Las producciones de los alumnos como fuente de nuevos problemas matemáticos. Las fracciones y la dialéctica de

significados.

Introducción

Las consideraciones, relatos y análisis que tendrán lugar en el desarrollo de este trabajo, surgen a partir del análisis del registro fílmico obtenido de una de las clases dictadas en el colegio La Merced de la ciudad de Río Cuarto en el año 2009, dentro de las actividades que desarrolle como alumno del Profesorado en Matemática de la Universidad Nacional de Río Cuarto.

Desde la cátedra Práctica docente y Curriculum del Departamento de Matemática de esta universidad se promueven diferentes actividades para que los futuros profesores de matemática que se forman en esta institución sean capaces de diseñar, implementar y evaluar su propia práctica docente con la finalidad de favorecer el aprendizaje de los estudiantes. Pues, la formación de un docente debe involucrar no sólo la adquisición de los conocimientos disciplinares sino también los referidos a la actividad profesional que desempeñara, es decir, la formación de un docente de matemática debe capacitarlo para que tenga un cierto nivel de competencia matemática que le permita reconocer y aplicar las prácticas disciplinares para resolver los distintos tipos de problemas que se abordan en la secundaria; y además debe capacitarlo para que sea capaz de analizar la actividad matemática al resolver los problemas, identificando los objetos y significados puestos en juego, con el fin de enriquecer su desempeño y contribuir al desarrollo de sus competencias profesionales. (Godino, )

Por lo tanto, con el objetivo de evaluar mi propia práctica y contribuir al desarrollo de mis competencias profesionales, el presente trabajo pretende centrar la atención en el potencial trabajo de reflexión que suscita una situación que surgió en el aula y movilizó un entramado conjunto de relaciones, no previstas, que condicionaron tanto la actividad didáctico-matemática del docente como la actividad didáctico-matemática de los alumnos. Una situación donde la dialéctica entre técnica-tecnología juega un rol importante en las decisiones que toma el docente y lo sostiene en un estado de incertidumbre respecto del objeto de enseñanza, que sólo podrá hacer evolucionar investigando el desarrollo de esa clase y los conocimientos que se pusieron a funcionar.

Por ello, el eje central de esta exposición será el análisis del problema surgido en esa clase y por lo tanto, en primer lugar, contextualizaré la situación vivida y plantearé el problema. Una vez descrito el mismo, presentaré algunos cuestionamientos que servirán de guía para organizar los posteriores análisis.

Seguidamente, teniendo en cuenta que la situación involucra cuestiones no previstas por el docente en una clase sobre fracciones, expondré algunas consideraciones didácticas y matemáticas que me permiten explicar el por qué de la elección del problema y de su influencia en el desarrollo de la clase. En este apartado también haré referencia, desde una perspectiva didáctico-matemática, a toda la matemática que involucra y puede involucrar en la situación. Me referiré principalmente a los usos de fracción como medida y fracción como razón, y a las diferencias semánticas entre ambos conceptos. También presentaré una definición del concepto de proporción.

Posteriormente, centrándome en el objetivo del trabajo, relazaré un estudio y análisis del registro de aquella clase exponiendo textualmente algunos de los diálogos entre los participantes de la situación. Por último, propondré un estudio de las relaciones emergentes de la situación y una propuesta que ayuda a resignificar lo ocurrido en aquella clase.

Contextualización y planteo del problema

El episodio que he decidido problematizar y que estará a la base de toda reflexión en este trabajo, se sitúa cronológicamente en la sexta clase de las que tuvimos a cargo junto con mi compañera de prácticas, en nuestras primeras incursiones como docentes, dentro del marco de actividades que se desarrollan en la asignatura Práctica Docente y Curriculum del Profesorado en Matemática de la UNRC.

Nuestro primer objetivo como docentes consistió en introducir el concepto de fracción desde el contexto de la medida y luego emprendimos el estudio de este objeto y sus propiedades1. Consecuentemente, la comparación de fracciones era un tema que debimos abordar y al cual dedicamos tres clases con el propósito de que los alumnos construyeran métodos para comparar y criterios de elección que les permitan decidir qué método es el más adecuado de acuerdo a las fracciones a comparar.

En la última de estas clases, y sexta de nuestra práctica, propusimos una actividad que no era más que otra situación que involucraba la comparación de fracciones, pero a diferencia de las anteriores, las fracciones que debían comparar los alumnos eran fracciones equivalentes. Procurábamos, teniendo en cuenta el trabajo previo2 “romper” con la idea de que dos fracciones son equivalentes sólo si una se obtiene de multiplicar el numerador y el denominador de la otra por un mismo natural, cuestionando, su unicidad escolar y limitaciones. Además pretendíamos que los alumnos comenzaran a comprender que las fracciones equivalentes son formas distintas de representar un mismo número. Buscábamos la emergencia del método de simplificación y de la noción de fracción irreducible.

Durante la puesta en común y discusión de las resoluciones gestionada por el docente a cargo, surgió una cuestión no prevista: la resolución de dos alumnos puso en juego nuevas relaciones respecto del concepto de fracción, que el docente no había considerado.

La actividad propuesta fue la siguiente:

El aula de 1º año A mide del área total de la escuela, la de 1º B mide y la

de 6º A mide . ¿Cuál de las tres aulas es la más grande?

Explica por qué.

Como ya dije, anteriormente estuvimos trabajando en la construcción de un vasto repertorio de métodos de comparación, pero era la primera vez que los alumnos se enfrentaban con fracciones con numeradores y denominadores tan distintos entre si. La intensión era que los alumnos utilizaran la técnica de llevar las fracciones a un denominador común y que compararan sus numeradores, puesto que esta técnica estaba 1 Previamente habíamos analizado, junto con la docente a cargo de nuestra práctica, la pertinencia de “entrar” por este contexto.2 No sólo el trabajo realizado en esas seis clase, si no que también los conocimiento previos de los alumnos como era el caso de la técnica que sito posteriormente.

muy arraigada en las anteriores resoluciones de los alumnos e iba a beneficiar el surgimiento de las relaciones que queríamos cuestionar. Además, las variables numéricas elegidas se dispusieron adrede en un orden, para propiciar el surgimiento de estas relaciones.

Tal disposición ordinal favorecía el establecimiento inmediato de la

correspondencia directa que existe entre y , observando que sólo hace falta

multiplicar por 2 numerador y denominador de para obtener la otra fracción. Por lo

tanto, el verdadero problema de esta actividad radicaba justamente en encontrar la relación

entre y con , dado a que no existe un natural de modo tal: que al multiplicar

numerador y denominador de “me lleve” a . Análogamente, no existe un natural

que “me lleve” a aplicando el mismo razonamiento.

Esta imposibilidad de no poder aplicar la misma técnica para comparar las dos

primeras fracciones con , dio lugar a un momento intensamente discutido e interesante

en el desarrollo de la clase que es precisamente donde se sitúa la génesis del problema central de este trabajo.

En la clase, los alumnos rápidamente establecieron la relación entre las dos primeras fracciones determinando la equivalencia entre ambas representaciones, tal cual lo habíamos

previsto. Pero en torno a la comparación de estas con , los alumnos manifestaron un

gran desconcierto que generó que toda la clase discutiera en pequeños grupos sobre alguna estrategia. Pero no llegaron a tener un método claro.

Ante esta situación, el docente tomó la decisión de comenzar a discutir lo escaso de lo producido a fin de gestionar y negociar alguna resolución en común.

Durante ese debate, dos alumnos que habían seguido trabajando sin participar en la discusión afirman impetuosamente que las fracciones son equivalentes y proporcionan un método que sustenta su versión. En ese momento, el docente no percibió la complejidad que escondía esa resolución e inmediatamente la consideró para su tratamiento y discusión3.

Cuando los autores de la estrategia la “pasaron en limpio” se generó una gran incertidumbre en el aula, tanto la mayoría de los alumnos como el docente no la comprendieron. El procedimiento consistía en comparar las tres fracciones involucradas a partir de “ver” cuántas veces entra el numerador en el denominador en cada fracción, para ello había que dividir denominador por numerador y como el resultado era el mismo, las fracciones eran equivalentes.

3 No debe interpretarse que si el docente se hubiera percatado de tal complejidad tendría que haber descartado la estrategia. Es sólo una descripción de lo sucedido.Vale aclarar también, que esta resolución surgió durante la puesta en común, motivo por el cual el docente no tuvo la posibilidad de observarla con anterioridad.

Recuerdo que durante la elección del problema discutimos sobre la división como procedimiento, pero al repasar el trabajo realizado por los alumnos en las clases anteriores observamos que no era una práctica habitual en estos alumnos y decidimos no tenerla en cuenta en el análisis de las posibles resoluciones. Sin embargo, al elegir las variables la tuvimos en cuenta, pues en el caso de que los alumnos dividieran las variables elegidas nos permitían poner en evidencia, a través de un análisis, las limitaciones que tiene esta técnica al momento de comparar en situaciones como esta. Ya que, al realizar la división podemos obtener cualquiera de los siguientes resultados 0.1, 0.13, 0.133, 0.1333, 0.13333, entre

otros. Y por tanto, se podría afirmar equivocadamente que, por ejemplo, es mayor que

, lo que no es cierto. Pero, lo que nunca imaginamos es que la división podría ser al

revés.

El procedimiento tomó por sorpresa al docente, quien sostuvo la discusión sobre su fundamentación durante un considerable período de la clase, intentando sin dudas, comprenderlo. Trato de gestionar una argumentación adecuada a esa resolución, pero inevitablemente, al no haber previsto ni comprender el procedimiento sólo se confinó a no atribuir juicios de valor sobre el mismo. La situación lo dejo con una doble sensación de desazón: la de no haber gestionado satisfactoriamente ese momento y la de no haber comprendido completamente la resolución.

Teniendo en cuenta este escenario, planteo el siguiente problema:

La aparición de una nueva técnica enfrenta al docente con la necesidad de reorganizar un proceso de validación que contemple el análisis de las nuevas relaciones que ponen en juego los alumnos a partir de dar solución a un problema.

Esta presentación en ningún momento intenta soslayar lo que efectivamente ocurrió en el aula sino que admite un doble análisis: lo actual y lo potencial de la situación. Es decir, analizar que sucedió para poder abordar un análisis de las decisiones que se podrían tomar para favorecer el desarrollo de un nuevo proceso de validación que involucre las relaciones establecidas por los alumnos.

No obstante, para entender un poco más la formulación de este problema a continuación presento los interrogantes que surgieron inicialmente en torno al mismo y subyacen tras su carácter compendioso, algunos serán útiles como punto de partida de posteriores análisis.

Los separaré en dos bloques, siendo consecuente con la propuesta de lo actual y lo potencial de la situación:

Bloque 1¿Cuáles son las relaciones establecidas por el docente que le impiden

comprender la estrategia de los alumnos? ¿qué tipo de intervenciones realiza al intentar comprenderla? ¿encuentra el docente algún tipo de justificación? ¿resulta

inadecuada para los alumnos? ¿por qué omite todo comentario acerca del procedimiento?

Bloque 2¿Cuál es la nueva relación puesta a funcionar por los alumnos? ¿qué tipo de

intervenciones podría poner en juego el docente a partir del nuevo trabajo matemático que se promueve? ¿cómo relacionar los dos sentidos de fracción puesto en juego? ¿por qué es importante una situación como esta?

Consideraciones didácticas y matemáticas

Las nociones y consideraciones teóricas-didácticas y matemáticas que presento en este apartado resultan útiles para entender el por qué de la elección del problema y servirán además como soporte de los posteriores análisis en este trabajo.

Primeramente expondré algunas reflexiones respecto del carácter social y de producción que tiene la clase de matemática y sobre las situaciones que surgen de imprevisto. Relacionaré estas reflexiones con la elección del problema y seguidamente, puesto a que la situación esta involucrada en un proceso de debate, haré referencia a las nociones teóricas de validación, devolución e institucionalización dentro del marco de la Teoría de las Situaciones (Brousseau, 1973).

No obstante, todo aquello referido a la clase y a las producciones de los alumnos no podrá ser analizado sino lo complemento con el desarrollo y análisis de los conceptos matemáticos implicados en la situación, tanto los que aparecen en el trabajo que realizan los alumnos como los que se involucraran a partir del análisis de lo sucedido. Por ello, el análisis de estas cuestiones también tendrá su lugar en este apartado.

Respecto de la clase de matemática

A menudo la clase de matemática se constituye en un espacio donde el trabajo individual y de producción de los alumnos queda circunscrito a las intensiones inmediatas del docente. Es decir, se convierte en un espacio donde el docente sólo mide las competencias individuales de cada alumno respecto de lo que él propone.

Esta manera de entender la clase de matemática puede tener como consecuencia inmediata: la falsa creencia del docente de que puede controlarlo todo. Esto es, el profesor al pensar que sus intensiones gobiernan las decisiones de los alumnos cuando resuelven una tarea, puede llegar a entorpecer el surgimiento de un potencial trabajo de producción. Podría ser el caso de que los alumnos “hagan algo” que no se condice con lo que el docente pretende y entonces éste lo excluya de sus consideraciones. Esta actitud del docente hostil a la construcción del conocimiento, ineludiblemente, lo lleva a un fraccionamiento de la enseñanza que debilita el proceso de aprendizaje y podría llevarlo, por ejemplo, a minimizar el carácter problemático de la situación que he descrito.

Contrariamente, sostengo que la clase de matemática debería favorecer la construcción por parte de los alumnos de su propio conocimiento brindándoles la posibilidad de producción. La clase de matemática tal como toda actividad que se desarrolla dentro de un aula con fines didácticos es, insoslayablemente, una actividad social, y si además, favorece la construcción del conocimiento que se quiere enseñar resulta una actividad social y de producción.

Tal como lo propone la Didáctica de la Matemática, a partir del surgimiento de la Teoría de Situaciones, la clase de matemática se constituye en un espacio donde participan activamente personas y conocimiento matemático; personas que piensan en torno a un objeto de estudio y producen conocimiento. Personas que, como tales, no piensan de igual forma y por lo tanto las relaciones que establecen y ponen en juego cada una de ellas resultan esencialmente diferentes.

Una clase de matemáticas, y por ende una posición docente, que trate de evitar estas diferencias en los modos de pensar y hacer, limitará la producción de los alumnos porque “por un lado, los alumnos no podrán generalmente conocer de antemano el camino que

deben recorrer a lo largo del estudio, ni entender las razones por las cuales el profesor les conduce hacia tal o cual tipo de problemas, abordándolos con tal o cual técnica de resolución. Por otro lado, el profesor tampoco será siempre capaz de prever todas las dificultades que podrán surgir a lo largo del proceso de estudio, ni las reacciones de los alumnos frente a ellas. Esta doble apertura es una característica esencial de la relación entre el profesor de matemáticas y sus alumnos. […] el profesor no puede prever exactamente lo que el alumno hará ni tampoco lo que aprenderá. De hecho, todo intento de “cerrar” la relación didáctica puede llegar a bloquear o debilitar el proceso de estudio, con el consiguiente empobrecimiento e incluso paralización del aprendizaje.” (Chevallard, Bosch y Gascón; 1997)

En consecuencia, dado el carácter abierto de la relación didáctica, debemos ser conciente de que no podemos anticiparlo todo, ya que si sentimos tal omnipotencia terminaremos por cerrar la relación didáctica y debilitar el proceso de aprendizaje inhibiendo el trabajo productivo de los alumnos. Debemos por tanto, reconocer la posibilidad de la multiplicidad de significados personales que pueden influir en la resolución de un problema y dotan de sentido al objeto de estudio. Consiguientemente, minimizar la emergencia de relaciones no previstas y excluirlas de toda consideración atenta significativamente contra la aptitud productora de los alumnos, los cuales podrían tomar la decisión de acomodarse más a las pretensiones del docente que a su propia iniciativa, creatividad y necesidad de conocer.

Concebir la actividad matemática como una actividad social y de producción, no sólo me permite explicar los fenómenos de otra manera sino que también es una posición más acorde a la realidad. El hecho de que los alumnos a partir de dar solución a una situación particular pongan a funcionar argumentos que no fueron previstos por el profesor y promuevan nuevas relaciones con el objeto de enseñanza, no debe entenderse entonces, como un problema exclusivo de ciertas circunstancias fortuitas relacionadas con la planificación previa, con la incapacidad de gestión del docente o con la capacidad del alumno. Debe comprenderse que, como dije antes, las relaciones que establecen los participantes de la relación didáctica resultan diferentes y determinan el significado de las acciones.

Por consiguiente, entender el aula como un espacio de producción es entender, en particular, la actividad docente y la toma de decisiones como una actividad compleja que tiene lugar en un ámbito socialmente conflictivo.

Sadovsky y Sessa (2004), dicen al respecto:

“Caracterizar la complejidad de la gestión del docente cuando su proyecto de enseñanza contempla intercambios entre los alumnos a propósito de sus propias producciones como respuesta a un problema, se presenta entonces como una problemática didáctica a ser profundizada. Esto implica estudiar:

- las decisiones que toma el docente vinculadas a la duración del trabajo cuando trata de coordinar los tiempos institucionales designados para el aprendizaje de un objeto con los tiempos requeridos por el funcionamiento cognitivo de los alumnos;

- las decisiones que lo llevan a dejar pendiente ciertas cuestiones, cerrar otras en el momento e ignorar algunas en el presente en función del futuro de su proyecto de enseñanza;

- los matices de la tolerancia del docente hacia producciones de los alumnos distantes de su proyecto.

Consideramos que este estudio de la complejidad de la gestión del docente es fundamental si se aspira a contribuir, desde la investigación, a la conformación de las clases de matemática como verdaderas comunidades de producción4.”

Todas estas consideraciones me permitieron, en primer lugar, reflexionar sobre rol que juega sobre el desarrollo de un proceso de aprendizaje continúo las decisiones del docente. Y en segundo lugar, entender que era una actitud simplista pensar que la incertidumbre y conflicto que le genero al docente el surgimiento de un procedimiento no previsto se debía a su “incapacidad” de anticipación y/o gestión.

Es decir, no trivializar la situación vivida me hizo “dar cuenta” de la necesidad de enfrentar la situación cuestionando las decisiones, el conocimiento y las interacciones que tuvieron lugar en esa clase, buscando elementos que me permitan explicar el fenómeno y, en lo posible, encontrar una repuesta que lo haga evolucionar favorablemente5.

Respecto de las producciones creativas

La posibilidad de construir “sobre caliente” una justificación de un procedimiento creativo e imprevisto resulta en ciertas ocasiones una tarea sumamente compleja. El docente puede no entender de que se trata o quizás no encontrar argumentos adecuados a sus alumnos y tal vez deba dejarlo pendiente: “los interrogantes que surgen en el proceso de debate dan lugar a la producción de problemas matemáticos originales. En estos casos el docente enfrenta la exigencia de decidir en el momento si les da o no lugar. Atribuirle -a cada nuevo problema que surja- una cierta viabilidad como problema para su clase, estará condicionado por su propia posibilidad de encontrar una respuesta y fundamentalmente de concebir una explicación adaptada a los conocimientos de sus alumnos.” (Sadovsky y Sessa, 2004)

Por estos motivos es que decidí que lo que debía problematizar era la necesidad a la que se enfrenta el docente cuando la producción de un grupo de alumnos le exige una reconstrucción de un proceso de validación para superar la incertidumbre que provoca.

Breve descripción de la Teoría de las Situaciones

La Teoría de las Situaciones de Guy Brousseau se caracteriza por incluir como objeto de estudio de la didáctica al propio conocimiento matemático, que es objeto de enseñanza-aprendizaje en la esfera de una clase. Este estudio implica modelizar los fenómenos didácticos a partir de problematizar y cuestionar un conocimiento matemático.

La teoría de situaciones sostiene una concepción constructivista piagetiana del conocimiento, es decir, sintéticamente, conocimiento por adaptación. Entiende que las

4 El uso de negrita es mío.5 Si bien, en mi formación, mis profesores ahondaron incasablemente sobre estas cuestiones en esta oportunidad tuve la posibilidad de “darme cuenta” de lo que se trataba.

personas aprenderán matemáticas en la medida que construyan sus conocimientos adaptándose a un medio que les ofrece resistencia, análogamente a como se produce en el ámbito científico. Es decir, el alumno aprenderá matemática en la medida que formule enunciados, pruebe proposiciones, construya modelos, lenguajes, conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que reconozca los que están conforme con la cultura matemática y que tome los que son útiles para continuar su actividad. (Chevallard, Bosch, Gascón; 1997)

Por otro lado, la teoría entiende que enseñar un conocimiento un matemático es la posibilidad que el docente tiene para que los alumnos realicen la actividad matemática descrita anteriormente. Sostiene que la clase de matemática debe funcionar análogamente a como funciona la actividad científica, el alumno debe tener momentos en los que trabaje relativamente de manera autónoma frente a los problemas (situación de acción) y donde el conocimiento que se quiere enseñar sea la llave para resolverlo. En menester de encontrar la solución, el alumno necesitará formular conjeturas, maneras de hacer, etc. (situación de formulación). En la medida que el alumno avance en sus formulaciones y tipos de conjeturas, el docente posibilitará la emergencia de argumentos matemáticos más sólidos (situación de validación).

Además, como representante del saber, el docente será el encargado de “guiar” este proceso realizando las intervenciones pertinentes que sostengan al alumno en la responsabilidad de construir su aprendizaje6. Entre los roles más importantes que le atribuye esta teoría al docente se encuentra la devolución e institucionalización, que luego comentaré.

En cuanto al papel que juega dentro de la teoría la noción de situación y lo que significa para ella, la presentaré en los términos del autor:

“Hemos llamado ´situación´ a un modelo de interacción de un sujeto con cierto

medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Algunas de estas “situaciones” requieren de la adquisición ´anterior´ de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pero hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sí mismo un conocimiento nuevo en un proceso “genético”. (Brousseau; 1999, cit. por Panizza)

Situación de Validación

Esta denominación hace referencia al momento en el que el alumno debe convencer a otro de que lo que ha creado es válido, de por qué su método funciona. En esta situación los argumentos que tendrá que utilizar el alumno para fundamentar su proceder, necesariamente, deberán ser matemáticos, en el sentido de que los conocimientos matemáticos en esta instancia alcanzan su mayor grado de rigurosidad antes de que el docente les de un carácter institucional a los mismos.

El momento de la validación incluye en sí mismo a otras instancias o situaciones, pues el alumno tendrá que dar explicaciones, someterse al cuestionamiento de sus pares y

6 Para más detalles los distintos tipos de situación, consultar “El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje” Pág. llllssss

del docente, dar y que le ofrezcan contraejemplos, reformular sus explicaciones, volver sobre cuestiones anteriores, etc. En esta fase los alumnos re-realizan acciones, re-formulan y buscan argumentos adecuados para convencer a otro u otros. No es una situación de carácter cronológico dentro de una clase, sino que puede darse en cualquier momento incluso dentro de cualquier interacción de todas las interacciones que se producen en el aula. Por lo tanto, la situación de validación es una instancia continua donde el tipo de argumentaciones estará condicionado por el tipo de interacción. Por ello, resulta conveniente renombrar sintáctica pero fundamentalmente semánticamente la situación de validación y llamarla proceso de validación.

El rol del docente, en este proceso, consiste en gestionar un ambiente propicio para que el alumno pueda explotar al máximo su capacidad de exteriorizar todo lo que esta pensando y pueda convertirlo en matemática. Quiero decir, el accionar docente debe apuntar a sostener al alumno en un cierto estado que le permita avanzar en el grado de certeza respecto de lo ha pensado o hecho durante la resolución. De acuerdo con Quaranta (2004), el alumno por su parte debe asumir la responsabilidad cognitiva frente a la resolución y validación de las producciones porque resulta una condición indispensable para la asimilación de las ideas; ello permite dinamizarlas en función de los requerimientos de las situaciones y vincularlas de modo cada vez más explícito con aquéllas que resuelven, avanzando en la comprensión de las razones por las cuales dichos conocimientos funcionan de determinada manera. cita

Procesos de Devolución e Institucionalización

Cada vez que el alumno se enfrenta a un problema, no precisamente se hará cargo del mismo, ese problema puede no ser un problema para él y por lo tanto, no sienta la necesidad de resolverlo. Será tarea del docente devolverle al alumno la necesidad de que la situación se convierta en “su” problema. Esta devolución es una intervención del docente que procura mantener al alumno en un estado de relación personal con el problema sin necesidad de anticiparle nada acerca de cómo resolverlo.

Esta devolución Brousseau la describe en estos términos: “el trabajo del docente consiste en proponer al alumno una situación de aprendizaje para que produzca sus conocimientos como respuesta personal a una pregunta, y los haga funcionar o los modifique como respuestas a la exigencia del medio y no al deseo del maestro. Hay una gran diferencia entre adaptarse a un problema que plantea el medio, insoslayable, y adaptarse al deseo del docente. La significación es completamente diferente. Una situación de aprendizaje es una situación donde lo que se hace tiene un carácter de necesidad en relación con obligaciones que no son arbitrarias ni didácticas. Es necesario que el alumno olvide los presupuestos didácticos de la situación… No basta comunicar un problema a un alumno para que ese problema se convierta en su problema y se sienta el único responsable de resolverlo. Tampoco basta que el alumno acepte esa responsabilidad para que el problema que resulta sea un problema universal, libre se presupuestos subjetivos. Denominamos devolución a la actividad mediante la cual el docente intenta alcanzar ambos resultados” (Brousseau; 1994. cit. por Buffarini)

Otro de los roles esenciales que se le atribuyen al docente, dentro de la Teoría de Situaciones, tiene que ver con la compleja tarea de despojar todo rasgo subjetivo del conocimiento que se pretende enseñar y darle, consiguientemente, un carácter institucional al mismo.

Brousseau define a este rol de a partir de la siguiente reflexión: “fue así como “descubrimos” (¡!) lo que hacen todos los docentes en sus clases pero que nuestro esfuerzo de sistematización había hecho inconfesable: deben tomar nota de lo que han hecho los alumnos, describir lo que ha sucedido y lo que tiene una relación con el conocimiento al que se apunta, dar un estatuto a los acontecimientos de la clase, como resultado de los alumnos y como resultado del docente, asumir un objeto de enseñanza, identificarlo, relacionar esas producciones con el conocimiento de los otros (culturales o del programa), indicar que ellos pueden ser reutilizados. (…) La consideración oficial del objeto de enseñanza por parte del alumno y del aprendizaje del alumno por parte del maestro, es un fenómeno social muy importante y una fase esencial del proceso didáctico: ese doble reconocimiento constituye el objeto de la INSTITUCIONALIZACIÓN.” (Brousseau; 1988)

No obstante, a pesar de que he definido desde la perspectiva del autor los dos roles esenciales de la actividad docente dentro de la Teoría de Situaciones, a continuación me referiré a estas dos nociones desde una perspectiva que amplia su significado.

Glorian y Margolinas entienden la devolución e institucionalización como procesos que tienen lugar durante todo el proceso didáctico. En tanto, Sadovsky en su Tesis doctoral, considera que Glorian va mucho más allá cuando sostiene que la devolución también podría darse a posteriori a través de un retorno reflexivo sobre las acciones desplegadas a raíz de un problema propuesto. Lo cual es significativamente importante para el problema que propongo, pues la intensión misma del trabajo es la de una devolución a posteriori.

Estas autoras plantean que la devolución es un proceso continuo de negociación con el alumno, donde el docente interviene sutilmente sosteniendo al alumno en la construcción de un conocimiento especifico, entonces se preguntan dónde comienza la institucionalización, sino es en esa perspicaz intensión de guiar al alumno a un conocimiento determinado. La institucionalización y la devolución son instancias que se no dan de manera aislada dentro del proceso didáctico, si no que resultan “densas” en él.

No podemos afirmar que hay un momento específico para la devolución y uno para la institucionalización, estas nociones merecen ser consideradas como procesos que se imbrican contemporáneamente, la institucionalización de los conocimientos comienza para nosotros desde el momento mismo de la devolución porque ya ahí es necesario que el maestro dé al alumno, si no lo tiene, el proyecto de adquirir esos conocimientos; en ese sentido los procesos de devolución se imbrican y son, en cierta medida contemporáneos. (Glorian; 1993 cit. por Sadovsky)

Respecto de la matemática involucrada

Debo precisar los aspectos referidos a las cuestiones matemáticas con las que se trabajo en clase y a las que hago referencia en este trabajo para encontrar el sustento matemático que justifiquen la nueva técnica. Para ello, en primer lugar haré un repaso sobre los distintos sentidos de uso de las fracciones que intervienen en toda la situación. y luego, precisaré algunas diferencias entre la idea de fracción y la de razón. Por último, ampliaré el significado de razón apelando a la noción de proporción.

Los distintos sentidos de uso de las fracciones

Desde la didáctica de la matemática se propugna tomar conciencia sobre los significados que toman los objetos matemáticos dependiendo del contexto en el que se ponen a funcionar. Así, las fracciones adquieren distintos significados dependiendo su sentido de uso. (Godino y Batanero, 2004)

Sin embargo, vale aclarar que de ninguna manera un significado en particular está condicionado “a vivir” en el contexto que le da origen, es más, como veremos en este trabajo una mezcla de sentidos de uso puede ayudar a resolver un problema particular. Es más, la enseñanza de la matemática debería apuntar en ese sentido: propiciar la articulación de los diferentes significados de un concepto.

De acuerdo al problema y la situación descrita, me interesa relevar dos de los significados o sentidos de uso relativos al concepto de fracción, los cuales servirán para comprender los posteriores análisis. En primer lugar, consideraré la fracción como medida y seguidamente haré referencia a la fracción como razón.

Dado que la situación que propusimos en la clase, involucra la noción de fracción como medida de un área, de Godino y Batanero7 rescato la siguiente caracterización respecto de los sentidos de uso de las fracciones como medida.

La fracción como medida

Por fraccionamiento de la unidad

“En estas situaciones existe una cantidad de magnitud a medir que no equivale a la unidad o alguno de sus múltiplos. Para precisar más la medida se

divide la unidad en partes iguales y si una magnitud mide unidades quiere decir

que dividiendo la unidad en b partes iguales la cantidad de magnitud a medir equivale a un número a de esas partes.”

Por conmensurabilidad

Esta situación tiene lugar cuando se comparan dos cantidades de una magnitud, estableciendo cuántas veces debe ser repetida cada una de ellas para obtener dos cantidades iguales.

Es decir, dadas dos cantidades de magnitud A y B, decimos que están en la

razón si repitiendo b veces la cantidad de magnitud A y a veces la cantidad de

magnitud B, se obtienen dos cantidades de magnitud iguales, es decir, . Si

la cantidad B se toma como unidad de medida se dice entonces que es la medida

de A respecto de la unidad B.”

7 Apunte maestros

Dado a que la anterior definición involucra la noción de razón seguidamente daré una primera definición de este concepto relacionada a su representación y su propiedad fundamental, tal como lo define Godino en ese artículo.

La fracción como razón:

Los pares de números naturales , o separados por un guión , que aparecen en el segundo tipo de situaciones de la fracción como medida suelen recibir el nombre de razones y tienen todos ellos la particularidad de que si dos cantidades de magnitud A y B están en la razón se cumple que . Al primer número se le llama antecedente y al segundo consecuente.

Sin embargo, no debe entenderse que esta es la definición de razón. Pues, la idea de razón es más compleja y por ello, en lo que sigue, trataré de precisarla con más detalles. Tomaré casi textualmente el texto de Godino y Batanero buscando diferenciar ontológicamente (no se si esta bien usado después te explico a que me refiero y me decis) los conceptos de fracción y razón puesto que, generalmente, en la escuela se suelen fusionar los conceptos de razón y de fracción como si se tratara del mismo objeto; las razones que se proponen son entre números naturales y los alumnos podrían pensar que una razón es equivalente a una fracción. Sin embargo existen diferencias sustanciales entre ambos conceptos. Algunas consideraciones entre fracción y razón

Entre los usos de las fracciones figura el de razón, entendida, de manera genérica, como la comparación entre una parte y otra parte. Es importante, sin embargo, estudiar con más detalle el uso que se hace del término “razón”, ya que no siempre es sinónimo de “fracción”. La idea clave es que las fracciones son “cualquier par ordenado de números enteros cuya segunda componente es distinta de cero”; mientras que una razón es “un par ordenado de cantidades de magnitudes”. Cada una de esas cantidades viene expresada mediante un número real y una unidad de medida. (Godino, 2004)

Ese par ordenado tiene un significado especial, que vas más allá de la noción de cociente, es una relación entre dos cantidades de magnitudes: es una relación comparativa. Y por eso, como dice Godino, el uso que se hace del término razón en algunas circunstancias resulta más amplio que el de fracción. Y propone algunas diferencias entre estos dos términos:

- Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos8, o sea, objetos que se miden con unidades diferentes. Por ejemplo, 3 jamones por 145 euros. Las fracciones, por el contrario, se usan para comparar el mismo tipo de objetos como “dos de tres partes”, lo que se indica con 2/3. Según esto la razón 3 jamones/145 euros no es una fracción.

- Las razones se usan cuando se comparan los tamaños de colecciones de objetos de naturaleza diferente, y no tiene sentido pensar en un conjunto global que los contenga. Por ejemplo cuando se dice que hay 2 automóviles por cada 5 habitantes.

8 No exclusivamente. Podría ser el caso que comparen cantidades de la misma magnitud, el énfasis esta puesto para diferenciarlas de las razones como fracciones.

- Las razones se pueden designar mediante símbolos distintos de las fracciones. La razón 4 a 7 se puede poner como 4:7, o 4 → 7.

- Algunas razones no se representan con la notación fraccional. Por ejemplo, 10 litros por metro cuadrado. En este caso no se necesita, ni se usa, la notación de fracción para informar de la relación entre dichas cantidades.

- En las razones, el segundo componente puede ser cero. En una bolsa de caramelos la razón de caramelos verdes a rojos puede ser 10:5, pero también se puede decir que puede ser 10:0, si es que todos son verdes (no se trata de hacer ninguna división por 0).

- Las razones no son siempre números racionales. Por ejemplo, la razón de la longitud de una circunferencia a su diámetro C/D es el número π, que sabemos no es racional, o la

razón de la longitud de la diagonal de un cuadrado a la longitud de su lado . Esta es

una diferencia esencial entre “razón” y “fracción”, las fracciones son siempre interpretables como cociente de enteros.

- Las operaciones con razones no se realizan, en general, de igual manera que las fracciones. Por ejemplo, 2 aciertos sobre 5 intentos (2:5), seguidos de 3 aciertos sobre 7 intentos (3:7) se combinan para producir 5 aciertos en un total de 12 intentos, o sea, con estas fracciones se puede definir una “suma” de razones del siguiente modo: 2:5+3:7=5:12. Evidentemente esta suma no es la misma que la suma de fracciones.

Por lo tanto, debe entenderse que:

Una fracción puede ser siempre interpretable como un cociente de enteros (en los casos que no es un número entero), en cambio una razón es una relación comparativa entre dos cantidades de magnitudes, que en ocasiones se representa a través de un cociente y no necesariamente de enteros. Las razones se forman a partir de la comparación entre dos cantidades.

La noción de proporción (Godino y Batanero, )

En muchas situaciones prácticas se establecen relaciones entre las cantidades de dos magnitudes, de tal modo que las cantidades de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo número las distintas cantidades de la otra. Por ejemplo, el precio pagado por las distintas cantidades de un artículo -supongamos que tiras de pan - se obtiene multiplicando el número de barras que compramos por el precio unitario de dicho artículo -30 centavos-, de manera que si compramos 3 barras tendremos que pagar 30x3=90 (90 ctvos). En estas situaciones tenemos dos series de números, como se indica en la siguiente tabla, que se dicen son proporcionales entre sí.

Número de barras de pan 1 2 3 4 5 6 7

Precio pagado en pesos 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1

En general, decimos que dos series de números, con el mismo número de elementos, son proporcionales entre sí, si existe un número real fijo k, llamado razón de proporcionalidad, que permite escribir cada valor de la segunda serie como producto por k de los valores correspondiente de la primera serie.

Cuando en la situación considerada sólo intervienen dos pares de números que se corresponden, se dice que se establece una proporción.

Por ejemplo si a 6 le hacemos corresponder 45, y a 14 le corresponde 105. En este caso,

45= 6 y 105 =14 . Por tanto, las dos series de números decimos que

forman una proporción.

Se escribe en la forma de igualdad de dos razones, que aparece en general bajo la

representación de una igualdad entre dos fracciones: , o también, .

En consecuencia, el producto cruzado de los numeradores y denominadores serán iguales entre sí. Cualquier cambio de disposición entre los cuatro números que forman una proporción que no modifique los productos cruzados de los numeradores y denominadores entre sí dará lugar a una nueva igualdad de fracciones. Una proporción permite escribir cuatro igualdades equivalentes entre dos fracciones (que suelen ser interpretadas en este caso como razones), como se resume en el cuadro adjunto:

Un relato y análisis de lo sucedido

Puesto que el problema planteado tiene como objetivo problematizar la necesidad de reorganizar didáctica y matemáticamente la situación descrita, será preciso entonces comprender qué relaciones se pusieron en juego para luego, en lo posible, proponer instancias que favorezcan un potencial proceso de validación. Por lo tanto, comenzaré con el análisis del registro de la clase buscando elementos que me permitan caracterizar los conocimientos puestos a funcionar.

La actividad

El aula de 1º año A mide del área total de la escuela, la de 1º B mide y la

de 6º A mide . ¿Cuál de las tres aulas es la más grande?

Explica por qué.

Tal como dije anteriormente, la actividad estaba pensada para discutir sobre la unicidad escolar y limitaciones del siguiente hecho: dos fracciones son equivalentes sólo si una se obtiene de multiplicar el numerador y el denominador de la otra por un mismo natural. Para ello, propusimos tres fracciones equivalentes de modo tal que la técnica no responda en alguno de los casos a comparar.

De acuerdo a lo planificado, el verdadero problema de la actividad surgió en torno a

la comparación de con cualquiera de las otras dos fracciones, puesto que los alumnos

para comparar y utilizaron la técnica descrita anteriormente pero en este caso no les

servia. Y así, este hecho se convirtió realmente en un problema para ellos que no encontraban una estrategia adecuada que les permitiera comparar, aún cuando las dos clases anteriores estuvimos trabajando sobre distintos métodos y criterios de elección para utilizar tales métodos.

En ese contexto de incertidumbre es donde surge el procedimiento que rompe con todo lo previsto por el docente y a continuación presento un relato del episodio incluyendo algunos de los diálogos tal cual ocurrieron, analizando algunos pasajes de esa discusión.

El episodio

Sabiendo que y dos alumnos, Matías y Pedro, proponen que es

también equivalente a ellas:

Pedro: profe! son todas igualesProfesor: a ver PedroPedro: que hable MatíasMatías: son iguales; porque cuando se divide cuarenta y cinco por seis, noventa por doce y ciento cinco por catorce se obtiene el mismo resultado.

Este el primer momento de la clase que la estrategia toma un carácter publico. El docente reorganiza la misma y pide a los alumnos que presten atención al método de Matías y Pedro, pero no advierte la manera de dividir de estos alumnos, quizás pensando en una división pero no precisamente en esa.

Profesor: ¡explicá Pedro!Pedro: es que yo no lo se explicar… porqueeee… Porque yo lo divido. Y por ejemplo: cuarenta y cinco dividido por seis, ¿no?; y te da, eh…

Inmediatamente el docente interrumpe con la siguiente pregunta:

Profesor: ¿cuarenta y cinco dividido seis? ¿Esa es la cuenta que hay que hacer?

Esta intervención indica un primer estado de su desconcierto ante la forma de dividir de los alumnos. La pregunta también desconcierta a Pedro y le exige repensar la resolución.

Pedro: eso hice yo… porque me daaaa… Yo hice. No se como decirte, que Matías te explique bien.

Matías comenta que él no entendía que relación había entre con las otras dos

fracciones, entonces al querer encontrar alguna respuesta lo que hizo fue dividir, pero no dividió por dividir.

Matías: […] entonces ahí quería ver eh… como no sabia que tenían que ver, quise ver cuántas veces entraba cada uno… que seria más o menos equivalente eso. Entonces lo dividí, cuarenta y cinco por seis, noventa por doce y ciento cinco por catorce y me dieron siete coma cincoProfesor: vos lo que hiciste fue esto… (Escribe en el pizarrón seis dividido cuarenta y cinco)Matías: sí, con las tresProfesor: ¿y qué te dio?Matías: siete coma cincoProfesor: ¡¿siete coma cinco?!Pedro: ¡Es cuarenta y cinco dividido seis!

En toda esta primer parte de la discusión se puede ver que docente y alumnos no están pensando lo mismo y el docente esta interpretando la resolución de los alumnos a partir de lo que él quiere escuchar, en consecuencia las relaciones puestas en juego por cada actor son diferentes.

En ese instante el profesor piensa que la división debería ser al revés y aunque no lo haga explícito, la pregunta “¿esa es la cuenta que hay que hacer?” es significante de ello. Y si bien, en ese momento, ese cuestionamiento resulta una muy buena devolución porque pone al alumno en una situación en la cual debe rever su estrategia y preguntarse “¿por qué divido de esa manera?” muestra una clara dependencia del docente con uno de los objetivos de la clase: distinguir que las fracciones equivalentes son formas diferentes de representar un mismo número.

Es decir, el docente está considerando a las fracciones como un número constituido, un racional; y a la división como la técnica por la cual se obtiene el racional que representa esa fracción. Consiguientemente, en ese momento dividir denominador por numerador carecía de todo significado para él. Esto puede verse nuevamente y más claro cuando el docente escribe equivocadamente en el pizarrón lo que Matías le dicta y Pedro lo corrige. La división que realiza el profesor pone de manifiesto gráficamente su interpretación de la situación: considera que la división tiene que ser al revés porque esas fracciones representan un número, y ese número, se encuentra dividiendo numerador por denominador.

Luego, ante la intervención de Pedro, toma conciencia instantáneamente de que “su” forma de dividir no tenía nada que ver con la forma de dividir de los alumnos y cambia el rumbo de la discusión y realiza una pregunta interesante, la más interesante que pueda haber realizado:

Profesor: ¡a ver pará!... ¿por qué cuarenta y cinco dividido seis?Matías: para ver cuántas veces entraba el seis en el cuarenta y cincoProfesor: ¿para ver cuántas veces entraba el seis en el cuarenta y cinco? (como pensandoMatías: Por ahí eso seria equivalente con el catorce sobre ciento cinco.Profesor: (dirigiéndose a la clase) lo que hizo Matías fue dividir de esa manera para ver cuántas veces entraba el […] ¿Sí? ¿Se entiende? Algunos alumnos: Si… pero es re difícil

Como dije antes, el docente se da cuenta de que en realidad esa división, inadecuada en un principio para él, se correspondía con el argumento “ver cuántas veces entra el numerador en el denominador”.

Sorpresa para el docente que se ve imposibilitado de gestionar un proceso de validación en ese instante porque no sabe cómo fundamentar la estrategia, razón por la cual se dirige a la clase sólo informando la estructura del procedimiento sin atribuirle algún juicio de valor.

Sin embargo, el debate sigue y en el último pasaje del mismo Matías explica enfáticamente su procedimiento y provee algunos elementos más acerca de cómo se le ocurrió la estrategia. El docente, sorprendido aún, y ante el comentario de otra alumna, cuestiona a sus alumnos sobre la interpretación del resultado obtenido:

Matías: Miren. El seis dividido cuarenta y cinco, el doce dividido noventa no sabemos cuántas veces entran, ¿si? o sea sin hacer la cuenta. Pero sabemos que son equivalentes, entonces el catorce sobre ciento cinco, si vos te fijas cuántas veces entra el catorce en el ciento

cinco también podría ser equivalente con los otros.Alumna: el catorce entra menos veces en el enteroProfesor: (dirigiéndose a la clase) ¿cuántas veces entra el catorce en el 105?Matías: ¡siete coma cinco!Pedro: ¡siete!Profesor: ¿qué seria siete coma cinco?Matías: siete veces y mediaProfesor: ¿sería cuánto? siete coma cincoMatías: eh… siete mediosProfesor: ¿siete medios?Alumno1: siete y medioAlumno2: no son todas iguales por que el seis en el cuarenta y cinco entra siete veces y te sobran tres. Y el catorce entra siete coma cincoProfesor: Y cómo haces para saber esoPedro: todos lo numeradores toman la misma cantidad que todos…eh…no se como decirloProfesor: bueno… bueno, a ver. Veamos lo que esta diciendo Matías

Profesor: Matías lo que hace es ver cuántas veces entra el catorce en el ciento cinco, el seis en el cuarenta y cinco, y cuántas veces entra el doce en el noventa. Para ello divide denominador por el numerador y como todas divisiones le dan el mismo resultado, entonces las fracciones son equivalentes.

La estrategia no estaba clara, ni siquiera para los alumnos que la habían propuesto. Mientras Matías afirma que entran siete veces y media, Pedro dice que entran siete veces. Se puede inferir sus respuestas están condicionadas por la manera de dividir de cada uno. No obstante, el docente debería haber indagado más sobre esa cuestión, pero como está en un proceso de entendimiento sólo pregunta sobre el significado del valor obtenido para comprender el sentido que le están atribuyendo los alumnos y por ello no llega a reorganizar sus conocimientos para concluir algo al respecto.

Por otro lado se ve que otros alumnos quieren participar en la discusión, tratan de entender y realizan intervenciones que no resultan pertinentes. Además en el registro fílmico se puede observar que hay otras dos alumnas realizaron el mismo procedimiento y lo comentan con un compañero, pero no lo hacen público.

Esta intención de participación por parte de la clase en tratar de comprender y el hecho de que exista una resolución semejante, me lleva a firmar que debería haber sido una buena oportunidad para reflexionar sobre las relaciones puestas en juego. Sin embargo, en aquella oportunidad los tiempos institucionales no lo permitieron y así, esta nueva estrategia “murió” en un estado informativo porque el docente no encontró los argumentos suficientes para la gestión para una justificación que se adecué al problema, a sus conocimientos y a los conocimientos de los alumnos en ese momento, y aunque este último

no haya promovido una validación más rigurosa, el hecho de comunicar el método como ratificando su validez se convirtió en un elemento, que me atrevo a caracterizar, como un débil componente del proceso de institucionalización. Es decir, el docente al comentar el procedimiento le proporcionó un carácter institucional al mismo, y aún, los alumnos los que no lo entendieron podrían haber asumido el método como “válido”, sin una justificación.

Pero más allá de las decisiones que el docente tomó y que no contribuyeron al desarrollo de la nueva técnica, que ciertamente servia para abonar el objetivo de cuestionar la unicidad de la técnica que se quería problematizar, los alumnos hicieron matemática, conjeturaron un método, modificaron su estructura de conocimientos para superar un conflicto: construyeron nuevas relaciones con el objeto fracción; y esa es la razón principal por la que elegí esta situación. Y por ello, creo que es necesario investigar cuáles son las relaciones que establecieron los alumnos.

Análisis de las relaciones emergentes

Situaciones como la que he descrito no pueden trivializarse entendiendo que son simples situaciones no previstas. La división “al revés” es, ciertamente, un acto matemático de creatividad que se manifiesta en la necesidad de superar un conflicto e involucra nueva matemática y por lo tanto, necesita que el docente tome decisiones al respecto para no quede sólo como una técnica que no puede justificarse.

El objetivo de este apartado es poder determinar cuáles son las relaciones que se establecieron tratando de encontrar los argumentos que las sustentan para, en lo posterior, poder proponer un potencial trabajo de validación.

Comenzaré analizando el procedimiento apoyándome en las anteriores consideraciones didácticas y matemáticas que expuse.

El procedimiento

El procedimiento que proponen los alumnos consiste en comparar las fracciones

, y a partir de observar la relación que existe, en cada una de ellas, entre el

numerador y denominador, y luego, comparar esa relación -resultado-. Para tal fin utilizan una división.

Me pregunto entonces, ¿cuál es la relación? ¿cómo dividen? ¿por qué?

La lógica del procedimiento y las nuevas relaciones

Generalmente, cuando se habla de fracciones se las asocia inmediatamente con una división, ya sea por herencia escolar que “pega” el concepto a los contextos de reparto equitativo o por la identificación “mas abstracta” de fracción con número racional. En cualquiera de los dos casos ese cociente viene dado por la división del numerador por el denominador. Contrariamente, la estrategia que proponen los alumnos en esta situación involucra una división que se aleja significativamente de esta asociación por defecto.

¿Qué quiero decir?

En primer lugar, que los alumnos utilizan a la división como una herramienta operativa que les permite determinar una relación entre las dos cantidades involucradas en una fracción. La utilizan como un recurso para un fin bien determinado por ellos: “ver cuántas veces entra el numerador en el denominador”. Entonces, el procedimiento podría resumirse en términos de una relación y la comparación del resultado de esa relación.

Y en segundo lugar, que esta idea de relacionar dos cantidades primero, luego otras dos y posteriormente sus resultados, se acerca más a la comparación de razones (proporción) que a una comparación de fracciones. Es decir, en acto, los alumnos no comparan fracciones sino que comparan razones.

Para entender mejor lo que digo, volvamos sobre la definición en cuanto a la noción de razón que presente en el apartado de consideraciones didácticas y matemáticas.

Una razón no siempre esta relacionada con una fracción, por que es una comparación entre dos cantidades de magnitudes, es un par ordenado donde sus componentes mantienen una relación comparativa, que podría ser a través de un cociente, o como en el caso de esta resolución a través de una relación multiplicativa como es la de “ver cuántas veces entra algo en otra cosa”. Pues, la división que realizan los alumnos tiene la intensión de encontrar un parámetro (multiplicativo) de comparación.

Por tanto, la idea implícita en la estrategia será mejor comprendida si nos situamos en el contexto de las razones.

Vale aclarar, que si bien tal como lo define Godino, las razones hacen referencia a la comparación de cantidades de magnitudes diferentes, podría ser que se compararan dos cantidades de la misma magnitud. En particular, como es en este caso, en el que sólo se compara numerador y denominador, esas cantidades son simplemente numéricas -sin magnitud-. Entonces así lo tomaré, la comparación entre dos cantidades numéricas como caso particular de la noción de razón9.

Situándome en ese contexto, puedo interpretar la estrategia de los alumnos de la siguiente manera:

Mi relación comparativa será el “cuantas veces entra”. Esta relación así definida todavía no es la de los alumnos, pero me permite ver el carácter multiplicativo de la misma. Pues, por más que dividamos para ver cuántas veces entra A en B la relación que se obtiene es: A entra k-veces en B, o sintácticamente, . Por lo tanto, si ahora tengo

y defino la relación comparativa “cuántas veces entra el numerador en el

denominador” establezco, de acuerdo a lo anterior, una correspondencia multiplicativa entre el numerador y denominador de esa fracción, de tal modo que el valor del denominador se puede expresar como producto de k por el valor correspondiente del numerador.

Entonces si el 6 entra 7.5 veces en el 45, el 12 entra 7.5 veces en el 90 y el 14 entra 7.5 veces en el 105 tengo que: . En consecuencia, de acuerdo con la definición de Godino, las siguientes series de números son proporcionales:

Luego, si considero de a dos pares de números que se corresponden obtengo una proporción. Consiguientemente, los siguientes pares de series forman, cada uno, una proporción que se escriben en la forma de una igualdad entre dos fracciones, entendidas como razones:

9 Godino hace referencia a esto más adelante---- buscar y escrirlo aca---

forman la proporción

forman la proporción

forman la proporción

Las anteriores proporciones dan lugar a las siguientes igualdades equivalentes a ellas según se modifique convenientemente los cuatro números involucrados en cada una de ellas:

, y

Luego, aplicando la propiedad de transitiva de la relación “igual a” resulta que:

.

Entonces, la resolución de los alumnos se puede describir de la siguiente manera: “dadas las fracciones, los alumnos establecieron una relación comparativa entre las partes constituyentes de cada una; esto es, observaron cuántas veces entraba el numerador en el denominador. Como obtuvieron el mismo resultado, es decir la misma razón de proporcionalidad, las fracciones inversas de las iniciales resultaron una proporción, por ende equivalentes. Pero, puesto que a través de una proporción se tiene siempre cuatro igualdades las fracciones originales son también equivalentes”

Obviamente, seria ingenuo pensar que los alumnos tenían toda esta argumentación implícita en sus razonamientos. Sólo pretendí presentar una fundamentación que fuera significante del argumento expuesto por los alumnos. Una fundamentación que mostrara las ideas que se ponen en juego a partir de proporcionarle un sentido a la frase “quise ver cuántas veces entraba cada uno… que seria más o menos equivalente eso. Entonces lo dividí”. Sin embargo, esta fundamentación forma parte de una reorganización de los propios conocimientos del docente (de acuerdo con Sadovsky y Sessa). Y por lo tanto, en ningún momento intenta ser una propuesta sino un análisis de la matemática involucrada y de las nuevas relaciones que se podrían establecer. Solamente es una presentación que permite que el docente evalúe y encuentre un punto de apoyo en ella para gestionar un proceso de validación adecuado a los alumnos. En lo que sigue indagaré sobre esta cuestión.

La consideración institucional de la producción de los alumnos

En este apartado quiero hacer énfasis en las decisiones que podría tomar el docente para que la nueva técnica encuentre una justificación que se adecué a los conocimientos que tienen y ponen en juego los alumnos.

Una primera decisión

En esta situación que decidí problematizar el docente destinó una buena parte del tiempo de la clase a tratar de entender una estrategia que él no había previsto, y sin lugar a dudas, esto pudo haber tenido un costo altísimo si el profesor hubiese seguido insistiendo sobre la validación del procedimiento.

El tiempo es muy importante en la consecución de las actividades que tiene previstas el docente y por lo tanto debería ser un recurso debidamente manejado por él. Y no estoy diciendo que no tenga en cuenta el tiempo que necesitan los alumnos para comprender y tome la decisión inaceptada de tratar “de dar mucho en poco tiempo”. Sino que estoy refiriéndome a que en el caso de que surja algo no previsto, donde se ve imposibilitado de una gestión inmediata debe disponer de variables premeditadas, por ejemplo, en el caso que estoy problematizando, el docente podría haber tomado la decisión de trasladar la responsabilidad de una validación al resto de la clase y tomarse un tiempo entre clase y clase para pensar sobre la situación.

Esto es, el docente podría haber promovido una interacción de cada alumno con la estrategia proponiendo que la analicen en sus casas para poder discutir en la próxima clase qué fue lo que hicieron Matías y Pedro. Esta decisión le permitiría al docente tener un tiempo para “masticar” la nueva técnica que lo sorprende y además que todos los alumnos estén, en cierta forma, involucrados con el procedimiento y con la intensión de una validación, donde el docente no sea el único responsable: la tarea de evaluar los procedimientos de los otros después de haber producido uno propio, coloca al alumno en una posición de control, en la que agudiza el análisis crítico. Validar una producción adquiere entonces una finalidad reconocible para el alumno. […] Ubicado en esta posición de controlador/validador, el alumno puede intervenir sobre el futuro de la clase y al mismo tiempo revisar su propio pasado. Efectivamente, por un lado, se hacen visibles para él cuestiones que los productores pudieron haber pasado por alto y que, en la medida en que las haga públicas, podrían transformarse en nuevos problemas matemáticos que el conjunto de la clase asuma. Por otro lado, el análisis del trabajo de los otros puede ofrecer respuestas a las incertidumbres provocadas por la propia producción, llevando al estudiante a modificar decisiones ya tomadas. (Sadovsky y Sessa; 2004)

Una posible validación

El análisis de la nueva técnica me llevo a reflexionar sobre cómo gestionar la emergencia de una justificación que sea adecuada al problema y a los conocimientos de los alumnos, y aunque la presentación expuesta en el apartado anterior me pareció la más pertinente para explicar la red de relaciones que ocultaba la técnica, resulta demasiado compleja para gestionar un proceso de validación que involucre todas las cuestione que

rondan a su alrededor. Por ello, mi propuesta de justificación pretende sólo hacer énfasis en que lo alumnos comprendan cuál es la idea central del trabajo de Matías y Pedro: la definición de una relación de comparación entre dos cantidades. Por lo tanto, la siguiente propuesta procura promover un primer acercamiento a la noción de razón entendida como una relación comparativa entre dos cantidades de magnitudes haciendo referencia a la idea de proporción.

En el caso ideal de que la estrategia en cuestión haya surgido, el docente la haya postergado para una próxima clase y los alumnos hayan tenido un contacto individual en sus casas con el procedimiento, el profesor podría empezar la clase preguntando a sus alumnos sobre qué fue lo que pudieron entender de la estrategia, con el propósito de involucrarlos en el tema y que no sea demasiado “chocante” proponer un trabajo al respecto desde el comienzo de la clase.

El docente deberá gestionar esta discusión tratando de objetivar la relación “cuántas veces entra el numerador en el denominador” para tal fin podrá tener presente la siguiente pregunta:

¿alguien me podría explicar por qué Matías y Pedro dividen de esa forma?

Esta pregunta tiene como objetivo que los alumnos digan explícitamente que la división se hace de esa forma para ver cuántas veces entra el numerador en el denominador. Una vez que esto emerja de la discusión, se podría estar preguntando:

¿qué significa que el 6 entre siete coma cinco veces en el 45?

La idea de esta pregunta es que los alumnos reflexionen sobre la idea de “cuántas veces entra” y sobre un hecho muy importante: el valor 7.5. El docente, para ello, podría estar proponiendo que se vuelva a realizar la división pero con la condición que esta vez no se puede “dividir con coma”.

La relación que se pone en juego es significativamente distinta porque al tener que

interpretar el valor 7.5 los alumnos podrían confundir este valor con la fracción , tal

como ocurrió en la clase y por tanto, la restricción de no dividir con coma pone en

evidencia “el medio” ( ), y además que pone a funcionar una interpretación del “resto”.

Esto podría discutirse, por ejemplo pidiendo a un alumno que pase al pizarrón a realizar las cuentas , y con la ayuda del resto de la clase. En el pizarrón debe quedar escrito lo siguiente:

El docente puede apelar a darle una interpretación al resto o hacer referencia a la

equivalencia entre las fracciones . Pero, creo conveniente no

involucrarse en esta cuestión si no surge. Me parece más apropiado propiciar la siguiente relación, por ejemplo:

“al dividir 45 por 6 para ver cuantas veces entra el 6 en el 45 obtengo como resultado 7 y me sobran 3; por lo tanto el 6 entra 7 veces entero en el 45 y media vez más, porque 3 es la mitad de 6”

Análogamente, se podría establecer esta relación para los otros dos casos, obteniendo como resultado que el numerador de cada una de las fracciones entra siete veces y media en el denominador correspondiente o 7 y media vez más.

Una vez establecido esto, el docente podrá cuestionar a sus alumnos acerca de qué relación tiene el “ver cuántas veces entra” con el problema.

Podría comenzar preguntando:

¿qué me esta informando la fracción en el problema?

La pregunta le permite poner el acento sobre el significado de la fracción en el contexto del problema. Se debería apuntar a la siguiente respuesta:

“esta fracción informa que la unidad de medida (el área total de la escuela) ha sido dividida en 45 partes iguales y el aula de 1° A mide 6 de esas partes”

Para lo cual el docente, primero, tendría que indagar sobre la unidad de medida y luego sobre el significado del denominador y el numerador.

Luego de establecer estas relaciones, se debería dirigir a los alumnos nuevamente a la propuesta de Matías y Pedro y a su interpretación en el problema. La siguiente pregunta sería una buena opción:

¿en nuestro problema qué significa que el 6 entre siete veces y media veces en el 45?

Partiendo de que el aula de 1°A mide 6 pedazos de los 45 en que se dividió el total de la escuela, el docente debería llegar a que los alumnos establezcan que si consideran a esos 6 pedazos como un todo constituido, de tal manera que si distribuyo 7 de ellos y una vez la mitad obtengo representativamente el área total del colegio; y como en los tres casos pasa lo mismo, entonces:

“los 6 pedazos de haber divido la escuela en 45 representan lo mismo que los 14 pedazos de haber dividido a la escuela en 105, porque sí tomo los primeros 6 pedazos y los coloco uno al lado del otro me representan la misma área que sí tomo los 7 pedazos y realizo el mismo procedimiento”

Se podría estar señalando “que la porción de tierra que ocupa cada aula debe ser la misma porque si por ejemplo alguna es más chica que las otras y ambas entran siete veces y media en el área total del colegio, entonces esta última tendría dos medidas diferentes. Es decir, las aulas en proporción son iguales por que cada una de ellas entra la misma cantidad de veces en el área total de la escuela.

Un buen recurso para poder fijar este razonamiento en los alumnos sería disponer de tres cartulinas de 63cm2 divididas cada una de ellas en 45, 105 y 90 partes iguales, mostrar a los alumnos que las cartulinas son iguales. Luego cortar de cada una de ellas los siguientes listones:

de la que fue dividida en 45 partes iguales, cortar un listón que tenga 2 cuadraditos de ancho y 3 de largos,

de la que fue dividida en 90 partes iguales, cortar un listón de 2 cuadraditos de ancho y 6 de largo, y

de la que fue dividida en 105 partes iguales, cortar un listón de 2 cuadraditos de ancho y 7 de largo.

Una vez que se tengan estos listones se podrá elegir uno y usarlo como molde para dibujar en el pizarrón una figura de tal manera que se obtenga repitiendo este molde 7 veces y una vez su mitad. Posteriormente, podrá corroborarse sobreponiendo sobre este dibujo que si se cualquiera de los otros dos listones 7 veces y una vez su mitad se obtiene la misma figura y por lo tanto la misma área.

Luego se podría estar haciendo la siguiente observación:

A diferencia del método de simplificación o el de amplificación para corroborar si dos fracciones son o no equivalentes, el método que proponen Matías y Pedro se centra en comparar las fracciones a partir de mirar si el numerador entra la misma cantidad de veces en el denominador en las tres fracciones. Generalmente, en matemática, cuando comparamos dos números estableciendo una relación entre ellos hablamos de razones y no de fracciones. Por ejemplo, cuando decimos que 3 de cada 10 personas son hombres o cuando decimos que en el almacén nos dan 3 varillas de pan por 2

pesos, en ambos casos lo representamos con una fracción para el primer caso y

pero lo que nos informan es sobre una relación entre dos cantidades. tal como lo proponen Matías y Pedro, pues ellos comparan las cantidades numerador y denominador.

El docente debería hacer esta observación sólo a manera de comentario, la cual podría ser la primera puerta a un posterior tratamiento de las razones y proporciones. Una vez hecho el comentario el docente deberá preguntarles a los alumnos si el método propuesto por sus compañeros sirve para comparar todo tipo de fracciones o sólo nos informa pertinentemente sobre las fracciones equivalentes. Como ya comenté en el apartado anterior, la técnica es apropiada para determinar si dos fracciones son equivalentes o no, pero cuenta con ciertos aspectos que podrían inducir errores en los alumnos, por eso es importante que el docente gestione un momento donde se discuta respecto de las ventajas y limitaciones del procedimiento a la hora de comparar fracciones. Este momento se constituye dentro de este espacio que venimos construyendo y que he definido como proceso de validación que el docente tenga a mano el siguiente ejemplo que pone en evidencia una limitación práctica de la técnica sino se analiza detenidamente el resultado que ofrece la misma

Si queremos comparar con este método, por ejemplo las fracciones . Vemos

que el numerador de la primera entra 7 veces el denominador y el numerador de la segunda

entra 3 veces, entonces se podría estar diciendo apresuradamente que ,

lo que no es cierto. Y por tanto, dada su complejidad, la técnica no resulta ser un buen recurso a la hora de comparar fracciones pero si resulta, en la medida que sea fácil establecer ciertas relaciones, un buen método para descartar o asumir la equivalencia entre dos fracciones o razones.

Por ello, después de discutir sobre las ventajas y limitaciones del método, el docente podrá gestionar la siguiente conclusión a modo de institucionalización:

En los casos que sea fácil de ver la cantidad de veces que entra el numerador en el denominador, al comparar fracciones lo primero que podemos corroborar si son o no equivalentes. Serán equivalentes si: el numerador de la primera fracción entra en el denominador la misma cantidad de veces que entra el numerador de la segunda en su respectivo denominador.

Así, he tratado de mostrar no sólo que la técnica involucra nuevos conceptos sino que también pasa de técnica a criterio que me permite descartar cierto tipo de relación entre dos fracciones.

Algunas reflexiones finales

La incertidumbre que me genero en un principio la forma en la que dividían los alumnos se debió en gran parte a mi relación con el problema y al análisis a priori de las posibles estrategias porque, sin lugar a dudas, condicionó mi interpretación. En ese momento estaba convencido que la división tenia que ser al revés por que, en última instancia, las fracciones en cuestión representaban un valor: un área. Sin embargo, vale rescatar que en ningún momento sentencie la producción de los alumnos sino que la cuestioné, y en ese cuestionamiento encontré elementos discursivos por parte de los alumnos que daban cuenta de mi impertinente interpretación. Y ciertamente hubo un cambio en mi manera de entender la estrategia, pero al no haber establecido las mismas relaciones que los alumnos y no poder reflexionar sobre ellas “en caliente” el nuevo procedimiento quedo como una posible “manera de hacer”, ocultando todo el trabajo matemático que podría involucrar su justificación.

En efecto, comparar las tres fracciones originales a partir de comparar la relación que existe, en cada una de ellas, entre el numerador y denominador es absolutamente diferente del trabajo que veníamos realizando en esas clases y su tratamiento propiciaba la apertura a un futuro trabajo con razones y proporciones. La manipulación numérica que realizaron los alumnos en esa situación era un tema que debía tratar el docente por que los alumnos difícilmente eran concientes de la principal relación que se involucraba en su

procedimiento, que en términos sintácticos sería: . Es decir, creo que

los alumnos hablaban concientemente de una relación comparativa pero no eran claros a la hora de interpretar esa comparación, por eso me refiero a que es el docente quien tiene la oportunidad de objetivar situaciones como estas e indagar sobre las relaciones que se establecen.

Bosch, M. (1994) interpretando a Chevallard:

“la noción de razón no aparece explícitamente durante la construcción de lo numérico que cae bajo la responsabilidad del enseñante y se introduce con la manipulación de lo numérico que también será la responsabilidad del alumno.i.e: la noción de razón se mantiene implícita cuando su instrumentalización interviene a nivel de la “teoría” (topos del enseñante) y aparece explícita en la manipulación práctica de lo numérico (manipulación de las proporciones) estas técnicas se empiezan a construir un poco antes, a partir de ciertas manipulaciones numéricas específicas de las razones, manipulaciones que contribuirán a aumentar su “grado de existencia” y que las distinguirán claramente de las fracciones y las divisiones.”

Y por ello digo, que es sumamente importante que el docente tome conciencia de esta manipulación numérica que realizan los alumnos, que la investigue, encuentre sus consecuencias y cuestione las relaciones que se establecen o podrían establecerse a partir de ello. Pero esto no podría hacerlo si su proyecto de enseñanza no contempla la idea de Margolinas de la devolución como proceso, de la devolución no sólo como una instancia en un momento determinado sino como instancia que puede darse a posteriori, tal como lo propongo en este trabajo.

Es decir, el docente no debe quedarse con la sensación o la creencia de que los imprevistos son simples hechos fortuitos, debe indagar y proporcionarles toda la carga semántica de las relaciones que se involucran.

Es una oportunidad también, para generar un acercamiento más cercano a la realidad matemática en tanto que existen tres conceptos que se involucran casi indistinguiblemente para los alumnos y por lo tanto es el docente quien debe generar un proceso de despersonificación y contextualización de los mismos, distinguiendo cada uno de ellos y luego relacionar la validación del método con el problema que le dio origen.

Entrar en este juego dialéctico entre técnica y tecnología supone que el docente debe estar preparado para ello. Debe conocer haber investigado y ser conciente que esta vez será él encargado de que la distinción entre fracción y razón se haga ostensible.

Por ultimo, quiero hacer referencia a una frase asiduamente utilizada por los investigadores en didáctica de la matemática y en especial por los formadores de profesores.

¿Qué significa “aprender a enseñar”? Este trabajo me mostró un costado significativo en relación a esa frase: indagar sobre mi propia práctica con intensión de querer mejorarla es aprender a enseñar. Aprender a enseñar no significa entender lo que tengo que enseñar, significa investigar sobre los actuales y potenciales conflictos que surgen o pueden surgir en el aula cuando se enseña un determinado concepto. Y no estoy diciendo “preverlos”, me estoy refiriendo a “investigarlos”, a encontrar los argumentos que me permitan gestionar una evolución favorable de los mismos. Aprender a enseñar es aprender a superar los conflictos, como por ejemplo el surgimiento de una técnica no prevista, a partir de resignificar y encontrar las herramientas pertinentes que nos brinda la Didáctica de la Matemática como disciplina científica, para explicar los fenómenos que nos tienen como protagonistas, evaluarlos y objetivar sus consecuencias.

Aprender a enseñar no es aprender a prever el pensamiento del otro. Aprender a enseñar es poder enseñar a partir de lo que piensa el otro.

Bibliografía