Laborator Biot Savart Laplace

Câmpul magnetic al conductoarelor filiforme Formule Biot-Savart-Laplace

CÂMPUL MAGNETIC AL CONDUCTOARELOR FILIFORME. FORMULA BIOT-SAVART-LAPLACE

Ş. l. dr. ing. Cazacu Emil

1. NOŢIUNI TEORETICE

Biot şi Savart, după ce au dedus relaţia de calcul a câmpului magnetic pentru un fir rectiliniu infinit lung, şi-au extins cercetările în cazul unui fir îndoit în unghi (Fig.1), găsind pentru vH într-un punct P situat pe bisectoarea unghiului, la distanţă

R de vârful P al unghiului, expresia [1]:

),cos1(22

tg2

)(

r

iu

R

iuPH vv HHv , (1)

unde este distanţa de la punctul P la oricare dintre prelungirile laturilor conductorului unghiular, iar

sinRr

vHu este versorul corespunzător lui vH , perpendicular

pe planul figurii.

Fig. 1 Fig. 2

Analizând experienţele lui Biot şi Savart, Laplace a observat că din ele se poate deduce expresia câmpului magnetic al unui circuit filiform de formă oarecare. Astfel, câmpul magnetic produs în vid într-un punct P (de vector de poziţie r ) de un circuit filiform de contur parcurs de un curent i se calculează cu relaţia:

,d

4)()(

3

R

RirHPH vv

l (2)

numită formula Biot-Savart-Laplace. În expresia (2) (Fig.2) r dd l este elementul de arc al curbei, rrR este raza vectoare a punctului )(rP în care se calculează câmpul faţă de punctul

)(rP în care este localizat elementul de arc, iar || RR este distanţa PP .

1/8


Observaţii:

1) Experienţa dovedeşte că se verifică rezultatele obţinute cu formula (2) pentru câmpuri magnetice staţionare în vid sau în medii omogene din punct de vedere magnetic ( .const ).

2) Deşi expresia (2) se referă la contururi închise, se poate aplica şi pentru contururi deschise care se închid la infinit.

2. APLICAŢII

1 Calculul câmpului magnetic produs în vid de un conductor rectiliniu, filiform, infinit lung, cu formula Biot-Savart-Laplace.

Se consideră conductorul infinit lung (care se închide pe la infinit) parcurs de curentul i şi se urmăreşte să se calculeze intensitatea câmpului magnetic într-un punct P la distanţa dOP de fir (O fiind piciorul perpendicularei din P pe fir).

Fig. 3 Fig. 4

Dacă ld este elementul de lungime al conductorului, produsul vectorial Rld este perpendicular pe planul format de fir şi punctul P (Fig. 3) va rezulta

pentru valoarea intensităţii câmpului magnetic [1,2]:

vHv ud

iPH )cos(cos

4)( 21

, (3)

cu 1

şi 2 unghiurile corespunzătoare extremităţilor segmentului rectiliniu de circuit şi Ru

vH ld este versorul normal la plan şi perpendicular pe ld si R .

2/8


Se constată uşor că, în cazul particular al conductorului infinit lung, făcând

în (3) se obţine expresia : 21 si0 Hvv ud

iPH

2)( .

În problema studiată în laborator (cazul spirei lungi) avem de-a face cu două astfel de conductoare aşezate paralel unul cu altul. În acest caz expresa modulului

intensităţii câmpului magnetic devine : D

i

d

iPHv

2

)( , unde d este distanţa de la

fiecare conductor al spirei lungi la centru, iar D=d+d este suma celor două distanţe.

2 Calculul câmpului magnetic pe axa unei spire circulare parcurse de curent.

Se consideră o spiră circulară de rază r cu centrul în O şi fie P un punct pe axa de simetrie normală pe planul spirei, considerată drept axă Oz.

Este uşor de observat că toate componentele lui vH după Ox şi Oy se

anulează două câte două (pentru elementele ld de spiră diametral simetrice), existând numai câmp după axa Oz (Fig.4)). Cu formula Biot-Savart-Laplace (2) componenta după axa Oz a lui vH este [3,4]:

2/322

2

)(2)()(

zr

rikPHkPH vzvz

. (4)

Făcând 0z , adică OP , rezultă pentru intensitatea câmpului magnetic în

centrul spirei, expresia: .2

)0(r

ikH v Expresia modulului intensităţii câmpului

magnetic este, deci, D

i

r

iH

2, unde D este diametrul spirei circulare.

3/8


Dacă în loc de o spiră se consideră o bobină cu N spire, atunci (4) devine:

.2

)0(r

NikHv

3. Calculul câmpului magnetic în centrul unui poligon regulat cu n laturi.

Se consideră un conductor foarte subţire îndoit în formă de poligon regulat cu n laturi de lungimi a, parcurs de curentul i (fig. 5).

Fig. 5

Dacă se foloseşte relaţia (3), se obţine relaţia pentru intensitatea câmpului magnetic in centrul poligonului [1-4]:

nna

inuHH

n

kHvkv v

tgsin)0()0(1

, (5)

unde vHu este versorul normal la plan.

Pentru cazul unui conductor de forma unui pătrat de latura a (n = 4), relaţia (5) devine:

VVV HHHv ua

iu

a

iu

a

iH

22

4sin

4

4tg

4sin

4)0( . (5)

4/8


Modulul intensităţii este dat de a

iH

22 .

3. CHESTIUNI DE STUDIAT

1. Calcularea intensităţii câmpului magnetic cu ajutorul relaţiilor Biot-Savart-

Laplace pentru:

A. Un conductor lung situat în aer şi parcurs de diverşi curenţi de intensitate

constantă la o distanţă de 1 cm fată de centru.

B. Un conductor circular de forma unei spire – calcul în diverse puncte pe

axa acesteia precum în centru ei.

C. Un conductor pătratic în centrul acestuia.

2. Măsurarea intensităţii câmpului magnetic în punctele de la 1. cu ajutorul gauss-

metrului cu sondă Hall.

3. Verificarea compunerii vectoriale a vectorilor intensitate câmp magneticîn

diverse puncte de calcul.

4. Calculul erorilor dintre valorile intensităţii câmpului magnetic măsurate şi cele

calculate cu ajutorul Biot-Savart-Laplace (comparaţie între 2. şi 3.)

4. Stabilirea influenţei neuniformităţii câmpului magnetic la capelele

conductoarelor.

5/8


3. SCHEMA DE MONTAJ

Schema de montaj a instalaţiei experimentale este dată în fig. 6:

Fig. 6

Lista de aparate:

(1) Sursă de c.c. reglabilă (BK Precesion 1743A ,0-35 V, 0-6 A).

(2) Gaussmetru cu sondă Hall.

(3) Voltmetru digital (DMM) – Multimetru digital.

(4) Ampermetru digital (DMM) – Multimetru digital.

(5) Rezistenţă bobinată de limitare a curentului 4Ω/ max. 4A.

(6) Diverse tipuri de conductoare filiforme

6/8


TABELE CU DATE CALCULATE ŞI MĂSURATE: 1) Pentru conductor drept cu D = ......... cm = ......... m

Intensitate magnetică

calculată Hc [A/m]


măsurată Hm [A/m]

Eroare relativă:

%100c

cm

H

HH

I = 1 A

I = 1.5 A

I = 2 A

I = 2.5 A

I = 3 A

I = 3.5 A

2) Pentru spira circulară de diametru D =......... cm = ......... m


calculată Hc [A/m]


măsurată Hm [A/m]

Eroare relativă:

%100c

cm

H

HH

I = 1 A

I = 1.5 A

I = 2 A

I = 2.5 A

I = 3 A

I = 3.5 A

7/8


4) Pentru conductorul pătractic de latură a = ......... cm = ......... m


calculată Hc [A/m]


măsurată Hm [A/m]

Eroare relativă:

%100c

cm

H

HH

I = 1 A

I = 1.5 A

I = 2 A

I = 2.5 A

I = 3 A

I = 3.5 A

5) Pentru N=.... spire circulare de diametru D =..... cm = ..... m în centrul acestora


calculată Hc [A/m]


măsurată Hm [A/m]

Eroare relativă:

%100c

cm

H

HH

I = 1 A

I = 1.5 A

I = 2 A

I = 2.5 A

I = 3 A

I = 3.5 A

8/8


9/8

Se vor trasa grafic fiecare din erorile obţinute funcţie de valoarea curenţilor

prin cele 5 tipuri de conductoare.

[1] C. Mocanu, Bazele Electrotehnicii - Teoria câmpului electromagnetic, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1991.

[2] A. Moraru, Complemente de Teoria Câmpului Electromagnetic, Editura Matrix Rom, Bucureşti , 2002.

[3] F. Hănţilă, Electrotehnică teoretică , vol. I +II, Editura Electra, Bucureşti, 2001.

[4] Gh. Gavrilă, Elemente de Electrocinetică şi Electrodinamică, Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2007.

Laborator Biot Savart Laplace

Documents

Transcript of Laborator Biot Savart Laplace