La symétrie centrale (2)

I. Rappel : la symétrie axialeDeux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsque, en pliant suivant cette droite, les deux figures se superposent.Cette droite est l’axe de la symétrie. Construction du symétrique d’un point par rapport à une droite.

(d)

A(d)

A(d)

A

A’

La droite (d) est la médiatrice du segment [AA’]

II. La symétrie centrale

Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles se superposent après un demi-tour autour du point O.O est le centre de la symétrie.

O

(F)

(F’)

Les figures (F) et (F’) sont symétriques par rapport au point O.(F’) est l’image de (F) par la symétrie de centre 0 et inversement.

O

(F)

(F’)

M

M’

M’ est le symétrique de M par rapport à O donc O est le milieu du segment [MM’]

RemarqueLe déplacement pour aller d’un point M à 0 est le même que celui pour aller de O à M’, image de M.

M

M’

2

2

3

3

O

III. Construction du symétrique d’un point par rapport à un point.

A

O

A’

A’ est le symétrique de A par rapport à O donc :O est le milieu du segment [AA’]

IV. Propriétés de la symétrie centrale

1) Symétrique d’une figure

Une figure et son symétrique par rapport à un point sont superposables.

La symétrie centrale, comme la symétrie axiale, conserve l’alignement, les longueurs, les angles et les aires.

2) Symétrique d’une droite, d’une demi-droite

A

B

C

A’

B’

C’

A’, B’ et C’ sont alignés

(d)

(d’)

O

La symétrie centrale conserve l’alignement.

(d) // (d’) (conservation de la direction)

O

A

B

A’

B’

Le quadrilatère (ABA’B’) est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu.Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.(AB) // (A’B’) et AB = A’B’La symétrie centrale conserve les longueurs.

3) Symétrique d’un segment

Les deux triangles ont les mêmes angles et la même aire.

La symétrie centrale conserve les angles et les aires.

A

B

C

A’

B’

C’O

4) Symétrique d’un triangle

On construit d’abord le symétrique du centre du cercle.

Le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon.

O

J

J’

R

R

5) Symétrique d’un cercle

V. Centre de symétrie d’une figure

Lorsqu’une figure se superpose avec son symétrique par rapport à un point 0, on dit que 0 est le centre de symétrie de la figure.

O

Centre de symétrie

Exemple 1 : le parallélogramme

O

L’intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.(ABCD) = (A’B’C’D’)Même propriété pour le rectangle, le losange et le carré qui sont des parallélogrammes particuliers.

A B

CD A’B’

C’ D’

Exemple 2 : le triangle équilatéral

On sait qu’un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie.Possède-t-il un centre de symétrie ?Un triangle équilatéral n’a pas de centre de symétrie.Le symétrique de (ABC) est :(A’B’C’) (ABC)

A

BC

A’

B’C’

3 axes de symétrie

Pas de centre de symétrie

O

Faisons ½ tour…