OBTENCIÓN DE PROPIEDADES DINÁMICAS DE UN

PÓRTICO MEDIANTE PRUEBAS DE VIBRACIÓN

REALIZADAS EN EL LABORATORIO

VALENTINA FEIJOO-MORENO

Universidad del Valle, Santiago de Cali, Colombia

Materia: Fundamentos de Dinámica Estructural

valenf91hotmail.com

Received: ____; accepted: ____; final version: _____

RESUMEN:

Las estructuras son sistemas idealizados por tres elementos:

a) La masa permite representar las propiedades de inercia del mismo,

b) El resorte representa la rigidez que es el desplazamiento debido a una fuerza aplicada y

c) el amortiguador esquematiza la disipación de la energía del cuerpo que a su vez depende de los elementos

mencionados anteriormente y la razón de amortiguamiento.

Este modelo nos permite trabajar los sistemas para conocer su comportamiento al estar sometido a cargas dinámicas,

que varían su comportamiento con el tiempo y diariamente afectan las estructuras; estas cargas pueden ser

identificadas como sismos, saltos en una tribuna, una explosión.

Al conocer la conducta de los cuerpos frente a estas cargas se pueden prevenir fallas en las estructuras como las

generadas cuando estas entra en resonancia, uno de los fenómenos que aparecen cuando la frecuencia de excitación

iguala la frecuencia natural del sistema produciendo grandes deformaciones en la estructura, llevándola al colapso;

es por esto que debemos conocer las propiedades vibratorias del lugar donde se va a construir y se debe diseñar las

estructuras logrando evitar que se presenten estas situaciones.

En éste artículo se espera exponer como obtener dichas propiedades de la forma más ilustrada posible, enseñando al

lector como se obtienen éstas propiedades bajo un ambiente investigativo (laboratorio LINSE - Universidad del

Valle, Cali-Colombia) realizado en un pórtico simple instrumentado con dos acelerómetros, mediante una mesa

vibratoria.

PALABRAS CLAVES: Frecuencia natural, Frecuencia excitación, Resonancia, Amortiguamiento, Rigidez.

OBTAINMENT OF DINAMICS PROPERTIES OF A

PORTICO BY A TEST PERFORMED IN THE

LABORATORY

ABSTRACT: The structures are idealized systems of three elements:

a) The mass that represent the properties of inertia thereof,

b) The spring  which represents the stiffness that is the displacement due to an applied force and

c) the damper schematizes the energy dissipation of the body which depends of the above elements and the damping

ratio.

This model allows us to work the system to know their behavior when there are interfering by  dynamic loads, which

change their behavior over time and daily affect the structures, these charges can be identified as earthquakes,

jumps on a platform, an explosion.

Knowing the behavior of the bodies against these charges can prevent failures in structures such as those

generated when these come into resonance, one of the phenomena that appear when the excitation frequency equals

the natural frequency of the system producing large deformations in the structure, leading to the collapse, which is

why we must know the vibrational properties of the place where will build and we have to design structures these

situations that can arise.

  In this article hopes to expose and get these properties in the most enlightened possible, teaching  the reader how

can obtained these properties  under a research setting (laboratory Linse - Universidad del Valle, Cali, Colombia)

made from a single portico instrumented with two accelerometers , using a vibrating table.

KEY WORDS: Natural frequency, Excitation frequency, Resonance, Damping, Stiffness.

1. INTRODUCCION

En este articulo se pretende mostrar el proceso para la obtención de las frecuencias naturales , el

amortiguamiento y la masa de un pórtico simple, al realizar diferentes ensayos de vibración libre y

forzada de la estructura por medio de la mesa vibratoria equipada con dos acelerómetros: uno ubicado

en la base y el segundo en la paste superior del mismo(figura.1), seguido de la toma de medidas de las

dimensiones del pórtico; finalmente se mostraran y discutirán los resultados del ensayo realizado.

2. METODOLOGIA

Este ensayo se llevo a cabo en el Laboratorio de Dinámica Estructural e Ingeniería Sísmica de la

universidad del valle, dando uso a una mesa vibratoria ubicada a la entrada del laboratorio que fue

monitoreada por el laboratorista José E. Vanegas:

Inicialmente se realizo la prueba de vibración libre a la estructura, atando una cuerda que conectara el

pórtico con una serie de pesas que reposaban sobre un marco consecutivo fijado al extremo derecho de

la estructura, antes de iniciar la prueba se tomaron las distancias entre el pórtico en su estado inicial y

el marco de 28.1cm y la distancia entre los respectivos objetos al estar deformada la estructura debido

a la fuerza que hacen las pesas de una masa de un kilogramo suspendidas por la cuerda atada al

pórtico de 26.1 cm. Luego de de tener cada objeto en su posición se hizo uso de un encendedor para

quemar la soga y así darle inicio a las oscilaciones del cuerpo y poder realizar la toma de datos del

comportamiento de la estructura por medio de registros digitales.

Seguido del ensayo de vibración libre se inicio la toma de datos del comportamiento del pórtico

durante un tiempo de un minuto por cada frecuencia utilizada para garantizar el estado uniforme de la

misma, generando una excitación en la base de diferentes frecuencias en un mismo lapso de tiempo

hasta llevar la estructura a un estado de resonancia.

Al finalizar la prueba, se realizo el respectivo procesamiento de los datos, utilizando como

herramienta de cálculo, un software llamado MATLAB donde se podrán ver los registros del sistema

tomados en el laboratorio.

3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

La teoría en la que se basa el ensayo, para poder determinar las propiedades dinámicas del pórtico, y en sí, de cualquier estructura debidamente instrumentada, parte de la siguiente ecuación de movimiento:

m u+c u+ku=p (t) Ec. ()m: Masa c: Amortiguamiento k: Rigidéz p (t): Fuerza dinámica Para el caso en particular, m representa la masa efectiva del pórtico, c es el amortiguamiento y k es la rigidez lateral; p(t) es la fuerza de excitación dinámica presente en el pórtico, Wn es la frecuencia natural, Wa es la frecuencia amortiguada, Tn es el periodo natural y Ta es el periodo amortiguado de la estructura.

wn=√ km

Ec. ()

w A=wn √1−β2Ec. ()

T n=2 πwn

Ec. ()

T A=2 πwA

Ec. ()

Siendo más específico p(t) es la fuerza de excitación en la base, como es una carga sinusoidal, dicha fuerza se describe mejor de la siguiente manera:

p (t )=posen (wt )En donde: po: Amplitud de la fuerza w: Frecuencia de excitación Como ya se había dicho antes la carga aplicada es en sí una excitación en la base, entonces, la amplitud de la carga estará dada por la masa y la ecuación de movimiento queda reformulada de la siguiente manera:

m u+c u+ku=posen (wt ) Ec. ()

De la anterior ecuación la respuesta U es la relativa del pórtico, u es la aceleración del suelo (o la que se presenta en la base de la estructura).

Solucionando la ecuación (2) se obtiene la respuesta de un sistema (Rigidez-masa-amortiguamiento), en vibración forzada; la respuesta en sí se dividirá en dos, una denominada “transitoria” y otra llamada en “estado uniforme”, ésta última es la de objeto de análisis, ya que la transitoria como su nombre lo dice, desaparece con el tiempo (aproximadamente después del tercer ciclo), entonces la respuesta en estado uniforme y condiciones iniciales iguales a cero finalmente quedará expresada de la siguiente manera: u (t )=u0 sen (wt ) Ec. ()

Analizando la respuesta, se puede ver que cuando el término seno se hace igual a la unidad, la respuesta alcanza su máximo; ahora el termino Po/k es constante y se conoce como la respuesta estática (Ust), finalmente queda el termino del factor de amplificación, el cual depende de dos términos, los cuales son la razón de amortiguamiento y relación de frecuencias.

ust=po/kRd=u(t )/ust

Donde:Po: Amplitud de la fuerza Rd: Factor de amplificación

La gráfica de Rd en función de la relación de frecuencias, para varias razones de amortiguamiento es la siguiente:

De ésta gráfica se observa que cuando la relación de frecuencias se hace uno, el valor del factor de amplificación alcanza su máximo; dicho valor es único para cada configuración de estructura, ya que cada cual tiene una única frecuencia natural y razón de amortiguamiento; ahora la relación de frecuencias anteriormente mencionada está definida como: β= W/Wn Ec.(5): Relación de frecuencias

En otras palabras, cuando la frecuencia de excitación es aproximadamente igual a la frecuencia natural, el sistema alcanza su máximo valor de Rd, y por ende su mayor respuesta, cuando ocurre esto se dice que la estructura o sistema está en resonancia. El factor de amplificación (Rd) se puede definir como:

Rd= 1

√(1−β2)+(2 ξβ)2 Ec.()DATOS TOMADOS EN LABORATORIO: Sistema en vibración libre: Peso = 1 Kg Posición inicial = 28.1 cm Desplazamiento final (debido al peso)= 26.1 cm Frecuencia de muestreo= 256 Hz

Sistema en vibración forzada:

Numero Frecuencia de excitación(Hz)

1 0.52 13 1.54 1.65 1.76 1.87 1.98 29 2.5

10 3Tabla no.

Procesamiento de los datos

Primeramente se determinara la rigidez lateral del sistema aplicando la ley de Hooke para sistemas

elástico lineales:

P=K × δ Ec. (1): Ley de Hooke

En donde: P = Fuerza K= Rigidez ∆= Deformación

Con la ecuación 1 podemos obtener la rigidez lateral de nuestro pórtico tomando como referencia los

datos obtenidos en el laboratorio:

Fuerza ( P )=masa pesa× aceleracion gravedadEc. (2)

P=1 kg×9.8 m

s2=9.8 N

deformacion(∆)=distancia porticoenestado inicial−distancial porticodeformadoEc. (3)

∆=28.1 cm−26.1 cm=2c m=0.02 m

Es decir que la rigidez lateral del sistema será:

Klateral= P∆

= 9.8 N0.02cm

=490 Nm

Decremento logarítmico

Para llevar a cabo la medición de la razón de amortiguamiento ξ de la estructura en vibración libre se debe

dar uso de la ecuación del decremento logarítmico que es un método solo puede ser aplicado a estructuras

que estén en vibración libre, y sirve para determinar ξ.

La ecuación obtenida por este método es:

δ=lnu i

ui+ j

=2πξ Ec. (4)

Por consiguiente:

ξ= 12πj

× lnui

u i+ j

Donde:

ξ = razón de amortiguamiento

j = numero de ciclos que hay de pico a pico

Ui = respuesta en el pico i

Ui+j = respuesta en el pico i+j

δ =decremento logarítmico

con esta información se procesara la grafica obtenida en el laboratorio de la aceleración en función del

tiempo figura(1).

En el grafico anteriormente mencionado se logra apreciar como decrece la respuesta de la estructura con el

tiempo, debido al amortiguamiento del sistema que disipa la energía de este finalmente llevándolo a su

estado inicial de reposo después de un determinado tiempo.

Para visualizar de una mejor forma el comportamiento de la estructura se decide hacer una ampliación a la

figura anterior con un color diferente de trazado (figura ()) , para lograr realizar el conteo pico a pico y

llevar a cabo la obtención de ξ por medio de la expresión del decremento logarítmico.

Para este conteo se realizo la tabla … que indica la posición en el eje Y de un pico inicial (i) que está a 1

Ciclos (j) de la posición final( i+j).

Aplicando la ecuación 4 obtenemos la razón de amortiguamiento pico a pico:

punto Tiempo(s) AceleraciónRazón de

amortiguamiento

1 5.531 0.2076 0.00472 6.086 0.2016 0.00433 6.641 0.1962 0.00394 7.191 0.1914 0.00425 7.746 0.1864 0.00426 8.301 0.1816 0.00427 8.852 0.1769 0.00478 9.406 0.1718 0.00469 9.961 0.1669 0.003910 10.51 0.1629 0.003711 11.07 0.1592 0.003312 11.62 0.1559 0.003813 12.17 0.1522 0.005514 12.72 0.147 0.002415 13.28 0.1448 0.003616 13.83 0.1416 0.003917 14.38 0.1382 0.003618 14.93 0.1351 0.003719 15.49 0.132 0.003920 16.04 0.1288 0.004521 16.59 0.1252 0.003722 17.14 0.1223 0.003023 17.7 0.12 0.003224 18.25 0.1176 0.003725 18.8 0.1149 0.004426 19.35 0.1118 0.004027 19.91 0.109 0.005228 20.46 0.1055 0.003029 21.01 0.1035 0.002630 21.56 0.1018 0.003031 22.11 0.0999 0.004932 22.66 0.09689 0.003833 23.21 0.09462 0.003834 23.77 0.09237 0.002935 24.32 0.09071 0.002536 24.87 0.0893 0.002337 25.42 0.08804 0.064538 25.97 0.0587 -0.421339 26.52 0.8283 0.3698

40 27.08 0.08111 0.003241 27.63 0.07949 0.003842 28.18 0.07762 0.002843 28.73 0.07627 0.002944 29.28 0.0749 0.003545 29.38 0.07325 0.005446 30.39 0.07079 0.002747 30.94 0.0696 0.004448 31.49 0.0677 0.004649 32.04 0.06576 0.003650 32.59 0.06427 0.002651 33.14 0.06322 -0.364052 33.69 0.6223 0.369853 34.24 0.06095 0.004354 34.79 0.05932 0.000955 35.34 0.05897 0.003156 35.89 0.05782 0.003657 36.45 0.05654 0.001458 37 0.05605 0.001759 37.55 0.05546 0.001460 38.1 0.05498 0.003461 38.65 0.05382 0.004062 39.2 0.05247 -0.008763 39.75 0.05541 0.015764 40.3 0.0502 0.005065 40.86 0.04865 0.004166 41.41 0.04741 0.002167 41.96 0.04679 -0.000468 42.51 0.04692 0.001069 43.05 0.04662 0.003970 43.61 0.0455 0.004271 44.16 0.04432 0.002872 44.71 0.04354 0.004073 45.26 0.04247 0.006474 45.81 0.0408 0.003375 46.36 0.03997 0.002276 46.91 0.03942 0.003177 47.46 0.03865 0.001678 48.01 0.03826 0.001979 48.56 0.03781 0.000780 49.11 0.03764 0.000381 49.66 0.03758 0.000682 50.21 0.03744  

    Promedio 0.0034Desviación Estándar 0.0857

Luego de obtener estos resultados se realizo un promedio de los datos y se obtuvo la desviación estándar

de los mismo dando como resultado ξ =0.34% ±0.0857.

Seguido de esto se obtuvo el periodo amortiguado (Ec.) del sistema tomando como referencia dos picos de

diferencia de 10 ciclos(figura()), el periodo natural(Ec.) y la frecuencia natural(Ec.):

T A=33,69 s−28,18 s

10=0.551 s

T n=T A √1−ξ2=0.551 s √1−(0,34 %± 0.0857)2=0.549 s

wn=2 π

0,549=11.442

Con la frecuencia natural procedemos a hallar la masa efectiva (m) del sistema Ec ():

11.442=√ 490m

→ m=3.743 kg

Ancho de banda

Para el segundo ensayo del laboratorio se debe realizar el método de ancho de banda que se le aplica a

estructuras en vibración forzada, este método es usado para determinar la razón de amortiguamiento;

teóricamente consiste en determinar las frecuencias de media potencia f1y f2 de excitación a cada lado en

donde ocurre la 1

√2respuesta máxima o de resonancia.

En la figura… se logra observar los puntos que se toman de la grafica f1y f2 que después de un análisis

matemática entre1

√2 veces la amplificación dinámica de un sistema en resonancia y un sistema con

frecuencias naturales y forzadas diferentes en vibración forzada, nos dan como resultado la ecuación 7.

ust

√(1−β2 )2+ (2ξβ )2=

ust

√2 ×2 ξ Ec. (6)

Donde:

Ust = deformación estática

β = relación entre la frecuencia natural y forzada

Por consiguiente:

ξ=w2−w1

2wn=

f 2−f 1

f 2+ f 1 Ec. (7)

En donde:

W1, f1= frecuencia en radianes y en hertz respectivamente al inicio de la banda.

W2, f2= frecuencia en radianes y en hertz respectivamente al final de la banda.

Wn= frecuencia natural.

Al obtener la frecuencia natural del sistema que en este caso es la misma frecuencia de excitación en

resonancia del cuerpo y la razón de amortiguamiento, finalmente se pueden obtener las propiedades

dinámicas del sistema.

Para obtener la razón de amortiguamiento del sistema se tomaron las aceleraciones máximas de las

graficas obtenidos en el laboratorio para cada frecuencia de excitación obteniendo la siguiente tabla y

grafico:

Frecuencia excitación Hz

Aceleración máx. la estructura g (totales)

Aceleración máx. la base g (suelo)

0,5 0,0117 0,00451 0,0219 0,0106

1,5 0,0875 0,02151,6 0,1368 0,02481,7 0,4129 0,0281,8 1,087 0,04291,9 0,452 0,03212 0,1765 0,0353

2,5 0,0713 0,05033 0,0504 0,0648

Tabla no.

Como se puede ver la frecuencia de excitación donde se presenta la resonancia es la de 1.8 Hz, por ende

Fn=1.8Hz , max=1.087

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

(1/√2)Rd

F1 F2

Fn

Respuesta de frecuencia

Frecuencia de exitacion(Hz)

Ampl

itude

s m

axim

as re

lativ

as

Fig.no()

De esta grafica se obtuvo haciendo una interpolación que F1 y F2 son 1.75Hz y 1.856Hz respectivamente

y por ende según la ec.:

ξ=2π (1.91−1.72)

4 π (1.8)=1.91−1.72

1.91+1.72=0.029=2 .9 %

Dando uso de las mismas ecuaciones del decremento logarítmico para las propiedades del sistema se

hallaron los valores de la frecuencia natural y amortiguada, el periodo natural y amortiguado y la masa

efectiva de la estructura:

Frecuencia natural(wn) 11310 rad/sPeriodo natural(Tn) 0.556 s

Frecuencia amortiguada(wA) 11293 rad/sPeriodo amortiguado(TA) 0.556 s

Masa(m) 3.83 kgTabla no.

  Por decremento Por ancho de banda%Diferenci

a

Frecuencia natural(wn)rad/s 11,331 11,304 0,24

Periodo natural(Tn) s 0,55 0,57 3,27Frecuencia amortiguada(wA)rad/s 11,33 11,30 0,28

Periodo amortiguado(TA) s 0,55 0,56 0,23Masa(m) kg 3,82 3,83 0,48

Razón de amortiguamiento(ξ) % 0,34 2,92 88,36

Al observar la tabla no. Se logra observa que el dato en el que más discrepan los ensayos es la relación de

amortiguamiento de la estructura, para saber cuál de los dos métodos arroja un resultado más confiable se

realizo un análisis basado en el concepto de transmisibilidad, aplicando la siguiente ecuación:

TR=√ 1+(2ξβ )2

(1−β2)2+(2 ξβ )2

Para llevar a cabo el siguiente análisis se llevo a cabo una grafica para la comparación de dos diferentes

gráficos de transmisibilidad hallados teóricamente y experimentalmente (tabla no.) con dos relaciones de

amortiguamiento de 2.9% y 0.34% respectivamente, donde se logra observar que la grafica con un

amortiguamiento de 2.9% no coincide con los datos hallados experimentalmente lo cual teóricamente no

es correcto, a diferencia de la grafica de 0.34% de amortiguamiento que logra coincidir con mayor

exactitud a comparación de la grafica anterior con los datos del laboratorio, permitiendo notar que la

máxima aceleración obtenida en el laboratorio es muy cercana a la máxima que puede experimentar la

estructura en resonancia, por esta razón se puede comprobar que el método del ancho de banda NO arrojo

un resultado satisfactorio comparado con el encontrado por decremento logarítmico, por ende se tomaran

los datos del ensayo en vibración libre.

Resultado análisis en el programa “SAP 2000”

4. CONCLUSIONES

a) Los amortiguamientos de la estructura encontrados en el laboratorio discreparon debido a las suposiciones acogida en el método de ancho de banda, donde se realizaron todo los cálculos tomando como referencia la frecuencia donde hubo mayor aceleración, pensando que en esta la estructura entraba en resonancia, siendo esta suposición errónea, debido a que cuando se excita la estructura a diferentes frecuencias no hay una certeza de que dicha frecuencia sea exactamente la frecuencia natural de la estructura, por consiguiente el análisis realizado, arrojó un valor de amortiguamiento grande, porque se calculo basado en el supuesto máximo; debido al análisis anterior, se concluyo que las propiedades dinámicas obtenidas mediante el método de decremento logarítmico, son más confiables que las obtenidas por el método de ancho de banda, ya que en éste último método, no hay forma de confirmar que la frecuencia en donde alcanza la amplitud máxima, es la frecuencia natural del sistema.

b) Para tener una mayor precisión en el laboratorio es preferible contar con una herramienta de cálculo para optimizar nuestros datos.

c) Se debe contar con más de una forma de análisis, para así poder comprobar que datos son más fiables para nuestro ensayo.

d)

5. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS