La transformation de Weyl et la fonction de Wigner : une forme alternative de la mecanique

LMSg$S y b r e n d e C a r o o t

La transformation de Wey 1 et la fonction de Wigner:une forme alternative de la mécanique quantique

L E S P R E S S E S D E L ’ U N I V E R S I T É D E M O N T R É A L

La transformation de Weyl et la fonction de Wigner : une forme alternative de la mécanique quantique

COLLECTION DE LA CHAIRE AISENSTADT

Fondateur : Lucien Le Cam, Université de Berkeley

Directeur : Anatole Joffe, directeur du Centre de recherches mathématiques de TUniversité de Montréal.

Robert Hermann, Physical Aspects of Lie Group Theory, 1974.Mark Kac, Quelques problèmes mathématiques en physique statistique, 1974.

Cette collection est consacrée à la publication des conférences données, depuis 1970, au Centre de recherches mathématiques de TUniversité de Montréal, dans le cadre de la Chaire Aisenstadt. C’est grâce à la générosité de Monsieur André Aisenstadt, docteur en physique théorique de TUniversité de Zurich, que le Centre de recherches mathématiques peut inviter des chercheurs prestigieux et publier, aux Presses de TUniversité de Montréal, le texte de leur conférence.

La transformation de Weyl et la fonction de Wigner : une forme alternative de la mécanique quantique

Sybren de Groot

1974Les Presses de TUniversité de Montréal C.P. 6128, Montréal 101, Canada

ISBN 0 8405 0279 6Dépôt légal, 1er trimestre 1975 — Bibliothèque nationale du Québec

Tous droits de reproduction, d ’adaptation ou de traduction réservés °Les Presses de l’Université de Montréal, 1975

AVANT-PROPOS

Le matériel de ce cours a été emprunté entièrement à deux publications du docteur L.G. Suttorp, de l’Université d'Amsterdam, et moi-même: un livre sur les bases de l'électrodynamique et un article dans "Il Nuovo Cimento" (voir les numéros 1 et 14 de la bibliographie).

Je remercie bien vivement Monsieur W.P.H. de Boer pour la correction du texte.

PREFACE

Je tiens à remercier tout d'abord le Dr. André Aisenstadt, grâce à qui j'ai pu séjourner à Montréal comme titulaire de la Chaire prestigieuse qui porte son nom et dont il est le généreux instigateur. Il m'a impressionné par sa profonde compréhension de l'évolution des civilisations et en particulier par sa conception du fait québécois.

Je suis extrêmement reconnaissant aux membres du Centre de recherches mathématiques pour la façon dont ils m'ont reçu. J'ai pu apprécier la finesse, le style et l'intelligence du Directeur, Monsieur le Professeur Lucien Le Cam, les conseils scientifiques et pratiques de mon ami Karel M. van Vliet, professeur de physique, membre permanent du Centre, et le travail impeccable, pour donner à mon manuscrit une forme artistique, de Madame Micheline Marano.

Au Département de physique j'ai retrouvé mon vieil ami Guy Paquette, qui connait si bien la civilisation du Québec et du monde. Son scepticisme n'a jamais changé sa fidélité aux hommes et aux valeurs. Je suis reconnaissant à Monsieur Jacques de Carufel pour la précision et la compréhension avec laquelle il a bien voulu mettre au point mon texte.

10 La transformation de Weyl et la fonction de Wigner

La ville de Montréal et la province de Québec m'ont toujours fasciné par leur ambiance, et même de plus en plus par l'évolution de leur esprit et de leur réussite sur le plan artistique et scientifique. Je ne voudrais pas ne pas mentionner mes nouveaux amis, Madame Dorothée Mineau, Monsieur le Professeur Emerson Douyon et leurs conjoints, travaillant dans des domaines très importants de la science qui ne sont pas le mien.Ils ont aussi contribué énormément au plaisir avec lequel je pense à Montréal.

SybKon R. de Gfioot

CHAPITRE I

INTRODUCTION

1. Principe

Les mécaniques quantique et classique se présentent de façon très différente dans leurs structures formelles.

Mécanique classique: description d'un système avec un nombre fini de degrés de liberté: p ,q , impulsions et coordonnées de l'espace pour N particules ponctuelles. (Dans le cas où les particules ont une structure, comme les molécules oules noyaux, il faut ajouter les degrés de liberté internes.)

->N ->NLe système est représenté par un point (p ,q ) dans l'espace dephase à 6N dimensions. On s'intéresse au calcul d'une quantité

, . ,+N ->N. . . .->N ->N.mesurable a (p ,q ) en un point (p ,q ).

Mécanique statistigue classique: description d'unensemble de systèmes de N particules à l'aide d'une fonction dedensité de probabilité (positive) p , (p ,qN ,t) dans l'espace

->-N -»-N C1,de phase. La moyenne de a (p ,q ) est alors:

,->N ->Naci.(p .q )qClr->N ->N , N,->N(p ,q ,t)dp dq .

Mécanigue guantique: on représente le système par un

vecteur d'état > dans l'espace de Hilbert. A toute quantité observable correspond un opérateur A; la valeur moyenne ("valeur d'attente") de cet opérateur est donnée par:

Â = < ÿ(t) |A|iKt) > = Tr AP,

où P = l<Kt) > < <|>(t) I est l'opérateur densité.

Mécanique statistigueguantigue: description d'un ensemble à l'aide de l'opérateur de densité statistique

p = I wY k y (t) > < 4>y (t) I,

v/y étant le poids statistique associé au membre ble

H -y.lt de l'ensem-

c Z w = i ) .Y

La valeur moyenne de l'opérateur A est

Â = Tr AP = l w < i¡> (t) ! A | ip (t) > .Y Y

Principe de la forme alternative de la mécanique quantique: si à chaque opérateur A correspondait une fonction de phase a(p^,q^), il deviendrait possible de décrire un système quantique à l'aide de l'espace de phase. Cette correspondance nous est fournie par la transformation de Weyl:

observable: A $ a(p^,q^),

opérateur A t- transformée de Weyl;

état: D + . 3 , N N .P t h p (p >q . t ) ,

opérateur statistique

h (fonction de Wigner).

Introduction 13

La valeur moyenne (quantique!) de l'opérateur A estalors :

- _ T r . N N... N N ... N, N a = A = J a(p ,q )p(p ,q ,t)dp dq .

Notons que d'autre possibilités, moins simples, existent.La forme alternative a certains désavantages, mais

aussi des avantages:- certains calculs sont plus simples avec les trans

formées de Weyl qu'avec les opérateurs;- certains calculs classiques peuvent être transférés

facilement à la théorie quantique;- la limite classique est mieux établie grâce à la

possibilité de faire des développements en séries en h; il n'est plus question du principe de correspondance: la théorie quantique est la théorie générale et la théorie classique en est un cas limite;

- certaines théories sont rendues plus claires, par exemple les intégrales de parcours de Feynman.

Nous nous intéresserons d'abord aux particules sans spin (théorie de SchrSdinger) mais la généralisation aux spi- neurs (théorie de Dirac) se fait sans difficultés: il suffit d'ajouter des indices spinoriels. Nous allons présenter le formalisme de la théorie avec quelques exemples et problèmes; on trouvera des applications dans la littérature: physique des particules, physique statistique.

2. Notations

Nous représenterons les opérateurs par des lettres majuscules et les nombres par des minuscules. Faisons maintenant un court rappel sur les notations de Dirac.

Il y a une relation anti-linéaire entre le vecteur d'état |v > et sa conjuguée <v|:

Introduction 15

(AB)+ = B+A+ . (2.7). t

EXEMPLES. 1) A = e lB, A+ = elB .2) A = |a > <b|, A+ = |b > <a|.

Un opérateur A est dit hermitique s'il satisfait la+

relation A = A .Un ensemble de vecteurs |i > est orthonormé si

<i|i' > = (cas discret),

<u|u' > = ô(u-u') (cas continu).

L'ensemble de vecteurs |i > est un ensemble complet si, pour tout vecteur |v > , on peut écrire

Iv > = l | i ) c±. i

Donc:

|v> = Z<i'i

c. = Ii hi5 . . ,il1

d foù 1fon a:

c.i

|v > = \ I i > , i

ou

l li > < il = 1. (2.8)i

L'équation (2.8) est la relation de fermeture satisfaite par tout ensemble complet de vecteurs. Pour le cas continu (ou partiellement discret et partiellement continu), cette relation s'écrit :

/ du|u > <u| = 1. (2.9)

L'opérateur |i > <i| est appelé opérateur de projection. Ainsi |i > < i|v > est la projection de |v > sur |i > , comme on peut le voir en utilisant la relation de fermeture (2.8):

|V > = £ |i> <i|v>. i

Le vecteur |a ) est un vecteur propre de l'opérateur A si l'on peut écrire:

A|a > = a|a > ,

où "a" est un nombre appelé valeur propre de A.

EXEMPLES.

P lp > = plp > >

Q|q > = q|q > ,

avec relations de fermeture:

( 2 . 10)

/ dp |p > <p| = 1, / dqlq > <q| = 1, (2.11)

orthonormalisation :

< Plp' > = ô(p-p'), < qIq' > = ô(q-q'), (2.12)

et règles de commutation:

[P,P] = 0, [Q,Q] = 0, [P > Q] = | u , (2.13)

où IL j . Dans la représentation des coordonnées le vecteur propre de l'impulsion a la fonction d'onde

< qlp > = h“3/2e Ci/h)p'q . (2.14)

La trace d'un opérateur A est définie par

Tr A = l < i|A|i > . (2.15)i

EXEMPLES. 1) A = |a > < b| donne

Tr A = £ = <b|a> i

en utilisant la relation de fermeture sur les |i > .2) On a À = Tr AP avec P = |ÿ(t) > <ÿ(t) I parce que

introduction 1T

k = Tr AP = l = l <i|A|* > <ÿ|i > « < ÿ|A|ÿ >i i

par la relation de fermeture.3) Si A = |a > < a-2 1 » alors

Tr AB = £ < i|a^ > < |B|i > = < a2 IB|a^ > .

Si B = |b > <b2 I, on a:

Tr AB = < a2 lbJ > <b2 laJ > .

CHAPITRE II

LA TRANSFORMATION DE WEYL

3. Définition de la transformation de Weyl, 1927 (Hermann Weyl,

1885-1955)

fonction a(p,q) de la façon suivante (nous nous restreindrons au cas d'une seule particule; la généralisation à N particules est directe). Utilisant les relations de fermeture sur les vecteurs p', p", q' et q", nous pouvons écrire:

A = / dp'dp"dq'dq" |q" > <q"|p"> <p"|A|p' > <p'|q' ) <q'|.

Avec la transformation suivante:

On peut faire correspondre à chaque opérateur A une

P' “ p - I u q' = q - I v

p" = p + 2 u q" = q + \ v

dont le jacobian est

30

131 - l l + l

0

1

20 La transformation de Weyl et Ig fonction de Wigner

(puissance 3 car c'est une transformation de vecteurs), A se met sous la forme:

A = / dpdqdudvIq+gv > <q+iv|p+£u > <p+5u|A|p-£u >

<p-lu|q-£v > < q-sv |.

Utilisant (2.14), on obtient:

1 , t (q*u+p-v)A = -j J dpdqdudv <p+^u|A|p-lu >e Iq+iv > <q-|v|,

d'où le résultat fondamental:

a(p,q) est une fonction scalaire (nombre) qui dépend de l'opérateur A. Nous l'appelons la transformée de Weyl de l'opérateur A par rapport à p et q; on écrit A t- a(p,q). A(p,q) est, un opérateur indépendant de A. Cet opérateur universel va jouer un rôle important. Le lien avec les formules de Weyl de 1927 sera établi un peu plus tard, ainsi que l'explication de l'utilité de ces formes.

Hermiticité de A(p,cj). L'opérateur A(p,q) est hermitique. En effet:

A+(p,q)00

= / dv e-CO

r p*vIq - 2 V > < q+lv |

= A(p,q) en changeant v en -v.

La transformation de Weyl 21

Réalité de a(p,q) et hermiticité de A. La fonction a(p,q) est réelle si A est hermitique. En effet:

ioo - r— q»ua*(p»q) = / du e <p+!u|A|p-Iu > *

-OO

e® - jr- q*u .= / du e < p-5u| AT |p+2U > .

-OO

*f*Si A = A, on obtient a*(p,q) = a(p,q) en changeant dans l'intégrale u en -u. L'inverse est également vrai: l'opérateur Aest hermitique si a(p,q) est réel, comme le montre l'équation

+(3.1) avec A = A.

A est symétrique en p et q; comme on le verra plus loin, il existe des formules comme (3.2) et (3.3) dans lesquelles les rôles de p et q sont interchangés.

4. Propriétés de la transformation de Weyl

Pour obtenir une expression symétrique de l'opérateur A(p,q), notons d'abord que

- sr- v-P|q+iv > = e k " 2V > . (4.1)

Preuve: on multiplie chaque côté de l'équation par <p| et on se sert du côté droit de la définition de valeur propre:< p|P = < p|p, ce qui donne :

- r* V-p<p|q+lv > = e <p|q-|v > .

Utilisant la relation

i -3/2 " h = h 3/ e ,

on obtient l'identité suivante:

.-3/2 h ' e- jf P* Cq+lv) - i v p _3/2 - i p- (q-iv)

= e h " 3 ' 2«

Avec (4.1) l ’expression (3.3) pour A(p,q) devient:

, r(p-P)*v),q) = / dv e |q-lv > < q-|v|.A(Pj

Mais on a aussi:

|q > < q| = / dq'ô(q-q')|q' > <q'| = Ô(q-Q) / dq'lq' > <q'|

= 6(q-Q) = \ f du eif(q-Q) *u

i h'

de sorte que:

l e " 1 A(p,q) = ~r J dudv e¿-(p-P)*v Îf(q-2V-Q)*u

(4.2)

Théorème pour_exponentielles d'opérateurs. Deux opérateurs qui commutent avec leur commutateur:

[A, [A,B] ] = 0, [B, [A,B]] = 0,

satisfont l'identité suivante:

A+B _ A B -¿[A, B]= e e e (4.3)

P et Q sont des opérateurs qui commutent avec leur commutateur [P,Q] = t- U. Notant que l'on a ici

5 [A,B] = 2 (if)^[P>Q]u»v = -jj- u*v,

(4.3) dans (4.2) donne:

1 . ¿■{(p-P)«v+(q-Q)-u}--|r u - v ^ r u.vA(p,q) “ J dudv e e ,

li

A(p,q) = -tf / dudv ei (P~P) *v+ (q-Q) *u}

(4.4)

ce qui est une forme symétrique en impulsions et coordonnées.Avec le théorème (4.3), on peut transformer (4.4) de

telle façon qu'on trouve une formule analogue à (3.3) mais dans laquelle les rôles de p et q sont interchangés:

1 , r(q-Q)*u r-(p-P+2u)*vA(p,q) = —=• / dudv e e11

, ¿-(q-Q) *u= J du e ô(p+üu-P).

Utilisant

Ô(p-P) = |p > <p|,

on obtient:

|-(q-Q) *uA(p,q) = J du e |p+iu > <p+|u|.

Avec

ir U *Q|p+^u > = e |p-|u > ,

on a finalement

A(p>q) = / dur q*ue Ip-lu > < p+^u|. (4.5)

On peut aussi obtenir d'autres formes pour a(p,q). Si |p* > et |p" > représentent des ensembles complets de vecteurs (3.2) peut s'écrire:

a(P,q) = / du <p+iu|A|p-2U >

24 La transformation de Weyl et ta fonction de Wigner

1ïf 1*u= / dudp'dp" e <p'|A|p" ><p"|p-Iu ><p+sulp' >.

Avec (4.5) ceci devient:

a(p,q) = / dp'dp" <p' |A|p" ><p"|A(p,q) |p' >

a(p,q) = Tr AA(p,q). (4.6)

L’introduction de (3.3) dans (4.6) donne:

ih p ’va(p,q) = Tr A / dv e |q+£v ><q-iv|

ir P*v= / dv e <q-Iv|A|q+!v > . (4.7)

Le tableau suivant donne un résumé des résultats obtenus jusqu'ici.

opérateur: A = 4r- / dpdq a(p,q)A(p,q) .

opérateur A(p,g):

r p ‘vA(p,q) = J dv e |q+Iv ><q-2v|

= — j dudv e

r q*u= / du e |p-gu > <

transformée de Weyl_a(p,g):

i- { (p-P) *v+ (q-Q) *u)

p+Éul

(3.1)

(3.3,4.4,4.5)

K q#ua(p,q) = / du e <p+lu|A|p-lu > = Tr AA(p,q)

= / dv E P‘v < q-IvlAlq+Iv > (3.2,4.6,4.7)


Les formules (3.1), (4.4) et (4.6) présentent une symétrie en p et q tandis que les couples (3.3,4.5) et (3.2,4.7) montrent une dualité en p et q.

Si l'opérateur A est donné, on trouve sa transformée de Weyl a(p,q) à partir de (3.2), (4.7), ou (4.6) combinée avec(4.4):

i jf {(q-Q)*u+(p-P)*v}a (P»cl) = —j Tr A / dudv e

h-5

Si la transformée de Weyl est connue, on trouve l'opérateur A à partir de (3.1) combinée avec (3.3), (4.4) ou (4.5). En particulier, les équations (3.1) et (4.4) donnent:

, g- i(q-Q)*u+(p-P)*v}a(p,q) t A = —r J dpdqdudva(p,q)e

h°

On reconnaît ici la transformée de Fourier de a(p,q) (les conditions de son existence sont plus larges pour des distributions que pour des fonctions, e.g. intégrabilité quadratique non nécessaire) :

1 jf(q*u+P*v)a(u,v) = -r J a(p,q)e dpdq,

h°

dont l'inverse est:

Ceci est très près de l'énoncé de la "correspondance de Weyl" de 1927 (P est un opérateur non restreint, valeurs propres

26 La transformation de Wey I et la fonction de Wigner

iPentre 0 et «; e est un opérateur restreint, non hermitique, donc à valeurs propres complexes).

REMARQUE (sur des questions à approfondir plus tard).

1. L'existence de la correspondance de Weyl est donc prouvée (au lieu d'être postulée); en particulier pour chaque opérateur A il y a une fonction a(p,q) et inversement. (Les relations entre A et a sont linéaires et 0 correspond à 0.)

2. Impossibilité de passer de la mécanique classique à la mécanique quantique. Weyl considérait sa correspondance comme un moyen de passer de la mécanique classique à la mécanique quantique. Cela n'est pourtant pas possible: on trouve parfois des résultats incorrects; en d'autres mots a(p,q) n'est pas la quantité classique. La théorie présentée est une reformulation de la théorie quantique: pour chaque A il existe un a(p,q) et inversement. Groenewold a prouvé que si l'on accepte les règles de von Neumann: 1. linéarité de la correspondance entre grandeurs classiques et opérateurs et 2. les fonctions de grandeurs classiques correspondent aux mêmes fonctions des opérateurs associés (la dernière condition n'est pas remplie ici comme on le verra plus loin), la soi-disant "théorie quantique" résultante devient isomorphe (i.e. possède les mêmes propriétés algébriques) avec la théorie classique, et donc lui est pratiquement équivalente. Les règles de von Neumann sont donc insatisfaisantes. Nous verrons qu'avec la nouvelle formulationon peut indiquer les cas limites classiques de la théorie quantique quand ils existent.

3. La limite classique. On peut utiliser les transformées de Weyl pour obtenir la fonction classique qui correspond à l'opérateur A. Cette fonction n'est pas simplement la transformée de Weyl elle-même car cette dernière dépend en général de la constante de Planck h, mais on l'obtient si on


prend la limite pour h -> 0:

A (cl.) : a , (p,q) = lim a(p,q).C1' h-*0

Nous reviendrons sur ce point.4. Invariance sous une transformation_canonigue li

néaire. On peut se demander si l’opération de prendre la transformée de Weyl est invariante sous un changement de coordonnées et impulsions canoniques, c ’est-à-dire si l’on obtient toujours le résultat (4.9) pour la transformée de Weyl d'un opérateur lorsqu'on effectue d'abord une transformation des opérateurs des coordonnées et impulsions dans A, suivie de la transformée de Weyl par rapport à ces nouvelles coordonnées et impulsions et lorsque finalement l'on transforme cette transformée de Weyl dans l'autre sens vers les anciennes coordonnées et impulsions. Pour une transformation linéaire cette invariance est garantie par le caractère linéaire des exponentielles dans (4.8) et (4.9).

EXEMPLES de correspondances de Weyl.1. Les transformées de Weyl sont particulièrement

simples si l'opérateur est une fonction de P ou de Q seulement. Alors la transformée de Weyl est la même fonction de p ou de q respectivement :

a(p) Z A = a (P) , a(q) Z A = a(Q).

On a donc aussi:

pi P. q i Q.2. Un autre exemple utile est:

|{P,F(Q)} Z pf(q),

où les accolades indiquent l'anticommutateur

{A ,B } = AB + BA

et où F est une fonction arbitraire. On le prouve à partir de(3.2) par introduction d'un système complet q' à l'aide de la relation de fermeture /dq'lq' ><q'| = 1 et en appliquant <q|p > = h ^ 2exp(i/h)p*q.

3. L'exemple précédent est un cas particulier de la correspondance de Weyl suivante. On rencontre très souvent des opérateurs dont les transformées de Weyl ont la forme d'un produit d'une fonction arbitraire f de q (ou de p) multipliée par une puissance pn (ou q11) de p (ou de q) avec n entier. On a alors la correspondance de Weyl suivante:

a(p,q) * f (q)P t A =i n“ I2n k=0

PkF(Q)Pn_k. (4.10)

Ici a(p,q) est beaucoup plus simple que A. Il y aura donc souvent avantage à calculer avec la transformée de Weyl a(p,q).

Considérons quelques cas particuliers de (4.10):

a(p,q) = p t A = P,

a(p,q) = q Z A = Q,

a(p,q) = pq t A = 1(PQ+QP) ,

a(p,q) = P2q t A = U Q P 2+2PQP+P2Q),

a(p,q) = p2q2 t A = J(Q2P2+2PQ2P+P2Q2).

Il est clair, déjà ici, que \(PQ+QP)l(PQ+QP) * !(Q2P2+2PQ2P2 2+P Q ). En effet, en mettant les Q devant les P à l'aide de la

règle de commutation PQ = QP + b/i, on trouve pour le membre de gauche:

Q2P2 + 2QP | - lh2,


et pour celui de droite:

Q2P2 + 2QP j - lh2.

2 2Donc, en général, quand a £ A, on n'a pas a J A ; la règle de multiplication est en effet différente (voir plus loin).

REMARQUE. Grâce à la relation [P,Q] = h/i, on peut exprimer l'opérateur A correspondant à a(p,q) = p q comme:

A = PQP = QP2 - PQP + P2Q = 1(P2Q+QP2) .

Forme_alternative_de_(4^10) avec n anticommutateurs

{A,B} = AB + BA :

a (p>q) = g(q)pn i a = { . . . , { g ( Q ) , p } , . . . , p } . ( 4 . i i )2n

Par exemple:

a(p,q) = g(q)p t A = Hg(Q)P+Pg(Q) },

a(p,q) = g(q)p2 Î A = Hig(Q) >P},P)

= Hg(Q)P+Pg (Q) ,P)

= 3(g(Q)P2+2P g(Q)P+P2g (Q)} ,

et ainsi de suite: on forme les coefficients du binôme de Newton, c'est-à-dire que (4.11) donne (4.10).

5. Propriétés de l'opérateur A(p,q)

a. La transformée de Weyl de A(p,q).

A chaque opérateur A correspond une fonction de phase a (p>q) et inversement. La transformée de Weyl de l'opérateur

3A = A(p,q) est a(p,q) = h S(p-p')S(q-q') = a(p',q') comme on le

30 La transformation de Weyl et la f'onction de Wiçfner

voit si la dernière expression est introduite dans (3.1) écrite avec p' et q':

A = ~ / dp'dq'a(p',q ')A(p',q '), h-5

ou écrite sans les accents. On a donc:

a(p',q';p,q) = a(p',q') ’ t A(p»q)

hJ<$(p-p')ô(q-q') . (5.1)

a(p,q;p’,q') = a(p,q) l t A(p',q')

D'où la notation majuscule A pour l'opérateur dont la transformée de Weyl est la fonction delta.

b. Eléments de matrice de A(p,q).

(Les éléments de matrice d'un opérateur A quelconque sont trouvés à partir de ceux de A(p,q) et de la transformée de Weyl a(p,q)). On a de (3.3) et (4.5) respectivement

<q'IA(p,q)|q" > = 6

<.p' |A(p,q) |p" > = 6

"q q '+ q " ] ^ P * ^ " ^ " )

. p'+p"} '

Preuves: Pour établir (5.2a), on utilise (3.3):

î t p *v<q'|A(p,q)|q" > = / dv e <q'|q+|v ><q-lv|q" )

ÏT P*v= / dv e <S(q-q' + 2v)ô(q-q"-|v)

= / dv F P‘v

(5.2a)

(5.2b)

6(q-q'+q-q")<5(q-q"-iv)

( a ^ P ‘ V ,= J dv e <5 a . q,+q" q 2

= / dv h P*v J q '+ q "

ô(2q-2q"-v)

ô(q'-q"-v)

= 6 q '+ q " i p-Cq'-q")Q.E.D.

La preuve de (5.2b) se fait de façon analogue en utilisant (4.5).

Les éléments de matrice diagonaux sont donc:

< q'|A(p,q)|q' > = Ô(q-q'),

<p' |A(p,q) |p' > = ô(p-p') .

(5.3)

(5.4)

L'opérateur unité 1 (multiplication par 1) a comme tranformée de Weyl:

a = Tr 1 A(p,q) = Tr A(p,q) = / dq' <q'|A(p,q)|q' >

= / dq'ô(q-q') = 1,

où on a utilisé successivement les équations (4.6) et (5.3). Donc : 1 J l .

c. Relations de fermeture.

/ dp A(p,q) = h31q > < q|,

/ dq A(p,q) = h3 |p > <p| .

Preuves: utilisant (3.3), on a:

/ dp A(p,q) = / dpdv e* |q+2V > <q-ivi r P * v .

(5.5)

(5.6)

32 La transformation de Weyl et la fonction de ligner

= h3 / dv <5(v)|q+lv > <q-lv|

= h3 |q > < q|,

ce qui est le résultat (5.5).De la même manière (4.5) donne:

iÎT °l*u

/ dq A(p,q) = / dqdu e |p-2U > <p+5u|

= h3 / du <$(u)|p-lu> < p+Ju|

= h3|p > 

ce qui prouve (5.6).On tire facilement le corollaire:

\ / dpdq A(p,q) = 1. h“5

d. Propriétés des traces.

Tr A(p,q) = 1,

Tr A(p,q)A(p',q') = h'36 (p-p')6(q-q’) ,

Tr A(p1,q1)A(p2,q2)A(p3,q3)

6 2i= 2 exp {p1*(q3-q2)+P2,(qi-q3)+P3*(q2-qi)}-

Preuves: 1°) (5.8): utilisant (5.3) on a:

Tr A(p,q) = / dq* < q *|A(p,q)|q' > = / dq'ô(q-q') = 1.

2°) (5.9): utilisant (4.6):

a(p,q) = Tr A A(p,q)

avec A = A(p',q') et l'équation (5.1), on a directement:

(5.7)

(5.8)

(5 .9)

(5.10)

h 6(p-p')ôCq-q') = Tr A(p,q)A(p',q') .

3°) (5 .10 ) :

Tr A(p1,q1)A(p2,q2)A(p3,q3) = / dqjdq^dq^ <qj|A(p1,q1)|q^ >

< q^|A(p2,q2)|q3 >< q^IA(p3>q3)|qj > .

Avec (5.2a), ceci devient:

qi+q2Tr A(p1,q1)A(p2,q2)A(p3,q3) = / dqjdq^dq^ 6

q2+q3h 2

q3+qi exp { p ^ q j - q p‘3 2

+P 2 * q2_qP+3* q3_qPIntroduisons de nouvelles coordonnées définies par:

qi+qô qV-q,'‘1 n2 n2 n3 q3+qla" = ____£ n" - _f__a" =2 ’

La matrice de la transformation entre les vecteurs q* et q" est:

q" =

( 12 12 0

0 12 121L2 0 12 J

q'

Le jacobien de la transformation est donc:

-33q"3q*

-112 5 00 1 1212 0 12

= 26

34 La transformation de Weyl et ta fonction de Wigner

La transformation inverse s'écrit:

qi

11

q ï ' q2 +a"V

q2= q'i + q2 - q3 ’

q3= - <?{ + q2 + q3*

ce qui donne:

q -^ - q$ - 2«iï-i3>«

q' - qj = 2 (q'-J-q'j1) •

On obtient ainsi:

Tr ACp1,q1)A(p2,q2)A(p3,q3) = 26 / dq^dq'^dq^ «S^-q^')

$ (q2-cl2^6 exP T" {pl‘ (q3"qP +p2* qï"q3)+p3* Cq2-q’P }

= 26 exp ^ {p1‘Cq3-q2)+p2*(q1-q3)+p3*(q2-q1)}.

Q.E.D.

On peut écrire le résultat (5.10) sous d'autres formes:

(5.10a) = 2^ exp1 1 1

ql q2 q3 Pi p9 p7

(5.10b) = 2 expx îk ( P j ' W V

j,k=l,2,3


(5.10c) = 26 exp ^ {(q1-q3)*(P2-p3)-(P1-P3),(q2"cl3^ -

Le cas général se présente différemment selon que le nombre d'opérateurs A est impair ou pair:

Tr An = Tr A(p1,q1)...A(pn,qn)

,3(n-l)2 ' exp ~2ih l

j,k=l,.

C-l):l+k(p3 -qk-pk*qJ 3

,nC5.ll)

3 (n impair)h 6CPJ-P2+. • .-pn)«S(q1-q2+. . .-qn)

xTr ACpj.qj)..•A(Pn_1»qn_1)• (5.12)(n pair)

Applications: traces de produits d'opérateurs. Nous avons l'équation (3.1):

A = \ / dpdq a(p,q)A(p,q).Il

Utilisant 2 fois cette même équation:

AB = -V / dpdqdp'dq' a(p,q)b(p',q')A(p,q)A(p',q') . n

Prenant la trace de chacune de ces équations et utilisant les relations (5.8) et (5.9), on obtient:

Tr A = h"^ / dpdq a(p,q), (5.13)

Tr AB = h"^ / dpdq a(p,q)b(p,q) = Tr BA. (5.14)

Nous verrons une application importante de (5.10) dans le paragraphe suivant où nous traitons les produits d'opérateurs .

Résumé du §5:

A t h36(p-p')Ô(q-q') (5.1)

/ dp A(p,q) = h3 |q >< q| (5.5)

/ dq A(p,q) = h3 |p ><p| (5.6)

Tr A = 1 (5.8)

Tr A(1)A(2) = h3ô(Pl-p2)Ô(qi-q2) (5.9)

Tr A(1)A(2)A(3) = 26 exp ^ {p^iq^q,,)

+P2*(cli-cl3)+P3*Cq2-(l1)> (5.10)

Tr A = h 3 / dpdq a(p,q) (5.13)

Tr AB = h 3 / dpdq a(p,q)b(p,q) = Tr BA (5.14)

6. Transformées de Weyl de produits d'opérateurs

Nous voulons exprimer la transformée de Weyl du produit d'opérateurs AB en fonction des transformées de Weyl a(p,q) et b(p,q) des opérateurs A et B. Les équations (4.6) et (3.1) donnent:

AB t Tr ABA(p,q) = h-6 / dp1dq1dp2dq2a(p1,q1)b(p2,q2)

Tr A(p1,q1)A(p2,q2)A(p,q) .

Ici apparaît la trace du produit de 3 opérateurs A. Avec la

Tr A(p1,q1)A(p2,q2)A(p,q) .

Ici apparaît la trace du produit de 3 opérateurs A. Av forme (5.10c) on obtient:

La transformation de- Weyl 37

AB t 26h“6 / dp1dq1dp2dq2a(p1,q1)b CP2»cl2-)

x exp { ( q 1 - q ) * ( p 2 - p ) - C P i ' P ) * ^ 2 " q-) } *

Introduisant les nouvelles variables d'intégration au lieu de p2 et q2:

p' = p2-p, q» = q2-q»

on a:

AB t (2/h)6 / dpjdqjdp'dq'aCpj.q^bCp^p.q’+q)

exp ^ { ( q j - q i - P ^ t P r P W p -

D é v e l o p p o n s b ( p ^ + p , q ^ + q ) e n s é r i e d e T a y l o r :

. 9 , 9. . . , . P 2 * 3p + q 2 * 9q , , .b ( P 2 + P » q 2 + q ) = e p H b ( p , q ) .

D'où:

TT {Cqrq)*P^-(PrP)-qpAB t (2/h)6 / dp1dq1dp^dq^a(p1,q1)e

ep2 ‘ 9p + q2 ‘ 9q b(p>q)>

■“h. 3Dans le dernier facteur on peut remplacer p' par -=t - -t — et q' h 3 v ¿ 1 dq z

par jT- j— s'ils opèrent sur l'exponentielle de gauche. Donc:

AB t (2/h)6 / dp1dq1dp^dq^a(p1,q1)

2x îiexp -g- ((q^-q)*p2_(Pj“P)*q2}exp JY i l 1 .1 113p 3q 3q 3p b(p,q)

AB t / dp1dq1a(p1,q1)6(q1-q)6(p1-p)exp jy (% % *% ï)3p 3q 3q 3p b(p,q),

38 La transformation de Weyt et ta fonction de ligner

AB a (p > q) exp jr- _$ _3_ 3p 3q

t_ r3q 3p_ bCp.q) C6.1)

Le résultat a été obtenu par H.J. Groenewold. Pour arriver à la dernière ligne on utilise la propriété:

h 3/ d p j a C p ^ e 2 1 9p f i C p j - p ) = / d p 1 a ( p 1 ) e 2 l 9 p i

l ' i n t é g r a t i o n p a r p a r t i e s d o n n e :

h 3 h 3/ d p ^ C p p e 21 9p 6CPj-P) = / dpjéfPj-pDe21 9pi

JL JL_ 2i 3p= e a (p)

«(p^p);

aCPj)

Ecrivons (6.1) de la façon suivante:

_hAB t e21

> 3 ^. 9p 3q

3 ^ 3 ^ '3q 3p , a(p,q)b(p,q) (6 .1)

On voit que la transformée de AB est différente de la transformée de BA et aussi que la transformée de AB est en général différente du produit a(p,q)b(p,q) des transformées de chacun des opérateurs. L'expression (6.1) est une série en puissances de h. Comme corollaires écrivons les transformées de Weyl de 1'anticommutateur et du commutateur:

1{A,B} =1(AB+BA) f» V a) a(b) 3 (a) g (b)'C0S|2 3q 3p 3p 3q

» a(p,q)b(p,q) 9

(6 . 2)


i[A,B] =i(AB-BA) 2h

— fsin* h2 V 9q

a ^3p

M " .3p 3q J a(p,q)b(p,q).

(6.3)

2Les deux dernières expressions sont des séries en h . Les résultats généraux (6.1), (6.2) et (6.3) semblent, à première vue, compliqués. Mais le plus souvent a(p,q) et b(p,q) sont des polynômes avec de faibles puissances en p et q; dans ce cas les expressions générales se réduisent à des sommes simples. Les calculs avec les transformées de Weyl sont alors plus faciles que ceux avec les produits d'opérateurs.

La dérivée par rapport au temps d'un opérateur A est définie par l'opérateur

i [H,A] + , (6.4)

v ôoù 3 /3t indique une dérivation explicite par rapport au temps. De (6.3) on a pour la transformée de Weyl de l'opérateur (6.4):

ih [H,A] 2

F s in- h2f a « 9(h)

aP 3p 3q J

a(p,q;t)h(p,q) + • (6.5)

2C'est une série en h , qui commence avec le crochet de Poisson de a(p,q;t) et h(p,q), et la dérivée explicite par rapport au temps de a(p,q; t).

La limite classique. La fonction classique, correspondant à l'opérateur A, sera définie comme la limite lorsque h tend vers zéro de la transformée de Weyl a(p,q) de l'opérateur A. Donc

(P»q) = lim a(p,q).C1 ‘ h+0


Ce n'est pas, comme le pensait Weyl, la fonction a(p,q) elle- même. Les membres de droite de (6.1) et (6.2) deviennent, pour h -> 0:

ac l > q)bc l > q)’

donc un simple produit. Plus intéressant est le membre de droite de (6.3). Pour h 0, on a:

~ f2 hh sin- 2 \

9(a) g (b) g (a) g (b)h +0 “ I * l. ° 4 °V 9p 3q

fg(a) g (b) g (a) g (b))

a(p,q)b(p,q)

9q 9p 9p 9q J cla„/(p,q)bcl (p,q) = {arl ,b^1 },cl.’ cl,

où {a . ,b . } est le crochet de Poisson (notation la plus uti- ex* ex*Usée: on écrit parfois {a,b) = (a,b) = - {a,b) avec

q.P P>4

{a,b}p>q

g l ^ g W 9p 9q

3 ^3q a(p,q)b(p,q)) .

Donc le cormutateur (-i/h)[A,B] correspond dans la limite classique au crochet de Poisson {ac ,bc }. On a donc trouvé un résultat dont on dit souvent qu'il constitue une partie du "principe de correspondance" (postulé). (E.g. Messiah, Tome I.)

Résumé du §6:

Opérateur Transformée de Weyl Limite classique

h f3(a) 3 ™ 3 « 3 ^ 1(6.1) AB t 2ie L 3P 3q 3q sp J ,i(p,q)b(p,q) -* a - b _ cl. cl.

(6.2) HA,B} -> hcos y f 9 ( a ) 3 ™3p

8w3p

8(b>[ 3q J. a(p,q)b(p,q) acl. bcl.

(6.3) - | [A, B] t 2 . h 3 ^ hLSin 2 [ 3q

3 ™3p 3p

3 ™3q .

~a(p,q)b(p,q) * {acl.’bcl.}

La transformation de Weyt

CHAPITRE III

LA FONCTION DE WIGNER

7. Définition de la fonction de Wigner

Un système quantique est décrit par un opérateur statistique, que nous désignons ici par P(t). Pour un cas pur on a:

P(t) = iKt) > <*(t)|, (7.1a)

tandis que pour un mélange

p (t) = I Wy l’f’yCt) > <^Y(t) I, (7.1b)

où les sont les poids statistiques

(WY * °> l wY = 1)Y

et les (t) > forment un système orthonormé. On a donc

Tr P(t) = l <ÿy (t)lÿy (t) > = l = 1, (7.1c)

(Ici tout a été écrit pour une seule particule mais la généralisation à N particules est évidente.) La formule pour la moyenne d'un opérateur (i.e. sa valeur d'attente) est:

44 La transformation de Weyt et ta fonction de Wigner

Â(t) = Tr P(t)A = l < i|>y (t) |A|^Ct) > , (7.2a)

donc pour un cas pur:

A = < Ht) I AIHH > . (7.2b)

La formule (5.14) était:

Tr BA = h 3 / dpdq b(p,q)a(p,q) (5.14)

avec b et a les transformées de Weyl des opérateurs B et A. Définissons maintenant la transformée de Weyl de P(t) par

P(t) % h3p(p,q,t), (7.3)

où p est appelée la fonction (de distribution) de Wigner. Alors3

la formule (5.14) devient pour B = P e t b = h p :

À(t) = Tr P(t)A = / dpdq p(p,q,t)a(p,q) = à(t), (7.4)

donc une moyenne dans l'espace de phase de la transformée de Weyl a(p,q) avec fonction de distribution p(p,q,t).

p donne P à l'aide de (3.1):

P(t) = / p(p,q,t)A(p,q)dpdq. (7.5)

P donne p à l'aide de (4.6):

p(p,q»t) = h“3Tr P(t)A(p,q); (7.6)

en utilisant (7.1b) dans (4.7), on a aussi:

p(p»q,t) = h'r P*v

/ dv e l w y < q-lv|^(t) >< (t) |q+Iv > .Y (7.7a)

Pour le cas pur, nous aurions:

La fonction de Wigner 45

-3 îf P*vp(p>q>t) = h" / dv e <q-!v|ÿ(t) ><i|i(t) Iq+Jv > . (7.7b)

Avec la notation des fonctions d'onde <qlÿ (t) > = ^ (q,t), (7.7a) s'écrit:

, r- p-vp(p»q»t) = h I Wy / dv e *y (q-iv»t)^*(q+lv,t). (7.8)

Ceci est la formule de E.P. Wigner de 1932, dont il remarquait qu'elle permet de calculer Â(t) selon (7.4).

On peut également obtenir p à partir de P en utilisant (3.2):

i-3 h c**up(P»q.t) = h / du e l w < p+iu |ip (t) > < i|> (t) |p-îu > .

Y (7.9)REMARQUES.

1. Le caractère réel de p est visible dans (7.7a) et(7.9) parce que p = p* (comme on le voit en changeant v en -v et u en -u). On peut dire que p est réel parce que P est hermitique (comme on l'a vu au §2 la transformée de Weyl d'un opérateur hermitique est réelle).

32. Selon (5.13) pour A = P et a = h p on a:

Tr P(t) = / dpdq p(p,q,t).

Comme d'après (7.1c) Tr P(t) = 1, on a donc aussi:

/ p(p,q,t)dpdq = 1, (7.10)

i.e. que la fonction de Wigner est normée. Elle joue donc le rôle d'une fonction de distribution, comme le montrent (7.4) et(7.10) . En revanche on ne peut pas la considérer comme une

46 La transformation de Weyl et la fonotion de Wigner

densité de probabilité dans l'espace de phase parce qu'elle n'est pas nécessairement définie positive.

Résumé du §7:

La fonction de Wigner p(p,q,t) est la transformée de Weyl de3

l'opérateur P(t) divisé par h :

P(t) s l WY H»y (t) ><ÿy (t)| î h 3pCp,q,t) (7.3)

p(p»q»t) eh < q-2v|ÿy (t) >< ÿy (t) Iq+lv >(7.7a)

= l \ \ / duy Y li

e < P+2U |ÿy (t) > < l|»y (t) |p-5U >

(7.9)

Propriété principale:

Â(t) = / a(p,q)p(p,q,t)dpdq = â(t) (7.4)

avec

/ p(p,q,t)dpdq = 1. (7.10)

8. Propriétés de la fonction de Wigner

a. La fonction de Wigner n'est pas definie positive. La fonction p(p,q,t) est réelle et normée, mais elle n'est pas définie positive, comme l'est la fonction de distribution de la théorie classique. Elle ne peut donc pas être interprétée comme une densité de probabilité. Par contre les intégrales de p(p,q,t) sur p et q sont définies positives; en effet de (7.8)on a:

/ P (p ,q ,t)dp = l wy / dvô(v)i|)^(q-iv,t)i/i*(q+|v,t)

= I wYl*YCq»t)I2 * 0» (8 . 1a)Y

et de (7 . 9) :

/ p(p,q ,t )dq = l wy / duô(u)<pY(p+!u,t)cp*(p4 u , t )

= I wY| 0 , (8 . 1b)Y Y Y

où <p|ÿ^(t) > = cp^(p,t). On peut donc interpréter ces intégrales comme des probabilités. On notera également que les dernières relations montrent que / pdpdq = 1.

b. La fonction de Wigner est bornée par l'inégalité

lp(p»q»t) | < (2/h)3 (8 .2)

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales s'écrit:

1/ f(v)g*(v)dv|2 á / |f(v)|2dv / |g(v)|2dv.

Appliquons ceci pour le cas pur, équation (7.7b):

|p(p»q»t)|2 h "6| / dvi P * v

i K q - 2V , t ) | j j d v | ^ ( q + I v , t ) | 2 | .

Le f a c t e u r d e p h a s e d i s p a r a î t e t l a n o r m a l i s a t i o n d e s

xl> donne

IP(P>q>t)|2 < h'6 2323 = (2/h)6,

donc l'équation (8.2). Q.E.D.Dans le cas d'un mélange ceci est certainement vrai

aussi parce que £ w = 1 et w >0.Y Y Y

48 La transformation de Weyl et ta fonction de ligner

COROLLAIRE: comme / p(p,q,t)dpdq = 1, le "support"3

de p(p,q,t) doit être au moins égal à (h/2) . Donc une fonction 6(p-P0)5(q-qQ) n'est pas possible pour p(p,q,t). Ecrivons le support comme DpDq où D indique un domaine; alors DpDq > (h/2)3, ce qui exprime la relation d'incertitude.

c. L'intégrabilité quadratigue:

/{p(p,q,t)}2dpdq 5 h"3 . (8.3)

d. L'évolution de la fonction de Wigner dans le temps. Elle est trouvée à partir de la transformée de Weyl de l'équation de von Neumann ou équation de Liouville quantique pour l'opérateur statistique P(t). Cette dernière équation est:

f = - F [H.P). (*•“)

où H est l'Hamiltonien (indépendent du temps). (8.4) découle de la définition de P et de l'équation de Schrbdinger. Avec(6.3) et (7.3) on obtient pour la transformée de Weyl de l'équation de von Neumann (8.4):

9p _ 29t “ BT

~

s in- h213q3(P)9p

a W a O O T 9p 3q J h(p,q)p(p,q), (8.5)

3où h(p,q) est la transformée de Weyl de l'Hamiltonien H (et h p celle de P). Avec la définition de "l'opérateur de Liouville quantique":

¿Cp>q) - - £

l'équation (8.5) s'écrit:

sin-t fh2

«V

w9q 9p 9p 9q

9 ™ 9 h(p,q), (8.6)

= - •c (p ,q )p (p » q > t ) . ( 8 . 7 )

La fonction de Wignev 49

Limite classique: l'opérateur de Liouville devient,avec h , cl lim h :

h-K)

£ cl lim £ h-K)

f3h _ 3h 'I cl. 3 cl■ 3l 3q 3p 3p 3q (8 .8)

L'équation (8.5), la transformée de Weyl de l'équation de von Neumann, devient donc dans la limite classique:

9pr1 (p»q*t)- ‘S t ----- = t8 -9’

ou bien:

8pcl,(p.q.t) ahcl 3pcl 3hcl 8pcl-3t " 3q 3p 3p 3q

= ihcl. ÎP»^»pcl. (8.10)

où l'on voit apparaître l'équation (classique) de Liouville avec le crochet de Poisson {hc , p ^ }. On dit souvent sans justification: l'équation de Liouville est la limite classique de l'équation de von Neumann. Cet énoncé est donc prouvé ici.

Exemples simples de l'équation (8.5). La transformée de Weyl de l'équation quantique de von Neumann devient très simple dans le cas où la transformée de Weyl de l'Hamiltonien, h(p,q) est une somme de termes au maximum quadratiques en p et q. En effet l'expression du membre de droite de l'équation(8.5) se réduit alors au crochet de Poisson de l'Hamiltonien h et de la fonction de Wigner p parce que seulement le premier terme de la série du sinus subsiste alors. L'équation (8.5) s'écrit donc pour ce cas:

3 p _ _ 3 1 i 3 £ . 3 h 3p _ p, , 3 t 3q 3p 3p 3q ~ i n , P J *

( 8 . 11)

où, à droite, apparaît un crochet de Poisson.Trois exemples bien connus présentent un Hamiltonien


de ce type:a. La particule libre:

(8.12a)

b. La particule soumise à une force constante:

2h = p /2m + aq. (8.12b)

c. L'oscillateur harmonique:

u 2,„ 1 2 2h = p /2m + |mw q . (8.12c)

Ce sont justement les exemples dont on dit parfois qu'ils ne présentent pas "toute l'ampleur de la mécanique quantique".

me corollaire de la transformée de Weyl (8.5) de l'équation de von Neumann, nous pouvons trouver l'expression de la dérivée par rapport au temps de la valeur d'attente d'une grandeur physique, exprimée en transformées de Weyl. Si A ne présente pas de dépendance explicite sur le temps, on a:

Par contre, si A dépend explicitement du temps, on trouve un terme supplémentaire avec la dérivée explicite par rapport au temps (indice "e"):

de la valeur d'attente d'un opérateur qui ne dépend pas explicitement du temps:

La dérivée par rapport au temps d'une grandeur. Corn-

" J- Tr[H,A]P 5 £ U P i r . (8.13a)

(8.13b)

De (7.4), on a pour la dérivée par rapport au temps

d â i t l „ J dpdq 9p_(p., .q.,_t)_ a(p>q) ^ ( 8 .1 4 )

Avec la transformée de Weyl (8.7) de l'équation de von Neumann ceci devient:

" / dpdq{X(p,q)p(p,q,t)}a(p,q). (8.15)

Après une (triple) intégration partielle, on a:

-fp^ = / dpdq{<£ (p,q)a(p,q) }p (p,q,t), (8.16)

que l'on peut réécrire sous la forme

^ f p 1 = * (p ,q )a (p ,q ) , (8.17)

où la "barre" est définie de la même façon qu'en (7.4).Si on choisit pour a(p,q) les transformées de Weyl p

et q des opérateurs P et Q pour l'impulsion et la position on trouve à l'aide de (8.16):

M î l . - / d p a q i M ^ I p f p . q . t ) = - 2 Ü i E i 9 i , (8.18)

! & ! i = / dpdq i h ^ a l p(p, q>t) 5 M p l , ( 8 . 19)

où on a utilisé l'expression (8.6) pour le "liouvillien".

Limite classique. La limite classique d'une grandeur physique est définie comme la limite lorsque h tend vers zéro de la transformée de Weyl de l'opérateur qui représente la grandeur physique. Dans les expressions (8.16), (8.18) et (8.19) pour les dérivées par rapports au temps des valeurs d'attente â(t), p(t) et q(t) apparaissent non seulement les transformées de Weyl a(p,q), p et q, mais aussi la fonction de Wigner. Nous voulons maintenant étudier la limite classique, si elle existe, de cette fonction qui est elle aussi une transformée de Weyl. Dans ce but nous considérons d'abord des paquets d'ondes.

52 La transformation de Wey I et la fonction de Wigner

e. La limite classique. On peut chercher une fonction de Wigner qui soit le produit de deux fonctions réelles des coordonnées et des impulsions:

p(p»q) = P1Cp)P2(q)

T. Takabayasi a montré que

(8.20)

P Cp » q) = (2/h) exp(q-q0)2 2A2(p-po)2

2 A(8.21)

ce qui est le produit de deux gaussiennes, l'une en p et l'autre en q. La largeur Aq du paquet d'ondes (8.21) est:

Aq = V (q-qQ) = A, (8 .22)

et la largeur Ap:

Ap = V (P"P0)' 2A * (8.23)

On a donc des deux dernières équations:

ApAq = h/2. (8.24)

C'est la limite inférieure que donne la relation d'incertitude de Heisenberg (ApAq > h/2), d'où le nom de paquet d'ondes minimum donné à (8.21).

L'évolution dans le temps du paquet satisfait l'équation de von Neumann (i.e. sa transformée de Weyl (8.5)) avec

H(P,Q) h (p.q) = If (8.25)

(paquet libre), donc l'équation

La fonction de Wignev 53

3p 3h 3p p 3p3t 3p 3q m 3q (8.26)

La solution de cette équation est trouvée en tenant compte du fait que p(p,q,tQ) est donné par (8.21). On a par conséquent pour un temps t arbitraire:

p(P»q>t) = (2/h) expiq-q0-Cp/m) (t-tQ)}'

2A2

2A2(p-p0)2

(8.27)Pour t * tQ cette expression ne factorise plus: il y a donc des corrélations entre p et q. Le paquet n'est plus un paquet minimal à des temps différents de tQ .

La limite classique d'une quantité physique est définie comme la limite, pour h tendant vers zéro, de la transformée de Weyl de l'opérateur correspondant (a . = lim a(p,q)).ci. h-*0La situation n'est pas exactement la même pour l'opérateur de densité parce qu'en mécanique quantique il existe des situations qui n'ont pas leur analogue classique. Les ondes planes et les états stationnaires d'un oscillateur harmonique qui demeurent toujours indépendants du temps et les systèmes avec corrélations à longue distance comme l'hélium II liquide et les métaux supraconducteurs représentent des situations essentiellement quantiques, sans limite classique. Ceci veut dire que dans la limite où h tend vers zéro, la fonction de Wigner ne mène pas toujours à une fonction classique. Même si on utilise un paquet d'ondes minimal de la forme (8.21), la limite h tendant vers zéro doit être prise d'une façon spécifique afin d'obtenir une limite classique. En fait il faut faire tendre aussi bien h que A vers zéro, mais de telle façon que le quotient h/A tende vers zéro. De cette façon on a, à partir de (8.21), comme limite classique de la fonction de Wigner:


P(p»q) — "> Pc l # (P>q) = S(p-P0)S(q-qo) , (8.28)

puisque les gaussiennes deviennent des fonctions delta dans la limite décrite. La fonction classique (8.28) indique que le système se trouve représenté par le point (P0>q0) de l'espace de phase. A l'aide de la fonction classique (8.28), du fait que la limite classique de la grandeur A X a(p,q) est définie comme

et de l'expression (7.4) pour la valeur d'attente de A, on obtient la limite classique de la valeur d'attente:

C'est donc la limite pour h tendant vers zéro de la transformée de Weyl a(p,q), prise aux valeurs pQ et qQ des coordonnées de l'espace de phase.

L a . _ £ o n c t i o n _ d e _ W i g n e r - e s t r é e l l e , n o n p o s i t i v e d é f i n i e e t

b o r n é e ( s a v a l e u r a b s o l u e e s t p l u s p e t i t e q u e o u é g a l e à

a 1 cl.(p»q) = lira a(p,q), h-K>

Résumé du §8: propriétés de la fonction de Wigner.

( 2 / h ) 3 .

La transforméedeWeylde 1'équation de_von Neumann,

(8.4)

a la forme:

- - ¿(p.qMp.q.t), (8.7)

La fonction de Wignev55

oufh [a 0>) 3 9(b) 3

N“s m | - 3q 3p " 3p 3q.

►¿(p.q) - - g-

La limite classique de (8.7) est:

3P,

h(p,q). (8.6)

cl,3t ^cl.Pcl. ’ (8.9)

avec

cl,3hcl. 3 3hcl. 33q 3p 3p 3q (8 .8)

On a aussi:

3pcl,3t = (hcl.,pcl.}‘ (8 .10)

La dérivée par rapport au temps, dÂ(t)/dt = (i/h)'[H> j' crit ici:

s'é-

dÂ (tl = â i i l l = J dpdq{£(p,q)a(p,q)}p(p,q,t) , (8.16)

ou bien

^ t ^ = ^ft^~ = *Cp»q)a (P»q). (8.17)

En particulier, pour les impulsions et coordonnées:

3h3q

d p ( t ) ( j j 3 h _ 3 hT t = - > dpdc< p = - 3? ■

dq(t) ( j j 3h _ TJFdt = J d p d q D F p : : ¥

(8.18)

(8.19)

Le paquet d'ondes minimal est

56 La transformation de Weyl et la fonetion de ligner

p(p»q) = (2/h) exp-2A2

2A2(p-pQ)2

avec largeurs Aq = A et Ap = h/2A, donc:

A AApAq = -j .

La limite classique de (8.21) est:

pd . C p >q) = <$(p-P0)<5(q-q0),

pour A •+ 0 et h/A -* 0.

(8 . 21)

(8.24)

(8.28)

CHAPITRE IV

LE FORMALISME RELATIVISTE

9. Les variables de spin

Dans les mécaniques quantiques de Pauli et de Dirac apparaissent des variables de spin. Si H est l'Hamiltonien et |ÿ(t) > le vecteur d'état du système dans l'espace de Hilbert, l'équation de Dirac s'écrit:

HliKt) > = " H»(t) > . (9.1)

Pour une particule libre l'Hamiltonien de Dirac est

H = coî • P + 3mc^, (9.2)

où a et 3 sont appelées matrices de Dirac.Dans le cas d'une particule avec charge e et moment

magnétique normal dans un champ électro-magnétique, on a:

H = cot •-*P e- A c + 3mc + e$, (9.3)

où A et t sont respectivement le potentiel vecteur et le potentiel scalaire associés au champ.

Dans ce formalisme les vecteurs propres d'opérateurs

sont représentés par

58_____________La transformation de Weyl et la fonction de Wigner

où k est un indice (l'indice valeurs ( k = 1 , 2 , 3 , 4 ) . Deux raient:

■ y avec équation auxvaleurs propres:

I y avec équation auxvaleurs propres:

i , K > , (9 .4 )

de Dirac) pouvant prendre quatre exemples de vecteurs propres se-

P|p',K' > = p'Ip ',k ' > . (9.5)

QIq' , k' > = q' I q1>k1 > . (9.6)

La relation de fermeture pour un système complet de vecteur |m,K > prend ici la forme:

1 / dm|m,K > <iïi, k | = 1.K

Par exemple:

l / dp|p,k > <q,K| = 1. (9 .8 )K

La trace d'un opérateur A peut s'écrire:

souvent sont:

i_ . r- p»q<q,K|p,K' > = <p,K'|q,K > * = h'3/ e Ô ,, (9.11)

k k '

( P><* lp ' ,<*' > = 6(p-p')6 ,, (9.12)(XO)

<q,a|q',a' > = «(q-q')«^,. (9.13)

Le formalisme relativiste 59

L'expression (9.13) est la "fonction d'onde", c'est-à-dire la représentation en coordonnées q,a du vecteur propre |q',a' ) ; on l'écrit aussi t|i ,a ,(q,a). Les vecteurs |q,a > avec a = 1,2,3,4 forment quatre bases de quatre espaces de Hilbert de la même structure. L'espace de Hilbert total est la somme directe de ces quatre espaces.

Une grandeur utile sera la matrice

Qk A = / dPlP>K ><P»Al, (9.14)

que 1'on peut écrire

QkX = / d q | q , K > < q , A|. (9.15)

Preuve de (9.15): L'égalité de (9.14) et (9.15) suit de l'égalité des éléments de matrice, par exemple < p' ,k ' lp", A' > . Pour (9.14) on a alors

/ dp < p',k '|p,K > < p,A |p",A' > ,

ce qui devient en utilisant (9.12):

J dp6(p-p')«Kiç,ô(p-p»)«xx, = ô(p'-p")6KK,ôxx,. (9.16)

Pour (9.15) l'élément de matrice est:

/ dq < q,A |p",A' > ,

ou, en utilisant (9.11):

i ». ih ' 3 / d q e " h \ K , e h \ x , » i ( P ' - P " ) « K K , i u „ ( 9 . 1 7 )

donc égal à (9.16). Q.E.D.Deux autres formes de fl , seraient:

k A

Preuve de (9.18): Utilisant dans (9.14) la relation de fermeture (9.8), on a:

fl , = I / dpdq |q,y ><q,y|p,K > < p, X | . K y

Avec (9.11), ceci devient:

k A

-3/2 n , h“ P,(l= h 5/1 l J d p d q e 6 | q , y > < p,A Q.E.D.

La preuve de 1.9.19) se fait de la même manière en utilisant les équations (9.15), (9.7) et (9.11).

La trace de l'opérateur £2

(9.20)K

comme on le voit facilement de (9.14) (ou (9.15)) en utilisant la relation de fermeture (9.7) (ou (9.8)).

10. La transformation de Weyl

et 2 autres du type (9.8), on peut écrire l'opérateur A comme:

A = J / dp'dp"dq'dq" Iq",* > < q",«|p",i<:' > k ,k ',A,A'

<P",k ' |A|p',A' ><p',A' |q',A ><q',A|.

(10.1)Avec les produits scalaires (9.11) et la transformation

a. Définition

En utilisant 2 relations de fermeture du type (9.7)

q" = q + gv,

q* = q - 2V,

p" = p + gu,

P' = P - lu, (10.2)

lq+2V,K ><q-gv,A|, (10.3)x e

d'où le résultat:

62 La transformation de Weyt et ta fonction de Wigner

A = h“3 l / dpdq aKX(P>q)AKX(p,q), k y À

(10.4)

avec la transformée de Weyl de l’opérateur A:

ih ^*u

A Z aKx (p,q) H / du e <p+|u,K|A|p-iu,X > , (10.5)

et 1 ' opérateur

ir p *vAKX(p,q) = J dv e lq+2V,K ><q-^v,X|. (10.6)

Si A est un opérateur hermitique, aKX(p,q) est une matrice hermitique. La transformation de Weyl de l'opérateur A par rapport à p, q, k et X s'écrit:

A î a <xCp,q). (10.7)

(N.B. Sans indices de spin a(p,q) était réelle.) AKX(p>q)> l'opérateur universel, est hermitique.

b. Propriétés

Notons d'abord que

- r- V*P|q+5V,K > = e lq-2V,K > . (10.8)

Preuve: on multiplie chaque côté de l'équation par <p,X| et on se sert du côté droit de la définition de valeur propre: <p,X|P=p<p,X|, ce qui donne:

- g- v*pX|q+£v,K> = e <p,X|q-2V,K >

En utilisant (9.11), on obtient l'identité suivante:

3/2 ‘ S-v 'Pt-3/2~ ~ n eh e 6 = eKÀ kX

Q.E.D.Ainsi (10.6) devient:

¿-v(p-P)AKX(p,q) = / dv e |q-|v,K ><q-£v,X|. (10.9)

On a ici:

|q,K ><q,X| = / dq'Ô(q-q') |q',K ><q',X|

= «(q-Q) / dq'|q',K ><q',X|

= <S(q~Q)0KX

-3 , K= fl h / d u e . (10.10)

(10.9) devient ainsi:

-3 , r (p-p)‘v ir (q-iv-Q)*uAKX(p,q) = / dudv e e . (10.11)

En utilisant le théorème (4.3) pour les exponentielles d'opérateurs de même que la relation de commutation (2.13), on obtient:

64 Lx transformation de Wey I et la fonction de Wigner

On peut montrer, de la même manière qu'on l'a fait pour l'équation (4.5) que

La transformée de Weyl (10.5) devient, avec l'équation (10.14) et deux relations de fermeture:

aK^(p>q) = I / dmdn < m,y |A|n,v > < n,v |AW |m,y > , (10.15)p,v X k

que l'on peut écrire sous la forme

a^Cp.q) - Tr AiXK(p,q). (10.16)

Ceci, avec (10.6) pour l'opérateur A, devient

aKX(p,q) =h" P #v/ dv e <q-Iv,K|A|q+iv,X > . (10.17)

A = h"^ £ / dpdqdudv a^(p,q)eK, X

De (10.4) pour A avec (10.12) pour A^(p,p), on a:

i(q-Q)‘U+(p-P)*v)Qk X ‘

(10.18)On y reconnaît la transformée de Fourier de a (p,q):KÀ

_6 (q*u+p*v)aKxCu »v) = h" / aKX(p,q)e dpdq. (10.19)

On a donc la correspondance de Weyl suivante:

a. La transformée de Weyl:

\ x tP>q)

AK ,x ,(p',q')(10.21)

b. Eléments de matrice:

< q',y|AKX(p,q)Iq",V > = 6 g 1 +q"1q - - y - l e 6 6, , (10.22)«y Xv v J

<p' ,p |AKX(p,q) |p", v > = 6 P l+pM - g-q’Cp'-p")6 6, ,(10.23)kjj Xv v J

( q',p|AKX(p,q)|q',v > ô (q-qf ) 6 <5.. ,n 1 ; kp Xv* (10.24)

 = ô(p-p')6KtjôXv< (10.25)

c. Propriétés des traces.

On définit la trace d'un opérateur A par

Tr A = \ f dm <m,ic|A|m,K >K

Tr ■ 6kX-

(10.26)

(10.27)

Tr AKX(p,q)Ax ,K,(p',q') = h^S (p-p’)6 (q-q’)6^ , 6^ , . (10.28)

Tr AK1X1(Prql)AK2X2CP2’q2:,AK3X3(P3>Cl3)

= 2^expI• [%•{ (qr q3) • (P2-P3) - (pr p3) • (q2-q3) >

A partir de (10.27) et (10.28) on peut trouver:

6. 6. 6. X1K2 X2K3 X3K1

(10.29)

d. Transformée de Weyl de produits d ’opérateurs.

En utilisant la transformée de Weyl A £ a^x(p,q) sous sa forme (10.16), on a:

AB Z Tr ABAXK(p,q). (10.32)

En effectuant un calcul analogue à celui qui a conduit à l'équation (6.1), cette fois en se servant de (10.4) et de (10.29), on obtient


(A,B} t 2 cos9Ca) 9(b) 9(a) 9(b)9q 3p 9p 9q J a(p,q)b(p,q),

et on retrouve donc l'équation (6.2).On a pour le commutateur:


REMARQUE: sans variables de spin, (10.35) devient

2h

f thsin*2l

_

,(a)9q

9(h)3p

3 ^ ¿ H '8p 3q J a(p,q)b(p,q),

et on retrouve donc (6.3).Dans le cas particulier où A et B n'opèrent pas sur p

et q, on a de (10.35):

ih [A,B]

ya b , Ky yX b a . };

Ky yX

ce cas n'a pas de limite classique.

(10.36)

11. La fonction de Wigner

a. Définition.

L'expression pour la valeur d'attente d'un opérateurA est

À(t) = Tr P(t)A. (11.1)

On a les correspondances de Weyl:

A î aKX(p,q), (11.2)

P(t) Z h3pKX(p,q,t) (11.3)

Cette dernière expression définit la fonction de Wigner,_3

P K X ( p , q , t ) , comme é t a n t la t r a n s f o r m é e d e Weyl d e h f o i s l'op é r a t e u r d e n s i t é P ( t ) . De l a f o r m u l e (10.31) p o u r la t r a c e

d ' u n p r o d u i t d ' o p é r a t e u r s , o n a

Â(t) = l / dpdqpKX(p ,q , t ) a X(çCp>q) • (11.4)k ,X

Selon (10.16), on obtient

PKX(P>q>tO = h"3Tr P(t)AX|<(p,q). (11.5)

Ceci, avec l'opérateur densité pour le cas pur

P ( t ) = l < H t ) ><Kt) | ( 7 . 1 2 )

e t l ' e x p r e s s i o n ( 1 0 . 6 ) p o u r l ' o p é r a t e u r d e l t a , d e v i e n t :

* irp ’vP K X ( p , q , t ) = h Tr|tKt) > < 'l'(t) | / dv e |q+iv, X > < q-|v, k |,

(11.6)

, r P*vP ^ C P ^ t ) = h J dv e ( q-!v,K |iKt) > < iPCt) lq+iv,X > .

(11.7)

Dans cette dernière équation apparaissent les fonctions d'onde <q,K|i|>(t) > que l'on écrit aussi i|>K(q,t). Dans le cas d'un mélange statistique, il aurait fallu utiliser (7.1b) au lieu de (7.1a) pour l'opérateur densité. La fonction de Wigner est donc une matrice hermitique (la valeur d'attente Â est réelle). On peut trouver d'autres formes de pKX(p,q,t), analogues au cas sans spin.

b. Propriétés.

La transformée de Weyl de l'équation de von Neumann:

70 La transformât-ion de Weyl et la fonction de Wigner

3PÇt)9t - jT [H ,P], (11.8)

devient, selon l'expression (10.35) pour le commutateur:

9t1 r. (l f a W 9(P) 9(h) 9(P)|

\*~

JT Sln|2 3q 9p 3p 9q J • I{h (P,q)y

*h i 9 ( h ) 3 Cp ) 9(b) 11COS*2 3 q 3p 9P 9q J IJI i \ u(p>q)

y

PpX(P>q)-PK}J(P»q)hpX(p ,q)} . (11.9)

La dérivée par rapport au temps d'une grandeur physique est donnée par

dÂ(*I = i Th Aldt h lH,AJ » (11.10)

dont la transformée de Weyl peut être obtenue à l'aide de (10.35).

CHAPITRE VLES EQUATIONS DE MOUVEMENT ET DE SPIN COVARIANTES

D'UNE PARTICULE AVEC CHARGE ET MOMENT MAGNETIQUE DANS UN CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

12. Le problème

Le comportement d'une particule relativiste avec spin dans un champ électromagnétique est régi par deux équations de mouvement: celle du spin qui subit des rotations et celle de la position qui change au cours du temps.

La particule avec spin porte un moment magnétique

M = f£-t.2mc (12.1)

où g est le facteur gyromagnétique, e la charge, s le spin, m la masse et c la vitesse de la lumière. On écrit aussi au lieu de (12.1):

M = | PB E , (12.2)

où Ug est le magnéton de Bohr défini par

e hyB = 2mc * (12.3)

et on a exprimé le spin comme


s = l h î . (12.4)

Le moment magnétique consiste en deux parties:

M = M + M . (12.5)n a '->•

Ici M est le moment "normal" n

Mn = yB î , (12.6)

comme il découle de la théorie de Dirac originale, où g est toujours égal à 2. L'autre partie

= (12.7)

est appelée moment magnétique "anormal".L'équation du spin montre qu'on peut mesurer séparé

ment les moments normal et anormal, puisqu'ils subissent des précessions différentes. Le moment normal subit la précession de Larmor, donnée par la fréquence circulaire

Ü)T = e B°2mc y (12.8)

v oou B est le champs magnétique dans le référentiel de repos et 2 2 -- ^Y = (1-v /c ) 2, où v est la vitesse de la particule. En même

temps le moment normal subit la précession de Thomas

The y -*■ -*•

— -------V $ a 9 B,2mc y +1 cr (12.9)

où 3 = cp(p c + m c ) 2 et 9q h 9/9ct , t étant le temps,On appelle y/Cï + 1) Ie facteur de Thomas. Le moment anormal, par contre, ne subit que la précession de Larmor. Ces faits étaient connus depuis assez longtemps car on avait établi l'équation du spin de façon phénoménologique. Une dérivation

Les équations de mouvement et de spin covariantes 73

dans le cadre de la mécanique quantique relativiste n'a été donnée qu'en 1970 (L.G. Suttorp et S.R. de Groot, Il Nuovo Cimento 65A , 245 (1970); voir aussi S.R. de Groot et L.G. Suttorp, "Foundations of Electrodynamics", North-Holland Publishing Company et American Elsevier, 1972).

L'équation du mouvement proprement dite, c'est-à-dire celle qui décrit la position de la particule, n'était pas non plus dérivée (pour la dérivation, voir l'article et le livre cités plus haut). On était auparavant en désaccord sur la forme des forces en jeu, en particulier sur le rôle des moments magnétiques normal et anormal. Nous trouvons pour les "termes principaux" (c'est-à-dire les termes ne contenant pas la vitesse): premièrement la force de Lorentz sur une charge e:

e E, (12.10)

où E est le champ électrique; deuxièmement la "force de Kelvin"sur le moment magnétique total M:

(V $) • M, (12.11)

où B est le champ magnétique; et troisièmement "l'effet électro-dynamique", une force sur le moment magnétique anormal M :cl

- 9 o (Ma AE). (12.12)

Nous trouvons donc, comme dans le cas de l'équation du spin, que les moments magnétiques normal et anormal apparaissent de façon différente.

Une autre question très discutée était de savoir si les limites classiques des équations trouvées coïncidaient avec les équations classiques dérivées pour les particules composites (en théorie classique on doit étudier des particules composites si on veut avoir un moment cinétique interne, comparable


au spin des particules élémentaires de la théorie quantique).

13. Théorie quantique relativiste

Pour les particules avec spin, c'est l'équation d'onde de Dirac

qui constitue le point de départ. Ici 4> est un spineur, c'est-à- dire une fonction d'onde à quatre composantes. L'Hamiltonien s'écrit pour une particule avec charge e et facteur gyromagnéti- que g comme

où

H = cot • ir + 23mc + e4> + Ha’ (13.2)

P (13.3)

Ha = i(g-2)yB3(ia*E-a*B), (13.4)

et ou P est l'impulsion, A le potentiel vecteur et $ le potentiel scalaire; la partie H représente le couplage du moment

a -> -vmagnétique anormal avec le champ électromagnétique (E,B). On notera que les potentiels et les champs sont des fonctions des coordonnées spatiales et du temps. Finalement, a, 3 et a sont des matrices (4x4) de Dirac; dans la représentation de Pauli elles ont la forme

(13.5)

où l'on a utilisé les matrices 2x2 suivantes:

(13.6)


Les matrices a ont un caractère "impair", c'est-à-dire qu'elles couplent les composantes supérieures et inférieures de la fonction d'onde ou, ce qui revient au même, elles couplent les solutions d'énergie positive et négative (matière et antimatière). Pour avoir une description d'une seule particule il faut procéder de telle sorte qu'on obtienne des équations d'onde qui permettent des solutions séparées pour les composantes supérieures et inférieures. Le découplage serait accompli si l'Hamiltonien était pair. On pourrait alors distinguer des solutions d'énergie positive et négative. Cette situation peut être réalisée si on transforme l'Hamiltonien H à l'aide d'une transformation unitaire (et covariante) U(t) de telle sorte qu'il devienne pair. Dans la nouvelle représentation l'Hamiltonien s'écrit:

4* fl ï îH = UHUT - - — U , (13.7)1 ot

parce qu'alors la fonction d'onde transformée

4> = Uifi

satisfait l'équation

AHÿ h ¿

i 3t *

(13.8)

(13.9)

qui a la même forme que celle de Dirac. En effet on vérifie facilement qu'avec l'introduction de (13.7) et (13.8) dans (13.9) on retombe sur l'équation (13.1). L'opérateur U est le produit de trois transformations S^, et U2 de telle sorte que

U = U2Ur Uj = S2S y (13.10)

Les calculs se font à l'aide des transformées de Weyl des opérateurs en jeu: si on utilise les opérateurs directement,

76 La transformation de Weyl et la fonoticm de Wigner

les calculs deviennent très laborieux. La première transformation est

2E +mc +$ot • ires1 t - ........ - , (13.11)

\/2E (E +mc2)TT TToù

/ 2 2 2 4 1E = V it c +mzc ; (13.12)ir v

(les lettres minuscules représentent les transformées de Weyl des opérateurs correspondants, indiqués par des majuscules).La transformation (13.11) est la généralisation pour le cas avec potentiels de la transformation qui rend l'Hamiltonien pair pour le cas libre. Elle n'est pas unitaire: une seconde transformation S2 rétablit l'unitarité et une dernière transformation { ¡2 est nécessaire pour éliminer les termes impairs avec les champs. L'Hamiltonien qu'on trouve finalement, avec termes linéaires en e et sans dérivées des champs, mais qui est toujours covariant, donc valable en tous ordres c est de la forme :

H + e* - uB'me 3a* B + meE(E+mc j

(PAC)

OÙ

Bzl2 S Ba*B-Bc P«g P»B

E(E+mc2), C(PAg)«E

E 2 2 2 4c +m cî

(13.13)

(13.14)

On voit que H a un caractère pair (il commute avec B) car B et a le sont. La partie qui contient le moment magnétique normal avait déjà été trouvée par Blount et la partie sans moment magnétique par Pryce et Foldy-Wouthuysen.


Conditions de covariance. Pour fixer les opérateurs de position et de spin, on impose un certain nombre de conditions. Comme l'Hamiltonien est maintenant pair, nous n'avons besoin que des parties paires des opérateurs car seulement celles- ci subsisteront dans les calculs. Les conditions de covariance imposées sont celles qui indiquent comment les opérateurs de position et de spin changent sous les opérations suivantes: translation, rotation, inversion spatiale (la position est un vecteur polaire; par contre le spin est un vecteur axial), transformation de Lorentz et finalement l'identité du moment cinétique total en l'image utilisée (c'est-à-dire après la transformation unitaire) et l'image originale de Dirac. On trouve ainsi les résultats uniques suivants pour les transformations de Weyl des opérateurs de position et de spin:

X t ->r + haAiT

2m(E +mc )7T(13.15)

t t i&a + h*A(°A^22m(E7r+mc )

(13.16)

On trouve l'équation de mouvement en calculant d'abordla vitesse

2 F'H,X] * | i , (13-17)

et ensuite l'accélération:

dV _ d2X i rn tna t = ¡7 = h [H’V] + it (13.18)

De la même manière, on trouve l'équation de spin à partir de

ft - r * !i • <13-19’A l’aide de la formule pour la transformée de Weyl d ’un commutateur on trouve pour l'équation de mouvement:

2-> -ym "T * (yeE+ye AÎ+lgy [ (v ÏÏ)*s+(V E)•(Bas)

dt y

+Y (90+3*V){e B*s+3 E-C3As)}]h 1

+!Cg-2)yBy2(9o+8-V){EaÎ-($aÎ)|-E+(8AB)As})h_1. (13.20)

Pour 1'équation de spin on trouve :

t y [|gyB{sAB+(6As)AE}h_1

+Ug-2)yR(y B*s BAB-s B*E+y p*s E-y B B*s B*E]h (13.21)

Dans l'équation de mouvement (13.20) on reconnaît comme termes ne contenant pas la vitesse les trois expressions (12.10), (12.11) et (12.12) mentionnées au paragraphe précédent. Dans l'équation de spin apparaissent les termes qui décrivent les effets discutés au début du paragraphe 12: le moment magnétique normal subit les précessions de Larmor et de Thomas tandis que le moment anormal ne subit que la précession de Larmor.

On peut prendre la limite classique des équations quantiques dérivées ci-haut, en utilisant un paquet d'ondes étroit. On retrouve bien alors l'équation qui est le résultat de la théorie classique.

BIBLIOGRAPHIE

La plupart de la matière de ce séminaire est tirée dulivre:

1. S.R. de Groot et L.G. Suttorp, "Foundations of Electrodynamics", North-Holland Publishing Company et American Elsevier, 1972.

Autres articles originaux:

2. B. Leaf, J. Math. Phys. 9, 65, 769 (1968).

3. E. Wigner, Phys. Rev. 40, 749 (1932).

4. H.J. Groenewold, Physica 12, 405 (1946); Meddlelser (Copenhague) 30, no. 19.

5. J.E. Moyal, Proc. Cambr. Phil. Soc. 45, 99 (1949).

6. J. Vlieger, P. Mazur et S.R. de Groot, Physica 21_, 353, 957, 974 (1961).

7. I. Oppenheim et J. Ross, Phys. Rev. 107, 28 (1957).

8 . R.L. Stratonovich, J.E.T.P. 4, 891 (1957).

80 La transformât-ton de Weyt et la fonction de Eigner

9. T. Takabayasi, Progr. Theor. Phys. 11^ 341 (1954).

10. H. Mori, I. Oppenheim et J. Ross, Studies Stat. Mech.1_ (1962).

11. J.H. Irving et R.W. Zwanzig, J. Chem. Phys. £9, 1173 (1951) .

12. K. Schram et B.R.A. Nyboer, Physica 25, 733 (1959).

13. H.C. Andersen et I. Oppenheim, Ann. Phys. £8, 1 (1968).

14. L.G. Suttorp et S.R. de Groot, Nuovo Cimento 65A, 245 (1970).

TABLE DES MATIERES

AVANT-PROPOS ................. 7

PREFACE ...................................................... 9

CHAPITRE I. INTRODUCTION ................. 111. P r i n c i p e ............................................ 112. Notations............................................ 13

CHAPITRE II. LA TRANSFORMATION DE W E Y L ................. 193. Définition de la transformation de W e y l ............. 194. Propriétés de la transformation de W e y l ............ 215. Propriétés de l'opérateur-delta ................... 296. Transformées de Weyl de produits d'opérateurs . . . 36

CHAPITRE III. LA FONCTION DE W I G N E R ................. 437. Définition de la fonction de W i g n e r ................ 438 . Propriétés de la fonction de W i g n e r ................ 46

CHAPITRE IV. LE FORMALISME RELATIVISTE ................. 579. Les variables de s p i n ............................... 5710. La transformation de W e y l ......................... 6111. La fonction de W i g n e r ................................ 68


CHAPITRE V. LES EQUATIONS DE MOUVEMENT ET DE SPIN COVARIANTES D'UNE PARTICULE AVEC CHARGE ET MOMENT MAGNETIQUE DANS UN CHAMP ELECTROMAGNETIQUE.................. 71

12. Le p r o b l è m e ............................................ 7113. Théorie quantique relativiste ....................... 71

BIBLIOGRAPHIE ........................................ 79

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EXTRAIT DU CATALOGUE

Mathématiques

COLLECTION « CHAIRE A ISEN STA D T»Physical aspects of lie group theory. Robert HERMANNQuelques problèmes mathématiques en physique statistique. Mark KAC

COLLECTION « SÉM INAIRE DE MA THÉMA TIQUES SUPÉRIEURES »

1. Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles. Jacques L. LIONS

2. Théorie des algèbres de Banach et des algèbres localement convexes. Lucien WAELBROECK

3. Introduction à l’algèbre homologique. Jean-Marie MARANDA4. Séries de Fourier aléatoires. Jean-Pierre KANANE5. Quelques aspects de la théorie des entiers algébriques. Charles PISOT6. Théorie des modèles en logique mathématique. Aubert DAIGNEAULT7. Promenades aléatoires et mouvement brownien. Anatole JOFFE8. Fondements de la géométrie algébrique moderne. Jean DIEUDONNÉ9. Théorie des valuations. Paulo RIBENBOIM

10. Catégories non abéliennes. Peter HILTON11. Homotopie et cohomologie. Beno ECKMAN12. Intégration dans les groupes topologiques. Geoffrey FOX13. Unicité et convexité dans les problèmes différentiels. Shmuel AGMON14. Axiomatique des fonctions harmoniques. Marcel BRELOT15. Problèmes non linéaires. Félix E. BROWDER16. Équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus. Guido STAM-

PACCHIA17. Problèmes aux limites non homogènes. José BARROS-NETO18. Équations différentielles abstraites. Samuel ZAIDMAN19. Équations aux dérivées partielles. Robert CARROLL, George F.D. DUFF, Fô-

ran FRIBERG, Jules GOBERT, Pierre GRISVARD, Jindrich NECAS et Robert SEELEY

20. L’Algèbre logique et ses rapports avec la théorie des relations. Roland FRAISSÉ21. Logical Systems containing only a finite number of symbols. Léon HENKIN24. Représentabilité et déflnissabilité dans les algèbres transformationnelles et dans

les algèbres polyadiques. Léon LEBLANC25. Modèles transitifs de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Andrzej

MOSTOWSKI26. Théorie de l’approximation des fonctions d’une variable complexe. Wolfgang H.J.

FUCHS27. Les Fonctions multivalentes. Walter K. HAYMAN

28. Fonctionnelles analytiques et fonctions entières (n variables). Pierre LELONG29. Applications of functional analysis to extremal problems for polynomials. Qazi

Ibadur RAHMAN30. Topics in complex manifolds. Hugo ROSSI31. Théorie de l’inférence statistique robuste. Peter J. HUBER32. Aspects probabilistes de la théorie du potentiel. Mark KAC33. Théorie asymptotique de la décision statistique. Lucien M. LECAM34. Processus aléatoires gaussiens. Jacques NEVEU35. Nonparametric estimation. Constance VAN EEDEN36. K-Théorie. Max KAROUBI37. Differential complexes. Joseph J. KOHN38. Variétés hilbertiennes : aspects géométriques. Nicolas H. KUIPER39. Deformations of compact complex manifolds. Masatake KURANISH140. Grauert’s theorem on direct images of coherent sheaves. Raghavan NARASIM-

HAN41. Systems of linear partial differential equations and deformation of pseudogroup

structures. A. KUMPERA et D.C. SPENCER42. Analyse globale. P. LIBERMANN, K.D. ELWORTHY, N. MOULIS, K.K.

MUKHERJEA, N. PRAKASH, G. LUSZTIG et W. SHIH43. Algebraic space curves. Shreeram S. ABHYANKAR44. Théorèmes de représentabilité pour les espaces algébriques. Michael ARTIN45. Groupes de Barsotti-Tate et cristaux de Dieudonné. Alexandre GROTHEN -

D1ECK46. On fiat extensions of a ring. Masayoshi NAGATA47. Introduction à la théorie des sites et son application à la construction des pré

schémas quotients. Masayoshi MIYANISHI48. Méthodes logiques en géométrie diophantienne. Shuichi TAKAHASHI49. Index Theorems of Atiyah — Bott — Patodi and Curvature Invariants. Ravindra

S. KULKARNI51. Introduction à la théorie des hypergraphes. Claude BERGE52. Automath, a language for mathematics. Nicolaas G. DE BRUIJN54. La Série génératrice exponentielle dans les problèmes d’énumération. Dominique

FOATA55. Feuilletages : résultats anciens et nouveaux (Painlevé, Hector et Martinet). Geor

ges H. REEB57. Minimal varieties in real and complex geometry. H. Blaine LAWSON, Jr.

Introduction à la statistique. Deux tomes. Marcel BERTAUDTables de la fonction de répartition et des pourcentiles pour la somme de variables

aléatoires indépendantes de même loi uniforme. Normand BUCKLE, Charles H. KRAFT et Constance VAN EEDEN

Tables prolongées de la distribution de Wilcoxon-Mann-Whitney. Normand BUCKLE, Charles H. KRAFT et Constance VAN EEDENFormes intégro-différentielles non coercives. Joseph J. KOHNTables of branching rules for representations of simple Lie Algebras. Jiri PATERA et

David SANKOFFAspects modernes de la fiabilité. Dinkar MUKHEDKAR, Pierre BRETAULT et Gé

rard SEVESTRESolution numérique des problèmes matriciels. Neil STEWART

La transformation de Weyl et la fonction de Wigner : une forme alternative de la mecanique

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