Laporan Metode Jacobi & Siedel

19
I. Tujuan Mahasiswa mampu menyesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Iterasi Gauss Siedel dan Metode Iterasi Jacobi pada Matlab. II.Dasar teori Metode Iterasi adalah metode dimana penyelesaian persamaan diprediksi dengan suatu nilai awal yang kemudian diuji melalui subtitusi ke dalam persamaan. Besarnya perbedaan yang diperoleh dijadikan dasar untuk menentukan nilai prediksi selanjutnya. Perulangan dalam suatu metode iterasi boleh saja tidak terbatas, namun umumnya dibatasi oleh besarnya error-koreksi yang diperoleh. Apabila besarnya lebih kecil dari nilai yang diharapkan maka iterasi dapat dihentikan. Metode Iterasi Gauss Siedel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah-ubah. Metode iterasi Gauss-Seidel

description

Pemograman Komputer

Transcript of Laporan Metode Jacobi & Siedel

Page 1: Laporan Metode Jacobi & Siedel

I. Tujuan

Mahasiswa mampu menyesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode

Iterasi Gauss Siedel dan Metode Iterasi Jacobi pada Matlab.

II. Dasar teori

Metode Iterasi adalah metode dimana penyelesaian persamaan diprediksi

dengan suatu nilai awal yang kemudian diuji melalui subtitusi ke dalam persamaan.

Besarnya perbedaan yang diperoleh dijadikan dasar untuk menentukan nilai

prediksi selanjutnya. Perulangan dalam suatu metode iterasi boleh saja tidak

terbatas, namun umumnya dibatasi oleh besarnya error-koreksi yang diperoleh.

Apabila besarnya lebih kecil dari nilai yang diharapkan maka iterasi dapat

dihentikan.

Metode Iterasi Gauss Siedel

Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi

hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah-ubah. Metode iterasi Gauss-Seidel

dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier .

Rumus dari metode eliminasi Gauss-Seidel :

 

Page 2: Laporan Metode Jacobi & Siedel

Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil

karena metode-metode langsung seperti metode Eliminasi Gauss lebih efisien

daripada metode iterasi, akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase

elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien dari pada

metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu

komputasi. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan dapat

diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai

dengan batas sesatan yang diperbolehkan.

Metode Iterasi Jacobi

Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang

digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering

dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu

metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan

kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah

konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan

linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman, Carl

Gustav Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.Kalau kita

mengubah dalam Sistem Persamaan Linear, maka dapat ditulis sebagai berikut

Kemudian, diketahui bahwa , di mana merupakan

matriks diagonal, merupakan matriks segitiga bawah, dan merupakan matriks

segitiga atas.

Page 3: Laporan Metode Jacobi & Siedel

Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi :

Kemudian,

Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai :

di mana merupakan banyaknya iterasi. Jika menyatakan hampiran ke-

penyelesaian SPL, maka adalah hampiran awal.

Page 4: Laporan Metode Jacobi & Siedel

III. Algoritma

Metode Iterasi Jacobi

1. Masukan dimensi n, matriks A dan ruas kanan b2. Lanjutkan pivoting sehingga diagonal-diagonal-nya dominan3. Inisialisasi vector x4. Maxiter = 250 ;5. Untuk k=1 s/d maxiter dan toleransi belum dicapai lakukan :

a. Untuk i=1 s/d n lakukan :i. w = b(i) ;ii. Untuk j=1 s/d N dan i≠ j

1. w=w−A (i , j )∗xk ( j )

iii. x (i )=w / A (i , i);b. Cari beda terbesar, bandingkan dengan toleransi

6. Cetak x;7. Stop

Metode Gauss Seidel

1. Masukan dimensi n, matriks koefisien A, dan vector ruas kanan b.

2. Lakukan pivoting pada matriks A dan ruas kanan b3. Inisialisasi vektor prediksi xp=0

4. Maxstep = 10005. Lakukan peulangan :

Page 5: Laporan Metode Jacobi & Siedel

for k=1 : maxstepfor i=1:n m=b (i )

for j = (i +1) : n m=m−A (i , j )∗xp ( j )

endfor for j=1 : i

if (i= j )

x (i )=w / A (i , i) else

m=m−A (i , j )∗x ( j )

endif endfor error = abs( x - xp ) if( error < tol)

break endif endforendfor

6. Hasil akhir adalah vektor x

Page 6: Laporan Metode Jacobi & Siedel

IV. Flowchart

Metode Iterasi Jacobi

[X, g, H]= jacobi(A,b,X0,T,N)

xi = ( x1 x2 x3 …xn)

Input A, b, X0, T, N

x i=bi−∑ j≠i

aij y j

aii

AX = b

STOP

START

Page 7: Laporan Metode Jacobi & Siedel

Metode gauss saidel

Page 8: Laporan Metode Jacobi & Siedel

V. Program / Scrib

Iterasi Jacobi

Matriks 3x3

clcclear all%iterasi jacobi A=[4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5];b=[7; -21; 15];[m,n]=size(A);J=zeros(n); for p=1:n for k=1:n if (k ~= p) J(p,k)=-A(p,k)/A(p,p); end end u(p,1)=b(p,1)/A(p,p);end xlama=[1; 2; 2 ]; %---inisialisasi xlamaitermaks=10; %---iterasi maksimum sampai 10 kalifor k=1:itermaks xbaru=J*xlama + u; xlama=xbaru;endxbaru

Matriks 4x4

clcclear all%iterasi jacobi A=[-2 1 10 0; 0 3 -1 8 ; 10 -1 2 0; -1 11 -1 3 ];b=[-11; -11; 6; 25]; [m,n]=size(A);J=zeros(n); for p=1:n

Page 9: Laporan Metode Jacobi & Siedel

for k=1:n if (k ~= p) J(p,k)=-A(p,k)/A(p,p); end end u(p,1)=b(p,1)/A(p,p);end xlama=[0; 0; 0; 0 ]; %---inisialisasi xlamaitermaks=10; %---iterasi maksimum sampai 10 kalifor k=1:itermaks xbaru=J*xlama + u; xlama=xbaru;endxbaru

Iterasi Gauss Seidel

Matriks 3x3

for p=1:n-1 for k=1:n if k==p k=k+1; end J(p,k)=-A(p,k)/A(p,p); end u(p,1)=b(p,1)/A(p,p);endfor k=1:n-1 J(n,k)=-A(n,k)/A(n,n);endu(n,1)=b(n,1)/A(n,n);%-------------------------L=J;%matriks J dicopy ke matriks Lfor p=1:n-1 for k=p+1:n L(p,k)=0; endend%--------------------------U=J;%matriks J dicopy ke matriks Ufor p=1:n-1 for k=p+1:n U(k,p)=0; end

Page 10: Laporan Metode Jacobi & Siedel

endxlama=[1; 2; 2];%---inisialisasi xlama itermaks=10;%---iteraksi maksimum sampai 10 kalifor k=1:itermaks xbaru=J*xlama + u; xlama=xbaru;endxbaru

Matriks 4x4

%PROGRAM ITERASI GAUSS SEIDEL

clear all

clc

A=[10 -1 2 0; -1 11 -1 3; 2 -1 10 -1; 0 3 -1 8];

b=[6; 25; -11; 15];

dim=size(A);

n=dim(1);

disp(' PROGRAM ITERASI GAUSS SEIDEL ')

disp('------------------------------------------')

disp('iterasi x1 x2 x3 x4')

disp('------------------------------------------')

%---perhitungan matriks J dan vektor U---

for k=1:n

J(k,k)=0;

end

for p=1:n-1

for k=1:n

if k==p

k=k+1;

end

Page 11: Laporan Metode Jacobi & Siedel

J(p,k)=-A(p,k)/A(p,p);

end

u(p,1)=b(p,1)/A(p,p);

end

for k=1:n-1

J(n,k)=-A(n,k)/A(n,n);

end

u(n,1)=b(n,1)/A(n,n);

%-------------------------

L=J;%matriks J dicopy ke matriks L

for p=1:n-1

for k=p+1:n

L(p,k)=0;

end

end

%--------------------------

U=J;%matriks J dicopy ke matriks U

for p=1:n-1

for k=p+1:n

U(k,p)=0;

end

end

xlama=[0; 0; 0; 0];%---inisialisasi xlama

itermaks=10;%---iterasi maksimum sampai 10 kali

for k=1:itermaks

xbaru=J*xlama + u;

xlama=xbaru;

fprintf('%8.0f %9.5f %9.5f %9.5f %9.5f \n',k,xbaru')

end

Page 12: Laporan Metode Jacobi & Siedel

VI. Hasil

Iterasi Jacobi

Matriks 3x3

Matriks 4x4

Page 13: Laporan Metode Jacobi & Siedel

Iterasi Gauss Seidel

Matriks 3x3

Matriks 4x4

Page 14: Laporan Metode Jacobi & Siedel

VII. Pembahasan

Metode Iterasi memiliki keunggulan dibandingkan dengan Metode Eliminasi

karena hemat dalam pemakaian memori, atau karena kompleksitasnya ≈ O ¿).

Sementara itu, kompleksitas Metode Eliminasi umumnya adalah≈ O ¿), dimana

n adalah ukuran vektor x. karenanya Metode Eliminasi lebih cocok untuk sistem

persamaan variable yang tidak terlalu banyak, sedangkan Metode Iterasi bias

digunakan untuk matriks koefisien berukuran besar dan sebagian elemennya nol

(Sparse Matriks).

Metode Iterasi Jacobi terkesan lambat menuju konvergensi sehingga Gauss

Siedel mengusulkan metode yang leih cepat, dimana nilai yang diperoleh langsung

digunakan dalam putaran iterasi yang sedang berlangsung.

Penggunaan pendekatan dengan pemrograman MATLAB, salah satu software

komputer yang dapat digunakan untuk memberikan solusi komputasi numerik.

Karena metode – metode numerik dengan bahasa pemrograman yang sederhana,

namun dapat menyelesaikan permasalahan yang dihadapi oleh mereka yang

bergerak dalam bidang matematika maupun aplikasi matematika.

VIII. Kesimpulan

Metode eliminasi gauss-seidel digunakan untuk menyelesaikan SPL yg

berukuran kecil karena metode ini lebih efisien. Dengan metode iterasi Gauss-

Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi

sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.

Kelemahan dari metode ini adalah masalah pivot (titik tengah) yang harus benar–

Page 15: Laporan Metode Jacobi & Siedel

benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi

divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar

Metode Iterasi Jacobi terkesan lambat menuju konvergensi sehingga Gauss

Siedel mengusulkan metode yang leih cepat, dimana nilai yang diperoleh langsung

digunakan dalam putaran iterasi yang sedang berlangsung.

Page 16: Laporan Metode Jacobi & Siedel

DAFTAR PUSTAKA

Munir, R. 2003. Metode Numerik. Informatika. Bandung.

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Andi. Yogyakarta.

Suarga. 2012. Algoritma Pemograman . Edisi ke-2. Yogyakarta : Penerbit ANDI.