JAWABAN LKS (1)Jawaban Skor

Maksimum

Aspek

1. Persamaan garis singgung l pada Lingkaran L berpusat di O(0,0) dan

berjari-jari r

a. Garis singgung l tegak lurus garis OT.

b. Gradien garis OT = mOT=y1

x1.

c. karena ml .mOT=−1 , maka Gradien garis l adalah ml=−x1

y1,

d. Persamaan garis singgung l ditentukan oleh :

y− y1=ml ( x−x1 )

y− y1=−x1

y1( x−x1 )

y1 y− y12=−x1 x+x1

2

x1 x+ y1 y=x12+ y1

2

Karena titik T(x1,y1) pada lingkaran L ≡ x2 + y2 = r2, maka

berlaku :

x1 x+ y1 y=r2

Jadi persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik singgung

T(x1,y1) pada lingkaran L ≡ x2 + y2 = r2 ditentukan oleh formula :

30 C4

2. Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran

L ≡ ( x−2 )2+( y−4 )2=10 dan melalui titik A(5,3) terlebih dahulu

diperiksa apakah titik A(5,3) terletak pada lingkaran L atau tidak.

Sehingga (5−2 )2+ (3−4 )2=. . .

Jadi titik A(5,3) terletak lingkaran L.

Pusat lingkaran L adalah P(2,4)

35 C4

x1 x+ y1 y=r2

Gradien garis PA adalah mPA=y2− y1

x2−x1

=3−45−2

=13

Gradien garis singgung l tegak lurus garis PA, maka ml .mPA=−1,

sehingga ml=3

Persamaan garis singgung lingkaran L melalui A(5,3) dan gradien ml

adalah

y− y1=ml ( x−x1 )

y−3=3 ( x−5 )

y=3 x−12

Hasil diskusi :

a. Garis l tegak lurus garis AT

b. Gradien garis AT = mAT=y1−b

x1−a

c. karena ml .mAT=−1, maka gradien garis l adalah ml=−(x¿¿1−a)

y1−b¿

d. Persamaan Garis singgung l ditentukan oleh :

y− y1=m ( x−x1 )

⟺ y− y1=−(x¿¿1−a)

y1−b( x−x1 )¿

⟺ ( y− y1) ( y¿¿1−b)=−(x¿¿1−a)( x−x1 )¿¿

⟺ yy1− y12−by+b y1=−x x1+x1

2+ax−a x1

⟺ x12+ y1

2=x x1+ yy1−ax−by+a x1+b y1

⟺ x12−a x1+ y1

2−b y1=(x x1−ax)+( yy¿¿1−by )¿

⟺ x12−a x1−a x1+ y1

2−b y1−b y1=x x1−ax+ yy1−by−a x1−b y1

⟺ x12−2a x1+ y1

2−2b y1=x x1−ax+ yy1−by−a x1−b y1

⟺¿

Karena titik T(x1,y1) pada lingkaran L ≡ (x-a)2 + (y-b)2 = r2, maka

berlaku :

⟺ r2=x (x¿¿1−a)+ y ( y¿¿1−b)−a(x1−a)−b( y¿¿1−b)¿¿¿

⟺ r2=¿

⟺ r2=( x1−a ) ( x−a )+ ( y1−b ) ( y−b )

Jadi persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik singgung

T(x1,y1) pada lingkaran L ≡ (x-a)2 + (y-b)2 = r2 ditentukan oleh

formula :

3. Persamaan garis singgung l pada Lingkaran x2+ y2+ Ax+By+C=0

melalui Titik T(x1,y1).

a. Garis l tegak lurus garis LT.

b. Gradien garis LT = m¿=y1+

12

B

x1+12

A

c. karena m1. m¿=−1 ,maka gradien garis l adalah ml=−[ x1+12

A

y1+12

B ] ,

d. Persamaan Garis l ditentukan oleh :

y− y1=m ( x−x1 )

⟺ y− y1=−[ x1+12

A

y1+12

B ] ( x−x1 )

⟺ ( y− y1) ( y¿¿1+12

B)=− ( x−x1) (x1+12

A)¿

⟺ yy1+12

By− y12−1

2B y1=−x x1−

12

Ax+x12+ 1

2A x1

⟺ x x1+ yy1+12

A (x+x1)+12

B( y+ y¿¿1)−A x1−B y1=x12+ y1

2 ¿

⟺ x x1+ yy1+A2

(x+x1)+B2

( y+ y¿¿1)=x12+ y1

2+ A x1+B y1 ¿

35 C4

⟺ x x1+ yy1+A2

(x+x1)+B2

( y+ y¿¿1)=−C ¿

⟺ x x1+ yy1+A2

(x+x1)+B2

( y+ y¿¿1)+C=0¿

Jadi persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+ y2+ Ax+By+C=0

yang melalui

JAWABAN LKS (2)

Soal Skor

1. Untuk menunjukkan bahwa titik A(-3,1) terletak pada lingkaran L, maka

substitusikan (-3,1) pada persamaan lingkaran L≡(x−1)2+( y−4)2=25,

sehingga diperoleh :

(−3−1 )2+ (1−4 )2=25

(−4 )2+(−3)2=25

16+9=25

25=25. Karena hasilnya sama, maka titik A(-3,1) terletak pada lingkaran L.

Persamaan garis singgung :

( x1−a ) (x−a )+( y1−b ) ( y−b )=r 2

(−3−1 ) ( x−1 )+ (1−4 ) ( y−4 )=25

−4 ( x−1 )−3 ( y−4 )−25=0

−4 x+4−3 y+12−25=0

−4 x−3 y−9=0

4 x+3 y+9=0

Jadi, persamaan garis singgung roda yang berbentuk lingkaran L

(x−1)2+( y−4)2=25 di titik singgung AA (−3,1 ) adalah 4 x+3 y+9=0.

50

2. Persamaan garis singgungnya adalah :

x1 x+ y1 y+ A2

( x+x1 )+ B2

( y+ y1 )+C=0

⟺ x1 x+ y1 y−42

( x1+x )+ 62

( y1+ y )−12=0

⟺5 x+ y−2 (5+x )+3 (1+ y )−12=0

⟺5 x+ y−10−2x+3+3 y−12=0

⟺3 x+4 y−19=0

Jadi, persamaan garis singgung reel yang berbentuk lingkaran

x2+ y2−4 x+6 y−12=0 di titik (5,1) adalah 3 x+4 y−19=0.

50