La struttura stellare ( II )Lezione 4

Il trasporto radiativo dell’energiaIl gradiente di pressione P(r) che sostiene una stella è prodotto da un gradiente in ρ(r) e T(r) e quindi L(r), ovvero l’energia per unità di tempo prodotta nella sfera di raggio r.

Per trovare come T varia col raggio è necessario studiare il trasporto dell’energia attraverso la materia.

Il trasporto dell’energia all’interno delle stelle avviene prevalentemente per irraggiamento e convezione (la conduzione è importante solo in stelle estremamente dense come le nane bianche e le stelle di neutroni).

Accenneremo alla convezione più avanti. Per ora limitiamoci al trasporto radiativo che è importante nelle regioni centrali di una stella tipo sole.

A. Marconi Introduzione all’Astrofisica 2012/2013

Il trasporto radiativo: opacità

3

I fotoni all’interno della stella possono essere assorbiti o diffusi (scattered) per l’interazione con atomi, ioni, molecole, ed elettroni.L’interazione tra un fotone ed una particella (atomo, ione, elettrone) si può parametrizzare tramite la sezione d’urto σ, parametro legato alla probabilità dell’interazione (dimensionalmente è una superficie): se il fotone incide sulla superficie virtuale σ posta alla posizione della particella si ha l’interazione (diffusione e/o assorbimento).

σ

dS

dl

Visto dal fotone

dS

Consideriamo un elemento di volume cilindrico attorno alla direzione di propagazione di un fotone.

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Il trasporto radiativo: opacitàLa probabilità di interazione è data dal rapporto tra l’area “coperta” dalla sezione d’urto delle particelle e la superficie del volumetto su cui incide il fotone

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dN = ndSdl n densità di particelle nel volumetto

con dN numero particelle nel volumettodp = �dN

dS

dp = n�dl

la distanza tipica che il fotone percorrerà tra una interazione e l’altra (cammino libero medio) si avrà per una probabilità p=1 ovvero

l =1

n⇥=

1

�kk =

�

m̄opacità

In generale se la materia stellare è composta da vari assorbitori e diffusori di densità ni e sezione d’urto σi si avrà

l =1P

i ni⇥i=

1

�k� =

X

i

nimi k =

Pi ni⇥iPi mini

=

Pi(�i/mi)⇥iP

i �i

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Il trasporto radiativo: opacitàk è l’opacità che compare nell’equazione del trasporto radiativo.Il meccanismo più semplice di opacità è la diffusione della luce da parte di elettroni liberi (scattering Thomson) caratterizzata da

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⇥T =8�

3

✓e2

mec2

◆2

= 6.7⇥ 10�25 cm�2

σT è la sezione d’urto Thomson; è la minima sezione d’urto per l’interazione tra materia e radiazione.Nell’interno delle stelle il gas è completamente ionizzato, è costituito quasi di solo H, l’interazione avviene con i soli elettroni (σT ~ 1/m2 ) per cui

l =1

ne⇥T⇡ mH

�⇥T⇡ 1.7⇥ 10�24 g

1.4 g cm�3 6.7⇥ 10�25 cm�2' 2 cm

ne ⇡ nH =�

mH⇥ ⇡ M�

4/3�r3�' 1.4 g cm�3

si è usata la densità media del Sole ma se ρ è più grande, come al centro, l è ancora più piccolo. In effetti una stima più accurata al centro è l~0.1 cm.

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Il trasporto radiativo: opacitàIn pratica i fotoni percorrono solo tratti molto piccoli prima di essere deviati.Lo spostamento vettoriale totale è

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�l1

�l2�l3�li�D = �l1 +�l2 + · · ·+�li + · · ·+�ln

| �D|2 = |�l1|2 + |�l2|2 + · · ·+ |�li|2 + · · ·+ |�ln|2 +X

ij

�li ·�lj

la distanza percorsa è il modulo dello spostamento

se considero una gran numero di processi di diffusione allora poiché gli spostamenti li hanno direzioni casuali nello spazio

X

ij

�li ·�lj = 0 | �D|2 =X

i

|�li|2 =X

i

l2 = Nl2

ovvero D = lpN

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Il trasporto radiativo: opacitàUn fotone che viene prodotto al centro del Sole sarà diffuso N volte prima di uscire con

7

N =⇣r�

l

⌘2=

✓7⇥ 1010 cm

2 cm

◆2

= 1.2⇥ 1021

Il fotone percorre un tratto pari a N l quindi il tempo necessario ad uscire dal Sole sarà

� =Nl

c=

l

c

⇣r�l

⌘2=

r2�lc

=(7⇥ 1010 cm)2

2 cm⇥ 3⇥ 1010 cm s�1' 8⇥ 1011 s = 2.5⇥ 104 yr

Il trasporto radiativoPossiamo adesso ricavare l’equazione che lega T(r) al flusso di energia radiante attraverso la stella.

Dato il piccolo cammino libero medio dei fotoni all’interno della stella, ed il numero elevato di processi di diffusione, assorbimento e emissione a cui sono sottoposti i fotoni, si può pensare che ogni elemento di volume della stella sia all’equilibrio termodinamico (locale) e che quindi irraggi come un corpo nero.

Tuttavia, c’è un flusso netto di radiazione verso l’esterno, e quindi deve esserci una piccola anisotropia nell’emissione (e quindi un piccolo discostamento dall’emissione di corpo nero).

Il flusso netto di radiazione attraverso un elemento di volume è L(r)

Δr L(r)

u

u +Δu

Il trasporto radiativoQuesto deve essere pari all’eccesso di energia tra r e r+dr, fratto il tempo necessario ad attraversare la shell ovvero, se u è la densità di energia

L(r) ⇡ �4⇡ r2�r�u

(�r)2/lc= �4⇡r2lc

�u

�r

(�r)2/lc è il tempo necessario ad attraversare la shell a seguito del cammino casuale visto prima

Una derivazione più rigorosa aggiunge solo un fattore 1/3, per cui passando alle derivate

L(r)

4⇡r2= � lc

3

du

dr

Questa è a tutti gli effetti una equazione di diffusione, che descrive il flusso netto di energia verso l’esterno ( lc/3 è il coefficiente di diffusione).L’opacità del mezzo compare in l : per valori piccoli si avranno L grandi, ovviamente a parità di gradienti di u.

Il trasporto radiativoPoiché siamo vicini all’equilibrio termodinamico ed ogni volumetto si comporta come un corpo nero, si ha

u⌫ =4⇡

cB⌫(T ) u =

4

c

Z +1

0⇡B⌫(T )d⌫ =

4�

cT 4 = a T 4

sostituendo in L(r)

4⇡r2= � lc

3

du

drsi ha l’equazione del trasporto radiativo

dT (r)

dr= � 3L(r)k(r)⇢(r)

4⇡r2 4acT 3(r)

du

dr=

du

dT

dT

dr= 4aT 3 dT

drl =

1

n⇥=

1

�k

si noti che questa è una equazione analoga adI�

ds= ���I� + ��

dove si è integrato sulla frequenza e si è fatta l’assunzione dell’equilibrio termodinamico locale per cui Iν = Bν e quindi si è usata T per descrivere la radiazione. Inoltre il cammino libero medio l corrisponde a profondità ottica unitaria ovvero τν = 1 = αν l pertanto l = 1/αν

Il trasporto radiativoPossiamo stimare quindi l’ordine di grandezza della luminosità solare da

L(r)

4⇡r2= � lc

3

du

dr

L�4⇡r2�

⇠ lc

3

u�r�

⇠ lc

3

aT 4�

r�

T� è la temperatura “media” del Sole e quindi possiamo usare quella stimata col teorema del viriale T� = Tvir� ⇠ 4⇥ 106 K

con l = 0.1 cm otteniamo quindi

L� =4⇡

37⇥ 1010 cm⇥ 3⇥ 1010 cm sec�1 ⇥10�1⇥

⇥ 7.6⇥ 10�15 cgs⇥ (4⇥ 106 K)4 = 2⇥ 1033 erg s�1

in ragionevole accordo con la luminosità solare L� = 3.8⇥ 1033 erg s�1

Se il sole non fosse composto principalmente di idrogeno ma, ad esempio, di carbonio ionizzato, la massa media delle particelle sarebbe

m̄ ⇡ 12

7mH ⇡ 2mH invece di m̄ ⇡ mH

2La temperatura viriale sarebbe 4 volte più grande, e quindi la luminosità predetta sarebbe sbagliata di 2 ordini di grandezza!

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Equazioni della struttura stellareLe equazioni che descrivono la struttura stellare sono:

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dP (r)

dr= �GM(r)�(r)

r2equilibrio idrostatico

dM(r)

dr= 4�r2⇥(r) conservazione della massa

dL(r)

dr= 4�r2⇥(r)⇤(r)

conservazione dell’energia(ε(r) è l’energia prodotta per unità di tempo e di volume)

trasporto radiativo (trasporto energia all’interno della stella, k(r) è l’opacità)

dT (r)

dr= � 3L(r)k(r)⇢(r)

4⇡r2 4acT 3(r)

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Equazioni della struttura stellareQueste equazioni vanno risolte con le opportune condizioni al contorno

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M(r = 0) = 0

M(r = r?) = M?

L(r = 0) = 0

L(r = r?) = L?

P (r = r?) = 0

L★ dipende dalle altre proprietà della stella, questa si usa in alternativa a M★

a queste vanno poi aggiunte le equazioni che descrivono lo stato del gas, l’opacità ed i meccanismi di produzione dell’energia

P = P [�(r), T (r), (X,Y, Z)]

k = k[�(r), T (r), (X,Y, Z)]

⇥ = ⇥[�(r), T (r), (X,Y, Z)]

X =�H�

; Y =�He

�; Z =

�Metalli

�composizione chimica del gas (metalli, elementi più pesanti di He)

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Equazioni della struttura stellareCi sono 7 equazioni accoppiate per 7 incognite

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P (r), M(r), �(r), T (r), k(r), L(r), ⇥(r)

con 4 condizioni al contorno per le 4 equazioni differenziali del primo ordine; se c’è una soluzione, questa è unica.Adesso esploriamo meglio le equazioni della struttura stellare.

Equazione di stato. Dobbiamo tener conto sia della pressione del gas ma anche della pressione di radiazione.

Per il gas PV = nRT, si può trasformare in

Pgas =nRT

V=

N

V

R

NAT =

M

m̄V

R

NAT =

�

m̄kT

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Prad(�) =dF?dA

=dQ�(�)

dt

cos �

dA=

I� cos2 � d⇥d�

c

dQ⌫(�) = q⌫ dn⌫(�) =dE⌫

h�

h�

c=

dE⌫

c

Equazione di statoRiguardo alla pressione di radiazione, ricordiamo la definizione di intensità

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dΩ

dA

norm

ale

θ

dE⌫ = I⌫ cos � dAdt d� d⇥

se invece dell’energia passo al numero di fotoni

dn⌫(�) =dE⌫

h⇥=

I⌫h⇥

cos � dAdt d� d⇥

la pressione di radiazione in P sulla superficie dA e dovuta ai fotoni che si muovono nella direzione Ω è quindi

Pciascun fotone ha una quantità di moto (diretta lungo il raggio di propagazione) pari a

ovvero la quantità di moto trasportata nella direzione Ω èq⌫ =h�

c

Equazione di statoper ottenere la pressione totale occorre integrare su frequenza e angolo solido (supponiamo Iν isotropa)

Prad =

1

c

Z 1

0I�d⇥

Z 2⇥

0d⇤

Z ⇥

0cos

2 � sin � d�

se il sistema è all’equilibrio termodinamico locale (cioè posso definire T punto per punto) Iν = BνZ 1

0F⌫ [BB]d� =

Z 1

0⇥B⌫d� = ⇤T 4

Z 1

0B⌫d� =

⇤T 4

⇥Z ⇡

0cos

2 � sin � d� =

2

3

Prad =1

c

⇥T 4

�2�

2

3=

1

3

4⇥

cT 4 =

1

3a T 4

si noti come la pressione di radiazione corrisponde dimensionalmente ad una densità di energia (u = aT4 è la densità di energia della radiazione)

In conclusione, l’equazione di stato è P = Pgas + Prad =�kT

m̄+

1

3aT 4

Prad =1

3u