Lajes Vigadas
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Betão Armado LAJES VIGADAS
série ESTRUTURAS
joão guerra martins
2.ª edição / 2009
(Provisório)
Prefácio
Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de
Engenharia Civil da Universidade Fernando Pessoa, vindo a ser gradualmente melhorado e
actualizado.
Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto,
completo e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno
de engenharia civil, quer para a prática do projecto de estruturas correntes.
Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer
à especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se
ao que se pensa omitido.
Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos
que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem.
João Guerra Martins
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Introdução – Lajes Tipos e classificações
A classificação das lajes pode ser apresentada de diferentes formas. Uma sistematização
possível é indicada de seguida:
1. Quanto ao tipo de apoio:
a) Lajes vigadas - apoiadas em vigas;
b) Lajes fungiformes - apoiadas directamente em pilares - sem ou com capitel;
c) Apoiadas numa superfície deformável - lajes de pavimento apoiadas no solo de
fundação.
2. Quanto à constituição:
a) Lajes só em betão armado:
• Maciças - com uma espessura constante ou de variação contínua;
• Aligeiradas ou nervuradas - com um peso inferior ao de uma laje maciça com a
mesma espessura. A redução de peso é obtida através da introdução de blocos de
cofragem recuperáveis ou perdidos, que formam nervuras dispostas numa só
direcção ou em duas direcções perpendiculares, solidarizadas por uma lajeta de
compressão. Quando recuperáveis são, em geral, de plástico colocando-se junto
à face inferior da laje e dando origem a uma superfície inferior descontínua. Os
blocos perdidos (de argamassa de cimento, cerâmicos, de poliestireno expandido
ou de cartão) se forem colocados no interior da laje produzem uma superfície
inferior contínua em betão. Durante a betonagem são requeridos cuidados
especiais na execução da laje, de modo a impedir que a posição dos blocos e das
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armaduras não se modifique, bem como a garantir que só espaço entre os
blocos e a cofragem seja completamente preenchido pelo betão. Os blocos de
argamassa de cimento, ou cerâmicos, podem também ser colocados junto da face
inferior, dando origem a uma superfície inferior lisa mas não homogénea;
b) Lajes de vigotas pré-esforçadas - a laje é constituída por vigotas pré-esforçadas
nas quais se apoiam blocos de cofragem (abobadilhas ou "tijoleiras") cerâmicos
ou de argamassa de cimento, os quais são solidarizados por uma lajeta de betão;
c) Lajes mistas - constituídas por perfis metálicos, em geral de secção I, que
suportam as forças de tracção, ligados através de conectores metálicos a uma
lajeta de betão que absorve as forças de compressão.
3. Quanto ao modo de flexão dominante:
a) Lajes armadas numa direcção - os esforços nessa direcção são bastante
superiores aos da direcção perpendicular;
b) Lajes armadas em duas direcções ou em cruz - os esforços existentes nas duas
direcções principais de flexão são da mesma ordem de grandeza.
4. Quanto à caracterização do comportamento:
a) Lajes finas - quando a espessura é inferior a 1 /10 do vão. No cálculo deste tipo
de lajes, que correspondem às situações correntes, é possível desprezar a
contribuição do esforço transverso para a deformação da laje e admitir a hipótese
de as fibras perpendiculares ao plano médio se manterem rectas e
perpendiculares à superfície média deformada;
b) Lajes espessas - não são válidas as simplificações atrás apresentadas;
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c) Lajes isotrópicas - formadas por material homogéneo e de comportamento
elástico linear. Devido à sua geometria apresentam um comportamento
ortotrópico. Por ex: lajes nervuradas.
5. Quanto ao modo de fabrico:
a) Betonadas no local;
b) Pré-fabricação total: a laje é colocada sobre vigas sendo solidarizada localmente;
c) Pré-fabricação parcial: só uma parte da laje é pré-fabricada (normalmente a
inferior e já com armaduras), sendo o volume restante betonado localmente e
constituindo a pré-fabricada a cofragem de oportunidade.
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CAPÍTULO 1 – ANÁLISE DO REBAP
1. Disposições Gerais
1.1. Critérios Gerais de Segurança
Verificação da segurança
A verificação da segurança das estruturas de betão armado e pré-esforçado deve ser
efectuada de acordo com os critérios gerais estabelecidos no RSA e tendo em conta as
disposições do REBAP.
O RSA quantifica as acções e estabelece os critérios gerais a ter em conta na verificação
da segurança das estruturas, independentemente dos materiais que as constituem. Para as
estruturas de betão armado e pré-esforçado será, portanto, necessário objectivar os diversos
parâmetros específicos destes materiais, que interessam ao dimensionamento. Haverá, assim,
que definir os estados limites, os coeficientes de segurança, certas acções específicas e ainda
as propriedades dos materiais, as teorias de comportamento estrutural, as disposições
construtivas e as regras de execução.
Note-se que as teorias de comportamento podem ser complementadas, em certos casos,
substituídas por ensaios de modelos ou de protótipos. No caso da aplicação de tais processos
experimentais se limitar à determinação dos esforços em regime linear, não se levantam em
geral dificuldades quanto à sua interpretação no quadro dos critérios de segurança adoptados.
No caso, porém, de esses processos serem conduzidos com vista à determinação directa de
capacidades resistentes dos elementos ou das estruturas, o problema da sua interpretação é
delicado, pois os valores assim determinados não podem ser considerados como valores de
cálculo. Neste caso há a necessidade de quantificar devidamente os coeficientes de segurança
a adoptar, de modo a conseguir neste dimensionamento segurança equivalente à que se
obteria utilizando os processos analíticos.
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1.1.1. Estados limites
Um estado limite é um estado a partir do qual se considera que a estrutura fica total
ou parcialmente prejudicada na sua capacidade para desempenhar as funções que lhe são
atribuídas.
O REBAP classificam os estados limites em 2 tipos:
• Estados limites últimos;
• Estados limites de utilização.
Os Estados Limites Últimos são os de cuja ocorrência resultam prejuízos à estrutura.
Podem classificar-se em:
• Estados limites últimos de resistência – Rotura, ou deformação excessiva, em
secções dos elementos da estrutura, envolvendo ou não fadiga;
• Estados limites últimos de encurvadura – Instabilidade de elementos da estrutura
ou do seu conjunto;
• Estados limites últimos de equilíbrio – Perda de equilíbrio de parte da estrutura
ou do seu conjunto (corpo rígido).
Os Estados Limites de Utilização são os de cuja ocorrência resultam prejuízos pouco
severos.
Podem classificar-se quanto ao tipo em:
• Estados limites de fendilhação:
- Estado limite de descompressão - anulamento da tensão normal de compressão
devida ao pré-esforço, e a outros, esforços normais de compressão, numa fibra
especificada da secção, sendo em geral, que a fibra em causa é a extrema que, sem
considerar a actuação do pré-esforço, ficaria mais traccionada (ou menos
comprimida) por acção dos restantes esforços;
- Estado limite de largura de fendas - ocorrência de fendas cujas larguras, a um
dado nível da secção, têm valor característico igual a um valor especificado. Em
geral, o nível tomado para referência é o das armaduras que, para a combinação
de acções em consideração, ficam mais traccionadas.
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• Estados limites de deformação a considerar são:
- Estado limite de deformação - correspondem à ocorrência de deformações na
estrutura que prejudiquem o desempenho das funções que lhe são atribuídas.
As verificações dos estados limites de utilização são necessárias por razões distintas
das regras de verificação dos estados limites últimos. Para estes, há que garantir à estrutura
uma dada capacidade resistente, com determinados coeficientes de segurança, em relação a
possíveis situações de rotura ou danos excessivos. Pelo contrário, para os estados limites de
utilização o objectivo é a garantia de um funcionamento adequado para as funções previstas e
durante o período de vida da estrutura.
A definição do que é entendido por “bom” ou “aceitável” como comportamento nas
condições normais de serviço é, em muitas situações, muito subjectiva.
1.2. Acções
As acções que actuam sobre uma estrutura podem ser classificadas em:
• Permanentes – praticamente de valor constante durante toda a vida da estrutura.
Como exemplo temos o peso próprio da estrutura, equipamentos fixos, impulsos
de terras, retracção, fluência e pré-esforço;
• Variáveis – variam durante a vida da estrutura. Como exemplo temos as
sobrecargas, vento, sismos e variações de temperatura;
• Acidentais – muita fraca probabilidade de ocorrência durante a vida da
estrutura. Como exemplo temos as explosões, os choques e os incêndios (em
alguns regulamentos o sismo é considerado uma acção de acidente).
A quantificação das acções faz-se pelos seguintes valores:
• Fk – Valores característicos das acções
• ΨFk – Valores reduzidos para efeitos de combinações:
Ψ0 – Valor de combinação;
Ψ1 – Valor frequente;
Ψ2 – Valor quase permanente.
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Fm – Valores médios
Fn – Valores nominais
Fserv – Valor de serviço
1.2.1. Combinações de Acções
Para a verificação da segurança em relação aos diferentes estados limites devem ser
consideradas as combinações das acções cuja actuação simultânea seja plausível e que
produzam na estrutura os efeitos mais desfavoráveis.
Não se considera plausível a actuação simultânea no mesmo elemento das sobrecargas
que sejam fundamentalmente devidas à concentração de pessoas (ou das sobrecargas em
coberturas ordinárias) com as acções da neve ou do vento.
As acções permanentes devem figurar em todas as combinações e ser tomadas com os
seus valores característicos superiores ou inferiores, conforme for mais desfavorável; as
acções variáveis apenas devem figurar nas combinações quando os seus efeitos forem
desfavoráveis para a estrutura.
Em relação às combinações de acções, o REBAP, para efeitos de verificação da
segurança, definem as seguintes combinações:
a) Estados limites últimos
• Combinações Fundamentais onde intervêm:
Acções Permanentes
Acções Variáveis
• Combinações Acidentais onde intervêm:
Acções Permanentes
Acções Variáveis
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Acção Acidental
b) Estados limites de utilização
• Combinações Raras onde intervêm:
Os estados limites de muita curta duração;
• Combinações Frequentes onde intervêm:
Os estados limites de curta duração;
• Combinações Quase Permanentes onde intervêm:
Os estados limites de longa duração.
1. 3 - Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos Resistência
1. 3.1- Regras de Verificação da Segurança em termos de esforços
Segundo o REBAP, a verificação da segurança em relação aos estados limites
últimos de resistência que não envolvem fadiga deve, em geral, ser feita em termos de
esforços. No caso das lajes, quando seja utilizada a análise plástica (teoria das linhas de
rotura), a verificação da segurança deve, em princípio, ser formulada em termos de acções.
A verificação da segurança em termos de esforços consiste em satisfazer a seguinte
condição:
Sd ≤ Rd
em que :
Sd - é o valor de cálculo do esforço actuante ;
Rd - é o valor de cálculo do esforço resistente.
A verificação de segurança aos Estados limites últimos deve ser feita para dois tipos
de combinações:
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• Combinações Fundamentais
Em geral :
Sd = Σ γgi SGik + γq [SQ1k + Σ ψ0j SQjk]
No caso de a acção variável de base ser a acção sísmica:
Sd = Σ SGik + γq SEk + Σ ψ2j SQjk , se Q1 é acção sísmica
• Combinações Acidentais
Sd = Σ SGik + SFa + Σ ψ2j SQjk
em que:
SGik – esforço resultante de uma acção permanente, tomada com o seu valor
característico;
SQ1k – esforço resultante de uma acção variável considerada como acção de base da
combinação, tomada com o seu valor característico (SEk no caso da acção sísmica);
SQjk – esforço resultante de uma acção variável distinta da acção de base, tomada
com o seu valor característico;
SFa – esforço resultante de uma acção acidente, tomada com o seu valor nominal;
γgi – coeficiente de segurança relativo às acções permanentes;
γq – coeficiente de segurança relativo às acções variáveis;
ψ0j , ψ2j – coeficientes ψ correspondentes à acção variável de ordem j;
γg = 1,5 ou 1,2 no caso da acção permanente em causa ter efeito desfavorável
ou
γg = 1,35 para as acções permanentes cujos valores possam ser previstas com muito
rigor;
γq = 1,5 para acções variáveis;
Nota: Se uma acção variável é favorável, ela não figura na combinação.
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Para o cálculo do esforço resistente Rd adoptam-se coeficientes minorativos das
propriedades dos materiais com os seguintes valores:
γc = 1,58 ( betão)
γs = 1,15 (aço)
Os coeficientes minorativos das propriedades dos materiais, γm, pretendem ter em
consideração:
• Possibilidade de desvio desfavorável das propriedades dos materiais em relação
ao valor característico;
• Diferença de resistência do material na estrutura comparada com a resistência
nos provetes de ensaio;
• Redução da resistência do material resultante do processo construtivo;
• Imperfeições na construção.
Se para o cálculo dos esforços resistentes e relações constitutivas for utilizada uma
análise não linear deverão adoptar-se coeficientes minorativos γm = 1,0. Só na secção crítica o
valor dos esforços últimos deverá ser obtido com os valores de γc = 1,5 e γs = 1,15.
No caso das lajes, quando seja utilizada análise plástica, a verificação da segurança
[2] consiste em satisfazer a condição de o valor de cálculo das acções ser inferior ao valor de
cálculo da resistência expressa em termos de acções.
Contudo, segundo o REBAP, devem ser respeitadas as condições seguintes:
a) Em qualquer ponto e em qualquer direcção, a percentagem de armadura de
tracção da laje não deve exceder a que conduz a um valor de x/d igual a 0,25,
sendo x a profundidade da linha neutra e d a altura útil da secção;
b) Se a determinação for feita por um método estático, a distribuição de momentos
considerada não deve diferir sensivelmente da distribuição de momentos
elástica; os momentos nos apoios devem ser, pelo menos, metade dos valores
dos momentos elásticos, não podendo também ultrapassá-los em mais de 25%;
c) Se a determinação for feita por um método cinemático, a relação entre os
momentos no apoio e no vão de lajes encastradas ou contínuas deve apresentar,
em módulo, um valor compreendido entre 0,5 e 2,0.
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1.3.2 - Esforços Actuantes
O REBAP, através do artigo 50º, estabelece que a determinação dos esforços
actuantes nas lajes deve ser feita tendo em conta as condições de equilíbrio e as de
compatibilidade das deformações, podendo, em geral, admitir-se que estas se produzem em
regime de elasticidade perfeita e sem ter em conta a presença das armaduras.
No caso de lajes contínuas pode proceder-se a uma redistribuição dos esforços
obtidos, na hipótese de comportamento elástico perfeito, aumentando ou diminuindo, no
máximo de 25%, os momentos nos apoios e numa largura apropriada, desde que os
momentos médios no vão, interessando essa mesma largura, sejam ajustados de modo a
satisfazer as condições de equilíbrio.
Este artigo visa fundamentalmente as lajes maciças; o critérios expostos podem no
entanto ser também aplicados às lajes aligeiradas, desde que o seu comportamento global seja
sensivelmente análogo ao daquelas lajes.
1.3.3 - Esforços Resistentes
1.3.3.1 - Esforços Normais e de Flexão
Segundo o REBAP, a determinação do valor de cálculo dos esforços resistentes das
secções de elementos sujeitos a tracção, compressão e flexão simples ou, ainda, a flexão
composta ou desviada deve ser feita admitindo as seguintes hipóteses:
• As secções mantêm-se planas na deformação;
• O betão não resiste à tracção;
• As relações tensões - extensões de cálculo a adoptar para o betão e para as
armaduras ordinárias são as indicadas nas figuras 1.1 e 1.2, respectivamente;
• A extensão máxima de encurtamento no betão é limitada a 3,5X10-3, excepto
quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão, situação em que tal
valor limite variará gradualmente entre 3,5X10-3 e 2X10-3, correspondendo este
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último valor ao caso em que as extensões, logo as supressões, são uniformes
em toda a secção;
• A extensão máxima de alongamento das armaduras é limitada a 10X10-3.
BETÃO
0,85 fcd
s
Classe de Betão
0,85 fcd MPa
Tensões
Extensões
Fig. 1.1 – Relação Tensão–Extensão do Betão
AÇO
σc
εc
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Extensões
α
Áços fsyd MPa
Tensões
α
Fig. 1.2 – Relação Tensão–Extensão do aço
1.3.3.2 - Esforço Transverso
Com base no artigo 53º do REBAP, a determinação do valor de cálculo do esforço
transverso resistente de elementos sujeitos a flexão simples ou composta (também aplicável a
lajes) deve ser efectuada com base na teoria da treliça de Morsch, convenientemente
corrigida.
Esta teoria pressupõe a possibilidade de formação de, pelo menos, uma treliça de
banzos paralelos e com bielas comprimidas de betão inclinadas a 45º, o que obriga a que o
espaçamento das armaduras de esforço transverso seja, no máximo, 0,9 d (1 + cotg α),
condição esta que corresponde a que qualquer possível fenda a 45º seja atravessada por
armadura. Daqui resulta que, para estribos verticais, deverá ser s<0,9 d e para varões
inclinados a 45º surge s<1,8 d.
Assim, o valor de cálculo do esforço transverso resistente VRd é obtido pela
expressão:
VRd = Vcd + Vwd
σs
εs
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em que :
Vcd - é o termo corrector da teoria de Morsch :
Vwd - traduz a resistência das armaduras de esforço transverso segundo a
mesma teoria.
O valor Vcd deve ser determinado do modo seguinte:
a) Em geral:
Vcd = τ1 bw d
em que:
τ1 - é a tensão cujo valor é dado no quadro 1.1;
bw - é a largura da alma da secção; no caso de esta não ser constante, dever-se-á
tomar para valor de bw a menor largura existente numa altura de ¾ da altura útil da secção,
contada a partir da armadura longitudinal de tracção;
d - é altura útil da secção.
Nas zonas junto dos apoios e numa distância igual a 2 d, contada a partir do eixo do
apoio, o valor de Vcd a considerar pode obter-se a partir do valor definido anteriormente,
multiplicando-o pelo factor:
red,Vsd
Vsd
em que:
Vsd - é o valor de cálculo do esforço transverso actuante;
Vsd,red - é o valor de cálculo do esforço transverso reduzido, considerando que, na
zona em causa, as cargas são minoradas na proporção de a/2d, sendo a a distância
de cada carga ao eixo de apoio.
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QUADRO 1.1
Esforço transverso
Valores da tensão τ1
(MPa)
Classe do
Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55
τ1
0,50 0,60 0,65 0,75 0,85 0,90 1,00 1,10 1,15
Esta correcção, que tem interesse no caso da existência de fortes cargas
concentradas, só pode ser utilizada se as cargas são aplicadas de modo a formar biela de
compressão diagonal com a reacção de apoio. Além disso, no caso de apoios extremos com
liberdade de rotação (ou fraco grau de encastramento), a armadura longitudinal de tracção
necessária na secção de aplicação das cargas deve ser prolongada até ao apoio e
convenientemente amarrada. No caso de apoios intermédios de elementos contínuos, a
armadura de tracção necessária na secção do apoio deve ser prolongada até à secção de
aplicação das cargas e amarrada para além dessa secção.
b) No caso de lajes sem armadura de esforço transverso, os valores de Vcd
devem ser obtidos multiplicando os valores determinados segundo a alínea a) pelo factor:
0,6 (1,6-d)
em que d representa a altura útil, expressa em metros, não devendo, em qualquer caso, este
factor ser considerado com valor inferior a 0,6.
c) No caso de elementos sujeitos a esforços de tracção significativos o termo Vcd
deve ser tomado igual a 0, já que não há garantias do contributo das faces de fissura de betão
para a absorção desse esforço.
O valor de Vwd deve ser determinado pela expressão:
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Vwd = 0,9 d (S
Asw ) fsyd ( 1+ cotgα) sinα
em que :
d - é a altura útil da secção;
Asw - é a área da secção da armadura de esforço transverso (no caso de estribos,
compreende os vários ramos do estribo);
S - é o espaçamento das armaduras de esforço transverso;
fsyd - é o valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite convencional de
proporcionalidade a 0,2% do aço das armaduras de esforço transverso;
α- é o ângulo formado pelas armaduras de esforço transverso com o eixo do
elemento (45º≤α≤90º).
O valor de cálculo do esforço transverso resistente, determinado de acordo com o
descrito anteriormente, deve satisfazer a seguinte condição:
VRd ≤ τ2 bw d
em que τ2 é uma tensão cujo valor é indicado no quadro 1.2
QUADRO 1.2
Esforço transverso
Valores da tensão τ2
(MPa)
Classe do
Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55
τ2
2,4 3,2 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
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Para o cômputo do valor de bw, o caso da alma da secção conter, a dado nível,
varões ou cabos com diâmetro superior a um oitavo da largura da secção a esse nível, deve
considerar-se a largura, a esse nível, reduzida de metade da soma dos diâmetros de tais
armaduras.
Os resultados experimentais [2] mostram que a utilização de estribos (verticais ou
inclinados) confere aos elementos melhor comportamento, quer em serviço quer na rotura, do
que o emprego de varões inclinados. Tal facto é principalmente devido a que os estribos
permitem melhor distribuição da armadura de esforço transverso e asseguram a cintagem e a
ligação eficaz da zona comprimida e da zona traccionada do elemento, que constituem os
banzos da treliça de Morsch. Devem, portanto, utilizar-se preferencialmente estribos e, se for
necessário empregar varões inclinados, é sempre conveniente absorver por estribos uma
fracção apreciável do esforço transverso atribuído às armaduras.
1.3.3.3 - Punçoamento
O punçoamento é especialmente relevante nas lajes em que actuem cargas
concentradas de valor elevado.
O estado último de punçoamento está associado à formação de um tronco de cone
[8] que tem tendência para desligar-se do resto da laje (figura 1.3) e resulta da interacção de
efeitos de corte e flexão na zona da laje próxima do pilar. Trata-se de um mecanismo de
colapso local associado a uma rotura frágil (sem aviso prévio notório) e que pode gerar um
colapso progressivo da estrutura, pois a rotura junto a um pilar implica um incremento da
carga em pilares vizinhos.
Este tipo de rotura tem-se verificado em algumas construções, em especial devido à
acção sísmica, tendo como origem cálculos incorrectos ou inexistentes, má betonagem e
realização de aberturas não consideradas em projecto.
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Superficie de
LAJE LAJE
Fendas de flexão que surgem para um nivel de carga baixaPILAR
Fig. 1.3 – Mecanismo de rotura por punçoamento de um pavimento de laje
O artigo 54º do REBAP estabelece que a determinação do valor de cálculo do
esforço resistente de punçoamento de lajes sujeitas a forças concentradas pode ser efectuada
de acordo com as regras a seguir enunciadas, desde que: 1) as forças não actuem em zonas da
laje em que o esforço transverso, devido a outras acções tenha valor importante; 2) nem
actuem na proximidade de outras forças concentradas; 3) desde que a área carregada não
diste menos de 5 d de um bordo livre (ou do bordo de uma abertura), sendo d a altura útil da
laje.
O valor de cálculo do esforço resistente de punçoamento, VRd, no caso de não
existirem armaduras específicas para resistir a este esforço, é dado por:
VRd = vrd μ
em que:
vrd = η σ1 d
sendo:
vrd- o valor de cálculo do esforço resistente de punçoamento por unidade de
comprimento do contorno crítico de punçoamento;
LAJES VIGADAS
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μ- é o perímetro do contorno crítico de punçoamento, definido por uma linha fechada
envolvendo a área carregada a uma distância não inferior a d/2 e cujo o perímetro é
mínimo;
η -é o coeficiente cujo o valor é dado por 1,6 – d, com d expresso em metros, e
que não deve ser tomado inferior à unidade;
σ1 - é a tensão cujo valor é indicado no quadro 1.1.
No caso da existência de armaduras específicas de punçoamento, o valor de
cálculo do esforço resistente poderá considerar-se igual a quatro terços da componente,
normal ao plano da laje, da força resistente de cálculo da armadura (correspondente à tensão
fsyd, mas não excedendo 350 MPa). Porém, em caso algum, o valor do esforço resistente
assim obtido poderá exceder 1,6 vezes o valor obtido pelas expressões anteriores.
A verificação da segurança ao punçoamento consistirá em satisfazer, ao longo do
contorno crítico, a condição VRd ≥ Vsd, em que Vsd – valor de cálculo do esforço actuante de
punçoamento por unidade de comprimento do contorno crítico – deve ser determinado
atendendo às indicações que se seguem.
No caso da força de punçoamento vsd actuar sem excentricidade relativamente ao
baricentro da área carregada, vsd pode ser considerado constante ao longo do contorno crítico
com o valor:
vsd = μ
Vsd
em que μ é o perímetro daquele contorno.
Se, porém , a força vsd actuar excentricamente, o valor de vsd é variável ao longo do
contorno crítico de punçoamento, podendo considerar-se os seguintes valores para a
verificação da segurança:
Área carregada de contorno circular (ou assimilável):
vsd = μ
Vsd (1+0de2
)
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Área carregada de contorno rectangular:
vsd = μ
Vsd (1+1,5 ()bb(
eeyx
yx +))
Nestas expressões os símbolos têm o seguinte significado:
e – excentricidade de vsd (ex e ey são as componentes segundo as direcções x e
y);
d0 – diâmetro do contorno crítico (soma da altura útil com o diâmetro da área
carregada);
bx, by – dimensões do contorno critico medidas segundo as direcções x e y paralelas
aos lados da área carregada.
Chama-se ainda a atenção para que só haverá em geral que considerar o problema
do punçoamento nos seguintes casos:
• Se a área carregada é circular, o seu diâmetro não excede 3,5 d;
• Se a área carregada é rectangular, o seu perímetro não excede 11 d, nem excede 2
vezes a relação entre o seu comprimento e a sua largura;
• Se a área carregada tem outras formas, as suas dimensões não excedem limites
obtidos por analogia com os casos anteriores.
Fora dos limites indicados haverá em geral que considerar, ao longo do contorno
crítico, zonas em que a verificação da segurança deve ser feita pelas regras correspondentes
ao punçoamento e zonas em que tal verificação deve seguir as regras especificadas para o
esforço transverso. Assim, por exemplo, no caso da área carregada ter forma rectangular
muito alongada, pode considerar-se que as zonas de punçoamento se situam apenas junto aos
cantos, interessando troços de contorno crítico com um comprimento total que não deverá ser
superior a 11 d nem a 6 a + 3 d, sendo a a menor dimensão da área carregada.
LAJES VIGADAS
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Areas rectangulares alongadas
Areas carregadas correntes
a
b
x Esforço transverso simples
Punçoamento
d/2
y
d/2 d/2 d/2
Fig. 1.4 – Contornos críticos de áreas carregadas correntes e de áreas rectangulares
alongadas
Por outro lado, a actuação de forças concentradas em zonas próximas de bordos
livres ou de aberturas deve ser cuidadosamente analisada, considerando contornos críticos de
punçoamento.
O método utilizado é o método da superfície crítica sendo a verificação da
segurança estabelecida por Vsd ≤ VRd, com os esforços actuantes e os esforços resistentes
definidos na superfície crítica de punçoamento.
As diferenças mais salientes que se verificam em relação às disposições do REBAP
surgem na definição da superfície crítica, à distância de 1,5 d das faces do pilar, e também
nos valores da tensão de referência para a determinação dos esforços resistentes.
Quanto ao problema do punçoamento excêntrico, de difícil abordagem, verifica-se
que a aplicação do articulado do REBAP aponta para resultados conservadores sendo, no
entanto, omisso nas disposições de armadura para as situações de pilares de canto ou de
bordo.
x ≤ 2a ; ≤ b; ≤ 1,4 d
≤ b ≤ 1 4 d
LAJES VIGADAS
22
1.4 - Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização
Segundo o REBAP (artigo 65º), para verificação aos estados limites de utilização
(fendilhação e deformação) interessa considerar, de acordo com o RSA [1], estados limites
de muita curta duração, de curta duração e de longa duração. A estes tipos de estados limites
correspondem, respectivamente, os seguintes tipos de combinações de acções: combinações
raras, combinações frequentes e combinações quase-permanentes.
A verificação da segurança em relação aos estados limites de utilização deve em
geral, ser efectuada em termos dos parâmetros que definem esses estados limites, devendo os
valores atribuídos a tais parâmetros ser iguais ou superiores aos valores que eles assumem
devido às acções, combinadas e quantificadas.
Observe-se que, de acordo com o RSA [1], para os estados limites de utilização os
coeficientes de segurança γf, relativos às acções (permanentes e variáveis), e os coeficientes
de segurança γm, relativos às propriedades dos materiais, devem ser considerados iguais à
unidade.
1.4.1- Estados Limites de Fendilhação
Para a escolha dos estados limites de fendilhação, em relação aos quais há que
verificar a segurança, interessa considerar a agressividade do ambiente e a sensibilidade das
armaduras à corrosão.
O REBAP, em relação à agressividade, dá-nos três classificações possíveis:
• Ambientes pouco agressivos: ambientes em que a humidade relativa é
habitualmente baixa e em que não é de esperar a presença de agentes corrosivos
(interiores de edifícios de habitação, de escritórios, etc);
• Ambientes moderadamente agressivos: ambientes interiores em que a
humidade relativa é habitualmente elevada ou em que é de esperar a presença
temporária de agentes corrosivos; ambientes exteriores sem concentração
especial de agentes corrosivos; águas e solos não especialmente agressivos;
LAJES VIGADAS
23
• Ambientes muito agressivos: ambientes com forte concentração habitual
de agentes corrosivos; líquidos agressivos (águas muito puras, águas salinas,
etc); solos especialmente agressivos.
Do ponto de vista da sensibilidade das armaduras à corrosão [2], consideram-se,
geralmente, como muito sensíveis à corrosão as armaduras com diâmetro inferior a 3 mm e,
independentemente do diâmetro, as armaduras de aço endurecido a frio quando submetido
permanentemente a tensões de tracção de valor superior a 400 Mpa.
De uma maneira geral, podemos considerar como muito sensíveis as armaduras de
pré-esforço e como pouco sensíveis as armaduras ordinárias.
O artigo 68º do REBAP define os estados limites de fendilhação a considerar para
assegurar a conveniente durabilidade das estruturas. Para tal, devem ser escolhidos em
relação a cada tipo de combinações de acções (raras, frequentes ou quase-permanentes),
tendo em conta a agressividade do ambiente e a sensibilidade das armaduras à corrosão.
Os estados limites de fendilhação a considerar podem ser o estado limite de
descompressão e o estado limite de largura de fendas.
O estado limite de descompressão é o anulamento da tensão normal de compressão
devida ao pré-esforço e a outros esforços normais de compressão numa fibra especificada da
secção. Em geral, a fibra em causa é a fibra extrema, que, sem considerar a actuação do pré-
esforço, ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por acção dos restantes esforços.
O estado limite de largura de fendas é a ocorrência de fendas cujas larguras, a um
dado nível da secção, têm valor característico igual a um valor especificado. Em geral, o
nível tomado para referência é o das armaduras que, para a combinação de acções em
consideração, ficam mais traccionadas.
No nosso caso, na análise de armaduras ordinárias, o estado limite a considerar é o
de largura de fendas, nas condições indicadas no quadro 1.3.
A verificação da segurança em relação à fendilhação em estruturas de betão armado
destina-se, fundamentalmente, a garantir que, durante a vida da obra, as armaduras não
sofram corrosão que comprometa significativamente a sua resistência. Trata-se, portanto,
basicamente, de um problema de durabilidade.
Compreende-se por isso a dependência entre os estados limites de fendilhação a
considerar e a agressividade do ambiente, a sensibilidade das armaduras à corrosão e a
permanência das acções que provocam a fendilhação.
LAJES VIGADAS
24
Além da quantificação dos estados limites, outras exigências devem ser
respeitadas, tais como a espessura dos recobrimentos e a composição do betão.
O problema da fendilhação pode estar ligado apenas ao tipo de utilização que vai ser
dada à estrutura. Note-se que os estados limites de fendilhação considerados dizem
fundamentalmente respeito a fendilhação transversal às armaduras de elementos sujeitos a
esforços normais e de flexão. A limitação da fendilhação de outros tipos, como, por exemplo,
a devida a esforços transversos e de torção, e a que se desenvolve paralelamente às
armaduras longitudinais, é assegurada por disposições construtivas apropriadas.
As exigências estipuladas relativamente aos estados limites de fendilhação devem,
obviamente, ser consideradas como mínimas, podendo justificar-se em muitos casos, até por
razões de ordem económica, a imposição de exigências mais severas.
QUADRO 1.3
Estados limites de fendilhação
Armaduras ordinárias
Ambiente Combinações
de acções Estado limite
Pouco agressivo Frequentes Largura de fendas,
w = 0,3 mm
Moderadamente
Agressivo Frequentes
Largura de fendas,
w = 0,2 mm
Muito agressivo Raras Largura de fendas,
w = 0,1 mm
A segurança em relação ao estado limite de largura de fendas considera-se satisfeita
se o valor característico da largura das fendas, ao nível das armaduras mais traccionadas, não
exceder o valor de w.
LAJES VIGADAS
25
A determinação daquele valor característico, wk, pode ser efectuada pelas
expressões seguintes:
wk = 1,7 wm
wm = Sr m Es m
em que:
wm -é o valor médio da largura das fendas;
Sr m - é a distância média entre fendas;
Esm - é extensão média da armadura.
No caso de elementos sujeitos a tracção ou a flexão, simples ou composta, a
distância média entre fendas e a extensão média da armadura podem ser calculadas do modo
a seguir indicado:
a) Distância média entre fendas:
Srm = 2 (c + 10s ) + η1 η2
rρφ
em que:
c - é o recobrimento da armadura;
s - é o espaçamento dos varões da armadura e deve ser considerado a 15φ
quando o espaçamento exceder este limite;
η1 - é o coeficiente dependente das características de aderência dos varões,
que deve ser tomado igual a 0,4 para varões de alta aderência e igual 0,8
para varões de aderência normal. Contudo, para este efeito, os varões de aço
A 400 EL e as redes electrossoldadas de aço A 500 EL podem ser
considerados como de alta aderência;
η2 - é o coeficiente dependente da distribuição de tensões de tracção na
secção, dado por:
η2 = 0,25 (1
21
2εε+ε )
em que:
ε1 e ε2 - são, respectivamente, as extensões aos níveis inferior e superior da área do
betão envolvente da armadura, calculadas em secção fendilhada;
LAJES VIGADAS
26
φ - é o diâmetro dos varões da armadura;
ρr - é a relação r,cA
As , em que As é a área da secção da armadura (excluindo as
armaduras pós-tensionadas);
Ac,r - é a área da secção do betão traccionado envolvente da armadura, sendo a área
Ac,r definida como o somatório das áreas de influência de cada varão e com lado igual, no
máximo, a 15φ e deve ser limitada pelo contorno da secção, não devendo sobrepor-se às
áreas de influência de varões contíguos e, além disso, as áreas de influência devem situar-se
totalmente na zona traccionada da secção (figura 1.5).
x - profundidade da linha neutra calculada em secção fendilhada
h - altura da secção15 Ø7,5 Ø 7,5 Ø
ε
7,5 Ø
h-x
A c1,r A c2,r A c3,rε
A c,r = A ci,rΣ
Fig. 1.5 – Área Ac,r
b) Extensão média das armaduras traccionadas:
εsm = (s
s
Eσ ) [1 - β1β2 (
s
sr
σσ )2]
em que:
σs - é a tensão de tracção na armadura, correspondente ao esforço resultante da
combinação de acções em causa, devendo esta tensão ser calculada em secção fendilhada;
LAJES VIGADAS
27
Es - é o módulo de elasticidade do aço;
σsr - é a tensão de tracção na armadura, calculada em secção fendilhada,
correspondente ao esforço que provoca o início da fendilhação e este esforço é o que, em
secção não fendilhada, conduz a uma tensão de tracção máxima no betão de valor fctm;
β1 - é o coeficiente dependente das características de aderência dos varões da
armadura, que deve ser tomado igual à unidade para varões de alta aderência e igual a 0,5
para varões de aderência normal, contudo, para este efeito, os varões de aço A 400 EL e as
redes electrossoldadas de aço A 500 EL podem ser considerados como de alta aderência;
β2- é o coeficiente dependente da permanência ou da repetição das acções, que deve
ser tomado igual a 0,5 no caso de combinações frequentes ou quase permanentes e igual a
1,0 no caso de combinações raras de acções.
Considera-se satisfeita a verificação da segurança em relação ao estado limite de
largura de fendas, quando se trate de armaduras ordinárias e de ambientes pouco agressivos
ou moderadamente agressivos, desde que se cumpra o espaçamento máximo dos varões,
conforme tabela do REBAP.
Uma análise mais profunda das formulações apresentadas, encontra-se desenvolvido
na sebenta de vigas, sendo a sua aplicação ao caso de lajes legitima.
1.4.2 - Estados Limites de Deformação
Com base no artigo 72º do REBAP, conseguimos definir os estados limites de
deformação a considerar. Estes valores limites dependem do tipo de estrutura e das condições
da sua utilização, devendo, portanto, ser convenientemente estabelecidos em cada caso.
LAJES VIGADAS
28
Nos casos correntes de lajes de edifícios, a verificação da segurança poderá
limitar-se à consideração de um estado limite definido por uma flecha igual a 1/400 do vão
para combinações frequentes. Porém, se a deformação do elemento afectar paredes
divisórias, e a menos que a fendilhação dessas paredes seja contrariada por medidas
adequadas, aquela flecha não deve ser tomada com valor superior a 1,5 cm.
Esta verificação encontra-se satisfeita, de uma maneira geral, se se cumprir a
seguinte condição:
hli ≤ 30η
em que : h a espessura da laje; li como o vão equivalente da laje, sendo li=α.l em
que o l é o vão teórico (no caso de lajes armadas em duas direcções deverá tomar-se para l o
menor vão) e α um coeficiente cujos valores se apresentam no quadro 1.5 para os casos mais
frequentes; e η como um coeficiente que depende do aço utilizado e cujos valores se
apresentam no quadro 1.4.
No caso de lajes cuja deformação afecte paredes divisórias, a menos que a
fendilhação dessas paredes seja contrariada por outras medidas adequadas, além da condição
dada pela expressão anterior, deverá ser respeitada a relação:
hli ≤ (
li180 ).η
em que li e h são expressos em metros.
QUADRO 1.4
Valores do coeficiente η
Tipo de Aço Valor de η
LAJES VIGADAS
29
A235 1,4
A400 1,0
A500 0,8
QUADRO 1.5
Espessura mínima das lajes
Valores do coeficiente α
Tipo de Laje α
Simplesmente apoiada, armada numa só
direcção 1,0
Duplamente encastrada, armada numa só
direcção 0,6
Apoiada num bordo e encastrada no outro,
armada numa só direcção 0,8
Em consola (sem rotação no apoio), armada
numa só direcção 2,4
Simplesmente apoiada, armada em duas
direcções 0,7
Duplamente encastrada, armada em duas
direcções 0,5
No Quadro 1.5 indicam-se os valores máximos de l/h para lajes armadas numa
direcção e em cruz. Verifica-se que estes valores são excessivos, não garantindo em algumas
LAJES VIGADAS
30
situações correntes a limitação da deformação a l/400 para as combinações frequentes
de acções [2].
Alguma bibliografia [6] indica que na fórmula apresentado o valor de 30
deverá ser substituído por 21, para se assegurar uma limitação de deformação.
Fig. 1.6 – Laje armada numa e em duas direcções: representação esquemática
No caso de lajes que estão sujeitas à actuação de cargas concentradas intensas, a
espessura destas é por vezes condicionada por problemas de punçoamento.
Na determinação das curvaturas necessárias ao cálculo das rotações e das flechas de
lajes sujeitas a flexão simples ou composta, devem ser devidamente considerados os
comportamentos em fase fendilhada e não fendilhada.
LAJES VIGADAS
31
A fase fendilhada pode, convencionalmente, considerar-se como tendo início
para um valor da tensão de tracção no betão igual ao valor médio da tensão de rotura por
tracção, fctm, definidos no artigo 16º do REBAP e quadro 1.6 que se apresenta. Na fase
fendilhada deve ser tida em conta a contribuição do betão entre fendas através da
consideração de uma extensão média das armaduras calculada através da seguinte expressão:
εsm = (s
s
Eσ ) [1 - β1β2 (
s
sr
σσ )2]
QUADRO 1.6
Valores médios da tensão de rotura do betão
à tracção simples, fctm
(Mpa)
Classe
do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55
fctm
1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 3,7 4,0
Na determinação das curvaturas correspondentes a acções que se exercem durante
intervalos de tempo relativamente longos, devem considerar-se devidamente os efeitos da
fluência e da retracção do betão.
As curvaturas 1/r são definidas pela expressão:
r1 =
dsc εε −
em que :
LAJES VIGADAS
32
εc e εs- são, respectivamente, a extensão no betão ao nível da fibra mais
comprimida da secção e a extensão na armadura mais traccionada (ou menos comprimida),
consideradas com os respectivos sinais.
Nas zonas não fendilhadas, aquelas extensões são determinadas admitindo que o
comportamento dos materiais é elástico perfeito e que o betão resiste à tracção. Nas zonas
fendilhadas, admitir-se-á também comportamento elástico perfeito dos materiais, desprezar-
se-á a resistência à tracção do betão e a extensão εs será tomada com o valor εsm.
A curvatura total ao fim do tempo t, devida a acções permanentes e variáveis, pode
ser calculada pela soma da curvatura elástica (correspondente ao instante em que são
aplicadas as acções) e das curvaturas devidas à fluência e à retracção do betão.
A determinação da curvatura devida à fluência apresenta, contudo, dificuldades
decorrentes não só do deficiente conhecimento dos efeitos dos numerosos parâmetros que
condicionam a fluência do betão simples mas também devido aos efeitos resultantes da
presença de armaduras. Porém, nos casos correntes, esta parcela da curvatura pode ser
determinada, de modo simplificado, pela diferença entre a curvatura ao fim do tempo t
devida apenas à parte permanente das acções e à curvatura elástica correspondente a esta
mesma parte das acções.
No que respeita à curvatura devida à retracção, a considerar nos casos em que tal
seja pertinente, deve ter-se em conta não só a retracção livre do betão mas também os efeitos
devidos à presença de armaduras aderentes (traccionadas e comprimidas).
É interessante chamar ainda a atenção para o facto de os valores calculados das
deformações poderem diferir sensivelmente dos valores reais, particularmente nos casos em
que os valores dos momentos actuantes são vizinhos dos momentos de fendilhação. O desvio
entre o valor calculado e o valor real depende, entre outros factores, da dispersão das
características dos materiais, do meio ambiente e das condições e história da aplicação das
acções.
LAJES VIGADAS
33
Também aqui, um estudo mais completo sobre a problemática da deformação
em peças de betão poderá ser encontrada na sebenta de vigas. Contudo, neste caso dever-se-á
aplicar as devidas alterações para lajes, sobretudo quando estas forem armaduras em mais do
que uma direcção. De facto, não será propriamente da laje ser armada em mais do que uma
direcção o factor importante, a relevância esta na situação do tipo de apoio ser em mais de
dois bordos, perdendo-se a aproximação ao efeito de viga. De qualquer modo, assemelhar
comportamento de uma laje de uma viga resulta sempre em valores conservativos, do lado da
segurança, portanto.
LAJES VIGADAS
7
CAPITULO 2 – LAJES MACIÇAS
2.1-Generalidades
Consideram-se como lajes os elementos laminares planos sujeitos a acção dirigidas
principalmente na normal ao plano médio, causando flexão transversal, e com largura b
excedendo 5 vezes a sua espessura (b > 5h).
Neste capítulo irá se referir as regras referentes fundamentalmente a lajes
rectangulares de espessura constante, armadas numa só direcção ou em duas direcções
ortogonais, e sujeitas predominantemente a cargas distribuídas; mediante adequadas
adaptações, poderão também estas regras ser aplicadas a lajes com outras características.
A conveniência da armação (numa ou em duas direcções) das lajes está
directamente relacionada com a proporção entre os vãos, as condições de apoio e o tipo de
carga aplicada. Contudo, em condições correntes, é recomendável que as lajes cujo vão
maior não exceda duas vezes o vão menor (apoiadas em 4, 3 ou 2 bordos adjacentes) sejam
armadas em duas direcções.
2.2- Condições de Apoio e Simbologia de Cálculo
As condições de apoio correntes são habitualmente representadas
esquematicamente (figura 2.1). Refira-se que o bordo com continuidade não é rigorosamente
encastrado, obviamente, apresentando uma relativa rigidez à flexão.
LAJES VIGADAS
8
Fig. 2.1 – Representação esquemática das condições de apoio (representação de cálculo)
LAJES VIGADAS
9
Relativamente à simbologia de cálculo é usual, nas lajes, designar-se por momento
mx o esforço que produz tensões normais de flexão segundo o eixo x (figura 2.2) e não
aquele cujo vector tem a orientação desse eixo (convenção adoptada pela resistência de
materiais).
Fig. 2.2 – Convenção para o momento flector numa laje
As lajes podem estar sujeitas a cargas concentradas, a cargas de faca e a cargas
distribuídas (figura 2.3), sendo os esforços internos, momentos e esforços transversos,
medidos por unidade de largura. Pelo facto de serem esforços distribuídos por unidade de
comprimento são, em geral, representados por letras minúsculas (por exemplo, mx e vx).
A diferença fundamental de comportamento entre uma peça linear e uma laje deve-
se ao efeito bidimensional que as segundas apresentam, conforme se ilustra na figura 2.4
para uma laje rectangular simplesmente apoiada em todo o contorno. Enquanto na viga as
LAJES VIGADAS
10
cargas são transmitidas aos apoios apenas numa direcção, na laje essa transmissão pode ser
feita em duas direcções.
Fig. 2.3 – Carga concentrada de faca e distribuída
Fig. 2.4 – Ilustração dos comportamentos uni e bidimensional de uma viga e de uma laje
LAJES VIGADAS
11
1. Laje apoiada numa direcção e com bordos livres na outra
A laje fica sujeita a um estado de flexão cilíndrico (curvatura nula segundo a
direcção y, figura 2.5) sendo o seu comportamento semelhante ao de uma viga com o
mesmo vão.
Fig. 2.5 – Laje apoiada numa direcção e com bordos livres na outra
LAJES VIGADAS
12
Na figura 2.6 está representada a deformação da secção transversal de uma viga
submetida a um momento flector positivo. Podendo a laje ser entendida como um conjunto
de vigas ou “faixas” justapostas lateralmente. A deformação transversal, εt, de cada faixa é
impedida pelas faixas adjacentes, figura 2.7, dando origem a tensões σt segundo a direcção
ao vão; isto é :
Deformação transversal de uma viga flectida
Encurtamento
Alongamento
Encurtamento
Alongamento
Deformação longitudinal de uma viga flectida
Fig. 2.6 – Deformação transversal da secção de uma viga sujeita a um momento
εat - εa
t = 0 - ν εl – σt / E = 0 σt = ν σl
LAJES VIGADAS
13
Fig. 2.7 – Ilustração do efeito dos esforços na direcção principal e na direcção
transversal
Estas tensões produzem um momento flector na direcção perpendicular ao vão
fazendo com que a laje tenha uma rigidez maior do que um conjunto equivalente de vigas
justapostas de igual altura, bem como, a possibilidade de distribuir esforços lateralmente.
2. Laje apoiada nos quatro bordos com um lado muito maior que o outro
A zona central fica sujeita a um estado de flexão cilíndrico, existindo uma
perturbação, que, em geral, não é significativa, nas extremidades A e C, devido à influência
dos apoios, como podemos verificar na figura 2.8.
My = ν Mx
LAJES VIGADAS
14
Flexão proporcional na direcção de X e Y da laje
Momento em X (vão menor) é mais elevado do que o momento em Y (vão maior)
Fig. 2.8 – Laje apoiada em todo o contorno com um vão muito maior que o outro
3. Laje apoiada nos quatro bordos com lados de comprimento semelhante
O comportamento qualitativo deste tipo de laje pode ser compreendido a partir da
analogia com uma grelha (figura 2.9). A compatibilização dos deslocamentos verticais no
ponto de intersecção das vigas (E), implica que a parcela da carga P absorvida pela viga de
menor vão AB, seja superior à absorvida pela viga CD, uma vez que a rigidez vertical desta
é inferior à da viga AB. Esta conclusão pode também ser obtida tendo em conta que, sendo
as curvaturas da barra AB maiores, também o serão os momentos (M = EI.1/R). De facto,
numa laje rectangular apoiada em todo o contorno, os maiores esforços surgem segundo a
direcção do menor vão. Esta circunstância está na base do “método das bandas”, que efectua
uma distribuição da carga para cada direcção da laje, em função da relação entre vãos e
condições dos seus apoios.
LAJES VIGADAS
15
lx < ly Grelhaaje
ocamentos Verticaissecção das Vigas
ly
lx
ly
Fig. 2.9 – Analogia do comportamento de uma laje com uma grelha
A observação experimental constitui a melhor forma de verificação do
comportamento dos elementos estruturais de betão armado, permitindo a aferição e
determinação dos limites de validade dos modelos analíticos utilizados.
Na figura 2.10 indica-se, esquematicamente, o comportamento de uma laje até à
rotura, podendo distinguir-se várias fases:
a) Fase elástica – Estado I – o modelo elástico linear do comportamento da laje
é exacto;
LAJES VIGADAS
16
b) Fase fendilhada – Estado II – o modelo elástico é válido, embora não exacto,
para o cálculo dos esforços, devendo ter-se em conta o efeito da fendilhação na deformação;
c) Fase de plastificação – as fendas concentram-se em bandas (charneiras
plásticas), podendo a distribuição de esforços afastar-se significativamente da distribuição
elástica;
d) Fase de rotura – deformação por rotação em torno das charneiras plásticas (ou
linhas de rotura) e esmagamento do betão – válida a Teoria da Plasticidade.
Fase de rotura
Início da fendilhação
P - Variação das cargas aplicadas à laje(t=0) - Variação da tensão provocada pela laje
Zona em serviço mais utilizada
(t=0)
Fase de plastificação
Fase fendilhada - (Estado II)
Fase elástica - (Estado I)
Laje
Cedência das armaduras
Fig. 2.10 – Comportamento de uma laje até à rotura
LAJES VIGADAS
17
2 3. - Comportamento resistente de lajes armadas numa direcção
O comportamento resistente da lajes como amostra a figura 2.11 pretende ilustrar o
comportamento resistente e esquema de rotura de lajes, que em geral não têm armaduras de
esforço transverso. Surgem no início do estado II as primeiras fendas de flexão
perpendiculares ao plano da laje. Com o aumento das cargas estas fendas de flexão na zona
onde existe esforço transverso de corte começam-se a inclinar e a rotura atinge-se com a
formação de uma fenda muito inclinada (quase horizontal) que partindo de próximo do
apoio vai reduzir acentuadamente o banzo comprimido (figura 2.11 a). Vemos assim que
aquando da rotura o esforço tracção no banzo traccionado aumenta muito até à proximidade
do apoio (figura 2.11 b). Compreende-se a vantagem de no caso de lajes sem armaduras de
corte prolongar até aos apoios uma parte considerável das armaduras no vão ( ver esquema
de rotura, tipo arco atirantado, figura 2.1 c).
A translação do diagrama de momentos é tomada neste caso (artº 106 do REBAP)
igual a 1,5 vezes a altura útil:
a)
b)
LAJES VIGADAS
18
d)
c) ZA,U
Fig. 2.11 – Comportamento resistente e esquema de rotura de lajes sem armadura
de corte.
2.4 - Comportamento resistente de lajes rectangulares armadas em duas
direcções
As lajes apoiadas em duas direcções transmitem as cargas aos apoios pelo caminho
mais curto, através da flexão em duas direcções. O comportamento resistente depende muito
da relação entre os lados da laje e das condições de apoio como é ilustrado na figura 2.10
para lajes rectangulares apoiadas no contorno. As linhas de direcção dos momentos
principais (para o estado não fendilhado), representados na figura determinam muito
aproximadamente o desenvolvimento das fendas nas lajes. Nas regiões dos cantos, estas
linhas desenvolvem-se ao longo das bissectrizes dos ângulos (45º - momentos negativos) e
na direcção perpendicular (135º - momentos positivos).
LAJES VIGADAS
19
______________ Momentos Principais positivos (tracção na face inferior da laje)
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _Momentos Principais negativos (tracção na face superior da laje)
_ . _ . _ . _ . _ . _ . Mudança de sinal dos momentos principais
Figura 2.12 – Direcções dos momentos principais de lajes rectangulares com cargas
distribuídas: a) apoiada no contorno b) encastrada no contorno
LAJES VIGADAS
20
2.5 - Vão teórico
O artigo 101º do REBAP, define que o vão teórico a considerar no
dimensionamento das lajes maciças deve ser o menor dos seguintes valores: o vão livre
acrescido de 1/3 da largura de cada apoio ou o vão livre aumentado da altura útil da laje,
para lajes simplesmente apoiadas; a distância entre eixos dos apoios ou o vão livre
aumentado da altura útil da laje, para lajes encastradas; a distância entre eixos dos apoios,
para lajes contínuas.
2.6 – Espessura
A espessura das lajes depende, em geral, mais das condições de utilização, como as
que se referem aos problemas de deformação impostas pelas paredes de enchimento e
revestimentos frágeis, do que das verificações de resistência. A título indicativo a espessura
de uma laje varia em geral nos limites:
• Lajes armadas numa só direcção
h/ℓ = (1/20) ÷ (1/30)
• Paineis rectangulares com ℓy ≥ 2 ℓx
h/ℓ = (1/30) ÷ (1/35)
ℓx
ℓy
• Painéis aproximadamente quadrados de lajes armadas em cruz ℓy = ℓx
h/ℓ = (1/40) ÷ (1/50)
LAJES VIGADAS
21
ℓx
ℓy
2.6.1 - Espessuras mínimas
As lajes, em geral, elementos esbeltos, têm a sua espessura condicionada por razões
construtivas, pela garantia de capacidade resistente, pela deformabilidade e pelo isolamento
acústico.
O REBAP, através do artigo 102º, dá-nos valores mínimos, ou seja:
• 5 cm, no caso de lajes de terraços não acessíveis, ou seja, coberturas que,
embora formadas por elementos de construção que constituem habitualmente
pavimento, têm a sua acessibilidade condicionada a fins de reparação;
• 7 cm, no caso de lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas;
• 10 cm, no caso de lajes submetidas a cargas concentradas relativamente
importantes;
• 12 cm, no caso de lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes;
• 15 cm, no caso de lajes apoiadas directamente em pilares.
Para além disto, o cálculo da espessura da laje deve basear-se em dois conceitos:
Fendilhação e, sobretudo, Deformação.
2.6.2 - Espessuras mínimas face à deformação
LAJES VIGADAS
22
A menos que se proceda à verificação ao estado limite de deformação (ARTº 72º,
73º) a espessura das lajes, h, deve satisfazer às condições a seguir indicadas que resultam
duma limitação de relação flecha-vão a/ℓ = 1/400 e ainda de uma limitação da flecha
máxima de 1,5 cm quando a deformação da laje afecte paredes divisórias.
a) Em geral:
ℓi/h ≤ 30 η
em que: h – espessura da laje
ℓi = α ℓ - vão equivalente
a – flecha
ℓ - vão teórico (o menor vão no caso de lajes armadas em cruz)
α – coeficiente dependendo das condições de apoio e armação
η – coeficiente que, consoante o tipo de aço utilizado, toma os seguintes
valores:
A235........................................η = 1,4
A400........................................η = 1,0
A500........................................η = 0,8
A aplicação desta expressão resulta nos valores limites da relação ℓ/h mostrados
pelo Quadro 2.1
(a = 1.0)
,
Tipode Aço
Tipo deLaje
243042
A500A400A235
Bordo livreBordo encastradoBordo apoiado
344360
(a = 0.7) (a = 0.5) (a = 2.4)(a = 2.4)(a = 0.6)(a = 0.8)
101218
486084
101218
405070
303852
Armadura numa só direcção Armadura em duas direcções
QUADRO 2.1
LAJES VIGADAS
23
i) No caso das lajes pré-esforçadas os valores a adoptar podem ser duplos dos
correspondentes ao do aço A500.
ii) No caso de lajes com vão equivalente, ℓi = α ℓ, superior a 6m, e cujo deformação
afecte paredes divisórias os valores limites serão os do quadro multiplicados por
6/ℓi (ℓi em metros).
Quadro 2.1 – Valores máximos da relação ℓ/h em lajes para ter em conta a deformação.
2.6.3- Espessuras face aos esforços
Os esforços actuantes são fundamentalmente o momento flector M e o esforço
transverso, V. No que diz respeito ao momento flector, M , a laje é em geral dimensionada
admitindo que a rotura se inicia para uma extensão na armadura de tracção próxima do
limite, εs = 8 ÷ 10%, o que corresponde a um valor de momento reduzido μ ≤ 0,20. A título
indicativo tomando μ = 0,15
μ = Msd / bd2 f cd com, b = 1 m e μ = 0,15
d ≥ (Msd / 0,15 fcd) e h ≈ d + 3 cm
No que se refere ao esforço transverso, V , procura-se em geral atribuir à laje uma
espessura, h , de forma a não ser necessário utilizar armaduras de esforço transverso. Assim
a altura útil, d , teria que ser condicionada pela relação:
d ≥ (Vsd / 0,6 τ1(1,6 – d)) com, Vsd por faixa de 1m de largura e
0,6 τ1(1,6 – d) ≥ 0,6 τ1, d é a altura útil em m.
LAJES VIGADAS
24
QUADRO 2.2
τ1 Valores da Tensão
Classe do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55
τ1 0,50 0,60 0,65 0,75 0,85 0,90 1,00 1,10 1,15
Quadro 2.2 -Valores da tensão τ1
2.7 - Armadura de flexão
As armaduras de flexão entende-se por aquelas que resistem aos efeitos de cargas
normais (M e N) e que são colocadas paralelamente ao plano da laje. Distinguem-se assim
das armaduras de esforço transverso e punçoamento.
2.7.1 - Armadura principal mínima
A área mínima da armadura principal deve ser tida em conta de forma a garantir
uma reserva suficiente de resistência após a fendilhação.
A armadura principal das lajes, segundo o REBAP, não deve ter percentagem (ρ)
inferior à apresentada no quadro 2.3.
Esta percentagem é definida pela relação:
em que As é a área da secção de armadura; bt é a largura média da zona traccionada
da secção; e d é a altura útil da secção.
Nas lajes armadas em duas direcções, este condicionamento aplica-se a cada uma
das armaduras. A área da armadura longitudinal de tracção ou de compressão não deve
exceder 4% da área total da secção da laje, no somatório das duas direcções (se for armada
em ambas).
ρ = As/(bt d) x 100
LAJES VIGADAS
25
QUADRO 2.3
Percentagem mínima (ρ)
Tipo de Aço Valor de ρ (%)
A235 0,25 %
A400 0,15 %
A500 0,12 %
Quadro 2.3 - Percentagem mínima de armadura
Quanto à armadura de distribuição, o REBAP não impõe uma percentagem
mínima. Para evitar fissuração não prevista, aconselha-se para esse caso um ρmin = 0,10 %.
2.7.2 - Espaçamentos Máximos dos Varões da Armadura Principal
Os espaçamentos das armaduras não devem ter valores excessivamente grandes.
Esta limitação tem a ver com o controlo da fendilhação e com a garantia de uma resistência
local mínima, em particular para as cargas concentradas.
Do ponto de vista do funcionamento da laje, quanto menor for o espaçamento das
armaduras melhor esta se comporta. Por outro lado, espaçamentos muito reduzidos podem
dificultar a betonagem, opondo-se a que o betão preencha todos os espaços vazios e
provocando a separação dos inertes do betão. Obviamente que em termos de execução,
aquando da montagem das armaduras na laje, quanto menores forem os espaçamentos maior
é o número de varões a colocar, tornando esta operação mais trabalhosa, de mais difícil
execução e mais dispendiosa.
Segundo o REBAP, artigo 104, inerentes às armaduras ordinárias, o espaçamento
máximo dos varões da armadura principal não deve ser superior a 1,5 vezes a espessura da
laje, com um máximo de 35 cm. Para além destas condições, o espaçamento máximo dos
varões não deve também, nos casos correntes, ser superior ao apresentado no quadro 2.4.
A verificação da abertura de fendas é dispensada se na armadura principal os
espaçamentos não forem superiores aos indicados no quadro 1.9. No entanto, para ambientes
muito agressivos, nunca é dispensada a verificação da abertura de fendas.
LAJES VIGADAS
26
QUADRO 2.4
Espaçamento máximo dos varões da armadura longitudinal de lajes (cm)
Ambiente
Tipo de Aço
A235 A400 A500
Pouco agressivo (w = 0,3 mm) _ (a)
25 20
Moderadamente agressivo (w = 0,2 mm) _ (a) 15 10
Muito agressivo (b)
_ (a) Estimativa da
abertura de fendas
obrigatória
Quadro 2.4 – Espaçamento máximo dos varões da armadura longitudinal da lajes
(a) – Para lajes com aço A235 o controlo indirecto da fendilhação não requer um limite no
espaçamento das armaduras, para além dos limites gerais anteriormente indicados (não há
condicionamento).
(b) – Ambiente muito agressivo terá que ser verificado o estado limite de fendilhação.
Nota: Os espaçamentos que no caso de respeitados, dispensam a verificação do estado
limite de abertura de fendas, excepto em ambientes muito agressivos.
Estes valores foram obtidos admitindo que, para a combinação frequente de
acções, a tensão nas armaduras é de 0,5 f syd.
Para lajes com aço A235, o controlo indirecto da fendilhação não requer um limite
no espaçamento das armaduras, para além dos limites gerais anteriormente indicados.
2.7.3 - Interrupção da Amadura Principal. Armadura nos Apoios.
Uma laje resiste às cargas aplicadas por efeito de arco e flexão. Nas lajes, a
resistência ao esforço transverso é, em parte, garantida pelo “efeito de arco”, como
esquematizado na figura 2.13. Representa-se também a evolução das forças nas armaduras
com o aumento da carga.
LAJES VIGADAS
27
Fig. 2.13 – Efeito de arco na resistência ao esforço transverso das lajes
De notar que na rotura, a força necessária junto ao apoio é pouco inferior à
requerida a meio vão. Verificou-se, experimentalmente, que é necessária uma translação de
al = 1,5 d, do diagrama de forças na armadura devidas à flexão, para evitar uma rotura
prematura (antes de esgotada a capacidade última à flexão). No REBAP, é imposto este
mesmo valor de translação. Também no respeitante à percentagem de armadura que é
necessário prolongar até aos apoios, a necessidade de atirantar o “arco” impõe que, pelo
menos metade da armadura do vão, tenha de ser levada até aos apoios.
LAJES VIGADAS
28
O critério a respeitar para a interrupção das armaduras principais das lajes maciças
e para o prolongamento de armaduras até aos apoios e sua amarração é idêntico aos
estipulados para as vigas nos artigos 92º e 93º do REBAP, respectivamente.
É de referir que o comportamento das lajes na rotura é muitas vezes difícil de
avaliar, tanto mais que importantes efeitos de membrana (esforços axiais no plano da laje)
podem ocorrer (sendo que, no caso de existir armadura e/ou betão suficientes –
respectivamente, para poderem ser mobilizados esforços de tracção e/ou compressão, esta
funciona como uma casca).
Como exemplo, cita-se o caso de uma laje simplesmente apoiada nos quatro bordos
e aproximadamente de forma quadrangular que, perto do colapso e com a zona central
fortemente fissurada por efeito das cargas a que está sujeita, adquire uma resistência última
suplementar dado a armadura traccionada (nas duas direcções) puxar o betão circundante à
zona central, formando este um verdadeiro anel de compressão.
Segundo o artigo 92º do REBAP, a armadura longitudinal de tracção só pode ser
interrompida desde que garanta a absorção das forças de tracção correspondentes a um
diagrama obtido por translação, paralela ao eixo da laje, do diagrama de Msd/z, em que Msd é
o valor de cálculo do momento actuante numa dada secção e z é o braço do binário das
forças interiores na mesma secção.
Fig. 2.14 – Diagramas Msd/z e forças de tracção
LAJES VIGADAS
29
O valor da translação, al, depende do valor de cálculo do esforço transverso
actuante, Vsd, e do tipo de armadura de esforço transverso, de acordo com o que a seguir é
indicado:
• Nas zonas em que Vsd ≤ 2/3 σ2 bw d:
al = d – no caso de estribos verticais;
al = 0,75 d – no caso de estribos verticais associados a varões inclinados a 45º;
al = 0,5 d – no caso de estribos inclinados a 45º;
• Nas zonas em que Vsd> 2/3 σ2 bw d
Os valores indicados anteriormente para al poderão ser diminuídos de 0,25 d.
Nestas expressões; bw representa a largura da alma da secção, no caso de esta não
ser constante, dever-se-á tomar para valor de bw a menor largura existente numa altura de
três quartos da altura útil da secção, contada a partir da armadura longitudinal de tracção; d
caracteriza a altura útil da secção; τ2 toma o valor que é indicado no quadro seguinte.
QUADRO 2.5
τ2 Valores da Tensão
Classe do Betão B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55
τ 2 2,4 3,2 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
Quadro 2.5 -Valores da tensão τ2
Os varões da armadura podem ser dispensados à medida que o diagrama ( b ) da
figura 2.14 o permita, devendo ser prolongados, para além dele, dos comprimentos de
amarração, respectivamente para armaduras ordinárias em geral e para redes
electrossoldadas.
A finalidade dos comprimentos de amarração é fixar as armaduras ao betão. Esta
amarração pode ser realizada por prolongamento recto ou curvo dos varões, por laços ou por
dispositivos mecânicos especiais. A utilização das amarrações por prolongamento dos
varões, que, quando curvo, pode incluir gancho ou cotovelo com as características
LAJES VIGADAS
30
geométricas indicadas na figura 2.15, depende da capacidade de aderência dos varões ao
betão e do tipo de esforços a que estão submetidos. Assim, tratando-se de varões de
aderência normal devem utilizar-se apenas amarrações com ganchos, excepto se os varões
estiverem sempre sujeitos a compressão, caso em que convirá usar amarrações rectas. Para
os varões de alta aderência devem-se usar amarrações rectas, excepto se os varões estiverem
sempre sujeitos a tracção, caso em que se permite a utilização de ganchos ou cotovelos.
Os comprimentos da amarração, lb,net (figura 1.8), são definidos pela expressão:
lb,net = lb (As,cal/As,ef) α1
em que:
lb = (φ/4) (fsyd/fbd)
não devendo, porém, em caso algum, ser tomados inferiores a qualquer dos
seguintes valores: 10φ; 100 mm; 0,3 lb, no caso de varões traccionados; 0,6 lb, no caso de
varões comprimidos.
As,cal é a secção da armadura requerida pelo cálculo; As,ef é secção da armadura
efectivamente adoptada; α1 é coeficiente que toma o valor de 0,7, no caso de amarrações
curvas em tracção, e é igual à unidade nos restantes casos; φ é o diâmetro do varão ou
diâmetro equivalente do agrupamento; fsyd é o valor de cálculo da tensão de cedência ou da
tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,2% do aço; e fbd é o valor de cálculo da
tensão de rotura da aderência, que toma os valores apresentados no quadro 2.4.
QUADRO 2.6
Valores de cálculo da tensão de rotura da aderência, fbd,
LAJES VIGADAS
31
de armaduras ordinárias (1)
(Mpa)
Características
de Aderência
Dos Varões
Classe do Betão
B15 B20 B25 B30 B35 B40 B45 B50 B55
Aderência
Normal 0,8 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
Alta
Aderência 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0 3,3 3,6 3,9 4,2
Quadro 2.6 - Valores da calculo da tensão de rotura da aderência
(1) Os valores indicados referem-se a varões betonados em condições de boa aderência; para
outras com dições de aderência, estes valores devem ser multiplicados por 0,7.
Amarrações com terminações rectas
- em varões à compressão, quer de aderência normal quer de alta aderência (solução
obrigatória);
- em varões à tracção de alta aderência (solução adoptada em geral)
Amarrações com terminações curvas
- em varões à tracção de aderência normal (solução obrigatória, mas não são
admissíveis cotovelos);
- em varões à tracção de alta aderência (solução possível quando se queira diminuir o
comprimento de amarração);
LAJES VIGADAS
32
θ
Amarração com terminação curvas θ
Amarração com terminação recta
θθ
< θ
< θ
Fig. 2.15 – Tipos de amarração por aderência
No quadro 2.7 figuram os comprimentos de amarração a que se é conduzido nos
casos correntes, considerando As,cal = As,ef.
QUADRO 2.7
Valores do comprimento de amarração, lb,net
Tipo
de
Aço
Tipo
de
Amarração
Classes do Betão e Condições de Aderência
B20 B25 B30 B35
A B A B A B A B
A235 NL Com
Gancho 35 φ 500 φ 300 φ 45 φ 300 φ 455 φ 255 φ 40 φ
A235 NR Recta 25 φ 35 φ 20 φ 30 φ 20 φ 25 φ 15 φ 25 φ
400 NR
A400 ER Recta
40 φ 60 φ 35 φ 50 φ 30 φ 45 φ 30 φ 40 φ
A400 EL Com
Gancho 60 φ 85 φ 55 φ 80 φ 50 φ 75 φ 45 φ 65 φ
A500 NR Recta
LAJES VIGADAS
33
A500 ER 50 φ 75 φ 45 φ 65 φ 40 φ 60 φ 35 φ 50 φ
Quadro 2.7 -Valores de comprimento de amarração
A – Condições de boa aderência
B – Outras condições de aderência
Segundo o REBAP deve ser mantido até aos apoios das lajes, pelo menos, metade
da armadura máxima de tracção correspondente ao momento no vão, tanto para os apoios
com liberdade de rotação (ou com fraco grau de encastramento) como para os apoios de
encastramento ou de continuidade. Por outro lado, no caso de lajes sem armaduras de
esforço transverso, a translação al referida anteriormente como deve ser tomada igual a 1,5
d.
A amarração desta armadura, segundo o REBAP, deve poder suportar uma força de
tracção igual a:
Fs = Vsd . al/d
em que Vsd é o valor de cálculo do esforço transverso actuante no apoio.
Contudo, tratando-se de apoios directos, os comprimentos de amarração assim
determinados podem ser reduzidos de 1/3, mantendo-se, porém, os mínimos especificados
anteriormente.
2.7.4 - Armadura de Esforço Transverso
As armaduras de esforço transverso podem ser constituídas por varões inclinados
ou por estribos, podendo estes ser inclinados segundo o eixo do elemento ou normais a
estes.
A literatura da especialidade é unanime em evidênciar as vantagens de utilização de
estribos (verticais ou inclinados) em vez de varões inclinados, o que se justifica não só
porque os estribos permitem uma melhor distribuição de armadura como asseguram a
cintagem e a ligação eficaz dos banzos traccionado e comprimido de treliça de Morsch.
Muitos regulamentos fixam mesmo uma percentagem mínima do esforço
transverso que deve ser absorvido por estribos no caso em se utilizam conjuntamente
LAJES VIGADAS
34
estribos e varões inclinados. O REBAP embora não quantifique tal percentagem sugere
também que se dê preferência à utilização de estribos.
Em geral, uma laje deve ser dimensionada de modo a que não sejam necessárias
armaduras de esforço transverso. Contudo, nos casos em que tal armadura é necessária, com
base no artigo 107º do REBAP, a percentagem de tal armadura não deve ser inferior aos
valores indicados no quadro 2.8, podendo incluir varões inclinados.
Esta percentagem é definida pela relação:
em que:
Asw - é a área total da secção transversal dos vários ramos do estribo;
bw - é a largura da alma da secção;
s - é o espaçamento dos estribos;
α - é o ângulo formado pelos estribos com o eixo da laje (45º≤α≤90º).
QUADRO 2.8
Percentagem mínima, ρw
Tipo de Aço ρw
A235 0,16
A400 0,10
A500 0,08
Quadro 2.8 – Percentagem mínima de armadura de esforço transverso
A armadura de esforço transverso pode ser realizada totalmente por varões
inclinados nas zonas em o esforço transverso actuante por unidade de largura, Vsd, não
exceda 1/3 τ2 d (quadro 2.5). Porém, nas zonas em que Vsd exceda aquele valor, deverá
realizar-se com estribos uma parte da armadura de esforço transverso que corresponda, pelo
menos, à percentagem mínima anteriormente referida.
Os estribos devem abranger a totalidade da altura da laje, devem envolver as
armaduras longitudinais e, nas suas extremidades, devem existir ganchos ou, pelo menos,
ρw= Asw/ (bw s sin α) x 100
LAJES VIGADAS
35
cotovelos no caso de varões de alta aderência; recomenda-se além disso, para valores
elevados de esforço transverso, o emprego de estribos fechados.
As distâncias entre os varões da armadura de esforço transverso devem, no
máximo, ser as seguintes:
QUADRO 2.9
Tipo de Armadura
Distâncias máximas entre varões de armadura de corte
Na direcção do vão Na direcção transversal ao vão
Varões inclinados a 45º 1,2 d 1,5 d; com o máximo de 60 cm
Estribos verticais 0,6 d 1,5 d; com o máximo de 60 cm
Quadro 2.9 – Distâncias máximas entre varões da armadura de esforço transverso em laje.
A armadura de esforço transverso deve obedecer aos seguintes condicionamentos:
● Se Vsd ≤ 1/3 τ2 d : Armadura pode ser realizada somente com varões inclinados.
● Se Vsd ≥ 1/3 τ2 d : Pelo menos a armadura mínima deve ser realizada com estribos.
Em que:
Vsd – esforço transverso actuante por unidade de largura.
τ2 – valores referidos atrás (Quadro 2.5)
Indicam-se na figura 2.14 as disposições de armaduras que incluem a
pormenorização para varões inclinados e para estribos.
LAJES VIGADAS
36
x d - Tensões de corte
2 d - Tensões de cortx
Escalonamento da armadur
2xx
60 cm1,5 d
1,2 d
d
o de corte moderada
nados ( direcção do vão)
Fig. 2.16 – Solicitação de corte moderada
(τ ≤ 1/3 τ2)
(τ > 1/3 τ2)
LAJES VIGADAS
37
± 4h
Planta
b) Solicitação de corte elevada
ex 0.6dEstribos Verticais ( direcção transversal do vão)
Corte
2 Ramos consecutivos
Fig. 2.17 – Disposições a respeitar na distribuição de armaduras de esforço transverso em
lajes
LAJES VIGADAS
38
Quando forem necessárias armaduras de esforço transverso, tais armaduras deverão
corresponder pelo menos aos valores indicados no quadro 1.8. A fórmula de cálculo de ρw é
idêntica à do REBAP.
Nas lajes, se Vsd ≤ 1/3 VRd2, a armadura de esforço transverso poderá ser
constituída exclusivamente por varões inclinados ou ligadores para esforço transverso.
VRd2 = τ2 bw d
O espaçamento longitudinal máximo de cintas ou estribos é:
• Se Vsd ≤ 1/5 VRd2 : Smáx = 0,8 d
• Se 1/5 VRd2 < Vsd ≤ 2/3 VRd2 : Smáx = 0,6 d
• Se Vsd > 2/3 VRd2 : Smáx = 0,3 d
O espaçamento longitudinal máximo para varões inclinados é: Smáx = d.
2.7.5 - Armadura de Distribuição das Lajes Armadas Numa Só Direcção
Perpendicularmente às armaduras principais deve ser colocada uma armadura de
distribuição. Esta armadura, que não é necessária para a verificação dos estados limites
últimos, tem por função principal controlar a abertura da fendas nas condições de serviço.
Serve também para posicionar as armaduras principais durante a fase de montagem de
armaduras e de betonagem da laje (formando, em conjunto com as armaduras principais,
uma malha ortogonal com rigidez). Esta armadura de distribuição tem ainda a função de
garantir uma certa resistência da laje a cargas concentradas.
Nestas lajes maciças armadas numa só direcção devem ser colocadas armaduras de
distribuição adequadas, constituídas por varões não espaçados de mais de 35 cm, segundo o
REBAP.
Na face da laje oposta à da aplicação das cargas, tal armadura deve ser disposta
transversalmente ao vão e a sua secção deve, localmente, ser pelo menos igual a 20% da
secção da armadura principal aí existente. No caso, porém, de lajes em consola, aquela
percentagem deve ser referida à secção da armadura principal no encastramento, devendo,
além disso, dispor-se junto àquela mesma face uma armadura na direcção do vão.
LAJES VIGADAS
39
Na face de aplicação das cargas, caso exista armadura principal, deve dispor-se
ainda uma armadura de distribuição, colocada transversalmente àquela, e que respeite a
condição geral de espaçamento anteriormente referida.
No caso de existirem apoios de encastramento ou de continuidade, paralelos à
armadura principal da laje (não considerados nas hipóteses de dimensionamento), deve
dispor-se sobre esses apoios, em direcção transversal e junto à face superior da laje, uma
armadura adequada para resistir aos esforços aí desenvolvidos. Esta armadura deve
entender-se a partir do apoio, de um comprimento pelo menos igual a ¼ do vão teórico
correspondente à armadura principal.
A percentagem mínima de armadura de distribuição definida pelo REBAP é de
20%. O espaçamento máximo deste varões, segundo o mesmo regulamento é de 35 cm.
As armaduras principais devem ficar sempre colocadas de modo a funcionarem
com o maior braço. As armaduras de distribuição são colocadas interiormente às principais.
As+ As- As dist.As dist.
Momentos Positivos Momentos Negativos
Fig 2.18 - Posição relativa da armadura principal e da armadura de distribuição
A disposição de armaduras a adoptar é determinada tendo sobretudo em conta a
distribuição de esforços em que se baseia o dimensionamento da laje.
As dispensas de armaduras são efectuadas de acordo com as regras indicadas no
REBAP. A secção onde a armadura é dispensada é determinada de modo semelhante ao das
vigas: procede-se à translação do diagrama de momentos flectores e prolonga-se a armadura
do comprimento de amarração a partir da secção onde esta deixa de ser necessária para a
verificação do estado limite último de flexão.
LAJES VIGADAS
40
Para lajes com condições de apoio correntes e sujeitas a cargas distribuídas
uniformes, é possível indicar disposições de armadura tipo, as quais dispensam a
necessidade de determinação da distribuição de armaduras com base no cálculo (em especial
os pontos onde se dispensam armaduras).
Em qualquer laje, sempre que exista uma armadura numa direcção, deve ser
colocada na direcção perpendicular pelo menos a armadura de distribuição.
2.7.6 - Armadura nos Bordos Livres
Quando numa laje existe um bordo livre devem dispor-se armaduras que melhorem
a resistência dessa zona, evitando a danificação das arestas e eventual descasque do betão
devido a acções concentradas.
Destacamento do betão devido a acções concentradas
FORÇA CONCENTRADA
Fig 2.19 – Destacamento do betão
O REBAP prevê que ao longo dos bordos livres das lajes deve dispor-se uma
armadura constituída, no mínimo, por 2 varões, um junto da cada aresta, e uma armadura
transversal ao bordo, envolvendo a primeira e prolongando-se para o interior da laje, junto
de ambas as faces, de um comprimento igual, pelo menos, a 2 vezes a espessura da laje.
LAJES VIGADAS
41
A área da secção desta armadura transversal, em cada face, expressa em
centímetros quadrados por metro, não deve ser inferior a 0,05 d para o aço A235 e a 0,025 d
para os aços A400 e A500, sendo d a altura útil da laje, expressa em centímetros. O
espaçamento dos varões desta armadura não deve exceder 35 cm. Mas, para efeitos de
constituição das armaduras de bordo podem ser tidas em conta outras armaduras existentes.
A armadura transversal pode ser constituída por elementos com a forma indicada na
figura 2.15 a) , ou pelo prolongamento da armadura de uma das faces da laje para a face
oposta conforme indicado nas figuras 31 b) e c).
s (espaçamento dos varões transversais) 35 cm
0.025 d para os aços A400 e A500
s (espaçamento dos varões transversais) 35 cm
0.05 d para o aço A235Ast (cm²/m)
d em centimetros
Fig. 2.20 – Armadura transversal
LAJES VIGADAS
42
2h
ou assim Asb
AsbAssim
h
Armadura longitudinal
Fig. 2.21 – Disposições da armadura de bordo livre.
QUADRO 2.10
Armadura
transversal
– bordo livre
Tipo de Aço
A 235
A 400
A 500
Armadura
transversal mínima
em cada face Asb
(cm2/m)
0.05 d
0.025 d
0.025 d
Quadro 2.10 - Área de armadura transversal mínima
- a armadura corrente da laje pode constituir armadura de bordo.
LAJES VIGADAS
43
2.7.7 - Armadura de Canto
Indica-se na figura 2.22 a), a deformação de um painel de laje apoiado no contorno
no caso de não estar impedido o levantamento da laje.
RoRo
RoRo
P
b)a)
P
Fig 2.22 – Levantamento da laje
Nas situações usuais, o deslocamento dos cantos está impedido (pelas vigas ou
pelas paredes). Da compatibilização da deformação livre surgem forças de reacção no canto
Ro (figura 2.22 b)) associadas a momentos torsores nas direcções dos bordos,
Mxy = Ro/2 .
A acção deste esforço produz uma superfície torsa com curvatura nas duas
direcções de sinais contrários (tipo “sela de cavalo”) figura 2.23.
LAJES VIGADAS
44
Fig 2.23 – Curvatura tipo “cela de cavalo”
Na figura 2.24 a) indica-se a deformação de um canto de uma laje apoiada no
contorno. A acção da reacção no canto produz uma curvatura negativa segundo a
direcçaoAA’. A carga distribuída vertical provoca uma curvatura positiva segundo a
direcção BB’. Este efeito corresponde a momentos flectores principais, positivo e negativo,
de valores iguais ao momento torsor e a actuarem com direcção que fazem um ângilo de 45º
com os bordos laterais. Na figura 2.25 b) representam-se estes esforços num elemento de
canto com dois bordos simplesmente apoiados. O tipo eventual fendilhação devido a este
efeito é indicado na figura 2.26 c).
a)B'
A'
B
A
Fig. 2.24 - Deformação de um canto de uma laje apoiada no contorno
LAJES VIGADAS
45
b)
M'xy
M'xy
M'xyM'xy
My
MyMx
Mx
y
x, y - direcções principais
M'xy
M'xy
MxMy
Mij
M'xy = Mx = My
Fig. 2.25- Esforços num elemento de canto com dois bordos simplesmente apoiados.
Face inferior
M
M
Face superior
c)
Fig. 2.26 – Tipo de fendilhação eventual devido a este efeito
Junto a um canto de uma laje, em que pelo menos um dos lados é apoiado,
desenvolvem-se momentos torsores. Para absorver as tracções devidas a este esforço e evitar
que a fendilhação seja elevada é necessário colocar armaduras junto às duas faces da laje
(armadura de canto), segundo as direcções das tensões de tracção (figura 2.27).
LAJES VIGADAS
46
lx
Face superior0.4 lx
0.4 lx
Face inferior
Fig. 2.27 – Modo mais eficaz de colocação da armadura para o momento torsor
Na prática é mais usual a colocação de uma malha ortogonal por ser a mais simples
(figura 2.28 a))
FF
As (cm²/m)
F
b)a)
As
As (cm²/m)
F
Fig. 2.28 – Malha ortogonal
Esta malha com uma área de armadura As distribuída em cada direcção (figura 2.28
a)) tem uma resistência segundo a direcção diagonal igual à de uma armadura com igual
área distribuída segundo essa diagonal (figura 2.28 b)).
É de salientar que os cantos das lajes são sensíveis aos efeitos de restrição, que os
pilares e vigas de contorno oferecem à deformação por retracção do betão, ou a variações de
temperatura, podendo verificar-se fendilhação nestas zonas com direcções diferentes das
LAJES VIGADAS
47
mencionadas. A distribuição de armaduras ortogonais indicada na figura 2.28 a) é também
conveniente para o controlo da fendilhação, devido a estes efeitos.
Numa laje quadrada, apoiada em todo o contorno, o valor do momento torsor é da
ordem de grandeza do momento flector positivo no vão (mx = 0,042 ql2, mxy = 0,04 ql2).
Para lajes armadas em duas direcções junto aos cantos formados por dois bordos
apoiados é recomendada uma armadura, com uma área igual à da maior armadura de
momentos positivos, disposta numa área quadrada de lado igual a 1/4 do menor vão. Nos
cantos em que apenas um dos bordos é apoiado o momento torsor é menor, razão pela qual
se coloca, nestes casos, uma quantidade de armadura inferior. Se os dois bordos são
encastrados não existe momentos torsor. Indica-se nas figuras a seguir indicadas as
armaduras de canto que são usualmente dispostas para os casos mais correntes de condições
de apoio.
Painel isolado
lx < ly
Asx
Asx
Asx
Asx
Asx
Asx
Asx
Asx
0.25 lx
0.25 lx
0.25 lx 0.25 lx
Face superior
lx
ly
Fig. 2.29 - Painel isolado
Painel de canto
LAJES VIGADAS
48
0.25 lx0.25 lx
Face superior
0.25 lx
0.25 lx
ly
lxAsx
Asx/2
Asx
Asx/2
Fig. 2.30 - Painel de canto
Painel de bordo
Asx/20.25 lx
ly
Face superior
lx
0.25 lxAsx/2
Fig. 2.31 - Painel de bordo
Painel com três bordos apoiados e um bordo livre
LAJES VIGADAS
49
Indica-se na figura ???????? as trajectórias principais dos esforços neste tipo
de laje.
ly
ly/lx = 0.5
lx
lx
ly/lx = 1
ly
m1m2
y
x
ly/lx = 2
lx
ly
Fig. 2.32 – Trajectórias principais dos momentos em lajes simplesmente apoiadas com um
bordo livre.
Pode verificar-se que para relações de vãos ly/lx ≥ 1.0 poderá adoptar-se a
distribuição usual de armaduras de canto:
LAJES VIGADAS
50
ly/lx 1
Face superior
ly
lxAsx
Asx
0.25 lx
0.25 lx
0.25 lx
Fig. 2.33 – Relações de vãos
Por outro lado, para relações ly/lx pequenas, os momentos principais oblíquos são
fundamentais para o funcionamento da laje, havendo necessidade, nestes casos, de dispor de
uma importante armadura de canto com uma eficiente ancoragem da reacção Ro. Na figura
2.34 está representada a distribuição de armadura de canto mais eficaz para os momentos
actuantes neste tipo de lajes.
LAJES VIGADAS
51
Face superiorFace inferior
Armadura de canto Ancorar com segurança
Fig. 2.34 – Distribuição da armadura de canto
Quando ly/lx ≤ 1.0 a armadura dos cantos e sua distribuição deve ser obtida com
base no cálculo, através da distribuição de momentos.
Na face inferior da laje, se não for dispensada a armadura principal junto aos
apoios, não se torna necessário nenhum reforço de armadura junto ao canto.
Nos cantos em que os dois lados são apoiados a laje tende a desligar-se do apoio
(levantamento do canto). Se não existir uma força de compressão (parede ou pilar) é
necessário garantir a ligação da laje ao apoio através de uma conveniente pormenorização de
armaduras. Esta ligação pode ser efectuada através da amarração da armadura de canto no
elemento de suporte. Pode também ser realizada com estribos se o apoio for uma viga.
LAJES VIGADAS
52
a a'
0.25 lx
0.25 lx
Plantas
R
laje
apoio
LAJES VIGADAS
53
Cortes
Viga
lb, net
varão de "espera" lb, net
Parede
junta de betonagem
Fig. 2.35 – Disposições para absorção das forças de canto numa laje
2.7.8 - Armadura de Punçoamento
LAJES VIGADAS
54
O punçoamento é um tipo de rotura que pode surgir quando uma laje está
submetida seja a uma carga concentrada seja à reacção dum apoio (pilar). A rotura produz-
se com um movimento predominante vertical por formação de uma superfície de rotura
(inclinada aproximadamente de 30º sobre o plano da laje) à volta da carga ou da reacção
segundo o esquema indicado na figura 2.36.
Fig. 2.36 - Roturas por punçoamento sob uma carga concentrada ou na vizinhança de um
apoio.
É importante referir que, em termos de concepção, todas as soluções com vista a
evitar a necessidade deste tipo de armadura devem ser tentadas, em particular com recurso a:
● aumento da espessura da laje através de um capitel ( Fig. 2.37 )
● alargamento do pilar
a1)
LAJES VIGADAS
55
d
2 a 5 cm
d
1:6 a 1:8
> ou = b + 5d
b2)
Fig. 2.37 - Soluções estruturais que poderão evitar a necessidade do dimensionamento de
armaduras próprias de punçoamento.
LAJES VIGADAS
56
Caso não seja possivel encontrar uma outra solução aceitável, que não necessite de
armadura transversal própria para o punçoamento, aconselha-se a utilização de estribos,
pois:
● dispostos verticalmente encontram-se melhor aproveitados para resistir ao
punçoamento;
● aumentam a cintagem da zona comprimida com correspondente aumento da
resistência e ductilidade.
Há que, de qualquer modo, garantir uma boa amarração à armadura de
punçoamento.
Na figura a seguir representada, exemplifica-se a pormenorização de soluções com
estribos e varões inclinados de punçoamento, indicando-se o seu posicionamento e
afastamentos máximos de acordo com o artº 110 do REBAP.
d/2 ~ d~ d d/2
a
Zona de armaduraZona de armadura
~ d
a = 30 a 35°SOLUÇÂO COM ESTRIBOS
LAJES VIGADAS
57
SOLUÇÂO COM VARÕES INCLINADOS
~ 2d
<0,5d
~ 2d
<0,5d< ou = 0,75d
< ou = 0,25d
Fig. 2.38 - Soluções com estribos e varões inclinados
Segundo o artigo 110º do REBAP, a armadura de punçoamento, constituída por
estribos ou varões inclinados, deve ser distribuída em toda a zona da laje compreendida
entre o contorno da área directamente carregada e um contorno exterior a este, situado à
distância de 1,5 d, e os varões que constituem tal armadura não devem ser afastados entre si
mais de 0,75 d em qualquer direcção.
No caso de varões inclinados, a distância 1,5 d que define aquele contorno exterior
deve ser referida aos pontos em que os varões intersectam o plano médio da laje. Além
disso, só devem ser considerados como eficazes os varões que atravessam a zona da laje
directamente carregada.
LAJES VIGADAS
58
2.7.9 - Lajes armadas numa só direcção sujeitas a cargas concentradas
Segundo o artigo 103º do REBAP, é analisado o cálculo dos esforços de
dimensionamento e a pormenorização das armaduras em zonas sujeitas a cargas
concentradas. Se se tratar de uma laje armada numa só direcção e se a carga for
suficientemente afastada dos bordos paralelos à direcção do vão, o cálculo é feito
assimilando a laje a uma viga com os mesmos vãos, condições de apoio e espessura da laje e
considerando uma faixa de largura bm = b + b1 (largura efectiva). Esta é definida de forma a
que o esforço máximo na laje seja obtido pela divisão do momento da viga por aquele valor
(figura 2.39). A parcela b1 da largura deve ser calculada de acordo com o quadro 2.11 e
depende do esforço que se pretende calcular (momento flector positivo ou negativo ou
esforço transverso).
A zona de distribuição da carga concentrada obtém-se, supondo uma degradação
segundo linhas a 45º, a partir do contorno da área carregada até ao plano situado a meio da
altura útil da laje; numa dada direcção, a dimensão b de distribuição será:
b = a + 2h1 + d
em que: a - é a dimensão da área carregada na direcção considerada;
h1- é a espessura do revestimento sob a área carregada;
d - é a altura útil da laje.
LAJES VIGADAS
59
laje
revestimentorigido
by = ay +2h1 + dbx = ax +2h1 + d
bm = by + b1
b = a +2h1 + d
bm
lxb1/2byb1/2
bx
x
h1
d
bx
ax
ax
Fig. 2.39 - Definição da largura equivalente
QUADRO 2.11
Largura de distribuição de cargas concentradas em lajes
Valores de b1
ESFORÇO CONDIÇÕES DE APOIO
LIMITES DE VALIDADE
Quadro 2.11 – Largura de distribuição de cargas concentradas em lajes. Valores de b1
LAJES VIGADAS
60
lxx
aa
bm reduzido
bx
by
bordo da laje
bm
by
Fig. 2.40 - Largura de distribuição bm em função da distância ao apoio ou um bordo livre
A armadura principal adicional (Ax,p) determinada a partir do momento máximo,
Mx,p, devido à carga concentrada e com base na largura bm, deve ser disposta numa faixa
de largura igual a 0.5 bm, mas não menor que a largura by (figura 2.42)
A armadura de distribuição transversal com área,
Ay,p = 0,6 × Ax,p
60 % da armadura principal, deve ser distribuída numa faixa da largura 0.5 bm mas não
menor que bx. Os varões desta armadura devem estender-se ao longo do comprimento bm e
serem prolongados para um e outro lado dos respectivos comprimentos de amarração (ver
figura 2.42).
A verificação das tensões de corte na zona de influência da carga concentrada deve
ser feita tendo em conta o esforço transverso devido à carga concentrada e à carga
distribuída correspondente à largura de distribuição, bm, obtida no quadro 2.11, que toma
valores diferentes dos utilizados na determinação dos momentos,
V = Vp + ‘Vp (na largura bm – quadro 2.3)
LAJES VIGADAS
61
Secção segundo o eixo dos y
Secção segundo o eixo dos x
a)
lxy
Variação de mx
segundo y
x
mx Mxbm
bm segundo x
my
=____
____= 4Mx Pl
Fig. 2.41 – Esforços elásticos devido a uma carga concentrada. Processo simplificado de
determinação de uma “largura de cálculo”
Armadura principal reforçada (comprimento bm + 2 lb,net)
0.5 bm (< bx)
Armadura principal reforçada, Ax, P
(< by)0.5 bm
bm +2 = lb,net
P
Armadura adicional, no caso de cargas concentradas elevadas
45ºArmadura principal
Revestimento
by
Pb)
Fig. 2.42 - Laje armada numa direcção e sujeita a carga concentrada: a) distribuição de
esforços; b) disposição de armadura
LAJES VIGADAS
62
No caso particular de lajes em consola, o valor de 60 % que define a secção da
armadura transversal de distribuição deve ser referida à secção de armadura principal, no
encastramento, devido à carga concentrada:
Ay,p = 0.6 × Ax,p (máx)
Deverá ainda dispor-se, na face oposta à de aplicação da carga, uma armadura
longitudinal, A’xd ≈ 0.3 Ax,p numa faixa de largura ℓ/3 (na figura está representedo po
ℓ→1) para resistir aos momentos que se desemvolvem localmente nessa direcção ( ver
figura 2.43).
A'xd, P = 0.3 Ax, P ( numa largura de l/3)
(< by)0.5 bm
Ay, P = 0.6 Ax, P
b)
y
xmx
a)Variação do momento de encastramento
by
Px
bm
l
Fig. 2.43 – Lajes em consola sujeitas a carga concentrada: a) variação dos momentos;
b) disposição de armadura
LAJES VIGADAS
63
Nas lajes armadas numa só direcção, sujeitas a cargas concentradas, toda a
armadura principal respeitante a estas cargas, quando determinada tendo em conta os
critérios anteriormente enunciados, deve ser disposta, segundo o REBAP, numa faixa cy de
largura igual a 0,5 bm, mas não menor que a largura by considerada para a distribuição da
carga. Deve dispor-se também, a menos de uma determinação mais rigorosa, uma armadura
de distribuição transversal à anterior, colocada junto à face oposta à da aplicação da carga,
totalizando a sua secção 60% da secção da armadura principal de flexão respeitante à carga
na zona em que esta actua, e distribuída numa faixa cx de largura igual a 0,5 bm mas não
menor que bx. Os varões desta armadura devem estender-se ao longo do comprimento bm e
ser prolongados para um e outro lado dos respectivos comprimentos de amarração (figura
2.16).
bx
A rm adura principal disposya segundo o REBA P
bm - A ssim ilação de um trecho de laje a um a viga (largura equivalente)
b1/2b1/2
bx
by
A rm adura de distribuição transversal à principal, colocada junta da face oposta à da aplicação das carga.
b - (by, bx)
bm = cy + b1
Fig. 2.44 – Distribuição de armaduras para uma carga concentrada numa laje armada numa
só direcção
LAJES VIGADAS
64
No caso particular de lajes em consola, o valor de 60% que define a secção desta
armadura de distribuição deve ser referido à secção da armadura principal exigida no
encastramento por acção da carga (figura 2.17).
Se esta actuar em zona afastada do bordo extremo da consola, deverá dispor-se
ainda, e também junto à face oposta à de aplicação da carga, uma armadura longitudinal
para resistir aos momentos que se desenvolvem localmente nessa direcção.
Corte
mx - devido a uma carga concentrada
Fig. 2.45 – Distribuição de armadura para uma carga concentrada numa consola
LAJES VIGADAS
65
O dimensionamento e distribuição de armaduras, no caso de lajes armadas em cruz,
submetidas a cargas concentradas, pode ser analisado considerando-se uma “grelha” de
faixas perpendiculares.
Para o dimensionamento das faixas admite-se que uma resiste a uma carga de valor
αP e a outra a (1 - α) P (método estático de análise plástica). O valor de α deve ter em conta
as condições de apoio e o vão de cada faixa. No entanto, a armadura numa direcção nunca
deverá ser inferior a 60% da armadura na outra direcção, isto é, a armadura de distribuição
não pode ser inferior a 60% da armadura principal [2].
As armaduras de cálculo deverão, então, ser distribuídas em metade das faixas
(figura 2.18), exactamente como no caso anterior.
Distribuição das armaduras
Esquema estático (grelha) de determinação de esforços
Fig. 2.46 – Dimensionamento e distribuição de armaduras no caso de lajes armadas em cruz
Em casos em que a acção de cargas concentradas é muito importante, o
dimensionamento da laje deverá basear-se na determinação dos esforços obtidos por uma
análise elástica linear. As superfícies de influência de esforços em lajes facilitam estes
cálculos, em especial quando se tratam de cargas móveis.
LAJES VIGADAS
66
2.7.10 - Aberturas em Lajes Maciças
A análise da capacidade resistente de uma laje com aberturas pode tornar-se
bastante complicada. O seu comportamento depende muito da posição, forma e dimensão da
abertura.
Quando as dimensões das aberturas não excedem determinados limites, podem
adoptar-se regras simplificadas para a pormenorização das zonas próximas das aberturas.
Indicam-se a seguir os limites máximos a partir dos quais não é aconselhável utilizar regras
simplificadas.
A bertura isolada
L2
5L1b < 4b < L2
b
L1
Laje arm ada num a direcção
Fig. 2.47 – Laje armada numa direcção – Abertura isolada
LAJES VIGADAS
67
Fig. 2.48 – Laje armada em duas direcções
Podemos distinguir, do ponto de vista do projectista, dois tipos de aberturas nas
lajes: aberturas de detalhe e aberturas de cálculo. As primeiras referem-se a pequenas
aberturas de dimensões em geral não maiores que 1/5 do vão que não tem interferência
significativa no cálculo dos esforços tendo apenas de receber uma pormenorização adequada
de armadura. Quando existam aberturas maiores, aberturas de cálculo, estas terão de ser
tidas em conta na análise estrutural.
Em geral, no caso de aberturas de detalhe, basta dispor os varões da armadura
resistente, que teoricamente cairiam na abertura (ver fluxo de forças – Fig. 2.49 a)), como
armadura adicional nos bordos da abertura (Fig. 2.49 b)). Os picos de tensão que surgem nos
cantos, conduzem geralmente ao aparecimento de fendas, que são mantidas com pequena
abertura por meio de uma armadura adicional, inclinada a 45º com bordos de abertura.
A FIG 2hjdhjdj mostra com maior detalhe a pormenorização de armadura para o
caso de uma laje armada numa só direcção em que alguns varões tiveram de ser
interrompidos para dar lugar a uma abertura. Três varões (1) são cortados e quatro varões
extra (2) são colocados como compensação para restabelecer a capacidade de carga da laje.
LAJES VIGADAS
68
Armadura transversal (3) deve ser colocada de forma a controlar a fendilhação. Se
não for de aceitar uma diminuição de rigidez devido à presença da abertura, deve então ser
adicionada armadura de compressão. Recomenda-se que seja colocado, neste caso, mais
armadura de compressão do que armadura de tracção extra. Na figura foram usadas 4 varões
extra traccionados e 6 varões comprimidos (4).
Lx
Dire
cção
resi
sten
te p
rinci
pal
a) b)
Armaduratransversaladicional
Armadura ori-
tribuida de ma-ginalmente dis-
neira uniforme
Fig. 2.49 - Armadura em lajes com pequenas aberturas rectangulares
É conveniente uma disposição de armadura nos bordos da abertura do tipo da
especificada para bordos livres.
LAJES VIGADAS
69
1
3 2
4
SECÇÃO
FACE EM TRACÇÃO
1 3
2
4
FACE EM COMPRESSÃO
Lb,net
Lb,net
Fig. 2.50 - Laje armada numa direcção com uma abertura
LAJES VIGADAS
70
2.8 Dimensionamento de Lajes Vigadas
2.8.1 - Modelos de Cálculo
Existe dois grandes modelos de cálculo de esforços nas lajes que possibilitam o
dimensionamento das mesmas. Estes são designados por métodos clássicos e métodos de
rotura.
2.8.1.1 - Métodos Clássicos
Os métodos clássicos são baseados na Teoria da Elasticidade (cálculo linear) e
presumem que o material é elástico, homogéneo e isótropo.
ε
σ
Material elasto-plástico
Há inúmeros modelos baseados nesta Teoria, no entanto, julga-se conveniente referir
os de maior interesse:
i método dos elementos finitos
ii tabelas para cálculo de esforços
iii método de Marcus
LAJES VIGADAS
71
2.8.1.1 - Métodos de Rotura
Os métodos de rotura são baseados na Teoria da Plasticidade (cálculo não linear) e
presumem que o material se comporta como um corpo rígido-plástico perfeito
σ
ε Material rígido-plástico
Existe também uma diversidade de modelos baseados nesta Teoria, no entanto é de
referir os de maior interesse:
i método dos trabalhos virtuais
ii método das Bandas
2.8.2 - Combinação de Acções para Lages Contínuas (fig.2.21)
1) Na determinação dos momentos negativos
Os momentos negativos que surgem nos bordos da lage com continuidade são
máximos se a sobrecarga actuar, simultaneamente, nos dois painéis adjacentes a esse bordo
(fig. 2.22).
LAJES VIGADAS
72
Fig. 2.51 - Lajes contínuas armadas em duas direcções
Fig. 2.52 - Distribuição da sobrecarga mais desfavorável para cálculo de momentos
negativos
2) Na determinação dos momentos positivos
LAJES VIGADAS
73
A distribuição de sobrecargas que produz um momento flector máximo no painel
central está indicado na figura 2.23; e nos painéis de canto, de bordo e interior na figura
2.24.
Fig. 2.53 - Distribuição da sobrecarga mais desfavorável para momentos positivos no painel
central
Fig. 2.54 - Distribuição da sobrecarga para cálculo de momentos positivos nos painéis de
canto, de bordo e interior
LAJES VIGADAS
74
Na figura seguinte, fig. 2.25, apresenta-se o modelo de cálculo para determinação
dos momentos mais desfavoráveis numa lage com bordo livre.
P/ M (-) P/ M (+)
Fig. 2.55 - Laje com bordo livre
2.8.3 - Método de Marcus (método clássico)
É um método simplificado que foi muito utilizado antes do aparecimento dos
programas de cálculo automático.
Dada uma lage armada em cruz (duas direcções), o método consiste em considerar
duas faixas de largura unitária, uma em cada direcção. A carga que actua sobre a laje deve
repartir-se pelas duas faixas de forma a que as respectivas flechas sejam iguais no ponto em
que se cruzam.
Assim, por exemplo, no caso de uma lage rectangular de dimensões Lx = 2 Ly,
simplesmente apoiada em todo o seu contorno, e submetida a uma carga uniformemente
distribuída, q, resulta:
LAJES VIGADAS
75
a = 3845 × qx × EI
4
Lx = 3845 × qy × EI
4
Ly ;
sendo: qx + qy = q
donde: qx = 17q ; Mx =
81 ×
17q × 4 × 2Ly
e qy = 16 × 17q ; My =
81 × 16 ×
17q × 2Ly
Fig. 2.56 - Método de Marcus
Este resultado mostra que as lages apoiadas nos quatro bordos trabalham quase
exclusivamente na direcção mais curta, a partir de uma relação de dimensões da ordem de 2,
ou seja: Lx / Ly >= 2.
LAJES VIGADAS
76
Aplicações Práticas
1º Dimensione uma lage rectangular de (4,00 * 10,00) m2, apoiada em todo o seu
contorno numa parede de 30 cm de espessura, utilizando B25 e A400 NR e considerando as
seguintes acções:
1. Peso próprio, revestimento de 1,5 KN/m2;
2. Sobrecarga de utilização de 2,0 KN/m2 (ψ2 = 0)
Desenhe uma planta das armaduras à escala 1/50 e um corte transversal à escala 1/20..
2 Considere o pavimento constituído por lages maciças de betão armado, abaixo
- revestimento 0,7 KN/m2
- paredes divisórias 1,5 KN/m2 representado.
Efectue o dimensionamento do painel assinalado, sabendo que se utiliza o B25 e o
A400 ER, considerando as seguintes acções, para além do peso próprio:
- sobrecarga 6,0 KN/m2
LAJES VIGADAS
77
Resolução da primeira aplicação prática
1º Sendo a relação entre o vão maior e o menor igual a 00.400.10 = 2.50 > 2.00, esta lage é
dimensionada como armada numa só direcção.
1. GEOMETRIA
Tratando-se de uma lage simplesmente apoiada, tem-se:
Vão teórico é o menor valor de
- vão livre acrescido de 31 da largura de cada
apoio; ou
- vão livre acrescido da altura útil da lage.
VÃO LIVRE
O vão livre da lage é a distância (à face) entre as vigas de bordadura perpendiculares
à direcção da armadura principal.
Atendendo à geometria da lage, consideram-se duas faixas de largura unitária em
cada direcção. A compatibilização de deslocamentos a meio vão (porque a continuidade da
peça a isso o obriga) implica a existência de curvaturas mais acentuadas segundo o menor
vão, pelo que é segundo este que se irão desenvolver os maiores esforços, havendo assim
que colocar a armadura principal com essa direcção. Pode assim concluir-se que, para lages
armadas numa só direcção, esta coincide com o menor vão.
Assim, deve-se considerar o vão livre igual a 4.00 m.
1.2. VÃO TEÓRICO
Para o cálculo do vão teórico é necessário o conhecimento da altura útil.
Adopte-se d = 12 cm
LAJES VIGADAS
78
O vão teórico é o menor dos seguintes valores:
4.00 + 2 × 31 × 0.30 = 4.20
ou
4.00 + 0.12 = 4.12 ;
portanto deve considerar-se o vão teórico igual a 4.12 m.
De acordo com o REBAP (artº 102.2), a verificação do estado limite de deformação
nas lages é dispensada se, uma vez verificada a segurança ao estado limite último e as
restantes disposições regulamentares, a sua espessura for superior ao valor dado pela
expressão
h ≥ η30
li com li = α l, sendo l (vão teórico) = 4.12 m
α (laje simplesmente apoiada armada numa só direcção) = 1.0
e η = 1.0 (A 400)
Então h ≥ 0.1300.112.4
×× h ≥ 0.137 m; como h = 0.15 m, verifica.
No entanto, na prática verifica-se que, em algumas situações correntes, a limitação
da deformação a 400
l para as combinações frequentes de acções não é garantida com os
valores obtidos por esta expressão. É recomendável utilizar a seguinte expressão: h ≥ η21
li ;
pelo que h ≥ 2112.4 h ≥ 0.196 m, não se verificando esta condição com h = 0.15 m (seria
preferível, tendo em vista a limitação da deformação adoptar uma espessura da ordem de h =
0.20m. Nesta resolução optou-se por escolher h = 0.15 m e proceder ao cálculo da flecha,
permitindo assim uma melhor análise do atrás exposto).
2. ACÇÕES
2.1 Cargas permanentes
LAJES VIGADAS
79
Peso próprio ....................................... 25 × 0.15 = 3.75 KN/m2
Revestimento ........................................ 1.50 KN/m2
CP = 5.25KN/m2
2.2 . Sobrecargas
Sobrecarga de utilização ......................... 2.00 KN/m2
SC = 2.00 KN/m2
2. Cálculo dos Esforços
Os esforços são calculados para uma banda de lage de largura unitária, com as
mesmas condições de apoio e actuada pelas acções atrás determinadas.
MCP = 5.25 × 812.4 2
= 11.1 KNm/m
MSC = 2.00 × 812.4 2
= 4.2 KNm/m
VCP = 5.25 × 212.4 = 10.8 KN/m
VSC = 2.00 × 212.4 = 4.1 KN/m
Donde:
LAJES VIGADAS
80
MSd = 1.5 ( MCP + MSC ) = 1.5 ( 11.1 + 4.2 ) = 23.0 KNm/m
VSd = 1.5 ( VCP + VSC ) = 1.5 ( 10.8 + 4.1 ) = 22.4 KN/m
4. Verificação da Segurança aos Estados Limite Últimos
4.1 Flexão
d = h – rec - φ/2 = 0.15 – 0.025 – 0.01/2 = 0.12
MSd = 23.0 KNm/m
μ = cd
2
d
fdbMs
×× = 32 103.1312.00.1
0.23×××
= 0.120
μ = 0.120; β = 0; ω = 0.131 (valores tabelados)
As = ω × b × d × syd
cd
ff = 0.131 × 1.0 × 0.12 ×
348103.13 4× = 6.00 cm2 /m
Verificação da Armadura
ρmin = 0.15 (A 400) => As,min = 100
1012.00.115.0 4××× = 1.8 cm2 /m
Sendo As > As,min adopta-se φ10 // 0.125 (6.28 cm2 /m)
4.2 Esforço Transverso
LAJES VIGADAS
81
VSd = 22.4 KN/m
As lages são os únicos elementos estruturais que podem não apresentar armaduras
transversais. Nelas não é válida a hipótese de formação de um mecanismo de treliça,
sendo a resistência ao esforço transverso garantida pela resistência à tracção do betão.
Essa resistência, em termos de cálculo, é quantificada pela expressão simplificada:
Vcd = 0.6 (1.6 – d) τ1 bw d com 1.6 – d ≥ 1.0
Assim:
τ1 = 0.65 Mpa
d = 0.12 m
bw = 1.0 m
1.6 – d = 1.6 – 0.12 = 1.48 >= 1.0, pelo que
Vcd = 0.6 (1.6 – 0.12) × 0.65 × 10^3 × 1.0 × 0.12 = 69.3 KN/m
Como Vcd > Vsd, não é necessária armadura de esforço transverso.
5. Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização
Deformação
Tendo-se cumprido a condição h ≥ η30
li , não seria necessária, de acordo com o
REBAP, o cálculo da deformação. Vai, no entanto, calcular-se a flecha a meio vão:
ac = 384
5 × EIql4
Considerando ψ1 = 0, tem-se q = CP + ψ1 × SC = 5.25 KN/m2
I = 12
hb 3× = 12h 3
(b= 1.0 m); I = 1215.0 3
= ( 41081.2 −× ) m4
E = 29 Gpa; l = 4.12 m
LAJES VIGADAS
82
Então, vem ac = 3845 × 46
4
1081.2102912.425.5
−×××× = 0.0024 m;
Ou seja ac = 2.4 mm.
Para o cálculo da flecha a longo prazo, tem-se: hd =
15.012.0 = 0.8;
ϕ = 2.5 (adoptado); β = 0;
α = 29200 = 6.9 e ρ =
dbAs×
= 12.00.1
1028.6 4
×× = 0.0052;
então
α × ρ = 6.9 × 0.0052 = 0.036
MD = 8
12.425.5 2× = 11.1 KNm/m
Mcr = fctm (flexão) × 6
h 2
; fctm (flexão) = fctm (tracção) × 0.6 × 41
h
4.0 = 3107.2 × KN/m2
Mcr = 2.7 × 310 × 615.0 2
= 10.1 KNm/m ; pelo que D
cr
MM =
1.111.10 = 0.91
Assim: η = 1.0 e Kt = 6.25 e a(t=00) = η Kt ac = 1.0 × 6.25 × 2.4 = 15.0 mm
Pelo REBAP, amáx = 400
l = 400
1012.4 3× = 10.3 mm
Demonstra-se assim o que se havia dito na parte inicial da resolução: Embora fosse
dispensável a verificação da segurança ao estado limite de deformação, esta não é
garantida. Se se tivesse adoptado h = 0.20 m (com consequente alteração da altura
útil e peso próprio) obter-se-ia para a (t=00) o valor de 4.1 mm, que seria inferior ao
limite regulamentar, 400
l = 10 mm
LAJES VIGADAS
83
Fendilhação
A dispensa da verificação ao estado limite de fendilhação é permitida desde que se
cumpra a disposição regulamentar sobre o espaçamento máximo dos varões (Smáx =
15 cm).
Tendo-se adoptado φ10 // 0.125, a verificação do estado limite de fendilhação está
garantido.
Nota: o espaçamento máximo permitido para a armadura longitudinal é de:
Smáx é o menor dos seguintes valores:
1.5 × h = 1.5 × 15 = 22.5 cm
35 cm
2 × os valores indicados para vigas
6. Armadura de Distribuição
Para lages armadas numa só direcção, a armadura de distribuição deve ser, pelo
menos, igual a 20 % da armadura principal (dispensa verificação ao E.L. Fendilhação).
Sendo As = 6.28 cm2/m, tem-se: As (d) = 0.2 × 6.28 = 1.26 cm2/m
φ6 // 0.20 (As (d) = 1.41 cm2/m)
7. Armadura de Canto (só quando não há continuidade)
Para ter em conta o efeito dos momentos flectores e torsores nos cantos da lage (os
cantos têm tendência para levantarem) e para assim garantir um controlo da
fendilhação e capacidade resistente há que colocar, tanto inferior como
superiormente, uma malha ortogonal de armadura de comprimento igual a ¼ do vão
teórico e de área igual a ½ da máxima armadura longitudinal de cálculo: As = ½ ×
6.00 = 3.00 cm2/m
Largura = 0.25 × 4.12 = 1.03 (aproximadamente igual a 1.00 m), a partir do eixo da
viga.
LAJES VIGADAS
84
8. Armadura Superior
Embora se adopte como modelo de cálculo para a determinação dos momentos de
dimensionamento o modelo de viga simplesmente apoiada, em serviço aparecem
momentos negativos nos apoios (uma vez que as vigas apresentam alguma
resistência à torção).
É assim conveniente para controlo da fendilhação, a colocação de uma armadura
superior no
bordo simplesmente apoiado igual à armadura mínima ou adoptando uma armadura
igual à armadura de distribuição.
Adopta-se φ6 // 0.20
9. Interrupção da Armadura Longitudinal (dispensa de armaduras)
Regularmente é necessário levar até ao apoio, pelo menos, metade da armadura
máxima de tracção. Por outro lado, no caso de lages sem armadura de esforço
transverso, a translação al do diagrama de momentos proposta no REBAP é de 1.5 ×
d.
Para uma lage simplesmente apoiada verifica-se que:
ou seja, só é possível iniciar a dispensa de ½ da armadura máxima a 0.15 × L do
apoio (havendo ainda que subtrair o valor de al e de lb,net).
LAJES VIGADAS
85
Para o exemplo, a dispensa de metade dos varões seria possível a uma
distância dada por: x = 0.15 × L – al – lb,net; L = 4.12 m ; al = 1.5 × d = 1.5 × 0.12 =
0.18 m
Lb,net = 35 φ ef
cal
,As,As = 35 φ ×
21 = 35 × 0.01 ×
21 = 0.175
Ou seja x = 0.15 × 4.12 - 0.18 - 0.175 = 0.25 m
Pode assim afirmar-se que não faz sentido dispensar-se armadura longitudinal
perto de um bordo simplesmente apoiado (sem continuidade).
LAJES VIGADAS
86
Resolução da segunda aplicação prática
Deve-se estudar, em primeiro lugar, a relação entre os vãos
1. GEOMETRIA
Atendendo à razão entre os vãos, LxLy =
00.550.6 = 1.3, trata-se de uma lage armada em
duas direcções. A escolha da altura da lage deve ser feita tendo em consideração a
LAJES VIGADAS
87
necessidade de limitar a deformação. Pelo REBAP, tem-se h ≥ η30
li , sendo l (vão
teórico) = lx = 5.0 m
α (duplamente encastrada, armada em duas direcções) = 0.5; η (A 400) = 1.0, pelo que
h ≥ 0.1305.00.5
×× = 0.08, mas se considerar
h ≥ η21
li , tem-se h ≥ 0.1215.00.5
×× = 0.12 m
Assim, opta-se, neste caso, por h = 0.15 m (hl = 33)
2. Acções
Cargas permanentes
Peso próprio ................................ 25 × 0.15 = 3.75 KN/m2
Revestimentos .............................. 0.70 KN/m2
Paredes divisórias ......................... 1.50 KN/m2
CP = 5.95 KN/m2
Sobrecargas
Sobrecarga de utilização ................. 6.00 KN/m2
SC = 6.00 KN/m2
3. Cálculo dos Esforços
Momentos Positivos
LAJES VIGADAS
88
O modelo de cálculo dos momentos positivos em lages vigadas com continuidade deve
ter em consideração o facto de existir, ou não, a sobrecarga a actuar nos painéis de lage
adjacentes ao painel em estudo.
Actuando a carga permanente em toda a lage é realista considerar, para a obtenção dos
esforços, o seguinte modelo:
O momento máximo positivo é obtido quando a sobrecarga actua nos painéis
assinalados:
Para ter este efeito em consideração, momento máximo positivo devido à sobrecarga
é calculado por sobreposição dos esforços dos seguintes modelos:
LAJES VIGADAS
89
Assim, para a determinação dos momentos máximos positivos num painel de lage
vigada com continuidade, adopta-se o modelo:
Recorrendo aos valores tabelados, tem-se:
a) CP + 2
SC
LAJES VIGADAS
90
γ = ba =
5.60.5 = 0.77
μ = 0.15
Mxs = 0.0306 × q × 2a
Mys = 0.0105 × q × 2b
LAJES VIGADAS
91
b) 2
SC
Mxs = 0.0644 × q × 2a
Mys = 0.0244 × q × 2b
Sendo a combinação de acções: Msd = 1.5 MCP + 1.5 MSC, vem
Mxs, sd = 0.0306 × (1.5 CP + 1.5 2
SC ) × 20.5 + 0.0644 × (1.5 2
SC ) × 20.5 =
= 0.0306 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 200.6 ) × 20.5 + 0.0644 × 1.5 ×
200.6 × 20.5 =
= 17.5 KNm/m
Mys, sd = 0.0105 × 20.5 × (1.5 CP + 1.5 2
SC ) + 0.0244 × (1.5 2
SC ) × 25.6 =
= 0.0105 × 25.6 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 200.6 ) + 0.0244 × 1.5 ×
200.6 × 25.6 =
= 10.6 KNm/m
Momentos Negativos
LAJES VIGADAS
92
O modelo de cálculo dos momentos negativos em lages vigadas com continuidade
pretende simular a actuação da sobrecarga no painel em estudo e nos adjacentes, pelo
que se tem:
Mxvs = - 0.069 × q × 2a e Myvs = - 0.0336 × q × 2b
Assim:
Mxvs, sd = - 0.069 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) × 20.5 = - 30.9 KNm / m
Myvs, sd = - 0.0336 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) × 20.5 = - 25.4 KNm / m
O momento de cálculo, Msd, num apoio comum a dois painéis de lage é obtido pelo
máximo valor verificado nas seguintes expressões:
2MM 2sd1sd +
ou
0.8 × (o maior valor entre Msd1 e Msd2)
em que Msd1 e Msd2 são os valores de cálculo dos momentos no apoio comum calculados
para cada painel.
Tendo em consideração os painéis adjacentes, nesta situação, vem:
LAJES VIGADAS
93
Painel de lage 1 (encastrado em todos os bordos)
γ = ba = 0.77, Mx1 = - 0.069 × q × 2a ; donde
Mx1, sd = - 0.069 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) × 20.5
Mx1, sd = - 30.9 KNm / m
Painel de lage 2 (apoiado num bordo e encastrado nos restantes)
γ = ba = 1.30, My2 = - 0.0341 × q × 2a ; donde
My2, sd = - 0.0341 × 1.5 × (5.95 + 6.0) × 25.6
LAJES VIGADAS
94
My2, sd = - 25.8 KNm / m
Painel de lage 3 (idêntico ao painel 2)
γ = ba = 1.30 , Mx3 = - 0.0757 × q × 2b ; donde
Mx3, sd = - 0.0757 × 1.5 × (5.95 + 6.0) × 20.5
Mx3, sd = - 33.9 KNm / m
Painel de lage 4 (apoiado em dois bordos e encastrado nos restantes)
γ = ba = 0.77 , My4 = - 0.0462 × q × 2b ; donde
My4, sd = - 0.0462 × 1.5 × (5.95 + 6.0) × 25.6
My4, sd = - 35.0 KNm / m
Os momentos de dimensionamento nos diferentes bordos, virão:
Bordo Mp Mi (Mp+Mm)/2 0,8 Mmáx Msd
(KNm/m) (KNm/m) (KNm/m) (KNm/m) (KNm/m)
1,0 -30,9 -30,9 -30,9 -24,7 -30,9
2,0 -25,5 -25,8 -25,7 -20,6 -25,7
3,0 -30,9 -33,9 -32,4 -27,1 -32,4
4,0 -25,5 -35,0 -30,2 -28,0 -30,2
Esforço Transverso
LAJES VIGADAS
95
A distribuição de carga pelos diferentes apoios de uma lage com condições de apoio
idênticas às do painel em estudo é do tipo:
Vsd = 2.5 × (1.5 × 5.95 + 1.5 × 6.0) = 44.8 KN / m
4. Dimensionamento aos Estados Limites Ùltimos
Flexão
As armaduras são calculadas para uma faixa de lage de largura unitária,
considerando uma altura útil média: d = h – rec - φ = 0.15 – 0.02 – 0.01 = 0.12 m
μsd = 32 103.13d0.1Msd
××× => ω => As = ω × 1.0 × d ×
3483.13 × 410−
Armadura minima:
As, min = 0.15 × 0.12 × 100104
= 1.8 cm2 / m, donde
LAJES VIGADAS
96
ωmin = 1.8 × 410− × 3.1312.00.1
348××
= 0.039
Designação M
μ ω Armadura
(KNm/m) cm2/m φ
Mxs, sd 17,5 0,091 0,097 4,45 φ8 // 0,10
Mys, sd 10,6 0,055 0,057 2,61 φ6 // 0,10
1 -30,9 0,161 0,18 8,26 φ12 // 0,125
Mxvs, sd
2 -25,7 0,134 0,177 6,74 φ12 // 0,125
Myvs, sd
3 -32,4 0,169 0,191 8,76 φ12 // 0,125
Mxvs, sd
4 -30,2 0,158 0,177 8,12 φ12 // 0,125
Myvs, sd
Espaçamento máximo dos varões:
Smáx é o menor dos seguintes valores
1.5 h = 1.5 × 0.15 = 0.225
ou
0.35
Portanto Smáx = 0.225 > S
Esforço Transverso
Vsd, máx = 44.8 KN / m
Vcd = 0.6 × (1.6 – d) × τ1 × bw × d = 0.6 × (1.6 – 0.12) × 0.65 × 310 × 1.0 × 0.12 = 69.3
KN/m
LAJES VIGADAS
97
Como Vsd, máx < Vcd , não necessita de armadura de esforço transverso.
5. Verificação da Segurança aos Estados Limites de Utilização
Deformação
Pela condição h ≥ η30
li , fica dispensada a verificação
h ≥ 0.1305.00.5
×× = 0.083 m
Fendilhação
Tratando-se de um ambiente pouco agressivo, Smáx = 25 cm
6. Armadura de Distribuição
Para as armaduras negativas é necessária a colocação de armaduras de distribuição.
Tendo-se em todos os bordos φ12 // 0.125 (9.05 cm2), vem:
As, dist = 505.9 = 1.81 cm2/m ( φ6 // 0.15 )
Nota: Não é necessária armadura de canto.
LAJES VIGADAS
98
LAJES VIGADAS
99
LAJES VIGADAS
100
2.8.4 - Método das Bandas (método expedito, de rotura)
O cálculo dos esforços pelo método das bandas é uma aplicação do método estático
da Teoria da Plasticidade. Uma vez definido um "caminho de carga" que verifique o
equilíbrio e em que nenhuma secção se ultrapasse o momento de cedência (solução
estaticamente admissível), o teorema estático da análise plástica limite garante que a carga
última da lage é igual ou superior à carga aplicada.
Pode ser sempre aplicado, sendo habitualmente utilizado nos casos em que a
determinação elástica dos esforços não é simples.
A análise, por este método, pressupõe que a laje esteja armada em duas direcções
ortogonais, x e y.
Assim, se considerar Lx e Ly os vãos segundo as direcções x e y, respectivamente; e
qx e qy as quantidades de carga que afectas a cada uma das direcções, tem-se que:
qx + qy = q
Podendo-se expressar na relação:
qx = α.q → qy = (1-α).q
As flechas segundo os vãos ortogonais são iguais num mesmo ponto, assim: 4
44
44
4 4
yxx x y y
yxx x y y
x x x y y y
Lf qEI
LLf q f qEI EI
LLq qEI EI
q L q L
η
η η
η η
η η
= ×
↓
= × = = ×
↓
× = ×
× × = × ×
Como:
(1 )
x x
x x
q q q
q q q qα α
= +∴
= ⋅ ∧ = − ⋅
LAJES VIGADAS
101
Desenvolvendo:
( )
4 4
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4
4 4 4
4
4 4
4
4 4
(1 )
(1 )
x x x y y y
x x y y
x x y y
x x y y y y
x x y y y y
x x y y y y
y y
x x y y
xx
y yx
x x y y
q L q L
q L q L
L L
L L L
L L L
L L L
LL L
qq qq
Lqq L L
q
η η
η α η α
η α η α
η α η α η
η α α η η
α η η η
ηα
η η
α α
ηη η
× × = × ×
× ⋅ × = × − ⋅ ×
× × = × − ×
× × = × − × ×
× × + × × = ×
× + × = ×
×=
× + ×
= ⋅ ⇒ =
⇓
×=
× + ×
∵
4
4 4y y
xx x y y
x y y x
Lq
L L
q q q q q q
ηη η
×=
× + ×
↓= + ⇒ = −
Nota : Os valores são apresentados em tabela.
LAJES VIGADAS
102
Exemplo 1:
y
a
b
x
Encastrado
Simplesmente Apoiado
Simplesmente Apoiado
Encastrado
a=5m; b=6m; 2/10 mKNq =
2
44
4
44
4
/88,05
38516
3855
53851
10 mKNqqll
lqq xx
yyxx
yyx =⇔
×+×
××=⇔
+=
ηηη
LAJES VIGADAS
103
KNqqqq xxy 12,988,010 =−=⇔−=
6 m
qx qy
5 m
Confirmação: KNqy 12,95
38516
3855
63855
1044
4
=×+×
××=
Exemplo 2:
2/10 mKNq = 44
4
yyxx
yy
x
ll
lqq
ηη
η
+=
B2x
3 m 6 m
B1x
B1y B2y
7 m
2m
Encastrado
Apoiado
Apoiado
ApoiadoConsola
Consola
Consola
LAJE 1 LAJE 2
LAJE 3 ApoiadoLAJE 4
LAJES VIGADAS
104
Banda 1X: 4
1º tramo: L=3m1
4 4
1 716810 5,85 /1 13 7
8 168
xB KN m×
= =× + ×
4
2º tramo: L=6m1
4 4
1 716810 6,49 /1 16 7
168 168
xB KN m×
= =× + ×
3 m
B1x
6 m
5,85 kN/m6,49 kN/m
Banda 2X:
4
1º tramo: L=3m2
4 4
1 238510 0,041 0 /1 13 2
8 385
xB KN m×
= = ≅× + ×
4
1º tramo: L=7m2
4 4
1 238510 0 /1 16 2
168 385
xB KN m×
= ≅× + ×
3 m 6 m
0,00 kN/m 0,00 kN/mB2x
Banda 1Y:
1º tramo: L=7m1 10 5,85 4,15 /y xB q q KN m= − = − =
2º tramo: L=2m1 10 0 10 /y xB q q KN m= − = − =
LAJES VIGADAS
105
7 m 2 m
4,15kN/m10,00kN/m
B1y
Banda 2Y:
=1/2 xB mKNqq x /51,349,610 =−=−
mKNqqB xy /100102/1 =−=−=
B2y
3,51 kN/m10,00 kN/m
2 m7 m