Крстасто Обербеково клатно

Прибор: Обербеково клатно, канап на чијем крају је окачена пластична корпица, тегови различите масе, штоперица.

Теоријски увод: Крстасто Обербеково клатно користи се за проучавање основног закона динамике обртног кретања. Ротација крутог тела око неке непокретне осе описује се основном једначином динамике ротационог кретања:

M⃗=I d ω⃗dt

=I α⃗ (1)

где је:

M⃗ - резултујући момент сила које изазивају ротацију

I - момент инерције тела

ω⃗ - угаона брзина ротације

α⃗ - угаоно убрзањеЕксперимантално проверавање претходне једначине може се извршити уређајем приказаним на слици 1.

Слика бр. 1

Уређај се састоји од два кружна диска полупречника r1 и r2 на чију је заједничку осовину монтирано четири симетрилно распоређених кракова од којих сваки носи покретни тег масе mE. Читав систем може да ротира око вертикалне осе О. Распоред покретних тегова је симетричан у односу на осу обртања што обезбеђује да се центар масе обртног система налази на оси ротације, односно да се обртни систем налази у индиферентној равнотежи. Промена стања кретања обртног система врши се помоћу тега који је обешен за крај конца намотаног у жлебу једног диска.

На тег масе m делује сила земљине теже F⃗=m g⃗ чији је смер вертикално наниже и сила

затезања нитиT⃗ чији је смер вертикално (наниже) навише. Под утицајем резултујуће силе:

F=P−T=ma (2)Тег пада са линеарним убрзањем a, док се истовремено под утицајем момента силе затезања нити:

M=rT (3)систем обрће са угаоним убрзањем dω /dt .Мерењем времена за које тег падне са висине h налази се линеарно убрзање тега из односа

a=2h/ t 2. Ово убрзање једнако је тангенцијалном убрзању тачака на ивици диска и омогућује да се

из познате релације:

a=r dωdt

Одреди угаоно убрзање тела које ротира:

dωdt

=ar (4)

Даље из једначине (2) заменом вредности и сређивањем могуће је одредити силу затезања нити

T=m(g−a) (5)а из једначине (3) момент силе затезања нити:

M=rT=rm(g−a) (6)Коришћењем једначине (1) момент инерције система добија се у облику израза:

I=M

dω /dt (7)

Одређивањем угаоног убрзања по једначини (4) и обртног момента система по једначини (6) могло би се вршити директно проверавање закона обртног кретања:

M=I dωdt

Графичко приказивање зависности M=f (dω /dt) даје праву облика y=ax која пролази кроз

координатни почетак. Коефицијент правца праве одређен тангентом угла дао би вредност момента инерције система I . Међутим, код сваког реалног система постоји трење у лежишту тако да поред обртног момента М на систем делује и момент силе трења Мt чији је смер супротан смеру момента М. Кретање које ми опажамо врши се под утицајем резултујућег момента M−Mt , тако да се провера основне једначине динамике обртног кретања мора вршити из израза

M−Mt=I dωdt

У том случају графичко приказивање зависности M=f (dω /dt) даје могућност облика

y=ax+b која на ординатној оси има одсечак b=Mt и чији је коефицијент правца једнак моменту

инерције система I .

Поступак при раду: 1◦ Проверити да ли су покретне масе mE постављене тако да се систем налази у идиферентној равнотежи. (Ако се при узастопном покретању система руком, он зауставља увек у другом положају, значи да је постигнута индиферентна равнотежа).

2◦ Обмотати конац на диск полупречника r1 и на крај конца окачити најмањи тег. Узимајући редом веће тегове, наћи онај чија маса mO доводи систем до обртања. За ту масу и растојање r1 од осе обртања одредити момент силе трења:

Mt=mO r1g

3◦ За тегове чија је маса m>mO наћи време падања t за висину h и израчунати линеарно

убрзање a=2h/ t 2 за сваки тег.

4◦ Израчунати угаоно убрзање α=dω /dt=a /r за сваки тег.

5◦ Израчунати обртни момент M=rm(g−a) за сваки тег.

6◦ Графички приказати зависност M=f (dω /dt).

7◦ Мерење поновити од тачке 2 за положај конца на диску полупречника r2.

8◦ Упоредити вредности момента силе трења добијеног из релације ME=mOgr , вредности

добијене са графика и вредности добијене из методе најмањих квадрата. Ради прегледности рада и резулатата, мерене вредности уносити у табеле :

За котур већег полупречника: r=4,85421 ∙10−2m

M=rm(g−a) ∆M=(∆rr +∆mm

+∆ gg )∙ M ∆ a се изоставља зато што је a≪ g

∆M=0,4 ∙10−3N m

α=ar;a=2h

t2=¿α=2h

t2 r ∆ α=(∆h

h+2∆ tt

+∆rr

) ∙ α

∆ α=0,251

s2

За котур мањег полупречника: r=0,025m=2,5 ∙10−2m

∆M=0,4 ∙10−3N m

∆ α=0,1501

s2