Pierre-Simon Laplace, matemtico e astrnomo francs, teve em 1782 sua ateno voltada para um conjunto de integrais do tipo1 :

Expresses semelhantes foram inicialmente investigadas por Joseph Louis Lagrange e anteriormente por Leonhard Euler.

Laplace comeou a encontrar algumas propriedades desta expresso e percebeu o potencial da ferramenta para a soluo de equaes diferenciais. Similarmente aos logaritmos que permitem realizar operaes de multiplicao como somas e de exponenciao como produtos, as transformadas de Laplace permitem resolver uma classe de equaes diferenciais lineares como se fossem meras equaes algbricas.

comum representar a transformada de Laplace de uma funo f (t) como:

E a operao inversa, a anti transformada de Laplace ou ainda, transformada inversa de Laplace, representada por:

Volta ao domnio do tempo, encontramos a soluo da equao diferencial:

Podemos testar a soluo para verificar a validade da ferramenta, derivando f (t) obtemos o lado esquerdo da equao:

E retornando ao domnio do tempo, encontramos:

Funo de Transferncia

Se tomarmos um sistema dinmico linear em repouso (todas as condies iniciais nulas) com uma entrada e uma sada, observaremos que para cada sinal x (t) aplicado na entrada obtm-se um sinal y (t) na sada. Mais ainda, se obtivermos as Y (s) transformadas de Laplace X (s) do sinal de entrada e Y (s) do sinal de sada, perceberemos que a relao G (s) = Y(s)/X(s) constante.

A esta relao chamamos de Funo de Transferncia do sistema e podemos pensar nela como uma espcie de ganho no domnio de Laplace. Como a transformada de Laplace do impulso unitrio 1, podemos ainda perceber a funo de transferncia de um sistema dinmico linear como a sua resposta a uma excitao do tipo impulso unitrio (ou na prtica, algo que se aproxime do impulso unitrio).

Em uma aplicao de projeto de controle, normalmente temos um sistema dinmico que chamaremos de planta (pode ser uma mquina, caldeira, ou outro sistema qualquer). A planta possui uma funo de transferncia que no atende aos requisitos (por exemplo, muito lenta), ento vamos projetar um controlador de modo que ao fechar a malha, a funo de transferncia global seja satisfatria.

Obter a Funo de Transferncia a partir da equao diferencial

Obter a sada de um sistema a partir da entrada e da funo de transferncia

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