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L’APPRENTISSAGE DU 3D A L’ECOLE

Des situations d’apprentissageà la formation des enseignants

Jacques DOUAIRE,Equipe ERMEL INRP, DIDIREM

Fabien EMPRIN, Claude RAJAIN, Equipe ERMEL, INRP,

REPERES - IREM. N° 77 - octobre 2009

cas à l’école élémentaire, réduit à celui d’unvocabulaire et de tracés ?

Dans le cadre de deux recherches suc-cessives concernant le cycle 3 de l’écoleprimaire 1, l’équipe ERMEL (INRP), a cher-cher à répondre à ces questions en expli-citant notamment les significations desconcepts (objets ou relations) et en déve-loppant des dispositifs d’enseignement fon-dés sur la résolution de problèmes. L’ana-lyse du savoir mathématique, celle descompétences des élèves, l’élaboration de

L’apprentissage de la géométrie à l’écoleélémentaire pose plusieurs questions : Quel-le est la nature même du savoir mathématiqueenseigné à ce niveau où coexistent des preuvesbasées sur la perception, sur la mesure maisaussi sur des raisonnements ? Comment lesélèves peuvent-ils mobiliser des compétencesspatiales qui se sont développées au long dela maternelle ? Quelles progressions privilé-gier, en particulier quelle articulation entreun travail sur les objets de l’espace et celui surdes figures du plan, mais aussi entre l’acqui-sition des propriétés des objets et celles desrelations (parallélisme…) ? Quels problèmesproposer, pour que cet enseignement per-mette une réelle disponibilité des savoirs etne soit pas, comme c’est trop fréquemment le

1 Recherches « Apprentissages géométriques et résolution de pro-blèmes au cycle 3 » (1998/2001), puis « Rôle de l’argumentationdans les phases de validation en géométrie au cycle 3 » (2001/2004).L’équipe est formée par des Professeurs d’IUFM et des Maîtres-Formateurs d’une dizaine d’académies.


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L’APPRENTISSAGEDU 3D A L’ECOLE

situations d’apprentissages et leur expé-rimentation plusieurs années de suite dansune soixantaine de classes, ont aboutitnotamment à un ouvrage destiné aux ensei-gnants et aux formateurs 2.

Toutefois, l’utilisation par les enseignantsde ces résultats, et dispositifs d’enseignementsuppose qu’ils puissent faire des choix favo-risant une réelle activité mathématique desélèves garantie notamment par la prise en comp-te des connaissances initiales des élèves et parla mise en œuvre de problèmes. La questionse pose donc de l’appropriation par les ensei-gnants des produits de la recherche et par làmême de cette recherche comme outil de for-mation pour les enseignants.

Nous proposons dans cet article uneréflexion sur la formation des enseignantsqui s’appuie sur des travaux menés dans lesclasses et en formation sur le thème dessolides. C’est pourquoi cet article débute pardeux chapitres précisant, pour le premier,quelques éléments des problématiques de larecherche sur laquelle nous nous appuyons etpour le second les questions spécifiques liéesà l’apprentissage des solides. Dans la troisièmepartie nous utilisons ces éclairages pour nour-rir notre réflexion sur la formation.

I. — Articulations des apprentissagesgéométriques avec les connaissancesspatiales des élèves

I – 1 Les connaissances spatiales

Les connaissances spatiales concernentl’espace sensible ; elles permettent à l’enfant

de maîtriser ses rapports usuels avec cetespace, rapports qui sont contrôlés par la per-ception. Liées à l’expérience, elles s’acquièrentà l’école depuis la maternelle (repérage, posi-tions relatives d’objets, parcours…), maisaussi pour certaines d’entre elles en dehorsde tout enseignement. Les connaissances géo-métriques portent sur des objets idéaux, maisqui ont des représentations dans l’environ-nement familier des élèves. La géométrieentretient donc des liens complexes avecl’espace physique qui nous entoure : modéli-sation de l’espace sensible et théorie mathé-matique composée d’un ensemble d’énoncés.Ce double aspect est présent dans la géomé-trie enseignée au cycle 3 : les élèves peuventélaborer ou utiliser des modélisations de situa-tions spatiales à l’aide de dessins ou de tra-cés, cette modélisation pouvant ou non s’appuyersur des relations géométriques

En outre, quand des objets théoriquessont représentés par l’élève sur sa feuille depapier, ou quand il schématise des objets dumonde sensible, l’élève de l’école élémentai-re travaille dans un domaine bien particulier.Il s’agit d’un espace que l’élève contrôle, en par-tie du moins, par la perception et qui estconstitué à la fois d’un ensemble d’objets spa-tiaux, d’un ensemble de représentationsd’objets de l’espace sensible et d’un ensemblede représentations des objets théoriques.Dans certains cas, ce domaine, que nous appe-lons le domaine spatio-graphique pourra êtrealternativement le « papier-crayon » et l’écrande l’ordinateur (ce dernier pouvant avoir descaractéristiques spécifiques).

Nous proposons un travail effectif dansl’espace sensible qui permet d’y développer dessignifications importantes des concepts géo-métriques (par exemple, le contrôle d’un ali-gnement par la visée). Certains problèmes

2 Ces résultats sont publiés dans: « Apprentissages géométriqueset résolution de problèmes au cycle 3 » (2006, Hatier ed. 609 p.),ouvrage destiné aux enseignants et aux formateurs.


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peuvent être résolus par une modélisationsur la feuille de papier, que cette modélisa-tion soit à la charge de l’élève ou fournie parle maître. Les connaissances géométriquessont alors enrichies en devenant des outils néces-saires à la résolution de problèmes spatiaux.Des activités sont proposées dans l’espaceusuel (de la cour ou de la classe) de façon àconfronter les élèves avec les connaissancesparticulières se rapportant à la maîtrise de cesespaces. Toutefois si le recours au méso-espa-ce3 ne constitue pas pour nous la seule approchepréalable à l’étude des notions géométriques,les problèmes posés dans les différents typesd’espace permettent d’appréhender les diffé-rentes significations des notions géométriques.

I - 2 Objets et relations

Les constituants des savoirs géométriquessontnotamment les objets et les relations :

Les « objets » : un point, un segment, unedroite, un rectangle, un pavé… termes quipeuvent désigner aussi bien des objets théo-riques que des objets matériels existant dansl’espace sensible, ou qui peuvent être spéci-fiques de la théorie (segment) ou de l’espa-ce (trait, bord).

Une simple étude d’un objet spatial ne serapas très riche si les relations entre les élémentsle composant ou entre cet objet et d’autresn’interviennent pas dans la résolution de pro-blèmes. Par exemple, au cycle 3, un cube peutêtre étudié du point de vue :— de ses faces, de ses arêtes, de ses som-

mets, des relations que ces objets entre-tiennent entre eux dans le cube ;

— de ses relations avec d’autres objets, qui nesont pas des cubes (d’autres polyèdres par rap-port à leur nombre de faces), ne sont pas despolyèdres, ou sont d’autres cubes que le cubeétudié (comparaison des faces, des arêtes…).

Aussi, nous avons fait le choix d’orga-niser les apprentissages en entrant dès leCE2 par les relations, parce que nous esti-mons que c’est un moyen d’inciter lesélèves à passer :— d’une reconnaissance globale de l’objet à une

analyse des relations entre ses éléments lorsde la résolution de problèmes, ce que la simpledescription des objets perçus n’induit géné-ralement pas ;

— du spatio-graphique au « théorique » parceque l’évidence spatiale est moins présen-te et que les raisonnements fondés sur despropriétés sont nécessaires.

Le terme “relation” est pris dans sonsens habituel en mathématiques et désignedes liens de la théorie pouvant exister entreles objets. Pour chaque relation, nous dis-tinguons plusieurs significations qui peu-vent faire appel à des propriétés du domai-ne théorique. Prenons l ’exemple duparallélisme. Deux droites distinctes sontparallèles dans le plan :— si elles n’ont pas de point commun (incidence) ;— si leur écart est constant (distance) ;— si elles ont la même direction ou si elles ont

la même orientation par rapport à unedroite donnée (angle) ;

— si elles ont une perpendiculaire commune(perpendicularité) ;

— si l’une est l’image de l’autre par une trans-lation ;

— si elles sont supports de côtés opposés d’unquadrilatère familier…

3 L’espace sensible est décomposé par R. Berthelot et M.-H. Salinen micro-espace (espace des interactions liées à la manipulation despetits objets. Le sujet est extérieur à l’espace), le méso-espace(espace des déplacements du sujet dans un domaine contrôlé parla vue.) et le macro-espace.


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Nous ne pensons pas qu’il suffise derésoudre des problèmes relevant de chacunedes significations d’une relation (et encoremoins d’une seule !) pour garantir le niveaude maîtrise d’une relation attendu au cycle 3.C’est pourquoi il nous a fallu compléter l’étudede ces significations, en proposant, essen-tiellement au CM2, des problèmes de syn-thèse qui sollicitent plusieurs de ces rela-tions ou qui sont relatifs aux propriétés desobjets ; mais cet apprentissage suppose ausside découvrir et de stabiliser, au cours del’étude d’une relation, un vocabulaire spéci-fique, des propriétés, des techniques instru-mentales, qui sont rencontrés ou institu-tionnalisés selon les situations.

Si l’ensemble des situations d’apprentis-sage que nous proposons est organisé autourdes relations pour les deux premières annéesdu cycle, cela ne veut pas bien sûr dire queles objets du plan sont oubliés. Les proprié-tés des objets sont analysées au CE2 et au CM1dans le cadre du travail sur les relations etils sont étudiés, pour eux-mêmes, plus sys-tématiquement au CM2. En effet, nous pen-sons que les différents savoirs concernant lesobjets et les relations ne peuvent être apprisindépendamment les uns des autres.

I - 3 La question de la validation

Au cycle 3, plusieurs types de preuvepeuvent coexister en fonction de la situation. :la validation pratique (par exemple, plier oudéplacer deux figures pour vérifier qu’elles sontsuperposables), le recours à des mesures, lerecours à des raisonnements pour établir despreuves. La simple perception, ou le recoursà une validation pratique ne remettent pas tou-jours en cause des procédures erronées pou-vant aboutir à des productions apparemmentsatisfaisantes ; en effet, les élèves en restent

parfois à l’évidence de la perception visuelleou interprètent des erreurs comme n’étant quedes imprécisions de mesure ou de tracé. Deplus, une production erronée peut être seulementle résultat de difficultés techniques de tracésmalgré un recours explicite à des connais-sances appropriées.

L’objectif ne nous semble pas tant d’éliminerle recours à la validation pratique que de per-mettre aux élèves d’appréhender des proces-sus de preuve s’appuyant sur des raisonnementset de percevoir les différences entre ces preuves.Ceci peut nécessiter l’organisation de débatsargumentatifs entre les élèves pour discuterde la validité des réponses obtenues.

Il nous paraît donc utile de différer lavalidation pratique et de commencer la phasede validation par un débat sur les productions.La fonction des « mise en commun » est de per-mettre aux élèves de formuler leurs résul-tats, et donc d’en prendre conscience, de pré-ciser, à la demande, les termes employés,mais aussi de critiquer leurs solutions etcelles des autres élèves, c’est-à-dire de jugerpar eux-mêmes de leur validité. Or ces misesen commun constituent souvent des phasesdélicates à gérer par les enseignants.

Notre recherche nous a donc conduits àexpliciter des questions posées par cette coexis-tence de procédures de validation et à éluci-der des choix concernant la validation proposéedans les situations didactiques.

II. — Situations pour l’apprentissage des solides au cycle 3

La liste des situations proposées parl’équipe ERMEL est donnée en annexe 1,complétée par une description plus détailléeen annexe 2.


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II – 1 Analyse des composantesdes objets du 3D

Rappelons d’abord quelques termes qui per-mettent d’identifier les objets sur lesquelsles élèves travaillent et les obstacles qui y sontassociés.

D’une part, il y a les « d’objets spatiaux »,en conservant le sens physique du terme,pour décrire tous les objets matériels en troisdimensions contenu dans l’espace sensible(ou réel ou physique). On peut en donner ladéfinition suivante : au cours de tous lesdéplacements, la distance entre deux pointsquelconques d’un solide est constante ; enfait, il s’agit d’objets matériels rigides. Parmices solides, nous distinguerons les solidessociaux et les maquettes.• Nous parlerons donc de « solides sociaux »

pour les objets qui existent dans le mondesocial environnant : les boîtes, les embal-lages, les meubles, les constructions, etc.…

• Parmi les « objets spatiaux », il y a ce quel’on peut désigner par le terme de« maquettes » (appelés également « solidesgéométriques »). Ce sont des objets trèsparticuliers qui ne se rencontrent guère qu’àl’école (chez les architectes également,mais avec quelques nuances).

En fait, ces objets peuvent être consi-dérés :— soit comme des représentations d’objets

mathématiques ou géométriques (le cube,le cylindre, le prisme, etc..).

— soit comme un solide social épuré des pro-priétés qualitatives. Pour élaborer cesobjets, on a cherché à éliminer un certainnombre de propriétés, en particulier sonusage, son contenu, etc. On demanderaaux élèves de faire également abstractionde la matière et de la couleur.

Dans l’utilisation des maquettes, c’est lecontexte qui fera la distinction : • L’apprenti mathématicien (l’élève de 4ème)

devra regarder la maquette, le momentvenu, comme une représentation d’un objetthéorique et s’en servira comme une aideà la démonstration.

• Par contre, l’élève de l’école primaire et de6ème la regardera comme l’objet repré-sentant tous les objets sociaux de mêmeforme, donc comme une aide à l’abstractionet sa construction sera l’enjeu de nom-breuses situations.

D’autre part, il y a les « objets géomé-triques » qui sont des objets théoriques. Ilssont définis comme une portion de l’espa-ce géométrique ; parmi eux, nous trouve-rons les polyèdres, délimités par des facespolygonales tels le cube, les prismes, lesparallélépipèdes, etc.

Ceci étant, N. Rouche 4 fait une distinc-tion entre « objets mentaux » (ou pré-concepts)et « objets idéaux ». En effet, quand notreperception fait défaut (de nombreuses situa-tions à l’école primaire mettent en œuvrecette contrainte), il est nécessaire de concevoir,inférer, théoriser. C’est, en fait, être capablede faire fi de certaines propriétés des objetssociaux, particulièrement les propriétés qua-litatives (matière, couleurs, dispositions spa-tiales), pour en conserver d’autres : les formes,les régularités (symétries) et les singularitéset, surtout, en tirer des conséquences…

En fait, petit à petit, se construit tout unréseau de propriétés de ces objets, de relationsentre ces objets, et de relations entre les pro-priétés elles-mêmes, qui prennent de plus en

4 « Préconcepts » : ie N. Rouche, CREM, « formes et mouvements »,page 34.


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plus de distance avec la réalité, mais quiconservent, pour le moment 5, un certain« ancrage » dans cette réalité.

Le schéma de la page ci-contre présenteles relations entre les différents objets rencontrés.A l’école les solides étudiés sont principalementdes polyèdres mais les élèves rencontrentégalement des cylindres, des sphères se quinous amène à parler ici de solides.

• Les relations 1 et 2

Nous pensons que les élèves doivent s’abs-traire de certaines des propriétés qualita-tives des solides sociaux afin d’obtenir desmaquettes (relation 7). Les maquettes contri-bueront aussi à accéder aux objets géomé-triques qui sont définis théoriquement par unensemble de propriétés qui permet d’en don-ner une définition en compréhension..

Par exemple, il doit être capable de dési-gner par le terme « cube » tous les solides quiont six faces carrées. Ici, interviennent des pro-priétés « numériques », telles que le nombrede faces, de sommets, d’arêtes (d’ailleursrégies par la relation d’Euler S + F – A = 2 avecS nombre de sommets, F de faces et A nombred’arêtes).

Ils doivent être capables de caractériserles solides aux moyens de ces propriétés numé-riques et de la nature géométrique des faces.


Il s’agit de définir les polygones commefaces des polyèdres. Cette approche a plu-sieurs avantages :

— on diminue l’émergence des phénomènesliés à la présentation exclusive dans lafeuille de papier, telle que la reconnaissancede figures par leur aspect dans une certaineposition (représentation « prototypique»).Il est clair que, outre ce procédé, biend’autres contextes seront nécessaires pouraccéder à des connaissances théoriquesstables sur les polygones et leurs proprié-tés géométriques (le dessin « à main levée »,mais également le contexte informatiqueà partir de logiciels comme CABRI ouDECLIC).

— dans cette approche, la figure plane n’estpas vue comme un ensemble de traits. Eneffet, la face du polyèdre a une frontière sansépaisseur, on se rapproche de la notion deligne d’épaisseur nulle (une dimension).Il peut y avoir deux types d’empreintes, per-mettant de faire le lien avec les polygones :celle qui est obtenue en imprimant de la pâteou du sable et celle obtenue par le tracé ducontour.


Les relations d’incidence sont, d’une part,les relations métriques entre les différentesfaces du solide et, d’autre part, les degrés dessommets (nombre d’arêtes jointes par un som-met). Pour accoler deux faces, les côtés concer-nés doivent être de même longueur. Il est àremarquer qu’avant de devenir des relationsgéométriques, elles sont d’abord des relationsspatiales dans des dessins (relation 8) : d’aborddes empreintes, puis des dessins de facesobtenus avec des gabarits, puis aux instruments,puis des dessins associés pour devenir desassemblages, puis le dessin devient d’un seultenant pour devenir le dessin d’un patron. C’estpar l’intermédiaire de plusieurs situationsd’anticipation que l’élève est amené à réflé-chir, à inférer des propriétés, à les concevoir

5 A terme, c’est la géométrie « géométrie euclidienne ». Mais, cequi ne sera plus le cas pour « les géométries non-euclidiennes »,dans lesquelles, par un point extérieur à une droite peut passer soitaucune parallèle, soit une infinité…. Certaines de ces géométriessont utilisées en « relativité générale ».


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L’espace graphique (la feu ille,l’écran d’ordinateur, etc.)

Espace géométrique, ou théorique Espace réel, ou sensible

3D

2D

Les solidessociauxLes solides

géométriquescertains seront appelés

des « polyèdres ».

Les maquettes

Des situations au Cycle 2 permettentaux élèves de faire fi de certainespropriétés qualitatives (c’est la« forme » qui compte).

Les empreintes des faces. Puis,les tracés (aux instruments) de

figures p lanes.

Les dessins depatrons

Desassemblagesde dessins de

faces

1

2

7

3

6

4

Le cube,Le prisme,Le parallélé-pipèdes,Etc…

Le carré, le rectangle, le losange, le trapèze,etc.

Ce sont des objets géométriques 2D, ils sontdéfinis par un texte (figures). Le dessin du patron

d’un cube

5

Ici, sont en jeu des relationsspatiales entre dessins.

Ici, sont en jeudes relationsd’incidence.

8

Relations entre les différents objets rencontrés par les élèves

Les objets 2D dontles polygones

Les solidesgéométriques on unefrontière : naïvementun ensemble d’objetsthéoriques 2D.


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sans la présence explicite des dessins que cesrelations spatiales deviendront des relationsthéoriques, appelées « relations d’incidence ».

L’élève doit être capable d’identifier les facesaccolées dans un solide et de déterminer quepour cela les côtés concernés sont nécessairementde même longueur. Pour réaliser un patron,l’élève peut plier et déplier mentalement le soli-de (effectuer des rotations axiales dans l’espa-ce « en acte », c’est-à-dire sans l’interprétercomme tel mathématiquement) ou encoremettre en œuvre les relations d’incidence defaçon théorique.

Le travail sur les solides s’appuie donc prin-cipalement sur le travail autour de l’approchedes solides par leurs propriétés mathéma-tiques et sur les relations d’incidence. L’approchedes polyèdres par les polygones intervientdans le travail sur les patrons sans être unaxe spécifique de notre travail.

Parallèlement à cette analyse sur lesrelations entre objets se pose également le pro-blème de la représentation des objets. C’estgrâce aux procédures employées par les élèvesque nous allons déceler si les représentationsqu’ils ont des objets sont de l’ordre du spatial(carré comme ensemble de « traits ») ou de l’ordredu géométrique (carré comme ensemble despropriétés qui le définissent). Par exemple, siun élève utilise les propriétés d’une figurepour résoudre un problème lorsque la situa-tion n’incite pas à y faire appel, on peut pen-ser que l’élève voit cet objet par ses proprié-tés géométriques.

II – 2 Un point sur les représentations des objets 3D : enjeux et difficultés

La question fondamentale est : commentreprésenter les solides, c’est-à-dire le passa-

ge du 3D au 2D, puis à l’espace graphique (quipeut être la feuille de papier, mais égalementl’écran d’ordinateur) moyennant une simili-tude (problème de l’échelle de réduction ou d’aug-mentation qui est nécessaire afin de « faire entrerle grand dans le petit »).

Divers types de représentations sont ànotre disposition et ont été inventées pourrésoudre des problèmes de modélisation dif-férents (contextes et statuts différents) : laperspective cavalière, et ses dérivées, laperspective centrale, le système « 3 vues »,la représentation topologique (similaire auplan du métro), etc.

Il est important de prendre conscienceque, dans le passage judicieux de l’objet à sareprésentation, il est nécessaire de faire des choixentre les informations à conserver et celles àocculter : c’est le conflit entre le VU et le SU 6.

Ce conflit est observé dans les dessinsd’élèves, par exemple dans la représentationd’une pyramide à base rectangulaire, chezun élève de collège et même de lycée :

II - 3 Nos idées forces au sujet du contenu :

— Les relations « numériques » ainsi que lescaractéristiques des faces servent de pas-sage entre les « objets spatiaux » et les« objets idéaux » (même si ceux-ci restentun horizon à l’école primaire). En effet,elles permettent de caractériser les solidespar des propriétés indépendantes desaspects matériels (tels que la couleur oul’apparence, etc.)

6 Pour plus de commentaires sur ce point délicat des représenta-tions, voir : F. Colmez et B. Parzysz, (1993), « Espaces graphiqueset graphismes d’espaces. Le vu et le su dans l’évolution de dessinsde pyramides du CE2 à la seconde. », in « Espace graphique et gra-phisme d’espace », Eds la Pensée Sauvage, p. 35-55.


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— Les maquettes et leur construction dans dessituations fortement « anticipatrices » per-mettent la construction « d’images mentales ».

— Le vocabulaire est un outil de communicationet il participe au processus de conceptua-lisation. Il se construit petit à petit en pro-posant des problèmes de communication danslesquels il est nécessaire de mettre à dis-tance le langage social.

— La représentation n’est pas une priorité, maisil est possible de la mettre à l’œuvre dansdes situations de communication afin de com-mencer à gérer les difficultés signalées ci-dessus.

— Le travail sur les patrons permet de pro-poser des problèmes intéressants (parexemple : puisque le patron utilise le mini-mum de faces, il correspond à un minimade papier utilisé).

II - 4 Nos idées-forces au sujet des situations :

— C’est en résolvant des problèmes spatiauxbien choisis que les élèves construisentdes propriétés géométriques. Réciproque-ment la construction des propriétés géo-métriques permet de résoudre des pro-blèmes spatiaux.

— C’est dans ces problèmes que les élèvessont amenés à approcher les concepts

d’objets mathématiques en épurant lesobjets physiques de leurs propriétés qua-litatives.

— Le travail sur les relations d’incidences etla notion de patron constitue l’ossaturedes situations.

— Une approche de la représentation planedes objets 3D par la prise en charge du conflitentre le « VU » et le « SU ».

Pour ceci, trois types de situations :— Des situations d’action (pour résoudre des

problèmes spatiaux).— Des situations de communication ou de

description.— Des problèmes ouverts…

III. — Analyse d’une utilisation denotre recherche en formation initiale

L’enjeu de cette partie est de mener unepremière réflexion basée sur notre expérien-ce de formateurs dans l’utilisation des travauxde l’équipe ERMEL concernant les objets 3D.Nous commençons par présenter des élémentsdu dispositif de formation proposé aux ensei-gnants stagiaires du premier degré (PE2) endéveloppant particulièrement un exemple desituation puis nous menons une rapide ana-

Le VULe percept,ce que jeVOIS dusolide.

La nécessaire prise deconscience, que jedois « transiger »

entre des informationscontradictoires…

ConflitLe SU

Le concept : ceque je SAIS dusolide : formes

géométriques desfaces, symétries,

etc.…


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lyse quantitative puis qualitative des tra-vaux qu’ils soumettent pour montrer l’acqui-sition de compétences professionnelles.

III – 1 Deux exemples de situation de formation

Notre présentation se base sur une for-mation PE2 qui s’est déroulée en 2006-2007à l’IUFM de Champagne Ardenne, site deChâlons en Champagne. Elle concerne envi-ron 50 stagiaires. Le premier module de for-mation en didactique des mathématiques a pourobjectif de travailler sur « la situation d’appren-tissage ». Le ou les thèmes sur lesquels portece module ont été laissés au choix des formateursde chaque site. L’évolution de la formation desPE2 et en particulier le Stage Filé (SF) ontamené les formateurs à choisir de faire por-ter ce premier module sur la géométrie. En effet,la répartition des différentes disciplinesd’enseignement entre stagiaire et directeurdéchargé amène les stagiaires à enseignerprincipalement la géométrie durant ce SF. Lefait que le site IUFM concerné n’ait que deuxclasses de PE2 en formation exclut un regrou-pement des stagiaires par cycle, le module n’estdonc pas attaché à un cycle.

Le choix de commencer par le travail surle 3D est guidé par deux idées : la premièreest pragmatique et stratégique : plus les sta-giaires sont formés tôt dans l’année plus ilsont de temps pour fabriquer et récolter lematériel nécessaire au travail dans l’espaceet pour mettre en œuvre cette partie du pro-gramme souvent reléguée à la fin de l’année ;la seconde est l’idée que l’introduction desobjets 2D comme face des objets 3D évite queles élèves ne reconnaissent les figures planesque quand elle sont dans le « bon » sens, le carrébien à plat, le losange sur sa pointe… Enfin,les formateurs ont choisi d’aborder la situa-

tion d’apprentissage en commençant par lessituations de communication au sens de Brous-seau (1986). Ce type de situation est apparu,d’expérience, comme plus propice à uneréflexion sur les situations d’apprentissage queles autres types de situations (action ou vali-dation). Lors d’années antérieures la situationd’apprentissage a été introduite au travers desituations d’actions. Les travaux rendus parles stagiaires montraient alors qu’ils avaientdu mal à ne pas intervenir et interféreraientbeaucoup dans le travail de l’élève. Ils avaientégalement des difficultés à assurer une réel-le dévolution de la tâche ; ceci est probléma-tique car la situation d’action est basée sur l’idéede rétroaction, c’est-à-dire que la situation ren-voie elle-même à l’élève s’il a réussit ou non,dans ce dernier cas il doit alors remettre encause ses stratégies pour réussir.

L’expérience montre que les stagiairesne laissent pas l’élève se confronter à la tâcheils lui donnent des indications sur la maniè-re de la réaliser dès la consigne ou en coursd’activité. La façon de rendre les élèves res-ponsables de leur tâche (la dévolution de latâche) est assez subtile dans les situationsd’action, elle nécessite d’avoir une certaine« confiance » en la situation elle-même ainsiqu’en ses effets. Il est donc logique qu’il soitdifficile pour les débutants de s’appropriercorrectement cette démarche. Les situationsde communication sont apparues plus usuelleset plus facilement appréhendables.

Le second choix a été de faire une pré-sentation à rebours par rapport au fil desapprentissages : travailler les conceptionsattendues à la fin du cycle 3 et les problé-matiques associés puis amener les stagiairesà s’interroger sur les situations qui préparentet amènent les élèves à ces conceptions en recu-lant dans les cycles jusqu’à l’école maternel-


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le. Le travail porte en premier sur la carac-térisation des polyèdres : savoir qu’un poly-èdre est caractérisé par son nombre de faces,la nature de ses faces, son nombre d’arêtes,son nombre de sommets et la puissance de sessommets ; mais aussi sur la connaissance deproblématiques clefs : le concept de patron etses difficultés spécifiques (caractéristiquesdu patron par même nombre de faces et mêmenature des faces que le solide, non unicité dupatron, problème des relations d’incidence 7,questions liées à la présentation du patron d’unseul tenant, faces « attachées » par des côtéscomplets…) et enfin sur la problématique duVU et du SU qui apparaît lors de la repré-sentation plane des objets 3D. Avec un publicde PE2, non spécialiste des mathématiques,le choix de faire émerger ces questions et cesdéfinitions en leur faisant vivre des situa-tions proches de celles des élèves s’est impo-sé comme pertinent. Nous utilisons donc dessituations de la programmation ERMEL CM2telles qu’elles sont présentées dans l’ouvrageet des situations que nous transposons pourles rendre plus problématiques. Une fois ce tra-vail fait, nous reprenons à rebours les diffé-rents éléments qui permettent d’arriver à cessituations.

L’exemple choisi ici et l’analyse qui en estfaite, principalement empirique, n’est pasissue de travaux de recherche (en particu-lier, elle ne se situe pas dans le cadre du tra-vail de l’équipe ERMEL) et doit être considéréecomme une expérience de formateurs. Ainsil’enjeu n’est ni de proposer un modèle nimême de tirer des généralités de cette expé-rience mais de présenter une expérience et d’enanalyser quelques effets dans les travaux desstagiaires.

III-1.1 Un exemple de formationpar homologie – la situation « communiquer le solide »

Nous explicitons le processus de forma-tion aux stagiaires en développant l’idée desituations « pas de côté ». Nous les invitonsà résoudre le problème dans un dispositifanalogue à celui proposé aux élèves, La situa-tion peut être plus ou moins adaptée de la situa-tion « communiquer le solide » se trouvant dans(ERMEL - 2006). Une fois le travail réalisé,les stagiaires font à nouveau un pas de côtépour revenir en position d’enseignants et ana-lysent la situation vécue, les procédures misesen œuvre. Le travail se termine par l’analy-se de la situation en termes d’enjeu didactique,de compétences travaillées et de type de situa-tions d’apprentissage. Elle peut alors débou-cher sur la construction de situations pour lesélèves. Dans l’exemple que nous présentons,les concepts didactiques en jeu sont princi-palement l’opposition entre le VU et le SU tirédes travaux de Colmez et Parzysz (1993).

La situation proposée aux stagiaires estla suivante : un stagiaire est derrière letableau avec une vue en perspective d’unsolide (il s’agit d’un solide archimédien obte-nu par troncature du cube : le cuboctaèdre -voir dessin 1 page suivante). Ce solide est choi-si suffisamment complexe pour que les sta-giaires n’en connaissent ni le nom, ni lescaractéristiques. Les autres stagiaires sontrépartis en groupes de quatre. Dans chaquegroupe, deux stagiaires ont le matériel « soli-de avec pailles » 8 de Fernand Nathan et deuxautres ont le matériel « Plot » 9 de l’AMPEP

7 C’est la relation qui lie deux faces qui « s’assemblent » lors dela reconstitution du solide8 Le matériel est constitué de pailles de différentes longueurs qui sontreliables par des sommets de différentes puissances (2, 3, 4 et 5).

9 Ce matériel est constitué de faces en cartons. Les formes présentessont un carré, un rectangle constitué de deux carrés, un triangle équi-latéral de même côté que le carré, un pentagone régulier égalementde même côté. Ces faces ont des bords qui permettent de les atta-cher par un élastique. Les polyèdres dans l’espace; les dossiers duPLOT. MARS 1987. PLOT APMEP d’Orléans-Tours.


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d’Orléans-Tours. Les groupes doivent poserdes questions fermées au stagiaire du tableaude façon à pouvoir construire le solide avecle matériel donné. Afin de mettre un enjeusupplémentaire et de limiter le nombre de ques-tions, une contrainte supplémentaire estajoutée : Les stagiaires ont 30 points audépart. Une question fermée coûte 1 point, unequestion numérique 3 points, une demandede validation 5 points, une question à laquel-le il n’est pas possible de répondre soit par« oui » ou « non » ou par un nombre coûte 5points. Il faut alors réaliser le solide enconservant le maximum de points. Les ques-tions sont posées par écrit pour garder unetrace de l’activité des stagiaires.

III-1.2 Quels enjeux pour la situation de formation proposée ?

Lors des mises en œuvre de cette situa-tion, il apparaît invariablement des erreursdans l’appréhension de la perspective par lestagiaire derrière le tableau. Il n’envisagepas que lorsqu’il voit un rectangle sur sa feuille,il peut s’agir d’un carré dans l’espace. Il enest de même pour les triangles isocèles des-

sinés qui peuvent être en fait des triangleséquilatéraux dans l’espace. Alors qu’avecle matériel Fernand Nathan il est possiblede construire un solide avec des rectangleset des triangles isocèles, cela est impossibleavec le matériel plot qui ne contient quedes carrés et des triangles équilatéraux.Les stagiaires sont donc confrontés à uneimpossibilité de construction et à un bloca-ge de la situation. Cela amène l’émetteur àmodifier des réponses. Cette situation metdonc en lumière l’opposition entre le VU etle SU. Le stagiaire voit que ce sont des rec-tangles mais sa connaissance des solides etde la perspective doit l’amener à identifierque ce peut être la représentation en pers-pective de carrés dans l’espace. Au traversde cette situation, les stagiaires sont ame-nés à réfléchir à la notion de situation de com-munication, au rôle des variables didac-tiques (ici principalement le choix du solidepour l’émetteur et la façon dont il y accède,celui du matériel pour le récepteur et letype de communication).

Cette situation peut être considérée commeun peu « brutale » dans le sens où elle met lesstagiaires en difficulté, certains peuvent mêmepenser qu’il s’agit d’un « piège ». Certains for-mateurs peuvent craindre que cette situa-tion ait des effets pervers en laissant penseraux futurs enseignants que puisqu’eux-mêmesont eu des difficultés, la situation est impos-sible à mener avec des élèves. Ces questionsfont apparaître un biais : quand les compétencesdes stagiaires sont assez proches de cellesdes élèves (c’est le cas aussi pour les TICE),il risque d’y avoir confusion entre les savoirsprofessionnels qui sont l’enjeu de la formationet les savoirs d’enseignement. Le stagiaire, ayantà gérer en même temps les deux types d’appren-tissages, n’arrive pas à prendre suffisam-ment de distance pour analyser le processus


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d’enseignement-apprentissage. Dans l’exempleque nous exposons, il ne s’agit pas d’une situa-tion à destination des élèves, elle est trans-posée pour les enseignants, ce qui permet demener une réflexion, a posteriori, sur leschoix de variables pour les situations d’ensei-gnement. La situation débouche d’ailleurssur une production par les stagiaires d’untableau de présentation des choix possibles dansles variables de situations de communicationque nous avons intitulé mille milliards desituations en faisant référence au grandnombre de possibilités de situations diffé-rentes qu’il fait apparaître. Nous donnonsun exemple de productions des stagiaires enannexe 1 pour des PE2.

Une fois le tableau construit, les stagiairesanalysent la situation tirée d’ERMEL nommée« communiquer le solide ». Nous nous appuyonssur des travaux d’élèves que les stagiairesclassent par type de stratégie de gestion de l’oppo-sition VU – SU : les patrons, les vues (une ouplusieurs), les parties cachées assumées etles associations de plusieurs représentationsincluant par exemple le détail du matériel

Il existe également des situations où latransposition n’est pas nécessaire, c’est-à-dire que l’on peut faire vivre aux stagiairesune situation qui est proposée aux élèves decycle 3. C’est l’exemple que nous proposons main-tenant avec la situation grand tétra.

Figure 1 : classification des stratégies de gestion de l’opposition VU – SU


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III– 1.3 Un second exemple : une situation non transposée : grand tétra

Description de la situation proposée aux élèves de l’école primaire :

Problème : « Quatre tétraèdres posés l’unsur l’autre par les pointes, forment un grandtétraèdre avec un « trou » de forme octa-édrique (cf. représentations ci-dessous).Il s’agit de construire le patron de ce soli-de « virtuel » afin, après découpage, plia-ge et collage de boucher le « trou ».

La situation se déroule en 3 temps :— Les élèves (de l’école primaire) font un

schéma (dessin à « main levée ») du patronqu’ils souhaitent réaliser.

— La mise en commun sert à débattre de lavalidité des propositions en utilisant desarguments géométriques et spatiaux : lenombre et la forme de faces, les pliageséventuellement impossibles, etc. (c’est ce

que l’on peut appeler une « validationthéorique »). Les productions sont rangées dans troiscolonnes : « on est certain que ça marche »,« on est certain que ça ne marche pas », « onest pas sûrs». Puis, on essaie de modifierles assemblages, les dessins sont à « mainlevée » mais il est possible de découper/plieret de vérifier si l’assemblage fonctionneraou pas (l’objet obtenu est approximatif,mais c’est suffisant pour forcer l’adhésionou le refus), ainsi que de le modifier dansles cas où l’on était pas certain de sa per-tinence.

— Puis, quand tous les élèves se sont misd’accord, ils recopient « au propre » (dessinrigoureux et précis) leur assemblage (éven-tuellement un patron) avec un gabarit.Puis, enfin, ils découpent, plient, collent etbouchent le trou (c’est ce que l’on peutnomme une « validation pratique »).

La spécificité de la situation :

— Situation de synthèse autour de la notionde patron,

— Mise en commun (validation théorique etargumentation) préalable à la validationpratique,

— Utilisation du schéma (dessin « à mainlevée »).

Les objectifs de la situation sont :

— Par la résolution d’un problème, être capablede se construire des « images mentales » d’unsolide virtuel (le « trou »).

— Mettre en œuvre à bon escient le dessin « àmain levée » afin de mener une réflexiond’ordre géométrique (théorique) sur laconfection d’un assemblage pertinent de facespermettant de réaliser un solide. Le des-sin précis (aux instruments) est momen-


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tanément inutile, il relèvera ensuite d’unautre enjeu, celui de réaliser finement lamaquette qui bouchera le « trou », ceci aumoyen de gabarits.

Remarque : pourquoi des gabarits ? On pour-rait demander de construire le patron auxinstruments (c’est possible dans certains cas).L’activité serait alors plus contraignante et,pour des élèves de CM1, des problèmes dansl’utilisation des instruments apparaîtraient,ce qui, peut-être, contrecarrerait l’enjeu final,celui d’une validation pratique dans le fait deboucher exactement le « trou ».

Il est évident que l’obtention d’un dessinprécis est utile mais, alors, on perçoit que

l’objectif est différent, il est nécessaire que lesélèves en prennent conscience.

Ceci dit et afin qu’aucune ambiguïté nes’installe, il est important de noter que ledessin précis pourra également servir ulté-rieurement à faire de la géométrie. En effet,dans certains problèmes complexes où le des-sin « à main levée » n’est pas suffisant, ils’avère qu’un tel dessin devient utile, afin debien visualiser les relations entre les sous-figures, c’est alors une aide certaine à ladémonstration.

Mais, l’enseignement précoce et surtout« intensif » de ce type de dessin risque d’érigerdes obstacles résistants à la construction des


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relations géométriques car l’injonction qui enrésulte est souvent essentiellement spatiale…

Les variables didactiques de la situation sont donc :

— La forme du « trou » (au CM1 est proposéeune situation dans laquelle le « trou » estplus simple : voir ci-dessous).

— Le type de dessin demandé au départ : ledessin « à main levée ». Il permet auxélèves de se centrer sur les aspects théo-riques du problème et de mettre à distan-ce (momentanément) la précision qui cor-respond à un enjeu plus spatial.

— La présence des gabarits (ou non).

Concernant les stagiaires en formation :

Lorsque nous faisons faire cette situa-tion « grand tétra » les stagiaires savent ce qu’estun patron mais ne sont pas sûrs de leur défi-nition et éprouvent des difficultés à la formuler.Les stagiaires ont des procédures proches decelles des élèves du type P3 et P4, c’est-à-

dire des assemblages qui bouchent le trousans permettre de fabriquer un solide ou desassemblages proches du patron mais avecune face manquante (procédures décrites auparagraphe II.5). On trouve aussi des patronsavec des faces attachées par leur sommet oudes patrons non pliables comme sur le dessinqui suit. La procédure S3 vient du fait que pourfaire réaliser les tétraèdres nous faisons uti-liser une bande de triangles avec collage facesur face. Les stagiaires pensent à un « piège »et disent que ce qui est sur la feuille et qui n’est,somme toute, pas habituel doit servir aussi àautre chose.

Les réponses des stagiaires étant prochesde celles des élèves, on pourrait penser quele niveau de connaissances des premiers estproche des seconds. Ce n’est évidemment pasle cas. Les connaissances des stagiaires sontprésentes mais non suffisamment structu-rées pour en faire un savoir explicitable. Deplus le temps laissé aux stagiaires est plus courtet ils semblent s’autoriser moins de procé-

S1 : Assemblages nonpliables

S2 : faces détachées S3 : influence de la fiched’activité

Figure 2 : exemple de procédures erronées des stagiaires


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dures que les élèves (comme le découpage defaces pour reformer le solide dans le trou parexemple). La situation est donc suffisammentproblématique pour faire formuler une défi-nition utilisable mais est également utiliséepour travailler sur les choix pédagogiques etdidactiques.

Puisqu’il s’agit de la même situation (enaccéléré) que celle que les stagiaires pour-ront mettre en œuvre dans leur classe, elle estun bon support pour faire analyser les choixen termes de gestion des différents tempsdes situations. Le premier choix est de fairefabriquer ou non le grand tétraèdre avec untrou. Les stagiaires concluent que ce n’estpas ce qui est important dans la situationmême si cela permet aux élèves de s’approprierl’objet et que cette partie du travail peut faci-lement être faite dans une séance antérieu-re. Ensuite le fait de faire dessiner à main levéeest associé à deux intentions : ne pas perdrede temps avec les instruments et obtenir unpatron plus proche de ce que les élèves pen-sent vraiment. Pour le deuxième argument lesstagiaires se rendent compte que les instru-ments (ou un gabarit) donnent des contraintesqui empêchent l’élève de dessiner ce qu’ilpense réellement.

Le travail sur la place de la mise en com-mun est un moment important de la forma-tion. La mise en commun se fait sur les des-sins à main levée c’est-à-dire avant que les élèvesne sachent si leur patron est correct. Celaamène les stagiaires à réfléchir sur l’enjeu dela mise en commun, ici il s’agit de trouver desarguments théoriques pour valider ou inva-lider un patron : il n’a pas le même nombrede faces que le solide, les faces sont attachéespar la pointe… Quelle aurait été la motiva-tion pour débattre si la mise en commun avaitété faite après construction d’un patron aux

instruments, découpage pour assemblage ? Queleur patron soit correct ou non ils n’ont quepeu d’intérêt à expliquer pourquoi aux autres.Les stagiaires réfléchissent donc aux enjeuxet à la place des mises en commun.

Par ailleurs une réflexion sur la gestionde la classe est menée : comment faire pourtraiter 24 productions d’élèves ? Les stagiairesarrivent à plusieurs conclusions : il faut fairefaire les dessins à main levée sur des feuillesA4 ou A3 au feutre pour être vues de loin, unepremière phase consiste à mettre ensemble lesdessins identiques, afficher 24 dessins four-nit trop d’informations, on prend donc lesdessins un par un pour regarder s’il y a déjàun dessin identique au tableau ainsi au lieud’examiner 24 dessins ensemble on compare1 dessin à 4 ou 5 autres. Ce qui est le plus dif-ficile pour les PE2 est de mettre à distance lavalidation pratique, c’est-à-dire qu’ils sonttentés de demander aux élèves de découperet plier leur patron ce qui remplacerait alorsles arguments théoriques. Cela semble dû aufait qu’ils craignent que les arguments théo-riques ne permettent pas de faire un classe-ment sans erreur.

Pour conclure cette présentation dequelques éléments de notre formation nouspouvons dire que la première situation,transposée par rapport à la situation declasse, a vocation à être un déclencheur, laseconde, identique à celle qui est faite en clas-se, permet de réfléchir aux choix didac-tiques, à la gestion de classe. Nous présen-tons à présent une analyse des productionsque ces mêmes stagiaires soumettent dansla cadre de la validation de leur année de for-mation professionnelle (PE2), recueillisdurant l’année 2006-2007). Ils y cherchentà montrer l’acquisition des compétencesattendues d’un enseignant.


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III– 2 Le travail sur le 3D dans les travaux des stagiaires

III- 2.1 Le contexte

Depuis quelques années les professeursdes écoles stagiaires ont, durant leur for-mation, deux types de stages : des stages dit« groupés » c’est-à-dire de trois semaines enpleine responsabilité dans une classe enremplacement d’un enseignant qui la plu-part du temps participe à un stage de for-mation continue et un stage dit « filé » pourlequel ils assurent la classe pendant toutel’année un jour de la semaine dans unemême classe (dans notre académie il s’agitdu jeudi) en remplacement dans la plupartdes cas d’un directeur d’école alors déchar-gé pour assurer son travail de direction.Ce dernier stage « filé » a amené les ensei-gnants titulaires de la classe à partager letravail et à confier, dans beaucoup de cas,et surtout au cycle 3 l’enseignement de lagéométrie à ce « maître du jeudi ».

Notre propos n’est pas ici de discuter cechoix, ni les raisons de ce choix, qui parailleurs à des avantages pour les enseignantstitulaires comme pour les stagiaires. Quoiqu’il en soit une des conséquences est quenous savons que beaucoup de nos stagiairesenseignent la géométrie. De plus nos inter-ventions dans les séances de préparation etd’analyse de stage nous montrent que lesPE2 mettent en œuvre des séances concernantle 3D. Les demandes de prêt de matériel(solides, matériel de construction avec pailles,faces emboitables…) confirme ce constat.Nous citerons également les phrases intro-ductrices de trois des travaux que nous avonsanalysés dans la suite car elles nous sem-blent révélatrices du contexte : « C’est une pré-sentation, en cours de didactique des mathé-

matiques, d’un travail autour des solides, quim’a donné envie de mener un projet du mêmetype avec mes élèves de grande section. Unentretien avec la titulaire de la classe et l’ins-titutrice de maternelle les ayant eus en peti-te et moyenne section, m’a permis de m’assu-rer de la pertinence d’un tel projet. Ellesm’ont, en effet, toutes deux déclaré n’avoir jamaismis en œuvre d’activités de géométrie autourdes solides. » ou encore cette description ducontexte par un autre stagiaires : « Niveau :CE1, Effectif : 18 élèves, Notions déjà abor-dées par les élèves concernant les solides aucours du cycle : aucunes » et enfin un troisième :« Après discussion avec les professeurs desclasses de CE2 et CM1, il s’avère que lesélèves ont fait très peu de géométrie auparavant.En ce qui concerne les solides, seule la pers-pective cavalière a été travaillée. »

Les PE2 de l’académie de ChampagneArdenne utilisent un portfolio numérique(appelé CBI – Carnet de Bord Informatisé) pourdéposer des travaux qui leur permettent demontrer l’acquisition de compétences profes-sionnelles. Cet outil est décrit et étudié parEmprin et Lagrange (2007). Notre premièreremarque est qu’il n’y a que sept dépôts surune cinquantaine environ qui concernent le3D. Cette proportion est faible au regard duconstat, certes empirique, que nous venons defaire de l’importance de l’enseignement du3D dans ce qui est dévolu aux stagiairesdurant leurs stages. Ce constat est d’ailleursconfirmé par l’introduction d’un des stagiairesdans son travail : « J’ai préparé cette séanceà partir des cours, et à partir de remarquesapportées par d’autres PE 2 qui avaient déjàmis en place cette situation dans leurs classes. ».

Le niveau d’enseignement auxquels les tra-vaux sont placés est également étonnant parrapport à la formation dispensée : alors que


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les travaux présentés concernent principa-lement le cycle 3 (de par la démarche à reboursdétaillée précédemment) il n’y a que troistravaux qui concernent ce cycle sur sept.

En première conclusion « quantitative »nous pouvons donc dire qu’alors qu’un nombrenon négligeable de stagiaires mènent desséances sur la géométrie de l’espace, ils ne lesutilisent pas comme support pour l’évaluationde leurs compétences. Pour aller plus loinnous décrivons maintenant ces travaux etnous en proposons une analyse succincte enlien avec notre dispositif de formation.

III – 2.2 Synthèse des six analyses de séances

Le tableau de la page suivante récapitu-le les contenus de six travaux déposés dansle CBI concernant le 3D. Nous présentons àpart le septième travail qui est assez différentdes autres puisqu’il s’agit d’une évaluation surles solides.

Ces six travaux sont assez pauvres enterme d’analyse, tant au niveau de la didac-tique que de celui des pratiques profession-nelles. Ils sont révélateurs de plusieurs dif-ficultés que rencontrent les PE2.

D’abord les stagiaires ont des difficultésà laisser du temps aux élèves pour s’approprierla consigne, pour manipuler les objets, pourfaire des essais. C’est le cas des travaux 1, 2et 5 en particulier.

Ensuite les PE2 ne semblent pas êtresuffisamment conscients des enjeux dessituations pour réagir à ce que les élèves pro-duisent : dans le second travail le stagiai-re ne saisit la chance de faire émerger l’idéeque les trois objets ont les mêmes proprié-

tés mathématiques qui font qu’ils ont lemême nom (sphère ou boule). De même laconsigne du troisième travail : « Vous devrezposer des questions portant uniquementsur la forme. Il sera interdit de poser des ques-tions sur la couleur des solides, leurmarque… » tue une partie de la tâche. Lamême stagiaire met également dans sa fichede préparation : « Le maître réintroduit ouintroduit des mots de vocabulaire géométriqueet les note au tableau. Les questions perti-nentes posées par les élèves sont elles aussinotées au tableau. Inviter dès que possibleles élèves à regarder ce tableau pour s’en ins-pirer. ». Plus loin elle relève des formula-tions des élèves et indique comment elleles a repris : « Mots utilisés par les élèves :Aplati, Grand/petit, Allongé, « A-t-il desfaces plates ? » repris en « A-t-il des facesplanes ? », « A-t-il des faces rondes ? » reprisen « A-t-il des faces circulaires ? » ». Ces sta-giaires n’utilisent pas les variables didac-tiques des situations pour amener les élèvesà se rendre compte que, dans le premier cas,ce qui fait que deux objets ont le même nomest leurs propriétés « mathématiques » et dansle second cas que le vocabulaire usuel n’estpas suffisant pour désigner sans erreur lesobjets mathématiques.

Le travail numéro 6, mais aussi dansune moindre mesure les travaux 4 et 5 mon-trent la difficulté à se détacher de l’ouvrageréférence. Les stagiaires paraphrasent etreformulent ce qui est déjà écrit sans réelle-ment montrer une appropriation des enjeuxou de réels choix personnels.

III – 2.3 Analyse d’une évaluation sur les solides

La stagiaire présente cinq exercices quicomposent son évaluation.


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Pour les exercices 1 et 2 en particulieril y a une véritable non prise en compte dutravail sur la distinction VU-SU en parti-culier pour le solide A de l’exercice 1 qui pour-rait très bien représenter un cube dans uneautre perspective que la perspective cava-lière. D’ailleurs les règles de perspectiveutilisées pour représenter les solides nesont même pas les mêmes pour tous lessolides de ces exercices. Dans l’exercice 2 ilfaut retrouver à quel solide correspond laphrase « 1. Mes 4 faces sont identiques » surle dessin du tétraèdre les quatre faces ne sontpas identiques, la stagiaire ne peut donc passavoir à quel facteur attribuer une erreurou même une réussite. Il n’y a qu’un solideà 4 faces donc un élève peut tout à fait tra-vailler par déduction sans savoir ce qu’estun tétraèdre et réciproquement un élèvequi saurait décrire un tétraèdre s’il l’avaitréellement devant lui (une maquette) peutse tromper car sur le dessin il voit quatrefaces différentes.

La stagiaire demande également de tra-cer à main levée puis aux instruments lepatron d’un prisme à base triangulaire des-siné en perspective dans l’exercice 4. Nous voyonsici l’influence du cours ou d’ERMEL où nousavons utilisé le dessin à main levée mais iciutilisé sans réel but.

La stagiaire a construit un barème etfait des moyennes mais par exercice sansdéfinir dans le score un seuil pour lequel ellepeut considérer la compétence en jeu dans l’exer-cice (et qui d’ailleurs n’est pas explicitementdéfinie) comme acquise.

Elle conclut de façon générale : « Lesrésultats de cette évaluation sont très conve-nables compte tenu du faible niveau de laclasse. »

III – 3. Ce que nous apprennent ces travaux sur la formation et sur les enseignants débutants :

Le 3D est manifestement un sujet diffi-cile ou ressenti comme difficile par les stagiairesqui hésitent à le proposer pour mettre en évi-dence leurs compétences professionnelles.

Par ailleurs des concepts, objets du coursne sont pas réutilisés dans les travaux. C’estle cas de la distinction entre Vu et le Su parexemple qui manifestement n’est pas utiliséepar la stagiaire proposant le 7ème travailalors qu’elle permettrait de prendre du reculpar rapport à l’évaluation proposée.

Motivation et « élèves actifs » sont asso-ciés encore fortement aux activités sur les3D. Ceci explique aussi sans doute le fait quebeaucoup de travaux concernent le cycle 2alors qu’il n’y a pas d’ouvrage de référence pro-posé par les formateurs contrairement aucycle 3. Notre hypothèse est que de façonsous jacente apparaît l’idée que « à l’écolematernelle et au cycle 2 on peut encore se per-mettre de manipuler. »

La prise de recul par rapport aux situa-tions proposées est difficile et faible dans lestravaux. Il est normal de suivre un outil, neserait-ce que pour se l’approprier mais lesstagiaires ont également des difficultés à sai-sir les enjeux de la démarche. Par exemple lastagiaire qui insiste sur le vocabulaire qu’elleapporte alors que les élèves s’acharnent à nepas vouloir réutiliser ne se rend pas compteque la démarche proposée dans le cours estde choisir un lot de solides qui mette en défautle langage courant des élèves. Il en est demême pour le PE2 qui n’a pas vu que le faitd’avoir mis trois sphères dans le lot est un choixqui permet de mettre à distance les proprié-


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tés qualitatives des objets. Les analyses mon-trent assez peu de progrès dans les conceptionsdes stagiaires, sauf pour celle qui se rendcompte que ce qui fait la complexité du soli-de pour commander des faces n’est pas là oùelle croyait. Les autres sont relativementsatisfaits et évoquent surtout des problèmesde consigne ou de temps.

IV. — Perspectives

La recherche actuelle conduite par l’équi-pe ERMEL porte sur deux objets en relation :les apprentissages géométriques au cycle 2,dans la continuité des problématiques etrésultats de la recherche précédente menéeau cycle 3 et l’analyse des apports de dispo-sitifs s’appuyant sur des outils informatiques(logiciels de géométrie dynamique en particulier)dans les apprentissages géométriques au cycle2 et au cycle 3.

En ce qui concerne la formation desenseignants, les travaux proposés à l’évaluationpar les stagiaires sont en décalage avec notreressenti d’une utilisation assez importantedes situations de communication de solidesen classe. Dans les validations, le domainenumérique est majoritairement traité. Il estdifficile d’émettre des hypothèses basées surun constat aussi limité, ainsi nous présen-tons quelques questions. En particulier, le

manque d’expertise souligné par la situa-tion de formation les amène-t-ils à proposerdes validations sur des domaines plus sécu-risants ? L’appropriation des situations decommunication est-elle malgré tout réellepour les stagiaires ? Cela sous-entendrait quel’enjeu de la validation de l’année et la titu-larisation qui en découle conduisent à des stra-tégies de repli vers des domaines plus sécu-risants mais que, toutefois, les situationsde formation ont un réel impact sur les pra-tiques professionnelles des stagiaires. Enfin,quels dispositifs permettraient une meilleu-re prise de distance avec les dispositifs pro-posés par l’équipe ERMEL ?

D’autre part les expérimentations,modestes, effectuées dans les recherches citéesmontrent qu’une sensibilisation à des tâchestelles que la gestion des mises en commun estnécessaire dès la formation initiale pour quele professeur stagiaire s’interroge sur ce quirelève de sa responsabilité et de celle desélèves dans ces phases de validation, sur lesfonctions de ces débats et sur les conditionspour que ceux-ci soient compatibles avec desexigences disciplinaires. . Une piste de rechercheporte donc sur l’analyse des conditions, rela-tives aux dispositifs de formation, permet-tant une appréhension, sinon la maîtrise, descompétences professionnelles en jeu dans lesphases de validation


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Les situations présentées s’intègre dans un ensemble de situationsconcernant les différents niveaux du cycle 3, dont nous présentonssuccinctement les éléments essentiels dans le tableau de synthè-se ci-dessous tiré de ERMEL (2006). Des éléments plus détailléssont fournis en annexe 2.

Situations Description rapide Objectifs Objets abordés Durée

Deviner lesolide(CE2)

Habiller unsolide(CE2)

Construireun solide(CE2)

Assemblonsles faces (CM1)

Patron desolide(CM1)

Cube tron-qué

ANNEXE 1

Il s’agit pour les élèvesde retrouver, parmi unlot et grâce à des ques-tions fermées, le solidecaché par un grouped’élèves ou par l’ensei-gnant.

Construction d’unvocabulaire de des-cription des proprié-tés spatiales et géo-métriques despolyèdres (face,arête, sommet…).

Pavé, prismes,pyramides sont ren-contrés ainsi queleurs faces.

Deux séances de55 minutes + uneséance de 30minutes pourl’accompagne-ment.

Les élèves doiventdécrire les faces quiconstituent la frontiè-re d’un solide pour quele récepteur puisse leschoisir dans un lot.

Caractériser un poly-èdre par sa frontière,celle-ci étant vuecomme un ensemblede polygones liés pardes relations d’inci-dences.

Carré, rectangle,triangle rectangle,triangle, pentagone.Objets rencontrés :pyramides, solidescomplexes.

Deux séances de55 minutes.

Les élèves doivent com-mander, à partir d’uncatalogue, des facespour construire un soli-de identique à un soli-de donné, caché dansun coin de la salle.

Prendre conscienceque la nature d’un soli-de dépend du nombreet de la nature de sesfaces et qu’il y a desrelations d’incidencesentre ces dernières.

Carré, triangle, tra-pèze isocèle, trapèzerectangle.Objets rencontrés :prismes, solidescomplexes.


A l’aide de gabarits,les élèves doivent faireun dessin permettantde reconstruire unsolide donné.

Prendre conscienceque n’importe quelassemblage de faces nepermet pas deconstruire un solide.Donner un définitiondu patron et se rendrecompte qu’il n’y a pasunicité du patron pourun solide donné.

Objets rencontrés :pyramides, prismes,pavés, cubes.Figures planes ren-contrées : pentago-ne, rectangle, tri-angles…


Il s’agit dans un premiertemps de trouver lenombre maximum depatrons du cube différents,puis d’associer assem-blages de polygones et des-criptions de polyèdres.

Etre capable d’iden-tifier si un assem-blage donné defigures planes estou non un patrond’un polyèdre.

Objet étudié : cubeet patron du cube.Objets rencontrés :polyèdres com-plexes. Figure planerencontrée : carré.


Il s’agit de construireun assemblage defaces pour faire unpatron d’un cube tron-qué.

Etre capable defabriquer un patronet de déterminer siun assemblage estun patron.

Objet étudié cube parl’intermédiaire ducube tronqué. Figuresplanes rencontrées :carré, triangle.

Une séance de 55minutes.


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Boucher letrou 1

Patron depavé

Boucher letrou 2

Représenterun solide

• Devinez le solide (CE2) : Chaque groupe d’élèves à un lot de solides à disposition. Il s’agitde trouver un solide dans ce lot à partir de questions fermées (réponse Oui/Non) poséespar ces groupes (alternativement, une question par groupe) soit à un autre groupe (dis-posant du solide), soit à l’enseignant (qui a caché, lui-même, le solide à trouver). Un exem-plaire du solide à déterminer est dans chaque lot. C’est une situation de communication(E/R).

Objectifs : Amener les élèves à décrire les solides par leurs propriétés géométriques (nombresde faces, arêtes, sommets et nature des faces) et non plus par leurs propriétés qualita-tives (couleurs, matières, forme générale, etc.).Dans le lot, l’on a placé deux solides ayant le même nombre de faces, arêtes et sommets,ils ne défèrent que par la forme des faces . Ceci oblige les élèves, lors d’une reprise de lasituation, à centrer les questions sur la forme des faces.Des activités d’accompagnement sont prévues : des fiches ont été rédigées à cet effet.Le choix des valeurs des variables didactiques est essentiel :— Le choix du solide à trouver et des solides composants le lot : il s’agit de mettre en

ANNEXE 2

Il s’agit de construireun patron en utilisantdes gabarits de faces.Le solide est « absent ».

Réinvestissementde la notion depatron.

Objet rencontré :pyramide.


Il s’agit de construi-re avec des instru-ments des patrons depavé de façon àreproduire à l’iden-tique un pavé droit.

Réinvestissement descompétences et desconnaissances autourde la notion depatron. Tracé avecdes instruments.

Objet étudié : pavédroit.Figures planes étu-diées : carré, rec-tangle.


Même situation queBoucher le trou 1 maisavec un solide pluscomplexe.

Réinvestissementde la notion depatron.

Objet rencontré :octaèdre.Figures planes ren-contrées : triangles.


Il s’agit de communi-quer par un dessin unsolide de façon à ce quele récepteur le fabriqueavec un matérieldonné (du type pailles)

Gestion du conflitVU / SU.

Objet rencontré :polyèdre complexe.


Détail des situations sur les solides


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défaut les descriptions qualitatives des élèves. Il est proposé des solides qui se res-semblent perceptivement afin d’amener les élèves à utiliser des propriétés géométriquespour les caractériser. Egalement, le choix judicieux permet d’éviter que les élèves dési-gnent les solides par leur nom. La présence des deux solides qui sont décrits ci-des-sus est également importante.

— La nature de la communication : les questions sont fermées ou non. Ce choix influesur la précision du vocabulaire…

•Habiller le solide (CE2) : C’est trouver les bonnes faces d’un solide ; c’est également unesituation de communication (orale, puis écrite).L’élève décrit à un autre les faces qui constituent la frontière d’un solide, celui-ci doit alors,à partir de cette description seule, les choisir dans un lot de faces diversifiées. La vali-dation se fait par collage sur le solide d’origine. La description se fait d’abord par oral,puis par écrit (ou par un dessin).

Objectifs : Amener les élèves à caractériser un polyèdre (objet 3D) par sa frontière (naïve-ment : l’ensemble de ses faces en tant qu’objets 2D).La nature de la communication est une variable importante ainsi que, dans le cas d’unecommunication écrite, la taille du support pour le message : sur une grande feuille, la dupli-cation est possible, sur une petite, il est obligé d’utiliser des schémas ou du texte.

•Construire un solide (CE2) : Les élèves doivent commander les bonnes faces, celles-ci sontrépertoriées dans un catalogue. L’enjeu est de construire un solide identique à un solidedonné qui est caché dans la classe. C’est encore une situation de communication (des « bul-letin de commande » sont rédigés à cet effet).

Objectif : Amener les élèves à comprendre que la nature d’un solide est dépendante dunombre et de la nature de ses faces. Mais ils devront également comprendre qu’il y a des relations, notamment des contraintesde longueurs de côtés, entre les faces qui se touchent (c’est ce que l’on appelle, des rela-tions d’incidence en tant que relations géométriques entre faces).Le choix du solide et le contenu du catalogue sont les variables de la situation, ainsi quela façon dont les élèves peuvent prendre l’information.•Représenter le solide 1 (CE2) :Dessiner un solide pour le reconnaître dans un lot 10. Un solide est distribué, caché dans une boîte, à chaque groupe d’élèves. Ceux-ci doiventfaire un dessin de ce solide. Ensuite on échange les dessins entre deux groupes, l’ensei-gnant distribue un lot de solides contenant évidemment un duplicata des solides dessi-nés. Chaque groupe doit reconnaître le solide à partir du dessin qu’il vient de recevoir etexclusivement celui-ci.

10 Cette situation s’inspire d’une recherche menée par F.Colmez et B. Parzysz, dont le compte-rendu est dans lelivre « espace graphique et graphisme d’espace » (1993), Edsla Pensée Sauvage, page 35.


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Objectif : Amener les élèves à réaliser une représentation graphique d’un solide. Cette situation constitue un premier pas concernant le passage du 3D au 2D et au des-sin. Ce passage est complexe et long (du CE2 à la 4ème, voir ci-dessus pour les commen-taires).

•Assemblons les faces (CM1) : Construire un solide à partir d’une représentation plane.Aborder la notion de patron.Dans un premier temps les élèves doivent faire un dessin permettant, après découpage,pliage, collage, de confectionner un solide qui est à leur disposition. Ensuite, de même,mais alors le solide est caché dans la classe et ils doivent aller chercher les bonnes infor-mations au moyen d’une petite feuille (afin d’empêcher les empreintes) permettant de réa-liser le dessin. Dans les deux cas, les élèves disposent de gabarits, ceci afin de limiter lacomplexité du travail de tracé.

Objectifs : Il s’agit d’amener les élèves à prendre conscience que n’importe quel assemblagede figures planes ne permet pas toujours de construire un solide.Dans cette situation on met en évidence le fait que pour un polyèdre le nombre et la natu-re des polygones constituant le patron sont identiques au nombre et à la nature des facesdu solide considéré. Un assemblage d’un seul tenant qui permet de construire le solide senomme un « patron », il existe plusieurs patrons possibles pour un même solide.Variables didactiques : le choix du solide, la présence des gabarits ou non, la taille de lafeuille …

•Patrons de solides (CM1) : Chercher le maximum de patrons du cube.Il s’agit ici de chercher le maximum de patron d’un cube. Il est prévu soit un quadrillagesoit des gabarits (selon les étapes de la situation). En effet, de nouveau l’enjeu n’est pasd’obtenir un dessin précis, mais de réfléchir aux relations géométriques entre les carréspour résoudre un problème d’optimisation (tous les patrons… sans en oublier).

Objectif : Rendre les élèves capables d’anticiper si un assemblage de figures planes est unpatron (dans ce travail le cube est un solide privilégié).Il s’agit de poursuivre la réflexion sur la reconnaissance d’un solide à partir du nombrede faces, sommets et arêtes. Mais, en plus, la reconnaissance doit se faire ici à partir d’unpatron.

•Cube tronqué (CM1) : A partir d’un solide non-usuel, communiquer la procédure deconstruction à partir d’un schéma.C’est un cube tronqué qui est l’enjeu de l’activité,comme celui représenté ci-contre. Les élèves doi-vent, dans un premier temps, construire des sché-mas correspondant au patron d’un solide visible (maisde loin afin que les élèves ne puissent pas l’utili-ser pour fabriquer leur patron et qu’ils soient obli-gé d’en faire une analyse), ceux-ci feront l’objet d’une


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mise en commun. La construction effective, au moyen de gabarits adéquats, se feraensuite.

Objectif : Amener les élèves à anticiper pour reconnaître si un assemblage constitue ou nonun patron. Ils doivent, en plus, savoir reconnaître si deux patrons différents correspon-dent ou non au même solide.

•Boucher le trou 1 (CM1) : Trouver le solide qui bouche un trou. Faire le schéma du patron(pyramide).Un dispositif est construit à partir de quatrecubes tronqués, comme le dessin ci-contre l’indique.Une pyramide composée d’un carré et de quatretriangles équilatéraux, devra être construit afinde boucher exactement le « trou »

Objectif : Se construire des images mentales d’unsolide virtuel (le « trou »). Dans cette situation, Il s’agit déconstruire lepatron d’une pyramide à base carré (les faces cor-respondent à des gabarits, afin de limiter lacomplexité du tracé).

•Patron de pavé (CM2) : Reproduire un pavé directement à l’identique et non accessible.Le pavé est posé sur une table, il faut se déplacer pour prendre suffisamment d’informa-tions et le construire en dessinant le patron.

Objectifs : Construire, à l’aide des instruments, différents patrons d’un pavé. Donc, il s’agitde mobiliser des compétences acquises dans les constructions de solides à l’aide des ins-truments, dans le domaine des mesures et dans la réalisation de patrons, ainsi que de serendre compte que plusieurs patrons sont possible pour un même solide.

•Boucher le trou 2 (CM2) : C’est l’exemple « Grand Tétra » décrit ci-dessus.•Représenter un solide 2 (CM2) : C’est une situation de communication. Il s’agit de faire

le schéma d’un solide afin qu’un autre puisse le construire avec un matériel donné (cettesituation est sensée poursuivre la gestion le conflit décrit par le schéma du paragrapheII-2 ci-dessus).Les élèves sont par groupes de quatre, dans chaque groupe les deux groupes de deux vonts’échanger leur dessin (ils sont donc à la fois émetteur et récepteur), ils sont tout deuxmunis du matériel composé de pailles et de sommets 11. Chaque groupe de deux doit doncconstruire un dessin qui soit tel que le groupe récepteur puisse construire le solide de même

11 Matériel « solides à construire », édité chez F. Nathan. La boîteest composée de trois sortes de pailles (trois longueurs différentes)et de « sommets » en plastique permettant d’assembler soit 3pailles, soit quatre, soit cinq. C’est donc le « squelette » du solidequi est construit au moyen de ce matériel.


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forme avec le matériel à disposition. Le groupe émetteur sait quel matériel est à disposi-tion de l’autre groupe, on a donc les objectifs suivants :

Objectifs : Amener les élèves à comprendre que, lors l’élaboration de la représentation planed’un solide, il est nécessaire, d’une part, de perdre de l’information, mais également,d’autre part, d’en conserver.En fait, il s’agit d’être capable de trouver un compromis entre la représentation sans adap-tation des propriétés géométriques du solide qu’ils connaissent (le SU), avec l’image men-tale globale qu’ils ont de l’objet (le VU).Le choix du matériel est donc une variable didactique importante de cette situation 12.

12 Si le matériel à disposition est le matériel « polydron » (par exemple),il est clair que les dessins s’orienteraient prioritairement vers desdessins de patrons.


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ANNEXE 3 Tableau de synthèse : les variables didactiquesdes situations de communication

Objet Emetteur Vecteur Rétro- Temps Récepteur Validation

Nbre Modalité Prise action Nbre action pard’infor-mations

3D •seul •choix •vue - Parler •oui •limité •seul •dessine •émetteur•sociaux +toucher •non •non •plusieurs •modèle •enseignant•complexes •à 2 •ou non •vue - Mimer •construit •compa-•maquettes •toucher •(légo, raison•déformables - Questions clixi, •prisedessin fermées plot…) d’infor-•perspectives •program- mations•vues - Chaîne me de Descrip- construction

tion - Dessin •choisir•Écrite dans •orale - Mots un lot

limités

- Ecrire

- Limiterquestions(nb, points)

- Modelage

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