LAS MATEMATICAS
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Las Matemáticas:Las Matemáticas:
Herramienta fundamental Herramienta fundamental en el Análisis Económicoen el Análisis Económico
Profesor: Max Garza Valle
Alumno: Manuel Vélez Gallardo
ITESM Noviembre 2005
AntecedentesAntecedentes
Economía como ciencia: siglo XVIIIEconomía como ciencia: siglo XVIII
Aplicación matemática: fines de siglo XIXAplicación matemática: fines de siglo XIX
Apéndices matemáticos: Libros de Apéndices matemáticos: Libros de Microeconomía. Textos de Economía Microeconomía. Textos de Economía Ambiental. Comercio Internacional. Ambiental. Comercio Internacional. Economía Administrativa. Política Pública Economía Administrativa. Política Pública Economía del Bienestar, etc.Economía del Bienestar, etc.
Usos específicosUsos específicos Funciones Lineales y No LinealesFunciones Lineales y No Lineales Cálculo Diferencial e IntegralCálculo Diferencial e Integral Interpretación de Gráficas. Diagramas de Interpretación de Gráficas. Diagramas de
Dispersión. Dispersión. ElasticidadesElasticidades Relaciones de productividad, rendimientos Relaciones de productividad, rendimientos
y costos.y costos. Utilidad, Producción y Mercados.Utilidad, Producción y Mercados. Multiplicador de LagrangeMultiplicador de Lagrange MatricesMatrices
FuncionesFunciones
Desde antes del siglo XX y en el XXI, Desde antes del siglo XX y en el XXI, se ha graficado la demanda y la se ha graficado la demanda y la oferta con la variable independiente oferta con la variable independiente en el eje Y.en el eje Y.
P
Q
En Economía, la variable independiente es el precio. Aún cuando con este diseño no se distorsiona la información.
Pendiente de una RectaPendiente de una RectaY = a + mx; en Economía Y = a + mx; en Economía P = 12 + (-1)q; m = -1P = 12 + (-1)q; m = -1
la pendiente =-1 ó -1/2la pendiente =-1 ó -1/2
Para la Oferta (roja) = 1Para la Oferta (roja) = 1
P = 12 + (-1/2)q; P = 12 + (-1/2)q;
m= -1/2m= -1/2
P
Q12
12
P
Q12
6
12
12
XXYY
XY
m
Pendiente en una CurvaPendiente en una Curva
En este caso, para encontrar la En este caso, para encontrar la pendiente en un punto, trazamos la pendiente en un punto, trazamos la tangente en ese punto y calculamos tangente en ese punto y calculamos la pendiente de la recta.la pendiente de la recta.
P
Q50
10
b
La pendiente de la curva en el punto b es igual a -1/5, que se obtiene de la pendiente de la recta.
Posibilidades de ProducciónPosibilidades de Producción
De acuerdo con la Ley de De acuerdo con la Ley de Rendimientos Decrecientes o Costos Rendimientos Decrecientes o Costos Crecientes de David RicardoCrecientes de David Ricardo
A
B1 2 3 4 5
200 La gráfica ilustra que, al pasar del punto A al B, las variaciones de A son cada vez mayores, lo cual se interpreta como costos crecientes del producto B en términos de A.
Costo de Oportunidad
ElasticidadesElasticidades
Usando el término de pendiente podemos Usando el término de pendiente podemos comprender los conceptos de elasticidad comprender los conceptos de elasticidad de la demanda.de la demanda.
P
Q60
12
Elasticidad Precio-Demanda
Mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante variaciones del precio.
QP
PQ
PP
QP
PQ
Ed
%%
ElasticidadesElasticidades
Para P = 12; la EPara P = 12; la Edd = ∞…¿Por qué? = ∞…¿Por qué?
Para P = 6; la EPara P = 6; la Edd = -1 …¿Por qué? = -1 …¿Por qué?
Para P = 0; la EPara P = 0; la Edd = 0 …¿Por qué? = 0 …¿Por qué?
P
Q60B
12A
Si volvemos a la grafica anterior y consideramos el término P/Q (que es un elemento de la fórmula de Ed) observamos que para el punto A, P =12, la Q = 0; y al dividir P/Q, el cociente es ∞∞, y ∞∞*®=∞∞
Similarmente para el punto B, ahora P = 0 y el cociente de P/Q = 0, y 0®=00, y 0®=0
ElasticidadesElasticidades
De igual manera la economía se interesa De igual manera la economía se interesa en la elasticidad cruzada y la elasticidad en la elasticidad cruzada y la elasticidad ingreso, donde la variable precio del bien ingreso, donde la variable precio del bien X se sustituye por el precio de otro bien Y X se sustituye por el precio de otro bien Y (elasticidad cruzada) y el Ingreso (elasticidad cruzada) y el Ingreso (elasticidad ingreso).(elasticidad ingreso).
x
y
y
xxy Q
P
P
QE
QI
IQ
EI
ProducciónProducción
En economía se analiza el tema de En economía se analiza el tema de producción con funciones de tercer producción con funciones de tercer grado que nos muestran diferentes grado que nos muestran diferentes rendimientos de un factor variable rendimientos de un factor variable (Trabajo L).(Trabajo L).– CrecientesCrecientes– ConstantesConstantes– DecrecientesDecrecientes
ProducciónProducción
Q = 80L + 240LQ = 80L + 240L2 2 – 4L– 4L33
Q = unidades producidasQ = unidades producidas
L = cantidad de trabajoL = cantidad de trabajo
En todo proceso productivo de corto plazo, En todo proceso productivo de corto plazo, al mantener un factor fijo (K), e ir al mantener un factor fijo (K), e ir agregando unidades del factor variable (L) agregando unidades del factor variable (L) para cierto nivel de Q, aparecen los para cierto nivel de Q, aparecen los rendimientos marginales y absolutos rendimientos marginales y absolutos decrecientes.decrecientes.
ProducciónProducción
Todo proceso productivo se caracteriza Todo proceso productivo se caracteriza por revelar tres etapas de rendimientos:por revelar tres etapas de rendimientos:– Rendimientos Crecientes: La producción Rendimientos Crecientes: La producción
aumenta en mayor proporción que el aumenta en mayor proporción que el trabajo. El trabajo. El ∆Q > ∆L ∆Q > ∆L
– Rendimientos Constantes: El Rendimientos Constantes: El ∆Q = ∆L ∆Q = ∆L – Rendimientos Decrecientes: El Rendimientos Decrecientes: El ∆Q < ∆L∆Q < ∆L
Entonces se utiliza el cálculo diferencial y Entonces se utiliza el cálculo diferencial y las segundas derivadas, para encontrar los las segundas derivadas, para encontrar los puntos máximos: puntos máximos:
ProducciónProducción
PMg = PMg = ∆Q/∆L =∆Q/∆L = dQ / dL dQ / dL PMe = Q/LPMe = Q/L
Usando estos dos conceptos que Usando estos dos conceptos que gráficamente se representan con gráficamente se representan con funciones que en un principio crecen y funciones que en un principio crecen y después disminuyen; son importantes para después disminuyen; son importantes para determinar los límites de las etapas, en su determinar los límites de las etapas, en su puntos máximos.puntos máximos.
ProducciónProducción Q = 20L + 60LQ = 20L + 60L2 2 – L– L33
PMe = 20 + 60L – LPMe = 20 + 60L – L22
PMg = 20 + 120L – 3LPMg = 20 + 120L – 3L22
El PMg es máximo cuando su derivada = El PMg es máximo cuando su derivada = 0; 120 – 6L = 0; 0; 120 – 6L = 0; L = 20.L = 20.
El PMe es máximo cuando su derivada es El PMe es máximo cuando su derivada es 0; 60 – 2L = 0; 0; 60 – 2L = 0; L = 30. (fin de etapa 1)L = 30. (fin de etapa 1)
Q es máxima cuando Q es máxima cuando L = 40. PMg=0, (que L = 40. PMg=0, (que es el fin de la segunda etapa).es el fin de la segunda etapa).
Para L > 40; los rendimientos de la Para L > 40; los rendimientos de la producción son absolutamente producción son absolutamente decrecientes. Es ineficiente o irracional.decrecientes. Es ineficiente o irracional.
Teoría de la DemandaTeoría de la Demanda
Utilidad Total = Utilidad Total = U = U = ff(x,y)(x,y) = 20= 20 Utilidad Marginal de X, UMgX = Utilidad Marginal de X, UMgX = ∆U/∆Q∆U/∆Qxx
Utilidad Marginal de Y, UMgY = Utilidad Marginal de Y, UMgY = ∆U/∆Q∆U/∆Qyy
Principio de Utilidad Marginal Decreciente: Principio de Utilidad Marginal Decreciente: Al consumir un bien a medida que es Al consumir un bien a medida que es mayor la cantidad consumida, es menor la mayor la cantidad consumida, es menor la utilidad que brinda una unidad adicional.utilidad que brinda una unidad adicional.
Curvas de IndiferenciaCurvas de Indiferencia
U = 20
U = 40
U = 60
U = 80
X
Y
El consumidor es indiferente ante cualquier combinación de bienes representados en una curva (hipérbola rectangular).
A medida que la curva se aleja del origen, aumenta la satisfacción.
OptimizaciónOptimización
El consumidor maximiza su utilidad El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de una curva es cuando la pendiente de una curva es igual a su recta de presupuesto.igual a su recta de presupuesto.
Ingreso = XPIngreso = XPx x + YP+ YPyy
Ejemplo: Ejemplo: I = 240; PI = 240; Px x = 40; P= 40; Py y = 20= 20
X = I/PX = I/Pxx; Y = I/P; Y = I/Pyy
Recta de PresupuestoRecta de Presupuesto El consumidor puede maximizar el El consumidor puede maximizar el
nivel de utilidad, en cualquier punto nivel de utilidad, en cualquier punto de su recta de presupuesto.de su recta de presupuesto.
I/py
I/px
YY
X
OptimizaciónOptimización
El consumidor maximiza su utilidad El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de la recta de cuando la pendiente de la recta de presupuesto es igual a la pendiente presupuesto es igual a la pendiente de una curva de indiferencia.de una curva de indiferencia.
La TMSLa TMSxyxy = UMgX / UMgY = UMgX / UMgY
La pendiente de la recta es: PLa pendiente de la recta es: Pxx/P/Pyy
Optimización: UMgX / UMgY = POptimización: UMgX / UMgY = Pxx/P/Pyy
(pendiente de las (pendiente de las curvas)curvas)
Optimización de la UtilidadOptimización de la Utilidad
U = 20
U = 40
U = 60
U = 80
X
Y
Optimización de la UtilidadOptimización de la Utilidad
El consumidor siempre desea El consumidor siempre desea ubicarse en la curva de indiferencia ubicarse en la curva de indiferencia de mayor nivel. Pero su ingreso y los de mayor nivel. Pero su ingreso y los precios de los bienes que adquiere, precios de los bienes que adquiere, le restringen su nivel d utilidad.le restringen su nivel d utilidad.
TMSxy = UMx/UMy = Px/pyTMSxy = UMx/UMy = Px/py
Multiplicadores LagrangeMultiplicadores Lagrange
Los multiplicadores Lagrange son muy Los multiplicadores Lagrange son muy utilizados para maximizar funciones de utilizados para maximizar funciones de utilidad y de producción.utilidad y de producción.
0)(
0)()(
0)()(
)()(
rKwLQ
rKKLF
KQ
wL
KLF
L
Q
gastorKwLKLFQL
Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de K y de L.
Optimización de UtilidadOptimización de Utilidad
De manera similar podemos maximizar De manera similar podemos maximizar una función de utilidad usando Lagrange:una función de utilidad usando Lagrange:
0)(
0)()(
0)()(
)()(
IngyPyxPxU
PyYXYF
YU
PxXXYF
XU
IngyPyxPxXYFUL
Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de X y de Y.
Matrices y Álgebra LinealMatrices y Álgebra Lineal
Es muy utilizado el sistema de Es muy utilizado el sistema de matrices, y los sistemas Hegelianos y matrices, y los sistemas Hegelianos y Hesianos, para comprobar la Hesianos, para comprobar la existencia de convexidad o existencia de convexidad o concavidad en las funciones de concavidad en las funciones de utilidad y producción. Ello permite utilidad y producción. Ello permite comprobar si se cumplen las comprobar si se cumplen las condiciones necesarias y de condiciones necesarias y de suficiencia en la optimización.suficiencia en la optimización.
ConclusionesConclusiones
Las Matemáticas son fundamentales Las Matemáticas son fundamentales para desarrollar el razonamiento del para desarrollar el razonamiento del estudiante y resolver problemas de estudiante y resolver problemas de economía con rapidez y exactitud.economía con rapidez y exactitud.
La competitividad y habilidad de todo La competitividad y habilidad de todo profesionista se incrementa con un profesionista se incrementa con un mayor conocimiento de métodos mayor conocimiento de métodos cuantitativos.cuantitativos.
ConclusionesConclusiones Se necesita de habilidad y cierta imaginación Se necesita de habilidad y cierta imaginación
para trasladar los conocimientos matemáticos, a para trasladar los conocimientos matemáticos, a la solución de problemas económicos.la solución de problemas económicos.
Se facilita la comprensión de un modelo Se facilita la comprensión de un modelo económico al utilizar las herramientas económico al utilizar las herramientas matemáticas, la lógica y representaciones matemáticas, la lógica y representaciones gráficas.gráficas.
Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada, Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada, lógica y eficiente.lógica y eficiente.
Por lo tanto es necesario aprenderlas, recordarlas Por lo tanto es necesario aprenderlas, recordarlas y usarlas siempre que sea necesario.y usarlas siempre que sea necesario.