Las hipótesis de Gauss-Markov

Las hipótesis de Gauss-Markov

1. Número de individuos y de variables

2. No colinealidad

3. Media nula de los errores

4. Homocedasticidad

5. No correlación entre los errores

Lema previo

Las matrices X, X’ y X’X tienen el mismo rango

1. Número de individuos y de variables

• El número de individuos (n) es mayor que el número de variables explicativas (k).

• Si esta condición no se cumple, el rango de la matriz no será y no tendrá inversa.

kn

XX' 1k

2. No colinealidad

• Las variables explicativas no son linealmente dependientes:– El rango de la matriz es .– El rango de la matriz es . No es

singular –su determinante no es nulo y, en consecuencia, tendrá inversa.

XXX'

1k1k

1krango XX'

Modelo de regresión

εXβY ConocidoAleatorio

ConocidoNo aleatorio

DesconocidoNo aleatorio

DesconocidoAleatorio

Modelo de regresión

εXβY

Son variables aleatorias

Es constante

3. Media nula de los errores

• Cada término de error ( ) es una variable aleatoria.• La media –valor esperado- de cada término de error es nula:

1 siendo 0 niE i

0ε E¡Es un vector!

i

4. Homocedasticidad

• Todos los términos de error tienen la misma varianza.

1 siendo 2 niVar i

Varianza condicionada de la

distribución de la variable dependiente

4. Homocedasticidad (II)

• Cada observación de la variable dependiente ( ) es una variable aleatoria -función de -.

• La varianza de cada observación de la variable dependiente (la varianza condicionada) y la varianza del correspondiente término de error son iguales:

niVarxxVaryVar iiikkii 1 siendo ... 211

niyVar i 1 siendo 22 k1 X,...,Y/X

i iy

5. No correlación entre los errores

• Los términos de error son variables aleatorias. Estas variables aleatorias son independientes. La covarianza entre cualesquiera dos de ellas es nula:

siendo1 0, jin ; i,jCov ji

5. No correlación entre los errores(II)

nnn

n

n

VarCovCov

CovVarCov

CovCovVar

ECov

...,,

............

,...,

,...,

21

2221

1211

εε'ε

• Las hipótesis cuarta y quinta las podemos expresar así:

Iεε' 2

2

2

2

...00

............

0...0

0...0

E

Consecuencias de las hipótesis de Gauss-Markov

• La esperanza matemática (condicionada) de la variable dependiente es:

• La matriz de covarianzas (condicionada) de la variable dependiente es:

XβεXβY EE

IεεεεXβY 2' ECovCovCov

Consecuencias de las hipótesis de Gauss-Markov (II)

• La esperanza matemática del estimador es:

• La matriz de covarianzas del estimador es:

βXβXXXYXXX

YXXXB

''''

''11

1

E

EE

1211

1

''''

''

XXXXXYXXX

YXXXB

Cov

CovCov

βB E

1XX'B 2Cov

Estimadorinsesgado

Teorema de Gauss-Markov

• Si se cumplen las hipótesis de G-M, entonces el estimador B obtenido por el método de los mínimos cuadrados es el estimador óptimo.

• Se dice entonces que B es un estimador BLUE:– Best

– Linear

– Unbiased

– Estimator

Mejor estimador lineal e insesgado

YX'XX'B 1

Error estándar de la estimación

• La varianza común de los términos de error ( ) es desconocida. Para estimar dicha varianza emplearemos la siguiente expresíón:

11

ˆˆ 1

2

22

knkn

yys

n

iii ee'

2

Error estándar de la estimación (II)

11

ˆˆ 1

2

22

knkn

yys

n

iii ee'

11

ˆ1

2

knkn

yys

n

iii ee'

Error estándar de la estimación (III)

• El error estándar de la estimación es una medida de la calidad del ajuste.

• Cuanto menor sea el error mejor es la calidad del ajuste.

11

ˆ1

2

knkn

yys

n

iii ee'

Estimación de la matriz de covarianzas del estimador

• Hemos obtenido que pero como no conocemos la varianza de los errores utilizaremos su estimación:

1XX'B 2Cov

kkk

k

k

bsbbsbas

bbsbsbas

basbasas

s

21

22

12

12

12

21

22

2

...,,

............

,...,

,...,

1XX'S

Estimación de la matriz de covarianzas del estimador(II)

• A las raíces cuadradas de los elementos de la diagonal principal de la matriz S los llamaremos errores estándar de los coeficientes.

• El error estándar de un coeficiente es una medida de la variabilidad de ese coeficiente.

kkk

k

k

bsbbsbas

bbsbsbas

basbasas

s

21

22

12

12

12

21

22

2

...,,

............

,...,

,...,

1XX'S

Ejercicio

• En el ejemplo de ilustración (alquileres):– Calcular el error estándar de la estimación.– Calcular los errores estándar de los

coeficientes.