Laporan Himpunan Dan Logika

25
0 OPERASI HIMPUNAN DAN LOGIKA DALAM MAPLE LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR Oleh Berta Yuda Sisilia Putri NIM 131810301051 LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2013

Transcript of Laporan Himpunan Dan Logika

OPERASI HIMPUNAN DAN LOGIKA DALAM MAPLE

LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR

OlehBerta Yuda Sisilia PutriNIM 131810301051

Laboratorium Matematika DasarJurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Jember2013

BAB 1. PENDAHULUAN1.1 Latar BelakangHimpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Sedangkan logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata logos (bahasa Yunani), yang artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari. Merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran, dan argumentasi sangat sering digunakan di dalam kehidupan nyata sehari-hari, di dalam mata pelajaran matematika sendiri maupun mata pelajaran lainnya. Karenanya, topik ini akan sangat berguna bagi siswa, karena di samping dapat meningkatkan daya nalar mereka, topik tersebut akan dapat langsung diaplikasikan di dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari dan di saat mempelajari mata pelajaran lainnya. Kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para guru memiliki kemampuan untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam melakukan penalaran secara logis dan kritis.Dalam praktikum kali ini akan dibahas mengenai cara penulisan himpunan dan logika serta cara penyelesaian soal himpunan dan logika menggunakan Maple.1.2 Rumusan MasalahAdapun rumusan masalah dalam praktikum kali ini, yaitu :a. Bagaimana penulisan himpunan dalam Maple?b. Bagaimana penulisan logika dalam Maple ?c. Bagaimana penyelesaian himpunan dalam Maple ?d. Bagaimana penyelesaian logika dalam Maple ?

1.3 TujuanAdapun tujuan dalam praktikum kali ini, yaitu :a. Mengetahui penulisan himpunan dalam Maple.b. Mengetahui penulisan logika dalam Maple.c. Mengetahui penyelesaian himpunan dalam Maple.d. Mengetahui penyelesaian logika dalam Maple.

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

Secara etimologis, logika berasal dari kata yunani logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986).Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu sering juga disebut penalaran (reasoning) (Markaban,2004).

2.1 LogikaPernyataan adalah kalimat yang hanya benar atau salah saja tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.Contoh : jakarta adalah Ibu Kota Indonesia.Suatu kalimat , bukan pernyataan jika kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salahnya atau mengandung pengertian relatif.Contoh : Jarak antara Surabaya dengan Jember adalah dekat.Lambang nilai kebenaran adalah (dibaca tau) dari huruf bahasa yunani. : B dibaca nilai kebenaran pernyataan p adalah benar : B dibaca nilai kebenaran pernyataan q adalah salahKalimat Terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung variabel atau peubah.Contoh : P adalah bilangan primaA. Pernyataan Majemuk1. KonjugasiBernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar dengan menggunakan kata penghubung logika dan (

Tabel 2.2 konjungsi(sumber: dendinasrulloh.blogspot.com)

2. DisjungsiGabungan dua pernyataan yang menggunakan kata penghubung logika atau (V)

Tabel 2.2 disjungsi(sumber: dendinasrulloh.blogspot.com)

3. ImplikasiGabungan dua pernyataan p dan q sehingga membentuk pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung jika...maka (Pernyataan p dinamakan anteseden atau hipotesis, sedangkan pernyataan q dinamakan konsekuen atau kesimpulan.Pernyataan implikasi bernilai salah apabila hipotesis benar dan kesimpulan salah. Selain itu, pernyataan implikasi bernilai benar.

Tabel 2.2 Implikasi(sumber: dendinasrulloh.blogspot.com)4. BiimplikasiBimplikasi atau dikondisionalialah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk p jika dan hanya jika q yang berarti jika p maka q dan jika q maka p. Pernyataan p jika dan hanya jika q dilambangkan dengan .

Tabel 2.2 Biimplikasi(sumber: dendinasrulloh.blogspot.com)

5. NegasiNegasi dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari negasi pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ekuivalensi, yaitu apabila negasi pernyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk negasi dari komponen-komponennya.

6. EkuivalenDua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.Dua pernyataan p dan q yang ekuivalen dinotasikan dengan . Untuk menunjukkan bahwa dua pernyataan ekuivalen atau ekuivalensi dari dua pernyataan, dapat menggunakan tabel kebenaran.a. Hukum Komutatif

b. Hukum Asosiatif

c. Hukum Distributif

d. Hukum de Morgan

7. Tautologi dan KontradiksiSuatu pernyataan majemuk merupakan tautologi, jika kebenarannya adalah selalu benar. Contoh : Suatu pernyataan majemuk merupakan kontradiksi, jika nilai kebenarannya adalah selalu salah. Contoh : Suatu pernyataan majemuk merupakan kontingensi, jika nilai kebenarannya memuat benar dan salah. Contoh : 8. Konvers, Invers dan KontraposisiJika p maka q adalah suatu pernyaaan. Maka pernyataan majemuk: adalah konvers dari adalah invers dari adalah kontraposisi dari 2.2 HimpunanMenghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan dapat berupa daftar, koleksi maupun kelas. Sedangkan obyek dalam himpunan dapat berupa benda, orang, bilangan-bilangan atau huruf.Contoh (4.1):1. Himpuanan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o2. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x2 3x 4 = 0

A. Ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:a. Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal.b. Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.c. Dengan menyatakan syarat keanggotaannya.

B. Macam-macam HimpunanBerdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi beberapa macam, yaitu :

1. Himpunan kosong (himpunan hampa)Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering dinyatakan sebagai atau { }.

2. Himpunan SemestaHimpunan semesta adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U (singkatan dari Universal).Contoh : S = { 5, 7, -4, 9}, A = {7, 9}Dikatakan S merupakan semesta dari himpunan A.

3. Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga (infinit).Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga.

4. Himpunan Bagian (Subset).Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A B, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.Dinyatakan dengan simbol : A B jika dan hanya jika

5. Kesamaan Himpunan.Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis A = B , jika dan hanya jika A B dan B A. Dinyatakan dengan simbol

Contoh :Misalkan A = {a, b, c, d}, B = { c, b, a, d}, dan C={ a,b, b, a, c, d}A, B dan C adalah himpunan himpunan yang sama yaitu A = B = C

6. Himpunan Berpotongan.Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis A B jika danhanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B.Contoh :Misalkan himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 5, 8}A dan B adalah dua himpunan yang saling berpotongan.

7. Himpunan LepasDua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis A // B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama. Contoh :Misalnya A = {x /x = bilangan bulat positif}B = {x /x = bilangan bulat negatif}Maka A dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas.

C. Operasi-Operasi Dalam Himpunan1. Gabungan ( Union ).Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis A B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A, atau anggota B, atau sekaligus kedua-keduanya.

2. Irisan ( Intersection )Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis A B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan sekaligus anggota B.

3. Komplemen.Komplemen dari himpunan A ditulis Ac atau Al adalah himpunan yanganggota-anggotanya dalam semesta (S) yang bukan anggota A. Atau Ac.

4. Selisih Dua HimpunanSelisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis A B atau A Bc adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan anggota. Atau A B.

5. Jumlah Dua Himpunan (Selisih Simetri)Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis A B adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A yang bukan anggota B dan anggota B yang bukan anggota A. Atau A B.

BAB 3. METODOLOGI

3.1 Alat dan Bahana. Laptop dengan spesifikasi :Toshiba satellite C800prosesor : Intel Pentium Processor B980 (2.40)monitor : 14 Incib. Software Classic worksheet maple 15

3.2 . Langkah Kerjaa. Menghidupkan laptop dengan menekan tombol onb. Menunggu hingga keluar tampilan desktopc. Meng-klik icon maple 15 untuk menjalankan software maple-15.d. Tunggu hingga muncul worksheet.e. Melakukan operasi himpunan dan logika.

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

Praktikum kali ini yaitu operasi himpunan dan logika dalam maple. himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan dapat berupa daftar, koleksi maupun kelas. Sedangkan obyek dalam himpunan dapat berupa benda, orang, bilangan-bilangan atau huruf. Dalam penulisan himpunan dalam maple adalah pertama menuliskan pernyataan seperti biasa namun menggunakan kurung kurawal untuk menghimpun., seperti :> d:={1,3,5,7,13,17};

> d;

Jika ingin mengetahui kebenaran keberadaan suatu anggota himpunan dalam maple menggunakan perintah member buka kurung, tuliskan anggota dan himpunannya dipisahkan dengan tanda koma, seperti :> member(3,d);

> member(4,d);

Jika anggota yang disebutkan memang berada dalam himpunan tersebut maka akan muncul hasil true, namun jika tidak ada maka akan muncul hasil false seperti contoh di atas. Bisa juga dalam mengetahui suatu keberadaan anggota dalam himpunan menggunakan perintah evalb buka kurung tulis anggota dan himpunannya dipisahkan dengan in, seperti :> evalb(3 in d);

> evalb(4 in d);

Perintah evalb akan memunculkan hasil yang sama seperti perintah member. Jika benar maka true dan jika bukan maka false.Operasi-operasi himpunan diantaranya adalah irisan. Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis A B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan sekaligus anggota B. Penulisan operasi irisan dalam maple menggunakan perintah intersect, seperti :> a:={e,r,i,n,h,j};

> b:={h,i,r,r,n,j,k,l};

> a intersect b;

Operasi berikutnya adalah gabungan. Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis A B, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A, atau anggota B, atau sekaligus kedua-keduanya. Penulisan operasi gabungan dalam maple menggunakan perintah union, seperti :> a union b;

Operasi selisih dua himpunan, selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis A B atau A Bc adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan anggota. Dalam maple jika kita ingin mengetahui bukan anggota dari suatu himpunan maka menggunakan perintah minus, seperti :> a:={e,r,i,n,h,j};

> b:={h,i,r,r,n,j,k,l};

> a minus b;

A B B A, contoh di atas adalah A B.Perintah subset dalam maple digunakan untuk mengetahui kebenaran suatu anggota dalam suatu himpunan, seperti :> k:={m,n};

> l:={m,n,o,p,q};

> k subset l;

> l subset k;

Jika benar maka true dan jika bukan maka false.Perintah remove dalam maple berfungsi sebagai menghapus satu atau lebih anggota dari suatu himpunan, seperti :> w:={1,2,3,4,4,5,12};

> u:=remove(has,w,12);

> u;

> u:=remove(has,w,[12,3]);

Caranya adalah menuliskan dulu himpunan aslinya kemudian membuat definisi baru seperti contoh di atas, himpunannya didefinisikan w, kemudian membuat definisi baru yaitu u. Kemudian remove kurung buka has himpunan yang akan di remove salah satu anggotanya yang dipisahkan tanda koma kemudian pisahkan lagi dengan tanda koma, baru dituliskan anggota yang akan dihapus dari himpunan tersebut. Untuk menghapus anggota lebih dari satu, suatu himpunan. Maka menggunakan kurung siku ( [ ] ).Untuk mengambil anggota suatu himpunan dalam maple menggunakan perintah select, caranya seperti perintah remove hanya saja diganti rumusnya yaitu select. Dan jika kita ingin mengambil lebih dari suatu anggota maka mengunakan kurung siku, seperti :> w:={1,2,3,4,4,5,12};

> select(has,w,2);

> select(has,w,[2,3,5]);

Jadi yang sebelumnya himpunan w terdiri banyak anggota, setelah menggunakan perintah select maka terdiri dari anggota yang kita inginkan saja seperti contoh di atas.Logika sering disebut sebagai penalaran (reasoning). Operasi dari satu atau dua pernyataan tunggal dapat berupa konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan negasi. Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit dandinotasikan . Penulisan dalam maple menggunakan bahasa inggrisnya yaitu and, yang artinya dan, seperti :> true and false;

Benar dan salah maka hasilnya salah. Karena perakit dan jika salah satu pernyataan benilai salah maka hasilnya salah. Jika salah maka muncul false.Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit atau dinotasikan . Penulisannya dalam maple menggunakan bahasa inggrisnya yaitu or, seperti :> true or false;

Berbeda dengan perakit dan, perakit atau jika salah satu pernyataan bernilai benar maka hasilnya benar (true).Implikasi dengan notasinya p q, merupakan pernyataan majemuk yang didapat dari menggunakan kata jika sebelum pernyataan pertama dan kata maka diantara pernyataan pertama dan kedua, pernyataan bersyarat, kondisional atau hypothecial. Dalam penulisan perakit implikasi dalam maple juga menggunakan bahasa inggrisnya yaitu implies , seperti :> true implies false;

Penyataan pertama merupaka hipotesis sedangkan pernyataan kedua merupakan suatu konklusi atau kesimpulan. Seperti contoh di atas apabila hipotesis benar dan kesimpulan salah maka salah.Negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan. Negasi p adalah ~p. Dalam penulisan di maple menggunakan perakit not, seperti :> not false;

> not(true implies true);

Tanda kurung menentukan mana yang akan di negasikan.Biimplikasi adalah Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p q. Untuk negasi biimplikasi yang di notasikan ~(pq), penulisan dalam maple adalah menggunakan perakit xor, seperti :> true xor true;

> false xor false;

> true xor false;

Penarikan suatu kesimpulan/konklusi diperlukan beberapa pernyataan (premis). Apabila premis-premisnya bernilai benar, maka kesimpulan/konklusi juga bernilai benar. Dikatakan penarikan kesimpulannya sah. Modus Ponen merupakan penarikan kesimpulan yang sah sebab pernyataan berupa tautologi.> (true and (true implies false))implies false;

Modus Tollen merupakan penarikan kesimpulan yang seah, sebab pernyataan merupakan tautologi.> (not false and (true implies false)) implies true;

Silogisme Hipotesis merupakan penarikan kesimpulan yang sah sebab pernyataan merupakan tautologi.> ((true implies false) implies (false implies false)) implies (true implies false);

Silogisme Disjungsi merupakan penarikan kesimpulan yang sah sebab pernyataan merupakan tautologi.> ((true or false) and not true) implies false;

Simplifikasi > (true and false) implies true;

BAB 5. PENUTUP5.1 KesimpulanBerdasarkan praktikum di atas dapat ditarik kesimpulan yaitu :1. Menuliskan himpunan dalam maple menggunakan kurung kurawal.2. Operasi-operasi himpunan dalam maple diantaranya irisan menggunakan perintah intersect, gabungan menggunakan perintah union, bagian menggunakan perintah subset, selisih mengunakan perintah minus, menghapus menggunakan remove, mengambil menggunakan perintah select, mengetahui kebenaran keberadaan anggota menggunakan member atau evalb.3. Penulisan logika terlebih dahulu membuat definisi false dan true.4. Dalam operasinya logika perakit dan menggunakan and, perakit atau menggunakan or, implikasi menggunakan implies, biimplikasi menggunakan notxor dan negasi menggunakan not, negasi biimplikasi menggunakan xor.

5.2 SaranBagi praktikan selanjutnya diharapkan lebih telitui dalam memasukkan perintah untuk pengoperasian himpunan maupun logika. Karena sering terbaik dalam menggunakan tanda. Dan tidak lupa untuk merestart worksheet.

DAFTAR PUSTAKADendi Nasrulloh [ http://dendinasrulloh.blogspot.com, dikutip tanggal 28 November 2013].Ir.suharto. 1992. Matematika Terapan untuk Perguruan Tinggi. Jakarta:Rineka Cipta Jakarta.Kusumah, Y.S. (1986). Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito.Lipschutz,seymour. 1988. Matematika Hingga. Jakarta:Erlangga.Markaban. 2004. Logika Matematika. Yogyakarta : PPPG Matematika.

LAMPIRAN1. Buatlah sembarang himpunan a,b,c,dan d.Tentukan hasil perintah :0

4

a. b. Idempotentc. Komutatifd. Asosiatife. Distributiff. Komplemeng. De Morganh. Identitas

> A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9};

> B:={2,4,6,8,10};

> C:={0,1,3,5,7,11,14,15};

> d:={11,13,17,18};

a. Idempotent

> A union A;

> A intersect A;

b. Komutatif dan > A union B; > B union A;

> A intersect B;

> B intersect A;

c. Assosiatif

> (A union B) union C;

> A union (B union C);

> (A intersect B)intersect C;

> A intersect (B intersect C);

d. Distributif

> (A intersect B)union C;

> (A union C) intersect (B union C);

> A intersect ( B union C);

> (A intersect B) union ( A intersect C);

> A union (B intersect C);

> (A union B) intersect ( A union C);

> (A union B) intersect C;

> (A intersect C)union ( B intersect C);

e. Komplemen

> A union A^c;

> A intersect A^c;

> (A^c)^c;

f. de Morgan

> (A union B)^c;

> A^c intersect B^c;

> ( A intersect B)^c;

> A^c union B^c;

g. Identitas

> s:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}:> o:={}:> a intersect s;

> a intersect o;

> a union s;

> a union o;

2. Pembuktian kebenaran logika :

> p:=true:> q:=false:> r:=true:A.> p and (p or q);

> p;

B.> not (p or (q and r));

> (p implies q) and (p implies r);

C.> (p or q) implies r;

> (p implies r) and (q implies r);

D.> p implies (q or r);

> not r implies (p implies q);