracija, bavi se traženjem aproksimativnihrješenja kompleksnih problema korǐstenjem najjednostavnijih operacija aritmetike. Jednaod tih metoda nazvana po engleskim matematičarima, Isaac Newtonu1 i Roger Cotesu2, jeNewton – Cotesova kvadraturna formula n-tog reda, koja se odnosi na problem odredenihintegrala. Zbog toga se ovaj problem naziva numerička kvadratura, jer se taj pojam odnosii na računanje odgovarajuće površine, što podsjeća na antički problem kvadrature kruga, tj.konstrukcije kvadrata koja ima jednaku površinu kao i krug.

Uglavnom ćemo razmatrati problem odredenih jednostrukih integrala, iako se numeričkaanaliza takoder bavi i problemima vǐsestrukih i neodredenih integrala. Vidjet ćemo i zbogčega koristimo numeričku analizu za rješavanje integrala. Upoznat ćemo se samo s jed-nom metodom otvorenog tipa Newton – Cotesove formule te se u većini ovog rada bavitizatvorenim tipom formule.

U ovom završnom radu ćemo proučiti izvode metoda za numeričku integraciju koje proiz-laze iz Newton – Cotesove formule, trapezno pravilo i Simpsonovo3 pravilo te u posljednjemdijelu ovoga rada ćemo izvesti i neke metode vǐseg reda. Takoder ćemo se baviti i pogreškamaaproksimacije tih metoda.

Newton – Cotes formule mogu biti korisne ako su dane vrijednosti funkcije na jednakoudaljenim točkama. Takoder, postoje još prikladnije metode koje se koriste ako nemamojednako udaljene točke, poput Gaussove kvadrature i Clenshaw-Curtisove kvadrature, alinjima se nećemo posvetiti u ovom radu.

1Isaac Newton (1642.-1717.), engleski fizičar, matematičar i astronom. Jedan od najznačajnijih znans-tvenika u povijesti.

2Roger Cotes (1682.–1716.) bio je vrlo cijenjen mladi kolega Isaaca Newtona. Povjerena mu je pripremadrugog izdanja Newtonove Principia - e. Izradio je i objavio koeficijente Newtonove formule za numeričkuintegraciju za n ≤ 11.

3Thomas Simpson (1710–1761), engleski matematičar, najpoznatiji po svom radu na interpolaciji i nu-meričkim metodama integracije. Privatno je predavao matematiku u londonskim kafićima i od 1737. počeoje pisati matematičke knjige.

2

Newton – Cotesove formule

2 Općenito o integracijskim formulama

Postoje situacije gdje nije moguće primijeniti osnovni teorem integralnog računa, tj.Newton – Leibnizovu formulu4 pri rješavanju odredenih integrala neprekidne funkcije prekovrijednosti primitivne funkcije na rubovima segmenta, te ih moramo riješiti numeričkomanalizom. Ako imamo:

• za funkciju koju integriramo ne možemo nikako dobiti njenu primitivnu funkciju

• da je podintegralna funkcija poznata samo u nekoliko (konačno) točaka.Zbog tih problema, mi ćemo aproksimativno izračunati vrijednost integrala tako što ćemo

podintegralnu funkciju interpolirati nekom, njoj sličnoj, jednostavnijom funkcijom. Takoćemo doći do Newton – Cotesove formule. Zapravo će opća integracijska formula imati oblik

I = I∗ + En, I∗ =

n∑i=0

ωif(xi),

pri čemu je za n ∈ N0, n + 1 broj korǐstenih čvorova, I∗ pripadna aproksimacija integrala,En pritom napravljena greška, a ωi težinske funkcije tako da se f može dobro aproksimiratipolinomom. Ovakve formule često se zovu kvadraturne formule.

2.1 Newton – Cotesova formula

Neka je f : [a, b] → R neprekidna fukcija. Segment [a, b] podijelit ćemo na n jednakihpodintervala jednoliko rasporedenih čvorovima xi = a + i

b−an

, tj. sa n + 1 točaka, takoda je a = x0 < x1 < · · · < xn = b, xi − xi−1 = b−an = h, i = 1, . . . , n, a funkciju fćemo interpolirati polinomom n-tog reda u Lagrangeovom obliku. U općenitom slučaju,definiramo:

• zatvorenu formulu, kada imamo x0 = a, xn = b i h = b−an , za n ≥ 1

• otvorenu formulu, kada imamo x0 = a+ h, xn = b− h i h = b−an+2 , za n ≥ 0,pa prema Lagrangeovoj formuli za interpolaciju imamo

Pn(x) =n∑

k=0

f(xk)pk(x), pri čemu je pk(x) =n∏

i=0i 6=k

x− xixk − xi

.

Približnu vrijednost I∗n integrala I mogli bismo dobiti kao integral dobivenog polinoma uistim granicama kao i dana funkcija f .

I∗n =

b∫a

Pn(x) dx =

b∫a

n∑k=0

f(xk)pk(x) dx =n∑

k=0

f(xk)

b∫a

pk(x) dx =

=b− ab− a

n∑k=0

f(xk)

b∫a

pk(x) dx = (b− a)n∑

k=0

f(xk)1

b− a

b∫a

pk(x) dx︸ ︷︷ ︸ωk

=

= (b− a)n∑

k=0

ωkf(xk), pri čemu su ωk =1

b− a

∫ ba

pk(x) dx

4Newton – Leibnizova formula: I =b∫a

f(x) dx = F (b)− F (a).

3

Newton – Cotesove formule

Uz supstituciju x = Ψ(t) = a+ (b− a)t dobivamo jednostavniji prikaz težinskih funkcija

ωk =1

b− a

b∫a

pk(x) dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x = a+ (b− a) tdx = (b− a) dtx→ a⇒ t→ 0x→ b⇒ t→ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

b− a

1∫0

pk(a+ (b− a)t)(b− a) dt =

=

1∫0

pk(a+ (b− a)t) dt =1∫

0

n∏i=0i 6=k

a+ (b− a)t− a− b−ani

a+ b−ank − a− b−a

nidt =

=

1∫0

n∏i=0i 6=k

��b−an

(nt− i)

��b−an

(k − i)dt =

1∫0

n∏i=0i 6=k

nt− ik − i

dt.

Stoga, za n ≥ 1 dobivamo grupu formula, tj. poznatu kvadraturnu ili Newton – Cote-sovu formulu n-tog reda za aproksimaciju integrala I:

I∗n = (b− a)n∑

k=0

ωkf(xk), ωk =

1∫0

n∏i=0i 6=k

nt− ik − i

dt (2.1)

2.1.1 Ponašanje težinskih funkcija

Koeficijenti ωk, tj. težine ne ovise o a, b, h i f , nego samo o n te mogu biti prikazanitablično a priori5. Polinomi pk i pn−k, za k = 0, . . . , n−1 imaju simetrično jednake integraletako da su i odgovarajuće težine ωk i ωn−k jednake za i = 0, . . . , n− 1. Zbog toga, u tablici1 prikazujemo samo prvu polovicu težina.

n 1 2 3 4 5 6

ω012

16

18

790

19288

41840

ω112

23

38

1645

75288

935

ω2 -16

38

645

50288

27840

ω3 - -18

1645

50288

272840

ω4 - - -790

75288

27840

ω5 - - - -19288

935

ω6 - - - - -41840

Tablica 1: Težine zatvorenih Newton – Cotesovih formula (vidi [10])

Zatvorena Newton – Cotesova formula za n = 1 i n = 2 su ekvivalentne trapeznompravilu odnosno Simpsonovom pravilu. Formula za n = 3 zove se Simpsonovo pravilo 3/8,za n = 4 Booleovo pravilo i za n = 6 Weddleovo pravilo.

5ono što je apsolutno neovisno o svakom iskustvu, onaj stav koji je unaprijed zauzet, načelno ili pro-izvoljno, tako da ne uzima u obzir razloge i okolnosti koji bi ga mogli izmijeniti

4

Newton – Cotesove formule

2.1.2 Pogreška

Naravno, cijela se numerička analiza bazira na aproksimacijama, te nas zanima kolikaje zanemarena pogreška kod aproksimativnih vrijednosti. Tako nas i sada zanima kolika jepogreška kod primjene Newton – Cotesove formule za aproksimacije integrala, o čemu namgovori sljedeći teorem (vidi [5], poglavlje 9).

Teorem 2.1. Za Newton – Cotesovu formulu koja odgovara danoj vrijednosti parnog brojan, vrijedi sljedeća karakterizacija pogreške En integrala I

∗n danog u izrazu (2.1). Ako je

f ∈ Cn+2([a, b]), gdje je n paran broj, onda postoji ξ ∈ (a, b), tako da vrijedi

En(f) =Mn

(n+ 2)!hn+3f (n+2)(ξ), gdje je Mn =

n∫0

t πn+1(t) dt < 0, πn+1(t) =n∏

i=0

(t−i) (2.2)

Slično, za dane vrijednosti neparnog broja n, vrijedi sljedeća ocjena pogreške integrala I∗n.

En(f) =Kn

(n+ 1)!hn+2f (n+1)(ξ), Kn =

n∫0

πn+1(t) dt < 0, πn+1(t) =n∏

i=0

(t− i). (2.3)

5

Newton – Cotesove formule

3 Newton – Cotesove formule

Primijenimo sada Newton – Cotesovu formulu (2.1) za neke n ∈ N.

3.1 Trapezno pravilo (n = 1)

Neka je f : [a, b]→ R neprekidna fukcija, a = x0 < x1 = b te h = x1 − x0 = b− a. Prvoćemo izračunati težine iz općenite Newton – Cotesove formule n-tog reda (2.1), a nakon togalako dobivamo trapezno pravilo.

ω0 =

1∫0

t− 10− 1

dt =1

2

ω1 =

1∫0

t

1dt =

1

2

⇒ I∗1 = (b− a)1∑

k=0

f(xk)ωk = (b− a)(f(a)

1

2+ f(b)

1

2

)=b− a

2(f(a) + f(b))

Trapezno pravilo: I∗ =b− a

2(f(a) + f(b)) (3.1)

Općenito, trapezno pravilo dobije se interpolacijom funkcije f polinomom P1 stupnja 1koja prolazi dvjema točkama T0 = (a, f(a)) i T1 = (b, f(b)), tj. računat ćemo površinuispod pravca kao što je prikazano na slici 1.

Slika 1: Trapezno pravilo

I∗ =

b∫a

ϕ(x) dx =

b∫a

P1(x) dx, pri čemu je ϕ(x) = P1(x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a)

6

Newton – Cotesove formule

Slijedi,

I∗ =

b∫a

(f(a) +

f(b)− f(a)b− a

(x− a))dx = f(a)x

∣∣ba

+(x− a)2

2

f(b)− f(a)b− a

∣∣∣∣∣b

a

=

= f(a)(b− a) + f(b)− f(a)2(b− a)

((b− a)2 − (a− a)2

)= (b− a)

(f(a) +

f(b)

2− f(a)

2

)=

= (b− a)(f(a)

2+f(b)

2

)=b− a

2(f(a) + f(b))

Zapravo se dode do klasične formule za površinu trapeza, kao što vidimo na slici 1, sosnovicama f(a) i f(b) te visinom b− a, odakle nam i naziv za trapezno pravilo.

3.1.1 Pogreška kod trapeznog pravila

Vrijedi sljedeći teorem.

Teorem 3.1. Neka je f ∈ C2([a, b]). Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 tako da je

I =

b∫a

f(x) dx =b− a

2(f(a) + f(b))︸ ︷︷ ︸

I∗

−(b− a)3

12f ′′(c) (3.2)

Dokaz. Prema teoremu o ocjeni pogreške6, postoji ξ(x) ∈ 〈a, b〉 tako da je

E := I − I∗ =b∫

a

(f(x)− P1(x)) dx =b∫

a

f ′′(ξ(x))

2(x− a)(x− b) dx.

Kako je (x− a)(x− b) ≤ 0 za sve x ∈ [a, b], koristeći poopćeni teorem o srednjoj vrijednostiintegralnog računa7, zaključujemo da postoji c ∈ 〈a, b〉 takav da je

E =f ′′(c)

2

b∫a

(x− a)(x− b) dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x = a+ (b− a) tdx = (b− a) dtx→ a⇒ t→ 0x→ b⇒ t→ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

=f ′′(c)

2

1∫0

(b− a) t(a+ (b− a) t− b)(b− a) dt = (b− a)3

2f ′′(c)

1∫0

(t2 − t) dt =

=(b− a)3

2f ′′(c)

(t3

3− t

2

2

) ∣∣∣∣∣1

0

=(b− a)3

2f ′′(c)

(−16

)= −(b− a)

3

12f ′′(c)

6Za svaki x̄ ∈ [a, b] postoji ξ ∈ 〈a, b〉, tako da je f(x̄)− Pn(x̄) = f(n+1)(ξ)(n+1)! (x̄− x0) · · · (x̄− xn).

7Ako je f neprekidna na segmentu [a, b], a g integrabilna funckija stalnog predznaka na tom segmentu,onda postoji c ∈ [a, b] takav da vrijedi

b∫a

f(x)g(x) dx = f(c)

b∫a

g(x) dx

7

Newton – Cotesove formule

U dokazu prethodnog teorema 3.1 dobije se pogreška kod primjene trapeznog pravila koja

iznosi E = − (b−a)3

12f ′′(c). Ako je segment integracije [a, b] velik, i pogreška E će biti velika.

3.1.2 Produljeno trapezno pravilo

U cilju postizanja bolje aproksimacije I∗ integrala I, interval [a, b] podijelit ćemo na npointervala i onda na svakom od njih primijeniti trapezno pravilo (3.1). Pretpostavimo daimamo n + 1 ekvidistantno rasporedenih točaka x0, . . . , xn ∈ [a, b] tako da je x1 − x0 =x2 − x1 = · · · = xn − xn−1 =: h te x0 = a i xn = b. Označimo

xi = x0 + ih, i = 0, . . . , n

yi = f(xi), i = 0, . . . , n

n·h = b− a ⇒ h = b− an

Promotrimo sliku 2.

Slika 2: Generalizirano trapezno pravilo

Iz nje je očigledno da točke x0, . . . , xn dijele segment [a, b] na n jednakih podsegme-nata duljine h. Sada ćemo imati intervale [xi−1, xi], i = 1, . . . , n na koje ćemo primijenititrapezno pravilo (3.1), tj. računat ćemo integral polinoma 1. stupnja kroz dvije točke,(xi−1, yi−1) i (xi, yi), i = 1, . . . , n.

Imamo:

xi∫xi−1

(yi−1 +

yi − yi−1xi − xi−1

(x− xi−1))dx =

h

2(yi−1 + yi), i = 1, . . . , n

Primjedba 3.1. Vidimo da u ovom slučaju računamo površine malih trapezića s osnovicamayi−1 i yi, i=1,. . . ,n te visinom h.

Sumiranjem svih površina malih trapezića dobijemo generalizirano (produljeno) trapeznopravilo.

I∗ =n∑

i=1

xi∫xi−1

f(x) dx =h

2(y0 + y1) +

h

2(y1 + y2) + · · ·+

h

2(yn−1 + yn)

⇒ I∗ = h2

(y0 + 2(y1 + y2 + · · ·+ yn−1) + yn) (3.3)

8

Newton – Cotesove formule

Pitamo se kolika je pogreška kod produljenog trapeznog pravila. Primjenom teorema 3.1dobijemo:

E = I − I∗ =b∫

a

f(x) dx−n∑

i=1

xi∫xi−1

f(x) dx = −n∑

i=1

h3

12f ′′(ci) =

=−h3

12

n∑i=1

f ′′(ci) =−h2

12

b− an︸ ︷︷ ︸h

n∑i=1

f ′′(ci)

Zbog neprekidnosti funkcije f ′′ na intervalu 〈a, b〉 ∃ c ∈ 〈a, b〉 takav da je

1

n

n∑i=1

f ′′(ci) = f′′(c).

Pa imamo

E =−h2

12(b− a)f ′′(c)

Ocijenimo sada apsolutnu pogrešku integrala I∗.

∆I∗ = |E| = |I − I∗| = h2

12(b− a)|f ′′(c)| ≤ h

2

12(b− a)M2, M2 = max

x∈[a,b]|f ′′(x)|

Iz ove ocjene ćemo moći odrediti broj podintervala n na koji je potrebno podijeliti [a, b] kakobismo mogli primijeniti generalizirano trapezno pravilo i postići točnost ε > 0, tj. da je|E| = |I − I∗| < ε. Iz te nejednadžbe dobijemo da je

n > (b− a)√

(b− a)M212 ε

Primjer 3.1. Trapeznim pravilom izračunajte integral3∫1

x2 lnx dx, ε = 0.1.

Integral ćemo računati na 2 načina:

• jednostavnim trapeznim pravilom (3.1):Prvo ćemo izračunati f(a) i f(b)

f(a) = f(1) = 12 ln 1 = 0, f(b) = f(3) = 32 ln 3 = 9.88751

i uvrstimo to u trapeznu formulu

I∗ =b− a

2(f(a) + f(b)) =

3− 12· 9.88751 = 9.88751.

9

Newton – Cotesove formule

• generaliziranim trapeznim pravilom (3.3):Prvo moramo odrediti potreban broj koraka kako bi se odredila aproksimacija od I uztočnost ε = 0.1. Stoga, izračunajmo dugu derivaciju funckije f i M2 koje ćemo ubacitiu generaliziranu trapeznu formulu.

f ′′(x) = 2 lnx+ 3, M2 = maxx∈[a, b]

|f ′′(x)| = maxx∈[1, 3]

|2 lnx+ 3| = 5.19722

n > (b− a)√M2ε· b− a

12= (3− 1)

√5.19722

0.1· 3− 1

12= 5.88

Slijedi da je n = 6. Sada računamo:

h =b− an

=3− 1

6=

1

3

xi = a+ ih = 1 + i ·1

3, i = 0, 1, . . . , 6

xi yi

1 0

43

0.51143

53

1.41896

63

2.77258

73

4.613066

83

6.97478

93

9.88751

Sada imamo sve podatke i trebamo ih uvrstiti u formulu:

I∗ =h

2(y0 + 2y1 + · · ·+ 2yn−1 + yn) =

1

6(y0 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5) + y6) = 7.07872

Egzaktno rješenje ovog integrala je 6.9986 pa vidimo da je aproksimacija generaliziranetrapezne formule puno bolja od one koju dobijemo rješavajući integral općenitom trapeznomformulom.

10

Newton – Cotesove formule

3.2 Simpsonovo pravilo (n = 2)

Neka je f : [a, b] → R neprekidna fukcija, a = x0 < x1 < x2 = b te h = x1 − x0 =x2 − x1 = b−a2 . Primijetimo da je u ovom slučaju: x1 =

a+b2

, tako da nam sve točke budumedusobno jednako udaljene. Najprije ćemo izračunati težine iz općenite Newton – Cotesoveformule n-tog reda (2.1) te se lako dode do tzv. Simpsonovog pravila.

ω0 =

1∫0

2t− 1−1

· 2t− 2−2

dt =

1∫0

(2t3 − 3t+ 1) dt = 23− 3

2+ 1 =

1

6

ω1 =

1∫0

2t

1· 2t− 2−1

dt =

1∫0

(−4t2 + 4t) dt = 2− 43

=2

3

ω2 =

1∫0

t · 2t− 11

dt =

1∫0

(2t2 − t) dt = 23− 1

2=

1

6

I∗2 = (b− a)(ω0f(x0) + ω1f(x1) + ω2f(x2)) = (b− a)(ω0f(a) + ω1f

(a+ b

2

)+ ω2f(b)

)

⇒ Simpsonovo pravilo: I∗ = b− a6

(f(a) + 4f

(a+ b

2

)+ f(b)

)(3.4)

Pogrešku aproksimacije kod primjene Simpsonova pravila ćemo samo napomenuti, ali juje lako odrediti jednostavnim računom integrala.

E = I − I∗ =b∫

a

(f(x)− P2(x)) dx = · · · = −1

90

(b− a

2

)︸ ︷︷ ︸

h5

5

f (4)(c), za neki c ∈ 〈a, b〉.

Kao i kod trapeznog pravila, Simpsonovo pravilo se može općenito izvesti iz interpolacijepolinomom 2. stupnja koji prolazi točkama: T0 = (a, f(a)), T1 =

(a+b2, f(a+b2

))i T2 =

(b, f(b)). Pogledajmo sljedeću sliku.

Slika 3: Općenito Simpsonovo pravilo

11

Newton – Cotesove formule

3.2.1 Produljeno Simpsonovo pravilo

Podijelimo segment [a, b] na n = 2m ekvidistantnih podintervala duljine h = b−an

=xi+2−xi

2, i = 0, . . . , n − 2, čvorovima xi = a + hi, i = 0, . . . , 2m. Promotrimo sliku 4 i za-

ključimo da segment [a, b] rastavljamo na podsegmente [x0, x2], [x2, x4], . . . , [x2m−2, x2m] teuz oznaku yi = f(xi), i = 0, . . . , n primijenimo Simpsonovo pravilo (3.4) na te podsegmentepa se sada lako dode do generaliziranog Simpsonovog pravila.

I∗ =x2 − x0

6︸ ︷︷ ︸h3

(f(x0) + 4f(x1) + f(x2)) +x4 − x2

6︸ ︷︷ ︸h3

(f(x2) + 4f(x3) + f(x4)) + · · ·+

+x2m − x2m−2

6︸ ︷︷ ︸h3

(f(x2m−2) + 4f(x2m−1) + f(x2m)) =

=h

3[(f(x0) + 4f(x1) + f(x2)) + · · ·+ (f(x2m−2) + 4f(x2m−1) + f(x2m))] =

=h

3[y0 + 2(y2 + y4 + · · ·+ y2m−2) + 4(y1 + y3 + · · ·+ y2m−1) + y2m]

⇒ I∗ = h3

[y0 + 2(y2 + y4 + · · ·+ y2m−2) + 4(y1 + y3 + · · ·+ y2m−1) + y2m] (3.5)

Slika 4: Generalizirano Simpsonovo pravilo

Ocjena pogreške apsolutne pogreške integrala I∗:

∆I∗ = |I − I∗| ≤ b− a180

h4M4 < ε︸ ︷︷ ︸(∗)

Iz nejednadžbe (∗) možemo dobiti broj podsegmenata n, za danu točnost ε > 0, kakobismo mogli primijeniti generalizirano Simpsonovo pravilo.

⇒ n > (b− a) 4√

(b− a)M4180 ε

12

Newton – Cotesove formule

Primjer 3.2. Simpsonovom formulom izračunajte integral iz Primjera 3.1, uz točnost ε =0.1.

• jednostavnim Simpsonovim pravilom (3.4):Prvo računamo f(a), f(b) i f(a+b

2)

f(a) = f(1) = 0, f(b) = f(3) = 9.88751, f

(a+ b

2

)= f(2) = 22 · ln 2 = 2.772589

Uvrstimo te podatke u (3.4)

I∗ =b− a

6

(f(a) + 4f

(a+ b

2

)+ f(b)

)=

3− 16

(4 · 2.772589 + 9.88751) = 6.992622

• generaliziranim Simpsonovim pravilom (3.5):Najprije ćemo izračunati četvrtu derivaciju funkcije f

f (4)(x) = − 2x2

i M4 = maxx∈[a, b]∣∣f (4)(x)∣∣ = maxx∈[1, 3] ∣∣− 2x2 ∣∣ = 2.

Sada možemo računati potreban broj koraka da bi se mogla primijeniti generaliziranaSimpsonova formula uz postignutu točnost ε = 0.1

n > (b− a) 4√M4ε· b− a

180= (3− 1) 4

√2

0.1· 3− 1

180= 1.37317 ⇒ n = 2.

U ovom slučaju je n = 2, pa se dobiva jednaki rezultat kao kod jednostavnog Simpso-novog pravila. Izračunajmo sada h = b−a

n= 3−1

2= 1 xi = a+ ih = 1+ i ·1, i = 0, 1, 2.

xi yi

1 0

2 2.77258

3 9.88751

Na kraju sve uvrstimo u (3.5)

I∗ =h

3[(y0+y2m)+4(y1+· · ·+y2m−1)+2(y2+· · ·+y2m−2)] =

1

3(y0+4y1+y2) = 6.99261.

Općenito, osim što nam generalizirana Simpsonova formula daje bolju aproksimacijuintegrala, ona ima i manji broj koraka od generalizirane trapezne formule.

13

Newton – Cotesove formule

3.3 Simpsonovo 3/8 pravilo (n = 3)

Još jedna metoda numeričke integracije koju je izveo Thomas Simpson je zapravo Newton– Cotesova formula četvrtoga reda, tj. interpolacija polinomom četvrtog stupnja kroz danečetiri točke.

Neka je f : [a, b] → R neprekidna fukcija, a = x0 < x1 < x2 < x3 = b te h = x1 − x0 =x2 − x1 = x3 − x2 = b−a3 . Primijetimo da je u ovom slučaju: xi = a+

b−a3i, jer su nam tako

sve točke medusobno jednako udaljene. Najprije ćemo izračunati težine iz općenite Newton– Cotesove formule n-tog reda (2.1) te se lako dode do tzv. Simpsovovog 3/8 pravila.

ωk =

1∫0

3∏i=0i 6=k

3t− ik − i

dt, k = 0, 1, 2, 3

ω0 =

1∫0

3∏i=0i 6=0

3t− i0− i

dt =

1∫0

3t− 1−1

· 3t− 2−2

· 3t− 3−3

dt =

1∫0

(−9

2t3 + 9t2 − 11

2t+ 1

)dt =

=1

2

(−9t

4

4+ 6t3 − 11t

2

2+ 2t

) ∣∣∣∣∣1

0

= · · · = 18

ω1 =

1∫0

3∏i=0i 6=1

3t− i1− i

dt =

1∫0

3t

1· 3t− 2

1− 2· 3t− 3

1− 3dt =

1∫0

(27t3

2− 45t

2

2+ 9t

)dt =

=9

2

(3t4

4− 5t

3

3+ t2

) ∣∣∣∣∣1

0

= · · · = 38

ω2 =

1∫0

3∏i=0i 6=2

3t− i2− i

dt =

1∫0

3t

2· 3t− 1

2− 1· 3t− 3

2− 3dt =

1∫0

(−27t

3

2+ 18t2 − 9t

2

)dt =

= −92

(9t2 − 8t+ 1)∣∣10

= · · · = 38

ω3 =

1∫0

3∏i=0i 6=3

3t− i3− i

dt =

1∫0

3t

3· 3t− 1

3− 1· 3t− 2

3− 2dt =

1∫0

(9t3

2− 9t

2

2+ t

)dt =

=1

2

(9t4

4− 3t3 + t2

) ∣∣∣∣∣1

0

= · · · = 18

⇒ I∗3 = (b− a)3∑

k=0

ωkf(xk) = (b− a)(ω0f(x0) + ω1f(x1) + ω2f(x2) + ω3f(x3))

Jer je b−a3

= h ⇒ b− a = 3 · h, i označimo f(xi) = fi, i = 0, 1, 2, 3. Slijedi Simpsonovo3/8 pravilo:

I∗3 = 3h(1

8f(x0) +

3

8f(x1) +

3

8f(x2) +

1

8f(x3)) =

3

8h (f0 + 3f1 + 3f2 + f3)

14

Newton – Cotesove formule

3.4 Midpoint pravilo

Do sada smo se upoznali s tri vrste Newton – Cotesovih kvadraturnih formula zatvore-nog tipa. Ako prilikom interpolacije ne koristimo jednu ili nijednu rubnu točku, dobijemootvorene Newton – Cotesove formule.

Stavimo x0 := a, x1 := b, h =b−a2

. Formula se dobiva zamjenom funkcije f nad seg-mentom [a, b] s konstantnom funkcijom koja postiže jednaku vrijednost u sredǐsnjoj točkisegmenta [a, b] kao i u funkciji f .

⇒ Midpoint pravilo: I∗0 = (b− a)f(a+ b

2

)(3.6)

Slika 5: Midpoint pravilo

Iz slike 5 vidimo da se radi o površini pravokutnika sa stranicama b− a i f(x0), pri čemuje x0 =

a+b2

aritmetička sredina krajnjih točaka a i b segmenta [a, b]. Odatle dolazi još jedannaziv za ovo pravilo, a to je pravokutno pravilo.

Greška ove integracijske formule jednaka je integralu greške interpolacijskog polinomastupnja nula, tj. konstante, koji interpolira f u srednjoj točki segmenta [a, b] i iznosi:

E = f ′′(ξ)(b− a)3

24, ξ ∈ [a, b].

Koristimo li produljenu midpoint formulu na n ekvidistantnih podsegmenata duljine h,dobijemo generalizirano midpoint pravilo. Ono se dobije primjenom midpoint pravila nasvakom podsegmentu [xi, xi+1], i = 0, . . . , n− 1

xi+1∫xi

f(x) dx = hf(xi+ 12) ⇒ I∗0 =

b∫a

f(x) dx = hn−1∑i=0

f(xi+ 12)

Pogreška generaliziranog midpoint pravila je dana s

E =(b− a)h2

24f ′′(ξ), ξ ∈ [a, b].

15

Newton – Cotesove formule

3.5 Zatvorene i otvorene Newton – Cotesove formule

Prikazat ćemo tablicama listu otvorenih i zatvorenih Newton – Cotesovih formula n-togreda za i = 0, . . . , n. Neka je f : [a, b]→ R neprekidna fukcija.

• Zatvoreni tip: Neka je xi = a + i b−an = a + ih i označimo f(xi) = fi, i = 0, . . . , n.Uzima se za odgovarajuće ξ ∈ [a, b].

n h Ime metode Formula Pogreška aproksimacije

1 b− a Trapezno pravilo h2(f0 + f1) −h

3

12f (2)(ξ)

2 b−a2

Simpsonovo pravilo h3(f0 + 4f1 + f2) −h

5

90f (4)(ξ)

3 b−a3

Simpsonovo 3/8 pravilo 3h8

(f0 + 3f1 + 3f2 + f3) −3h5

80f (4)(ξ)

4 b−a4

Booleovo pravilo 2h45

(7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4) −8h7

945f (6)(ξ)

Tablica 2: Zatvorene Newton – Cotesove formule (vidi [9])

• Otvoreni tip: Neka je xi = a + i b−an = a + ih i označimo f(xi) = fi, i = 0, . . . , n, teza ξ se uzima odgovarajuće elemente iz [a, b].

n h Ime metode Formula Pogreška aproksimacije

0 b−a2

midpoint pravilo 2hf(a+b2

) h3

3f (2)(ξ)

1 b−a3

3h2

(f0 + f1)3h3

4f (2)(ξ)

2 b−a4

Milneovo pravilo 4h3

(2f0 − f1 + 2f2) 14h5

45f (4)(ξ)

3 b−a5

5h24

(11f0 + f1 + f2 + 11f3)95h5

144f (4)(ξ)

Tablica 3: Otvorene Newton – Cotesove formule (vidi [9])

16

Newton – Cotesove formule

3.6 Formule za polinome vǐseg stupnja

Newton – Cotesova formula može se konstruirati uporabom bilo kojeg stupnja n aprok-simacije.

Neka je f neprekidna funkcija, Pn polinom n-tog stupnja i neka su dane točke x0, . . . , xntako da je f(xi) = yi za i = 0, . . . , n. Rezultati aproksimacija integrala polinoma vǐsegstupnja mogu se dobiti u obliku

xn∫x0

Pn(x) dx = Ch(c0y0 + c1y1 + · · ·+ cnyn)

pri čemu su C i ci, i = 0, . . . , n konstante za nekoliko prvih n vrijednosti dane sljedećomtablicom

n C c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8

1 12

1 1 0 0 0 0 0 0 0

2 13

1 4 1 0 0 0 0 0 0

3 38

1 3 3 1 0 0 0 0 0

4 245

7 32 12 32 7 0 0 0 0

6 1140

41 216 27 272 27 216 41 0 0

8 414175

989 5888 −928 10496 −4540 10496 −928 5888 989

Tablica 4: Konstante Newton – Cotesovih formula (vidi [6], poglavlje 14)

Medutim, za veliki n Newton-Cotesova formula može ponekad patiti od katastrofalnog“Rungeovog fenomena”8 pa se formule vǐseg stupnja rijetko koriste. Djelomično zbog togašto su dostupne jednostavnije i podjednako točne formule, a i zbog pomalo iznenadujućečinjenice, da polinomi vǐseg stupnja ne moraju uvijek imati bolju točnost, tj. imati manjupogrešku. Metode poput Gaussove kvadrature i Clenshaw – Curtisove kvadrature s nejed-nako rasporedenim točkama su stabilne i preciznije. Ako se ove metode ne mogu upotrijebiti,jer je integral dan samo na ekvidistantnim udaljenostima, tada se Rungeov fenomen možeizbjeći korǐstenjem generaliziranih Newton – Cotesovih pravila.

8Problem oscilacija na rubovima intervala koji se javlja kada se koristi interpolacija polinomom vǐsegstupnja te dolazi do eksponencijalnog rasta pogreške.

17

Newton – Cotesove formule

Literatura

[1] G. Dahlquist, A. Bjorck, Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Siam,USA, 2008. (Dostupno na: http://fmipa.umri.ac.id/wp-content/uploads/2016/03/Dahlquist_G._Bjoerck_A._Vol.1._Numerical_methodBookZZ.org_.pdf)

[2] P. Holoborodko, Stable Newton - Cotes Formulas, (Dostupno na:http://www.holoborodko.com/pavel/numerical-methods/numerical-integration/

stable-newton-cotes-formulas

[3] T. M. Huang, Numerical Differentiation and Integration, Department of Mathematics,National Taiwan Normal University, Taiwan, 2008. (Dostupno na: http://math.ntnu.edu.tw/~min/Numerical_Analysis/2008/Differentiatio_Integration.pdf)

[4] M. Klaričić Bakula, Uvod u numeričku matematiku, Prirodoslovno – matematičkifakultet Sveučilǐsta u Splitu, 2009. (Dostupno na: http://mapmf.pmfst.unist.hr/

~milica/Numericka_matematika/Folije_za_predavanja/UNM_Numinteg.pdf)

[5] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics (Texts in AppliedMathematics 37), 2nd Edition, Springer-Verlag, New York, 2000.

[6] F. Scheid, Schaum’s outline of theory and problems of numerical analysis, 2nd edition -Chapter 14, McGraw-Hill, New York, 1989.

[7] R. Scitovski, Numerička matematika, Izmijenjeno i dopunjeno izdanje, SveučilǐsteJosipa Jurja Strossmayera u Osijeku – Odjel za matematiku, Osijek, 2015.

[8] N. Ujević, Uvod u numeričku matematiku, Fakultet prirodoslovno – matematičkihznanosti i odgojnih područja, Sveučilǐste u Splitu, 2004. (Dostupno na:http://mapmf.pmfst.unist.hr/matematika/Nastavni%20materijali/nummat.pdf)

[9] Wikipedia – Newton – Cotes formulas, (Dostupno na:https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%E2%80%93Cotes_formulas)

[10] Wolfram Mathworld – Newton – Cotes formulas, (Dostupno na:http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html)

[11] Wolfram Mathworld – Simpson’s 3/8 rule, (Dostupno na:http://mathworld.wolfram.com/Simpsons38Rule.html)

18

http://fmipa.umri.ac.id/wp-content/uploads/2016/03/Dahlquist_G._Bjoerck_A._Vol.1._Numerical_methodBookZZ.org_.pdfhttp://fmipa.umri.ac.id/wp-content/uploads/2016/03/Dahlquist_G._Bjoerck_A._Vol.1._Numerical_methodBookZZ.org_.pdfhttp://www.holoborodko.com/pavel/numerical-methods/numerical-integration/stable-newton-cotes-formulashttp://www.holoborodko.com/pavel/numerical-methods/numerical-integration/stable-newton-cotes-formulashttp://math.ntnu.edu.tw/~min/Numerical_Analysis/2008/Differentiatio_Integration.pdfhttp://math.ntnu.edu.tw/~min/Numerical_Analysis/2008/Differentiatio_Integration.pdfhttp://mapmf.pmfst.unist.hr/~milica/Numericka_matematika/Folije_za_predavanja/UNM_Numinteg.pdfhttp://mapmf.pmfst.unist.hr/~milica/Numericka_matematika/Folije_za_predavanja/UNM_Numinteg.pdfhttp://mapmf.pmfst.unist.hr/matematika/Nastavni%20materijali/nummat.pdfhttps://en.wikipedia.org/wiki/Newton%E2%80%93Cotes_formulashttp://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/Simpsons38Rule.html

UvodOpcenito o integracijskim formulamaNewton – Cotesova formulaPonašanje težinskih funkcijaPogreška

Newton – Cotesove formuleTrapezno pravilo ()Pogreška kod trapeznog pravilaProduljeno trapezno pravilo

Simpsonovo pravilo ()Produljeno Simpsonovo pravilo

Simpsonovo 3/8 pravilo ()Midpoint praviloZatvorene i otvorene Newton – Cotesove formuleFormule za polinome višeg stupnja

Literatura