Lapprak Pemodelan Oseanografi II
-
Upload
trielanyputriyuliananingrum -
Category
Documents
-
view
754 -
download
66
description
Transcript of Lapprak Pemodelan Oseanografi II
Laporan Praktikum Pemodelan Oseanografi I
(OS3103)
Modul II
PENYELESAIAN NUMERIK METODE BEDA HINGGA PERSAMAAN
ADVEKSI 1 DIMENSI
Oleh :
Nama : Trie Lany Putri Y (12909003)
Zahra Akbari Ariadji (12909006)
Shift: 1
Asisten Praktikum: Putri Kemili (12907014)
PROGRAM STUDI OSEANOGRAFI
FAKULTAS ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
BANDUNG
2009
BAB I
TEORI DASAR
1.1. FTCS
Persamaan beda hingga dengan metode FTCS ini adalah pendekatan beda maju untuk
turunan waktu dan beda pusat untuk turunan ruang ( Forward in Time and Central in Space –
FTCS). Bila :
Indeks n untuk waktu
Indeks m untuk ruang
u adalah kecepatan aliran yang dianggap konstan terhadap ruang dan waktu
maka persamaannya dideskritisasikan menjadi :
Fmn+1=Fm
n− uΔt2 Δx (Fm+1
n −Fm−1n )
Pada dasarnya metode beda hingga ini tidak stabil secara numerik
1.2. Leapfrog
Persamaan beda hingga dengan metoda ini adalah pendekatan beda pusat untuk
turunan waktu dan beda pusat untuk turunan ruang (Central in Time and Central in Space –
CTCS), persamaannya dapat dideskritisasi menjadi :
Fmn+1=Fm
n−1−uΔtΔx (Fm+1
n −Fm−1n )
Khusus pada awal langkah (t = 0) deskritisasi persamaan diatas menggunakan beda
maju untuk waktu dan beda pusat untuk ruang (metode FTCS) maka pada t = ∆t atau n =1
desritisasi yang digunakan adalah :
Fm1 =Fm
0 − uΔt2Δx (Fm+1
0 −Fm−10 )
Dimana F0 diambil dari nilai awal yang diberikan di semua ruang
Kriteria stabilitas untuk menyelesaikan persamaan adveksi dengan menggunakan
metode beda hingga eksplisit adalah :
λ=uΔtΔx
≤1 .0
1.3. Upstream
Pada metode ini digunakan pendekatan metode beda maju untuk turunan terhadap
waktu, sedangkan untuk turunan terhadap ruang dilakukan dengan melihat arah kecepatan u.
Jika u > 0, turunan terhadap ruang menggunakan pendekatan beda mundur
∂F∂ t
=−u∂F∂ x
Fmn+1−Fm
n
Δt=−u
(Fmn −Fm−1n )
Δx
Fmn+1=Fm
n−uΔtΔx (Fm+1
n −Fm−1n )
Jika u < 0, turunan terhadap ruang menggunakan pendekatan beda maju
∂F∂ t
=−u∂F∂ x
Fmn+1−Fm
n
Δt=−u
(Fm+1n −Fm
n )Δx
Fmn+1=Fm
n−λ (Fm+1n −Fm
n )
Jika kedua persamaan tersebut digabungkan, maka deskritisasi persamaan adveksi dengan
metode upstream menjadi :
Fmn+1=Fm
n−(1−|u| ΔtΔx )+ uΔt2 Δx ( (u+|u|) Fm−1
n + (|u|−u )Fm+1n )
Kriteria stabilitas yang harus dipenuhi :
λ=uΔtΔx
≤1 .0
1.4. Implisit Crank Nicholson
Kelemahan dari metoda eksplisit adalah adanya kriteria stabilitas yang harus dipenuhi,
untuk mengurangi ketidakbergantungan pada kriteria stabilitas itu, digunakan metoda crank –
nicholson, yaitu metoda implisit dimana turunan kedua fungsi didekati dengan harga rata-rata
pada langkah waktu ke-(n+1) dan ke-n.
Metoda ini menggunakan beda maju untuk turunan terhadap waktu dan beda pusat
untuk turunan terhadap ruang (FTCS) dengan perata-rataan terhadap waktu.
Persamaannya didesritisasikan jadi :
Fmn+1−Fm
n
Δt=−
12 [u Fm+1
n+1 −Fm−1n−1
2 Δx+uFm+1n −Fm−1
n
2 Δx ]
1.2 Skenario
Kelompok 11
L (m) : 1000
dx (m) : 50
dt (s) : 2
u1 (m/s) : 0.45
u2 (m/s) : -0.75
Konsentrasi polutan
kontinu di grid (2,10) : 50
diskontinu di grid (2,13) : 100
BAB III
HASIL DAN ANALISIS
1.2. Grafik
1.2.1. FTCS
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Diskontinu u1 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=172
GRID
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Diskontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Diskontinu-Kontinu u2 terhadap ruang
t=2t=17t=32t=47t=62t=77t=98
Grid RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Diskontinu-kontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Diskontinu-kontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Diskontinu-Kontinu u1 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=172
Grid RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Diskontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Diskontinu u2 terhadap ruang
t=2t=17t=32t=47t=62t=77t=98
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Kontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Kontinu u1 terhadap ruang
t=2t=52t=90t=128t=166t=242t=266
GRID
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100109118127136145154163172
-60
-40
-20
0
20
40
60
FTCS Kontinu u2 terhadap waktu
grid 1grid 4grid 7grid 10grid 13grid 16grid 19
WAKTU
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
FTCS Kontinu u2 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=175
GRID
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
1.2.2. Leapfrog
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Kontinu u1 terhadap ruang
t=2t=52t=90t=128t=166t=220t=263
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Kontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Kontinu u2 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=87t=117t=147t=172
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Kontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Diskontinu u2 terhadap ruang
t=2t=17t=32t=47t=62t=77t=96
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Diskontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Diskontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Diskontinu u1 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=170
WAKTU
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Diskontinu-Kontinu u2 terhadap ruang
t=2t=17t=32t=47t=62t=77t=96
GRID
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Diskontinu-kontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
Kons
entr
asi p
olut
an
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Diskontinu-Kontinu u1 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=72t=97t=147t=170
GRID
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CTCS Diskontinu-kontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
Polu
tan
1.1.1. Upstream
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
Upstream Diskontinu u2 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=92t=125t=157t=176
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
UPSTREAM Diskontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
UPSTREAM Diskontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
Upstream Diskontinu u1 terhadap ruang
t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=109
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
UPSTREAM Diskontinu-kontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
WaktuKON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
Upstream Diskontinu-Kontinu u2 terhadap ruang
t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=113
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
UPSTREAM Diskontinu-kontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
Kons
entr
asi P
olut
an
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
Upstream Diskontinu-Kontinu u1 terhadap ruang
t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=109
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
Upstream Kontinu u1 terhadap ruang
t=2t=52t=80t=128t=158t=186t=222
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
UPSTREAM Kontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
Upstream Kontinu u2 terhadap ruang
t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=113
GRID RUANG
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
UPSTREAM Kontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
1.2.3. Crank Nicholson
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Diskontinu-kontinu u1 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=92t=125t=157t=186
GRID RUANG
KONS
ENTR
ASI P
OLUT
AN
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Diskontinu-kontinu u2 terhadap ruang
t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=113
GRID RUANG
KONS
ENTR
ASI P
OLUT
AN
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Diskontinu u1 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=92t=125t=157t=186
GRID RUANG
KONS
ENTR
ASI P
OLUT
AN
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Diskontinu u2 terhadap ruang
t=2t=15t=35t=55t=75t=95t=113
GRID RUANG
KONS
ENTR
ASI P
OLUT
AN
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Kontinu u1 terhadap ruang
t=2t=52t=90t=128t=160t=220t=265
GRID RUANG
KONS
ENTR
ASI P
OLUT
AN
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Kontinu u2 terhadap ruang
t=2t=22t=57t=86t=125t=157t=169
GRID RUANG
KONS
ENTR
ASI P
OLUT
AN
2.
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Diskontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
WaktuKON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Diskontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
WaktuKON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Kontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Kontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
KON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Diskontinu-kontinu u1 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
WaktuKON
SEN
TRAS
I PO
LUTA
N
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12
CRANK NICHOLSON Diskontinu-kontinu u2 terhadap waktu
Grid 1Grid 4Grid 7Grid 10Grid 13Grid 16Grid 19
Waktu
Kons
entr
asi P
olut
an
2.1. Analisis
Analisis Trie Lany Putri Y (12909003)
a. Yang mana yang lebih stabil?
Menurut teori, urutan metode dari yang paling stabil sampai paling tidak stabil yaitu
crank nicholson, upstream, leapfrog, dan FTCS.
b. Bagaimana pengaruh syarat kestabilan?
Syarat kestabilan terlihat berfungsi ketika melihat perbedaan kestabilan grafik FTCS
dan leap frog, dimana FTCS menghasilkan grafik yang lebih tidak stabil daripada
metode leapfrog karena tidak memiliki syarat kestabilan. Metode upstream yang
memiliki nilai syarat kestabilan menghasilkan grafik yang lebih stabil dibandingkan
dengan kedua metode sebelumnya, sedangkan crank nicholson yang memiliki
kemampuan untuk mengurangi kebergantungan terhadap syarat kestabilan dengan cara
pendekatan harga rata-rata pada langkah n+1 dan n menghasilkan grafik yang paling
stabil dibandingkan dengan metode yang lain.
c. Bagaimana hasil untuk kontinu, diskontinu, maupun diskontinu-kontinu?
Terdapat perbedaan lamanya simulasi.
d. Bagaimana pengaruh kecepatan positif dan negatif?
Pengaruh kecepatan positif dan negatif adalah arah persebarannya.
e. Bagaimana dengan lamanya simulasi?
Lama penyebaran konsentrasi polutan hingga konsentrasi polutan menjadi sangat kecil
pada jarak grid ruang dan waktu tertentu, sesuai dengan syarat batas yang ditentukan
sehingga kita dapat mengetahui pada jarak berapa dan berapa lama polutan menyebar
sampai dia mengecil pada suatu aliran. Dan besarnya kecepatan memengaruhi lamanya
simulasi. Semakin besar nilai kecepatan persebaran, semakin cepat waktunya.
2.1.1. FTCS
Metode FTCS merupakan metode pendekatan yang paling tidak stabil di antara empat
metode. Karena metode ini tidak memiliki syarat kestabilan yang harus dipenuhi. Oleh
karena itu terdapat persebaran polutan pada grid ruang yang seharusnya tidak terkena
persebaran dan bernilai negatif.
Terlihat dari grafik bahwa nilai konsentrasi polutan semakin bertambah seiring
bertambahnya waktu pengamatan. Lalu polutannya tersebar ke segala arah walau telah
ditentukan arah kecepatannya itu karena tidak adanya syarat kestabilan yang harus
dipenuhi.
2.1.2. Leapfrog
Metode Leapfrog lebih stabil dibanding FTCS karena memiliki syarat kestabilan yang
harus dipenuhi sehingga walaupun nilai total persebaran polutan juga terus membesar
terhadap waktu. Terlihat dari grafik bahwa masih terdapat penyebaran di sisi grid lain.
Maksudnya, dalam penyebaran polutan ke kanan, masih terdapat polutan yang tersebar
ke arah kiri.
2.1.3. Upstream
Lebih stabil dibanding leapfrog karena memiliki pendekatan yang berbeda untuk arah
kecepatan yang berbeda sehingga tidak ada perembesan ke arah sebaliknya dari arah
kecepatan persebaran polutan yang dikehendaki karena metode upstream
menggunakan pedekatan beda maju dan mundur secara terpisah. Nilai total konsentrasi
polutan fluktuatif namun masih tidak berbeda jauh. Contoh pada persebaran
diskontinu, nilai total konsentrasi polutan berkisar dari 99-101 mg.
2.1.4. Crank Nicholson
Metode ini paling stabil karena nilai total konsentrasi polutan berkurang
terhadap waktu. Kalaupun ada nilai pertambahan konsentrasi polutan, tidak sebesar
metode lain. Ini karena metode Crank Nicholson menghilangkan ketergantungan
terhadap syarat kestabilan, metode ini menggunakan metode implisit dimana turunan
kedua fungsi turunan kedua fungsi didekati dengan harga harga rata-rata pada langkah
ke n+1 dan ke n.
Analisis Zahra Akbari Ariadji (12909006)
Dalam penulisan syntax program, ketelitian dalam menulis rumus/formula metode sangat
diperlukan. Jika salah sedikit, maka persebaran polutan akan menjadi sangat tidak masuk akal.
Pada setiap program, nilai awal n ditulis 1, karena jika kita menuliskan persebaran polutan
pada saat ke n=1 adalah nol, maka langkah waktu selanjutnya adalah untuk n=2, 3, dst.
Contohnya pada penulisan program metode ctcs, di rumus metode ctcs pada konsentrasi n-1
tidak diketahui, sehingga kita harus menggunakan metode ftcs pada waktu ke 2 dan 3, lalu ctcs
pada waktu ke-4.
Metode FTCS (Forward Time Central Space) adalah metode yang paling tidak stabil,
konsentrasi polutan tersebar merata dari detik polutan itu mulai diberikan, namun arah
persebarannya tidak sesuai dengan yang seharusnya. FTCS tidak stabil karena tidak adanya
syarat kestabilan, dimana syarat itu bisa menahan agar hasil-hasil pendekatan numerik tidak
melenceng jauh. Hasil persebaran polutan untuk FTCS diskontinu-kontinu agak tersebar tidak
masuk akal, karena disamping grid yang polutannya 50 secara kontinu (dengan kecepatan
positif), diakhir-akhir waktu polutannya berkisar diantara 100. Ini menunjukan bahwa metode
FTCS mendekati gelombang numerik secara tidak konsisten. Pada hasil persebaran
konsentrasi diskontinu, dengan konsentrasi awal 100 mg, lalu berkurang seiring waktu.
Dengan kecepatan u1 (positif) seharusnya arah persebaran konsentrasi ke kanan, tetapi masih
ada yang persebarannya ke kiri. Begitu pun dengan hasil persebaran konsentrasi kontinu.
Metode Leapfrog adalah metode yang lebih baik daripada metode FTCS, lebih stabil
walaupun tidak konsisten, dikarenakan ada pengaruh syarat kestabilan. Metode leapfrog pada
awalnya menggunakan metode FTCS. Metode Leapfrog tidak konsisten karena pendekatan
numeriknya fluktuatif. Dari grafik diskontinu-kontinu, kontinu, dan diskontinu, walaupun
misalnya penyebaran polutan dimaksudkan ke kanan, tetapi masih ada penyebaran ke grid
sebelah kiri.
Metode Upstream merupakan metode yang menggunakan pedekatan beda maju dan
mundur secara terpisah, hal ini menghasilkan grafik yang lebih stabil dibandingkan dengan
ftcs dan leap frog. Dari program, upstream menggunakan pendekatan arah kecepatan yang
berbeda untuk kecepatan positif dan negatif sehingga hasil lebih stabil. Pada grafik diskontinu-
kontinu, penyebaran konsentrasi diskontinu 100 mg dan kontinu 50 baik ke arah kiri maupun
ke kanan, sesuai dengan hasil yang diharapkan. Lalu pada grafik diskontinu konsentrasi 100
mg ke arah kanan ataupun kiri, konsentrasi terus berkurang seiring dengan waktu bertambah
dan tersebar secara merata. Begitupun dengan grafik kontinu 50 mg jika kecepatannya negatif,
dapat dilihat bahwa penyebaran konsentrasi 50 mg secara terus menerus per detik menyebar
ke kiri, tidak ada penyebaran ke arah kanan.
Metode Crank Nicholson adalah metode yang menghilangkan ketergantungan terhadap
syarat kestabilan, dan menggunakan metode implisit dimana turunan kedua fungsi turunan
kedua fungsi didekati dengan harga harga rata-rata pada langkah ke n+1 dan ke n. Seharusnya
metode crank nicholson adalah metode yang hasil penyebaran konsentrasinya lebih baik dan
stabil, tetapi terdapat kesalahan pada pemograman sehingga praktikan tidak mendapat hasil
yang lebih baik daripada metode upstream.
Dari program-program yang menghasilkan grafik-grafik persebaran konsentrasi polutan,
seharusnya metode yang paling stabil adalah metode Crank Nicholson. Kecepatan positif atau
negatif berpengaruh terhadap arah persebaran saja, kecepatan positif persebarannya ke arah
kanan, kecepatan negatif persebarannya ke arah kiri. Praktikan menggunakan kecepatan u1
0.45 dan u2 -0.75. Jika tidak dilihat tanda minus atau plusnya, maka bisa dilihat bahwa 0.75
lebih besar daripada 0.45, sehingga lama simulasi dengan menggunakan kecepatan u2 (-0.75)
lebih cepat daripada program-program yang menggunakan u1 (0.45). Tanda negatif atau
positif hanya menunjukan arah persebaran. Lama simulasi untuk persebaran kontinu u1
cenderung paling lama pada setiap metode, karena kecepatannya lebih kecil dan polutan diberi
terus menerus sejumlah 50 mg setiap waktu, sehingga persebaran merata lebih lama.
BAB V
KESIMPULAN
Kesimpulan Trie Lany Putri Y (12909003)
Metode pendekatan numerik yang paling stabil adalah Metode Crank Nicholson dan
metode pendekatan numerik yang paling tidak stabil adalah Metode FTCS.
Metode pemodelan numerik eksplisit membutuhkan syarat kestabilan agar grafik yang
dihasilkan stabil.
Suatu syarat batas (bukan syarat batas yang berlaku untuk seluruh kondisi waktu) dapat
digunakan untuk mengetahui seberapa lama dan panjang pengaruh dari suatu polutan
hingga taraf yang aman sesuai ketetapan.
Besar kecepatan persebaran memengaruhi kecepatan (waktu) polutan tersebar di
seluruh grid.
Kesimpulan Zahra Akbari Ariadji (12909006)
1. Ada beberapa metode untuk menyelesaikan numerik metode beda hingga persamaan
adveksi 1 dimensi, yaitu metode FTCS, Leap-Frog, Upstream, dan Crank Nicholson. Masing-
masing mempunyai pendekatan numerik dengan cara yang berbeda-beda.
2. Metode pemodelan numerik yang paling baik adalah Metode Crank Nicholson, dan metode
pemodelan numerik yang paling tidak stabil adalah Metode FTCS.
3. Upstream menggunakan pendekatan numerik berbeda-beda untuk kecepatan positif dan
negatif, sehingga hasilnya lebih stabil dan lebih baik daripada metode FTCS dan Leap-Frog.
4. Kondisi syarat batas, nilai awal, dan pengkondisian akhir konsentrasi polutan diperlukan
untuk mengetahui seberapa lama dan panjang pengaruh suatu polutan hingga dalam taraf aman
yang diinginkan dalam pantauan.